8/18/2019 Algebra I Tercer Año
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 7 8
TEMA: TEORÍA DE EXPONENTES
CONCEPTOEstudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que
existen entre ellos, mediante leyes.La operación que da origen al exponente es la potenciación.
POTENCIACIÓNEs la operación que consiste en repetir un número denominado base,
tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente,el resultado de esto se le denomina potencia.
Representación:
.
veces"n"Base
nAx.......xAxAxAA
.
Ejemplos:1. 813x3x3x33
veces4
4
2. 642x2x2x2x2x22veces6
6
3.
vecesn
nnx.......nxnxnxnn
4.
veces5
5
2
1x
2
1x
2
1x
2
1x
2
1
2
1
5.
veces7
7
3x3x3x3x3x3x33
LEYES FUNDAMENTALES1. Producto de Potencias de Igual Base
. xa . xb = xa+b .
Ejemplos:1. 23 . 24 = 23+4 = 27 2. 2–5 . 2-4 . 27 = 2–5–4+7 = 3–2
2. Cociente de Potencias de Igual Base
. ba
b
a
x x
x
. x 0
Ejemplos:
1. 4
8
2
2 = 28–4 = 24
2. 5
6
2
2
= 2–6–(–5) = 2–1
3. Producto de Potencias de Diferente Base
. xa . ya = (x . y)a .
Ejemplos:1. 23 . 43 = (2 . 4)3 2.
3 . 6 = (3 . 5)
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 9 10
4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes
.
a
a
a
y
x
y
x
. y 0
Ejemplos:
1. 3
3
3
3
4
2
4
2. 3
3
3
2
8
2
8
5. Potencia de Potencia
. c ba
c ba
x x
..
.
OBSERVACIÓN:( X A) B = ( X B) A = X A . B
6. Exponente Negativo
. a
a
x
x 1
. . aa
x
y
y
x
. x 0 y 0
Ejemplos:
1. 2
12
1
2. 2
222
2
3
2
3
3
2
7. Exponente Nulo o Cero
. x0 = 1 . x 0
Ejemplos:
1. 13 0
xy
2. 15
y3x2
0
8. Exponente Fraccionario
. b aba
x x . b 0
Ejemplos:
1. 3 232
x x
2. 3 535
x x
9. Producto de Radicales Homogéneos
. aaa
y x y x ..
.
Ejemplos:1. 3333 205.45.4
2. 55556
5
3
5.
2
1
3
5.
2
1
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 11 12
10. Potencia de un Radical
. a c bc a b x x . .
11.
Raíz de Raíz
. c baa b c x x
..
.
OBSERVACIÓN:b
aa b x x
Ejemplos:
1. 243 4 x x
2. 123 44 3 101010
12. Casos Especiales
1. . 1....... n Mn n n mmm Arad AAA .
2. . 1...... nn n n Brad BBB .
3. . aa
..
..
aa
aa
a
.
4. 1.......111 nrad nnnnnn
5. nrad nnnnnn ......111
6. nx....xx
n
nx
7. bb
....a bb aa
8. n
2 1n2xx......xxx
ECUACIONES EXPONENCIALESDefinición
Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en elexponente. Se estudiarán aquellos casos que son factibles de resolverlosutilizando los conceptos anteriores.
1. Bases IgualesSi: Nx = N y x = y
OBSERVACIÓN:
.N > 0 . .N 1.
Ejemplo:Resolver: 9x – 1 = 27x – 2
Buscamos bases iguales: 32x – 2 = 3x – 6 Luego: 2x – 2 = 3x – 6 4 = x
8/18/2019 Algebra I Tercer Año
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 13 14
2. Formas AnálogasSi: .MM = MN. .M = N.
OBSERVACIÓN:
2
1M
4
1M
Ejemplo:1. Resolver: 355 36x x
Resolución Buscando formas análogas:
325
56
x
x
65
56
x
x 6
5x
5 6x
Nota: Si: a1(x) = b1(x) f(x) = 0
2. Resolver: 3x–7 = 5x–7
Resolución x – 7 = 0 x = 7
EN LA VIDA LA PACIENCIA HA DE SER ELPANDE CADA DÍA; PERO LA NECESITAMOS ENPARTICULAR PARA NOSOTROS, PORQUE NADIESE NOS HACE TAN PESADO COMO NOSOTROS
MISMOS.
S AN F RANCISCO DE S ALES
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Simplificar
2
1
40
1
6
3
1
16
E
Rpta.
2. Simplificar:2
3
1
6
4
1
3
2
3
2
x
x x E
Indicar el exponente final de“x”
Rpta.
3. Simplificar:2
5 12 25 6 8
E
Rpta.
4. Simplificar:3 3 3 3 22
x x x x E
Rpta.
5. Simplificar:
222
22
53
35
n
nn
nn
E
Rpta.
6. Simplificar:7613825
32
E
Rpta.
7. Hallar el valor de “n” para queel monomio:
6 4n5
4 n1n
x
xxE
Sea de 1er grado.
Rpta.
8. Calcular el valor de “x” e “y”
sabiendo que el monomio:
y13
2
3 6 y yx
b.a
b.aN
Es de 2do grado con respectoa “a” y de grado absoluto igual7
Rpta.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 15 16
9. Hallar el valor de N:
rad N .....3232323232
Rpta.
10. Hallar “x” en: 22+x + 22–x = 17
Rpta.
11. Hallar el valor de “x”, si: 73x–2 + 72 = 50
Rpta.
12. Hallar el valor de “x”:
555
557
2
16
x
x
Rpta.
13. Hallar “x” en:
5x + 5x+1 + 5x+2 + 5x+3 = 19 500
Rpta.
14. Simplificar:
x
2x1x
2
22P
Rpta.
15. Hallar “x” si se cumple lasiguiente igualdad:
142842
x x
Rpta.
T ODOS DESEAN ARDIENTEMENTE TENER LAVERDAD DE SU PARE; PERO MUY POCOS ELESTAR DE PARTE DE LA VERDAD
W HATELEY
PROBLEMAS PARA LA CASA
1.
Reducir
2
1
5
4
3
2
32
1
27
1
A
A)
5 B)
8 C)
4D) 3 E) 9
2. Calcular:121212
16
1
9
1
4
1
M
A) 10 B) 8 C) 9
D)
2 E)
7
3. Simplificar:4 16342P
A) 2 B) 3 2 C) 2D) 22 E) 42
4. Simplificar:3
3
1
9
1
3
1
9
1
3
1
Q
A)
9 B)
1/9 C)
1/3D) 3 E) 27
5. Si:
3x x
x ; calcularx
x x x
x
A) 27 B) 81 C) 9
D) 3 E) 1
6. Reducir05249
27
P
A) 1/2 B) 1/3 C) ¼D) 1/9 E) 1/15
7.
Si se cumple que: 2x x1
Calcular
x
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
8. Si x 0, simplificar:
0404
5345
.
..................
x x
x N
A) X0 B) x C) x2 D) x3 E) x4
8/18/2019 Algebra I Tercer Año
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 17 18
9. Si se cumple:6
6
x
x , hallar x6
A)
12 B)
2 C)
6D) 12 E) 18
10. Si aa = 2, hallar 1a a a
A)
1 B)
2 C)
3D) 4 E) 5 F)
CLAVES
1. A
2. C
3. A
4. E
5.
