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AlgebradeBooleycircuitoscon
puertaslogicas
Loscircuitosquecomponen una computadorasonmuydiversos: loshaydestinadosaaportar
laenergıanecesaria para lasdistintas partes quecomponen lamaquinayloshay dedicados a
generar, procesar ypropagar senalesquecontieneninformacion.Dentrodeestesegundogrupo
sedistinguenasuvezcircuitos quetrabajanconinformacionanalogicaylosquetratancon
valoresdigitales.Estecapıtulosecentraenelestudiodeestosultimos,loscircuitosdigitalesy
sepresentalabaseofundamentoteoricodelosmismos,queeselalgebradeBoole.
Laspuertaslogicassonunamanera muyconvenientederealizar circuitoslogicosporloque
sonusadas enlascomputadoras digitales.Nohay espaciopara describirlas endetalle,porlo
queseexplicanlosdiversostiposmostrandocomosepuedenrealizarciertasfuncionesconellas.
3.1 AlgebradeBoole En1854GeorgeBoolepublicounlibrotitulado”Investigacionsobrelasleyesdelpensamiento”,
formulandoun metodosimbolicopara elestudiodelasrelaciones logicas.Susideastuvieron
largotiempodespuesunarepercusionmuyimportanteendiversasareas.Enelesquemaideado
porBoole,lasproposicionesosentenciassolopuedenclasificarseendosgrupos: lasverdaderas y
lasfalsas. Elresultadodecombinar ciertonumerodesentenciasesfacilmentededucibleusando
laspropiedades delasoperaciones enelalgebra.En 1938Shannon encontrouna aplicacion:
loscircuitoselectricosconinterruptores. Estospueden seranalizados ydisenadosempleando el
algebradeBooleyhanhallado aplicacionendiversoscamposcomolaautomatizacion.
Lascomputadoras digitales usan codificacionbinaria, porloqueuna unidad elementalde
informacionpuede tomarsolodosvalores: ceroouno,locualdejaabiertalapuertaalusode
lastecnicasdeShannon. Enefecto,labasedelascomputadorassoncircuitoslogicoscomoelde
lafigura3.1,loscualessonanalizados medianteelalgebradeBoole.Endichafiguraelcircuito
sepuede considerar comouna maquinaquetransformasenalesdeentrada(laposiciondelos
interruptoresa,b,yc)ensenalesdesalida(elestadodelalamparaL).
23
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b a
0 1
0
0
1
1
1
1
b a batería
a
c interruptor b L
L
c
lámpara
Figura 3.1:Ejemplodecircuitologicoconunabaterıa,tresinterruptoresa,b,ycyunalampara
L.
3.1.1 Elementosbasicos
Desdeunpuntodevistaformal,elalgebradeBoolesecomponededoselementos:variablesy
operaciones, quesecomentanacontinuacion.
•Variableslogicas.solopueden tomarun valor entredosopcionesexcluyentes 0y1. En
loscircuitosconinterruptoresuninterruptorpuede estarabierto(0)ocerrado (1). Una lamparapuedeestarencendida (1)oapagada (0). Deestemodo,elestadodelosdistintos
elementosdelcircuito,sedescribeusando variables logicas.
•Operaciones.Lasoperaciones permitencombinar variables logicaspara obtenercomore- sultadootrasvariables. Lasoperaciones basicasdelalgebradeBoolesedescriben acon- tinuacion.
•Sumalogica.Sesimbolizacomoa+b. Elvalordelasumaes1siysolosialgunoo
variosdelossumandos vale1. Elcircuitodelafigura3.2esunejemploquerealiza lasuma logica.Elvalordelavariable fasociada alestadodelalamparasepuede obtenercomosumalogicadelasvariables aybcorrespondientesalosinterruptores. Alaizquierda enlafiguraseindicalatabladesumar.
a
f = a+b
b
Figura 3.2:Tabla deverdad ycircuitodelasumalogicadelasvariables ayb.
Lasuma logicaequivale alaoperacionOpuestoquea+bproduce unvalorcierto
(1)siysolosisecumple que”aesciertoobescierto”.Enelcircuitodelafigura
3.2secomprueba quelalamparalucesiysolosi”aestapulsado obestapulsado”.
