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ALGEBRA ELEMENTAL

Expresiones Algebraicas

Expresiones algebraicas tales como:

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Formulas de Factorización

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Teorema del residuo

Un polinomio como x3 + 5x2 – 3x + 4 es entero porque ninguno de sus términos tiene letras en el denominador y es racional, porque ninguno de sus términos tiene raíz inexacta. Este es un polinomio entero y racional en x y su grado es 3.

Residuo de la división de un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma .

1. Vamos a hallar el residuo de la división de x3 – 7x2 + 17x – 6 entre x – 3.

La división no es exacta y el residuo es 9.

Si ahora, en el dividendo x3 – 7x2 + 17x – 6 sustituimos la x por 3, tendremos:

33 – 7(3)2 + 17(3) – 6 = 27 – 63 + 51 – 6 = 9

Y vemos que el residuo de dividir el polinomio dado entre x – 3 se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por 3.

2. Vamos a hallar el residuo de la división de 3x3 – 2x2 – 18x – 1 entre x + 2.

Si ahora, en el dividendo 3x3 – 2x2 – 18x – 1 sustituimos la x por -2, tendremos:

3(-2)3 – 2(-2)2 – 18(-2) – 1 = - 24 - 8 +36 - 1 = 3

Y vemos que el residuo de dividir el polinomio dado entre x + 2 se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por -2.

Lo anterior, se apoya en el teorema del residuo:

“El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por ”.

Sea el polinomio Axm + Bxm-1 + Cxm-2 + ……. + Mx + N.

Dividamos este polinomio por y continuemos la operación hasta que el residuo R sea independiente de x. Sea Q el cociente de esa división.

Como en toda división inexacta, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el residuo, tendremos:

Axm + Bxm-1 + Cxm-2 + ……. + Mx + N = ( )Q + R.

Esta igualdad es cierta para todos los valores de x. Sustituyamos la x por y tendremos:

A m + B m-1 + C m-2 + ……. + M + N = ( - )Q + R.

Pero ( - ) = 0 y ( - )Q = 0 x Q; luego, la igualdad anterior se convierte en

A m + B m-1 + C m-2 + ……. + M + N = R.

Igualdad que prueba el teorema, pues nos dice que R, el residuo de la división, es igual a lo que se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por la , que era lo que queríamos demostrar.

EJERCICIOS