A
6. B
7. D
8. A
9. C
10.
D
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8/18/2019 Algebra I Tercer Año
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 19 20
TEMA: POLINOMIOS
NOTACIÓN FUNCIONALSe utiliza para indicar las variables en una expresión algebraica. Par
ello emplearemos letras como P, F, G, ..., etc.
Ejemplo:P(x) se lee P de x: x variableF(x;y) se lee F de xy: x, y variablex, y, z variablesa, b, c constantes
Observación:- Se denominan variables a los símbolos que representan cantidades de
valor fijo. Para ello se utilizan las últimas letras del alfabeto (z, y, x, ...,
etc.).- Se denominan constantes a lo símbolos que representan cantidades de
valor fijo. Para ello se utiliza generalmente el numeral. También seutilizan frases denominadas parámetros, en este caso emplearemos lasprimeras letras del alfabeto (a, b, c, ..., etc.).
VALOR NUMÉRICOEs el número que se obtiene al reemplazar las letras de una expresión
por valores determinados.
Ejemplos:1. Hallar el V.N. de: E = x2 + y3 + 3z
Para x = 3; y = 2; z = 5
Resolución V.N. “E” = (3)2 + (2)3 + 3(2) = 32
2. Hallar P(3,2), si P(x,y) = x2 + 5y + 20
Resolución P(3,2) es el V.N. de P(x,y)
Para x = 3; y = 2
P(3,2) = 32 + 5(2) + 20 = 39
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICASEl grado es una característica de las expresiones algebraicas,
relacionado con los exponentes, que en una ecuación indica el número devalores que debe tener la incógnita.
El grado absoluto si se refiere a todas las variables y relativo si serefiere a una de las variables.
Grado en un Monomio1. Grado Absoluto (G.A.)
Se obtiene al sumar los exponentes de las variables.
2. Grado Relativo (G.R.)El grado relativo a una variable es el exponente de dicha variable.
Ejemplo: F(x,y) = a4x5 y8
G.R.(x) = 5 G.R.(y) = 8G.A.(F) = 8 + 5 = 13
Grado en un Polinomio1.
Grado AbsolutoEstá dado por el mayor grado de sus términos.
2.
Grado RelativoEl grado relativo de una variable es el mayor exponente de dichavariable.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 21 22
Ejemplo: P(x,y) = 6x8 y – 3x7 y3 + 2xy5
G.R.(x) = 7 G.R.(y) = 5G.A.(P) = 10
3. Cálculo de Grados en Operaciones1. En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor.
Ejemplo: Si P(x) es de grado: aSi Q(x) es de grado: b
tal que: a > b Grado [P(x) Q(x)] = a
2. En la multiplicación los grados se suman Ejemplo: (x4 + x5 y + 7) (x7 y + x4 y5 + 2)
Resolución Grado: 6 + 9 = 15
3. En la división los grados se restan
Ejemplo:3334
3387
y x y z x
x y x xy
Resolución Grado: 9 – 6 = 3
4. En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente Ejemplo: (x3 y – x2 y6 + z9)10
Resolución Grado: 9 . 10 = 90
5. En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical. Ejemplo: 3 12637 72 x y x xy
Resolución.
Grado 43
12
POLINOMIOS ESPECIALES
1. Polinomios HomogéneosSon aquellos en los que todos los términos tienen igual grado.Ejemplo: x3 y2 – x5 + x2 yz2 Es un homogéneo de grado 5.
2. Polinomios OrdenadosUn polinomio será ordenado con respecto a una de sus variables, si losexponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo segúnsea el orden ascendente o descendente.Ejemplo: x4 y7 – x8 y10 + x5 y24
Está ordenado ascendentemente con respecto a y.
3. Polinomios CompletosUn polinomio será completo con respecto a una de sus variables sicontiene todos los elementos de dicha variable desde el mayor hasta elcero inclusive.Ejemplo: xy8 – y8 + x3 y7 + x2 y8 Es completo con respecto a x.
Propiedad:En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términoses equivalente al grado aumentado en uno. Es decir:Número de términos = Grado + 1
Ejemplo:P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 23 24
Como es completo:Número de términos = 6
4. Polinomios IdénticosDos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico paracualquier valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos los
coeficientes y sus términos semejantes son iguales.
Ejemplo: ax + by + cz = 8z + 2x – 5ya = 8; b = –5, c = 2
5. Polinomios Idénticamente NulosSon aquellas expresiones que son equivalentes a cero. Estando reducidasse cumple que cada coeficiente es igual a cero.
Ejemplo: ax + by + cz = 0a = 0; b = 0; c = 0
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Hallar el valor de “n” para queel grado absoluto del monomio:(5xn+4 y2)5 sea 40.
Rpta.
2. SiendoA = 2mxm+2 . y3m+n B = 3nx3n-2 . y4m–8 Términos semejantes. Calcular“A – B”
Rpta.
3. Hallar el valor de “m” para quela expresión sea de grado 22
4 3 m2m3 x.xxP
Rpta.
4. Hallar el valor de “n” para elcual la expresión.
nnnn
x x
x x x P
642
2434
.
.
Es de cuarto grado
Rpta.
5. Calcular “2m+n”, si el monomio
mn
nm
y x
y x y x M
63
73
.
.;
y siendo su grado absoluto 7el grado relativo a “x” es 5
Rpta.
6.
SeaP(x) = 3x90 – 27x88 + 3x2 – 4xHallar P(3)
Rpta.
7. Si P(x+1) = x2 + 1Calcule:
2
10
P
P P
Rpta.
8. Si
P(x) = x2 – 2Calcular
veces
P P P P
2002
......2......
Rpta.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 25 26
9. Sea P(x) = (m–1)x2 + mx + m + 1Si P(2) = 4, Calcular el valor de“m”
Rpta.
10. Dado el PolinomioP(x+2) = x2 – 5x + kSi el término independiente es6. Halle la suma de loscoeficientes.
Rpta.
11. Halle el término independiente y la suma de coeficientes delpolinomio.P(x–1) = (2x–3)2n + 4x4
Rpta.
12. Si
P(x–2) = k . x – 8Hallar P(x+1), si P(x) carece detérmino independiente.
Rpta.
13. Si P(x+5) = 3x–2; calcule “m”,si P(2x+m) = 6x+7
Rpta.
14. Sea P un polinomio, tal que:P(2–x) = P(–x) + x – P (1–x)Si la suma de coeficientes deP es K y su términoindependiente es 2K además.P(2) = 4–K. Calcular P(2) + K
Rpta.
15. Si f(x) = x+a; f(0) > 0Reduce:
a
x ax f
Rpta.
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PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Siendo el polinomio:P(x) = x24 + 128x17 + 2x11 + 64x6 + 4x + 2Hallar P(–2)
A) 2 B) –6 C) 5D) 8 E) 12
2. Si la expresión:
3 3
3b
12
5a
y.xE
Es de cuarto grado conrespecto a “y”, y de sexto
grado absoluto. El valor de(a – b) es:
A)
8 B)
9 C)
1D) 3 E) 5
3. Si la suma de coeficientes deP(x) es 10 donde:P(6–x) + P(x–2) = P(x–1) + x +
P(x+2)Calcular el términoindependiente.