•Productologico.Sesimbolizacomoa·b.Elproductodosvariables es1solosiambas valen1;encualquier otrocasovale0. Elcircuitodelafigura3.3realiza lafuncionf=a·b.
ElproductologicoequivalealaoperacionYpuestoquea·bproduce unvalorcierto (1)siysolosisecumple que”aesciertoybescierto”.Enelcircuitodelafigura
3.2secomprueba quelalamparalucesiysolosi”aestapulsado ybestapulsado”.
•Negacion.Estaoperacionactuasobre una solavariable ysesimboliza comoa. La negacionproduce comoresultadoelvalorcontrarioaldado;esdecir,siunavariable
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b a
0 1
0
0
0
1
0
1
a b
f=ab
Figura 3.3:Elcircuitomostradoilustralaoperacionproductologico.
vale1sunegadoes0ysivale0sunegadoes1. Estopuede serilustradomediante la figura
3.4. Sila variable apasa a valer 1, elinterruptorsecierra, por loque la
intensidadelectricadeja de pasar por la lamparapor tenerelinterruptoruna
resistenciamuchomenor. Lalamparaseapaga porloquef=0.Esfacilverquesi
a=0lalamparavuelvealucirf=1.
a a
0 1 a
1 0
f= a
Figura 3.4:Elcircuitoilustralaoperaciondenegacion.
LanegacionequivalealaoperacionNOpuestoqueatomaelvalorciertosiysolosi
”anoescierto”. 3.1.2 Representación de circuitos
Enlos diagramas delos circuitosconinterruptoresseindicanlos distintoselementos(baterıa,in-
terruptoresylampara)mediantesımbolosconvencionales. Elestadoenquesedibuja
elsımbolonoindicalasituaciondelcomponente.Esdecir,uninterruptorabiertoyunocerrado
serepre- sentandelmismomodo. Eselvalordelavariable
asociadaquienindicaelestadodelelemento. Deestemodo,silavariable asociada
auninterruptorvale1indicaqueelcircuitoestacerrado, peroeldibujonosemodifica.
Estasituacionsecomplicaavecesendiagramas enlosqueintervieneninterruptores”nor-
malmentecerrados”. Estosinterruptoressedibujan enposicioncerrada porqueeseessuestado
cuando lavariable asociada tomaelvalor cero. Afortunadamenteestaclasedeinterruptores
pueden obviarseennuestradescripciondecircuitoslogicos.
Loscircuitosconinterruptoreshan sidousados enlaautomatizaciondetareascomoelen-
cendidogradual demotores,el movimientodeascensores,el ciclodelucesensemaforos,alarmas,
etc.porloqueeshabitualtoparseconlasrepresentaciones esquematicascorrespondientes en
areasdiversas.
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3.1.3 Propiedades
Lasoperaciones definidas enelalgebrapresentanuna seriedepropiedades que seindican a
continuacion:
•Existenciadeelementosneutros.Paralasumael elementoneutroesel cero,puesa+0= a.Paraelproductoelelementoneutroeseluno,puesa·1=a.
•Conmutatividad.Estapropiedad expresa quea+b=b+apara lasuma yqueab=ba paraelproducto.
•Asociatividad.Losparentesisindicancomoeshabitualelordenenelquesehanderealizar
lasoperaciones. Estapropiedad indicaque(a+b)+c=a+(b+c)y(ab)c=a(bc). •Distributividad.Estapropiedad involucra dosoperaciones, lasuma logicayelproducto
logicoypuedeexpresarse como(a+b)c=ac+bcya+(bc)=(a+b)(a+c). •LeyesdeDeMorgan. Finalmente,estapropiedad permiterealizartransformacionesdesu-
masyproductosconvariablesnormalesynegadas. Sepuedenexpresardelsiguientemodo: a+b=ab,yab=a+b
Existedualidad entrelasumayelproducto,detalformaque,siunapropiedad escierta,la
queresultadecambiar lasumaporelproductoy0por1tambienescierta.
