Algebra en Los Numeros Reales

�Álgebra en los números reales

Lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico se basa en el uso de letras y relaciones matemáticas para generalizar diferentes situaciones.

Ejemplos:

• El perímetro P de un cuadrado de lado a P = 4a.

• El área A de un cuadrado de lado a A = a2.

• El área A de un triángulo de base b y altura h

Cada una de las letras involucradas en las fórmulas anteriores es una variable; a cada variable se le pueden asignar diferentes valores.

En general, una variable es cualquier letra involucrada en una expresión algebraica.

Expresemos en lenguaje algebraico:

1. El doble de un número 2a, 2x, 2m, ...2. El triple de un número 3x, 3y, 3b, ...

3. La mitad de un número p2

, q2

, z2

, ...

4. El cuadrado de p p2

5. a aumentado en b a + b6. a disminuido en b a – b�. El producto entre a y b a • b

Si en alguna expresión no está especificado el término, podemos asignar cualquier variable para representar el enunciado, como se puede ver en los ejemplos 1, 2, 3 y 4.

CAPÍTULO 1

Algebraen los

números reales

A = b • h 2

1.1

Álgebra en los números reales�

En general,• Son múltiplos de a:

el doble 2ael triple 3ael cuádruple 4ael quíntuple 5a : :

• Son fracciones de a:

un medio (o la mitad)

un tercio (o la tercera parte)

un cuarto (o la cuarta parte)

un quinto (o la quinta parte) : :

• Son potencias de a:

el cuadrado a2

el cubo a3

la cuarta potencia (o a la cuarta) a4

la quinta potencia (o a la quinta) a5

: :

• Otras expresiones algebraicas:un número par 2nun número impar 2n – 1

Expresemos en lenguaje algebraico:

1. El doble de un número, aumentado en la mitad del mismo número.

Aquí el “número” no está determinado; asignémosle la variable x; nos queda:

2.El doble de a, aumentado en b 2a + b

3.El doble de a aumentado en b 2 (a + b)

Observe los ejemplos 2 y 3. ¿Cuál es la diferencia?

x2

2x +

a2

12

• a

a3

13

• a

a4

14

• a

a5

15

• a

o

o

o

o

Ejercicios resueltos

�Álgebra en los números reales

CAPÍTULO 1

4. La mitad de a más el triple de b. Aquí ya están asignadas las variables, son a y b. Nos queda:

5. El doble del cuadrado de a. 2 a2

6. El cuadrado del doble de a. (2a)2

Observe la diferencia entre los ejercicios 5 y 6.

7. La cuarta parte del triple del cuadrado de b. 3 b2

4

8. El triple de la cuarta parte del cuadrado de b.

3 ( )9. El cuadrado de la cuarta parte del triple de b.

( ) Observe las diferencias entre los ejercicios 7, 8 y 9.

10. La diferencia entre el quíntuple de x y la mitad de y.

11. La suma de tres números pares consecutivos. (2n) + (2n +2) + (2n + 4) o (2n – 2) + (2n) + (2n + 2)

Observe la diferencia entre ambas.

12. Tres impares consecutivos. 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3 2n + 1, 2n + 3, 2n + 5

Observe la diferencia entre ambas y exprese esos tres números de una manera distinta.

13. La semisuma entre a y b.

14. La semidiferencia entre a y b.

15. El producto entre un número y su antecesor. x (x – 1)16. El producto entre un número y su sucesor. x (x + 1)

a2

+ 3b

b2

4

3b 2 4

y2

5x –

a + b 2

a – b 2

Álgebra en los números reales10

Asigne variables y exprese en lenguaje algebraico:

1. La mitad de un número.

2. El triple de a, aumentado en el doble de b.

3. El doble del cociente entre a y b.

4. El cubo de la diferencia entre x e y.

5. La diferencia entre el cubo de x y el cuadrado de y.

6. El cuadrado de a equivale a la suma entre el cuadrado de x y el cuadrado de y.

7. La suma de tres números consecutivos es 213.

8. La suma de tres pares consecutivos es 16�.

9. El cubo del cuadrado de la diferencia entre x e y.

10. La cuarta parte del producto entre el cuadrado de a y el cubo de b.

11. El triple de un número equivale al doble del mismo número aumentado en 15.

12. El volumen de una esfera de radio r equivale al producto entre cuatro tercios de p y el cubo del radio.

13. La superficie de un rectángulo cuyos lados miden (a + 3) y (a – 3).

14. El volumen de un cubo de arista 2a – 1.

15. El volumen del paralelepípedo de la figura:

16. La superficie lateral del paralelepípedo de la figura.

17. La suma de los cuadrados de tres números consecutivos.

18. El cuadrado de la suma de tres números consecutivos.

Ejercicios

I.

11Álgebra en los números reales

CAPÍTULO 1

1.

2. 3a + 2b

3. 2

4. (x – y)3

5. x3– y2

6. a2 = x2 + y2

7. (a – 1) + a + (a + 1) = 213 a + (a + 1) + (a + 2) = 213

8. (2n – 2) + 2n + (2n + 2) = 16�

9. [(x – y)2]3

Definición: Se llama término (algebraico) a un conjunto de números y letras que se relacionan entre sí por medio de la multiplicación y/o división.

Ejemplo: 2a2b , 3ap , – 5

�x2y2z.

El término algebraico consta de un FACTOR NUMÉRICO, un FACTOR LITERAL y un GRADO.

El grado es la suma de los exponentes de las letras que aparecen en el término.

Ejemplo: En el término – 121� a6b4c2 el coeficiente numérico es

– 121�

; el factor literal es a6b4c2 y el grado es 12 (6+4+2).

Observación 1: Si el coeficiente numérico no está escrito, enton-ces es 1.

Observación 2: Si el grado no está escrito, entonces es 1.

Se llama expresión algebraica a cualquier suma o resta de térmi-nos algebraicos. Si la expresión tiene dos términos, entonces es un binomio; si tiene tres términos se llama trinomio; si tiene cuatro o más, hablamos de polinomios. (El término polinomio se puede usar en forma general para cualquier expresión algebraica.)

a2

ab

10.

11. 3x = 2x + 15

12. V = p • r3

13. S = (a + 3) (a – 3)

14. V = (2a – 1)3

15. V = 2a(2a + 3)(2a + 1)

16. S = 2(2a (2a + 3) + 2a(2a + 1))

17. x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2

18. [x + (x + 1) + (x + 2)]2

a2 • b3

4

43

Soluciones


I. Determine coeficiente numérico, factor literal y grado de los siguientes términos algebraicos:

Las expresiones algebraicas no representan valores en sí, sino que pueden ser evaluadas para distintos valores que se les asignen a las letras que las componen.

1. 3 ab

2. – 25

a

3. 0,02 a2b2

4. 17 p2q3z8

5. – 0,3 c

6. a

1. 3 ab

2. – 25

a

3. 0,02 a2b2

4. 17 p2q3z8

5. – 0,3 c

6. a

7. a2b

8. 3a2 b4

5

9. m12 n9

10. – x11 y4


1. El valor del monomio a2b cuando a = 2 y b = 5 es 22 • 5 = 20.

Reemplazamos directamente las letras a y b por los valores asignados; en este caso, 2 y 5, y realizamos las operaciones indicadas.

2. El valor del mismo monomio a2b cuando a = 3 y b = – 4 es:

32 • (– 4) = � • – 4 = – 36

3. Si x = – 2; y = 5 y z = 4, el valor de

2x + 3y – z es:

2 • – 2 + 3 • 5 – 4 =

– 4 + 15 – 4 = �

4. Si m es el doble de n, n es el cuadrado de p y p = 3, determinemos m y n:

Aquí tenemos: m = 2n; n = p2 y p = 3, entonces n = 32 = �

y m = 2n = 2 • � = 1�.

Así; n = � y m = 1�.

Ejercicios

1.2 Valorización deexpresiones algebraicas


CAPÍTULO 1

Si m = –2 y n = + 3,determine el valor de:

1. Si m + n = 3 y n = – 1, determine m.

2. Si m – 3 = 2p y p = – 2 determine m.

3. p + q – r = 12 , r – q = 5, determine p.

4. 2a – � = b y a = – 3, determine b.

5. 1 + 2a = b – 2 y a = – 2, determine b.

6. Si a es el doble de b, b es un tercio de c y c = 12, determine a y b.

7. Si m es la cuarta parte de p y p es el cuadrado de 2, determine m.

8. La mitad de a es 1. ¿Cuál es el valor de a?

9. La tercera parte del doble de m es 4. ¿Cuál es el valor de m?

10. Si p + q = 2r, q es el triple que p y p = 5, ¿cuál es el valor de r?

Si a = 3 y b = 2,determine el valor de:

Si x = 4, y = –2 y z = 5, determineel valor de:

1. 2 ab

2. a2 – b2

3. b2 – a2

4. a2 + ab + b2

5. – 2ab

6. a3 – b3

7. – b5

8. 1 + a + b + ab

9. a2 + b2 – a – b

10. a – b3

4– 6

1. 2 x + y + z

2. x – y – 2z

3. x + y – x + z

4. x x2 + y2 + z2

5. 1x

– 1y

6. 2 x2y – 2x z2

7. x2 – 1

8. z2 – 2 + z2 – 3

9. 3 – x yz + 2 – x yz

10. x2 – y4 + z5

1. 2 m – 3n

2. m – m2 – 2n

3. 1 + m

4. m2 – n2

5. m + n m – n

6. m2 + 2 mn+ n2

7. – 5 mn

8. 1m

– 1n

9. 1m– n

10. –1mn

II.

III.

IV.

V. Determine el valor de:


Reducción de términos semejantes y uso de paréntesis

Ejemplo 1. Son términos semejantes:

Ejemplo 2. No son términos semejantes:

Vemos que en el ejemplo 1, el factor literal de todos ellos es a2; por esta razón son todos semejantes.

En el ejemplo 2, en cambio, tenemos en los tres casos factores literales diferentes entre sí.

En una expresión algebraica sólo podemos reducir aquellos tér-minos que son semejantes y esto se efectúa sumando (o restando) los coeficientes numéricos y manteniendo el factor literal.

El uso de paréntesis es frecuente en álgebra. Sirve para separar expresiones algebraicas y se elimina de acuerdo con las siguientes reglas:

1. Si está precedido de un signo + o no tiene signo escrito, se elimina sin hacer ningún cambio.

2. Si está precedido de un signo – se elimina después de cambiar todos los signos de los términos del interior del paréntesis. (Es impor-

II. 1. 12 2. 5 3. – 5 4. 1� 5. – 12 6. 1� 7. –32 8. 12 9. � 10. –5

III. 1. – 13 2. – 12 3. – 1 4. – 5 5. –5 6. 1 7. 30 8. – 56

9. – 15

10. 16

IV. 1. 11 2. – 4 3. – � 4. 1�0 5. 34

6. – 264 7. 15 8. 45 9. �5 10. 1

V. 1. m = 4 2. m = – 1 3. p = 1� 4. b = – 15 5. b = – 1 6. a = � b = 4 7. m = 1

8. a = 2 9. m = 6 10. r = 10

a2, 2a2, –3a2, 0,5a2, a2

4

a2 b y ab2, –a y –a2, 2ab y ab2,

I. Coeficiente numérico

Factor literal

Grado

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

3. – 25

0,02 1� – 0,3 1 1 35

1�

– 14

ab a a2b2 p2q3z� c a a2b a2b4 m12n x11y

2 1 4 13 1 1 3 6 13 12

Soluciones

Definición: Se llaman términos semejantes aquellos que tienen el mismo factor literal (y por consiguiente el mismo grado); sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.

1.3


CAPÍTULO 1


tante hacer notar que al eliminar el paréntesis también se elimina el signo – que lo antecede.)

Si una expresión algebraica contiene paréntesis, es conveniente eliminarlo antes de proceder a reducir los términos semejantes.

1. a + 2a + 3a

Los tres términos de la expresión son semejantes; por lo tanto, suma-mos sus coeficientes numéricos y conservamos el factor literal:

a + 2a + 3a = 6a

2. 2a + 3b – 5a + 6b

Aquí los términos 2a y – 5a son semejantes entre sí y lo mismo ocurre con 3b y 6b; entonces los podemos agrupar entre sí y obtenemos:

2a + 3b – 5a + 6b = (2a – 5a) + (3b + 6b) = – 3a + �b

3. 3x6y – 5xy6 – �x6y – x6y + 11xy6

Agrupamos los términos según su semejanza y obtenemos:

(3x6y – �x6y – x6y) + (– 5xy6 + 11x y6) = – 5x6y + 6xy6

4. 5m + (3m – �n) – 2n

Antes de proceder a la reducción de términos es necesario eliminar el paréntesis; como éste está precedido de un signo +, lo eliminamos sin hacer cambios y obtenemos:

5m + 3m – �n – 2n = �m – �n

5. 3x2y – (x2y – 2xy2) + 3x2y

En este caso, al eliminar el paréntesis (y el signo que lo precede) debemos cambiar los signos de los términos del interior; nos queda:

3x2y – x2y + 2xy2 + 3x2y

(3x2y – x2y + 3x2y) + 2xy2 = 5x2y + 2xy2

6. a + a2 + a3 + a4

Aquí no es posible hacer ninguna reducción pues no existen términos semejantes.

Si en una expresión nos encontramos con paréntesis dentro de otros paréntesis, procedemos a eliminarlos desde dentro hacia afuera atendiendo a la misma regla.


11. a2

+ a3

+ a4

12. a2b5

– 2ab2

3+ 3ab2

2– 6a2b

5

13. m – m2

+ 2m3

– m4

14. 3a – b2

+ 3a – b5

15. 2p + 34

q – �p + 32

q

7. 2ab – [3a – (–2ab + 3a) – ab]

Eliminamos primero el paréntesis interior:

2ab –[3a + 2ab – 3a – ab]

Ahora eliminamos el exterior:

2ab – 3a – 2ab + 3a + ab

(2ab – 2ab + ab) + (– 3a + 3a) = ab

Reduzca las siguientes expresiones:

1. m + 2m

2. a + 2a + �a

3. m2 – 2m2 – �m2

4. 6x2y2 – 12x2y2 + x2y2

5. 3a – 2b – 5b + �a

6. a2 + b2 – 2b2 – 3a2 – a2 + b2

7. x2yz + 3xy2z – 2xyz2 – 3xy2z + xyz2 – x2yz

8. 2pq + 3p – 12q – 15q + �pq – 13p

9. 2x – 6y – 2x – 3y – 5y

10. 15a + 13a – 12b – 11a – 4b – b

11.

12.

13.

14.

15. 2p +

34

q – �p +

32

q

16. a + a2 + a3 + a4 – a – 2a2 + 3a3 – 4a4

17. 0,2 m – 0,02n + 1,0�m – 1,03n – m – n

18. 0,5x2y – 0,4xy2 + 0,3x2y – 0,2xy2 + x2y

19. 1,1�a – 2,15a – 3,25a + 4,141a

11. a2

+ a3

+ a4

12. a2b5

– 2ab2

3+ 3ab2

2– 6a2b

5

13. m – m2

+ 2m3

– m4

14. 3a – b2

+ 3a – b5

15. 2p + 34

q – �p + 32

q

11. a2

+ a3

+ a4

12. a2b5

– 2ab2

3+ 3ab2

2– 6a2b

5

13. m – m2

+ 2m3

– m4

14. 3a – b2

+ 3a – b5

15. 2p + 34

q – �p + 32

q

11. a2

+ a3

+ a4

12. a2b5

– 2ab2

3+ 3ab2

2– 6a2b

5

13. m – m2

+ 2m3

– m4

14. 3a – b2

+ 3a – b5

15. 2p + 34

q – �p + 32

q

Ejercicios

I.

