Universidad Autnoma De Santo Domingo (UASD)
Facultad INGENIERIA Y ARQUITECTURA (FIA)EscuelaINGENIERA
INDUSTRIAL - (70701 - P-IIND)AsignaturaELECTROTECNIA GENERAL
IEM-202 Seccin02TemaALGEBRA FASORIALSustentadoresROLF RUCK POLANCO
DA5289MICHAEL DE JESUS ALMONTE CRUCETA 100060833ProfesorCARLOS
PERALTAFecha03/Marzo./2014_
NDICE
INTRODUCCIN3ALGEBRA
FASORIAL1-HISTORIA..................42-FASOR......................43-DEFINICION
DE ALGEBRA FASORIAL54-LEYES DE CIRCUITOS7 4.1- LEY DE OHM..7
4.2-LASLEYES DE KIRCHHOFF85-TRANSFORMADA FASORIAL86-TRANSFORMADA
FASORIAL INVERSA.87-ARITMTICA FASORIAL.88-REPRESENTACIN
FASORIAL89-FORMA POLAR.9 9.1-FORMA BINMICA.10 9.2- FORMA BINMICA A
POLAR.10 9.3- FORMA POLAR A FORMA BINMICA.11 9.3.1-SUMA Y RESTA DE
FASORES11 9.3.2-MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE FASORES.1110-DIAGRAMA
FASORIAL1111-EMPLEANDO UN MDULO Y UN NGULO;Y VICEVERSA.1212-RELACIN
ENTRE VOLTAJES Y CORRIENTES..1313-DOMINIO DE LA
FRECUENCIA1414-SERIE DE FOURIER1515-LOS FACTORES PROVIENEN DE LAS
SIGUIENTES RELACIONES: 1616-DISTINTOS FASORES DE VARIAS FUNCIONES
SENOIDALES EN EL TIEMPO..1717-CONCEPTO DE FASORES REPRESENTACIN
FASORIAL17CONCLUSION..21
INTRODUCCIN
En este trabajo nosotros pretendemos dejar un material claro y
entendible a todas las personas que se intereses por el campo de
los fasores. Teniendo en cuenta que un fasor es una representacin
grfica de un nmero complejo, este tiene utilidad en los campos de
la ptica, ingeniera de telecomunicaciones, electrnica y acstica.
Asimismo para los fasores se usan para resolver circuitos elctricos
en el tipo de corriente alterna (CA).En dicho material, veremos las
leyes bsicas elctricas que se pueden realizar en combinacin con los
fasores, como son: (ley de Ohm, leyes de Kirchoff). Definiremos
todas las herramientas de los fasores: transformada fasorial,
transformada fasorial inversa, aritmtica fasorial, serie de
Fourier.Aqu presentamos las formas que se pueden representar los
fasores; polar, binomica, de polar a binomica y viceversa. Tambin
presentaremos las principales operaciones que se pueden realizar
con fasores (suma, resta, multiplicacin y divisin. Todas estas
operaciones y herramientas con fasores sirven para resolver los ms
complejos circuitos elctricos.
ALGEBRA FASORIAL
1-HISTORIA
La historia del concepto de fasor es larga y legendaria. Dicho
concepto se utiliza en ingeniera elctrica desde hace muchsimo
tiempo. Pues ya el ingeniero Charles Steinmetz lo present en el
Congreso Elctrico Internacional de 1893. Steinmetz populariz el
fasor poniendo de manifiesto sus mltiples aplicaciones, por lo que
a principios del siglo XX se utilizaba ya universal-mente en el
estudio de los circuitos y sistemas de corriente alterna. Podemos
decir que el fasor nos acompaa desde que la ingeniera elctrica fue
reconocida como disciplina. Dicho de forma sencilla, el fasor
constituye otra manera de representar una sinusoide. Y dicho de
manera ms formal:El fasor es un nmero complejo que reprsenla la
amplitud y fase de una ond sinusoidal.
