1 Algebra Boole’a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy , którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. . } 1 , 0 { W zbiorze tym określamy działania sumy , : iloczynu : oraz dopełnienia . : _ A mianowicie, przyjmujemy: A B B A 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B B A 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A A 0 1 1 0 Zbiór wraz z powyższymi działaniami nazywa się algebrą Boole’a . Jedną z możliwych jej realizacji są układy elektroniczne zwane bramkami . Analogicznie do w/w działań wprowadzamy bramki OR (Or Gate), AG (And Gate), I (Inverter) oznaczane na schematach następującymi symbolami: i zdefiniowane takimi samymi tabelami, jak powyżej. Twierdzenie . Dla dowolnych elementów X, Y, Z algebry zachodzą następujące równości: (1) ; 0 X X (2) ; 1 1 X (3) ; X X X (4) ; 1 X X (5) ; 0 0 X (6) ; 1 X X (7) ; X X X (8) ; 0 X X (9) ; ) ( X X (10) ; X Y Y X (11) ; Z Y X Z Y X (12) ; X Y Y X (13) ; Z Y X Z Y X A B A A B A Z B A Z A Z OR AG I
12
Embed
Algebra Boole’a i jej zastosowania - Urząd Miasta Łodzimath.uni.lodz.pl/~marta/2015_2016_l/1_Algebra Boole'a_1.pdf · 1 Algebra Boole’a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
Algebra Boole’a i jej zastosowania
WprowadzenieNiech dany będzie zbiór dwuelementowy , którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz
1, tj. .}1,0{ W zbiorze tym określamy działania sumy ,: iloczynu :
oraz dopełnienia .:_
A mianowicie, przyjmujemy:
A B BA0 0 00 1 11 0 11 1 1
A B BA 0 0 00 1 01 0 01 1 1
A A0 11 0
Zbiór wraz z powyższymi działaniami nazywa się algebrą Boole’a. Jedną z możliwych jejrealizacji są układy elektroniczne zwane bramkami. Analogicznie do w/w działań wprowadzamybramki OR (Or Gate), AG (And Gate), I (Inverter) oznaczane na schematach następującymisymbolami:
i zdefiniowane takimi samymi tabelami, jak powyżej.
Twierdzenie.Dla dowolnych elementów X, Y, Z algebry zachodzą następujące równości:
Powyższe własności można udowodnić m.in. metodą zero-jedynkową polegającą na sprawdzeniuwszystkich możliwych przypadków, których jest skończona ilość. Oto przykładowy dowód własności(11):
Dzięki równościom (11) i (13) uogólniamy indukcyjnie dodawanie i mnożenie na dowolną skończonąliczbę argumentów. A mianowicie, jeżeli ,2n to przyjmujemy:
.......
;......
111
111
nnn
nnn
AAAAAAAAAA
W analogiczny sposób uogólniamy bramki OR i AND. Ponadto przyjmujemy taką samą umowędotyczącą kolejności działań i opuszczania znaku mnożenia, jak w tradycyjnej algebrze, co pozwala nazredukowanie zbędnych nawiasów i uproszczenie zapisów.
Twierdzenie.Dla dowolnych elementów X, Y, Z algebry zachodzą następujące równości:
(18) ;XZXX (19) ;XZXX
(20) ;YXYXX
(21) .ZYXZYZYYX Dowody. Zastosujemy bardziej efektywną metodę polegającą na wykorzystaniu własności jużudowodnionych, do których zaliczymy własności (1) - (17).Ad (18)
.111 XXZXZXXZXX Ad (19)
.)18(XZXXZXXXZXX
Ad (20) YXXXYXXXYXXXYXYX 1
.0)18(
YXXYXYXX Ad (21)
.1 ZYXZYXYYZYXZYZYYXZYZYYX
W zagadnieniach dotyczących zastosowań algebry Boole’a kluczowe znaczenie maprzekształcanie wyrażeń do najprostszej postaci i to odpowiedniego kształtu. Okazuje się, że każdetakie wyrażenie zawsze daje się sprowadzić do jednej z dwóch tzw. postaci kanonocznych: sumyiloczynów bądź iloczynu sum pojedynczych argumentów bądź ich dopełnień.
3
Przykłady. Uprościmy dwa wyrażenia algebry Boole’a.a)
.ZXYXV Pierwszy z wyników przedstawia wyrażenie V w postaci kanonicznej iloczynu sum (trzeba założyć,że X jest sumą jednoskładnikową), a drugi z tych wyników – w postaci kanonicznej sumy iloczynów.Przy okazji warto postawić pytanie, która wersja rozwiązania jest prostsza? Aby na nie odpowiedzieć,przedstawmy ich realizację przy pomocy bramek:
Teraz jest jasne, że pierwsze z rozwiązań jest prostsze, gdyż jego realizacja wymaga jednej bramkimniej.
Następnym ważnym problem z uwagi na zastosowania w informatyce jest projektowaniewyrażeń algebry Boole’a, które spełniają wymagane warunki wejścia/wyjścia. Wyjaśnimy to przypomocy serii przykładów.
Przykład. Znajdziemy wyrażenie zależne na wejściu od zmiennych X, Y oraz wyprowadzające nawyjściu wyrażenie Z tak, aby zachodziły zależności:
Input OutputX Y Z0 0 10 1 01 0 11 1 1
Aby otrzymać rozwiązanie w postaci sumy iloczynów dodajemy dodatkową kolumnę zawierającąutworzone w odpowiedni sposób iloczyny:
Input OutputX Y Z Iloczyny
0 0 1 YX 0 1 0 YX 1 0 1 YX 1 1 1 YX
Szukanym rozwiązaniem jest suma wyrażeń z ostatniej kolumny wybranych z tych wierszy, dlaktórych :1Z
Z AGX
Y AGORORY
ZAG
X
4
.YXYXYXZ Uprośćmy je:
.)()()()( YXXYYYXXXYYXYXYXYXZ
Aby otrzymać rozwiązanie w postaci iloczynu sum dodajemy dodatkową kolumnę zawierającąutworzone w odpowiedni sposób sumy:
Input OutputX Y Z Sumy
0 0 1 YX 0 1 0 YX 1 0 1 YX 1 1 1 YX
Szukanym rozwiązaniem jest iloczyn wyrażeń z ostatniej kolumny wybranych z tych wierszy, dlaktórych :0Z
.YXZ Widać, że otrzymaliśmy dokładnie takie samo rozwiązanie. Jego realizacja przy pomocy bramekwygląda następująco:
Przykład. Znajdziemy wyrażenie zależne na wejściu od zmiennych X, Y, Z oraz wyprowadzające nawyjściu wyrażenie A tak, aby zachodziły zależności:
Rozwiązanie w postaci sumy iloczynów:.)()()()( ZYYXXXZYZZYXZYXZYXZYXZYXA
Rozwiązanie w postaci iloczynu sum: )()()()()()( ZYXZYXZYXZYXZYXZYXA
)()()()()()()()( ZXXXYZXYXYXYYZXZZYXZZYX.)( ZXY
Otrzymaliśmy dwa różne rozwiązania, z których drugie jest prostsze. Widać to z ich realizacji przypomocy bramek:
Oprócz wcześniej zdefiniowanych bramek duże znaczenie praktyczne mają dwie dodatkowe:bramka NOR (Not Or Gate) i bramka Nand (Not And Gate). Oto ich oznaczenia i definicje w wersjidla dwóch zmiennych wejściowych (może być ich więcej):
A B BABAZ )(0 0 10 1 01 0 01 1 0
A B BABAZ )(0 0 10 1 11 0 11 1 0
X AG
Z AGOR
Y
ORXZ
AGY
AB B
ABAZ BAZ NOR NAND
7
Istotna zaleta powyższych dwóch bramek polega na tym, że każde wyrażenie algebry Boole’a daje sięzrealizować tylko przy pomocy bramek NOR albo tylko przy pomocy bramek NAND. Uzasadniają toponiższe schematy:
Tylko bramki NOR
Tylko bramki NAND
W praktyce nie ma potrzeby stosowania powyższych schematów. Jak już wcześniejzauważyliśmy, wszystkie wyrażenia algebry Boole’a dają się sprowadzić do jednej z dwóch postacikanonicznych: sumy iloczynów bądź iloczynu sum. W pierwszym z tych przypadków zamiaststosować układ bramek typu And-to-Or można użyć układu Nand-to-Nand zastępując w pierwszymukładzie wszystkie bramki bramkami Nand. W przypadku układu typu OR-to-And ten sam efektuzyskuje się poprzez zastąpienie wszystkich bramek bramkami typu Nor. Daje to układ typu Nor-to-Nor. W obu przypadkach otrzymuje się układy logicznie równoważne, ale fizycznie różne.Zagadnienie ilustrują poniższe przykłady.