3.1.4 Funcionesbooleanas
Lasoperacionesconvariablesbooleanassepuedencomponerparaformarfunciones.
Unafuncionesportantounaexpresionquecontieneoperaciones booleanas.
Paraunosvaloresdadosdelas variables booleanas laexpresionsepuede evaluar
obteniendoseelresultado.Un ejemplo de funcionbooleana detresvariables es:
f:(a,b,c)7→f(a,b,c)=c(a+b)
Lafuncionpuededefinirsedeformaexplıcitadando losvaloresquetomapara cadaposible
combinaciondeentradas.Estarepresentacionsellama tabladeverdad.Paraelejemplo
anteriorlatabladeverdad semuestraenlafigura 3.5. Ademas,seha dibujado un circuito
coninterruptoresquerealizalamismafuncion.Puedecomprobarse
queelestadodelalamparaLvienedeterminadocompletamenteporelvalordelasvariables
aybatravesdelatablade verdad.
Esinteresanteobservar queLatabladeverdad,
elcircuitologicoylaexpresionanalıticaf(a,b,c)=c(a+b)proporcionan lamisma
informacion;esdecir, sontresrepresentacionesde una misma cosa. Deestemodo esposible
pasar decualquiera deellasalasdemascomose muestraacontinuacion.
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a b c L
0
0
0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
a c
b L=f(a,b,c)=c(a+b)
Figura 3.5:Ejemplodefuncionbooleana, tabladeverdad ycircuitoconinterruptores.
3.1.5 Obtenciondefuncionesbooleanasapartirdetablasdeverdad
Existenvariosmetodospara describir unafuncionbooleana. Unodeellosesmediantelatabla
deverdad, queproporciona losvaloresdelasalidaparatodaslascombinacionesdelasentradas.
Alternativamentesepuede expresar lafuncionbooleana usando elproductologicoylasuma
logica.Enesteapartadoseindicaelmetodopara obtenertalesexpresionesapartirdelatabla
deverdad. Lajustificaciondelmetodonoseproporciona peropuedehallarse
enlabibliografıarecomendada.
Dada unatabladeverdad como
a b s
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
estamosinteresados enhallar una expresions=f(a,b).Estosevaaconseguir abasede sumas
deproductos logicosdelasvariables aybylosnegados deestas.Paraellosehan de
senalarlasfilasdelatabladeverdad enlasquelasalidaesuno.
a b s
0 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
cadaunadeestasfilasrepresentaracomoveremosunsumando enunasumadeproductos.
Elproductoseformatomandolasvariables aybosusnegadosenfunciondequeelvalordela
mismaenlafilasenaladaseaceroouno. Tomemos porejemplolafila2:lavariable avalecero
endichafila,porloquesetomaranegada, lavariablebvaleuno,porloquesetomarasinnegar.
Elproductocorrespondienteaestafilaesab.Esteterminohadesumarse alcorrespondientea
lasdemasfilassenaladas.
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a b c s
0
0
0
0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
f(a,b,c) = abc + abc +abc
Figura 3.6:Obtenciondeunafuncionbooleanacomosumadeproductosapartirdelatablade
verdad.
Pasamosalasiguientefilaconsalida uno,queeslacuarta.Lavariable avaleuno,porlo
quesetomarasinnegar, lavariable bvaleuno, porloquesetomarasinnegar. Elproducto
correspondienteaestafilaesab.
Deestemodoseobtienequelafuncionbooleanaesf(a,b)=ab+ab.Esposiblecomprobar
laequivalencia entres yfobteniendotodoslosposiblesvaloresdefycomparando conlatabla
deverdad.
Elmetodoexplicadoproporciona funcionesbooleanas quesonamenudo simplificables;por
ejemplo, lafuncionanteriorpuede expresarse comof(a,b)=ab+ab=(a+a)b=b. Esta
ultimaformadeexpresar fcontienemenosterminosyportantosedicequeestasimplificada.
Elproblema delasimplificacionnoseratratadoaquı.
Enlafigura3.6seilustraotroejemplo,obteniendoseunafuncionbooleanaf(a,b,c)apartir
delatabladeverdad. Sehaindicado mediantelıneaselorigendecadaunodelossumandos.