Diagrama vectorial de la impedancia de distintos elementos de un
circuito expresada de forma fasorial. El vector rojo es la
impedancia total en serie, suma de los otros tres fasores. Charles
Proteus Steinmetz (1865-1923), naci en Breslau, Alemania, y se educ
en dicho pas y en Suiza. Emigr en los Estados Unidos en 1889 y se
asoci a la General Electric Company en 1893, donde permaneci el
resto de su vida. Sus principales contribuciones a la naciente
ingeniera elctrica incluyeron el fenmeno de la histresis. El
concepto de impedancia y el empleo de cantidades complejas (ahora
llamadas fasores) para describir dispositivos y sistemas de
corriente alterna. Steinmetz se interes por una amplia gama de
cuestiones y public diversos trabajos no tcnicos. En uno de ellos,
publicado en 1918 y titulado America's Energy Supply, calcul los
lmites de la energa disponible para el consumo y sugiri que debera
mejorarse el rendimiento.
2-FASORPara las siglas de Frequency Addition Source of Optical
Radiation
Diagrama fasorial de laimpedanciade distintos elementos de un
circuito. El fasor rojo es la impedancia total en serie, suma de
los otros tres fasores.Unfasores una representacin grfica de
unnmero complejoque se utiliza para representar unaoscilacin, de
forma que el fasor suma de varios fasores puede representar
lamagnitudyfasede la oscilacin resultante de la superposicin de
varias oscilaciones en un proceso deinterferencia.Los fasores se
utilizan directamente enptica,Ingeniera de
Telecomunicaciones,ElectrnicayAcstica. La longitud del fasor da
laamplitudy el nguloentre el mismo y el eje-xlafase angular. Debido
a las propiedades de la matemtica de oscilaciones, en electrnica
los fasores se utilizan habitualmente en el anlisis rudimentario de
circuitos en AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para
describir el movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor
en los ejesxeytiene diferentes significados fsicos.Los fasores se
usan sobre todo para resolver visualmente problemas del tipo:
"existen varias ondas de la misma frecuencia pero fases y
amplitudes diferentes interfiriendo en un punto, cual es la
intensidad resultante?". Para solventar este problema, se dibuja un
fasor para cada una de las oscilaciones en dicho punto y despus se
aplica la suma fasorial (similar a lasuma vectorial) sobre ellos.
La longitud del fasor resultante es laamplitud de la oscilacin
resultante, y su longitud puede elevarse al cuadrado para obtener
laintensidad. Ntese que mientras que la suma de varias
oscilacionessinusoidalesno es necesariamente otra oscilacin
sinusoidal, la suma de varias oscilaciones sinusoidales de la misma
frecuencia s lo es, permitiendo leer la fase resultante como el
ngulo del fasor resultante
3-DEFINICION DE ALGEBRA FASORIAL
Una sinusoide u oscilacin sinusoidal est definida como una
funcin de la forma donde: yes la magnitud que vara (oscila) con el
tiempo es una constante (enradianes) conocida como el ngulo de fase
de la sinusoide Aes una constante conocida como la amplitud de la
sinusoide. Es el valor de pico de la funcin sinusoidal. es la
frecuencia angular dada pordondefes la frecuencia. tes el
tiempo.Esto puede ser expresado como
Donde: ies launidad imaginariadefinida como. En ingeniera
elctrica se usa "j" en lugar de "i" para evitar las confusiones que
se produciran con el mismo smbolo que se usa para designar la
intensidad de la corriente elctrica. da la parte imaginaria del
nmero complejo "Y".De forma equivalente, segn lafrmula de
Euler,
"Y", la representacin fasor de esta sinusoide se define de la
forma siguiente:
de forma que
As, el fasor Y es el nmero complejo constante que contiene la
magnitud y fase de la sinusoide. Para simplificar la notacin, los
fasores se escriben habitualmente ennotacin angular:
Dentro de laIngeniera Elctrica, el ngulo fase se especifica
habitualmente engrados sexagesimalesen lugar de en radianes y la
magnitud suele ser elvalor eficazen lugar del valor de pico de la
sinusoide.
Evolucin de dos magnitudes senoidales de la misma frecuencia y
de su suma en forma temporal y fasorial.
4-LEYES DE CIRCUITOS
Utilizando fasores, las tcnicas para resolver circuitos
decorriente continuase pueden aplicar para resolver circuitos
encorriente alterna. A continuacin se indican las leyes bsicas.4.1-
Ley de Ohmpara resistencias: Una resistencia no produce retrasos en
el tiempo, y por tanto no cambia la fase de una seal. Por
tantoV=IRsigue siendo vlida. Ley de Ohm para resistencias, bobinas
y condensadores:V=IZdondeZes laimpedanciacompleja. En un circuito
AC se presenta una potencia activa (P) que es la representacin de
la potencia media en un circuito y potencia reactiva (Q) que indica
el flujo de potencia atrs y adelante. Se puede definir tambin la
potencia complejaS=P+jQy la potencia aparente que es la magnitud
deS. La ley de la potencia para un circuito AC expresada mediante
fasores es entoncesS=VI*(dondeI*es elcomplejo
conjugadodeI).4.2-LasLeyes de Kirchhoffson vlidas con fasores en
forma compleja.Dado esto, se pueden aplicar las tcnicas de anlisis
de circuitos resistivos con fasores para analizar cicuitos AC de
una sola frecuencia que contienen resistencias, bobinas y
condensadores. Los circuitos AC con ms de una frecuencia o con
formas de oscilacin diferentes pueden ser analizados para obtener
tensiones y corrientes transformando todas las formas de oscilacin
en sus componentes sinusoidales y despus analizando cada frecuencia
por separado. Este mtodo, resultado directo de la aplicacin
delprincipio de superposicin, no se puede emplear para el clculo de
potencias, ya que stas no se pueden descomponer linealmente al ser
producto de tensiones e intensidades. Sin embargo, s es vlido
resolver el circuito mediante mtodos de superposicin y, una vez
obtenidos V e I totales, calcular con ellos la potencia.
5-TRANSFORMADA FASORIAL
La transformada fasorial o representacin fasorial permite
cambiar de forma trigonomtrica a forma compleja:
donde la notacinse lee como "transformada fasorial de X"La
transformada fasorial transfiere la funcin sinusoidal del dominio
del tiempo al dominio de los nmeros complejos o dominio de la
frecuencia.
6-TRANSFORMADA FASORIAL INVERSA
La transformada fasorial inversapermite volver del dominio
fasorial al dominio del tiempo.
7-ARITMTICA FASORIAL
Lo mismo que con otras cantidades complejas, el uso de la forma
exponencialpolarsimplifica las multiplicaciones y divisiones,
mientras que la formacartesiana(rectangular) simplifica las sumas y
restas.
8-REPRESENTACIN FASORIAL
La corriente alterna se suele representar con un vector girando
a la velocidad angular . Este vector recibe el nombre de fasor. Su
longitud coincide con el valor mximo de la tensin o corriente (segn
sea la magnitud que se est representando). El ngulo sobre el eje
horizontal representa la fase. La velocidad de giro est relacionada
con la frecuencia de la seal.
En corriente alterna se da que en muchas ocasiones, las
tensiones y corrientes presentan desfasajes entre s (distintas
fases en un determinado momento). En los diagramas fasoriales esto
se representa con un ngulo entre los fasores.
Los fasores pueden representarse mediante nmeros complejos,
teniendo una componente real y otra imaginaria. Si nicamente
queremos representar una seal alterna sin importar su fase respecto
de otra podemos considerarla formada nicamente por una parte real y
sin parte imaginaria. En este caso el ngulo es cero. Si en cambio
nos interesa el ngulo de fase (normalmente cuando lo estamos
comparando con otro fasor) lo indicamos segn corresponda.
El igual que en los nmeros complejos, los fasores pueden estar
representados en forma binmica y polar (existen otras como la
trigonomtrica y la exponencial, pero utilizamos las dos primeras).
En algunos casos nos conviene una forma de expresarlos y en otros
casos ser ms simple hacer cuentas con la otra forma.
9-FORMA POLAR
Los fasores suelen indicarse matemticamente tambin en forma
polar, es decir como un mdulo y un ngulo. Por ejemplo la
expresin:
V= 311sen(250t+) Se puede representar como un fasor de la
siguiente manera:
V=311V=250(para una f=50Hz)=45(o)
En forma polar se escribe como 311 (45) V.
9.1-FORMA BINMICA
Otra forma de expresar a un fasor o nmero complejo, es la forma
binmica, es decir como: a + j b siendo a la parte real y b la parte
imaginaria.
Con las relaciones trigonomtricas seno, coseno y tangente,
podemos calcular las componentes de la forma binmica (a y b) a
partir del mdulo del fasor y de su ngulo (forma polar) o bien
hallar el mdulo del fasor y su ngulo a partir de la forma
binmica.
9.2- FORMA BINMICA A POLAR
Si tenemos el fasor dado en forma binmica y queremos conocer el
mdulo, lo calculamos como la hipotenusa del tringulo. El ngulo se
calcula como el arco tangente del cateto opuesto sobre el
adyacente.
9.3- FORMA POLAR A FORMA BINMICA
Forma binmica = a + j b
9.3.1-Suma y resta de fasores
Para sumar o restar dos fasores es conveniente tenerlos en forma
binmica, por lo tantose hace la suma o resta componente a
componente.
9.3.2-Multiplicacin y divisin de fasores
Es ms simple hacerlas en forma polar. Se multiplican o dividen
los mdulos segn corresponde y se suman los argumentos (para el caso
de la multiplicacin) o se los resta (para el caso de la
divisin).
10-DIAGRAMA FASORIALUn fasor es una representacin grfica para un
nmero complejo, dibujado como un vector con un extremo en el centro
del diagrama (el mdulo es la longitud del vector), y un ngulo
medido en grados a partir de una referencia fija. La proyeccin de
este vector sobre el eje X se denomina la componente real, mientras
que la proyeccin del vector sobre el eje Y representa la llamada
componente imaginaria. Sus componentes conforman un tringulo
rectngulo (las componentes como catetos perpendiculares, junto con
el vector mismo como la hipotenusa) de forma tal que al aplicar
trigonometra simple podemos realizar el intercambio en la
representacin analtica desde la forma Rectangular, utilizando
diferenciadamente las componentes real e imaginaria, a la forma
Polar,
11-EMPLEANDO UN MDULO Y UN NGULO; Y VICEVERSA.
En este grfico se puede apreciar que, mientras el fasor gira los
360 grados del diagrama la seal sinusoidal esta es la base de la
representacin que nos facilita el diagrama fasorial, la rotacin del
vector representa el valor de la funcin en el tiempo. En un mismo
diagrama se pueden representar simultneamente los voltajes y las
corrientes en varios elementos de un circuito, de acuerdo con la
respuesta que tenga cada uno. Sin embargo, por razones de
conveniencia y simplicidad visual se recomienda que en un diagrama
fasorial se represente la respuesta de un circuito ante el estmulo
de fuentes sinusoidales que tengan slo una misma frecuencia. Si
hace falta resolver un caso que combine fuentes de varias
frecuencias es preferible aplicar el principio de superposicin y
hacer un anlisis por separado, para luego combinar los resultados.
