Algebra del momento angolare - people.roma2.infn.itpeople.roma2.infn.it/~cini/eft2016/eft2016-10.pdf · 2. Troveremo che gli autostati e gli autovalori del momento angolare sono diaposti

1

[ ][ ] [ ] ( )

, ,

, ,

z x y z

z x y z x y z

yp zp zp xp

y p z p p z p x i yp xp i L− −

− −

= − −

= + = − − =

[ ], , , ,x y z y x z z x z y x zL L yp zp zp xp yp zp xp zp zp xp−− − −

= − − = − − −

[ ]

,

,

,

x y z

y z x

z x y

L L i L

L L i L

L L i L

−

−

−

=

= =

( ),x y x y y x zzL L L L L L L L i L

etc

= − = ∧ =

L L i L∧ =

Componenti del momento angolare

Algebra del momento angolare

2 2 2 2_ _[ , ] [ , ] 0x y zL L L L L L= + + =

2 , , ,

, ,z

L m m

L m m m

λ λ λ

λ λ

=

=

Abbiamo visto che:

I matematici parlano di algebra quando si hanno operazioni + e *

2 2 2 2

2 2 2

,quanto vale ?

. . ha autovalori , intero,ma non si possono sommare perche' non hanno autovettori comuni

x y z

x

L L L L

N B L m m

λ= + +

2 2 2 2_ _[ , ] [ , ] 0x y zL L L L L L= + + =

1

2

Troveremo che gli autostati e gli autovalori del momento angolare sono diaposti secondo lo schema:

Le ampiezze Ylm(θ,φ)= <θ,φ|l,m> si chiamano armoniche sferiche.

0 01

1 01

l m

l m

= =

= = −

21

2 012

l m

= = −

−

2 , ( 1) , , , , , conzL l m l l l m L l m m l m= + =

Insomma e' un intero positivo, m un intero non superiore in modulo a

ll

Tutto discende in modo elegante dalle regole di commutazione.

2

3

[ ] ( ) ( )

†

Poiche'

Definizione: shift op

,

erators .

, ,

( ) , ( ) ,

( 1) . S

,

,operando con ambedue i membri s

,

u

i ,

z z x y y x x y

z

z

z

x y x y

z

L L L L iL i L iL L iL L

L L

L L iL L L iL L

m

L L L

L

L m L m LL m

L

m

m

L

L m

λ

λ λλ

λ

+ +

+ +

+

+

+

+

− +

+ + + +

= + = − = + =

≡ + ≡ − =

= + = +

= +

⇒ = +

e' trovato che

, e' autostato di con autovalore ( 1).

Unica alternativa: , 0.zL m L m

L m

λ

λ+

+

+⇒

=

2 , , ,

, ,z

L m m

L m m m

λ λ λ

λ λ

=

= [ ]

,

,

,

x y z

y z x

z x y

L L i L

L L i L

L L i L

−

−

−

=

= =

, , 1L m C mλ λ+ +⇒ = +

3

4

2

2 2

2

2

2 2

2

Poiche' commuta con le componenti di L

, 0, , 0

commuta anche con

, 0.

, deve appartenere allo stesso autovalore :

, , ,

, autostato di con auto

x y

L

L L L L

L L

L L

L m

L L m L L m L m

L m L

λ λ

λ λ λ λ

λ

+

+

+

+ + +

+

= =

=

= =

valore , come , .mλ λ

5

[ ] ( )

†

,

Analogamente, per l'operatore di shift si ha:

( ) , ( ) ,

( 1)

, autostato di con autovalore ( 1)

,

,

,

x y

z z

z z x y y x

z z

z

L L L L iL i L i iL L

L L L

L L iL L

L L L L m L m LL

m

m

L m L

L m

L m

L

m

λ

λ

λ λ

λ

− −

− − −

− +

−−

−

− − −

−

= − = − − =

≡ − =

= − = −

=

− ⇒

−

−

⇒

⇒ −

=

Unica alternativa: , 0.L mλ− =

2 , , ,

, ,z

L m m

L m m m

λ λ λ

λ λ

=

= [ ]

,

,

,

x y z

y z x

z x y

L L i L

L L i L

L L i L

−

−

−

=

= =

5

6

2

2 2

2

2

2 2

2

Poiche' commuta con le componenti di L

, 0, , 0

commuta anche con

, 0.

, deve appartenere allo stesso autovalore :

, , ,

, ' autostato di con a

x y

L

L L L L

L L

L L

L m

L L m L L m L m

L m e L

λ λ

λ λ λ λ

λ

−

−

−

− − −

−

= =

=

= =

utovalore , come , .mλ λ

, , 1L m C mλ λ− −=⇒ −

si chiamano pertanto operatori di spostamento.±L

7

2 22 2 2 2 22 , , , , , ., , x y z zm LL m Lm m mL m L mλ λ λ λλ λ λ λ= + == +⇒

Si puo’ far salire m senza limiti, per un dato λ ?Classicamente il quadrato di una componente non puo’ eccedere L2. Nemmeno quantisticamente puo’! Infatti,

2 22 2 2 2 2, , , , .x y z zm L m m L m mL Lλ λ λ λ λ= ≥ =+ +

x

22

2

2

2

I quadrati delle componenti sono positivi:espandendo in autostati di L ,nel sotto spazio , L , , , con L , ,

, , , , 0

Allo stesso modo, , , 0, quindix

x x x x x x x x

x xm

x

y

m m m m m m

m m m m mL

Lm m

λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ

= =

= ≥

≥

∑

∑

Le relazioni , , 1 permettono di ottenere qualsiasi m con fisso?

L m C mλ λλ

± ±= ±

7Assegnato λ, m e’ limitato superiormente.

8

Sia max , intero 0 e funzione di .l m λ= ≥

Assegnato λ, m e’ limitato superiormente. Dobbiamo determinare gli m possibili per un dato λ.

A un certo punto la crescita deve finire , 0L lλ+ =

Da qui possiamo trovare l’autovalore λ di L2 .

, , 1

come puo' essere vero se , 1 non esiste, senza portare a errori?

L l m C l m

l m+ += +

+

8

[ ]

2 2

2 2 2 2

( )( ) ( )e per le regole di commuta

, , ,

zione

( )

x y x y x y y x x y

x y z x y z

x y z y z x z x y

L L L iL L iL L L i L L L L

L L L L i i L

L L i L L L i L L L L

L L

i

L−− −

+ −

+ −

= = =

= + − = + + −

= + + = +

− +

2 2z zL L L L L+ − = − +

zz LLLLL −−=+−22

E analogamente

2zAggiungendo e togliendo L

9

10

2Quindi, ( 1) con max . Agendo con L allo stesso modo si trova min m=-l.

l l l mλ

−

= + =

Nondimeno, si usa denotare gli autostati con |l,m> anziche’ con |l(l + 1),m>. Basta intendersi!

2 2

2 2

2 2 2

Applichiamo a , per max la relazione sali-scendi

Imponendo , 0

( ) , 0 implica

, ( ) , ( 1) , con m=l

z z

z z

z

l l m L L L L L

L l

L L L l

L l L L l m m l

λ

λ

λ

λ λ λ

− +

+

= = − −

=

− − =

= − = +

Le ampiezze Ylm(θ,φ)= <θ,φ|l,m> si chiamano armoniche sferiche.