3.2 Puertaslogicas
Loscircuitos coninterruptores mecanicospodrıanusarse para construircomputadoras,pero
tienenciertas desventajas,como son su altoconsumo, dificultadde miniaturizaciony baja
velocidad debido a la existenciade piezas moviles.Las puertaslogicasson dispositivos
electronicosquerealizan funcionesbooleanas ynocontienencontactosmoviles.Loselementos
basicosconlosqueseconstruyenlaspuertas logicassoncomponentes semiconductores como
soneldiodoyeltransistor.
Laspuertaslogicassonusadasenmuchasaplicacioneselectricasoelectronicas.Cadapuerta
logicatienesusımbolotalycomosemuestraenlafigura3.7. Sedescribeacontinuacioncada
unadeellas.
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a
b a+b+c
a a+b
a a
c O b NO-O NO
a ab a
b b
Y c
aabc NO-Y b
a b
Oexclusivo
Figura 3.7:Sımbolospara laspuertaslogicas.
•Sumalogica.SimbolizadanormalmentecomopuertaO1puestoquelaoperacionquerealiza eselOlogico.Latabladeverdad deunapuertaOdedosentradasaybes:
a b s
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
•Productologico.Lapuertaquerealiza elproductologicoestambienllamada puertaY. Latabladeverdad para dosentradasquedacomosigue:
a b s
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
•Complementacion.:LapuertacomplementadoraestambienllamadapuertaNO.Latabla
deverdad es:
a s
0 1
1 0
quecoincideconladelanegacion,comoseesperaba.
•Sumalogicaexclusiva.Lafuncionsumalogicaexclusiva2 serepresentamedianteelsımbolo ⊕.Latabladeverdad es:
a b s=a⊕b 0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Estafuncionpuede obtenersecomocombinaciondelasfuncionesconocidasdelsiguiente modo: a⊕b=a·b+a·b,porloqueesposibleconstruirunapuertaO-exclusivoapartir depuertassuma,productoynegacion.
1EninglespuertaOR. 2Llamada eninglesfuncionXOR
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•OnegadoeYnegado.Elcomplementariodelaoperacionsuma logicarecibeelnombre
defuncionNO-Oyeslafunciona+b.Similarmente,lafuncionNO-Yeselnegadodela
operacionproductologico.Pararealizar ambas funcionesbastaconconectarenserieuna
puertaO(oY)conunnegador. Enlapracticaexistencircuitosquerealizandirectamente
lasfuncionesNO-OyNO-Y.Elsımbolodeestaspuertasconsisteenanadiruncırculoen
lasalidacomosepuedeverenlafigura3.7.
En lafigura3.7puede versequealgunas puertas logicastienenmasdedosentradas.No
setratadeunerror, existencircuitosquerealizan elproductoolasuma logicademasdedos
variables ysurepresentacioneslaindicada enlafigura.
3.3 Ejemplosdecircuitoslogicos
Loscircuitos logicospermitenrealizar muchas funciones diferentes;por ellohan encontrado
aplicacionenlaautomatizaciondetareas.Equipostalescomo:semaforos,alarmas, interruptores
automaticos,etc.funcionangraciasacircuitosquecontienenpuertaslogicas.Enelambitode
lainformaticaestoscircuitossonlabasepara memorias, unidades decalculo,etc.
Amododeejemplosevanadescribir algunoscircuitosquetienenutilidadenmaquinasde
calculoautomatico.Enuncapıtuloposteriorsemostraranotroscircuitosqueforman partede
launidad aritmetico-logica.
3.3.1 Paridad
Estecircuitoproporciona unvalorunosielnumerodeentradasconvalorunoespar. Amodo
deejemploconsideremos uncircuitodedosentradasayb.Lasalidaphadevalerunocuando
ambosaybvalenceroocuandoambosvalen1.Aplicandoestareglalatabladeverdad resulta:
a b p
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
dedondesededucequep=ab+ab.
Laparidad detres bits a,bycpuede calcularse deforma parecida, resultandolafuncion
q =abc+abc+abc+abccomoesfacilcomprobar.