Nos interesa estudiar la fase como un lapso entre la aplicacin y la
reaccin. Este tiempo se puede representar utilizando fasores si se
coloca un extremo del vector en el centro del diagrama y se rota el
segmento hasta que tenga un ngulo respecto a una referencia (puede
ser por ejemplo el semieje positivo de X) que sea proporcional al
tiempo. Para convertir los segundos en grados basta tomar como base
el tiempo de un perodo (inverso de la frecuencia) y relacionarlo
con un giro completo, de 360 grados o 2 radianes. Una fase es
simplemente un perodo. En el estudio de las seales elctricas, la
fase es el tiempo que ha transcurrido desde el momento que se
considera como el inicio, lo que se toma como referencia; lo que
ocurre entre la aplicacin del voltaje y la reaccin de la corriente
que circula por el elemento. Cuando se habla de una fase se hace en
alusin a una distancia medida en segundos o en grados. Tambin puede
ser la diferencia de tiempo entre la ocurrencia de dos seales. En
el anlisis de un circuito elctrico, ms importante que conocer el
ngulo de cada fasor, es conocer la fase o la distancia entre los
fasores.
12-RELACIN ENTRE VOLTAJES Y CORRIENTES
Veamos ahora el procedimiento de transformacin de un circuito
con elementos R, L y C a un diagrama de impedancias, y su
representacin con fasores.Cuando se aplica una diferencia de
potencial a un elemento circuital, la fase de su reaccin depende
enteramente de lo que le ocurre a la energa que lo atraviesa. Se
considera que hay tres tipos bsicos de reaccin en un circuito
elctrico, o una combinacin de ellos: los resistores, los
condensadores y los inductores. Los resistores son elementos
circuitales en los que la energa se transforma inmediatamente, pasa
de su forma elctrica a la forma calrica, lumnica, movimiento, u
otros, razn por la que usualmente se denominan elementos activos.
Los condensadores, al igual que los inductores son elementos que no
transforman la energa sino que la almacenan, en forma de campo
elctrico el primero y en forma de campo magntico el segundo. Se
denominan elementos reactivos, y de acuerdo con su naturaleza
tienen siempre una reaccin que no es inmediata, sino que se
desplaza en el tiempo. Es esta ltima dimensin, la temporal, es la
que hace tan til el uso de los fasores en electricidad.
13-DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Eldominio de la frecuenciaes un trmino usado para describir el
anlisis defunciones matemticasosealesomovimiento peridicorespecto a
sufrecuencia.Un grfico del dominio temporal muestra la evolucin de
una seal en el tiempo, mientras que un grfico frecuencial muestra
las componentes de la seal segn la frecuencia en la que oscilan
dentro de un rango determinado. Una representacin frecuencial
incluye tambin la informacin sobre el desplazamiento de fase que
debe ser aplicado a cada frecuencia para poder recombinar las
componentes frecuenciales y poder recuperar de nuevo la seal
original.El dominio de la frecuencia est relacionado con lasseries
de Fourier, las cuales permiten descomponer una seal peridica en un
nmero finito o infinito de frecuencias.El dominio de la frecuencia,
en caso deseales no peridicas, est directamente relaccionado con
laTransformada de Fourier.
14-SERIE DE FOURIER
Las primeras cuatro aproximaciones para una funcin peridica
escalonadaUnaserie de Fourieres unaserieinfinita que converge
puntualmente a unafuncin peridicaycontinuaa trozos (o por partes).