0 01

1 01

l m

l m

= =

= = −

21

2 012

l m

= = −

−

2 , , ,

, ,z

L m m

L m m m

λ λ λ

λ λ

=

=

10

11

* *Viene , ( ) , 1 , , 1x yl m L iL C l m l m L C l m± ±= ± ⇒ = ±

Prendere il coniugato di , ( ) , , 1x yL l m L iL l m C l m± ±= ± = ±

222 ||,, ±=− CmlLLLml zz

Abbiamo visto che , ( ) , , 1x yL l m L iL l m C l m± ±= ± = ± Troviamo .C±

2, , | |l m L L l m C± ±=

Prendiamo il prodotto scalare con , ( ) , , 1x yL l m L iL l m C l m± ±= ± = ±

2 2 2 2Usando z z z zL L L L L L L L L L− + + −= − − = − +

[ ]2 2 ( 1) ( 1)C l l m m±⇒ = + − ±

, ( 1) ( 1) , 1L l m l l m m l m±⇒ = + − ± ±

Matrici degli operatori di shift

11

12

Matrici del momento angolare

( ) ( )1 2 1 2

2 2 2 21 1 2 2 1 1 , ,, 1 , e quindi 1 l l m mL l m l l m l m L l m l lλ δ δ= + = +

1 2 1 21 1 2 2 1 , ,, , e quindi z z l l m mL l m m l m l m L l m m δ δ= =

1 2 1 21 1 2 2 1 1 2 2 , , 1( 1) ( 1) l l m ml m L l m l l m m δ δ± ±= + − ±

Abbiamo visto che:

1 0 00 0 00 0 1

zL = −

Per l=1 sulla base |11>,|10>,|1,-1>

1 0 01,1 0 1,0 1 1, 1 0

0 0 1

→ → − →

1,1 1,0 1, 1−

1,11,01, 1−

12

Esempio L=1

13

†

0 0 0

2 0 0

0 2 0

L L− +

= =

2 2x yL L L LL L

i+ − + −+ −

= =

0 01 02 0 0

y

iL i i

i

− = −

1 0 00 0 00 0 1

zL = −

0 1 01 1 0 12 0 1 0

xL =

1, 1 2 1,0 1,0 2 1,1 1,1 0L L L+ + +− = = =

1,1 1,0 1, 1−

1,11,01, 1−

0 2 0

0 0 20 0 0

L+

=

13

14

0 1 01 1 0 12 0 1 0

xL =

0 01 02 0 0

y

iL i i

i

− = −

1 0 00 0 00 0 1

zL = −

1L =

2

1 0 11 0 2 02

1 0 1xL

=

2

1 0 11 0 2 02

1 0 1yL

− = −

2

1 0 02 0 1 0

0 0 1L

=

In generale, in termini di matrici di rango 2l+1, possiamo rappresentare ilmomento angolare sulla base delle armoniche |l,m>. Le matrici di L hanno le stesse regole di commutazione degli operatori del momento angolare e gli stessi autovalori; formano una rappresentazione del momento angolare.

[ ]

,

,

,

x y z

y z x

z x y

L L i L

L L i L

L L i L

−

−

−

=

= =

14

15

Problemi stazionari in 3 dimensioniLe equazioni differenziali alle derivate parziali sonomolto piu difficili da risolvere di quelle ordinarie,a meno che non si possano separare le variabili. Questo accade quando c’e’ molta simmetria e noi disponiamo di un sistema di coordinate adatto.

Una prima separazione e’ quella che portaall'equazione per gli stati stazionari, ed e’ permessaquando H non dipende dal tempo.

ˆ ˆ( , ) ( , ), ( , ) ( ,0) ( ,0) ( ,0)

set completo (teoria di Fourier)

iEt

iEt

H x t i x t x t x e H x E xdt

e

−

−

∂Ψ = Ψ Ψ = Ψ ⇒ Ψ = Ψ

⇒

Per fortuna alcuni fra i problemi stazionari piu’ interessanti sono separabili in coordinate cartesiane o in coordinate sferiche.

16

L’equazione degli stati stazionari

2 2 2 2

2 2 22V E

m x y z ∂ ∂ ∂

− + + Ψ + Ψ = Ψ ∂ ∂ ∂

si separa se ( , , ) ( ) (y) ( )x y zV x y z U x U U z= + +

( ) ( )Poniamo ( , , ) ( ) .x y z X x Y y Z zΨ =

2 2 2 2

2 2 22X YZ XZ Y XY Z VXYZ EXYZ

m x y z ∂ ∂ ∂

− + + + = ∂ ∂ ∂

dividiamo per XYZ

2 2 2

2 2 2 21 1 1 2X mY Z V EX x Y y Z z

∂ ∂ ∂+ + + = −

∂ ∂ ∂

2 2 2

2 2 2 21 1 1 2

x y zX mU Y U Z U E

X x Y y Z z ∂ ∂ ∂

+ + + + + = − ∂ ∂ ∂

Separazione variabili- Coordinate Cartesiane

17

2 2 2

2 2 2 21 1 1 2

x y zX mU Y U Z U E

X x Y y Z z ∂ ∂ ∂

+ + + + + = − ∂ ∂ ∂

dipende da x dipende da y dipende da z costante

Come puo’ essere?2 2 2

2 2 2 21 1 1 2

x y zX mU Y U Z U E

X x Y y Z z ∂ ∂ ∂

+ + + + + = − ∂ ∂ ∂

22 ε−

xm

22 ε−

ym

22 ε−

zm

x y z Eε ε ε+ + =

2

2

2

2

2

2

1 ( )( )1 ( )( )1 ( )( )

x x

y y

z z

X U xX x x

Y U yY x y

Z U zZ z z

ε

ε

ε

∂+ = ∂

∂ + = ∂ ∂

+ =∂

2

2

2

2

2

2

( ) ( ) ( ) Set completo ( )con

( ) ( ) ( ) Set completo Y ( )con

( ) ( ) ( ) Set completo Z ( )con

x x n nx

y y m my

z z p pz

X U x X x X x X xx

Y U y Y x Y x xyZ U z Z z Z z z

z

ε ε

ε ε

ε ε

∂+ = ⇒ ∂

∂+ = ⇒ ∂

∂+ = ⇒

∂

( ) ( )

( ) ( )

La piu' generale soluzione e'

( , , ) ( , , ) ( ) .

ˆAutostati di H:( ) con E=E

m n pmnp

m n p mnp nx my pz

x y z a m n p X x Y y Z z

X x Y y Z z ε ε ε

∞

Ψ =

= + +

∑

Quando U=Ux(x)+Uy(y)+Uz(z) i moti lungo i 3 assi sono indipendenti; classicamente prenderemmo ilprodotto delle probabilita’, qui viene il prodotto delle ampiezze, che significacomunque indipendenza statistica.