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a b
S1
S2
S3
Figura 3.8:Circuitocomparador realizado conpuertaslogicas. 3.3.2 Comparador
Undispositivocomparador permiteaveriguar larelacionentredosbitsayb.Lassituacionesque
puedendarseson:a>b,a=boa<b,portanto,eldispositivocomparador hadeproporcionar
unodetres valores posibles. Considereseelcircuitodelafigura3.8seobserva quetienetres
salidass1,s2ys3.Elsignificadoeselsiguiente:
sia>b =⇒ s1=1,s2=s3=0 sia=b =⇒ s2=1,s1=s3=0 sia<b =⇒ s3=1,s1=s2=0
Esdecir,lasalidas1seactivacuando elprimer bitesmayorqueelsegundo. Lasegunda se
activacuando sonigualesylaterceracuando elsegundobitesmayorqueelprimero. Latabla
deverdad para lasdistintassalidasesfacildeobtener:
a b s1 s2 s3
0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0
Poraplicaciondelaregladesumasdeproductosalatablaanteriorseobtieneque
s1=a·b s2=a·b+a·b
s3=a·b
Conestasexpresionesesfacilcomponer eldiagrama mostradoenlafigura3.8.
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3.3.3 Mayorıa
Uncircuitomayorıaadmiteun numeroNdeentradas quepueden valer 0o1. Lasalida del
circuitoesunosiysolosilamayorıadelassenalesdeentradavalen 1. Esdecir, elvalor de lasalida
eselindicado poreldelamayorıadelasentradas,porloqueestedispositivopuede usarsepara
calcular elganador deunavotacionenlaquehaydospropuestas.
Paraconcretarconsidereselafigura3.9donde elbloque simboliza elcircuitomayorıa.Se
hantomadotresentradasquesonlassenalese1,e2 ye3.Pordefinicion,lasalidashadevaler
unosiexistendosomasentradasquevalenuno;encasocontrariolasalidavalecero. Latabla
deverdad es:
e1 e2 e3 s
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
e1 e2 e3
e1
e2 s s
e3
Figura 3.9:Circuitopara calcular lamayorıa.
Deestatablaseobtienelafuncionbooleana queverificaelcircuitomayorıa.
s=e1e2e3+e1e2e3+e1e2e3+e1e2e3
Larealizaciondelcircuitoconpuertas logicasnopresentaninguna dificultad,comopuede
verseenlamencionada figura 3.9. Nuevamenteseha obviado laposible simplificaciondela
funcionobtenida.
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3.4 Ejercicios propuestos
Lossiguientes ejercicios sirven para consolidar las ideas masimportantes de
estetema.No simplificarlasfuncioneslogicaspara
eldisenodeloscircuitosconpuertaslogicas.
1. Sedeseaconstruiruncircuitoconpuertas logicas.Lasentradas
a,bycrepresentanlos bitsdeunnumerobinario
enterononegativo,ylasalidafvale”1”sielnumeroesuna
potenciaexactade2yceroencasocontrario.
2. Sedeseadisenaruncircuitoconpuertaslogicaspara convertirunnumerobinario,
detres bits,codificadoencomplementoa2alformatosigno-valorabsoluto.
3. Sedeseadisenaruncircuitoconpuertaslogicasqueduplique
unnumerobinarioenterode
3bitsnonegativo.
Álgebra De Boole
y
Puertas Lógicas
SUMA
0 + 0 = 0 1 + 1 = 1
0 + 1 = 1 1 + 0 = 1
MULTIPLICACIÓN
010
000
COMPLEMENTACION
001
111
Page 12
0 = 1
1 = 0
Ejemplo con otros signos:
AAA
AA
A
A
AA
AA
AAA
AAA
1
11
11
0
0
001
010
1
1
00
00
1
0
A
AAA
AA
AA
A
A
AAA
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TEOREMA DE MORGAN
CBACBA
CBAABC
Ejemplo:
CDABDADCBADBCADBCA )(
ABAABA )1( Factor Común
Ejercicios:
BABAA BABABAABAABAA )(
AB)A(A 1)1( ABAABAA
BCA
C)B)(A(A
BCBA
BCBAACABCABCBAACAA
)1(
)()1(
ABCABCCBA CBACBACBA
BAAC
C)AB)((A
)1()1(
)(
CBABAC
BCAABCBAACAABCBAACBCBAAC
1ABCCBA ABCABC
WY
W)(Y)YX(Z
WXZY
WYYXZWYXYZWYYXZ
)1)((
)()()()(
YXXYYX
)XYY)(XYX( YYXYYXXXYXYXYXXYXYYXYX ))(()())((
Page 14
YXZZXY
)ZXZX(YXYZ ZX))ZXZX((Y)ZXZX(YZYX 1
1
ZWZYXYX
WWZWZX
WZZYYXXWZZYXYX
111
CBAB)AC(D
DCBAABCDCBCDBADCBA
CBADBDACCBADACCBADCBADACBCBAD
ABCDBBDACDBACBAABCDBBDACCCDBADDCBA
DCBAABCDDABCDACBDCBACDBADCBADCBADDABC
AADCBCDBADCBA
)()(
)(()()(
)(
)(
Puertas Lógicas
PUERTA NOT O INVERSORA
Se trata de una operación que solo maneja una variable de entrada y otra de salida. La salida
toma el estado opuesto o inverso del que tiene la entrada.
Tabla De La Verdad De La Puerta Inversora NOT
VALOR EN LA ENTRADA VALOR EN LA SALIDA
0 1
1 0
PUERTA OR O SUMADORA
Cuando distintas variables lógicas se combinan mediante la función OR, el resultado toma el
estado alto, verdadero o 1 si alguna de ellas tiene dicho estado. La ecuación que
representa la función OR de dos variables de entrada es la siguiente:
ENTRADA/INPUT SALIDA/OUTPUT
Page 15
BAX
X = A + B
Tabla De La Verdad De La Puerta Sumadora OR
VALOR EN LA PARTE A VALOR EN LA PARTE B
VALOR OBTENIDO EN LA
SALIDA
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
PUERTA NOR O SUMADORA INVERSORA
Esta puerta produce la función inversa de la puerta OR, es decir, la negación de la suma lógica
de las variables de entrada. Su comportamiento es equivalente a la de la puerta OR
seguida de una NOT.
Tabla De La Verdad De La Puerta Sumadora Inversora NOR
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VALOR EN LA PARTE A VALOR EN LA PARTE B
VALOR OBTENIDO EN LA
SALIDA
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
PUERTA AND O MULTIPLICADORA
Cuando varias variables lógicas, de tipo binario, se combinan mediante la operación lógica
AND, producen una variable de salida, que solo toma el nivel lógico 1, estado alto o
verdadero, si todas ellas tienen dicho nivel o estado. La ecuación lógica de la función
AND para dos variables de entrada es la siguiente:
Tabla De La Verdad De La Puerta Multiplicadora AND
VALOR EN LA PARTE A VALOR EN LA PARTE B
VALOR OBTENIDO EN LA
SALIDA
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
PUERTA NAND O MULTIPLICADORA INVERSORA
La puerta NAND produce la función inversa de la AND, o sea, la negación del producto lógico
de las variables de entrada. Actúa como una puerta AND seguida de una NOT.
BAX
Page 17
Tabla De La Verdad De La Puerta Multiplicadora Inversora NAND
VALOR EN LA PARTE A VALOR EN LA PARTE B
VALOR OBTENIDO EN LA
SALIDA
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
PUERTA OR EXCLUSIVA (OREX)
La salida de esta compuerta es 1, estado alto o verdadero si cada entrada es 1 pero excluye la
combinación cuando las dos entradas son 1. La función OR exclusiva tiene su propio
símbolo gráfico o puede expresarse en términos de operaciones complementarias AND,
OR.