1�Álgebra en los números reales

CAPÍTULO 1

Elimine paréntesis y reduzca los términos semejantes:

1. a + b + a – b

2. a + b + b – a

3. a – b + a + b

4. a – b – a + b

5. 2a – 2a – 3b – b

6. 3x + 2y – x – x – y

11. 3x + 2y – 2x – 3x – 2y – 3x – 2x – y

12. 3y – 2z – 3x – x – y – z – x – 2x

13. 12

a – 23

b – 34

a – 43

b

14. 15

a – 12

a – 23

a – a

7. 2m – 3n – – 2m + n – m – n

8. – a + b – c – – a – b + c + a – b + c

9. – x2 – y2 + 2x2 – 3y2 – x2 – 2x2 – 3y2

10. – – a – 2b – a + 2b – – a – 3b

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

II.

20 . 1 + x + xy – 2 + 2 x – 3 xy – 3 + 2 xy – 3 x

21 .15

m2n– 23

mn– 32

m2n +3

10m2 n –

83

mn

22 .274

p –356

q +14

p –16

q

23 . u2 + u v + v 2 – 2 u2 + 3 uv – v 2

24 .113

s–34

t+23

s–13

s–53

s+ t+14

t

25 . 0,117 a – 0 ,3 5b – 2 ,2 5b – 1 ,1b + 3,04 a

26 . 10 a + 5a2 – 1 3a3 – 2 a – 9 a3 + 1 6a2 + a

27 .16

pt –25

p –34

t+23

pt –35

p +74

t+16

pt

28 . x2yz – x y2z2 + x y2z2 – x 2y2z2

29 .34

a2 b –23

ab2 – a2 b – 3a b2 +12

ab2

30 . 0,7m –17

p – 0,04 m + 0,3p –34

p

Álgebra en los números reales1�

20. Si P = x2 + 3x – 2 y Q = 2x2 – 5x + �, obtenga P + Q.

21. Si P = 3x – x2 y Q = 3x2 – x, obtenga Q – P y P – Q.

22. Si M = 2a2 + 3a3 + a4 y N = a4 – 3a2 + 2a, obtenga M + N y M – N.

23. Si P = x3 – 5x2 – 1; Q = 2x2 – �x + 3 y R = 3x3 – 2x + 2, obtenga P + Q – R y P – (Q – R).

24. Si P = m6 + m3 – m; Q = m5 + 2m4 – 3m3 + 2m y N = m6 + m5 – 2m3 + m, obtenga P + Q – N y N – P.

25. Si A = ab + 2b; B = a – ab y C = a + b + ab, encuentre A + B + C ; A + B – C y A – (B + C).

26. Si P = a + b

2 y Q = a – b

2 , entonces encuentre el valor de P + Q.

27. Si P = 12

a – 13

b – 24

c y Q = 23

a + 32

b + 24

c, encuentre Q – P.

28. Si A = 2x3 + 3x2 – 2x + 5 y A + B = x3 – 3x2 + x – 4, encuentre B.

29. Si A = 3x3 – 2x2 + 5x – 1; B = 2x3 – 3x – 3 y A – B + C = x3 – 2x2 – 3x – 2, encuentre C.

30. Si P = 1 – x3; Q = 1 – x2; R = 1 – x, determine P – (Q + R + 3).

I. 1. 3m 2. 12a 3. – �m2 4. – 5x2y2 5. 12a – �b 6. – 3a2 7. – xyz2

8. �pq – 10p – 2�q 9. – 14y 10. 1�a – 1�b 11. 13a12

12. – a2b + 56

ab2

13. 11m12

14. �10

3a – b 15. – 5p + �4 q 16. – a2 + 4a3 – 3a4 17. 0,2�m – 2,05n

18. 1,�x2y – 0,6xy2 19. – 0.0�� a 20. – 4 21. – m2n – 103

mn 22. �p – 6q

23. – u2 + 4uv 24. �3

s + 12 t 25. 3,15�a – 3,�b 26. �a + 21a2 – 22a3

27. pt – p + t 28. x2yz – x2y2z2 29. – 14

a2b – 1�6

ab2 30. 3350

m –�3

140p

17. a – b – a2

– b2

+ a + b

18. 1 + a + b – 12

+ a3

+ b4

19. 114

x2 – 325

y2 – 154

x2 – 34

x2 – 125

y2 – 1225

y2 – �25

y2

15. 34

x + 25

y – x – 2y – 15

y – 23

x

16. a – a2

– b2

– b

17. a – b – a2

– b2

+ a + b

18.

19.

Soluciones


CAPÍTULO 1

Multiplicación de potencias.

La expresión an se llama potencia de base “a” y exponente “n”. Se cumple:

an • am = an + m

(an)m = an • m

a0 = 1 con a 0

(ab)n = an • bn

Multiplicación de 2 o más monomios.Multiplicamos los coeficientes numéricos y los factores literales

entre sí (hacemos uso de las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación).

Multiplicación de un monomio por un polinomio.Multiplicamos el monomio por cada término del polinomio (hace-

mos uso de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición).

Multiplicación de dos polinomios.Multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término

del segundo. Siempre que sea posible, es necesario reducir términos semejantes.

1. 2a 2. 2b 3. 2a 4. – 2b 5. 2b 6. 3x + y

7. 5m – 5n 8. a – b + c 9. 2x2+ y2 10. a – 3b 11. 5x + y 12. 4y – 3z – x

13. – 14

a + 23

b 14. –1�a30

15. 135

y – 1112

x 16. a2

+ b2

17. 3a2

+ b2

18. 12

+ 23

a + 34

b 19. – �4

x2 – y2 20. 3x2 – 2x + 5

21. Q – P = 4x2 – 4x

P – Q = 4x – 4x2

22. M + N = 2a4 + 3a3 – a2 + 2a

M – N = 5a2 + 3a3 – 2a

23. P + Q – R = -2x3 – 3x2 – 5x

P – (Q – R) = 4x3 – �x2 + 5x – 2

24. P + Q – N = 2m4

N – P = m5 – 3m3 + 2m

25. A + B + C = 2a + 3b + ab

A + B – C = b – ab

A – (B + C) = ab + b – 2a

26. P + Q = a

27. Q – P = 16

a + 116

b + c

28. B = – x3 – 6x2 + 3x – �

29. C = – 11x – 4

30. P – (Q + R + 3) = –x3 + x2 + x – 4

Multiplicación algebraica

II.

1.4



Efectúe las siguientes operaciones:

1. a6 • a� = a6 + � = a13

2. (ab)4 = a4 • b4

3. x5 • x� • x4 = x5 + � + 4 = x1�

4. 2a2 • 3ab = 2 • 3 • a2 • a • b = 6a3b

5. – 5x2 y4 • – 3x6 • – 2y6 = – 5 • – 3 • – 2 • x2 • x6 • y4 • y6 = – 30x� y10

6. – 4a2b (a2 + ab – b) = – 4a2b • a2 – 4a2b • ab – 4a2b • (– b)

= – 4a4b – 4a3b2 + 4a2b2

7. (3m5 – 2m4 – mp) • – 3m = 3m5 • (– 3m) – 2m4 • (– 3m) – mp • (– 3m)

= – �m6 + 6m5 +3m2p

8. (2x + y) (3x + 2y) = 2x (3x + 2y) + y (3x + 2y)

= 2x • 3x + 2x • 2y + y • 3x + y • 2y

= 6x2 + 4xy + 3yx + 2y2

= 6x2 + �xy + 2y2

1. a2 • a3

2. m3 • m4 • m5

3. x2 • x3 • x3

4. a • ab

5. xy • x2y

6. a • a2b • a3b2

7. 2a • ab6

8. 3xy2 • 5x2y3

9. 2m • 5n

10. ax • – axy

11. – 2x • 3xy • – 2x

12. – 3a2b • – 5abc • c4

13. �abc • – 2a2bc�

14. m2p • – m

15. abc • 2abc

16. 3x2y • x3y6 • – y

17. – 4abc • – 3a2b2 • 12ab5c�

18. 2pr • 3pr5 • pr2 • �p3r4

19. – 6x3 • – 6x3

20. – 2ax4 • – 3ax5 • – 3a2x4

21. an • an + 1

22. 2am • 3an

23. xp + 1 • xp – 1

24. p2x • p3x – 2 • px + �

25. 2a • 2a – 3 • – 2a – �

26. a2n – 3 • a3n – 2 • a2 – 3n

27. a2x – 5 • bx + 1 • a2x + 2 • bx – 1

(los términos 4xy y 3yx son semejantes, por lo tanto deben reducirse).

Ejercicios

I.


CAPÍTULO 1

28. pa • pa + 2 • q2a – 3 • q5 – 3a

29. ax – 4 • bx + 4 • c2x • ax • b2x • cx + 2

30. (ab)5 • a4 • b2

31. (mp)3 • (mp)2 • mp

32. (2x)x + 1 • (2x)x + 2 • (2x)x – 3

33. (m2n)5 • m5 • n6

34. (a2)3 • (a3)4 • a6

35. 2x • (2x)6a – 2 • (2x)3a + 4

36. 12

a3 • 13

a2 • 5a6

Monomio por polinomio:

1. 3a (a – 2b)

2. – 5x (2 – 3x2 – 5x)

3. �b (2a – b)

4. 3x2 (3x6 – 2x4 + x3 – 2x + 3)

5. – 6x5y3 (3x2y – 4xy4 – 2x2 y2)

6. (4xy – 5xy4) • – 6xy

7. (3m2 – 2mn + n6) • 13m4n2

8. – 15m2np4 (mn6p2 – m4n4p2 + mnp)

9. 6m2(2m – 5n) – 3m(6m2 + 4n)

10. p2q4(2pq – pq3 – 1) + 3p3q2 (q3 – q5 + p2)

11. – 3a6 b2(– ab3 + ab + a4b6) – 3a�b3(b2 – 1)

12. 20 abc(a + b – c)

13. a5b2 – a5(a2 – ab + b2)

14. 3x6y4(x2 + xy + y2)

15. – 3b(2ab + b2 + 5bc)

16. �a6b�c�(2abc – 5a2b + 4ab2c2 – abc3)

17. (x6y21 – 4xy11 – �x10y2) • – 3x6y2

18. 12

x 34

x – 23

y

19. – 13

a2 12

ab + 35

ab2

20. 34

x2y6 25

xy4 + 4xy2 – 1

36.

37. – 125

a4b2c� – 54

a2bc – 10 abc11 – 4ab2

– �3

x2y4 x2y3 – xy4 + y11

37. 23

b4 • 3�

b� • – 43

b4

38. –65

x3y2 • 154

x6y5

39. –��

a6b4 • 25

ab2c3 • – 34

a2b5c11

40. 0,1a6b�c4 • 0,02abc4 • 0,1a2b

41. 0,03a5b4 • 1,3a4b� • 2,�ab6

42. 0,5xyz4 • 2,1x2yz • – 3,1x6

43. 1,03a4b • – 1,3a3b4

44. 0,06m2n6p2 • 0,6mn6p4

45. 25

a6 • b12 • – 3a4b5 • 0,5a2b4

21. �3

p2q 14

pq – 15

pq3 + 2pq

22. – 1�

a2b3c6 abc – �a2b2c2

23. – 35

x6y2z4 1 – xyz4 + 23

x4y2z6

24. – 34

m�n2 14m6n – 23

mn4 – 2�

m6n2

25. 25

x2y x2y – xy2

26. – 12

a6b4c3 45

ab2 – 4�

a3b2 – 14

a

27. 0,03a6b2 (1 – a2b2 – 0,03ab3)

28. – 0,5m4n2 (– 0,5m6n – 2mn3 + 3,5mn3)

29. 0,0�a4b2 (100ab4 – 10ab3 – 2ab)

30. 1,2x6y11 (2,1xy� –1,1x2y2 + 2,1xy�)

31. 0,5abc (a2 – b2 – c2) + 4,�abc (a2 – b2 – c2)

32. – 2,2x6y3z (1,1xyz – 1,2x2y2z2 + 3xyz3)

33. 34

p2qr12 – 35

p2qr3 + 34

pqr6

34. – 25

m11n10p 10m2n – 35�

m6n2 + 2

35. – 1��

x�y6 1 – 34

x6y11 – 2�34

x6y�

II.


1. (x + y) ( x2 + y2) 18. (2p – 4) (2p + �)

2. (2a + b ) (3a – 2b) 19. (2x – 3y – 4z) (x + y + z)

3. (1 – x) (1 – y) 20. (x2 + y2 – z2)(2x – 3y – 4z)

4. (2x – 6y) (x2 – 2xy) 21. (a + 1) (an + an + 1 + an + 2)

5. (x2 + 3x2y) (– 3xy2 + 4xy3) 22. (a – 1) (an – 1 + an + an + 1)

6. (4x + y) (– 2x – 5xy) 23. (u – v) (u2 – 3uv + v2)

7. (6a – 5b) (2b + �a) 24. (x + y) (x2 + 2xy + y2)

8. (a + b + 1) (a – b) 25. (– 3x + y2) (x2 – xy – y)

9. (2a – 3ab + b2) (b – b2) 26. (2y + 3x) (x2 – xy + 2y2)

10. (5x2y + 2xy2 – 3xy) (x – y2) 27. (– 3x – 2y + z) (x + y – 3z)

11. (m2 + n2 – mn) (2m – 3n) 28. (x – y) (x2 + xy + y2)

12. (– 3xy – 2xy2) (xy2 – 5xy) 29. (x + y) (x2 – xy + y2)

13. (2p2q + 3pq11 – 5pq4) (– 3pq + 2p) 30. (a + b) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4)

14. (x2 + 1) (x2 – 1) 31. (a – b) (a3 + a2b + ab2 + b3)

15. (a + b) (a – b) 32. (x + y) (xn – 1 + xn – 2 + xn – 3)

16. (x + 4) (x – 6) 33. (p2 – q2) (pn – pnqn – qn)

17. (a2 + 5) (a2 + �)

I. 1. a5 2. m12 3. x� 4. a2b 5. x3y2 6. a6b3

7. 2a2b6 8. 15x3y5 9. 10 mn 10. – a2x2y 11. 12x3y 12. 15a3b2c5

13. – 14a3b2c� 14. – m3p 15. 2a2b2c2 16. – 3x5y� 17. 144a4b�c�

18. 42p6r12 19. 36x6 20. –1�a4x13 21. a2n + 1 22. 6am + n 23. x2p

24. p6x + � 25. – 23a – 12 26. a2n – 3 27. a4x – 3 b2x 28. p2a + 2 q2 – a

29. a2x – 4b3x + 4c3x + 2 30. a�b�

Efectúe las siguientes operaciones:III.

