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Unidad 4. lgebra de Boole y Puertas Lgicas
4.1 El lgebra de Boole
El lgebra de Boole, se llama as gracias a George Boole
(1815-
1864), un matemtico ingls, que la defini como parte de un
sistema lgico que explica cmo utilizar las tcnicas
algebraicas
para tratar expresiones de la lgica proposicional.
Hoy en da y desde hace varias dcadas se aplica de forma
estndar en el mbito del diseo electrnico. Fue Claude
Shannon el primero en aplicar el lgebra booleana en el diseo
de circuitos de conmutacin elctrica biestables, en 1948.
Esta
lgica se puede aplicar a los siguientes campos:
Al anlisis, ya que es una forma concreta de describir cmo
funcionan los circuitos.
Al diseo, teniendo una funcin, se le aplica lgebra, para poder
desarrollar la
implementacin de la funcin.
De acuerdo a lo anterior el lgebra de Boole permite expresar de
una forma ms
eficiente las operaciones de los circuitos lgicos que son los
componentes principales de
la computadora, el conjunto de elementos toma dos valores 0 y 1
o verdadero o falso.
Propiedades del algebra booleana
1) Las dos operaciones son conmutativas, si a y b son elementos
del algebra se
verifican:
a+b =b+a
a.b =b.a
2) Los elementos neutros son el 0 y el 1 que cumplen la
propiedad de identidad con
respecto a cada una de dichas operaciones.
0+a =a 1.a =a
3) Cada operacin es distributiva con respecto a la otra.
a. (b+c) = a. b + a. ca + (b. c) = (a + b). (a +c)
4) Para cada elemento a del algebra existe un elemento
denominado a, tal que.
a + a =1 a. a =0
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Sobre los elementos y variables lgicas se pueden realizar las
siguientes operaciones:
En la prctica el operador del producto lgico () se suele omitir,
por lo que la expresin
AB se escribe AB.
4.2 Aritmtica binaria
Las operaciones siguientes se pueden hacer con los elementos y
variables lgicas:
Las operaciones comunes del sistema binario tales como sumar,
restar,
multiplicar y dividir se hacen de igual forma que en decimal,
sin embargo,
en la electrnica interna de algunas mquinas digitales puede ser
que
solo tenga la capacidad para sumar.
Las operaciones diferentes a la suma se consiguen mediante
un
conjunto de sumas: por ejemplo la resta de dos valores se
realiza
sumando a uno de los valores el complemento del otro.
El producto se hace sumando a s mismo uno de los factores,
tantas
veces como indique el otro factor.
La eficacia radica en que tan veloz sea el procesador, es comn
que un
coprocesador matemtico este dedicado solo para operaciones, lo
que
reduce la carga del procesador central. La divisin es repartir a
partes
Iguales, que se consigue por aproximaciones sucesivas.
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4.3 Tipos de datos
El tipo de dato dentro del algebra booleana es lgico o
vulgarmente booleano y
representa dos valores: falso o verdadero, son utilizados
ampliamente en computacin,
programacin, estadstica, electrnica, matemticas y otras ms.
La obtencin de un dato lgico a partir de otros tipos es
necesario una operacin que
utilicen operadores relacionales:
Ejemplo
(A > B) = 1 Verdadero
(8 > 10) = 0 Falso
Ya tenemos uno o varios datos booleanos, se combinan en
expresiones lgicas
mediante los operadores lgicos: AND, OR, NOT, etc.
Ejemplo:
Verdadero AND falso-->falso
Falso OR verdadero-->verdadero
NOT verdadero -->falso
4.4 Adicin, producto, sustraccin y Divisin
Adicin, sustraccin, producto, divisin y negacin
Adicin.
Adicin (+) asigna a cada par de valores a, b del conjunto de A
un valor c de A.
Su equivalencia en lgica de interruptores es un circuito de dos
interruptores en paralelo.
Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado ser 1, es
necesario que los dos
sumandos sean 0, para que el resultado sea 0
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Resta
Resta (-) asigna a cada par de valores a, b del conjunto de A un
valor c de A
Si a>=b, existen tres posibilidades0-0=0,1-0=0 y 1-1=1.
El resultado es el bit de diferencia c
Si A
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Negacin.
Negacin, representa el opuesto del valor de a un interruptor
inverso equivale a esta
operacin:
4.5 Teorema de Morgan
Los teoremas o leyes de Morgan es una parte de la lgica
proposicional y analtica, su
creador fue Augustos de Morgan (1806-1871).
Los teoremas establecen que la suma de "n" variables negadas es
igual al producto de
las "n" variables negadas individualmente.