A) 10 B) 15 C) 150D) 12 E) 20
4. Sea un polinomio P(x) que
cumple:
P(x+2) – P(x) = 2x
Hallar P(3) – P(1)
A)
1 B)
0 C) –1
D) 8 E) 2
5.
Si P(x) = 3x+4 P(P(x)) = ax+b
Calcular
baP
A) 3/2 B) 1/2 C) 5/2
D) 3/7 E) 3/5
6. Sabiendo que:
P(x) = 3x+2 P(g(x)) = 6x+5
Calcular g(2) + g(–3)
A) 2 B) 5 C) 1
D) –5 E) 0
8/18/2019 Algebra I Tercer Año
11/37
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 27 28
7. Si P(x+5) = 3x–2, calcular “m”,si P(2x+m) = 6x+7
A) 1 B) 3 C) 5D) 8 E) 7
8. Indicar el valor de “a+b”, si elpolinomioP(x) = (a3–27)x2 + (b3–7)x+5Es lineal y mónico.
A) 5 B) 4 C) 9D) 11 E) 15
9. Si:P(x+y;2x– y) = x2+y2 Hallar P(2;1)
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
10. Si f(x+1) = x–2a Y f(1) = 4Calcule f(a)
A) 2 B) 3 C) 4D) 1 E) 5
CLAVES
1. B
2. A
3. C
4. B
5. C
6. E
7. D
8. A
9. B
10. D
¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DEPSICOLOGÍA
El psicólogo es el científico del comportamiento humano y elprofesional de la sicología aplicada. Como científico, elabora y ejecutaproyectos de investigación exploratorios, naturalistas, correlaciónales yexperimentales, con el propósito de describir y explicar los procesospsicológicos relacionados con las modalidades de adquisición,mantenimiento y recuperación de la información, los mecanismos demotivación y afectividad, también los procesos de encodificación ydecodificación estudiados desde su origen y su evolución, todo ello a partirde las observaciones, mediciones e intervenciones en el comportamientoadquirido de los seres humanos.
Como profesional, utiliza las leyes que explican el psiquismo y susinteracciones con otras disciplinas científicas, con el objeto de elaborartécnicas y estrategias, válidas y confiables, para la evaluación ydiagnóstico psicológico, que a su vez le permitan la intervención, según elcaso, correctiva y/o fortalecedora de las variables psicológicas afectadas,quedando abierto el campo para su incursión en la planificación de laprevención de los desajustes del psiquismo.
8/18/2019 Algebra I Tercer Año
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 29 30
TEMA: PRODUCTOS NOTABLES
CONCEPTOSon los resultados de cierta multiplicaciones indicadas que se obtienen
en forma directa.
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
1. Binomio Suma o Diferencia al Cuadrado (T.C.P.)
. (a b)2 = a2 2ab + b2 .
Identidades de Legendre (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b) = 4ab (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)
Ejemplos: 62526232232323 222 (a + 5)2 – (a – 5)2 = 4a . 5 = 20a 10567.108252.5.82525 2244
2. Diferencia de Cuadrados
. a2 – b2 = (a + b) (a – b) .
Ejemplos: (x + 2) (x – 2) = x2 – 4 1121212 3252525
3. Binomio al Cubo
.
baabbaba
babbaaba
3
33333
32233
.
. baabbaba
babbaaba
3
33333
32233
.
Ejemplo: (2 + 3)3 = 23 + 3 . 22 . 3 + 3 . 2 . 32 + 33
(2 + 3)3 = 8 + 36 + 54 + 27(2 + 3)3 = 125
4.
Producto de Binomios con Término Común
. (x + a)(x+ b) = x2 + (a + b)x + ab .
5. Producto de Tres Binomios con Término Común
. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x + abc .
. (x – a)(x – b)(x – c) = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ac) x – abc .
6. Trinomio al Cuadrado
. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) .
. (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc) .
8/18/2019 Algebra I Tercer Año
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 31 32
7. Trinomio al Cubo
. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a) .
. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + (a + b + c) (ab + bc + ca) – 3abc .
. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2( b + c) + 3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6abc .
8. Suma y Diferencia de Cubos
. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) .
. a3 – b3 = (a – b) (a2 – ab + b2) .
9. Identidades de Argan’d
. (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 .
. (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2 y2 + y4 .
En general
. (x2m + xm yn + y2n) (x2m – xm yn + y2n) = x4m + x2m y2n + y4n .
10. Identidades de Gauss
. a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) .
. (a + b) (b + c) (c + a) + abc = (a + b + c) (ab + bc + ac) .
11. Identidades Condicionales
Si . a + b + c = 0 . Se verifican:
. a2 + b2 + c2 = –2(ab + bc + ac) .
. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 .
. a3 + b3 + c3 = 3abc .
LA CARRERA PROFESIONAL DEECONOMÍA
El economista investiga y analiza los fenómenos económicos ysociales relacionados con las actividades de producción, intercambio,distribución y consumo de bienes y servicios de cualquier formacióneconómico–social
8/18/2019 Algebra I Tercer Año
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 33 34
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Efectuar:
63232 E
Rpta.
2. ¿Qué expresión hay queagregar a (3x+2)2 para que seaigual a: (3x+5)(3x+7)?
Rpta.
3. Simplificar:
22222
227 abbaabb
Rpta.
4. Efectuar: 11111 42 x x x x A
Rpta.
5. Efectuar: bbababaN
2.
Rpta
6. Simplificar:
22
2
ba
babaaP
Rpta.
7. Dado
1a
b
b
a ; a . b 0
Determinar:
22
44
.ba
ba
Rpta.
8. Si x3 + y3 = 280; x+y = 10Calcular x . y
Rpta.
9. Reducir: 6 64224 bbbaababaP
a > 0
Rpta.
10. Si: P(x) = x3 – 3x + 12Calcule P(m),Si 33 3232 m
Rpta.
11. Si: (x+5)(x+b)(x–3) = x3–19x+a.Calcular a – b
Rpta.
12. Si: 55 x ; 53y Calcular:N = x6 – 6x2 y2 – y6
Rpta.
13. Simplificar: 16 257.17.5.31212 A
Rpta.
14. Simplificar:
322
322
322
322
B
Rpta.
15. Si: x + y + z = 0
xy
z
xz
y
yz
xN
222
Rpta.
8/18/2019 Algebra I Tercer Año
15/37
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 35 36
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Si x + x–1 = 3, hallar el valor de:E = x6 + x–6
A) 122 B) 222 C) 322
D) 422 E) 522
2. Encontrar el valor de:E=(x– y)(x2+xy+y2)+ y(3x2+3xy+2y2)Para 223 x ; 223y
A) 32 B) 27 C) 0D) 36 E) 216
3. Six+y+z = xy + xz + yz = 5Calcular x2 + y2 + z2
A) 10 B) 5 C) 18D) 20 E) 25
4. Si (x+y+z)2 = x2+y2+z2 Calcular
x
z x y x N
A) x B) xy C) x/yD)
1 E)
xyz
5. Si se cumple:(a + b)3 = a3 + b3
Hallar:b
a
A) 1 B) –1 C) 2D) –2 E) 1/2
6. Sabiendo que: a+b+c = 1Calcular
1a
cb1aN
333
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
7. Si x+y+z=6; (x+y)(x+z)(y+z)=71Hallar. M = x3 + y3 + z3
A)
1 B)
2 C)
3D) 4 E) 8
8. Si a3 + b3 + c3 = 0
Hallar:
abcacbcabcbacba
Q3
3
A) 6 B) 3 C) 1D) 1/3 E) 1/9
9.