Soluciones


CAPÍTULO 1

III. 1. x3 + xy2 + x2y + y3 2. 6a2 – ab – 2b2 3. 1 – x – y + xy

4. 2x3 – 10x2y + 12xy2 5. – 3x3y2 – 5x3y3 + 12x3y4 6. – �x2 – 20x2y – 2xy – 5xy2

7. 42a2 – 23ab – 10b2 8. a2 – b2 + a – b 9. 2ab – 5ab2 + 3ab3 + b3 – b4

10. 5x3y – 5x2y3 + 2x2y2 – 2xy4 – 3x2y + 3xy3 11. 2m3 – 5m2n + 5mn2 – 3n3

12. �x2y3 + 15x2 y2 – 2x2y4 13. – 6p3q2 + 4p3q – �p2q12 + 6p2q11 + 15p2q5 – 10p2q4

14. x4 – 1 15. a2 – b2 16.x2 – 2x – 24 17. a4 + 12a2 + 35 18. 4p2 + 6p – 2�

19. 2x2 – xy – 3y2 – 2xz – �yz – 4z2

20. 2x3 – 3x2y – 4x2z + 2xy2 – 3y3 – 4y2z – 2xz2 + 3yz2 + 4z3

21. an + 2an+1 + 2an+2 + an+3 22. an+2 – an–1 23. u3 – 4u2v + 4uv2 – v3

24. x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 25 . – 3x3 + 3x2y + 3xy + x2y2 – xy3 – y3

26. 3x3 – x2y + 4xy2 + 4y3 27. – 3x2 – 5xy + 10xz – 2y2 + �yz – 3z2 28. x3 – y3

29. x3 + y3 30. a5 + b5 31. a4 – b4 32. xn + xn–1 + xn–2 + yxn–1 + yxn-2 + yxn–3

33. pn+2 – pn+2qn – p2qn – q2pn + qn+2pn + qn+2

31. m6p6 32. (2x)3x 33. m15n11 34. a24 35. (2x)�a + 3 36. 56

a11

37. – 13

b15 38. – �2

x�yy � x� y� 39. 4

15 a�b11c14 40. 0,0002a�b�c� 41. 0,1053a10 b1�

42. – 3,255x�y2z5 43. – 1,33�a�b5 44. 0,036m3n12p6 45. – 35 a12b21

II. 1. 3a2 – 6ab 2. –10x + 15x3 + 25x2 3. 14ab – �b2

4. �x� – 6x6 + 3x5 – 6x3 + �x2 5. –1�x�y4 + 24x6y� + 12x�y5

6. – 24x2y2 + 30x2y5 7. 3�m6n2 – 26m5n3 + 13m4n�

8. – 15m3n�p6 + 15m6n5p6 – 15m3n2p5 9. – 6m3 – 30m2n – 12mn

10. 5p3q5 – 4p3q� – p2q4 + 3p5 q2 11. – 3a10b� 12. 20a2bc + 20ab2c – 20abc2

13. – a� + a6b 14. 3x�y4 + 3x�y5 + 3x6y6 15. – 6ab2 – 3b3 – 15b2c

16. 14a�b�c10 – 35a�b�c� + 2�a�b10c11 – �a�b�c12

17. – 3x12y23 + 12x� y13 + 2�x16y4 18. 3�

x2 – 13

xy 19. – 16

a3b – 15

a3b2

20. 310

x3y10 + 3x3y�– 34

x2 y6 21. 23

p3q2 – �15

p3q4 + 163

p3q2

22. – 1�

a3b4c� + a4b5c� 23. 35

x6y2z4 – 35

x�y3z� + 25

x10y4z10

24. – 212

m13n3 + 12

m�n6 + 16

m13n4 25. 25

x4y2 – 25

x3y3

26. – 25

a�b6c3 + 2�

a�b6c3 + 1�

a�b4c3 27. 0,03a6b2 – 0,03a�b4 – 0,000�a�b5

28. 14

m10n3 + m5n5 – �4

m�n3 29. �a5b6 – 0,�a5b5 – 0,14a5b3

30. 2,52x�y20 – 1,32x�y13 + 2,52x�y1� 31. 5,3a3bc – 5,3ab3c – 5,3abc3

32. – 2,42x�y4z2 + 2,64x�y5z3 – 6,6x�y4z4 33. –�20

p4q2r15 + �16

p3q2r1�

34. – 4m13n11p + �4

m1�n12p – 45

m11n10p 35. –1��

x�y6 + 1�12

x14y1� + 32

x14y14

36. – �3

x4y� + �3

x3y� – �3

x2y15 37. 3a6b3c� + 24a5b3c1� + 4�5

a5b4c�


Dentro de la multiplicación algebraica existen algunos productos que pueden ser desarrollados en forma directa, es decir, sin multiplicar término a término primero, y luego reducir. Éstos son:

Cuadrado de un binomio.El desarrollo de este producto corresponde al cuadrado del primer

término, más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo y más el cuadrado del segundo, es decir:

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Suma por diferencia.Es igual a la diferencia de los cuadrados de los términos, es decir:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Producto de binomios con un término común.

Es el cuadrado del término común más el producto del término común por la suma de los términos no comunes y más el producto de los términos no comunes, o sea:

(x + a) (x + b) = x2 + x • (a + b) + ab

Cubo de un binomio.Corresponde al cubo del primer término, más (o menos) el triple

del cuadrado del primer término multiplicado por el segundo, más el triple del primer término multiplicado por el cuadrado del segundo y más (o menos) el cubo del segundo. Así:

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

Para obtener otras potencias de un binomio podemos determinar los coeficientes mediante el triángulo de Pascal, que se obtiene de la siguiente manera:

• Comienza y termina con 1.

• Cada coeficiente se obtiene sumando los dos correspondientes según el orden en la fila anterior.

• La primera fila corresponde a los coeficientes de (a + b)0

• La segunda fila corresponde a los coeficientes de (a + b)1

• La tercera fila corresponde a los coeficientes de (a + b)2

Así, la fila n-ésima nos entrega los coeficientes de (a + b)n – 1.Los factores literales se obtienen de la siguiente manera:

En (a + b)n debe haber (n + 1) términos.

El primer factor literal es an ; el segundo es an – 1 • b1 ; el tercero es an – 2 • b2 y así sucesivamente. El grado del término “a” decrece a medida que el grado de “b” aumenta hasta terminar en bn.

(Cada término se forma con el coeficiente numérico obtenido del triángulo de Pascal y el factor literal señalado más arriba).

Productos notables1.5


CAPÍTULO 1


1. (2 + x)2 = 22 + 2 • 2 • x + x2

= 4 + 4x + x2

2. (3a – 5b)2 = (3a)2 – 2 • 3a • 5b + (5b)2 = �a2 – 30ab + 25b2

3. (2x – y) (2x + y) = (2x)2 – y2

= 4x2 – y2

4. a2

+ 5y a2

– 5y = a2

2– 5y 2

= a2

4– 25y2

5. (x + �) (x + 5) = x2 + (5 + �)x + 5 • � = x2 + 13x + 40

6. (2a + 3) (2a – �) = (2a)2 + (3 – �) • 2a + 3 • – � = 4a2 – 4 • 2a – 21 = 4a2 – �a – 21

7. (p + 2)3 = p3 + 3 • p2 • 2 + 3 • p • 22 + 23

= p3 + 6p2 + 3p • 4 + � = p3 + 6p2 + 12p + �

8. (2t – r)3 = (2t)3 – 3(2t)2 • r + 3(2t) • r2 – r3 = �t3 – 3 • 4t2 • r + 6t • r2 – r3

= �t3 – 12t2r + 6tr2 – r3

9. (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

10. (2a + y)5 = 1(2a)5 + 5(2a)4 • y + 10 • (2a)3 • y2 + 10(2a)2 • y3 + 5(2a)y4 + 1 • y5

= (2a)5 + 5 • 16a4y + 10 • �a3y2 + 10 • 4a2y3 + 10ay4 + y5

= 32a5 + �0a4y + �0a3y2 + 40a2y3 + 10ay4 + y5

Representación geométrica de expresiones algebraicas.

A(ABCD) = (a+b) (a–b)

Tenemos A(EFGA) = A(HBCI)

\ A(ABCD) = A(EFGHIDA) que es a2 – b2

a•b

D

A

C

Bb

a

D

A

H

C

B

I

J

K

a•b b2

a•ba2a

b

a b

D

A

E F J

H B

CIa b

a–b

b

a–b b

b2

aG

a2

+ 5y a2

– 5y = a2

2– 5y 2

= a2

4– 25y2

a) La expresión a•b representa el área del rectángulo de lados a y b.

b) Observemos el cuadrado del binomio (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

c) Observemos el producto de una suma por su diferencia:


1. (u – v) (u + v)

2. (x + 2y) (x – 2y)

3. (3a – b) (3a + b)

4. (5x2 – 3y) (5x2 + 3y)

5. (2x – 3xy) (2x + 3xy)

6. (6a + 1) (6a – 1)

7. (�m2 – 3n) (�m2 + 3n)

8. (– 4a2b + 5b) (4a2b + 5b)

9. (– 6m2n3 – �m) (– 6m2n3 + �m)

10. (10a2 – 1) (10a2 + 1)

11. b2 – 12

b2 + 12

12. 2a3

– 5b 2a3

+ 5b

13. (2a + b) (2a – b) – (2a + b)2

Suma por diferencia.

14. (a + 5x) (a – 5x)

15. (– �x2 + 5xy) ( – �x2 – 5xy)

16. (–13n5p2 + 1) (13n5p2 + 1)

17. (1 – a) (1 + a) – (1 – 2a) (1 + 2a)

18. (x2 – 2xy) (x2 + 2xy) + (x2 + 2xy)2

19. (1 – w5) (1 + w5)

20. 34

p� – 25

q4 34

p� + 25

q4

21. abc2x

+ 4x abc2x

– 4x

22. (0,05x12 – 2) (0,05x12 + 2)

23. (6x5y2z3 – 1) (6x5y2z3 + 1)

24. 2p +q

42p –

q

4

25. (0,3x2y – 2z) (0,3x2y + 2z)

Cuadrado de binomio.

1. (x + y)2

2. (p – q)2

3. (2p + q)2

4. (3a + b)2

5. (2a – 3b)2

6. (x + 1)2

7. (a – 6)2

8. (x + �)2

9. (3p – 1)2

10. (x + 5)2

11. (6x – 5y)2

12. (2m – 1)2

13. (6x2y + 2x)2

14. (4pq – 3q)2

15. (�x2 – �y2)2

16. (�a2b + �ab6)2

17. (15x2y – 3xy2z6)2

18. (2a – 3b)2 + (3a – 5b)2

19. (11x – 5y)2 – (13x + 3y)2 + (x – 2y)2

20. a2

+ 2b2

+ 2a – b2

2

21. 3a – b5

2

22. 23

x2 – 35

yz2

23. (0,1a2 – 0,2abc)2

24. (1,5xy2 + 2,5x2y)2

25. 34

a2b3 – 35

ab62

Ejercicios

I.

II.


CAPÍTULO 1

1. (a + b)3 10. (1 – 3y)3

2. (p – q)3 11. (2 + 3t)3

3. (x + 2)3 12. (3a – 2x)3

4. (a – 3)3 13. (5a – 1)3

5. (t + 4)3 14. (3a2 – 2a)3

6. (2 – a)3 15. (t2 + t3)3

7. (2a – b)3 16. (1 + x4)3

8. (3a – 5b)3 17. (2t – 3a2)3

9. (2x + 3y)3 18. (u2 + 5v)3

Cubo de un binomio.

19. (3a2 – 2b) (3a2 – 5b)

20. (�a – 4) (�a + 11)

21. (6x2 – 2y) (6x2 – �y)

22. (4a2b – 3a) (4a2b + �a)

23. a4

– 2b a4

– 6b

24. 3a5

– 5b 3a5

+ �b

25. 3p

4+ 3q

3p

4+ q

1. (2a + b)4

2. (x – 2y)5

3. (a + b)6

4. (2a – 1)�

5. (3a + 2)6

6. x2

+y

2

4

7. (3a + 4)4

Otras potencias de binomios.

8. 12

+ a5

9. 2a3

– 3a4

10. (x + 1)5

19. 12

– a3

20. 12

x + 2y3

21. 23

a – 13

b3

22. 52

p + 32

q3

23. 110

m – 15

n3

24. a – a3

3

25. 12

t + 2t23

Producto de binomios con término común.

1. (a + 2) (a + 3)

2. (x + 5) (x + 4)

3. (t + 2 ) (t – 3)

4. (a + 5 ) (a – �)

5. (x – �) (x – 1)

6. (a – �) (a – �)

7. (x + 2) (x – 12)

8. (x + 3) (x + �)

9. (x – 4) (x – 6)

10. (x + 6) (x – 2)

11. (x – 3) (x – �)

12. (x – 13) (x + 2)

13. (a – �) (a + 12)

14. (x2 + 5) (x2 + 3)

15. (a2 – 3) (a2 + 4)

16. (2b + 5) (2b + �)

17. (6x – 3) (6x + 5)

18. (2a + 3b) (2a + 5b)

Representación geométrica de expresiones algebraicas.Investigar de qué manera se pueden representar como suma o resta de áreas los siguientes productos.

1. (a–b)2 = a2 – 2ab + b2

2. (x+a) (x+b) = x2 + (a+b)x + ab

3. (x–a) (x+b) = x2 + (b–a)x – ab

4. (x–a) (x–b) = x2 – (a+b)x + ab

5. (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

4

5

4

III.

IV.

V.

VI.


I. 1. x2 + 2xy + y2 2. p2 – 2pq + q2 3. 4p2 + 4pq + q2 4. �a2 + 6ab + b2

5. 4a2 – 12ab + �b2 6. x2 + 2x + 1 7. a2 – 12a + 36 8. x2 + 1�x + �1

9. �p2 – 6p + 1 10. x2 + 10x + 25 11. 36x2 – 60xy + 25y2

12. 4m2 – 4m + 1 13. 36x4y2 + 24x3y + 4x2 14. 16p2q2 – 24pq2 + �q2

15. �1x4 – 126x2y2 + 4�y4 16. 64a4b2 + 112a3b�+ 4�a2b12

17. 225x4y2 – �0x3y3z6 + �x2y4z12 18. 13a2 – 42ab + 34b2

19. – 4�x2 – 1�2xy + 20y2 20. 1�a2

4+ 1�b2

4 21. �a2 – 6

5ab + b2

25

22. 4�

x 4 – 45

x2yz + �25

y2 z2 23. 0,01a4 – 0,04a3bc + 0,04a2b2c2

24. 2,25x2y4 + �,5x3y3 + 6,25x4y2 25. �16

a4b6 – �10

a3b � + �25

a2 b12

II. 1. u2 – v2 2. x2 – 4y2 3. �a2 – b2 4. 25x4 – �y2 5. 4x2 – �x2y2

6. 36a2 – 1 7. �1m4 – �n2 8. 25b2 – 16a4b2 9. 36m4n6 – 4�m2

10. 100a4 – 1 11. b4 – 14

12. 4a2

�– 25b2 13. – 4ab – 2b2 14. a2 – 25x2

15. �1x4 – 25x2y2 16. 1 – 16�n10p4 17. 3a2 18. 2x4 + 4x3y 19. 1 – w10

20. �16

p14 – 425

q� 21. a2b2c2

4x2 – 16x2 22. 0,0025 x24 – 4 23. 36x10y4z6 – 1

24. 4p2 – q2

16 25. 0,0� x4y2 – 4z2

III. 1. a2 + 5a + 6 2. x2 + �x + 20 3. t2 – t – 6 4. a2 – 4a – 45

5. x2 – �x + � 6. a2 – 16a + 63 7. x2 – 10x – 24 8. x2 + 11x + 24

9. x2 – 10x + 24 10. x2 + 4x – 12 11. x2 – 11x + 24 12. x2 – 11x – 26

13. a2 + 5a – �4 14. x4 + �x2 + 15 15. a4 + a2 – 12 16. 4b2 + 2�b + 45

17. 36x2 + 12x – 15 18. 4a2 + 16ab + 15b2 19. �a4 – 21a2b + 10b2

20. �1a2 + 63a – 44 21. 36x4 – 54x2y + 14y2 22. 16a4b2 + 24a3b – 2�a2

23. a2

16 – 2ab + 12b2 24. �a2

25+ �ab

5 – 40b2 25.

�p2

16 + 3pq + 3q2

IV. 1. a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 2. p3 – 3p2q + 3pq2 – q3 3. x3 + 6x2 + 12x + �

4. a3 – �a2 + 2�a – 2� 5. t3 + 12t2 + 4�t + 64 6. � – 12a + 6a2 – a3

7. �a3 – 12a2b + 6ab2 – b3 8. 2�a3 – 135a2b + 225ab2 – 125b3

9. �x3 + 36x2y + 54xy2 + 2�y3 10. 1 – �y + 2�y2 – 2�y3

11. � + 36t + 54t2 + 2�t3 12. 2�a3 – 54a2x + 36ax2 – �x3

Soluciones


CAPÍTULO 1

13. 125a3 – �5a2 + 15a – 1 14. 2�a6 – 54a5 + 36a4 – �a3

15. t6 + 3t� + 3t� + t� 16. 1 + 3x4 + 3x� + x12 17. �t3 – 36t2a2 + 54ta4 – 2�a6

18. u6 + 15u4v + �5u2v2 + 125v3 19. 1�

– 34

a + 32

a2 – a3

20. 1�

x3 + 32

x2y + 6xy2 + �y3 21. �2�

a3 – 4�

a2 b + 2�

ab2 – 12�

b3

22. 125�

p3 + 225�

p2 q + 135�

pq2 + 2��

q3 23. 11.000

m3 – 3500

m2 n + 3250

mn2 – 1125

n3

24. �2�

a3 25. 1�

t3 + 32

t4 + 6 t5 + � t6

V. 1. 16a4 + 32a3b + 24a2b2 + �ab3 + b4

2. x5 – 10x4y + 40x3y2 – �0x2y3 + �0xy4 – 32y5

3. a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

4. 12�a� – 44�a6 + 6�2a5 – 560a4 + 2�0a3 – �4a2 + 14a – 1

5. �2�a6 + 2.�16a5 + 4.�60a4 + 4.320a3 + 2.160a2 + 5�6a + 64

6. x4

16+

x3 y

4+

3x2 y2

�+

xy3

4+

y 4

167. �1a4 + 432a3 + �64a2 + �6�a + 256

8. 132

+ 516

a + 54

a2 + 52

a3 + 52

a4 + a5

9. 2.401

�1a4

10. x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1

Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos) consiste en escribirla en forma de multiplicación. Veremos los siguien-tes casos:

1.6.1 Factor común (monomio y polinomio)

Aquí, todos los términos de la expresión presentan un factor común, que puede ser un monomio o un polinomio, por el cual se factoriza, es decir, el término común es uno de los factores de la multiplicación. El otro se determina aplicando la multiplicación algebraica.

Factorización1.6



1. Factoricemos la expresión 2a + 6a2

Vemos que el término 2a está contenido en ambos términos del binomio que queremos factorizar; por lo tanto, 2a es el factor común y escribimos 2a + 6a2 = 2a (1 + 3a).

El segundo factor se obtiene buscando los términos por los cuales hay que multiplicar el factor común (2a) para obtener los términos de la expresión original.

2. Factoricemos la expresión 6xy2 – 15x2 y + 21x2 y2

El coeficiente numérico contenido en los tres términos de la expre-sión es el tres y el factor literal es xy; por lo tanto, el factor común es 3xy. Y escribimos:

6xy2 – 15x2y + 21x2y2 = 3xy (2y – 5x + �xy).

3. Factoricemos la expresión 5a6

3b2– 10a2

21b– 20a3

�b4

El término o factor común de los numeradores es 5a2 y el de los denominadores es 3b; por lo tanto, el factor común de la expresión

es: 5a2

3b y escribimos:

5a6

3b2– 10a2

21b– 20a3

�b4= 5a2

3b a4

b– 2

�– 4a

3b3

4. Factoricemos la expresión m (2a + b) – 3n (2a + b).

Aquí podemos considerar el paréntesis (2a + b) como un solo tér-mino y podemos factorizar por él. Entonces nos queda:

m (2a + b) – 3n (2a + b) = (2a + b) (m – 3n)

5. Factoricemos la expresión a (p – q) – p + q

Aquí no encontramos un término común en forma inmediata, pero podemos hacer una asociación adecuada y nos queda:

a (p – q) – p + q = a (p – q) – (p – q) = (p – q) (a – 1)

Observación 1: El proceso está completo si no es posible seguir facto-rizando dentro de los paréntesis (o factores) obtenidos.

Observación 2: Por la propiedad conmutativa de la multiplicación no importa el orden en que se entregue el resultado.


CAPÍTULO 1

Factorice las siguientes expresiones:

1. m2 + 3m

2. a2 + ab

3. 3a – 12ab

4. a2b2 + a3b3 – ab

5. 2pq2 – 3p2q

6. 6x2y5 – 12x2y6 – 1�x3y4

7. 2ab + 2ac + 2ad

8. 26x2y6 – 13x6y2

9. x2y2 – xy

10. 21a6 – 14a5 + 56a�

11. a + a2 + a3 + a4

12. 3a2b – 6a3b – 12ab3

13. 15mn – 10m

14. 2q + 2q2 + 2q6

15. 10q5 – 30pq5 – 15pq6

16. 1�gh5 – 4g2h2 – �g3h3

17. �y6x2 – 35yx4 – 2�y4

18. 2 – 2x

19. a + a2

20. a6 – �a5 – 5a4

21. 4m5r6 – 6m4r5 – 16m5r3

22. a2b2c6 – a3b5c2 + a�b3c2

23. x2 – x2y2 – x2y3 + x2y4

24. 2xyz – 2xy

25. 6a + 36a6

26. t� + t� + t5

27. 12ab6 – 12ab5

28. x6y�z12 + x6y�z6 + x5y�z10

29. a2

2– a3

2– a4

2

30. 3a

b+ 12a

b2– 21a

b3

31. p2q2

2ab+ pq

2ac+ p3q3

2abc

32. c5

5– c4

10– c3

15

33. a2b2

x+ a3b3

x2– a2b2

x3

34. m20

20+ m10

10– m5

5

35. – p2q + 2pq2

36. 3 (a – 2) – a (a – 2)

37. a (x + 4) + b (x + 4) + c (x + 4)

38. x (z2 + a2) + 2 (z2 + a2)

39. m (a – c) + a – c

40. m (a – c) – a + c

41. a (x2 + y2 + z2) – x2 – y2 – z2

42. 2a – b + 3a (2a – b)

43. a + ax + ax2

44. c (3 – 5c) – 2d (3 – 5c)

45. a2 + c2

2b– a2 + c2

2q– a2 – c2

46. 3x (2x – y) – 2x + y

47. (a + b) (a + c) – (a + b ) (a + d)

48. (1 + a) (x – y) – (x – y)2

49. (a2 + 6) (a2 + b) + a (a2 + b)

50. (2 + a + c) (a – c) + (2 + a + c) (b – d)

51. x2 + y2 + z2 + 2a (x2 + y2 + z2)

52. a (b + x) + b (b + x) + c (b + x)

53. 2

15a – 4

5ab – 16

25abc

54. m (x + y – z) – n (x + y – z) – p (x + y –z)

55. 34

a2b – 32

a2 b2 – 3�

a2 b3

56. x2 + y2

�a– x2 – y2

Ejercicios



38. (x + 2) (z2 + a2)

39. (a – c) (m + 1)

40. (a – c) (m – 1)

41. (x2 + y2 + z2) (a – 1)

42. (1 + 3a) (2a – b)

43. a (1 + x + x2)44. (3 – 5c) (c – 2d)

45. a2 + c2 12b

– 12q

– 1

46. (2x – y) (3x – 1)

47. (a + b) (c – d)

48. (x – y) (1 + a – x + y)

49. (a2 + b) (a2 + 6 + a)

50. (2 + a + c) (a – c + b – d)

51. (x2 + y2 + z2) (1 + 2a)52. (b + x) (a + b + c)

53. 25

a 13

– 2b – �bc5

54. (x + y – z) (m – n – p)

55. 32

a2 b 12

– b – 14

b2

56. x2 + y2 1�a

– 1

1. m (m + 3)

2. a (a + b)

3. 3a (1 – 4b)

4. ab (ab + a2b2 – 1)

5. pq (2q – 3p)

6. 6x2y4 (y – 2y2 – 3x)

7. 2a (b + c + d)

8. 13x2y2 (2y4 – x4)

9. xy (xy – 1)

10. �a5 (3a – 2 + �a2)

11. a (1 + a + a2 + a3)

12. 3ab (a – 2a2 – 4b2)

13. 5m (3n – 2)

14. 2q (1 + q + q5)

15. 5q5 (2 – 6p – 3pq)

16. 2gh2 (�h3 – 2g – 4g2h)

17. �y (y5x2 – 5x4 – 4y3)

18. 2 (1 – x)

19. a (1 + a)

20. a4 (a2 – �a – 5)

21. 2m4r3 (2mr3 – 3r2 – �m)

22. a2b2c2 (c4 – ab3 + a5b)

23. x2 (1 – y2 – y3 + y4)

24. 2xy (z – 1)

25. 6a (1 + 6a5)

26. t5 (t4 + t3 + 1)

27. 12ab5 (b – 1)

28. x5y�z6 (xyz6 + x + z4)

29. a2

21 – a – a2

30. 3ab

1 + 4

b– �

b2

31. pq2a

pqb

+ 1c

+ p2 q2

bc

32. pq

2a

pq

b+

1

c+

p2 q2

bc

33. a2 b2

x 1 + abx

– 1x2

34. m5

5m15

4+ m5

2– 1

35. pq (–p + 2q)

36. (a – 2) (3 – a)

37. (x + 4) (a + b + c)

1. Factoricemos: ac + ad + bc + bd

Si observamos, vemos que el primer y el segundo término tienen el factor común “a” y el tercer y el cuarto término tienen “b” como factor común. Asociamos y factorizamos por parte:

ac + ad + bc + bd = (ac + ad) + (bc + bd) = a(c + d) + b(c + d)

1.6.2 Factor común compuesto

Muchas veces, no todos los términos de una expresión algebraica contienen un factor común, pero haciendo una adecuada agrupación de ellos podemos encontrar factores comunes de cada grupo. Veremos, con ejemplos, cómo procederemos en estos casos.

Soluciones


CAPÍTULO 1

Ahora nos queda (c + d) como factor común, por lo tanto, la expre-sión original queda factorizada como sigue:

ac + ad + bc + bd = (c + d) (a + b)

2. Factoricemos: ax + bx + cx – ay – by – cy

Aquí podemos asociar el primer y el cuarto término, el segundo y el quinto, el tercero y el sexto y nos queda:

ax + bx + cx – ay – by – cy = (ax – ay) + (bx – by) + (cx – cy)

= a(x – y) + b(x – y) + c(x – y)

= (a + b + c) (x – y)

3. Factoricemos: ax + bx + cx + ay + by + cy – az – bz – cz

Asociemos en el orden natural los tres primeros, los tres siguientes y los tres últimos:

ax + bx + cx + ay + by + cy – az – bz – cz = (ax + bx + cx) + (ay + by + cy) – (az + bz + cz) = x(a + b + c) + y (a + b + c) – z(a + b + c) = (a + b + c) (x + y – z)

• Observación: La forma de asociar no es única, pero la factorización sí lo es.

En el primer ejemplo podríamos haber asociado el primer y el tercer término y el segundo con el cuarto y el resultado habría sido el mismo.

12. 3 + 15z + 4y + 20yz

13. a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2

14. 3ax3 – 2bx3 – 3ay3 + 2by3

15. 1 + b + a + ab

16. a2x2y2 + b2x2y2 – 2a2 – 2b2

17. abc – 2abcz – xy + 2xyz

18. bd – 3bf + 2cd – 6cf

19. xp + 2xq – 2yp – 4yq + 4zp + �zq

20. 4 + 2c + 2d + 2a + ac + ad + 2b + bc + bd

21. a2x2 + x2y2 – x2b + a2y2 + y4 – y2b – a2 – y2 + b


1. ac + ad + bc + bd

2. ax – ay + bx – by + cx – cy

3. pc + qc + pd + qd

4. rt + rv – st – sv

5. 2ac – ad + 2bc – bd

6. xu – xv – yu + yv

7. 2au + 2av – 3bu – 3bv

8. 3a2x + 3a2y + b2x + b2y

9. 2ac – 2ad + 3bc – 3bd

10. x + y + ax + ay

11. 2a – 2b + ax – bx

Ejercicios


1.6.3 Diferencia de cuadrados

Recordemos que el producto de una suma de dos términos por su dife-rencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos.

Aplicamos este resultado en las factorizaciones de la página siguiente:

1. (a + b) (c + d)2. (a + b + c) (x – y)3. (p + q) (c + d)4. (r – s) (t + v)5. (a + b) (2c – d)6. (x – y) (u – v)7. (2a – 3b) (u + v)8. (3a2 + b2) (x + y)9. (2a + 3b) (c – d)

10. (1 + a) (x + y)11. (2 + x) (a – b)12. (3 + 4y) (1 + 5z)13. (a2 + b2) (c2 + d2)14. (x3 – y3) (3a – 2b)15. (1 + a) (1 + b)16. (x2y2 – 2) (a2 + b2)17. (abc – xy) (1 – 2z)

22. a2x2 + b2x2 + c2x2 + a2y2 + b2y2 + c2y2

23. 12ac – 6ad – 2bc + bd

24. aq – ar + bq – br

25. u + au – v – av – w – aw

26. 2ax – 2ay – bx + by

27. 3am2 – 3at2 – 5b2m2 + 5b2t2

28. x – y + 2ax – 2ay + 3bx – 3by

18. (b + 2c) (d – 3f)19. (x – 2y + 4z) (p + 2q)20. (2 + a + b) (2 + c + d)21. (x2 + y2 – 1) (a2 + y2 – b)22. (x2 + y2) (a2 + b2 + c2)23. (6a – b) (2c – d)24. (a + b) (q – r)25. (u – v – w) (1 + a)26. (2a – b) (x – y)27. (3a – 5b2) (m2 – t2)28. (1 + 2a + 3b) (x – y)29. (p2 + 2q + r) (p2 + q2 + r2)30. (x + 2y – z) (a – b – c)31. (a2 + b2 + 1) (u – v)32. (2 + x + y) (2 – a – b)33. xy (xy – 1) (w2 – z2)34. (a + 2b + 3c) (x – y)35. (2x – y – z) (a + b)

NOTA:Los ejercicios señalados con * son posibles de factorizar aún más con los métodos que veremos a continuación.

29. p4 + p2q2 + p2r2 + 2p2q + 2q3 + 2qr2 + p2r + q2r + r3

30. ax – bx – cx + 2ay – 2by – 2cy – az + bz + cz

31. a2u – a2v + b2u – b2v + u – v

32. 4 – 2a – 2b + 2x – ax – bx + 2y – ay – by

33. x2y2w2 – x2y2z2 – xyw2 + xyz2

34. ax + 2bx + 3cx – ay – 2by – 3cy

35. 2ax + 2bx – ay – by – az – bz

*

*

*

Soluciones


CAPÍTULO 1


1. Factoricemos a2 – b2

Observamos que a2 y b2 son los cuadrados de a y b, respectiva-mente.

Así: a2 – b2 = (a + b) (a – b)

2. Factoricemos �m2 – 16p2

�m2 es el cuadrado de 3m y 16p2 es el cuadrado de 4p.

Entonces : �m2 – 16p2 = (3m + 4p) (3m – 4p)

3. Factoricemos 1

a2– 25

4b2

Usando el mismo razonamiento anterior vemos que la expresión

se factoriza: 1

a2– 25

4b2= 1

a+ 5

2b1a

– 52b

4. Factoricemos 6a2 – 24m4

En este ejemplo podemos factorizar primero por 6 (factor común monomio).

6a2 – 24m4 = 6 (a2 – 4m4)

y ahora, el término (a2 – 4m4) es exactamente una diferencia de cuadrados y por lo tanto la factorización correspondiente es:

6a2 – 24m4 = 6 (a2 – 4m4) = 6 (a – 2m2) (a + 2m2)

• Observación: No es importante el orden en que uno presente los factores, puesto que la multiplicación es conmutativa, es decir:

(a + b) (a – b) = (a – b) (a + b)


1. x2 – y2

2. a2 – 4b2

3. �m2 – 16n2

4. �a2 – 25p2

5. x2 – 0,01y2

6. 100a2 – 64b6

7. m2n2 – p2

8. m4n6 – z2

9. a2b2 – c2d2

10. 1 – x10

11. – b6 + a4

12. – 1 + a2

13. a5 – a3

14. �a4 – 2b2

15. p2q3 – q

16. 4�a2b4c6 – 121m6n10

17. 12a6 – �5b�

18. 45m6 – �0p�

19. 2�x4 – 4�y2

20. x2a – y2b

21. m2an2b – 1

22. 25n16 – 16m4

23. 40 – �0a4

24. – 24m2 + 54n12

25. m6n4p12 – a2b2c2

26. 2x2 – �y2z6

27. a10 – 100b10

28. 144b10 – 121c6

29. �1c4 – �d4

30. 225 – a2

Ejercicios


1. (x + y) (x – y) 2. (a + 2b) (a – 2b) 3. (3m + 4n) (3m – 4n)

4. (3a – 5p) (3a + 5p) 5. (x – 0,1y) (x + 0,1y) 6. (10a – �b3) (10a + �b3)

7. (mn + p) (mn – p) 8. (m2n3 – z) (m2n3 + z) 9. (ab – cd) (ab + cd)

10. (1 – x5) (1 + x5) 11. (a2 – b3) (a2 + b3) 12. (a – 1) (a + 1)

13. a3(a – 1) (a + 1) 14. 2 (2a2 – b) (2a2 + b) 15. q (pq – 1) (pq + 1)

16. (�ab2c3 – 11m3n5) (�ab2c3 + 11m3n5) 17. 3 (2a3 – 5b4) (2a3 + 5b4)

18. 5 (3m3 – 4p4) (3m3 + 4p4) 19. 3 (3x2 – 4y) (3x2 + 4y) 20. (xa – yb) (xa + yb)

21. (manb – 1) (manb + 1) 22. (5n� – 4m2) (5n� + 4m2) 23. 10 (2 – 3a2) (2 + 3a2)

24. 6 (3n6 – 2m) (3n6 + 2m) 25. (m3n2p6 – abc) (m3n2p6 + abc)

26. 2 (x – 2yz3) (x + 2yz3) 27. (a5 – 10b5) (a5 + 10b5)

28. (12b5 – 11c3) (12b5 + 11c3) 29. � (3c2 – d2) (3c2 + d2) 30. (15 – a) (15 + a)

31. 1y + 11 1

y – 11 32. (x4y – �ab2c3) (x4y + �ab2c3)

33. 4 (2x2 – y�) (2x2 + y�) 34. 12ab

– 53xy

12ab

+ 53xy

35. 6 (2x4 – 1) (2x4 + 1)

36. 35m3

2– 3n

5

5m3

2+ 3n

5 37. 1a

– 1b

1a

+ 1b

38. 25

2a2

3b– 1 2a2

3b+ 1

39. 2 (4m5 – 3p2q3) (4m5 + 3p2q3) 40. 1ab

– ab 1ab

+ ab 41. (x – y) (x + y –a)

42. 5x2 – 15

5x2 + 15

43. m6

c– n5

d2

m6

c+ n5

d2 44. a6 + 1

3b3a6 – 1

3b3

45. 2x3

– 5y3

2x3

+ 5y3 46. (a + b) (a – b – 2) 47. (p – q) (p + q – r)

48. (a – b) (a+ b + c) 49. (m + n) (m – n – p) 50. q (r – qs) (r + qs)

44.

45. 4

x6– 25

y6

46. a2 – b2 – 2a – 2b

47. p2 – q2 – rp + rq

48. a2 + ac – b2 – bc

49. m2 – n2 – pm – pn

50. qr2 – q3s2

38. �a4

45b2– 2

5

39. 32m10 – 1�p4q6

40. 1

a2 b2– a2 b2

41. x2 – y2 – ax + ay

42. 25x4 – 125

43. m12

c2– n10

d4

31. – 121+ 1

y2

32. – 64a2b4c6 + x�y2

33. 16x4 – 4y16

34. 1

4a2 b2– 25

�x2y2

35. 24x� – 6

36. �5m6

4– 2�n2

25

37. 1

a2– 1

b2

a12 – 1�b6

Soluciones


CAPÍTULO 1


1.6.4 Trinomios ordenados

En general, los trinomios pueden proceder:

• De la multiplicación de un binomio por sí mismo (o un cuadrado de binomio); por ejemplo:

(a + �)2 = a2 + 14a + 4�

• De la multiplicación de dos binomios con un término común; por ejemplo:

(a + 2) (a + 6) = a2 + �a + 12

• O de la multiplicación de dos binomios de términos semejantes:

(2x + 1) (x + 2) = 2x2 + 5x + 2

Con estas consideraciones, resolvamos los ejercicios presentados a continuación:

1. Factoricemos x2 + 10x + 25

Observamos que el primer término (x2) y el último (25) son los cuadrados de x y 5, respectivamente, y además el término central (10x) corresponde al doble del producto de x y 5; entonces la expresión es un cuadrado de binomio y así:

x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

2. Factoricemos a2 – �a + 16

Usando el mismo razonamiento anterior, observamos que el trino-mio corresponde al cuadrado del binomio (a – 4) y escribimos:

a2 – �a + 16 = (a – 4)2

El signo del término central del trinomio indica el signo que corres-ponde al segundo término del binomio.

3. Factoricemos y2 + 13y + 36

Aquí vemos que tanto el primer término como el tercero correspon-den a cuadrados exactos (de “y” y de 6, respectivamente), pero el término central (13y) no corresponde al doble del producto entre “y” y 6 (es decir, a 12y); en este caso, el trinomio puede corres-ponder al producto de dos binomios con un término común, que sería “y”.

Definición: Llamamos trinomio ordenado (según el grado) a una expresión de la forma ax2 + bx + c, donde a, b, c, y x representan números reales.


Buscamos entonces dos números cuyo producto sea igual a 36 (el último término del binomio) y el producto del término común (y) por la suma de estos números sea igual al término central (13y). Los números son + � y + 4.

En efecto: + � • + 4 = 36 y � + 4 = 13

Entonces: y2 + 13y + 36 = (y + �) (y + 4).

4. Factoricemos a2 – 2a – 4�

Descartamos la posibilidad de cuadrado de binomio pues el último término (– 4�) no es cuadrado de ningún número.

Buscamos dos números cuyo producto sea – 4�, y cuya “suma” sea – 2, la que al multiplicarla por el término común “a” nos da el término central – 2a.

Los números son – � y + 6 y la factorización correspondiente es:

a2 – 2a – 4� = (a – �) (a + 6).

5. Factoricemos x2 – 5x + 6

No es cuadrado de binomio por la misma razón anterior (el + 6 no es cuadrado de un número entero). Corresponde entonces al producto de dos binomios con un término común, que en este caso es x. Buscamos dos números cuyo producto sea + 6 y cuya suma sea – 5.

Los números son – 2 y – 3. Por lo tanto, la factorización corres-pondiente es:

x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3).

6. Factoricemos la expresión 2x2 – 3x – 2

En este ejemplo, ni siquiera el primer término es cuadrado exacto de un término entero.

Amplifiquemos por el coeficiente de x2 (en este caso, por 2) para obtener un primer término como en los ejemplos anteriores, es decir, un cuadrado exacto.

2x2 – 3x – 24x2 – 6x – 4

2

/ •

Podemos aplicar al numerador el razonamiento de los ejemplos anteriores (porque el primer término ya es un cuadrado exacto) y entonces trataremos de factorizar como producto de dos binomios con un término común que en este caso es 2x.

Buscamos dos números que multiplicados sean igual a – 4 y cuya suma sea igual a – 3 (pues al multiplicar la suma por el término común 2x se debe obtener – 6x).

Los números son – 4 y 1 y así, la factorización de la expre- sión amplificada es:

4x2 – 6x – 4

2=

2x – 4 2x + 1

2

22


CAPÍTULO 1

(x – 1) (3x – 2)

3 (x – 1) (3x – 2)3

(3x – 3) (3x – 2)3

�x2 – 15x + 63

3 x2 – 5x + 2 /• 33

2x2 – 3x – 2 = (x – 2) (2x + 1)

2x2 – 3x – 2 =2 (x – 2) (2x + 1)

2

2x2 – 3x – 2 =(2x – 4) (2x + 1)

2


12. 4x2 + 20x + 25

13. �x2 – 6x + 1

14. a2 – 4ab + 4b2

15. y2 + 6xy + �x2

16. 4t2 + 12t + �

17. 4x2 + 12xy + �y2

18. �x2 – 30xy + 25y2

19. x2 + 14xy + 4�y2

20. x4 + 2x2 + 1

21. x2 + 5x + 6

22. x2 + x – 6

23. x2 – x – 6

24. x2 – 5x + 6

25. a2 – 5a – 36

26. a2 + a – 30

27. a2 + �a + �

28. y2 + y – 56

29. x4 – 6x2 + �

30. 4 + 20y2 + 25y4

31. x4 + 2x2y2 + y4

32. x6 + 2x3 + 1

33. a4 – 4a2b2 + 4b4

1. x2 + 14x + 4�

2. x2 + �x + 16

3. a2 + 1�a + �1

4. a2 – 6a + �

5. y2 – 24y + 144

6. x2 + 10x + 25

7. t2 – 2t + 1

8. z2 + 16z + 64

9. x2 – 22x + 121

10. a2 – 12a + 36

11. 1 + 6a + �a2

Podemos factorizar el primer término por dos y luego simplificarlo por el denominador, obteniendo:

7. Factoricemos 3x2 – 5x + 2

Siguiendo los pasos anteriores, obtenemos:

33

/·

Ejercicios


46. 2x2 + 5x – 3

47. 3x2 + 14x + �

48. 3x2 + 11x – 4

49. 6x2 – 13x + 5

50. 2x2 +15x + 2�

51. �x2 – �x + 1

52. 6x2 + 5x – 4

53. �x2 – 2x –1

54. 5x2 – 1�x + �

55. 2x2 + 3x – 14

56. 3a2 – �a + 2

57. 5a2 + 3a – 2

58. 6a2 + 13a + 6

59. 12a2 – 23a + 5

60. �a2 – 2a – 15

61. 5x2 – 26x + 5

62. 1�a2 – 1�a + 4

63. a4 + 5a3 + 6a2

64. x3 – 3x2 – 40x

65. x4 – 3x2 + 2

66. 2a3 + 6a2 + 4a

67. m3 – m2 – 30m

68. n4 + n2 – 2

69. p4 + 2p2 + 1

70. p3 – p2 – p + 1

34. �m4 – 30m2p2 + 25p4

35. �m2 – 30mp2 + 25p4

36. x2

4– x + 1

37. a2 + a + 14

38. a2

4+ ab + b2

39. a2 – 23a + 132

40. a2 – 3a – 40

41. a4 + 5a2 + 6

42. 4x2 – 22x + 30

43. �x2 – �x – 2�

44. 25x2 – 15x + 2

45. 2x2 + 5x + 2

1. (x + �)2 2. (x + 4)2 3. (a + �)2 4. (a – 3)2 5. (y – 12)2 6. (x + 5)2

7. (t – 1)2 8. (z + �)2 9. (x – 11)2 10. (a – 6)2 11. (1 + 3a)2 12. (2x + 5)2

13. (3x – 1)2 14. (a – 2b)2 15. (y + 3x)2 16. (2t + 3)2 17. (2x + 3y)2

18. (3x – 5y)2 19. (x + �y)2 20. (x2 + 1)2 21. (x + 3) (x + 2) 22. (x + 3) (x – 2)

23. (x – 3) (x + 2) 24. (x – 3) (x – 2) 25. (a – �) (a + 4) 26. (a + 6) (a – 5)

27. (a + �) (a + 1) 28. (y – �) (y + �) 29. (x2 – 3)2 30. (2 + 5y2)2 31. (x2 + y2)2

32. (x3 + 1)2 33. (a2 – 2b2)2 34. (3m2 – 5p2)2 35. (3m – 5p2)2 36. x2

– 12

37. a + 12

2 38. a

2+ b

2 39. (a – 12) (a – 11) 40. (a + 5) (a – �)

41. (a2 + 2) (a2 + 3) 42. 2(2x – 5) (x – 3) 43. (3x + 4) (3x – �) 44. (5x – 1) (5x – 2)

45. (2x + 1) (x + 2) 46. (2x – 1) (x + 3) 47. (3x + 2) (x + 4) 48. (3x – 1) (x + 4)

49. (3x – 5) (2x – 1) 50. (2x + �) (x + 4) 51. (�x – 1) (x – 1) 52. (3x + 4) (2x – 1)

53. (4x + 1) (2x – 1) 54. (5x – 3) (x – 3) 55. (2x + �) (x – 2) 56. (3a – 1) (a – 2)

57. (5a – 2) (a + 1) 58. (2a + 3) (3a + 2) 59. (3a – 5) (4a – 1) 60. (2a – 3) (4a + 5)

61. (x – 5) ( 5x – 1) 62. 2(3a – 2) (3a – 1) 63. a2(a + 2) (a + 3) 64. x(x + 5) (x – �)

65. (x – 1) (x + 1) (x2 – 2) 66. 2a(a + 1) (a + 2) 67. m(m – 6) (m + 5)

68. (n – 1) (n + 1) (n2 + 2) 69. (p2 + 1)2 70. (p – 1)2 (p + 1)

Soluciones


CAPÍTULO 1


1.6.5 Sumas o diferencias de cubos Los factores de una diferencia de cubos son:

x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)

Los factores de una suma de cubos son:

x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)

1. m6 – n3

2. x3 + p3

3. a3 – � b3

Factoricemos las siguientes expresiones:

10. 216 a3 – 2� b3

11. �

z3– 2�

y3

12. 125 – 1

�a3

7. 1 – 125 a3

8. 1

x3+ 1

y3

9. 16 x3 – 54 y3

4. t3 – 64 v3

5. 2� x3 + y3

6. �m3 – n6

�

1. Factoricemos a3 – �

Observamos que a3 es el cubo de a y que � es el cubo de 2. Se trata de una diferencia de cubos, por lo tanto:

a3 – � = (a – 2) (a2+ 2a + 4)

2. Factoricemos x3 + 2�

El término x3 es el cubo de x y 2� es el cubo de 3. Aquí tenemos una suma de cubos y por lo tanto:

x3 + 2� = (x + 3) (x2 – 3x + �)

3. Factoricemos 2�a3 – 125b3

El primer término es el cubo de 3a y el segundo término es el cubo de 5b, entonces escribimos:

2�a3 – 125b3 = (3a – 5b) (�a2 + 15ab + 25b2)

4. Factoricemos a6 – b6

Aquí tenemos primero una diferencia de cuadrados, la cual factorizamos como una suma por su diferencia. Luego, cada uno de los factores corresponde a una suma o diferencia de cubos. Procedamos por pasos:

a6 – b6 = (a3 + b3) (a3 – b3)

= (a + b) (a2 – ab + b2) (a – b) (a2 + ab + b2)

y ésa es la factorización requerida.