=
Inversamente, si el producto de n variables negadas es igual a
la suma de las n
variables negadas individualmente.
= +
Los teoremas anteriores permiten transformar funciones producto
en funciones suma y al
contrario.
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La utilidad de los teoremas es en realizar circuitos utilizando
un solo tipo de puerta:
Por tablas de verdad:
= = + = + =
El lgebra booleana utiliza los teoremas para simplificar las
expresiones y funciones
booleanas y para obtener el complemento de una expresin o
funcin.
4.6 Mtodo de Karnaugh
La tabla, el mtodo o mapa de Karnaugh o diagrama de Veitch,
abreviado como mapa-
K o mapa-KV, es una representacin grfica para la simplificacin
de funciones
algebraicas booleanas. Este mtodo fue desarrollado en 1950 por
Maurice Karnaugh,
un fsico y matemtico de los laboratorios Bell.
Este mtodo considera la capacidad del cerebro humano para el
reconocimiento de
patrones y otras formas de expresin analtica, permitiendo
reducir los clculos extensos
para la simplificacin de las expresiones booleanas.
El mtodo consiste en una representacin bidimensional de la tabla
de verdad de la
funcin a simplificar. Su correspondiente tabla de verdad de una
funcin de N variables
posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer tambin 2N
cuadrados.
Las variables de la expresin son ordenadas en funcin de su peso
y siguiendo el cdigo
Gray, de manera que slo una de las variables vara entre celdas
adyacentes. La
transferencia de los trminos de la tabla de verdad al mapa de
Karnaugh se realiza de
forma directa, albergando un 0 o un 1, dependiendo del valor que
toma la funcin en cada
fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones
de hasta 6 variables.
Ejemplo: Simplificar la funcin de dos variables F=A'B+AB'+AB
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Paso 1.- Representar en un mapa de dos variables, en una tabla
de verdad.
El mapa como tal es:
Se divide el mapa en dos tringulos iguales o lo indica con la
diagonal A\B. Las variables
con las que se est trabajando se colocan en cada una de esas
divisiones. La columna es
la A y la fila la B:
El smbolo mn representa los trminos mnimos. Se colocan 0s y 1s
tanto en la columna
como en la fila. Cuando A=O (tambin puede colocarse A' en vez
del 0) y cuando A=1 se
coloca A.
Con los antecedentes probemos ahora como sera con un mapa de
Karnaugh:
O representarlo de esta forma:
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El llenado de la tabla: se pone un 1 en todos los trminos mnimos
que contenga la
funcin para la funcin F=A'B+AB'+AB son m1, m2 y m3,
respectivamente o donde la
tabla de verdad indique, que son los grupos (A, B) = (0,1),
(1,0) y (1,1).
Una vez listo el mapa, se marcan las regiones contiguas que
contengan 1. En la imagen
se observan cmo se marcan dos regiones y son en s las
simplificaciones. La regin
verde involucra solamente a la B, eso representa y la regin
naranja, por su parte,
Involucra solamente a la A.
Grficamente identificadas las regiones se obtiene la funcin
simplificada y para el
ejemplo desarrollado es F=A+B, porque el nico 0 que contiene la
funcin es M0 y dicho
trmino mximo es A+B. Si revisamos la tabla de verdad nuevamente
viendo la tabla, se
Concluye que la operacin es una OR.
El agrupamiento se hace forma de rectngulo.
Para una funcin con n variables:
Un rectngulo que ocupa una celda equivale a un trmino con n
variable.
Un rectngulo que ocupa dos celdas equivale a un trmino con n-1
variables.
Un rectngulo que ocupa 2n celdas equivale al trmino de valor
1.
Todas las agrupaciones tendrn un nmero par de celdas -2n celdas-
con la excepcin de
cuando es una celda nica. Por lo tanto, para encontrar expresin
ms simplificada se
debe:
Minimizar el nmero de rectngulos que se hacen en el mapa de
Karnaugh, para
minimizar el nmero de trminos resultantes.
Maximizar el tamao de cada rectngulo, para minimizar el nmero de
variables
de cada trmino resultante.
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4.7 Puertas Lgicas
Las puertas o puertas lgicas son dispositivos electrnicos,
compuestos a partir de otros
componentes electrnicos discretos, y son la expresin fsica de
los operadores
booleanos.
Normalmente, cuando algn diseo electrnico requiere alguna puerta
lgica, no se la
construye componente a componente, sino que se recurre a
circuitos integrados
especializados que contienen puertas completas en su
interior.