Si 52xx 1 Hallar x2 + x–2
A) 2 B) 5 C) 7D) 5 E) 4
10. Siendo: 4 8qp ;
218pq
Hallar 22 qp
A) 16 B) 6 C) 9
D)
36 E)
41
CLAVES
1.
C
2. E
3. C
4. D
5. B
6.
C
7. C
8. C
9. D
10. C
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza” V.L.E.B.
8/18/2019 Algebra I Tercer Año
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 37 38
¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DEMEDICINA HUMANA
La medicina humana es una disciplina científica de carácter social,con métodos y tecnología adecuados, que estudia al ser humano en formaindividual y a la comunidad en forma integral, dentro del proceso vital ydel entorno que lo rodea, descubriendo las alteraciones de salud quederivan en enfermedad al perderse el estado de bienestar físico, psíquicoo social.
La medicina es una profesión de servicio por excelencia, se ejerce enforma personal y colectiva dentro de los parámetros que dictan la Ética yDeontología Médica, con la mayor eficiencia posible, bajo los principios de
equidad, solidaridad, y el más amplio sentido humanístico y social.El profesional médico presta asistencia de salud a la persona o a lacomunidad y se interesa por ella, tanto en los aspectos preventivo–promocionales, como de diagnóstico y tratamiento de las enfermedadesque la afligen, así como ejecuta las acciones de rehabilitación que seannecesarias.
TEMA: DIVISIÓN ALGEBRAICA
DIVISIÓN ALGEBRAICAOperación que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos
polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo otros dos
polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligadospor la relación:
. D(x) = d(x) Q(x) + R(x) .
Donde:D(x) : Dividendod(x) : DivisorQ(x) : CocienteR(x) : Residuo o Resto
Propiedades de la División Gdo. (D(x)) Gdo. (d(x)) Gdo. (Q(x)) = Gdo. (D(x)) – Gdo. (d(x))
Gdo. (R(x)) < Gdo. (d(x))
Además: Máximo Gdo. (R(x)) = Gdo. (d(x)) – 1
PRINCIPALES MÉTODOS DE DIVISIÓNMétodo de William G. Horner
Pasos a seguir:1. Coeficiente del dividendo ordenado decrecientemente en una variablecompleto o completado.
2. Coeficiente del divisor ordenado decrecientemente en una variable,completo o completado, con signo contrario salvo el primero.
3. Los coeficientes del cociente se obtienen de dividir la suma de loselementos de cada columna entre el primer coeficiente del divisor. Cada
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 39 40
coeficiente del cociente se multiplica por los demás coeficientes deldivisor para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columnaen forma horizontal.
4. Los coeficientes del residuo que se obtienen de sumar la columnasfinales una vez obtenidos todos los coeficientes.
OBSERVACIÓN:
LA LÍNEA DIVISORIA SE COLOCARÁ SEPARANDO TANTOS TÉRMINOS DE LAPARTE FINAL DEL DIVIDENDO COMO GRADO DEL DIVISOR:
Método de Paolo RuffiniPasos a seguir:1. Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o
completado, con respecto a una variable.2. Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero.3. Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna, luego
que el coeficiente anterior se ha multiplicado por (2), y colocado en lasiguiente columna.
4.
Resto de la división que se obtiene de sumar la última columna
OBSERVACIÓN:S I EL COEFICIENTE PRINCIPAL DEL DIVISOR ES DIFERENTE DE LA UNIDAD , EL COCIENTE OBTENIDO SE DEBERÁ DIVIDIR ENTRE ESTE VALOR.
Teorema del RestoSe utiliza para obtener el resto de una división. Consiste en igualar a cero aldivisor y despejar la mayor potencia de la variable, para que sea
reemplazada en el dividendo.
OBSERVACIÓN:DESPUÉS DE REALIZAR EL REEMPLAZO , DEBE COMPROBARSE QUE EL GRADODEL POLINOMIO OBTENIDO SEA MAYOR QUE EL G RADO DEL DIVISOR.
Ejemplo:
2
1023
x
x x
Resolución
d(x) = x – 2 = 0 x = 2Reemplazo “x” en D(x): R(x) = (2)3 + 2(2) – 10 R(x) = 2
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 41 42
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. La división:
53
722
234
x x
bax x x x
Es exacta, calcular “a + b”
Rpta.
2. Calcular el residuo de:
23
6472624
2536
x x
x x x x x
Rpta.
3. Calcular el cociente de:
x6x10
x2x7x18x303
325
Rpta.
4.
Calcular el cociente de:
2
223 34
x
x x x
Rpta.
5. Calcular el resto de la división:
1
12
245
x
x x x x
Rpta.
6. Calcular la suma de loscoeficientes del residuo aldividir:
12
132542
234
x x
x x x x
Rpta.
7. Al dividir:
1
5732
23
x
x x x
Señale el residuo.
Rpta.
8. Calcular “m–n” para que ladivisión
1x
mnxx5x2
24
Sea exacta
Rpta.
9. Calcular el valor de “” en:
2x
x2x3x2x 345
Rpta.
10. Calcular el resto de:
123
65432
23
x x
x x x
Rpta.
11. Calcular el valor de (m+n) en lasiguiente división exacta
nx x
mx x x
3
345 1
Rpta.
12. Hallar el términoindependiente del cociente,
luego de dividir:
375
933376102
234
x x
x x x x
Rpta.
13. Si la división
3
322
24
x x
bax x x
Es exacta, hallar 4 ba Rpta.
14. Hallar el resto de la división
1
17532
6918
x
x x x x
Rpta.
15. Si el resto de:
4714
272
2
x x
x nn
Es 256, hallar el valor de “n”
Rpta.
HAY QUE MOSTRAR MAYOR RAPIDEZ EN CALMARUN RESENTIMIENTO QUE EN APAGAR UN
INCENDIO, PORQUE LAS CONSECUENCIAS DELPRIMERO SON INFINITAMENTE MÁS PELIGROSAS
QUE LOS RESULTADOS DEL ÚLTIMO; EL INCENDIOFINALIZA ABRAZANDO ALGUNAS CASAS A LO
MÁS, MIENTRAS QUE EL RESENTIMIENTO PUEDECAUSAR GUERRAS CRUELES, CON LA RUINA YDESTRUCCIÓN TOTAL DE LOS PUEBLOS.
H ERÁCLITO
8/18/2019 Algebra I Tercer Año
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 43 44
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar el T.I. del resto de:
2
24
213
7468
x x
x x x
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
2. Hallar el resto de:
1
12345
x
x x x x x
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
3. Si la división:
1x2x
nx3mxx2x42
234
Es exacta. Halla (m+n)
A) 16 B) 18 C) 20D) –20 E) –16
4. Hallar el resto de:
3
452832
248
x
x x x
A) 5 B) 10 C) 15D) 20 E) 25
5. Hallar la suma de coeficientesdel cociente:
23
65292
24
x x
x x x
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
6. Luego de dividir:
25
317310 2345
x
ax x x x x
Se sabe que el residuo es 5,hallar “a”
A) 4 B) 2 C) 1
D) 3 E) –1
7.