Ejercicios


1. (m2 – n) (m4 + m2 n + n2)

3. (a – 2b) (a2 + 2ab + 4b2)

5. (3x + y) (�x2 – 3xy + y2)

7. (1 – 5a) (1 + 5a + 25a2)

9. 2(2x – 3y) (4x2 + 6xy + �y2)

11. 2z – 3

y4z2

+ 6yz

+ �y2

13. 3(a – 3b) (a2 + 3ab + �b2)

15. (mx + 1) (m2x2 – mx + 1)

17. (x – y) (x + y) (x2 + y2) (x4+ x2 y2+ y4) (x4– x2 y2+ y4)

19. (ab4 – 3) (a2 b� + 3ab4 + �)

21. �(3a + b) (�a2 – 3 ab + b2)

23. 5t – 1z 25t2 + 5t

z+ 1

z2

25. 2a + 1b

4a2 – 2ab

+ 1b2

27. (a – 1) (a + 1) (a4 + a2 + 1)

29. 1t3

2t

– 3 4t2

+ 6t

+ �

31. (m4 + 1) (m� – m4 + 1)33. (1 – a) (1 + a + a2) (1 + a3 + a6)

35. 0,1 –a2

b0,01 +

0,1a2

b+

a4

b2

37. 15

+ 1z

1

25– 1

5z+ 1

z2

39. (mnp2 – 2a) (m2n2p4 + 2a mnp2 + 4a2)

13. 3 a3 – �1 b3

14. a2 b3 c6 + a2 d3

15. m3 x3 + 1

16. a3 b6 c� + �

17. x12 – y12

18. m� – 1

19. a3 b12 – 2�

34. x3

y3– 1

35. 0,001 – a6

b3

36. 216 – a3

b3

37. 1

125+ 1

z3

38. 64a3 – 1216

39. m3 n3 p6 – �a3

40. 1�z3

+ 12� y3

20. 3 t3 – 3

21. 216 a3 + � b3

22. � t3 + 64

23. 125 t3 – 1z3

24. 2t3

– 16y3

25. � a3 + 1b3

26. –1 + a3

27. a6 – 1

28. –1 – b3

29. �t6

– 2�t3

30. p3 + q�

31. m12 + 1

32. a2� + b2�

33. 1 – a�

2. (x + p) (x2 – px + p2)4. (t – 4v) (t2 + 4tv + 16v2)

6. 2m – n2

24m2 + mn2 + n4

4

8. 1x + 1

y 1

x2– 1

xy+ 1

y2

10. 2�(2a – b) (4a2 + 2 ab + b2)12. 5 – 1

2a25 + 5

2a+ 1

4a2

14. a2(bc2 + d) (b2c4 – bc2d + d2)

16. (ab2c3 + 2) (a2b4c6 – 2ab2c3 + 4)18. (m –1) (m2 + m + 1) (m6 + m3 + 1)

20. 3(t – 1) (t2 + t + 1)22. �(t + 2) (t2 – 2t + 4)

24. 2 1t

– 2y

1t2

+ 2ty

+ 4y2

26. (a – 1) (a2 + a + 1)

28. – (1 + b) (1 – b + b2)

30. (p + q3) (p2 – pq3 + q6)32. (a + b) (a2 – ab + b2) (a6 – a3b3 + b6) (a 1� – a�b� + b1�)

34. xy – 1

x2

y2+

xy

+ 1

36. 6 + ab

36 –6a

b+

a2

b2

38. 4a – 16

16a2 + 2a3

+ 136

40. 12z

+ 13y

14z2

– 16yz

+ 1�y2

Soluciones


CAPÍTULO 1


Fracciones algebraicas1.7.1 Simplificación

Para simplificar una fracción es necesario y suficiente que el numerador y el denominador tengan un factor común.

En el caso de monomios, la simplificación se hace en forma directa; en cambio, si el numerador o el denominador de la fracción tienen dos o más términos, es necesario factorizar primero y luego simplificar.

1.7


1. Simplifiquemos 2a2

3ab Aquí tanto el numerador (2a2) como el denominador (3ab) contienen

el término “a” como factor. Simplificamos, pues, por él y obtenemos:

2a2

3ab= 2a

3b

2. Simplifiquemos 6m2p2q

2� mp3 q2

En este ejemplo, el término 3mp2q está contenido en el numerador y en el denominador. Simplificando, nos queda:

6m2p2q

2�mp3 q2=

2m

� p q

3. Simplifiquemos 2a2 + 24a

En este caso no es posible hacer una simplificación directa, pues en el numerador hay un binomio (recordemos que no podemos simplificar términos que se suman o restan).

Debemos entonces factorizar primero y después simplificar:

2a2 + 24a

= 2(a2 + 1)4a

= a2 + 12a

Y ya no es posible seguir reduciendo porque el numerador no se puede factorizar más.

4. Simplifiquemos a2 + aba + b

Usando el mismo razonamiento anterior, factorizamos primero y luego simplificamos:

a2 + aba + b

= a(a + b)a + b

= a

5. Simplifiquemos x2 + 5x + 6

x2+ 3x + 2 Factorizando y luego simplificando obtenemos:

x2 + 5x + 6x2 + 3x + 2

=(x + 2) (x + 3)(x + 2) (x + 1)

= x + 3x + 1


6. Simplifiquemos x2 – �x2 + 6x + �

Procediendo como antes:

x2 – �

x2 + 6x + �=

(x + 3) (x – 3)(x + 3) (x + 3)

= x – 3x + 3

7. Simplifiquemos 3x3 – 3x y2

x2 y – xy2

3x3 – 3xy2

x2 y – xy2=

3x (x2 – y2)xy (x – y)

=3x (x – y) (x + y)

xy (x – y)=

3 (x + y)y

Simplifique las siguientes expresiones:

1. 2a5ab

2. 3a6b

3. a2 b

ab2

4. 6m16pm

5. 5ad10d

6. 25 p2q

15 pq3

7. 2 m2 np1�mn2 p

8. 30 a6 b

21 a6 b2

9. – 125 x6 y5 z4

5 x y z

10. 2ab

� a6 b6

11. a4 b4

4ab

12. 6 a12

12 a6

37. ab + ac + xb + xc

b2 – c2

38. x2 + �x + 12x2 + 5x + 6

39. x4 – y2

x2 + y

40. x2 – �x + 12x2 – 4x – 12

41. 2 a2 b – � a b2

4 a2 b – 16 a b2

42. ax + bx – ay – by

x2 – y2

43. 10x2 – 15xy

4x2 – �y2

44. 3a3 – 3a2 – 6a2a3 + 6a2 + 4a

45. x4 – x2

x3 + 2 x2 + x

46. x2 – 11x + 30x2 – 25

47. x3 – 3xy2

x 4 – �y4

48. x� – �y4

x4 – 3y2

25. a2 + ab2a

26. a2 b2 – a ba b – 1

27. x2 – 25x + 5

28. 1 – a2

1 + a

29. ab2 – ac2

b + c

30. x + 4x2 + �x + 16

31. xy

x2 y2 – xy3

32. 3 abc

6 a2 bc – � ab2c

33. 6x2 – 3xy

4x2 – y2

34. 2 pq

p2 q – pq2

35. 5xy + 10x

y2 – 4

36. m2 – 2mn + n2

m2 – n2

13. 3 p q3

2 p q2

14. – 15 c� d�

35 ab c�

15. – 1� m6 n11

51 m4 n�

16. (a + b)2

(a + b)

17. (p2 + 1)3

(p2 + 1)4

18. a2 + b2

(a2 + b2)4

19. 32 z4 y3

�6 z3 y4

20. a

144a

21. 121 a11 ac

22. m4 n4

4mn

23. 12 a12 b12

6 a6 b6

24. (a3 b2 )2

5a6 b�

Ejercicios


CAPÍTULO 1

1.7.2 Multiplicación y división de fracciones algebraicas

Multiplicamos los numeradores y los denominadores entre sí y hacemos todas las simplificaciones posibles.

En el caso de los monomios las simplificaciones pueden hacerse antes o después de multiplicar; en el caso de los polinomios (expresiones con dos términos o más) es conveniente hacer todas las simplificaciones primero (factorizando por supuesto) y luego las multiplicaciones.

Para dividir fracciones, multiplicamos la primera por el recíproco de la segunda.

49. 5ab25a2 – 5ab

50. x2 + x – 2ax + 2a – x – 2

51. x3 – x2 + x – 1x2 – 1

55. ac – ad – bc + bd

c2 – d2

56. 2p2 x + 2px2

p2 – pq + xp – xq

57. x2 + 10x – 11x2 + �x – 10

58. x2 – �x + 15x2 – �

59. 4p2 – 4p + 1

4p2 – 1

60. 2m3 – 1�m2m2 – 6

52. x2 – �x + 6x2 – 1

53. 2a2 b – 2ab2

a2 – 2ab + b2

54. 6 p2 q – 2 pq2

3p2 q – p q 2

1. 25b

2. a2b

3. ab

4. 3�p

5. a2

6. 5p

3q2

7. m�n

8. 10�b

9. – 25x5y4z3 10. 14a5 b5

11. a3 b3

4 12. a

6

2

13. 3q

2 14. – 3d�

�ab 15. – m2 n2

3 16. a + b 17. 1

p2 + 1 18. 1

(a2 + b2 )3

19. z3y

20. 1144

21. 11c

22. m3 n3

4 23. 2a6b6 24. 1

5b4

25. a + b2

26. a b 27. x – 5 28. 1 – a 29. ab – ac 30. 1x + 4

31. 1xy – y2

32. 12a – 3b

33. 3x

2x + y 34. 2p – q 35. 5x

y – 2 36. m – n

m + n

37. a + xb – c

38. x + 4x + 2

39. x2 – y 40. x – 2x + 2

41. 12

42. a + bx + y

43. 5x

2x + 3y 44. 3a – 6

2a + 4 45. x2 – x

x + 1 46. x – 6

x + 5 47. x

x2 + 3y2 48. x4 + 3y2

49. b5a – b

50. x – 1a – 1

51. x2 + 1x + 1

52. x – 6x + 1

53. 2aba – b

54. 2

55. a – bc + d

56. 2pxp – q 57. x + 11

x + 10 58. x – 5

x + 3 59.

2p – 1

2p + 1 60. m3 – �m

m2 – 3

Soluciones


Ejercicios resueltosEjercicios resueltos1. Efectuemos el siguiente producto:

3ab2a

•2b3a2

Multiplicando en forma directa obtenemos:

3ab2a

•2b3a2

= 3ab • 2b2a • 3a2

= 6 ab2

6 a3= b2

a2

2. Efectuemos el producto:

3xy

2a•

6ab

3xz•

–5z2

10b2 x Multiplicando en forma directa obtenemos:

3xy • 6ab • – 5z2

2a • 3xz • 10b2 x=

–�0 x y a b z2

60 a x2 z b2=

– 3 y z

2 x b

3. Efectuemos el producto:

a + b

ax – bx•

a2 – 2ab + b2

a2 – b2=

Aquí debemos simplificar antes de multiplicar (de lo contrario com-plicamos mucho el ejercicio). Como sabemos, factorizamos primero, obteniendo:

a + b

ax – bx•

a2 – 2ab + b2

a2 – b2=

a + b

x a – b•

a – b a – b

a + b a – b=

1

x Una vez hechas las factorizaciones podemos simplificar un factor de

cualquier numerador con un factor igual de cualquier denominador.

4. a + 1a + 2

•a2 – 4

a2 + 4a + 3•

a2 – �a2 – 4a + 4

Factoricemos primero:

a + 1

a + 2•

a2 – 4

a2 + 4a + 3•

a2 – �

a2 – 4a + 4=

a + 1

a + 2•

a + 2 a – 2

a + 1 a + 3•

a + 3 a – 3

a – 2 a – 2

el resultado es a – 3a – 2

5. Multipliquemos:

5a + b2a – b

•ab

a – b•

a5

Aquí no es posible efectuar ninguna simplificación; por lo tanto, pro-cedemos a multiplicar directamente.

5a + b • ab • a

2a – b a – b • 5=

5a + b a2 b

2a – b 5a – 5b=

5a3 b – a2 b2

10a2 – 10ab – 5ab + 5b2

Reduciendo términos semejantes obtenemos finalmente:

5 a3 b – a2 b2

10 a2 – 15 a b + 5 b 2

6. Efectuemos la siguiente división:

2ab3x : 2a

3xy

Cambiamos el signo de división (:) por el de multiplicación (•) e inver-timos la segunda fracción. Nos queda:


CAPÍTULO 1

2ab

3x :2a

3xy=

2ab

3x•

3xy

2a

Hacemos las simplificaciones adecuadas y obtenemos:2ab

3x•

3xy

2a= by

7. Efectuemos la siguiente división:a + b2ab

: a2 – b2

6a2 b

Procediendo como en el ejemplo anterior:a + b2ab

: a2 – b2

6a2 b= a + b

2ab•

6a2 b

a2 – b2

= a + b

2ab•

6a2 ba + b a –b

= 3a

a – b

(Aquí fue necesario factorizar el término a2 – b2 antes de simplificar).