Las series de Fourier constituyen la herramienta matemtica bsica
del anlisis de Fourier empleado para analizar funciones peridicas a
travs de la descomposicin de dicha funcin en una suma infinita de
funciones sinusoidales mucho ms simples (como combinacin de senos y
cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemtico
francsJean-Baptiste Joseph Fourierque desarroll la teora cuando
estudiaba laecuacin del calor. Fue el primero que estudi tales
series sistemticamente, y public sus resultados iniciales
en1807y1811. Esta rea de investigacin se llama algunas vecesAnlisis
armnico.Es una aplicacin usada en muchas ramas de la ingeniera,
adems de ser una herramienta sumamente til en la teora matemtica
abstracta. reas de aplicacin incluyen anlisis vibratorio, acstica,
ptica, procesamiento de imgenes y seales, y compresin de datos. En
ingeniera, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a
travs del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una
seal dada, se puede optimizar el diseo de un sistema para la seal
portadora del mismo. Refirase al uso de un analizador de
espectros.Las series de Fourier tienen la forma:
Dondeyse denominancoeficientes de Fourierde la serie de Fourier
de la funcin
15-LOS FACTORES PROVIENEN DE LAS SIGUIENTES RELACIONES:
16-DISTINTOS FASORES DE VARIAS FUNCIONES SENOIDALES EN EL
TIEMPO
17-CONCEPTO DE FASORES REPRESENTACIN FASORIAL
Los valores instantneos que desarrolla una funcinsenoidal(funcin
matemtica seno) coinciden con los valores del cateto vertical del
tringulo que describeunvector giratoriollamadofasor. En Fig.
Podemos ver esta correlacin.
En vista de esta relacin, se deduce que una magnitudsenoidalse
puede representar mediante unfasorequivalente.De esta forma en los
circuitos de corriente alterna, las tensiones y corrientes se
representan mediante vectores giratorios (fasores), con las
siguientes normas: El mdulo de losfasoreses el valor eficaz de las
magnitudessenoidales. El ngulo entrefasoreses el desfase entre
lassenoidales. El convenio de nomenclatura que utilizaremos es el
siguiente V(t); I(t): ondasenoidalque depende del tiempo
V;Ifasorequivalente V; I:valoreficazEn los siguientes ejemplos
aclaramos esta representacin mediantefasores. Ejemplo 1
(Fig.):Tensin: 230 (V) de valor eficazIntensidad: 2 (A) de valor
eficaz; retrasada 30 respecto a la tensin
!!! Cuando unfasorretrasa con otro, debe girarse en sentido
horario.Ejemplo 2 (Fig.):Tensin: 230 (V) de valor eficazIntensidad:
6 (A) de valor eficaz; adelantada 60 respecto a la tensin.
!!! Cuando unafasoradelanta con otro, debe girarse en
sentidoantihorarioEjemplo 3 (Fig.):Tensin: 230 (V) de valor
eficazIntensidad: 10 (A) de valor eficaz; en fase.
CONCLUSION
Al culminar con este trabajo nos sentimos satisfechos, porque
sabemos que estamos entregando un material, que a partir de ahora
se podr convertir en una importante fuente de consulta, para todo
aquel que vaya a trabajar en el campo de los fasores. Pusimos todo
nuestros empeo para que este material fuera lo ms entendible
posible y tratando de resaltar de este la importancia del campo de
los fasores, para los avances en muchas reas de nuestras vida, que
se ven ms reflejado en los avances tecnolgicos. Tambin nos
preocupamos de que ms persona conozcan de dicho campo, ya que no es
de dominio pblico, sino de uso tcnico y profesionales de dicha rea
del saber.En este material pudimos resaltar el uso de los fasores,
sus diferentes herramientas y operaciones matemticas, la forma en
que lo podemos representar, su significado e importancia para el
mundo globalizado de hoy en da.Ya por ultimo esperando haber
llenado las expectativas de todo el que acuda a dicho material como
consulta, as como a nuestros compaeros de electrotecnia general de
la Universidad Autnoma de Santo Domingo (UASD), y por supuesto las
expectativas de nuestro maestro.
BIBLIOGRAFA
http://ingen.cajael.com/es/content/fasores
http://es.wikipedia.org/wiki/Fasor
http://www.ing.unlp.edu.ar/cys/DI/Alterna.pdf
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap1/cap1lec5/cap1lec5.htm
http://www.cifp-mantenimiento.es/e-learning/index.php?id=1&id_sec=5
http://prof.usb.ve/jmontene/pdf/Fasores.pdf
http://www.buenastareas.com/ensayos/Fasores/2025051.html