Hallar el resto de dividir:
14
2001422
515112
x x
x x x
A)
2641 B)
2728 C)
2729D) 2700 E) 2001
8. Hallar el residuo de ladivisión:
323
54322345
y yx3x2
y2xy2 yx6 yx8 yx5x6
A)
0 B)
1 C)
xyD) y E) y5
9. Si l coeficiente del términolineal del cociente es –45,hallar 4 n
3
762 325
x
x nx x
A) –81 B) –3 C) 3D) 81 E) 72
10. Calcular el resto de lasiguiente división:
3712
162
321
x x
x
A) x+1 B) x+2 C) x+3
D) x+4 E) x+5
CLAVES
1. C
2. A
3. A
4.
B
5. E
6. C
7. C
8. E
9.
C
10. E
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza” V.L.E.B.
8/18/2019 Algebra I Tercer Año
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 45 46
¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DEINVESTIGACIÓN OPERATIVA
La Investigación Operativa es una profesión moderna que se dedica ala identificación, análisis y solución de problemas relacionados con elquehacer de todo tipo de organizaciones y otras entidades las cualesidentifica como sistemas industriales, comerciales, de sistemas deproducción, de bienes y servicios tales como sistemas industriales,comerciales, de transporte, de salud, educación, banca, seguros,ecológicos, agrícolas, mineros, energéticos, financieros, de mercadotecnia,planificación de proyectos, planificación estratégica, organismos públicosentre otros. Su propósito es lograr que la gestión empresarial se base enla toma de las mejores decisiones, científicamente sustentadas, buscandoel uso racional de los recursos, realiza su actividad utilizando losconocimientos propios de su área, así como lo de Economía, Gestión deOrganizaciones, Informática, Economía, Estadística y Matemática,Estadística y Humanidades.
TEMA: COCIENTES NOTABLES
CONCEPTOSon aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin
necesidad de efectuar la operación de división.
Condiciones que debe cumplir:
y x
y x mm
Dondex; y bases igualesm Z+; m 2
CASOS1. Si: R = 0 x q
y x
y x nm
cociente entero o exacto (C.N.)
2. Si: R = 0 y x
x R x q
y x
y x nm
cociente completo
LA VIDA, LO MISMO QUE UN VINO DE ALTOPRECIO, DEBE SER SABOREADA CON OPORTUNAS
INTERRUPCIONES, SORBO A SORBO. INCLUSO ELMEJOR VINO PIERDE SU ENCANTO Y NO
ACERTAMOS YA A APRECIARLO CUANDO LO
ENGULLIMOS COMO SU FUERA AGUA
F EUEERBACH .
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21/37
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 47 48
También según la combinación de signos se puede analizar 4 casos.Deducción de los CocientesDIVISIÓN INDICADA
SEGÚN SU FORMACOCIENTES
n Z+
y x
y x nn
=xn-1+xn-2 y+xn-3 y2+...+yn-1+; n (C.N.)
y x
y x nn
=xn-1+xn-2 y+xn-3 y2+...+yn-1+y x
y n
2 ; n (cociente completo)
y x
y x nn
ompletocociente cn par;y x
y y ...y x y x x
C.N.impar n;y ...y x y x x n
nnnn
nnnn
212321
12321
y x
y x nn
ompletocociente cn impar;y x
y y ...y x y x x
C.N.par n;...ny y x y x x n
nnnn
nnnn
212321
12321
CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN C.N.De:
qp
nm
y x
y x
se debe cumplir: r
q
n
p
m ; r Z+
FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN C.N.Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en eldesarrollo de los C.N., sin necesidad de conocer los demás.
De la división:
y x
y x nn
a) Si d(x) = x – y:. tk = xn–k yk–1 .
b) Si d(x) = x+y:. tk = (–1)k–1xn–k yk–1 .
Donde:tk término del lugar kx 1er. término del divisor.
y 2do. término del divisor.m número de términos de q(x)
Ejemplos:
432234
55
y xy y x y x x y x
y x
(C.N.)
y x
y y xy y x x
y x
y x
4
322344 2 (Cociente Completo)
863366
33
1212
y y x y x x y x
y x
(C.N.)
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 49 50
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Hallar el cociente de:
1. 9x
81x2
=
2. 1
12
z
z =
3. 11
1212
x
x =
4. 15
125 2
x
x =
5. 471649
2
4
y y =
6. z x
z x
98
81643
26
=
7. nnnn
y x
y x 21
422
3294
=
8. 67
364912
24
n
n
x
x =
9. w z y x
w z y x
22
=
10. z
z
31
91 2
=
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 51 52
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Hallar el valor numérico deltérmino número 37 para
5
1x de:
910
595 4343
x
x x
Rpta.
2. Hallar el lugar que ocupa eltérmino de grado 101, en eldesarrollo de:
49
80180
y x
y x
Rpta.
3. Si A es el penúltimo términodel C.N.
y x
y x
4
1040
Hallar A
Rpta.
4. Hallar el grado absoluto del
décimo primer término en el
cociente notable que se
obtiene al dividir:52
1523
n
nn
y x
y x
Rpta.
5. Simplificar a expresión
1.......
1.......
547290
9096102
x x x
x x x P
Rpta.
6.
Si la división:
x
1x51x5 9999
Origina un cociente en el cual
un término tiene la forma
A(25x2 – 1)B, calcular A–B
Rpta.
7. En el desarrollo de:
35
93155
y x
y x
Existe un término cuyoG.A.=122, la diferencia de losexponentes de x y en ese
término es:
Rpta.
8.
El grado absoluto del términode lugar 6 del siguiente C.N.
23
n39n3
yx
yx
; es:
Rpta.
9. Encontrar el cociente que dioorigen al siguiente desarrollox35 – x30 + x25 – x20 + x15 – x10 + x5 – 1
Rpta.
10. Halar el tercer término de:
1
12
82
x
x
Rpta.
11. Hallar T 5/T 10 del siguientedesarrollo:
2573
348511951
.
.
nmba
nmba
Rpta.
12. Indicar cuántos términostiene el siguiente desarrollo
54
54
y x
y x nn
Rpta.
13. Hallar el valor numérico deltérmino central generado porel desarrollo del C.N.
1811
2
2020
x x
x x ; para
3x
Rpta.
14.
¿Cuál es el tercer término enel cociente?
y x
y x
2
322
510
Rpta.
8/18/2019 Algebra I Tercer Año
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 53 54
15. Hallar el desarrollo delsiguiente C.N.
6
84 3
x
x
Rpta.
LA CARRERA PROFESIONAL DETECNOLOGÍA MÉDICA
El profesional tecnólogo médico graduado tiene una sólida formaciónintegral basada en principios científicos, humanísticos y tecnológicos, quecrea, planifica, modifica, evalúa, y aplica continuamente métodos,procedimientos y tecnologías en: Laboratorio Clínico y AnatomíaPatológica, Terapia Física y Rehabilitación, Radiología, TerapiaOcupacional.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar el término de lugar 6,de:
y x
y x
2
1284
728
A) 32x4 y5 B) –32x4 y5 C) 32x5 y4 D) –32x5 y4 E) x5 y4 F)
2.
Hallar el G.A. del término delugar 8 de:
44
406
y x y x
n
n
A) 30 B) 20 C) 40D) 50 E) 25
3. Hallar el V.N. del término delugar 29 de:
32
3 3636
x
x x ; para x = –1
A)
32 B)
69 C)
128D) 256 E) 512
4. Hallar el T 4 del desarrollo del
siguiente C.N.