Tabla De La Verdad De La Puerta OR Exclusiva (OREX)
VALOR EN LA PARTE A VALOR EN LA PARTE B VALOR OBTENIDO EN LA
COMPUERTA OREX
A
B
BABABAX
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SALIDA
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
PUERTA NOR EXCLUSIVA (NOREX)
Tabla De La Verdad De La Puerta NOR Exclusiva (NOREX)
VALOR EN LA PARTE A VALOR EN LA PARTE B
VALOR OBTENIDO EN LA
SALIDA
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
COMPUERTA NOREX
BAABBAX
PILA (1)
Page 19
Ejercicios:
Implementar solo con NAND las puertas: NOT, OR, NOR y AND.
NOT OR
NOR AND
Implementar solo con NOR laspuertas: NOT, OR, NAND y AND
NOT OR
MASA (0)
AL AIRE (1)
AAA
BABA A
A
B
A
A
B
AB A + B
A + B BA
Page 20
NAND AND
Implementar solo con NAND la puerta OREX.
Implementar solo con NOR la puerta OREX
Implementar solo con NAND la puerta NOREX
AAA
BA BA
A
B
BA
A
B
BA
BA
BABABA
A B
A
B
BA BA
A
B
BA
BA
BABA BAABBA
Page 21
Implementar solo con NOR la puerta NOREX
Implementar Y+W con NAND Implementar Y+W con NOR
Implementar YXZ con AND
Implementar YXZ con NOR
A
B
BA
A + B
BABAAB
A
B
BA
BA ABBA
Y
W
WY
WY
WY
BABAAB
YX YXZYXZ
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Ejercicios Hoja1:
A) Obtener simplificada la señal de salida.
B) Implementar con puertas la salida ya simplificada.
Esquema 1
Implementar con NOR Implementar con NAND
Implementar con las menos puertas posibles
Y
X
YX
Z
XY
YXZ
YXZ
A
BA
BA*
A BA BA BA
A BA
BAABA BAAABAA )(*
B
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Esquema 2
BA
AB))(BABA((AB))BABA(*
BABAABAABAABABBABABAAB
BABAABBBAABABBAABAABBABABAABABAB
BABABAABBABA
)()(
)()())(()(
))(())()((
A)BB)(A(A** AAABBABABAABBBABAAA )(
Implementar con NOR Implementar con NAND
Implementar con las menos puertas posibles
01B1
A
0
10B
A
BA
B
ABBA
BA BA*
A**
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Esquema 3
BA
AB))(BABA((AB))BABA(*
BABAABAABAABABBABABAAB
BABAABBBAABABBAABAABBABABAABABAB
BABABAABBABA
)()(
)()())(()(
))(())()((
BAB))(ABA( ABABABBAABBAABBABBABBAAA ))((**
Implementar con NOR Implementar con NAND
111B
A
BA
ABBA
BA
BA*
B*A*
A
B BA
BA BABA
BA
A
B BA
BA
Page 25
Esquema 4
BA
BCACABBCACAB*
)()1(
)()(
CCACACAB
BCCAABACBBCABBCACAB
ABCABCBA ABCABCABCBA ))((**
Implementar solo con NOR Implementar solo con NAND
Implementar con las menos puertas posibles
Esquema 5
BA BA
B
ABC
CA
BA*
*ABC*
AB
BA
BA*
A
B
BA
C
BA
ABC
ABC
BA
BA
ABCBA
ABC
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Implementar con NOR Implementar con NAND
Esquema 6
Implementar con NOR Implementar con NAND
Esquema 7
A
B
BA
BA
BA BA
A
B
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
A
B
BA
BA
BA BA
A
B
BA
BA
BA
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Implementar con NOR
Implementar con NAND
Aplicación de Boole
Nada que use sistemas digitales podría haber sido diseñado sin las bases teóricas que definió
Boole.
Toda operación que se realiza en un sistema digital, ya sea un computador, un teléfono móvil,
un reloj o una calculadora utiliza las operaciones definidas por el álgebra de Boole para realizar
sus funciones. Unas veces estas funciones vendrán implementadas por software y otras por
hardware. Tengamos en cuenta que el álgebra de bool se extiende a partir de la lógica para
definir todas las operaciones aritméticas como la suma o la multiplicación.
AB
BA
BA BA
A
B BA
BA BABA
BA
A
B BA
BA