18

− < < − < < − < <=

∞

0, , , ,( , , ) 2 2 2 2 2 2, altrimenti

y yx x z zL LL L L Lx y zV x y z

Esempio: scatola parallelepipeda a pareti infinite

ψ

ε ε ε

=

= + +

( , , ) ( ) ( ) ( )x y z x y z

x y z x y z

n n n n n n

n n n n n n

x y z u x u y u z

E

π

πε

= +

=

2 2 2

2

2 1( ) sin ( )2

, eanaloghe per y,z2

x

x

xn x

x x

xn

x

nu x x L

L L

nmL

2xL

2xL

−

Fattore che dipende da x

19

20

222222 333115 ++=++

Nel caso cubico molti livelli sono degeneri (piu’ stati con la stessa E) , ad esempio

E511 = E151 = E115 = E333

La simmetria porta degenerazione

ε ε ε

ππ πε ε ε

= + +

= = =

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2, , ,2 2 2

x y z x y z

x y z

n n n n n n

yx zn n n

x y z

E

nn nmL mL mL

21

( )2 2 2

2 2 2 2 2 2

, ,

12 2

x y z x y z

x y zx y z

n n n n n n

p p pH m x y z

mE

ω ω ω

ε ε ε

+ += + + +

= + +

Oscillatore in 3 dimensioni

( )ω ω

ε ε

+= + +

= +

2 22 2 2 2

, ,

12 2

x y z x y

x yx y

n n n n n

p pH m x y

mE

Oscillatore in 2 dimensioni

Isotropia degenerazione

Coordinate Cilindriche

2 2

arctan( )

r x yy

xz z

θ

= +

=

=

Da Cartesiane a Cilindriche:

Da Cilindriche a Cartesiane:

cossin

con[0, ] ; [0, 2 ] ; [ , ]

x ry rz z

r z

θθ

θ π

===

∈ ∞ ∈ ∈ −∞ +∞

Separazione in coordinate cilindriche e sferiche

22

cossin

x ry r

θθ

==

rx x r x

ry y r y

θθ

θθ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

1Usando arctg( )1

d tdt t

=+

2 2

arctan( )

r x yy

xθ

= +

=

2 2

cos( )sin( )yy xip

y r r x y r rθθ

θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = + = +∂ ∂ + ∂ ∂ ∂

Impulso in coordinate Cilindriche:

2 2

sin( )ip cos( )xx y

x r r x y r rθθ

θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = − = −∂ ∂ + ∂ ∂ ∂

23

cossin

x ry r

θθ

==

rx x r x

ry y r y

θθ

θθ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

sin( )Usando ip cos( )x r rθθ

θ∂ ∂

= −∂ ∂

2 2

arctan( )

r x yy

xθ

= +

=

cos( )sin( )yipr r

θθθ

∂ ∂= +

∂ ∂

2 2

2 2

sin( ) sin( )(cos( ) )(cos( ) )

cos( ) cos( )(sin( ) )(sin( ) ).

x y r r r r

r r r r

θ θθ θθ θ

θ θθ θθ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

+ + +∂ ∂ ∂ ∂

22 2

2I termini in danno [ cos( ) sin( ) ] r r r r r

θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Laplaciano in coordinate Cilindriche:

24

2 2 22 2

2 2 2 2 2

I termini in danno

1 1 sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( )r r

θ θ

θ θ θ θ θ θθ θ θ θ θ

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2

2 2

sin( ) sin( )(cos( ) )(cos( ) )

cos( ) cos( )(sin( ) )(sin( ) ).

x y r r r r

r r r r

θ θθ θθ θ

θ θθ θθ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

+ + +∂ ∂ ∂ ∂

2 2

termini misti in danno 0, quelli in

1 1 1cos( ) sin( )

Ir r

r r r r r r

θ θ

θ θ

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1(r ) .x y r r r r r r r rθ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⇒ + = + + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

25

( ) ( )

2 2

Nei problemi a simetria cilindrica H=- ( , z)2

e' ciclica e L commuta quindi , , ,imz m

Um

i z e zθ

ρ

θ ψ ρ θ ψ ρθ

∇+

∂= − =

∂

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

laplaciano in cordinate cilindriche1 1(r ) .

x y z r r r r zθ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

26

27

( ) ( )( ) ( )

( )

sin cossin sin

cos

x ry r

z r

θ φθ φ

θ

= =

=

2 2 2

2 2 2arccos

arctan

r x y z

zx y z

yx

θ

φ

= + + = + +

=

x

2 sindV r d d drθ θ φ=

x

y

z r

θ

φ

Coordinate sferiche

28

coordinate sferiche

( ) ( )( ) ( )

( )

sin cossin sin

cos

x ry r

z r

θ φθ φ

θ

= = =

2 2 2

2 2 2arccos

arctan

r x y z

zx y z

yx

θ

φ

= + + = + +

=

x

y

z r

θ

φ

2 2 2

2 2 2sin( ) cos( ), etc.

x y zr xx x x y z

θ φ∂ + +∂

= = →∂ ∂ + +

2 2 2 22

2 2 2

2 2 22

2 2 22 2 2

3 32 2 2 2 2 2 2 2

1 1Usando arccos( ) , ( )1 1 ( )

1 1

1 ( ) 1

( ) .

d d d ztdt dx dxzt x y z

x y zr

z z x yx y zx y z

d z zx d r zx zxdx r dx rx y z x y r x y

θ

θ

= − = −− + +−

+ +

= =+− −

+ ++ +

= ⇒ = =+ + + + 28

Jacobiano della trasformazione sferiche -> cartesiane:

2

2 2 2 2

1arctan ; arctan( ) 1

sin( ) cos( )=- = 0.sin( ) sin( )

y d tx dt ty x

x x y r y x y r z

φ

φ φφ φ φθ θ

= = + ∂ ∂ ∂

= − = =∂ + ∂ + ∂

sin( ) cos( ) sin( )sin( ) cos( )cos( ) cos( ) cos( )sin( ) sin( )

sin( ) cos( ) 0sin( ) sin( )

r r rx y z

Jx y z r r r

r rx y z

θ φ θ φ θθ θ θ θ φ θ φ φ

φ φφ φ φθ θ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − = = ∂ ∂ ∂

− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

x

y

z r

θ

φ

29

30

Operatore Impulso in coordinate sfericheIn unita' di

chain rule:

x

y

z

ripx x r x x

ripy y r y y

ripz z r z z

θ φθ φ

θ φθ φ

θ φθ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

cos cos sinsin cos

sinxipx r r r

θ φ φθ φ

θ θ φ∂ ∂ ∂ ∂

= = + −∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

cos sin cossin sin

sinyipy r r r

θ φ φθ φ

θ θ φ∂ ∂ ∂ ∂

= = + +∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )sincos

θθ

θ∂ ∂ ∂

= = −∂ ∂ ∂zipz r r

e si trova

x

y

z r

θ

φ

30

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

cos

sin sin

sinsin( )sin( )( )[ ]

cos sin cosrcos( )( i)[ ]

sin

isin cot( ) cos( )

xz y

L yp zp i

r r r

rr

rθ

θ φ

θθ φ

θθ φ φ

θθ θ φ

φ θ φθ φ

∂= − = − −

∂∂

∂ ∂− − + +

∂ ∂

∂ ∂= +

∂

∂

∂

∂

∂

( )

Analogamente,

i cos cot( )sin( )

y x zL zp xp

φ θ φθ φ

= − =

∂ ∂= − +

∂ ∂

Operatori di shift: exp[ ][ cot( ) ]

z y xL xp yp i

L i i

φ

φ θθ φ±

∂= − = −

∂∂ ∂

= ± ±∂ ∂

31

Componenti di L in coordinate sferiche:

( ) ( ) ( )2

2 2 22 2 2 2 2

1 1 1Inoltre ( ) sinsin sin

ip rr r r r r

θθ θ θ θ φ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )2 2

2 2 21 1sin

sin sinL θ

θ θ θ θ φ− ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂

22 2

2 21 Lrr r r r

∂ ∂ ∇ = − ∂ ∂

quindi

32

Momento angolare e laplaciano in coordinate sferiche

x

y

z r

θ

φ 2 2Direttamente o usando si trova

z zL L L L L− + = − −

33

Autofunzioni simultanee di L2 e Lz

( ) ( ) ( )2

22 2

1 1L'equazione agli autovalori per sinsin sin

e' risolta dalle arminiche sferiche

L θθ θ θ θ φ

− ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂

| || |2 2 1 ( | |)!( , ) ( 1) (cos( )

4 ( | |)!

m mm im

lm ll l mY P e

l mφθ φ θ

π

+ + −= −

+

m intero

Autofunzioni di Lz

22

2imd m e

dφ

φΦ

= − Φ ⇒ Φ =

Dipendenza da φ

Dipendenza da θ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

θ θ θ λ θθ θθ θ

θ θ

∂ ∂Θ − Θ = − Θ ∂ ∂

→

2

2

2

Sostituendo, rimane da risolvere 1 sin .

sin sin

Questa e' singolare per 0. Moltiplichiamo per sin . Si ritrova l'equazione di Legendre:

m

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2sin sin sin 0mθ θ θ λ θ θθ θ∂ ∂ Θ + − Θ = ∂ ∂

34

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2sin si

dove sappiamo che ( 1).

n sin 0,

Equazione di Legendre.

l l

mθ θ θ λ θ θ

λθ θ∂ ∂ Θ + − Θ =

= +

∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

Per l=1, risulta = 2 . Casi: m=-1,0,1

sin sin 2sin 0

risolta da cos( ).

Per l=1, =2 ,

Nel caso m=0,

nel c

sin sin 2sin 1 0

aso m

riso

(

= 1

1

l

)

t

l lλ

θ θ θ θ θθ θ

θ θ

λ

θ θ θ θ θθ θ

∂ ∂ Θ + Θ = ∂ ∂ Θ =

∂ ∂ Θ + − Θ = ∂ ∂

±

+ =

( )a da sin( ).In generale sono polinomi in cos( ) per m=0, altrimenti polinomi in cos( ) e sin( ).

θ θθ θ θ

Θ =

( ) ( ) ( )Per l=0 =0

,m=0 sin

Vediamo qualc

sin 0, risolta da

he caso semplice:

1.λ θ θ θθ θ∂ ∂ ⇒ Θ = Θ = ∂ ∂

34

35

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2

sin sin sin 0

(cos( )), dove

P ( ) ( 1) (1 ) ( )

sono polinomi associa

Soluzione generale dell' equazione di Legend

ti di Legend

re:

re.

ml

m mm ml lm

m

P

dx x P xdx

θ θ θ λ θ θθ θ

θ θ

∂ ∂ Θ + − Θ = ∂ ∂ Θ ∝

= − −

35

2

I polinomi di Legendre ( ) soddisfano un'altra eq

uazione, cioe'

[(

Polinomi di Lege

1

ndr

) ( )] ( 1) (

e:

) 0.

m

m m

P xd dx P x m m P xdx dx

− + + =

36

0 1

2 32 3

4 2 5 34 5

( ) 1 ( )1 1( ) (3 1) ( ) (5 3 )2 21 1( ) (35 30 3) ( ) (63 70 15 )8 8

P x P x x

P x x P x x x

P x x x P x x x x

= =

= − = −

= − + = − +

= −2

Formula di Rodriguez:1( ) ( 1)

2 !

nn

n n n

dP x xn dx

∞

=

=− +

∑2 0

Inoltre:1 ( )

1 2n

nn

P x txt t

δ−

=+∫

1

1

Sono polinomi ortogonali:2( ) ( )

2 1m n mndxP x P xn

36

37

( )θ φ θφ

θφ

=Possiamo scrivere , ,( che la particella sia in ha i numeri quantici l,m)

lmY l mampiezza se

( ) ( )*' '

La normalizzazione e la completezza degli angoli solidi sono espresse dal seguente teorema:

( , ') ( , ') cioe' . , ', 'lm l md Y Y l l l m mm m lδ δΩ

Ω Ω Ω = Ω Ω∑∫

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

θ φ

θ φ θ φ θ φ θ φ

θ φ θ φ

δ δ

∞

= =−

∞

= =−

= Ω

= Ω − Ω =

∑ ∑ ∫

∑ ∑

*1 1 1 1 1

0

*1 1 2 2

0

1 2

Ogni f , possiamo svilupparla in armoniche sferiche:

f , , f , ,

vale infatti la relazione di Chiusura della base delle armoniche:

, ,

k

km kmk m k

k

km kmk m k

Y d Y

Y Y

( ) ( )φ φ δ θ θ− −1 2 1 2cos cos

Le armoniche sferiche sono una base per le funzioni degli angoli

38

Armoniche Sferiche e rotazioni

'

Ruotando il sistema di riferimento, ogni Y diventa unacombinazione lineare delle Y con lo stesso . Matematicamente, per ogni si ha una base di una rappresentazione irriducibile del Gruppo O(3

lm

lm ll

) delle rotazioni.Fisicamente: non dipende dal riferimento, m si'.l

39

( )001,4

Y θ φπ

= ( )103, cos

4Y θ φ θ

π= ( )1 1

3, sin8

iY e φθ φ θπ

±± = ±

( )2 115, sin cos8

iY e φθ φ θ θπ

±± = ±( ) 2

205, (3cos 1)

16Y θ φ θ

π= − ( ) 2 2

2 215, sin

32iY e φθ φ θ

π±

± =

Armoniche Sferiche con l<3

( ) ( ) ( ) ( )2

2soddisfa , ( 1) , , , ,

con m=l.

zlm lm lm lm

LL Y l l Y Y mYθ φ θ φ θ φ θ φ= + =

( )Si puo' verificare che , sinil llll Y e φ θ∀ =

40

( )001,4

Y θ φπ

=( )10

3, cos4

Y zθ φ θπ

=

( ) ( )11 11 13, s 3, ( )

81 lini

8en arei

mY r x iyY le Yφ θ φθ φ θπ π±

±± = ± = =± ±

( ) ( )22 11215, sin 15, (

8cos

8)i Y r zY e x iyφθ φ θ θ

πθ φ

π±

± ± = ±= ± ±

( ) ( ) 2 2202

220

5, (3cos 1 5, (3 )1

)16 6

Y rY z rθ φ θππ

θ φ= − = −

( ) ( )2 2

2

22

22

2 215,15, ( )

32 quadratica nelle coordinat

2sin

e32

m

i Y r x

Y

e

l

iyY φ θθ φπ

θ φπ

±± ±

=

= = ±

Armoniche Sferiche-forma cartesiana( ) ( )( ) ( )

( )Usando si possono scrivere in termini di x,y,z

sin cossin sin

cos

x ry r

z r

θ φθ φ

θ

= = =

40

41

Separazione variabili nei problemi centrali:V=V(r)

Equazione degli stati stazionari H Ψ = E Ψ

( ) ( ) ( ) ERYRYrVRYr

RYr

RYr

rrrm

=+

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

− )(sin

1sinsin11

2 2

2

2222

2

2

φθθθ

θθ

Riordiniamo un po’

( ) ( ) ( ) ERYmRYrVmRYr

RYr

RYr

rrr

)2()()2(sin

1sinsin11

222

2

2222

2

−=−+∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

φθθθ

θθ

( ) ( ) ( ) 0sin

1sinsin12)(21

2

2

222222

2 =∂∂

+

∂∂

∂∂

++−

∂∂

∂∂ RY

rRY

rRYmERYrmVRY

rr

rr φθθθ

θθ

Dividiamo per RY e moltiplichiamo per r2

( ) ( ) ( ) 0sin

11sinsin

112)(212

2

22

2

2

22 =

∂∂

+

∂∂

∂∂

++−

∂∂

∂∂ Y

YY

YmErrVmrR

rr

rR φθθθ

θθ

Separiamo le variabili con: ( )( , , ) ( ) ,r R r Yθ φ θ φΨ =

Togliamo la parentesi

22 ( ) ( , , ) ( , , )

2V r r E r

mθ φ θ φ

− ∇ + Ψ = Ψ

42

( ) ( ) ( ) 0sin

11sinsin

112)(212

2

22

2

2

22 =

∂∂

+

∂∂

∂∂

++−

∂∂

∂∂ Y

YY

YmErrVmrR

rr

rR φθθθ

θθ

indipendente da r

22 2 2 2

1 1 2 ( ) 2 0mV r mEr RR r r r r

λ∂ ∂ − + − = ∂ ∂

( ) ( ) ( )2

2 2

1 1 1 1sin , con ( 1)sin sin

Y Y l lY Y

θ λ λθ θ θ θ φ

∂ ∂ ∂ + = − = + ∂ ∂ ∂ Equazione angolare

Equazione radiale

22 2 2 2

1 2 ( ) 2 ( ) 0mV r mEr R R R R rr r r r

λ∂ ∂ − + − = ∂ ∂

L’equazione radiale e’ l’unica che dipende da V(r)

indipendente dagli angoli

| || |2 2 1 ( | |)!( , ) ( 1) (cos( )

4 ( | |)!

m mm im

lm ll l mY P e

l mφθ φ θ

π

+ + −= −

+

43

Equazione radiale

22 2 2 2

22

2 2

1 2 ( ) 2 ( 1) ( ) 0

E' un problema 1d ma con un muro infinito che impone r 0.1 2La parte cinetica e' piu' complicata.

Per l>0 una potente f

mV r mE l lr R R R R rr r r r

R Rr Rr r r r r r

∂ ∂ + − + − = ∂ ∂ ≥

∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂

orza centrifuga scaccia la particella da r=0.

Equazione degli stati stazionari H Ψ = E Ψ

Separate le variabili con: ( )( , , ) ( ) ,r R r Yθ φ θ φΨ =

E’ utile saperlo a memoria

Per V( r)=0 si ha una particella libera di momento angolare l

Campo centrale V(r)

44

Particella libera : autostati comuni di 2, , zH L L

l(l+1) autovalore di L2 ma R non dipende dall’autovalore m di LzSe ne dipendesse sarebbe proibito ruotare il riferimento!

2 2 2 02 2 2

21 ( 1) ( ), , R sta per R lm Ed dR l lr R k R r k

r dr dr r+ − + = =

krρ =equazione di Bessel sferica ( )2 2'' 2 ' 1 ( ) 0R R l l Rρ ρ ρ ρ + + − + =

[ , ] [ , ] [ , ]le onde piane non hanno momento angolare definito.

z x y x x x y yL p xp yp p x p p i p= − = = −

⇒

rappresenta un fascio di elettroni monocromatici con p definito.ikze

OAnche classicamente non hanno tutti lo stesso L rispetto a una origine O

45

sin( )per l=0 soddisfa R( )= ρρρ

krρ =equazione di Bessel sferica ( )2 2'' 2 ' 1 ( ) 0R R l l Rρ ρ ρ ρ + + − + =

( )soluzione generale:

sin1( )

funzioni di Bessel sferiche

ll

ldj

dρ

ρ ρρ ρ ρ

= −

0

1 sin( )( ) (2 1) (cos )ll

ikz ll

k

r d kre i l Pk r dr r

θ∞

=

= − + ∑

Espansione dell'onda piana in armoniche sfericheSi puo’ dimostrare che:

Friedrich Wilhelm Bessel(1784-1846)

fu il primo a misurare la distanza di una stella e scopri’ Sirio B.

45

46

Equazione radiale2

2 2 222 ( )1 2 ( 1) ( ) 0mV r mE l lr R R R R r

r r r r∂ ∂ + − + − = ∂ ∂

Equazione degli stati stazionari H Ψ = E Ψ

Separiamo le variabili con: ( )( , , ) ( ) ,r R r Yθ φ θ φΨ =

( )Trucco: per semplificare poniamo ( ) .u rR rr

=

2

2

2

( ) '( ) ( )

( ) '

( ) '' ' ' ''

u r u r u rr r r r

u rr ru ur r

u rr ru u u rur r r

∂= −

∂∂ = − ∂

∂ ∂ = + − = ∂ ∂

Particella in campo centrale non nullo

Piu’ semplice!

46

47

22 2 2 2

2

2 2 2

Cosi' l'equazione radiale 1 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 0

( )mettendoci '' ' ' ''

'' 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( 1) ( )diventa 0

u r mV r u r mE u r l l u rrr r r r r r r r

u rr ru u u rur r r

u mV r u r mE u r l l u rr r r r r

∂ ∂ + − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ = + − = ∂ ∂

+− + − = ⇒

2 2 22 ( ) ( 1) 2'' [ ] ( ) ( )

e' un problema 1d ristretto a r>0.

mV r l l mEu u r u rr+

− + + =

48

2 2

2 2

e' una equazione di Schrödinger 1d con r>0 (un muro impenetrabile impedisce r<0). Oltre al potenziale esternoc'e'

( 1) ( 1)potenziale centrifugo (per l>0). V(r) V(r)+2m 2m

l l l lr r+ +

= →

2 2 22 ( ) ( 1) 2'' ( ) ( ) ( )mV r l l mEu u r u r u r

r+

− + + =

2 22 ( ) ( 1)mV r l l

r+

+

r

proibito

49

Zona permessa

Semplicissimo per l=0

...3,2,1,2

22

22

0 == nnma

Enπ

2 2 2

Equazione radiale:2 ( ) ( 1) 2'' ( ) ( ) ( )mV r l l mEu u r u r u r

r+

− + + =

Imponendo condizioni al contorno u=0 per r = a si ottengono gli autovaloriper la particella in una scatola di potenziale sferica

Buca di potenziale sferica

0,( )

,r a

V rr a

<= ∞ >

2

2

2'' ( ),

2( ) sin( )

mEu u r r a

mEu r r

− = <

x

y

z r

θ

φ

Altrimenti funzioni di Bessel sferiche

Atomo

John Dalton per primo cercò di descrivere l’atomo nel 1803. L’evidenza in favore dell’esistenza degli atomi si basava sulla chimica, cioe’ sulla conservazione della massa (Lavoisier) e sulla legge delle proporzioni definite di Proust.quando due o più elementi reagiscono, per formare un determinato composto, si combinano sempre secondo proporzioni in massa definite e costanti.L’esistenza degli atomi pero’rimase a lungo una congettura. Il successo della teoria cinetica dei gas (distribuzione di Maxwell) contribui’ arafforzarla

John Dalton, Eaglesfield 1766-Manchester 1844

50

"...un composto è un prodotto privilegiato al quale la natura ha dato una composizione costante".

51

Atomo di IdrogenoL’elettrone fu scoperto da J.J. Thomson nel 1897, il nucleo da Rutherford nel 1911.

Ernest RutherfordJoseph John Thomson

La massa atomica dipendeva dal numero di Avogadro A=6*10^23, che fu ottenuto da Einstein nel 1905; si trova che un protone pesa 1,67 10^(-27) Kg.

Classicamente non si capisce come l’atomo sia stabile

11Tempodi vita radiativo dell'atomo classico : 1.6 10 .Invece l’atomo e’ stabile!

t s−=

La serie di Balmer, importante in in fisica e astronomia, e’ una sequenza di righe nel visibile dello spettro dell'atomo di idrogeno.

Classicamente non si capisce perche’ abbia dimensioni di 10-8 cm, energia caratteristica di 10 V, e nemmeno perche’ emetta righe ……..

52

53

54

Formula di Balmer,un'equazione empirica scoperta nel 1885 dal matematico svizzero Johann Balmer.Ancora non si era scoperto l’elettrone ne’ il nucleo….

2

2

7 12

1, 2,3...4

1 1 1( ), 1.0972 104

m mm

m

m cB mm

R R mm

λ νλ

λ−

= = =−

= − =

Poi fu scoperta la serie di Lyman (ultravioletta)

7 12 2

1 1 1Serie di Lyman ( ), 1.0972 101

R R mnλ

−= − =

55

(1888)

R=Rydberg=13.59 eV1 Hartree= 2 Rydberg = unita’ di energia delle unita’ atomiche in cui si prende

massa elettrone m=1carica elettrone e=1

=1

56

2 ( )Ponendo ( ) , ( ) semplifichiamo:Ze u rV r R rr r

= − =

Dimensioni:

[ ]2 2

2022 2

(mvL) mv L 1* mvee

L L a Lme

L

= = ⇒ =

2

( ) (Ze=carica del nucleo)ZeV rr

= −

2

2 22 2

2( 1) 2 2equazione radiale : ( ) ( )d u l l mEu u r u rdr r r

m Ze+− + − =

Stati legati (discreti) dell’atomo idrogenoide

Equazione radiale di Schroedinger

22 2 2 2

1 2 ( ) 2 ( 1) ( ) 0.mV r mE l lr R R R R rr r r r

∂ ∂ + − + − = ∂ ∂

−⇒

12

2 2udimensioni: ogni termine Z m LL

e

2

2 2 20

( 1) 2 2( ) ( )d u l l mEu u r u rdr r a r

+− + − =

Lunghezza caratteristica:2

0 2 ,

0.529Bohr

B h

B

o raam e Z

a a AZ

=

= =

=

problema classico: non ha scala

2 20

2 20

00

adimensionale

adimensiona

2energia2

lunghezz lea

Rydberg

maE E EE ma

r r aa

ε ε

ρ ρ

= = ⇒ =

= ⇒ =

Lunghezza caratteristica:2

+ 2 30 2 , 0.529 , aumentando si restringe (He , , ,...)Bohr

Baa a A Z Li B

me Z Z+ += = =

2

20

anche una energia caratteristica: 1 13.6 eV2

Unita' atomiche: unta' di energia = 1 Hartree= 2 Ry=27.2 eV (Da Douglas Rayner Hartree, Cambridge 1897-1958).

RydbergE Ry

ma∃ = = ≈

57

Forma adimensionaleEssendoci una scala, conviene lavorare con grandezze senza dimensioni

forma adimensionale

22 ( 1)'' ( ).l lu u uε ρρ ρ

++ = − +

02

2 2 20

Sostituendo r= nella

( 1) 2 2 ( ) ( )

a

d u l l mEu u r u rdr r a r

ρ

+− + − =

2

2

2

2 2 2 2 2 20 0

20 0

si trova: ( 1) 2 2( ) ( )

e semplificando si p2

erviene alla

d u l l mu u r u ra d a a maρ ρ ρ

ε+− + − =

58

59

Soluzione particolare (stato fondamentale)

=supponiamo 0 (classicamente nessuna orbita ha l=0,passerebbe per il nucleo, passando per un punto dove

il potenziale e' infinito)

l

λρ λρρρ ρρ

− −= ⇒ = ≈Soluzione es ()at (a )t u e euR

22 ( 1)'' ( )l lu u uε ρρ ρ

++ = − +

Nella forma adimensionale

2''( ) ( ) ( ) 0u u uρ ε ρ ρρ

⇒ + + =

λρ

ε ρ

ρ ρ ε ρ

ρ

ερρ

λ−

− −

→ ∞ + = = =

=

⇒

⇒ ≈

2Per ''( ) ( ) 0 con

( )

(

)

u u u

euR

e

60

Verifichiamo e troviamo ε:

λρ λλρ

λρ λρ

λρ λρ λρ λρ λρ

ρρ

λ λ ρ

λ λ λρ

λ

λ λ ρ λ ε

ρ−

− −

− − − −

− −

−

= ⇒

⇒ = − −

= − − − = − + = −

= −

2

'' ( )'

( ,

'

) 2

u eu e e

e e e e

u e

e

e

ρ ε ρ ρρ

+ + =2''( ) ( ) ( ) 0u u u

λ λρρλρ λρ

ε ρ

ε ρ

ε

ρ

λ ρρ

ρρ

ρ

λ ε λ ελ

λ ρ

λ λ ρ

λε

− − −−+ + =

+ + =

+ = =

+ +

=

−

− +

− +

− + ==

2

2

2

2 ( )

0

0.

Ma 0 perche' , e rest

Viene: ( )

2

2a: 0.Quindi

''( )

1 e viene =-

2

1

2

2

2.

u

e

u u

e e e

60

λ ε ε= = − ⇒

− =

=

=⇒ − = −

2

20

2 4 2

2 20

1 1

riferita al livello di vuoto2 2

(Per H lo zero dell'energia corrisponde a particelle fermeall'

2

infinito).

Rydbergme ZE

a

Ema

Em

Ricordando u e λρρ −= λρλρ

−−= ⇒ = = =1 Bohr

rauR e e

61

Qualunque distanza dal nucleo e’ possibile, incluso r=0 e r=1m.Ma il raggio di Bohr e’ la distanza caratteristica. L’elettrone non irraggia, e’in uno stato stazionario e non ha una traiettoria, ma ha momento angolare nullo.

Quantita’ dimensionate2

002

2

0 2

0

2Ricordiamo che

,

d

:

ove

Rydb

o r

g

h

er

B

ma

aame Z Z

E rE r aE a

ε ρ ρ= = = ⇒

=

=

=

62

000 0 3

0

Moltiplicando la funzione radiale per l'armonica sferica,

1 1( ) .4

Questa funzione e' sfericosimmetrica, mentre il modello di Bohr e' piatto.

raY r e

aψ

π π

−

= ⇒ =

2

0 2= = Bohraa

me Z Z2 4 2

2 202 2

me ZEma

= − = −

ψ π ψ= =∫ ∫2 23 2

0 0

Normalizzazione:

4 1d r drr

( )( , , ) ( ) ,r R r Yθ φ θ φΨ =

Ricaviamo tutti gli infiniti stati legati. Poi i sono quelli del continuo (Coulomb waves)

22 ( 1)'' ( )l lu u uε ρρ ρ

++ = − +

Partiamo dalla forma adimensionale

λρ

ρ ρ ε ρ

ρ λ ε−

→ ∞ + =

⇒ = = −

Indipendentemente da , se , ''( ) ( ) 0

( ) ,

l u u

u e

Ci sono infiniti stati legati entro i 13.59 eV dallo stato fondamentale; questo e’ dovuto alla legge di Coulomb per cui l’interazione e’ a lungo raggio. Sopra esiste il continuo elettrone+protone, che si puo’ studiare con esperimenti di scattering.

63

ρρ

ρ=funzione radiale

( )( ) nl

nl

uR

22 ( 1)Equazione radiale '' ( )l lu u uε ρρ ρ

++ = − +

2( 1)'' ( ), 0l lu u ρ ρρ+

≈ →a breve distanza dal centro

1

nl

Per 0, va a 0 come .La barriera centrifuga funziona! u 0 per 0 e R 0 se l 0.

lnluρ ρ

ρ

+→→ → → ≠

64

quello che cambia con l e’ l'andamento a breve distanza dal centro a causa della barriera centrifuga

ρρ

ρ=funzione radiale

( )( ) nl

nl

uR

( ) ( )1 ( )Poniamo l lu e fλρρ ρ ρ− +=

( )( )

( )

10 1

Vedremo che polinomio di grado e pertanto

... ,

=intero=numero quantico radiale, incognite : ,e i coefficienti

r

r

lr

nln

r i

f n

u e c c c

n c

λρ

ρ

ρ ρ ρ ρ

λ

− + = + + +

22 ( 1)Equazione da risolvere: '' ( )l lu u uε ρρ ρ

++ = − +

λρρ ρ λ ερ ρ

−

+

→ ∞ = = −

→ = 1

Come si e' visto,

Per , ( ) ,Per 0, l

u eu

65

( ) 11 2 10 1

0...λρ λρ ν

νν

ρ ρ ρ ρ ρ+ +− + + − + +

=

= + + + = ∑r

r

r

nn ll l l

nu e c c c e c

( ) ( )( )

( )

1

( )

10 1

( )

con polinomio di g

Ponia

rado

... , cioe'

m ,o

r

r

lr

l l

nln

f n

u e c c c

u e f

λρ

λρ ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ ρ−

− +

+

=

= + + +

22 ( 1)'' ( ).Sostituiamo in l lu u uε ρρ ρ

++ = − +

( )

( ) 2 1

0 0

1

0

0

0

1

0

Calcolo delle derivate:

' ( 1) .

'' ( 1)

( 1) ( 1)( ) .

r

r r

r r

r

n nl l

n

n nl l

nl l

u e c e

u e c e c l

e c l e c

c l

l l

λρ ν λρ νν ν

ν ν

λρ ν λρ

λρ ν λρ νν ν

νν ν

ν ν

ν ν

ρ λ ρ λ ν ρ

λ ν ρ

ρ λ ρ ν ρ

ν ν ρ

− + + − +

= =

− + − + −

= =

− + + − +

= =

= − + +

− + + + + +

= − +

+

+ +∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑66

( ) 11 2 10 1

02(con , come si sa dall'andamento a grandi distan

.

)

..

ze

rr

r

nn ll l l

nu e c c c e cλρ λρ νν

ν

ρ ρ ρ ρ ρ

λ ε

+ +− + + − + +

=

=

=

−

+ + + = ∑

( ) 1

0 0' ( 1)λρ ν λρ ν

ν νν ν

ρ λ ρ ν ρ− + + − +

= =

= − + + +∑ ∑r rn n

l lu e c e c l

( ) 2 1 1

0'' 2 ( 1) ( 1)( )

rnl l lu e c l l lλρ ν ν ν

νν

ρ ρ λ ν ρ ν νλ ρ− + + + + −

=

= − + + + + + +∑

1

0'' 2 ( 1) ( 1)( )

rnl lu u e c l l lλρ ν ν

νν

ε λ ν ρ ν ν ρ− + + −

=

+ = − + + + + + +∑

Potenze diverse: antipatiche da maneggiare

67

22 ( 1)Sostituiamo in '' ( )l lu u uε ρρ ρ

++ = − +

1

2

0( 1)('' ( )2 1)λρ ν

νν

ν

λ ε

ε λ ν ρ ν ν ρ+

=

+− −

= −

+ = − + + + + + +∑r

l ln

lu lu e c l

( ) ( )∑∑=+=

+=b

a

b

aff

11

νν

ννSpostare una sommatoria:

Cambio di nome

ν ν+1 ( ) ( )∑∑−

−==

+=1

11

b

a

b

aff

νν

νν

( ) ( )( )11

'' 2 1 1 2rn

lu u e c l c l lλρ νν ν

ν

ε ρ λ ν ν ν− ++

=−

+ = − + + + + + + + ∑

ν ν ν= < >e ricordando che 0 per 0 e per unifichiamo le somme:rc n

0

11

11

( 1)( ) ( 2)( 1)Spostando la somma r rn

ln

ll l lc lc νν ν

ν ν

νν ν ρ ν ν ρ−

+= =

+ − +

−

+ + + = + + + +∑ ∑

68

22 ( 1)'' ( )ε ρρ ρ

++ = − +

l lu u u

68

69

22 ( 1)'' ( )ε ρρ ρ

++ = − +

l lu u uAbbiamo calcolato il primo membro di

( ) ( )( )11

'' 2 1 1 2rn

lu u e c l c l lλρ νν ν

ν

ε λ ν ν ν ρ− ++

=−

+ = − + + + + + + + ∑( )

( )

2

1

0

2 ( 1)Calcolo del secondo membro [ ]

sempre conr

r

nl

n lu e

u

c

l l

λρ νν

ν

ρρ

ρ ρ

ρ

− + +

=

−

=

++

∑

( ) 1

0con

r

r

nl

n lu e cλρ νν

ν

ρ ρ− + +

=

= ∑

12

0 0

2 ( 1) ( ) 2 ( 1)r rn n

l ll l u e c l l cλρ ν νν ν

ν ν

ρ ρ ρρ ρ

− + + −

= =

+− + = − + +

∑ ∑

( ) ( )∑∑−

−==

+=1

11

b

a

b

aff

νν

νν

( )

1

120 1

10

2 ( 1) ( ) 2 ( 1)

2 ( 1)

r r

r

n nl l

nl

l l u e c l l c

e c l l c

λρ ν νν ν

ν ν

λρ νν ν

ν

ρ ρ ρρ ρ

ρ

−− + +

+= =−

− ++

=

+− + = − + +

= − + +

∑ ∑

∑

70

( )120

2 ( 1) ( ) 2 ( 1)rn

ll l u e c l l cλρ νν ν

ν

ρ ρρ ρ

− ++

=

+− + = − + +

∑

( ) ( )( )11

''

2 1 1 2rn

l

u u

e c l c l lλρ νν ν

ν

ε

ρ λ ν ν ν− ++

=−

+ =

− + + + + + + + ∑

( ) ( )( ) ( )11 2 ( 1)2 1 1 2c l c l c l l clν ν ννλ ν ν ν+ +− + +− + + + + + + + =

( ) ( )( )1

Riordiniamo:2 [1 2 1 ] [ 1 2 ( 1)] 0c l c l l l lν νλ ν ν ν+− + + + + + + + + − + =

1( 1) 12

( 1)( 2 2)lc c

lν νλ ν

ν ν++ + −

=+ + +

( ) 1

0

ansat( )Trucco z: :

r

r

nl

n l

u rRr

u e cλρ νν

ν

λ ε

ρ ρ− + +

=

= = −

= ∑2

2 ( 1)'' ( )ε ρρ ρ

++ = − +

l lu u u

Relazione di ricorrenza ν=0,1,2,3…..