23
1
1218
1
x x
x x
A)
X6 B)
X5 C)
x4
D) 1 E) x
5. Hallar el número de términos
de:
nn
nn
a a
a a
32
516
A) 4 B) 3 C) 2
D)
1 E)
5
6. Hallar el T 3 en:
3
81
3
3
x
x x
A) x 9 B) 39 x C) 33 x
D) 37 x E) 3 x
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 55 56
7. Halar el término lineal de:
x
x 644 3
A) 12x B) 13x C) xD) –12x E) 10x
8. Hallar el término central de:
75
4935
y x
y x
A) x17 y27 B) x27 y17 C) x21 y15 D) x15 y21 E) x12 y13
9. Hallar el grado absoluto delquinto término de:
615
3075
ba
ba
A) a24 B) a12b12 C) ab12
D)
b24
E)
b18
10. hallar el G.A. del sextotérmino del desarrollo de:
34
4864
y x
y x
A) 45 B) 55 C) 65D) 75 E) 85
CLAVES
1. B
2. C
3. C
4. D
5. A
6. B
7. A
8. D
9. D
10. B
¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DENUTRICIÓN
El nutricionista es un especialista en el área de la alimentación ynutrición, es un agente de cambio ligado al sector productivo para eldesarrollo, con participación activa en la vida económica y política,presentando propuestas de solución. Su objetivo es contribuir a resolverla problemática alimentaria nutricional del país y mejorar la calidad devida del poblador.
Ámbito de Trabajo: En las áreas de salud pública, clínica asistencial, alimentación
colectiva, industria, educación, en instituciones como el Ministerio deSalud, EsSalud, Fuerzas Armadas, instituciones públicas y privadas.Consulta privada.
8/18/2019 Algebra I Tercer Año
26/37
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 57 58
TEMA: FACTORIZACIÓN
Proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresiónalgebraica racional entera es presentada como el productos de dos o másfactores algebraicos.
Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor de otro cuando lodivide exactamente, por lo cual también es llamado divisor.
Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel polinomio que no se puededescomponer en otros factores. Racionales dentro del mismo campo.
Ejemplo:El proceso
(x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + abes una multiplicación.
En cambio el procesox2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b)
es una factorización
Donde:(x + a), (x + b), son factores primos.
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN Factor Común MonomioConsiste en extraer la parte que se repite en todos los términos para lo
cual se extrae la expresión repetida, elevada a su menor exponente.
Ejemplo:Factorizar E = 7x5 y5 – 2x3 y3 + x2 y2
El factor común monomio será x2 y2. Ahora dividiremos cada uno de lostérminos entre dicho factor común, para lo que queda en el polinomio. Luegode dicho proceso se tendrá:
Factor Común PolinomioSe usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o
más términos. Por lo general, se encuentra luego de agrupar términos y bajolos siguientes criterios:
- De acuerdo al número de términosEjemplo: si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 ode 4 en 4.
-
De acuerdo a los coeficientes de los términos:Ejemplo:FactorizarE = x12 + x8 y4 + x4 y8 + y12
Como no hay factor común monomio podemos agrupar los 4 términos de2 en 2 y en forma ordenada.En cada uno de los tres grupos:
E = x6(x4 + y4) + y8(x4 + y4)
Factor Común Polinomio (x4 + y4). Ahora dividamos cada agrupación entreel factor común polinomio.
Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores,tiene un único divisor que es sí mismoEsta expresión tendrá 2 factores primos
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 59 60
Método de las IdentidadesAplicación de identidades notables para estructuras conocidas.Recordemos los siguientes:
A) Trinomio Cuadrado PerfectoA2 2AB + B2 = (A B)2
OBSERVACIÓN:
E L TRINOMIO O CUADRADO PERFECTO ES EL DESARROLLO DE UN BINOMIOAL CUADRADO , SE CARACTERIZA POR PORQUE EL DOBLE D EL PRODUCTO DE LARAÍZ DE DOS DE SUS T ÉRMINOS ES IGUAL AL TERCER TÉRMINO :
Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado.
Ejemplo:
Luego, es T.C.P.
B) Diferencia de Cuadrados
A2 – B2 = (A + B) (A – B)
Ejemplos:1. Factorizar: x4 – 4b2
Resolución Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b) (x2 – 2b)
2. Factorizar: x2 + 2xy + y2 – z6
Resolución x2 + 2xy + y2 – z6 (x + y)2 – (z3)2 = (x + y + z3) (x + y – z3)
C) Suma o Diferencia de Cubos
A3 B3 = (A B) (A2 AB + B2)
Ejemplo:Factorizar: 27x3 – 8
Resolución (3x)3 – 23 = (3x - 2) (9x2 + 6x + 4)
ASPA SIMPLESe utiliza para factorizar expresiones trinomios o aquella que adopten
esa forma: Ax2m + Bxm yn + Cy2n
Ejemplos:Factorizar: a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab - 28(a + b)2 + 3(a + b) – 28 (a + b + 7) (a + b – 4)
ASPA DOBLESe utiliza para factorizar polinomios de la forma:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 61 62
Ejemplos:1. Factorizar:
La expresión factorizada es:(5x + 3y – 7) (4x + 2y – 1)
2.
Factorizar:
La expresión factorizada es:(3x + 4y + 2z) (2x + 5y + 3z)
ASPA DOBLE ESPECIALSe utiliza para factorizar polinomios de la forma:
Ax4 + Bx3 + Cx2 Dx + E.
Regla: 1. Se descompone el término de mayor grado y el término independiente,se calcula la suma del producto en aspa.
2. A la suma obtenida se le agrega la expresión que haga falta para ver eltérmino central. La expresión agregada es la que se descompone paracomprobar los otros términos del polinomio
Ejemplo:1. Factorizar
P(x) = (x2 + 3x – 5) (x2 + 2x + 3)
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOSCon éste método se busca uno o más factores binomios primos
Además:1. Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x).
2. Los demás factores se encuentran al efectuar: 0
x x
x P
3. Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:
ceros
Posibles
x P incipal deCoef.Divisores
x de P T. indep.Divisoresx
Pr0
Ejemplo:
Factorizar: P(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6
1
6
Divisor de
Divisoreseros Posibles c
Posibles ceros = (1, 2, 3, 6)
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 63 64
Probando con uno de ellos; para x = 1 por Ruffini
R = 0 lo que significa que x = 1 es un cero y luego un factor es (x – 1)
Luego: P(x) = (x – 1) (x2 – 5 x + 6)x –3x –2
P(x) = (x – 1) (x – 3) (x – 2)
MÉTODO DE SUMAS Y RESTASSe inspecciona el dato, comparándolo con alguna identidad conocida, la
mayoría de veces será necesario aumentar algunos términos para constituiren forma completa aquella identidad sugerida por el dato, naturalmente queaquellos términos agregados deben ser quitados también para así no alterarel origen. Este método conduce la mayoría de las veces a una diferencia decuadrados, suma de cubos o diferencia de cubos.
Ejemplo:Factorizar:
x4 + 64y4 x4 + 64y4 + 16x2 y2 – 16x2 y2
x4
+ 16x2
y2
+ 64y4
– 16x2
y2
(x2 + 8y2)2 – (4xy)2
Donde:(x2 + 8y2 + 4xy) (x2 + 8y2 – 4xy)
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Indique el número de factoresprimos.Q(X) = x9 (x + 1)10 (x2 + 1)11
Rpta.
2. Hallar la suma de factoresprimos.A(x) = (x + 2)(x – 1) ++ (x + 3)(x + 2) + x + 2
Rpta.
3. Factorizar e indicar uno de losfactores primos.(x + y)x2 – (x + y)z2 + (x + y)y2
Rpta.
4. Indicar un factor primo de:(x + y2) (x + y) + z (x + y2)
Rpta.
5.
Indicar un factor primo:(x2+y2) (x–2y) + (x2+y2) (2x+y)
Rpta.
6. Indicar un factor primo de:(x–3y)(x2+y2)+(x2– y2)(x-3y)+x–3y
Rpta.
7.
Factorizar:(x+y)(xy+1) +y(x+y) – (x+y)
Rpta.
8. Dar un factor primo de:(x2+y2)(xy+2)+(x2+y2)(x2–1)– – (x2+y2)
Rpta.
9. Factorizar:(x+3x)(xy+2)+(xy+2)z(x+3y+z)
Rpta.
10. Factorizar:(x+y)(x– y+z) – (x2 – y2) – x – y
Rpta.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 65 66
11. Factorizar:a4 – b4 Señalar un factor primo.
Rpta.
12. Indicar un factor primo alfactorizar:(a2 + b2) – (c2 + b2)
Rpta.
13. Indicar el número de factoresprimos de:x8 – 44
Rpta.
14. Dar la suma de los factoresprimos:x2 – y2 – xz – yz
Rpta.
15. Factorizara2 + b2 – c2 + 2abIndique un factor primo
Rpta.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Factorizar: x2 – 49
A) (x + 7)2 B) (x – 7)2 C) (x + 7)(x – 7) D) (x – 7)(x – 1)
E) N.A.
2.
Factorizar:Q(x) = 18x2 – 39x + 20Indique cual es un factorprimo.
A) 6x + 1 B) 3x – 5 C) 3x + 4D) 6x + 5 E) 3x – 4
3. Dar la suma de factoresprimos de(x+7) (x2–6x) = (x+7) (5x–12)
A) 3x + 9 B) 3x + 14 C) 3x+6D)
3x + 8 E)
3x + 10
4. Dar la suma de factoresprimos:(x - 5) (x2 – 6x) + (40 – 7x) (x – 5)
A) 3x + 8 B) 3x – 18 C) 2x – 13D) 2x + 8 E) 3x – 8
5. Indicar un factor primo de:3x(x+2)(2x–3)+(14x+12)(2x–3)
A) 6x + 4 B) 2x + 3
C)
x + 2 D)
3x + 2E) 3x + 5
6.
Dar un factor primo de:2x(x+2)(x+3) – 3(x+5)(x+3)
A) x – 3 B) (x + 3)2 C) 2x – 5 D) 2x + 3E)
2x – 3
7. Indicar la suma de factoresprimos de:6x(2x–1)(2x+3) – (5x-2)(2x+3)
A) 8x B) 9xC) 8x + 6 D) 9x + 6E) 7x – 3
8. Indicar la suma decoeficientes de un factorprimo de:x2 + 5xy + 6y2 + 9x + 22y + 20
A) 6 B) 7 C) 8D)
5 E)
13
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 67 68
9. Indicar un factor primo de:x2 + xy - 6y2 + 3x + 19y – 10
A) x–3y+2 B) x+2y+5C) x–2y–5 D) x+3y–2E) x+3y+2
10. Dar la suma de los términosindependientes de losfactores primos de:2x2 – 7xy + 6y2 – 2x + y – 12
A) 1 B) 4 C) 11
D)
7 E)
8
CLAVES
1. C
2. E
3. C
4. C
5. B
6. E
7. B
8. B
9. D
10. A
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza” V.L.E.B.
¿SABÍAS QUÉ...
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 69 70
TEMA: M.C.D. – M.C.M. – FRACCIONES
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)El Máximo Común Divisor de 2 o más polinomios es otro polinomio que
tiene la característica de estar contenido en cada uno de los polinomios. Se
obtiene factorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicaciónde factores primos comunes afectado de sus menores exponentes.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)El Mínimo Común Múltiplo de 2 o más polinomios es otro polinomio que
tiene la característica de contener a cada uno de los polinomios. Se obtienefactorizando los polinomios y viene expresado por la multiplicación de losfactores primos comunes y no comunes afectados de sus mayoresexponentes.
Ejemplo:Hallar el M.C.D. y M.C.M. de los polinomios:
A(x) = (x+3)4 (x2+1)6 (x–2)2 (x+7)6 B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (x–2)4 (x+5)8 C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (x–2)3 (x+3)3
Rpta: como ya están factorizados el:
M.C.D. (A,B,C) = (x2+1)2 (x–2)
M.C.M. (A,B,C) = (x2
+1)6
(x–2)4
(x+3)4
(x+7)6
(x+5)6
Propiedad:Solo para dos polinomios: A(x), B(x).
Se cumple:M.C.D. (A,B) . M.C.M. (A,B) = A(x) . B(x)
FRACCIONES ALGEBRAICASFracción Algebraica
Una fracción algebraica, se obtiene como la división indicada de dospolinomios N(x) y D(x) siendo D(x) polinomios no constante.
Denotado: x D
x N
Donde:N(x): polinomio numerador (no nulo).D(x): polinomio denominador (no constante)
Ejemplo:
2
12
x
x ;2
1
7
4
x
x ;4
4822
x
x x
Signos de una Fracción
a)
Signo del Numerador: +b) Signo del Denominador: – c) Signo de la fracción propiamente dicha: –
y
x F
OBSERVACIONES: S I INTERCAMBIAMOS UN PAR DE SIGNOS POR UN MISMO SIGNO EL VALORDE LA FRACCIÓN NO SE ALTERA EN EL EJEMPLO ANTERIOR, ES DECIR:
y x y x y x y x F
También:
B
A
B
A
B
A
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 71 72
Ejemplo: Sumar: x 0
y x x
y x
x
x y
y
y x
x S
1
y x
y x S
Regla para Simplificar FraccionesDebemos factorizar el numerados y denominador para luego eliminar los
factores comunes:
Ejemplo:Simplificar
6116
1923
2
x x x
x x F
Resolución Factorizando y Simplificando:
2
3
321
133
x
x
x x x
x x x F
Operaciones con Fracciones1. Adición o Sustracción
Es preciso dar el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores.
Se presentan los siguientes casos:A) Para fracciones homogéneas:
Ejemplo:
2222
x
z y x
x
z
x
y
x
x
B) Para fracciones heterogéneas:Ejemplo:
bdf
bdebfc adf
f
e
d
c
b
a
C)
Para 2 fraccionesRegla practica:
yw
yz wz
w
z
y
x
2. MultiplicaciónEn este caso se multiplican los numeradores entre sí y lo mismo se hacecon los denominadores. Debe tenerse en cuenta que antes de efectuar laoperación puede simplificarse cualquier numerador con cualquier
denominador (siempre que sean iguales).
Ejemplo:
f d b
ec a
f
e
d
c
b
a
..
.....
7
7
7
1.
2.
2
7.
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3. DivisiónEn este caso, se invierte la segunda fracción y luego se efectúa como
una multiplicación. También se puede aplicar el producto de extremosentre el producto de medios.
Ejemplo:
c
d.
b
a
d
c
b
a ... invirtiendo
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 73 74
bc
ad
d
c
b
a
Fracción Independiente
2
11
2
1
22
,y cxy bx a
cy bxy ax y x F
Es independiente x e y-
k c
c
b
b
a
a
111
k cte.
SER PADRE, ALGO ES; SER MAESTRO AFORTUNADO, ES MÁSAÚN; PERO DESENVOLVER UN BUEN ENTENDIMIENTO, COLABORAREN SUS TRIUNFOS ES ALCANZAR LA PATERNIDAD MÁS ALTA Y
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Y QUE SE DISTINGA DE LA MUCHEDUMBRE DE LAS FLORESHUMANAS POR UN MATIZ ROJO, PRECIOSO Y EXQUISITO.
R AMÓN Y C AJAL
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Hallar el M.C.M. y M.D.C. de:6mn; 12m2n; 9mn2
Rpta.
2. Hallar el M.C.M. y M.D.C. de:x: x2 + x
Rpta.
3.
Hallar el M.C.M. y M.D.C. de:
x2
– 1: x2
+ x
Rpta.
4.
Hallar el M.C.M. y M.D.C. de:a2 + ab – 6b2: a2 – ab – 2b2
Rpta.
5. Hallar el M.C.M. y M.D.C. de:x2 – 3x – 2: x3 – 3x2 + 4
Rpta.
6. Hallar el M.C.M. de:2mn, 4m2n
Rpta.
7. Hallar el M.C.M. de:12 a3 . 9 a2 . 6a2x2
Rpta.
8. Hallar el M.C.M. de:7m3n4z8; 49m4n2 y5; 21m5 y3z2
Rpta.
9. Hallar el M.C.M. de:3m3: (3m)2 (x– y)2: (3m)3 (x– y)3
Rpta.
10. Hallar el M.C.M. de:2a2x + 4abx + 2b2x: 2a2x2 – – 4b2x2: 2a2x – 2b2x
Rpta.
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 75 76
11. Reducir:
2
22
aab
bab
ab
babA
Rpta.
12. Efectuar:
2233
2
23
ba
ba
ba
baaB
Rpta.
13. Reducir:
a
b
b
a
aba
b
bab
aA
2
2
2
2
Rpta.
14. Efectuar:
aba
b
a
b
bab
a
b
aB
2
32
2
32
Rpta.
15. Reducir:
babbaa
abbbaaA
23224
223
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Hallar el MCD de P(x) S(x)P(x) = x4(x + 1)2 (x – 2)3 Q(x) = x2 (x - 2)4 (x + 7)2 S(x) = x3 (x + 2)4 (x – 1)3
A)
(x – 2)x2 B) x2 C) x3 D) x3 (x – 2)E) N.A.
2. Hallar el mcm de:P(x; y; z) = x2 y7 z8
Q(x; y; z) = x
4
y
3
z
9
R(x; y; z) = z5 y2 z10
A) xyz B) x5 y3z9 C)
x5 y7z10 D)
x2 yz10 E)
N.A.
3. Señale el MCD de A(x) B(x)
A(x) = x4
– 1B(x) = x3 – 3x + 2
A) x + 1 B) x2 + 1 C) x – 1D) x – 2 E) x + 2
4. Hallar el MCM de:P(x) = x2 – 4x + 3F(x) = x2 + 4x + 3R(x) = x4 – 10x2 + 9
S(x) = x3 + x2 – 9x – 9
A) (x2–9)(x4–1) B) (x2–9)(x2–1)C)
(x2–9)(x+1) D) (x2–9)(x2+1)E) (x2+9)(x2–1)
5. Hallar el MCM de:(a2–b2): (a2–2ab+b2) y (a2+2ab+b2)
A) (a – b)2 B) (a – b)3 C) (a2 – b2)3 D) (a2 – b2)2 E) (a – b)3
6. Reducir:
22
22
ay ax
y ax a
A) y x a
B) y x a
C) y a
x a
D) y a
x a
E) y
x
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 77 78
7. Efectuar:
nn
n
2
21
E indique como respuesta eldenominador
A)
n B)
n+1 C)
n–1D) n+2 E) 1
8.
Si:
2155
2
xy
N
y
x
Obtener el valor de “N”
A) xy B) 2xyC) 3xy D) 5xy
E) 6x2 y
9. Cumpliéndose que:
x x
P
x 333
12
Hallar “P”
A) 1 B) x–1 C) 1–x
D) 3x–1 E) 1–3x
10. Luego de reducir:
168
162
2
x x
x
Indique la suma de loselementos de la fracción
A)
x B)
2x C)
3x
D) 4x E) –x
CLAVES
1. B
2. C
3. C
4. B
5. A
6. B
7. A
8. C
9. B
10. B
PROFUNDIZANDO CONOCIMIENTOS
1. Simplificar:
3a
100a
a9a3a
100a20a.
30a7a
a27a 2
23
2
2
4
A) 10a3a
B) 10a3a
C) 3a
3a
D) 10a
3a
E) 1
2. Hallar el valor de E en laexpresión:
b2ax
ba2x
bx
axE
3
para2
bax
A) 1 B) a + b C) a – bD) (a – b)3 E) Cero
3. Simplificar
xybbybxaxyaabxy4baxy yxab
M222
22
A) ax + by B) ax – by
C) byax
byax
D) byax
byax
E) 1
4. Calcular el valor de laexpresión:
n2a
n2a
m2a
m2a
Cuando: nmmn4
a
A) 1 B) Cero C) 4mnD) m+n E) 2
5. Si:
bc2
acbx
222
;
22
22
acb
cbaz
Calcular:
xz1
zxE
A) Cero B) 1 C) a+b+cD) abc E)
abc
1
6. Reducir
a
b
b
a
1
babbaa
bab2ba2a3223
3223
A) (a+b) B) ab C) 1D) –1 E) Cero
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO COLEGIO PRE UNIVERSITARIO
Álgebra Álgebra 79 80
7. Efectuar:
a
b1
a
b1
.b4b3a
b9b2a
22
22
A) a + b B) a – b
C) ab D) 1E)
b
a
8. Simplificar:
x
x y
yx
y
y
x y
yx
x
A) x
y B)
y
x C) yx
x
D) yx
y
E) yx
xy
9. Si:1ab
1ax
;
1ab
aab y
Calcular:1 yx
1 yx
A) Cero B) a C) 1
D)
ab E)
ab+1
10. Cuánto le falta a2x
2x
para
ser igual a2x
2x
A) 1x
x8
B) 4x
x8
C) 1x
x8
D) 4x
x82
E) 4x
x82
CLAVES
1. A
2. E3. C
4. E
5. B
6. D
7. B8. B
9. E
10. C
ÍNDICE
PÁG.
T EORÍA DE EXPONENTES ................................................................................................ 7
POLINOMIOS ..................................................................................................................... 19
PRODUCTOS NOTABLES ................................................................................................... 29
DIVISIÓN ALGEBRAICA ................................................................................................... 38
COCIENTES NOTABLES .................................................................................................... 46
FACTORIZACIÓN ............................................................................................................... 57
M.C.D. Y M.C.M. – FRACCIONES..................................................................................... 69