12. 12x6 y10

– 4x5 y11

13. a + b 2

a + b 3

14. p – q

2p – 2q

15. 3a + 3ab1 + b

16. 3x + 155x + 25

17. a2 + a2a + 2

18. 20x2 – 5xy

4x – y

19. 3x2 y – 3xy2

2x2 – 2xy

20. x2 – y2

x – y

21. a2 – b2

a + b

22. 3a – 3b

a2 – b2

1. 3ab�a

2. ax2

bx

3. 2ab5ab

4. 3a1�a2 b

5. – 16m2

1�n2

6. b

a2 b2

7. 6m2 n15mn2

8. �p2 qr 6

3pq2 r5

9. – 3p6 q3

24p6 q2

10. a2 b2 c2

2abc

11. �x2 y� z11

x2 y6 z10

23. 6p + 12q

p + 2q

24. 1 – a1 – a2

25. 12x – 3x3

3x

26. 4 – x2

2 + x

27. 2xy

x2 y – xy2

28. �x2 – 16y2

3x + 4y

29. a2 – �b2

3a + �b

30. m – n 2

m2 – n2

31. a2 – 5a + 6a2 – 4

32. 2 a2 – 2 b2

a2 + 2 a b + b2

33. 1� a2 b + 2�a b2

4 a2 + 12 a b + � b2

34. x2 + 5x – 14x2 + �x + 14

35. x4 – 2 x2 y2 + y4

x4 – y4

36. ac + ad + bc + bdac – ad + bc – bd

37. 2 a2 b + 6 a b2

a2 + a b – 6 b2

38. 2bx2 + 2bxy – axy – ay2

6abx2 – 3a2 xy

39. a4 + 3a3 + 2a2

a3 – a

40. 2t2 – 2t – 124t2 – 16t + 12

41. 50 – 2y2

4y2 + 44y + 120

42. ab – ay – bx + xy

b2 – by + bx – xy

43. 2a2 – 10a + 12a2 + a – 6

44. 4u2 – v2

6u2 v – 3uv2

Simplifique las siguientes expresiones:Ejercicios I.


1. a2b

∑abb

2. 2xy • 1

x

3. 2m3n

•3mn

4

4. a2

b•

aba

5. 3x

5y•

10y

6x

6. 3u2 v2 u

•2uv1� v 2

7. 10a2 bc

4b3•

2b

5ac

8. �xy

2m•

m

14x2 y•

10m2

2x

9. ab

•2 b3 c

•4 ca

10. x – y

x •x2

x – y

1. a2 : a

3

2. 1a : 2

a

3. x2

y : xy

4. max : n

ax

11. x2 + 2xy + y2 •1

x + y

12. 2a3

a – 1•

a2 – 1a2

13. �x2 – 1

x2•

2x

3x – 1

14. m – n

m2 – n2•

m + n

m – n 2

15. a2 + aa2

•3a

a2 + 2a + 1

16. 2x2 + 6x

3y•

2xy

x + 3

17. x2 + 5x + 6

x2 – 4•

x – 2x2 – �

18. 1 + x

1 – x•

1 – x2

1 + x 2

19. a2 – ab

2ab•

a + b

a2 – b2

20. 3x – 62x – 6

•x2 – �x2 – 4

•13

21. 2a + 43a – 12

•a + 4

a2 – 16•

a2 – �a + 16a + 2

22. x2 – 6x + 5x + 2

•x2 – 4x2 – 1

23. x – 6x – 2

•x2 – x – 2

x2 – �x + 1�•

2xx + 1

24. m2 – mp

2p2•

4p

m2 – p2•

1

2m

25. a2 – 3a – 1�a2 – 2a – �

•a2 – 16

a2 – 5a – 6•

a + 2a + 3

26. 1

2x•

x3 – y3

3y•

3xy

x2 + xy + y2

27. a + b

a2 – b2•

ab

a + b•

a2 – 2ab + b2

3ab

28. a2 – 25b2

a – 3b•

a2 – �b + 12b2

a – 5b

29. 2a – 46 a

•a2 – 5 a + 6a2 – 4 a + 3

•a

a – 2

30. a3 + 2a2 + aa2 + �a + 10

•a2 – 25a + 1

•1

2a2

5. 2ab3b

: 6a2ab

6. x – 15 : x – 1

10

7. 2axy

3a :2x

3y

8. a + ba – b

: a2 – b2

13. 15a3 bc

3ab2 : 25a2 b2 c2

bc

14. x3 – x2 y

2xy :x2 – y2

x + y

15. 2ab�b2

: 2xx – 1

: 3bx2x – 2

16. 2x – 63x2 y

: x2 – 5x + 66xy

9. 15n2 p

2nz :3np2

4z

10. a2 – 1a + 2 : a – 1

a + 2

11. x – 1a – 1

: x2 – xa2 – a

12. a2 – b2

a3 – b3 : a + b

a – b

45. p2 x + px2

p2 + 3px + 2x2

46. a3 – a2 – 30aa4 – 11a3 + 30a2

47. 2a2 b2 c2

4 a2 b c + 2ab2 c + 2abc2

48. x3 – y3

x2 + xy + y2

49. x3 – y3

x2 – y2

50. m2 – 4p2

m2 – 4mp + 4p2

Efectúe las siguientes operaciones (divisiones):

Efectúe las operaciones indicadas (multiplicaciones):II.

III.


CAPÍTULO 1

24. 1x

: 1x: 1

x

25. 22x2y�

:11 x y14

:2x

26. a3 + 3a2

a2 – �: a2 + 2a

a2 – 5a + 6

27. 1

x3 – 6x2 : 1

x2 – 12 x + 36

28. ac – ad– bc + bd

a2 – b2 : c2 – d2

a2 + 2ab+ b2

29. x2 + �x + 10

x2 + 2x – 3:x + 2x + 3

•x2 + 3x – 4

x2 – 25

30. 2xx – 2

•x2 – 4

x2 + x: x + 2

x2 – 1

I.

1. b3

2. a xb

3. 25

4. 16ab

5. – �m2

�n2 6. 1

a2b 7. 2m

5n 8. �pr

3q 9. – q

�

10. abc2

11. �yz 12. – 3xy

13. 1a + b

14. 12

15. 3a 16. 35

17. a2

18. 5x

19. 3y2

20. x + y 21. a – b 22. 3a + b

23. 6 24. 11+ a

25. 4 – x2 26. 2 – x

27. 2x – y

28. 3x – 4y 29. a – 3b3

30. m– nm+ n 31. a – 3

a + 2 32. 2a – 2b

a + b

33. �ab2a + 3b

34. x – 2x + 2

35. x2 – y2

x2 + y2 36. c + d

c – d 37. 2ab

a – 2b 38. x + y

3a x 39. a

2 + 2aa – 1

40. t+ 22t– 2

41. 5– y12 + 2y

42. a – xb+ x

43. 2a – 6a + 3

44. 2u+ v3uv

45. pxp+ 2x

46. a + 5

a2 – 5a 47. a bc

2a + b+ c 48. x – y 49. x

2 + x y + y2

x + y 50.

m+ 2pm– 2p

1. a2

2b 2. 2

y 3. m

2

2 4. a2 5. 1 6. u

2

6 7. a

b 8. 5m2

4x2 9. �

3 10. x

11. x + y 12. 2a2 + 2a 13. 6x + 2x

14. 1

m– n 2 15. 3

a + 1 16. 4x2

3 17. 1

x – 3

18. 1 19. 12b

20. x + 3

2x + 4 21. 23

22. x2 – �x + 10

x + 1 23. 2x

x – 3 24.

25. a + 4a + 1

26. x – y2

27. a – b3a + 3b

28. a2 + ab – 20b2 29. a – 23a – 3

30. a2 – 4 a – 52 a2 + 4 a

II.

17. 1a2 – 4�

: 1a2 – �a + �

18. 1a

: 2a2

: a2

19. a – 1

a – 2: a2 – 1

a2 – 4

20. a – 3

a – 5: a2 – �a + 15

a2 – 11a + 30

21. 2a + �

3a – 3: a2 + 2a – �

6a2 – 6

22. a3 – 5a2 + 6a

a2 + �a + 12: a3 – 3a2

a2 – 16

23. a

b2 : a2

b

1mp + p2

Soluciones


1.7.3 Adición y sustracción de fracciones algebraicas

Si las fracciones tienen el mismo denominador, entonces sumamos (o restamos) los numeradores y conservamos el denominador.

Si los denominadores son diferentes, entonces debemos buscar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos y amplificar cada fracción por el factor necesario, de modo que todas queden reducidas a un denomi-nador común.

El mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas es aquella que las contiene, como factores, a todas.

III.

1. 32

2. 12

3. x 4. mn

5. 2ab�

6. 2

7. y2 8. 1

a2 – 2ab+ b2 9. 10

p 10. a + 1 11. a

x 12. a – b

a2 + ab+ b2

13. 1

5b2 14. x

2y 15. 3a

16 16. 4

x2 – 2x 17. a – 1

a + � 18. 1

19. a + 2a + 1

20. a – 6a – 5

21. 4a + 4a – 2

22. a2 – 6a + �

a2 + 3a 23. 1

ab 24. 1

x

25. 2 26. a2 – 2aa + 2

27. x – 6

x2 28. a + b

c + d 29. x + 4

x – 5 30. 2x – 2

1. Encontremos el m.c.m. entre a y 2a.

Vemos que a está contenido (como factor) en 2a, por lo tanto, el m.c.m. es 2a.

2. Encontremos el m.c.m. entre a, 2a y a2. Aquí ninguno de los tres términos contiene a los otros dos. Buscamos

el m.c.m. entre los coeficientes numéricos, en este caso es 2, y entre los factores literales, en este caso, como se trata de monomios de la misma base, es el término que tiene el exponente más alto.

Así, el m.c.m. es 2a2.

3. Encontremos el m.c.m. entre 2x, 3xy, x2.

Usando el razonamiento anterior, determinamos el m.c.m. entre los coeficientes numéricos, que es el 6, y entre los factores literales, que es x2 y. Así, el m.c.m. entre 2x, 3xy, x2 es 6x2y.

4. Encontremos el m.c.m. entre a – b y a2 – b2.

Como sabemos, la factorización correspondiente de a2 – b2 es (a – b) (a + b); por lo tanto, a – b está contenido en a2 – b2 y así el m.c.m. es a2 – b2.



CAPÍTULO 1

5. Encontremos el m.c.m. entre a + 2 y a + 3.

Aquí ningún término está contenido en el otro; por lo tanto, el m. c. m. es el producto de los dos, es decir, a2 + 5a + 6.

6. Efectuemos las operaciones indicadas.

a + 2

3+ 2a + 5

3

Se trata de una suma con igual denominador, así es que suma-mos los numeradores y conservamos el denominador.

a + 2

3+ 2a + 5

3= a + 2+ 2a + 5

3= 3a + �

3

7. Efectuemos las operaciones indicadas:

4

x+ 5

2x– 3

5x2

Los denominadores son diferentes; por lo tanto, debemos deter-minar el m.c.m. entre ellos, que será el denominador común. Este es 10x2. Luego amplificamos cada fracción por el término adecuado para obtener el m.c.m.

4

x+ 5

2x– 3

5x2= 4• 10x + 5• 5x – 3• 2

10x2

= 40x + 25x – 6

10x2

= 65x – 6

10x2

8. Efectuemos las operaciones siguientes:

m+ 1

2m2 + 4m– m+ 1

m2 – 4+ 1

m– 2

Factoricemos los denominadores para encontrar el m.c.m.

m+ 1

2m m+ 2– m+ 1

m– 2 m+ 2+ 1

m– 2

El m.c.m. es 2m (m + 2) (m - 2) Es conveniente mantener el m.c.m. factorizado, pues así facilita el

proceso de amplificación de cada fracción y el de simplificación, si es posible, al final.

m+ 1

2m m+ 2– m+ 1

m– 2 m+ 2+ 1

m– 2=

m– 2 m+ 1 – 2m m+ 1 + 2m m+ 2

2m m+ 2 m– 2=

m2 + m– 2m– 2– 2m2 – 2m+ 2m2 + 4m

2m m+ 2 m– 2= m2 + m– 2

2m m+ 2 m– 2

Factorizamos el numerador y hacemos la simplificación corres-pondiente:

m+ 2 m– 12m m+ 2 m– 2

= m– 12m m–2

= m– 1

2m2 – 4m


1. 2, 3, 5

2. 2, 2a, 3a

3. 3x, 3xy

4. 2x, 3xy, 2y

5. m2, n2

6. m, mn, n

7. x2, y2, xy

8. 1, a, a2

9. x2yz, xy2z

10. xy2z, xyz2

11. 4p2q, 5pq2

12. 5p6q6, 6p5q5

13. a + b, a – b

14. 2a + 4, a + 2

15. 3a + 6, a2 – 4

16. 6m, 3m + 1, 6m + 2

17. x + a, x2 – a2, x – a

18. 1, x + 1, x + 2

19. a, b, a + b

20. a2 – b2, a2 – 2ab + b2

21. x + 3, x2 + 5x + 6, x + 2

22. x – 3, 2x – 4, x2 – 5x + 6

23. a2 + a, a2 – 1, a2 + 2a + 1

24. a + 2, a2 + 4a + 4, a2 – 4

25. x2 + �x + 14, x2 – 4, x2 + 5x –14

26. a – 1, a2 – 1, 3a2 – 3a

27. p, p + 5, p3 – 25p

28. 2x + 2, 4x + 4, x2 + 2x + 1

29. t – 5p, t2 – 25p2, 5t – 25p

30. x + y, x2 + 2xy + y2, x2 – y2

Efectúe las operaciones indicadas:

Determine el mínimo común múltiplo entre:

1. 311

– 411

+ 1511

2. 316

+ 516

+ 2116

+ 316

3. 2a

– 6a

+ �a

– 12a

4. 3a – 15

+ 2a – �5

– 25

5. �3x – 4

+ 23x – 4

+ 13x – 4

6. a + 5ba + 3b

– 2a + ba + 3b

+ 4a + 5ba + 3b

7. 2x – 2x + 6

+ 3x – 1x + 6

– 4x – 4x + 6

8. 3x + 52x – 3

+ 5x + �2x – 3

– x – 42x – 3

9. a2

a2 – 4– 4a

a2 – 4+ 4

a2 – 4

10. �p– 3q

p2 + 1– 6p– 4q

p2 + 1+ 2p

p2 + 1

11. 2a a + 4

a2 – 20a–

3a a + 6

a2 – 20a+

2a a – 5

a2 – 20a

12. 3a2

3a – 4b–

3a a + 43a – 4b

+4a ∞4b3a – 4b

13. x2 – �x + 1

x2 + 5x + 6–

2x x –3

x2 + 5x + 6+

x2 + x + 2

x2 + 5x + 6

14. 5x2 – �x – 1

x2 + 3x+ 2x2 + 4x – 1

x2 + 3x– 3x2 – 6x – 2

x2 + 3x

15. 2x2 + 3x + 6

x2 – 121+ x2 – 6x + �

x2 – 121– 3x2 – 4x + 3

x2 – 121

Ejercicios

I.

II.


CAPÍTULO 1

16. 23

+ 45

– 12

34. 2a + b3a

– 2a – b3b

– ab

17. a + a2 35.

2a – 1

3(a – 2)– 2a – 2

a2 – 4– a

3

18. a2

+ a3

+ a4

36. 2x

x + y– 3x – y

x – y+ 2x – 4y

x2 – 2xy + y2

19. 2b3

– b 37. a + �

a – 6– a – 6

a – 5+ 2a – 4

a2 – 25

20. 2x5

– x�

+ x35

38. 2x

x2 + 3x + 2+ x + 4

x2 – 4+ 2x – 3

x2 – x – 2

21. a2

+ a3

+ a3

39. x + 1

x2 – 1+ x – 2

x2 – �– x – 3

x2 + 5x + 6+ x + 4

x2 – 4x + 3

22. a + a2

– a3

40. 3x – 2

2x + �– 1

x2 – 16– 2x

x2 + 5x + 4– 6– 3x

x2 – 1

23. 3x5

– 2x5

+ x10

41. 2x – 1

x + 3+ 3x + 1

x + 5– 5x2 + 1�x – 2

x2 + �x + 15

24. a�

– 2 42. m

m+ m2– 1

m2 + m3– 3m

m2 – 1

25. 1x

+ x 43. m+ 1

m– 4+ m+ 2

m– 5+ 2m

m2 – �m+20

26. 1x

+ x2

44. x

2x + 3– 2x

2x – 3+ x – 2

4x2 – �

27. a – �a4

– 2a3

45. 2

x2 + �x + 12+ 1

x2 – 16– 3

x2 – �

28. 32a

+ 43a

+ 56a

46. x – 4

3x2 + 12x– 2x – 4

x2 + x – 12– 4– 2x

2x2 – 6x

29. x – 14

+ x – 23

+ x2

47. 3x

3x2 + 15x+ 4x

x2 + �x + 15+ 2x2 – 3x

3x2 + �x

30. 1

a2– 1

a– 2

a3 48. 1

x + 2+ 2+ x

x2 + 4x + 4– 2– x

x2 – 4

31. 3xx – 3

+ 2x2x – 6

– 11x2

49. 2x

x2 – 2x – 24– x – 2

x2 – 36+ x – 5

x2 – 16

32. 1

z+ 1

z2– 1

z2 – 1 50. 2x

3x + 15– x – 3

x2 – 25– x – 12

6x+ 3x

x – 5

33. 3x – 5

x – 1+ 2x – �

x2 – 1+ x – 1

x + 1

Efectúe las siguientes operaciones:

1. 2aa – 3

– 6a

a2 – 9•

a + 32a

2. 1 + 1

x: 1 – 1

x 3. a + ab

a + b•

12

+ b2a

III.


1. 30 2. 6a 3. 3xy 4. 6xy 5. m2n2

6. mn 7. x2y2 8. a2 9. x2y2z 10. xy2z2

11. 20p2q2 12. 30p6q6 13. a2 – b2 14. 2a + 4 15. 3a2 – 12

16. 1�m2 + 6m 17. x2 – a2 18. x2 + 3x + 2

19. a2b + ab2 20. (a – b)2 (a + b) 21. x2 + 5x + 6

22. 2 (x – 2) (x – 3) 23. a (a – 1) (a + 1)2 24. (a – 2) (a + 2)2

25. (x + 2) (x – 2) (x + �) 26. 3a (a2 – 1) 27. p (p2 – 25)28. 4 (x + 1)2 29. 5 (t2 – 25p2) 30. (x – y) (x + y)2

4. 1x

+ 1 : 1x

– 1

5. x – yx + y

– 1 ∞1– x2y

6. aa + x

+ xa + x

:a + x

a2 + 2ax + x2

7. a – b : 1 – 1a + b

8. 1 – 1x – 1

: 1 + 1x + 1

9. a2 + ab2a

: 1– 1a

10. m2 + mnm

: 1+ 1m

11. 2a5b

– 3bb– 1

∞b2 – 1

2

12. 2a2+ c

∞4 – c2

4b: 2+ c

2c– 1

13. a + bb

– a – ba

∞2ab

a2 + b2

14. ba

+ ab

– 2 : a – ba

2

15. xx + 1

+ xx – 1

– 1 ∞ x2 – 1

16.

12

– 14

12

+ 14

17.

32

+ 55

215

18.

a2

– a3

a2

+ a3

19.

x – 1x + 1

– 1

x – 1x + 1

+ 1

20.

1x – 2

– 1x + 2

1

x2 – 4

21.

ab – b

a1a

– 1b

22. 1 + 1

1+ 1x

23. 1

1– 1

1– 1x

24. 2+ 3x2 – x

5

3– x2 – 110

25. a – ab

a + b

1 – ba + b

26.

1x

– y

1x

+ y

27.

1

1+ 1

1+ 1x

28.

a – ba

– a + ba

1a

29. 2– x

2

3– x3

30. 1 –

1x2 – 1

1+ 1x + 1

I.

II.

Soluciones

14 � 121. —– 2. 2 3. – — 4. a – 2 5. —–— 11 a 3x – 4


CAPÍTULO 1

a x + 1 a + 2b 1 + x 1. —— 2. —— 3. ——— 4. —— a – 3 x – 1 2 1 – x

x – 1 a2 – b2 x2 – x – 2 5. —— 6. a + x 7. ———– 8. ———— x + y a + b – 1 x2 + x – 2

a2 + ab m2 + mn 4a – 15b3 – 15b2 ac 9. ——— 10. ———— 11. ——————— 12. —– 2a – 2 m + 1 10b b

1 113. 2 14. —– 15. x2 + 1 16. — b 3

�5 1 117. —– 18. —– 19. – — 20. 4

4

5

x

2x + 1 6x2 – 2x + 2021. – a – b 22. ——— 23. – x 24. —————– x + 1 31 – x2

1 – xy x + 125. a 26. ——– 27. ——– 28. –2b 1 + xy 2x + 1

12 – 3x x2 – 2 29. ——— 30. ———— 1� – 2x x2 + x –2

6. 3 7. x + 1x + 6

8. �x + 1�2x – 3

9. a – 2a + 2

10. 3p+ q

p2 + 1

11. 1 12. – 4 13. 3(x + 2) (x + 3)

14. 4x + 3x + 3

15. 1x – 11

16. 2�30

17. 3a2

18. 13a12

19. – b3

20. 2x�

21. �a6

22. �a6

23. 3x10

24. a – 1��

25. 1+ x2

x

26. 2+ x2

2x 27. – 1�a

12 28. 11

3a 29. 13x – 11

12 30. – a2 + a – 2

a3

31. 41x – 11x2

2x – 6 32. z3 – z – 1

z2(z2 – 1) 33. 4x2 – 2x – 11

x2 – 1

34. 3ab+ b2 – 5a2

3ab 35. – a3 + 2a2 + a + 4

3(a2 – 4) 36. – x3 – 3x2y + 5xy2 – 2xy + 2x2 – 4y2 – y3

(x + y) (x – y)2

37. 16a2 – 1�a – 331

(a2 – 25) (a – 6) 38.

5x2 + 2x – 2

x3 + x2 – 4x – 4 39. 2x3 + 1�x2 – 2x + 1�

(x – 1) (x2 – �) (x + 2)

40. 3x4 – 12x3 + 11x2 – ��x + 1�6

2(x2 – 16)(x2 – 1) 41. 0

42. – 2m3 – m2 – m+ 1

m2 (m2 – 1) 43. 2m2 – 4m– 13

(m– 4) (m– 5) 44. – 2x2 – �x – 2

4x2 – �

45. – 14x + 63

x2 – 16 x2 – � 46. – 2x2 + 11x – 12

3x (x + 4) (x – 3) 47. 2x3 + 22x2 – 6x

3x (x + 3) (x + 5)

48. 3x + 2

49. 2x3 + x2 – 6�x +14�

(x2 – 36)(x2 – 16) 50. 21x3 + �6x2 + 43x – 300

6x (x2 – 25)

III.


5. –3p • 2pq =

A. – 5p2q

B. 6p2q

C. – 6pq

D. – 6p2q

E. 6pq2

6. Si p = 1 y q = – 1 entonces p + q + pq es:

A. – 1

B. 1

C. 0

D. 2

E. – 2

7. Si p + q = – 6 y q = 2 entonces el valor de p es:

A. 6

B. �

C. – �

D. – 4

E. 4

8. Si m + 5n = 5 y n = – 2 entonces el valor de m es:

A. 15

B. – 05

C. 0 5

D. – 15

E. – 10

9. Si a = – 5 y a + b = 5 entonces el valor

de b es:

A. 0

B. 10

C. 5

D. – 5

E. – 10

Marque la alternativa correcta.

1. Si a = – 1 y b = – 2 el valor de a – ab es:

A. – 1

B. – 2

C. 1

D. – 3

E. 2

2. Al reducir la expresión

a2

– a se obtiene:

A. a2

B. – a2

C. – a

D. 0

E. – 12

3. Al reducir 2a – a – a2

se obtiene:

A. – a2

B. 12

C. a2

D. 3a2

E. – 12

4. Si m = 2 y p = 3 entonces m2 – p2 es:

A. 5

B. – 5

C. 13

D. – 13

E. – 2

Prueba de selección múltiple


CAPÍTULO 1

10. Si m = n2

y n = – 16

entonces el valor de m es:

A. 32

B. – 32

C. �

D. – �

E. – 4

11. Si q = – 2r, r = s2

y

s = � entonces el valor de

q es:

A. �

B. – �

C. �2

D. 1�

E. – �2

12. La expresión “el doble del cuadrado de a” corres-

ponde a:

A. (2a)2

B. 2 (a2)2

C. 2a2

D. (2a2)2

E. a2

13. La expresión “el cubo de la mitad de a” corres-ponde a:

A. 3a3

2

B. a3

2

C. a2

3

D. a2

3

E. 3a2

14. La expresión “el cuadrado de la diferencia entre a y b” es:

A. (a – b)2

B. a2 – b2

C. a – b2

D. 2(a – b)

E. a – b2

15. “El doble del producto entre

a y b” corresponde a:

A. 2a2b

B. 2ab2

C. 2a2b2

D. a2b2

E. 2ab

16. Al reducir 2a – [ a – (a – 2a) ]

se obtiene:

A. 2a

B. 0

C. a

D. 4a

E. – 4a

17. Al reducir

(a + b) – (a – b) se

obtiene:

A. 2b B. – 2b

C. 2a

D. – 2a E. 0

18. Al reducir

(a – b) – (a + b) se

obtiene:

A. 2a

B. – 2a

C. 2b

D. – 2b

E. 0

19. Al reducir 3m – [2m – (3p + m) – p] se obtiene:

A. 2m – 4p

B. m + 2p

C. 2m + 4p

D. 2m + 2p

E. – 4p

20.

es igual a:

A. a6

B. – a6

C. – a2

D. a2

E. – a3

21. a • a2 • a– 2 =

A. a B. a– 3

C. a– 4

D. a3

E. a5

22. ab2 • – ab2 =

A. 0

B. – a2b2

C. – a2b4

D. a2b4

E. – 2a2b4

12

a + a – a – a23

13


23. 2m • – 3m • – 4mp2 =

A. 24m3p3

B. – 24m3p3

C. 24m3p2

D. – 24m3p2

E. – �m3p3

24. x – [2x – 3y + (3y – 2x)] =

A. 3x – 6y

B. 4x – 6y

C. 4x + 6y

D. – x

E. x

25. a (a2 + a3) =

A. a6

B. 2a6

C. a�

D. a2 + a3

E. a3 + a4

26. m(1 + m) – m(1 – m) =

A. – m2

B. 2m2

C. m – m2

D. m + m2

E. 0

27. a(1 + a + a2) – a =

A. a + a2

B. a + a3

C. a + a2 + a3

D. a2 + a3

E. 1 + a + a2

28. xy (x + 2y) – 2xy2 =

A. x2y + xy2

B. xy2

C. x2y

D. 2xy2

E. – 2xy2

29. Al factorizar m2–mn se

obtiene:

A. mn(m –1) B. m2(m – n)

C. m(m – n)

D. m(1 – n) E. m2 (1 – n)

30. Al factorizar 4 – p2 se

obtiene:

A. (2 – p)2

B. (2 – p) (2 + p)

C. (p – 2) (p + 2)

D. (4 – p)2

E. 2p (2 – p)

31. La expresión 1 – p6 es equivalente a:

A. (1 – p3) (1 – p2)

B. p3 (1 – p2)

C. (1 – p3) (1 + p3)

D. (1 – p3)2

E. (1 – p2)3

32. Factorice:

m2 – n2 – m – n =

A. (m – n) (m2 + n2)

B. (m + n) (m – n – 1)

C. (m – n) (m – n – 1)

D. (m + n) (m – n + 1)

E. (m – n) (m – n + 1)

33. (a + b) + (a + b)2 =

A. 3(a + b) B. 3(a + b)2

C. 3(a2 + b2)

D. a(a + b + 1) E. (a + b) (a + b + 1)

34. Para que la expresión

�a2 + 12ab + .....

sea un cuadrado de

binomio falta:

A. 4b2

B. 4b

C. 4

D. b2

E. �

35. a b c2

abc =

A. 1c

B. c

C. 1

D. abc

E. 1abc

36. a+ abab

=

A. ab

B. a

C. a + 1a

D. b+ 1b

E. b

37. m2 – n2

m– n =

A. m – n

B. 1m– n

C. m + n

D. 1m+ n

E. m+ nm– n


CAPÍTULO 1

38. a – 1a

: a –1a

=

A. a + 1

B. a – 1

C. 1a +1

D. 1a – 1

E. 1

a2

39. 3xy2 – 3x2y3xy

=

A. 3 ( x – y) B. 3 (y – x) C. y – x

D. x – y

E. y – 3x

40. a2 – b2

a4 – b4=

A. 1

a2 – b2

B. 1

a2 + b2

C. a2 – b2

D. a2 + b2

E. 1a – b

41. x2 – 11x + 2�x – �

=

A. x – 4x – �

B. x – �

C. x – 4

D. x + 4

E. x + �

42. x + 5

x2 – 25=

A. x + 5

B. x – 5

C. 1x + 5

D. 1x – 5

E. 1

x2 – 5

43. a2 – 4

a2 + 3a + 2=

A. a – 2a + 1

B. a + 1a – 2

C. – 2

D. – 12

E. a – 2

44. x3 + y3

x2 – xy + y2=

A. x + y

B. 1x + y

C. x – y

D. 1x – y

E. x + yxy

45. aa + b

+ ba + b

=

A. a

B. (a + b)

C. (a + b)2

D. 1

E. a + b

a2 + b2

46. m2n

– 2mn

=

A. – 3m2n

B. – 3mn

C. 3mn

D. 3m2n

E. –3m2

47. an+ 1 + an

an=

A. an

B. a

C. a + 1

D. an+1

E. an–1

48. 56 + 56 + 56 + 56 + 56 =

A. 530

B. 5�

C. 256

D. 2530

49. 3 ∞ 4n – 4n+ 1

4n=

A. 3 – 4n+1

B. 2

C. 1

D. –1

E. 0

1. D 8. A 15. E 22. C 29. C 36. D 43. A

2. B 9. B 16. B 23. C 30. B 37. C 44. A

3. C 10. D 17. A 24. E 31. C 38. A 45. D

4. B 11. B 18. D 25. E 32. B 39. C 46. A

5. D 12. C 19. C 26. B 33. E 40. B 47. C

6. A 13. D 20. B 27. D 34. A 41. C 48. B

7. C 14. A 21. A 28. C 35. B 42. D 49. D

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Algebra en Los Numeros Reales

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