71

Relazione di ricorrenza ν=0,1,2,3…..

che accade se ?ν → ∞

νλ ν

νcc 21 ≈+

( )!

2νλ ν

ν ≈c

1 2( ) lu e eλρ λρρ ρ −+≈

1( 1) 12

( 1)( 2 2)lc c

lν νλ ν

ν ν++ + −

=+ + +

( )

0 1 1 2

0

2 3

1

Pero' se c 0, tutti i successivi sono 0.

r

n

nl

c c c c c c

u e cλρ νν

ν

ρ ρ− + +

=

⇒ ⇒ ⇒=

= ∑

La funzione trascendente esplode all’infinito e la ψ non si puo’ normalizzareoccorre che sia un polinomio di grado finito-> la relazione di ricorrenza deve dare 0.

BANG!

72

n e’ misto: radiale e angolare

Posto 1 numero quantico principale, intero 1,la condizione per una funzione R normalizzabile e' 1 0,

1' .

rn l nn

cioen

λ

ε

+ + = ≥− =

− =

1( 1) 12

( 1)( 2 2)lc c

lν νλ ν

ν ν++ + −

=+ + +

Perche’ la serie termini occorre che venga cν+1 = 0 quando ν= nr

( ) 1

0

( )Trucco : :

r

r

nl

n l

ansat

u e c

zu rRr

λρ νν

ν

λ ε

ρ ρ− + +

=

= = −

= ∑

ν= nr numero quantico radiale=grado del polinomio

21 1 , 1,2,3,.....nn n

ε λ ε− = = ⇒ = − = ∞

73

2 2 2

2 213.59

2nB

Z e ZE eVa n n

= − = −

0, 0, 1 1per 0, 1,per 0, 1,

Per n fissato, 0,1,2,..., 1 ( 1 per n 0)

r r

r

r

r

l n n n ll n nn n l

l n l n

≥ ≥ = + + ≥ ⇒= = +

= = += − = − =

20

2

2 2

02

12

.nB

naE a

ma Z me Z nε ε= = = −=

Mettiamo insieme i risultati:

Le energie dipendono solo da n; per questo, 2s e 2p sono degeneri, 3s, 3p,3d sono degeneri, etc.. La successione degli stati e 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, : : :secondo lo schema seguente.

'

1 1 0 02 0 0

22 1 1,0,13 0 0

3 3 1 1,0,13 2 2, 1,0,1,24 0 04 1 1,0,1

44 2 2, 1,0,1,24 3 3, 2, 1,0,1,2,3

Gusci piu bassi

guscio n nome livello l mK s

sL

ps

M pdsp

Ndf

−

−− −

−− −

− − −74

= 0 1 2 3 4:

lsimboli

s p d f g

2 21 1

mn RydbergEn m

ν = −

fotoni che l'atomo emette nel decadimento m n fotoni che l'atomo assorbe nella transizione opposta n m .

+

La serie di linee con n = 2 fu scoperta da Balmer nel 1885 e comincia nel visibile, con la riga Hα con ω23 nel rosso, la riga Hβ con ω24 nel blu, la riga Hγ con ω25 nel violetto; la serie continua nell'ultravioletto. Poi fu scoperta la serie ultravioletta di Lyman con n = 1, e le serie infrarosse con n = 3; 4; 5.

75

In alta risoluzione si trova che ci sono sdoppiamenti e spostamenti di livelli dovuti a effetti relativistici, al momento magnetico, alle dimensioni finite ed alla massa finita del nucleo, a piccolissimi effetti di elettrodinamica quantistica (Lamb shift).

76

Funzioni d’onda idrogenoidi

Relazione di ricorrenza ν=0,1,2,3…..

1( )( 1) 12

( 1)( 2 2)ν νλ ε νν ν+

+ + −=

+ + +lc c

l

( ), , ( , , ) ( ) ,θ φ θ φΨ =n l m nl lmr R r Y ( )( ) nlnl

u rR rr

=

( ) 11 2 10 1

0...λρ λρ ν

νν

ρ ρ ρ ρ ρ

λ ε

+ +− + + − + +

=

= + + + =

= −

∑r

r

r

nn ll l l

nu e c c c e c

Come si e’ visto,

1 , 1 numero quantico principalern n ln

λ = = + +

Relazione di ricorrenza ν=0,1,2,3…..

1( 1) 12

( 1)( 2 2)lc c

lν νλ ν

ν ν++ + −

=+ + +

77

⇔polinomi Polinomi associati di Laguerre

Edmond Nicolas Laguerre 1834-1886

−

−

= −

= −

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )!

p pq p q

xq qx

q

dL x L xdx

e dL x e xn dx

1 , 0

1 0,1,2,..., 1

λ = ≥

+ = − ⇒ = −

r

r

nn

n l n l n1

2 1( 1)( 2 2)ν ν

νν ν+

+ + −=

+ + +l nc c

n l

( )( ) nlnl

u rR rr

=( ) 11 20 1 ...

ρ

ρ ρ ρ ρ− + ++ + = + + +

r

r

n lnl

l lnne c cu c

( ) ( )10 0 101 0 0rn l n u e c R eρ ρρ ρ ρ− −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

( )

( ) ( )

( ) ( )

ν

ρ

ρρ

ρ

ν

ρ

νρ ρν ν

ρ ρ ρ ρ

ρ

ρ

ρρ ρ ρ

+

− −

−

−

−

+ + − + = ⇒ = −

= == ⇒ + = ⇒ ⇒ = =

=

= −

⇒ =

=

+ +

= ⇒

− ⇒

=⇒

=

⇒

2 00 1 1

22

1

22 20 2

20

2

1

220

2

20

1

2 0 1 22 ( 1

1, 02 1

0, 1

1

12

) )

2

( 2 2

1

rr

r

cc c c c c

c u e R

n ln n l

n l

u e

e

el

u e R

78

Applicando le formule generali:

si trova:

79

( )

( )

( )

φ

φ

ψ θ φ

ψπ

ψπ

ψ θπ

ψ θπ

ψ θπ

−

−

−

−

−−

−

=

= −

=

=

=

0

0

0

0

0

32

1000

32

2200

0 0

32

2210

0 0

32

2211

0 0

32

221 1

0 0

( , , )

1 1

1 1 232

1 1 cos32

1 1 sin64

1 1 sin64

nlm

ra

ra

ra

ra i

ra i

r

ea

r ea a

r ea a

r e ea a

r e ea a

L>0 nodo in r=0

n>0 nodo

2 4 6 8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ψ 100

ψ 200

−02

0

132

ZraZr e

a

= =

2

0 2Bohraa

me Z Z

Gli atomi con n di qualche centinaio o piu’ (atomi di Rydberg) sono stati studiati, con orbitali grandi qualche micron. L’elettrone si comporta in modo quasi classico.

80

Rappresentazioni pittoriche degli orbitali

Sono le superfici con |ψ|2 costante che contengono una probabilita’ del 90% di trovare l’elettrone. Talvolta sono colorate in modo da dare informazione sulla fase.

81

Da vikipedia

La Meccanica Quantistica ci portera’ alla seguente spiegazione delle righe spettrali:

Notare i livelli discreti e le regole di selezione (che troveremo piu’ avanti)82