Las puertas lgicas no se distinguen de otro circuito integrado
cualquiera. Son los
cdigos que llevan escritos permiten distinguir las distintas
puertas lgicas entre s o
diferenciarlas de otro tipo de integrados
4.7.1 Puerta OR
Una puerta con dos entradas a y b, Y una salida s, al realizar
la operacin OR sobre las
entradas a, b, el valor de la salida, s sera:
s = a + b s = a OR b
La funcin OR con dos entradas, esquema y tabla de verdad.
La tabla de verdad arroja que si cualquiera de las entradas de
una puerta OR es
verdadera, la salida tambin ser verdadera; cualquier otra
combinacin nos dar una
salida falsa.
La operacin OR es bsicamente una suma, donde la suma de 1 + 1
ser siempre igual a
1.
Supongamos que la puerta tiene ms dos entradas, el anlisis es el
mismo, por ejemplo:
s = a + b + c + d se lee como s es igual a : a mas b ms c ms
d.
s = 1+ 1 +1 + 1 = 1
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4.7.2 Puerta NOR
La puerta NOR es la unin de las puertas OR y NOT y da como
resultado la puerta NOR.
Compuerta OR
Puertas OR y NOT
Puerta NOR, esquema y tabla de verdad.
El resultado de la puerta NOR es la negacin de la salida OR, en
cualquier combinacin
de las entradas.
Operacin OR s=a+b se lee s es igual a : a mas b
Operacin NOR s=a+b se lee s es igual a: a mas b negada
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4.7.3 Puerta AND
La puerta con dos entradas a y b, y una salida s, al realizar la
operacin AND sobre las
entradas A, B, el valor de la salida, s seria:
s = a * b o grficamente s = a AND b
La siguiente tabla representa la tabla de verdad para una puerta
tipo AND, y su smbolo
grfico.
Puerta AND, esquema y tabla de verdad
La tabla de verdad arroja que si todas las entradas de una
puerta AND son verdaderas, la
salida tambin ser verdadera, cualquier otra combinacin nos dar
una salida falsa. Por
lo que podramos resumir la operacin AND como:
Si a y b son 1, s ser 1
s = a * b se lee como s es igual a : a por b
La operacin AND es una multiplicacin, por lo que 1 * 1 siempre
ser igual a 1.
Supongamos que la puerta tuviera ms entradas, la operacin sera
la misma, por
ejemplo:
s = a * b * c * d se leera como: s es igual a: a por b por c por
d.
s = 1 *1 * 1* 1 = 1
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4.7.4 Puerta NAND
La puerta NAND es la unin de las puertas AND y NOT.
Puerta NAND, con dos entradas, esquema y tabla de verdad
El resultado de la puerta NAND es la negacin de la salida AND,
en cualquier
combinacin de las entradas.
AND s=a*b se lee s es Igual a: a por b
NAND s= se lee s es igual a: a por b negada
4.7.5 Puerta OR exclusiva
Es un circuito combinado que se usa para la generacin, muestreo
y verificacin de
paridad en los circuitos digitales que trabajan con datos.
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Puerta XOR, con dos entradas, esquema y tabla de verdad
La tabla de verdad nos arroja que si las dos entradas de una
compuerta OR exclusiva son
de igual valor, la salida siempre ser falsa, y si son de
diferente valor, la salida siempre
ser verdadera.
s= * b + a* se lee como s es igual a: a negada por b mas a por b
negada
4.7.6 Puerta NOR exclusiva
La puerta NOR exclusiva es unin de las compuertas AND, OR y NOT
para dar como
resultado la compuerta NOR Exclusiva
Puerta NOR exclusiva
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La tabla de verdad nos arroja que si las dos entradas de una
compuerta OR exclusiva son
de igual valor, la salida siempre ser verdadera y si son de
diferente valor, la salida
siempre ser falsa.
s= a* + + b se lee s es igual a: a por b ms a negada por b
negada
4.7.7 Puerta NOT
La puerta NOT, este tipo de puertas slo tienen una entrada,
nuestra salida siempre ser
el opuesto a la entrada, al realizar la operacin NOT en la
entrada, el valor de s sera:
s= a Negada grficamente s =
Puerta NOT, esquema y tabla de verdad
La tabla de verdad nos arroja que la salida de una puerta NOT
-negacin- siempre ser
contraria a la entrada.
4.8 Ms simbologa
Los smbolos vistos hasta ahora son considerados normales con
tres compuertas bsicas
y dos uniones bsicas de compuertas lgicas con sus smbolos, sin
embargo hay otros
smbolos alternativos que representan las mismas puertas: