ÁLGEBRA ABSTRACTA -

8/2/2019 LGEBRA ABSTRACTA - www.ALEIVE.org

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1.3 Funciones o aplicaciones (mapeos) 13DEMOSTRACION.e verifica una de ellas. Si r E T, entonces ( f f -')(I)f( I([)). Pero iqu e es f -I(()? or definicion, f I(() es aquel elemento so ES tal que t = f(so).C u il es el so E S tal i u e f(so) f(s)?Claram ente resultaque so es el propio s. De esta m anera f( -'(t))= f(so) r.En otras palabras,(f f -l)(t)= I para tod o t E T ; por lo tanto f f I = iT, la aplicacion iden-tidad en T.

Se deja a1 lector la demostracion del ultimo resultado de esta seccion.LEMA 1.3.5. Si f: S + T e iT es la aplicacion iden tidad de T en simismo e is es la d e S sobre si mismo, entonces iT 0 f = f y f is = f.

PROBLEMAS 1.3

1 . Pa ra 10s S, T indicados, determinese sif: S + T define una aplicacion; si n o,expliquese por que.(a) S = conjunto de las mujeres, T = conjunto de 10s hombres, f(s)=esposo de s.(b) S = conjunto de 10s enteros positivos, T = S , f(s)= s - 1.

. (c) S = con jun to de 10s entero s positivos, T = con jun to de 10s entero s nonegativos, f(s) = s - 1.(d) S = conjunto de 10s enteros no negativos, T = S, f(s)= s - 1.(e) S = conjunto de 10s enteros, T = S, f(s)= s - 1.(f) S = conjunto de 10s numeros reales, T = S , f(s)= &.(g) S = conjunto de 10s numeros reales positivos, T = S , f(s)= &.

2. En aquellas partes del Problema 1 en donde f define una funcion, deter-minese si ista es inyectiva, suprayectiva o ambas cosas.3. Sif es una aplicacion inyectiva de S sobre T, pruebese qu e f ' es una apli-cacion inyectiva de T sobre S.4. Si f es una aplicacion inyectiva de S sobre T, pruebese que f-I = is.5. Dese una demostracion de la Observacion que sigue a1 Lema 1.3.2.6 . S i f : S - T es su pr ay ec tiv ay g: T + U y h : T - U s o n t a l e s q u e g o f =h 0 f, ruebese que g = h.7. Si g: S + ~ : h : S + T, y si f: T+ U es inyectiva, demuistrese que si fg = f 0 h, entonces g =' h.8. Sean S el conjunto de 10s enteros y T = (1 , - I} ; definase f: S + T comof(s)= 1 si s es par, f(s)= -1 si s es impar.


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14 CAPRULO1 * TEMAS FUNDAMENTALES(a) Determinese si esto define una funcion de S en T .(b) Demuestrese que f (s, + s2)= f ( s , ) ( s2 ) . L Q U ~ice esto acerc a d e 10senteros?(c) Determinese si tambien es cierto qu e f(s ,s, ) = f ( s , ) f ( s2 ) .

9. Sea S el con jun to de 10s numeros reales. D efinansef: S + S p o r f ( s ) = s2,y g: S + S p o r g ( s ) = s + 1.(a) Obtener f 0 g. .(b) Obtener g 0 f .(c) ~ E s f 0 . g= g o ?

10. Sea S el co nju nto d e 10s nu me ros reales y para a , b E S, donde a f 0; de-finase f u , b ( ~ ) as +- b.(a) Demuestrese q ue aSb 0 c,d = fu,,,par a ciertos u, v reales. Dense valoresexplicitos para u , v en terminos de a , b , c y d .(b) i E s fo,b o f c , d = f c , d o f o r b siempre?(c ) Hallar todas las fo rb tales que f,,* f , . , = f , . , o f,,b.(d ) Demuestrese qu e f0>' existe y encuentrese su forma.

11. Sea S el co nj un to de 10s enteros positivos. Definasef: S + S mediante f(1 ) =2, f(2) = 3, f (3) = 1, y f (s) = s para cualquier otro s E S. Demuestreseque f 0 f 0 f = is. ; C u d e s f - I en este caso?

12. Sea S el conjunto de 10s numeros racionales no negativos, esto es, S ={m/nlm, n enteros , n r" 0) , y sea T el conjunto de 10s enteros.(a) Determinese si f: S T d a d a p or f ( m / n ) = 2'"3"dcfine una funcionvalida de S en T.(b) Si no es funcion, jc6m0 se podria modificar la definicion de f pa raobtener una funcion val ida?

13. Sea S el co nju nto de 10s ente ros positivos de la form a 2"3", do nd e rn > 0,n > 0, y T el con jun to de 10s ntimeros racionales. D efinase f: S + T porf(2"'3") = m/n. Pruebese que f define una funciCln de S en T. (;En quepropiedades de 10s enteros se basa esto?)

14. Definasef: S -+ S, donde S es el con junto de 10s enteros, m ed ian tef (s) =a s + b, donde a , b son enteros. Determinense condiciones necesarias y su -ficientes para a, b de tal manera que f 0 f = is.15. Hallar todas las f de la form a da da en el Problem a 14 tales que f 0 f 0 f =

1s.16. Si f es una aplicacion inyectiva ds S sobre si mismo, demuest rese que

(f - ')-I = f .


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.?EL GRUPO" IMETRICORecordemos un teorema de grupos abstractos demostrado en el Cap itulo 2. Di-cho resultado, conocido como teorema de Cayley (Teorema 2.5 . I ) , afirma quetodo grupo G es isomorfo a un subgrupo de A( S ), el conjun to de las aplicacio-nes inyectivas del conjunto S sobre si mismo, para algun S apropiado . En reali-dad, en la demostraci6n que dimos se utiliz6 como S el mismo grupo Gconsiderado simplemente como un conjun to.HistQicamente, 10s grupos se originaron primer0 de esta manera, muchoantes de que fuera definido el concep to de grupo abstracto. En 10s traba jos deLagrange, Abel, Galois y otros, encontramos resultados sobre grupos de per-mutaciones que fueron demo strados a finales del siglo XVIII a p rincipios delXIX. in embargo , no fue sino hasta mediados del siglo XIX ue Cayley introdu jomAs o menos el concep to abstracto de grupo.Puesto que la estructura de grupos isomorfos es la misma, el teorema deCayley seiiala un cierto cardcter universal de 10s grupos A( S ). Si conocitramosla estructura de todos 10s subgrupos de A (S ) para cualquier c onjunto S, cono-ceriamos la estructura de todos 10s grupos. Esto seria demasiado pedir. No obs-% tante, se podria intentar explotar este empotramiento de tip0 isomorfo d e ungrupo arbitrario G dentro d e algun A(S ). Lo anterior tiene la ventaja de trans-formar G com o un sistema abstracto en-algo mds concreto, a saber, un con-junto de aplicaciones precisas de algun conjunto sobre si mismo.No nos ocuparemos de 10s subgrupos de A (S ) para un conjun to arbitrario


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110 CANTULO3 EL GRUPO SlMiTRlCOS. Si S es infinito, A (S) resulta ser un objeto muy "arisco" y complicado. Aunen el caso de que S sea finito, la naturaleza completa de A(S) es virtualmenteimposible de determinar.En este capitulo se considera solamente A (S) para un conjunto S finito. Re-cuirdese que si S tiene n elementos, entonces A(S) se llama grupo simktrico degrado n, y se denota con S,,. Los elementos de S,, se llaman permutaciones; sedenotaran con letras griegas minusculas.Dado que dos elementos a, T E A(S) se multiplican por medio de la regla(uT)(s) = u(T(s)); Csta tendra el efecto de que cuando se introduzcan simbolosapropiados para representar 10s elementos de S,,, dichos simbolos, o permuta-ciones, se multiplicaran de derecha a izquierda. Si 10s lectores consultan algunotro libro de algebra, deben asegurarse de la manera en que se estkn multipli-cando las permutaciones: de derecha a izquierda o de izquierda a derecha. Conmucha frecuencia, 10s algebristas multiplican permutaciones de izquierda a de-recha. Para ser consistentes con nuestra definicion de composicion de elemen-tos de S,,, lo haremos de derecha a izquierda.

Por el teorema de Cayley se sabe que si G es un grupo finito de orden n,entonces G es isomorfo a un subgrupo de S,, y S,, tiene n! elementos. Vagamen-te hablando, se dice normalmente que G es un subgrupo de S,,. Puesto que nes mucho mas pequeiio que n! aun cuando n sea modestamente grande, el gru-po ocupa tan solo un pequeiio rinconcito de S,,. Seria deseable meter a Gen un S,, con el menor n posible. Esto es factible para ciertas clases de gruposfinitos.Sea S un conjunto finito de n elementos; se puede suponer que S ={x,,x2, . . .,x,}. Dada la permutacion a E S,, = A (S), entonces a(xk)E S parak = 1, 2, . . .,n, de manera que a(xk) = xik para algun ik, 1 I ik I n. Comoa es inyectiva, si j # k, entonces xi/ = a(x,) # a(xk) = xi*; por lo tanto, 10snumeros i,, i2, . . ., in son simplemente 10s numeros 1, 2, . . ., n acomodadosen algun orden.Evidentemente, la acci6n de a en S se determina por lo que a hace a1 subin-dicej de xi, asi que el simbolo "x" sale sobrando y se puede descartar. En for-ma breve, se puede suponer que S = { 1, 2, . . ., n}.Recordemos lo que se entiende por producto de dos elementos de A (S). Sia, T EA (S), se defini6 UT por (ar)(s) = a(r (s) ) para todo s E S. En la Seccion1.4 del Capitulo 1 se demostro que A(S) satisface cuatro propiedades quese utilizaron posteriormente como modelo para definir el concept0 de grupo abs-tracto. Asi que S,,, en particular, es un grupo relativo a1 producto de apli-caciones.Lo primer0 que se necesita es una manera practica para denotar una per-mutation, es decir, un elemento a de S,,. Una manera clara es hacer una tablaque muestre lo que a hace a cada una de 10s elementos de S. ~ s t aodriallamarse grafica de a. Ya se hizo esto anteriormente, a1 expresar a, diga-mos a E S3, en la forma: a: xl + x2, x2+ x3, x3+ xl; per0 resulta inc6modoy consume espacio. Desde luego se puede hacer mas compacta eliminando las


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3.1 Preliminares 111

x y escribiendo 3 , . En este simbolo el nlimero que se encuentrai: 3 1en el segundo renglon es la imagen con respecto a a del niimero qu e se encuentraen el primer renglon directamente sobre 61. En todo esto no hay nada en es-pecial acerca del 3; funciona igual de bien para cualquier n.Si a E Sn y a(1) = i , , a(2) = iz , . . ., a ( n ) = in, se emplea el sim boloObservese que n o es necesario escribir el primer reng lon, en el ord en usual1 2 n; de cualquier m ane ra que se escriba el primer renglon, m ientras10s i, se lleven consigo co m o corresponde , se tiene todavia a. P or ejemp lo, enel caso citado de S3,

2 . . .Si se sabe que a = . . . n , , ja qu e es igual a-'? Es fhcil,i,,simplemente inviertase el simbolo de o y se obtiene o-- ' = n(PruCbese.) En el ejemplo

El elemento identidad -que sera expresado com o e- es simplemente e =2 . . .(: 2 . a . njC6m 0 se traduce el producto de Sn en terminos de estos simbolos? D ad oque UT significa: "apliquese primer0 T y a1 resu ltado apliquese a", a1 fo rm arel producto de 10s simbolos de a y T se examina el numero k del primer ren-glon de T y se ve que nu me ro ik esta directamente a ba jo de k en la segundafila de T. 1,uego se observ a el lugar de ik en el primer renglon de a y se vequ e se encu entra directam ente ab aj o de 61 en el segundo renglon d e a. E sta esla imagen de k respecto a or. Luego se pasa por k = 1, 2, . . ., n y se obtieneel simbolo para UT. Esto se realiza a simple vista.Se ilustra lo anterior con dos permutaciones

es S,. Entonces UT = 2 3 4La econom ia lograda d e esta m anera n o es suficiente a6 n. DespuCs de tod o,el primer renglon es siem pre 1 2 . . n , asi que se podria om itir y escribir

1 2 - . .= ( i , i 2 . . . como (i , , i2 , . . ., in) . En la siguiente seccion seencontrara una forma mejor y mas breve de representar permutaciones.


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112 CAP~T~ILO EL GRUPO SIM~TRICOPROBLEMAS 3.11.Determinar 10s productos.

2. Calculense todas las potencias de cada permutacion (es decir, evaluarak para todo k).

1 2 ... -3. Prutbese que l 2 " '... 2 ... n4. Encukntrese el orden de cada uno de 10s elementos del Problema 2.5. Encutntrese el orden de 10s productos obtenidos en el Problema 1.

Continuarnos el proceso de simplificaci6n de la notacion empleada para repre-sentar una permutacion dada. A1hacerlo, se obtiene algo mhs que un mero sim-bolo nuevo; se obtiene un mecanismo para descomponer cualquier permutaci6ncomo un product0 de permutaciones particularmente c6modas.

DEFINICI~N. ean i,, i2, . . ., ik, k enteros dis'tintos en S =(1, 2, . . ., n). El simbolo (i, i2 - - . ik) representarh la permutacibna E S,, donde a(il) = i2, u(i2) = -4, . ., a(ij) = ij+l para j < k,a(ik) = i,, y a(s) = s para cualquier s E S si s # i,, i2, . ., ik.Por consiguiente, en S, la permutacion (1 3 5 4) es la permutacion


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3.2 Descomposicion en ciclos 113

7 ) . Una permutacidn de la forma (i, i2 ik)( ; ; : ; : : 7se llama ciclo de orden k o k-ciclo. Para el caso especial k = 2, la pe rmut ach(i, i2) se llama transposicidn. Obstrvese que si a = (i, i2 .. ik), entoncesa es igualmente (ik i, i2 - - . i k i k il i2 . . ik-2), y asi su-cesivamente. (PruCbese.) Por ejemplo,

Dados dos ciclos, digamos un k-ciclo y un m-ciclo, se dice que son ciclosdisjuntos o ajenos si no tienen ningun entero en comun. De donde (1 3 5)y (4 2 6 7) son ciclos ajenos en S,.os ajenos en S,, afirmamos que conmutan. La demostraci6n

de ello se deja a1 lector, con la sugerencia de que si a, 7 son ciclos ajenos, sedebe verificai que (os)(i) = (sa)(i) para todo i E S = { 1,2, . . . n}. Expresa-mos este resultado como

LEMA 3.2.1. Si a, 7 E S,, son ciclos ajenos, entonces a7 = 70.---.Consideremos un k-ciclo particular a = (1 2 - . k) en S,. Evidente-

mente, a(1) = 2 por la definici6n dada anteriormente; jc6m0 se relaciona 3con l? Puesto que a(2) = 3, se tiene a2(l) = a(2) = 3. Continuando, se veque aJ(2) = j + 1 para j I - 1, mientras que a k(l) = 1. En realidad,se ve que ak = e, donde e es el elemento identidad de S,.

Hay dos cosas que se concluyen del parrafo anterior.1. El orden de un k-ciclo, como elemento de S,, es k. (Prutbese.)2. Si a = (il i2 - . ik) es un k-ciclo, entonces la drbita de i,, respecto a a(vCase el Problema 27 de la Secci6n 1.4 del Capitulo 1) es {i,, i2, . . ., k}.

De mod0 que es posible advertir que el k-ciclo a = (i, i2 . . ik) esa = (i, a(i,) a 2 i,) . . . ak-'(i,)).

Dada cualquier permutaci6n 7 en S, para i E (1, 2, . .., n}, con-sidtrese la erbita de i respecto a 7; entonces tenemos que dicha drbita es{i, 7(i), r2(i ), . . 7'-'(i)}, donde rS(i) = i ys es el menor entero positivo conesta propiedad. ConsidCrese el s-ciclo (i 7( i) r2( i) . . 7'-'(i)); se lellama ciclo de 7 determinado por i.

Se considera un ejemplo especifico y se encuentran todos sus ciclos. Sea

jcual es el ciclo de 7 determinado por l? Afirmamos que es (1 3 4). jPorquC? 7 lleva a1 1 hacia 3, a1 3 hacia 4 y a1 4 hacia 1, y puesto que 7 (1) = 3,


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114 CAP~TULO EL GRlIPO SIMETRICOr2(1) = ~ ( 3 ) 4, r3( l) = ~ ( 4 ) 1. Esto se puede obtener visualmente zigza-gueando entre lineas

por medio del trazo punteado. LCual es el ciclo de 7 determinado por 2? Zigza-gueando

segun la linea punteada, se ve que el ciclo de 7 determinado por 2 es (2 9 8 7).Los ciclos de 7 determinados por 5 y 6 son (5) y (6), respectivamente, ya que~ d e j aijos a 5 y 6. Asi que 10s ciclos de 7son (1 3 4), (2 9 8 7), (5)y (6). Por lo tanto se tiene que 7 = (1 3 4)(2 9 8 7)(5)(6), donde seconsideraron estos ciclos -definidos anteriormente- como permutaciones enS9 porque todo entero en S = (1, 2, . . ., 9) aparece en uno, y solamente enun ciclo y la imagen de cualquier i respecto a 7 se lee en el ciclo en que aparece.

La permutacion 7 anterior, con la cual se llevo a cab0 el razonamiento quese dio, no reviste nada en especial. El mismo razonamiento seria valido paracualquier permutacion en S, y para cualquier n. Se deja a1 lector la redaccionformal de la demostracion.

TEOREMA 3.2.2.Toda- permutation en S, es el pr oduct~ e ciclosajenos.A1 expresar una permutacion a como un producto de ciclos ajenos, se omi-

ten todos 10s ciclos de orden 1; es decir, se ignoran 10s i tales que a(i) = i. Deesta manera a = (1 2 3)(4 5) en S, es la forma en la que se escribiria a =(1 2 3)(4 5)(6)(7). En otras palabras, a1 escribir a como un productode k-ciclos, con k > 1, se supone que o deja fijo a cualquier entero que noeste presente en ninguno de 10s ciclos. Asi que en el grupo Sl l la permutacion7 = (1 5 6)(2 3 -9 8 7) deja fijos a1 4, 10 y 11.

LCual es el orden de un k-ciclo como elemento de S,? Afirmamos que esk. Tambikn aqui se deja la demostracion a1 lector.

LEMA 3.2.3.--i 7 es un k-ciclo en S,, entonces el orden de 7 es I f ;esto es, r k = e y 7 j # e para 0 < j < k.- ,-Considkrese la permutacion 7 = (1 2)(3 4 5 6)(7 8 9) en S9. ~ C u a l

es su orden? Puesto que 10s ciclos ajenos (1 2), (3 4 5 6), (7 8 9) con-mutan, 7" = (1 2)"'(3 4 5 6)"(7 - 8 9) " ; para que 7" = e se requie-re (12)" = e, (3 4 5 6)" = e, (7 8 9)" = e. (PruCbese.) Para que(7 8 9)" = e, se debe tener que 3 )m, ya que (7 8 9) es de orden 3; paraque (3 4 5 6)" = e, se debe tener que 41 m, porque (3 4 5 6) es de or- ,


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3.2 Descomposicion en ciclos 115den 4, y pa ra que (1 2)'" = e, se debe tener que 21m, porque (1 2) esde orden 2. Esto dice que m debe ser divisible entre 12. Por otra parte,

De manera que 7 es de orden 12.De nueva cu enta aq ui no en tran en escena las propiedades especiales de 7.L o que se hizo para 7 funciona para cualquier permutacion. Se pruebaTEOREMA 3.2.4. -upbngase que a E S,, iene descomposici6n cicli-ca en ciclos ajenos de longitud m l , m2, . . ., m,. Enton ces el ord en *- - ez s - l 'minimo comlin multiplo de m , , m 2, . . . mk,

DEMOSTRAC16N. Sea a = 7 1 7 ~ . . 7k, donde 10s ri son ciclos ajenos d e longi-tud mi. Puesto que 10s ri son ciclos ajenos, rirj = rjri; por lo tanto si M es elminimo com un m ultiplo de m,, m 2, . . .,m,, entonces aM = . . 7k)M=7f"7P - - 7p = e (ya que 7y = e debido a que 7, es de orden mi y m i(M ). Porconsiguiente, el orden de a es a lo sum o M. Po r otra parte, si a N = e, entoncesry7F - . . 7 = e; esto obliga a que cada riN= e (pruebese) porque lasri son permutaciones ajenas, por lo tanto mil N , ya que ri es de orden mi. Demanera que N es divisible por el minim o com un m ultiplo de m,, m,, . . .,m,,asi que MI N. Por consiguiente, se ve que a es de orden M como se afirma enel teorema.

Notese que es imperativo que en el teorema los ciclos Sean ajenos. Porejem plo , (1 2) y (1 3), que no son ajenos, son cada uno de orden 2, per0su pro duc t0 (1 2)(1 3) = (1 3 2) es de orde n 3.Consideremos el Teorema 3.2.4 en el context0 de un acom odo de naipes.Sup6ngase que un con junto de 13 cartas se acomod a de tal manera que la cartade arriba se coloca en la posicidn de la tercera, la segunda en la de la cuarta,. . . , la i-esima en la posicion i + 2, t rabajand o en m od 13. Consideradocomo una permutacion, a, de 1, 2, . . ., 13; el acomodo se convierte en

y a es simp leme nte el 13-ciclo (1 3 5 7 9 11 13 2 4 6 8 10 12),asi que a es de o rden 13. ~ C u a n ta seces se debe realizar el acomo do p ara vol-ver las cartas a su orden original? La respuesta es sencillamente el orden de a ,es decir, 13. De m anera que se requiere realizar 13 veces el aco m od o para vol-ver las cartas a su posicion inicial.Mo difiquemos el acomod o anterior. supo ngase que las cartas se acomod ancom o sigue. Se tom a primer0 la carta superior y se coloca en el penu ltimo lugary luego se aplica el acomodo descrito anter iormente. ~ C u a n t a seces se requiere


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146 CAP~ULO ELGRUPOSIM~RICOahora realizar el nuevo acomodo para volver las cartas a su posici6n original?La primera operaci6n es el acomodo expresado por la permutaci6n 7 =(1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2) seguida la a de antes. Asi quese debe calcular a7 y encontrar su orden. Pero

por lo tan to es de orden 12. De manera que se requiere realizar 12 veces el aco-mod0 para que las cartas vuelvan a su orden inicial.iS e puede encontrar un acom odo de las 13 cartas que requiera de 42 reali-zaciones, o de 20? ~ Q u Ccomodo requeriria el mayor numero de realizacionesy cud seria dicho numero?Regresamos a la discusi6n general. Considtrese la permutacion (1 2 3);se ve que (1 2 3) = (1 3)(1 2). TambiCn se puede ver que (1 2 3) =(2 3)(1 3). Asi que dos cosas son evidentes. Prim ero, se puede escribir(1 2 3) como el produc to de dos transposiciones, y en a1 menos dos ma-neras distintas. Dado el k-ciclo (i,i2 . . ik), entonces (il i2 - - . ik) =

(i, ik)(il i ) - ( i i2), asi que todo k-ciclo es el producto de k transpo-siciones (si k > 1) y se puede realizar de varias maneras, no de manera unica.Como toda permutaci6n es el produc to de ciclos ajenos y todo ciclo es un pro-ducto de transposiciones, se tieneTEOREMA 3.2.5. Toda". - permutaci6n en S, es el product0 de transpo-sicionnes.Realmente este teorema no es de sorprender ya que , despu ts de todo, diceprecisamente que cualquier permutaci6n se puede efectuar realizando una seriede intercambios de dos objetos en cada ocasi6n.Vimos que no hay unicidad en la representaci6n de una permutaci6n dadacomo produc to de transposiciones. Sin embargo, como se verd en la Secci6n3.3, algunos aspectos de dicha descomposici6n son en efecto unicos.

PROBLEMAS 3.2

1.DemuCstrese que si a, 7 son dos ciclos ajenos, entonces a7 = 70.2. Hallar la descomposicion en ciclos y el orden.


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3.2 Descomposici6n en ciclos

3. ExprCsese como producto de ciclos ajenos y encuCntrese el orden.(a) (1 2 3 5 7)(2 4 7 6).(b) (12)(13)(14).(c) (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 6)(1 2 3 4 7).( d ) ( l 2 3)(1 3 2).(e) (1 2 3)(3 5 7 9)(1 2 3)-l .(f) (1 2 3 4 5)3.

4. Fo rm ul a una demostraci6n completa del Teorema 3.2.2.5. Demutstrese que un k-ciclo tiene orden k.6. Encu tntrese un acom odo de un juego d e 13 naipes que requiera 42 realiza-ciones para regresar las cartas a su orden original.7. Resutlvase el problema anterior para un acomodo que requiera 20 realiza-ciones.8. Exprtsense las permutaciones del Problema 3 com o producto de transposi-ciones.9. Dadas las dos transposiciones (1 2) y (1 3), encutntrese una permutacibna tal que a(1 2)a-' = (1 3).10. PruCbese que no existe ninguna permutacibn o tal que a(1 2)a-' =(1 2 3).11. Demostrar q ue existe una permutaci6n a tal que a(1 2 3)a-' = (4 5 6).12. Prutbese que no existe ninguna permutacion a tal que a(1 2 3)a-' =(1 2 4)(5 6 7).

13. Prutbese que (1 2) no se puede expresar como p roducto de 3-ciclos ajenos.14. Pru tbese que p ara cualquier permutaci6n a , a7a-' es una transposici6n si

7 lo es.


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118 CAP~TULO EL GRUPO SIM h ~ l C 015. Demukstrese que si T es un k-ciclo, entonces arc-' es tambitn un k-ciclo,

para cualquier permutacibn a.16. Sea un automorfismo de S3. Demutstrese que existe un elemento a E S3

tal que @(T)= U - ~ T U para toda T E S3.17. Considtrense (1 2) y (1 2 3 . n) en S,. DemuCstrese que cualquier

subgrupo de S, que contenga a estas dos permutaciones debe ser igual a to-do S, (asi que dichas permutaciones generan S,).18. Si T, y 7, son dos transposiciones, demuestrese que 7 1 7 2 se puede expresar

como producto de 3-ciclos (no necesariamente ajenos).19. PruCbese que si 71, 7 2 y T~ son transposiciones, entonces 717273 Z e, el

elemento identidad de S,.20. Si T,, 72 son transposiciones distintas, demutstrese que 7172 es de orden 2

0 3.21. Si a, 7 son dos permutaciones que rio tienen simbolos en comun y UT = e,pruebese que a = T = e.22. Determinar un algoritmo para obtener UTU - I para permutaciones cuales-quiera a, T de S,.23. Sean a, T dos permutaciones tales que ambas tienen descomposiciones en

ciclos ajenos de longitudes m,, m2, . . ., mk. (En tal caso se dice quetienen descomposiciones semejantes en ciclos ajenos.) Prutbese que para al-guna permutaci6n p, T = pap -I .

24. Encutntrese la clase de conjugaci6n en S, de (1 2 . . - n ) . ~ C u i ls elorden del centralizador de (1 2 . . . n) en S,?25. ResuClvase el problema anterior para a = (1 2)(3 4).

3.3 PERMUTACIONESMPARES Y PARESEn la Seccion 3.2 se observo que aunque toda permutaci6n es el productode transposiciones, esta descomposici6n no es unica. Sin embargo, se co-mento que ciertos aspectos de esta clase de descomposici6n son unicos. Ahorase examina esto a fondo.

Consideremos el caso especial de S3, ya que aqui se puede ver todo explici-tamente. Sea f (x) = (x, - x2)(xl- x3)(x2- x3) una expresion en las tres va-riables x l, x2, x3.Hacemos que S3 actue sobre f(x) como sigue. Si a E S3,entoncesSe examina lo que a* hace a f (x) para unas cuantas de las a en S3.


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3.3 Permutaciones mpares y pares 119ConsidCrese a = (1 2); entonce s a(1) = 2, a(2) = 1, y a(3) = 3, de talmanera que

Asique a*, queproviene de a = (1 2) , cambia el signo def (x). Examinemosla acci6n d e otr o elemento, T = (1 2 3), de S3en f (x) . De mod0 que

y entonces T*, queproviene de T = (1 2 3), no altera el signo def ( x) . ~ Q u Chay respecto a las otras permutaciones en S3?, ~ C O ~ Ofectan a f (x)? Desdeluego, el elemento identidad e induce una aplicacion e* en f (x ) que no alte-ra a f ( x ) e n a bs olu to . iC6 m 0 a fe ct a T ~ ,ada T como antes, a f (x)? Puestoque ~ * fx) = f (x), se ve de inmediato que

ConsidCrese ah or a a7 = (1 2)(1 2 3) = (2 3); da do que T no altera a f ( x )y a cam bia el signo def (x ), a 7 debe cambiar el signo def (x). De manera seme-jante, (1 3) cam bia el signo de f ( x .Se ha ex plicado asi la acci6n de cada ele-mento de S3sobre f (x) .Sup6ngase que p E S3es un pr jducto p = 7 1 7 2 . rk de transposicionesT I , . . ., T ~ ;ntonces a1 actuar p sotlre f (x ) el signo de f ( x ) cambiar i k veces,ya que cada ri cambia dicho signo. Por lo tanto, p*(f (x)) = (-l)kf(x). Sip = u1u2 . u,, donde a l , . . ., a, son transposiciones, razonando del mismomod0 entonces n* (f ( x ) ) = (-1)'f (x ). P o r consigu iente, (-l)k f (x ) =(-1)'f (x ), de do nd e (-1)' = (-l)k. Esto dice que t y k tienen la mismaparidad;es decir, si t es im par, entonces k debe ser impa r, y si t es par, entonces k debeser par.L o anterior sugiere que aunque la descomposici6n de una permutaci6n da-d a a com o un product0 de transposiciones n o es unica, la paridad del nrimergde transposiciones. en una de tales~descomposicionesde a podria ser rinica.


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120 CAP~TULO r EL GRUPO SIM~RICOProcu rarem os a ho ra este resultado, sugiriendo a 10s lectores que lleven acab 0 el razonarniento qu e se hace para n arb itrario , pa ra el caso especial n = 4.Com o se hizo anteriormente, sea

X . - . x 2- x,) ... x , - ~- X,)dond e en este producto i asum e todos 10s valores desde 1 hasta n - 1 inclusive,y j todos aqukllos desde 2 hasta n inclusive. Si a E S,, definase a * sobref (x ) mediante

Si a, T E S,, entonces

Asi que (or)* = a*r* cuan do se aplica a f (x).~ Q u Cace una transposici6n T a f (x)? Afirmamos que T *(f (x ) ) = -f (x).Pa ra probarlo, suponiendo que T = (i j ) donde i < j , contamos el numerode (xu- x,), con u < v, que son transformados en un (x, - xb ) con a > b .Esto sucede para (x u- xi) si i < u < j , para (x i - ,) si i < v < j , y final-mente, para (x i - x,). Cada un o de ellos conduce a un cambio de signo en f (x )y puesto que hay 2 ( j - - ) + 1 de tales, es decir, un numero impar de ellos,se obtiene un numero impar de cambios de signo en f(x) cuando sobreeste valor actua T *. De manera que T *( (x )) = -f (x). Por lo tanto nuestraafirmaci6n de que T *(f (x)) = -f (x) para toda transposici6n 7, queda justi-ficada.Si a es cualquier permutaci6n en S,, y a = 7 1 7 2 rk, donde T, , 7, . . . kson transposiciones, entonces a * = ( ~ ~ 7 2. rk)* = T1 2T . . . T/: cuandoactua sobref (x ), y puesto que cada r,*(f (x )) = -f (x), se Ve que a *(f (x)) =(- l) v( x) . De manera semejante, si a = r1r2 . C,, donde r1 , r2 , . . f t sontransposiciones, entonces a *(f (x) ) = (-l)'f(x). Com parando estas dos evalua-ciones de a *(f x )), e concluye que (- 1) = (- 1) . De manera que estas dosdescomposiciones de a como producto de transposiciones son de la misma pari-dad. &r-coekuieete, cualquier permutacidn e ~ e l p ~ o ~ ~ _ c _ t ~ ode e-nu mer o im-par de transposiciones o bien- el product0 de un ntimero par de transposiciones,y ningtin produ"cto-de- - __ on ntimero__ _ __ _ par de tramp osic i~nespued e er i&al a un p r e-- -- -- - --duct0 de g n numero imparedeetransposicione_s.


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3.3 Permutaciones impares y pares 121Lo anterior sugiere la siguienteDEFINICI~N. na permutaci6n a E S, es una p&mutacidn impar sia es el prod ucto d e un num ero impar d e transposiciones, y es una per-mutacidn par si o es el producto d e un n umero par de transposiciones.Lo que hemos probado anteriormente esTEOREMA 3.3.1. ---na permutaci6n en S, es bien sea una permuta-ci6n... impar o bien par, per0 no puede ser ambas.Con el apoyo del Teorema 3.3.1 se pueden deducir varias de sus conse-cuencias.Sea A, el con jun to de todas las permutaciones pares; si a, 7 E A,, enton-ces se tiene de inmediato qu e a7 E A,. Puesto que de esta manera A, es un sub-con jun to cerrad o finito del grup o (finito) s,, A, es un subgrupo de s,, por elLema 2.3.2. A, se llama grupo alternante de grado n.Se puede demostrar que A, es un su bgrup o de S, de otra manera. Ya vi-mos que A,, es cerrado respecto al produ cto de S,, asi que para saber que A,es un subgrupo de S, se requiere simplemente demostrar q ue a E S, implica que

a-' E S,. Afirmam os que pa ra cualquier permutaci6n a, a y a-I son de la mis-ma paridad. LPor qud? Bien, si a = 7172 s s - 7k, donde las ri son transposicio-nes, entonces

ya que 7 , ~ ' 7 i; por lo tanto , se observa que la paridad de a y a-I es (-l)k,asi que son de igual paridad. E sto dem uestra desde luego que a E A, implicaque a-I E A,, de donde A, es un subgru po de S,.Per o ello prueba un p oco mAs, a saber , que A, es un subgrupo normalde S,. Porque sup6ngase que a E A, y p E S,. ~ C U As la paridad d e -p -'up?Po r lo anterior, p y p -' son de la misma paridad y a es una permutaci6n parasi que p-laap s una permutaci6n pa r, por consiguiente estA en A,. De mane-ra q ue A, es un subg rupo normal de s,.Resumimos lo efectuado en elTEOREMA 3.3.2. --l grup o alternante de g rado ., A,, es un s u b ~ r u -po normal de S,.---' ..- *- - - * - aExaminamos esto de ot ra m anera todavia. De las propias definiciones invo-lucradas se tienen las siguientes reglas sencillas para el producto de permutaciones:

1. El producto de dos permutaciones pares es par.2. El producto de dos permutaciones impares es par.3. El producto de una permutaci6n par por una impar ( o el de una impar poruna par) es impar.


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122 CAP~TULO EL GRUPO SIM~TRICOSi a es una permutaci6n par, sea 8(a) = 1, y si a es una permutaci6n impar,

sea 8(a) = -1. Las reglas precedentes relativas a productos se traducen enO(a7) = 8(a)0(7), de manera que 8 es un homomorfismo de S, sobre el grupoE = { 1, -1 ) de orden 2 respecto a la multiplication. ~Cuiils el ndcleo, N, de8? En virtud de la propia definici6n de A,, se ve que N = A,. Asi que por elprimer teorema de homomorfismos, E = S,/A,. De esta manera 2 = ( E =(S,/A,( = JS,I /(A,J, si n > 1. Esto da por resultado que (A,[ = %IS,J =%n!.Por lo tanto,TEOREMA 3.3.3. Para n > 1, A, es un subgrupo normal de S,---- -'" - -* . . - . - * . .&,.orden .5(2 n_!.COROLARIO.Si n > 1, en S, hay 1/2n! permutaciones pares y %n!permutaciones &pares.Antes de concluir la presente seccidn, se hace un breve comentario final res-

pecto a la demostraci6n del Teorema 3.3.1. Se conocen muchas demostracionesdiferentes de este teorema. Sinceramente, no nos gusta particularmente ningu-na de ellas. Algunas involucran lo que se podria llamar un "proceso de colec-ci6n9', donde se trata de demostrar que e no se puede expresar como el productode un nlimero impar de transposiciones, haciendo la suposici6n de que si es po-sible, y mediante una manipulaci6n apropiada de dicho producto se le reducehasta que se obtiene una contradicci6n. Otras demostraciones utilizan diferen-tes artificios. La demostraci6n que se dio saca provecho del artefact0 que cons-tituye la funci6nf ( x ) , la cual, en cierto sentido, es ajena a la cuesti6n tratada.Sin embargo, la demostraci6n dada es probablemente la miis clara de todas ellas,y por tal motivo se utiliz6.Finalmente, el grupo A,, para n r 5, es un grupo sumamente interesante.En el Capitulo 6 se demostrarii que 10s dnicos subgrupos normales de A,, pa-ra n r 5, son (e) y el mismo A,. Un grupo no abeliano que tenga esta propie-dad se llama grupo simple (no debe confundirse con grupo facil). De maneraque 10s A, para n r 5 proporcionan una familia infinita de grupos simples.Existen otras familias infinitas de grupos simples finitos. En 10s liltimos 20 aiiosaproximadamente 10s esfuerzos heroicos de un grupo de algebristas han deter-minado todos 10s grupos simples finitos. La determinacibn de dichos grupossimples comprende cerca de 10 000 piiginas impresas. Resulta muy interesantesaber que cualquier grupo simple finito debe tener orden par.

PROBLEMAS 3.3

1.Determinar la paridad de cada permutaci6n.


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3.3 Permutaciones impares y pares2 3 4 5 6 7 8( a ) ( : 4 5 1 3 7 8 9 :I.-

(b) (1 2 3 4 5 6)(7 8 9).( c ) ( l 2 3 4 5 6)(1 2 3 4 5 7).(d) (1 2)(1 2 3)(4 5)(5 6 8)(1 7 9).

2. Si a es un k-ciclo, demukstrese que a es una permutaci6n impar si k es par,y es una permutaci6n par si k es impar.3. PruCbese que a y 7-'a7, para a, 7 E S,,, cualesquiera, son de la mismaparidad.4. Si m < n, se puede decir que S,,, C S,, considerando quej E S,, actda sobre1, 2, . . ., m, . . ., n como lo hizo sobre 1 , 2, . . ., rn y que a deja a j >m fijo. PruCbese que la paridad de una permutacibn en S,, cuando se con-sidera de esta manera como elemento de s,,, o cambia.5; Sup6ngase que se sabe que la permutation

en S,, donde las imagenes de 5 y de 4 se han perdido, es una permutaci6npar. ~Cuhles eben ser dichas imagenes?

6. Si n r 3, demutstrese que todo elemento de A, es un producto de ci-clos de orden 3.7. Demubtrese que todo elemento de A, es un producto de ciclos de orden n.8. Hallar un subgrupo normal en A, de orden 4 .

PROBLEMAS IF~cILES EN REALIDAD, MUY DIFiCILES)I

9. Si n r 5 y (e) f N c A, es un subgrupo normal de A,, demutstrese queN debe contener un ciclo de orden 3.10. Aplicando el resultado del Problema 9, demukstrese que si n r 5, 10s dni-cos subgrupos normales de A, son (e) y el mismo A,. (Asi que 10s gruposA, para n r 5 dan una familia infinita de grupos simples.)


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En el estudio del Algebra abstracta llevado a cab0 hasta ahora, se ha presentadouna clase de sistema abstracto, el cual desempefia un papel central en el dlgebrade hoy en dia: el concept0 de grupo. Debido a que un grupo es un sistema alge-braic~ ue consta solamente de una operaci6n y que no es necesario que satisfagala regla ab = ba, en cierto mod0 va en contra de nuestra experiencia anteriorcon el algebra. Trabajamos con sistemas en donde se podia tanto sumar comomultiplicar elementosy se satisfacia la ley conmutativa de la multiplicaci6n ab =ba. Ademds, dichos sistemas conocidos procedieron normalmente de conjuntosde numeros -enteros, racionales, reales y en algunos casos, complejos.

El siguiente objeto algebraic0 que consideraremos es un anillo. En muchosaspectos este sistema hara recordar mds lo conocido anteriormente que 10s grupos.Por una parte 10s anillos serdn dotados con adici6n y multiplicaci6n, y estasestaran sujetas a muchas de las reglas conocidas de la aritmetica. Por otra parte,no es necesario que 10s anillos provengan de 10s sistemas numdricos usuales.En efecto, normalmente tendrdn poco que ver con ellos. Aunque muchas delas reglas formales de la aritmetica son vdlidas, ocurrirdn muchos fendmenosextrafios -0 que pudieran parecer asi. A medida que se vaya avanzando y seconsideren ejemplos de anillos, se verd que se presentan algunas de estas cosas.Luego de este predmbulo estamos preparados para empezar. Naturalmentelo primer0 que se debe hacer es definir aquello de lo que se va a tratar:

DEFINICI~N.e dice que un conjunto no vacio R es un anitlo si tienedos operaciones + y . tales que:(a ) a, b E R implica que a + b E R.


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(b) a + b = b + a para a , b E R.(c) ( a + b) + c = a + ( b + C) para a , b c .E R .(d) Existe un elemento.0 E R tal que a + 0 = a para todo a E R.(e) Da do a E R , existe un b E R tal que a + b = 0. (b se:xpresaracomo -a) .

Notese que lo que se ha dicho hasta a ho ra es que R es un gr sp o abe-lim o respecto a + .Aho ra se explican las reglas de la multiplicacion en R .(f) a , b E R implica que a . b E R .(g) a . ( b . C) = ( a . b ) . c para a , b , c E R .Esto es tod o lo q ue se exige por lo que se refiere a la multiplicacion sola.Mas no se dejan las operaciones + y aisladas entre si, sino que se entre-lazan mediante las dos leyes distributivas:(h)

a - ( b + c ) = a . b + a . cY ( b + c ) . a = b . a + c - a ,para a , b, c E R.

Estos axiomas que definen un anillo parecen conocidos. Asi debe ser, yaque el concept0 de anillo se introdujo c om o una generalizaci6n de lo qu e sucedeen el con jun to de 10s enteros. D ebido a1 axiom a (g), la ley asociativa de la m ul-tiplicacion, 10s anillos que se han definid o se llam an no rma lme nte anillos aso-ciativos. L os anillos n o asociativos existen y alguno s d e ellos desempefian unpapel impo rtante en las matemtiticas. Pe ro no nos ocuparemos aqu i de ellos.De man era que cua nd o se utilice la palab ra "anillo" siempre significara "ani-110 asociativo" .Aunque 10s axiomas del (a) a1 (h) son conocidos, existen ciertas cosas queellos n o dicen. C onsideramos algunas de las reglas conocidas q ue n o s e exigenpara un anillo general.En primer lugar, no se postulo la existencia d e un elemento 1 E R tal quea . 1 = 1 . a = a para todo a E R. Muchos de 10s ejemplos que se encon trarantendrtin tal elem ento y en ese caso se dice qu e R es un anillo con unidad. Contoda franqueza debemos sefialar que muchos algebristas exigen que un anillotenga elemento unidad. Nosotros exigiremos qu e 1 # 0; o sea qu e el anillo con-sistente solamente del 0 no es un anillo con unidad.

En segundo lugar, p or nuestra experiencia anterior con cosas de esta clase,siempre que a - b = 0 se concluia q ue a = 0 o bien b = 0. No es necesarioque esto sea cierto en un anillo, en general. Cuando es vtilido, el anillo es encierto mod0 miis gra to y se le d a un nom bre especial: se le llama dom inio.En tercer lug ar, en 10s axiomas qu e definen un anillo no se dice nada qu eimplique la ley conm utativa de la multiplicaci6n a . b = b a . Existen anillosn o conm utativos en do nde n o es vtilida esta ley; pron to se veran algunos. Eneste capitulo nos ocuparemos principalmente de 10s anillos conm utativo s, p er0


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4.1 Definiciones y ejemplos '127para muchos de 10s primeros resultados no se supondra la conmutatividad delanillo estudiado.Como se menciono anteriormente, algunos aspectos hacen a ciertos anillosmas agradables que otros, y por lo tanto merecen tener un nom bre especial. Deinmediato se d a u na lista de definiciones para algunos de ellos.

DEFINICC~N.n anillo conmutativo R es un dominio integral si a .b = 0 n R implica que a = 0 o bien b = 0.Se debe sefialar que algunos libros de algebra exigen q ue un dom inio integralconten ga un elemento un idad. A1 leer otro libro, el lector debe verificar si tales el caso. L os enteros, Z, roporcion an un ejem plo obvio de un dom inio integral.Se consideraran otros un poco menos obvios.DEFINICI~N.e dice que un anillo con unid ad, R , es un aniIIo condivisidn si para a f 0 n R existe un elemento b E R (que normalmentese expresa como a- ' ) tal que a a-' = a-' . a = 1.La razon de llamar a un anillo de esta clase un anillo con division es bas-tante evidente: porque se puede dividir (a1 menos teniendo presentes 10s ladosizquierdos y derechos). Au nq ue 10s anillos con division no conm utativos existencon m ucha frecuencia y desempeiian un papel imp orta nte en el algebra no con-mutativa, son bastante complicados y solo se dar a un ejemplo de ellos. Dichoanillo con division es el gran clasico presentado por Hamilton en 1843 que seconoce como el anillo de 10s cuaternios. (Vease el Ejemplo 12 que sigue.)Finalm ente, pasam os a1 ejemp lo tal vez mas interesante de una clase de anillos:el campo.DEFINICI~N.e dice que un anillo R es un campo si R es un anillocon divisidn conmutativo.E n otras palabras, un campo es un anillo conmutativo en el cual se puededividir libremente entre elementos distintos de cero. Dicho de otra manera,R es un campo si sus elementos distintos de cero forman un grupo abelianorespecto a1 producto . en R.Se tienen a la mano muchos ejemplos de campos: 10s numeros racionales,10s numero s reales, 10s num eros com plejos. Pe ro se veran muchos mas ejem plos,

tal vez menos conocidos. El Capitulo 5 se dedicara al estudio d e 10s camp os.El resto de la presente seccion se emplea ra en considerar algunos ejem plosde anillos. Se om itira el para el produ cto y a . b se expresarii simplemenjecomo ab .

1. Es obvio que el anillo que se debe escoger como primer ejemplo es 2,


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el anillo de 10s enteros respecto a la adici6n y m ultiplicaci6n usuales e ntre ellos.Naturalmente, Z es un ejemplo de dominio integral. .2. El segundo ejem plo es una eleccion igualmente obvia. Sea Q el conjun tode 10s numeros racionales. C om o ya se sabe, Q satisface todas las reglas nece-sarias para un campo, asi que Q es un campo.3. Los numeros reales, R, tambitn proporcionan un ejemplo de campo.4. Los numeros complejos, C, forman un campo .Obstrvese qu e Q C R C C; lo anterior se describe diciendo q ue Q es unsubcamp o de R (y de C ) y R es un subcamp o de C.5. Sea R = Z6, 10s enteros mo d 6, con la ad ici6n y la multiplication defi-nidas por [a] + [ b ] = [ a + b] y [a: l[b] = [ ab] .N6tese q ue [O] es el 0 reque rido p or 10s axiom as de anillo y [ l ] es el ele-mento unidad d e R . Observese, n o obstante, que Z6 no es un dominio integral,ya q ue [2] 131 = [6 ] = [0] , aunque [2 ] # [0] y [3] # [O]. R es un anillo co n-

mutativo con unidad.El ejemplo anterior sugiere laDEFINICI~N.n elemento a # 0 de u n anil lo R es un divisor de ceroen R si a b = 0 para algun b # 0 d e R .En realidad lo que se aca ba d e definir se deberia llamar divisor d e cero porla izquierda; sin emb argo, d ad o qu e se tratarh principalmente de anillos con-mu tativos, n o se necesitara ninguna distinci6n izquierda-derecha p ar a 10s divi-sores de cero.Obstrvese qu e tanto [2 ] como [3 ] son divisores de cero en Z6. Un dominiointegral es, desde luego, un anillo conmutativo sin divisores de cero.6. Sea R = Z,, el anillo de 10s enteros m od 5 . Por supuesto, R es unanillo conmutativo con unidad; per0 es algo mas; en realidad, es un campo.Sus elementos distintos de cero son [ 11,121, [3], [4] y se observa que [2 ] [3] =[6 ] = [I ] , y [ l y [4 ] son sus propios inversos. Asi que todo elemento dist intode cero de Z, tiene inverso en Z,.Generalizamos el Ejemplo 6 pa ra cualquier primo p.7. Sea Z, el anillo de 10s enteros m o d p , don de p es primo. Es evidente denuevo que Z, es un anillo conmu tativo con unidad. A firmamos q ue Z, es uncampo. P ara tal fin, obsbves e que si [a ] # [0 ], entonces p 4 a. Por lo tanto ,por el teorema d e Ferm at (corolario del Teorem a 2.4.8), a,-' r 1(p) . Para l asclases [.I, lo anterior dice que [a*'] = [ 11. Pero [a*'] = [alp-', asi qu e

= [I ] ; por consiguiente, [ a l p 2 s el inverso requerido para {a ] en Z,,por lo tan to Z, es un campo .


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4.1 Definicionesy ejemplos 129En virtud de que Z, tiene solamente un numero finito de elementos, se le

llama campo finito. Posteriormente construiremos campos finitos diferentes a10s z,.

8. Sea Q el conjunto de 10s numeros racionales; si a E Q, se puede escribira = (n/n, donde m y n no tienen factores comunes (son ielativamente primos).LlAmese a ts ta la forma reducida de a. Sea R el conjunto de todos 10s a E Qen cuya forma reducida el denominador sea impar. Respecto a la adicidn y mul-tiplicacidn usuales en Q el conjuntoR forma un anillo, que es un dominio integralcon unidad per0 no es un campo, ya que i, el inverso necesario de 2, no esden R . ~Exactamente uAles elementos de R tienen sus inversos en R?

9. SeaR el conjunto de todos 10s a E Q en cuya forma reducida el denomi-nador no sea divisible por un primo fijop . Como en el Ejemplo 7, R es un anillorespecto a la adicidn y la multiplicacidn usuales en Q, es un dominio integralper0 no es un campo. iCuAles elementos de R tienen sus inversos en R?

Los Ejemplos 8 y 9 son, desde luego, subanillos de Q. Damos otro ejemploconmutativo m b . ~ s t eroviene del CAlculo.

10. Sea R el conjunto de todas las funciones continuas reales definidas enel interval0 unitario cerrado [0, 11. Para f, g E R y x E [0, 1 definase(f + g)(x) = f (x) + g(x) y (f .g)(x) = f (x)g(x). De 10s resultados del chlcu-lo, se tiene quef + g y f . g son tambitn funciones continuas en [0, 11. Conestas operacionesR es un anillo conmutativo. R no es un dominio integral. Porejemplo, si f(x) = -x + + para 0 I x I $ y f(x) = 0 para + < x I ,y si g(x) = 0 para 0 I x r 4 y g(x) = 2x - 1 para i < x I 1, entonces f,g E R y, como es fAcil verificar, f . g = 0. R tiene un elemento unidad, asaber la funcidn e definida por e(x) = 1 para todo x E [0, 11. ~ Cuales le-mentos de R tienen sus inversos en R?

Seria deseable considerar algunos ejemplos de anillos no conmutativos. ~ s t o sno son tan fAciles de conseguir, a pesar de que 10s anillos no conrnutativos existenen abundancia, debido a que estamos suponiendo que el lector no tiene cono-cimientos de Algebra lineal. La primera fuente, la m k facil y natural, de talesejemplos es el conjunto de matrices sobre un campo. De manera que en nuestroprimer ejemplo no conmutativo crearemos en realidad las matrices 2 x 2 concomponentes reales.

11. Sean F el campo de 10s numeros reales y R el conjunto de todas lasformaciones cuadradas

donde a, b, c, d son numeros reales cualesquiera. Para tales formaciones cua-dradas se define la adicidn de una manera natural por medio de


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Pa ra la mayoria de nosotros el concepto de anillo constituia un terreno desco-nocido; en cam bio, el concepto de camp o esta mas relacionado con nuestra ex-periencia. Mientras que el unico anillo, aparte de un campo, que podriahaberse c onsiderado en la ensefianza elemental era el anillo de 10s enteros, setenia un poco mas de experiencia trabajando con 10s numeros racionales, 10sreales y, en algun os casos, 10s num eros c om plejo s, a1 resolver ecuaciones linea-les y cuadraticas. La capacidad de dividir entre elementos distintos de ceroproporciono cierta libertad de accion para resolver una amplia variedad deproblemas, la cual podria no haberse tenido con 10s enteros.De mod0 que a primera vista, cuando se empieza a trabajar con camposse siente uno com o en su casa. A medida q ue se penetra mAs a fon do en la m a-teria, se empiezan a enco ntrar nuevas ideas y nuevas Areas de resultad os. Se en-cuentra uno otra vez en terreno desconocido, per0 siendo optimista, despuCsde cierta exposicion del tema tratado, 10s conceptos se volveran naturales.Los campos desempeilan un papel imp ortante en la geometria, la teoria delas ecuaciones y en ciertas areas muy im portantes de la teoria de 10s num eros.Se hara referencia a c ada un o de estos aspectos a m edida qu e se avance. Desa-fortu nad am ente , debido a la ma quin aria tCcnica que se necesitaria desarrollar,no se considera la teoria d e Galois, qu e es una pa rte muy bella de la materia.Se espera q ue m uchos d e 10s lectores entren en con tact0 con la teoria de Ga lois,y mas alla de Csta, en su instruccion matematica posterior.

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176 CAP~'~ULO CAMPOS

- -Recuerdese que un campo F es un anitlo conmutativo con efemento unidad 1tal que para todo a E F distinto de cero existe un elemento a-' E F de tal mo-do que aa-' = 1. En otras palabras, 10s campos son "algo parecido" a 10sracionales Q. Pero jes asi en realidad? Los enteros m6dp,,Zp, donde p es pri-mo, forman un campo; en Zp se tiene la relacion

-(p veces)

Nada semejante a esto sucede en Q. Existen diferencias aun mas notables entre10s campos: como se factorizan 10s polinomios en ellos, propiedades especialesde las que se veran algunos ejemplos, etcttera.

Se empieza con varios ejemplos conocidos.

1. Q, el campo de 10s numeros racionales.2. R, el campo de 10s numeros reales.3. C, el campo de 10s numeros complejos.4. SeaF = {a + bila, b E Q ) C C. Es relativamente sencillo ver que F

es un campo. Se verifica solamente que si a + bi # 0 esta en F, entonces(a + bi)-' tambitn esta en F. Pero ja qut es igual (a + bi)-'? Simplementees

a - ib (Verifiquese)(a2 + b2) (a2 + b2)

y puesto que a2 + b2# 0 es racional, entonces a/(a2 + b2) y b/(a2 + b2)son tambiCn racionales, por consiguiente (a + bi)-' esta efectivamente en F.

5. SeaF = (a + ~1 a, b E Q ) C W. Nuevamente la verification de queF es un campo no es muy dificil. Tambitn en este caso solamente se demuestrala existencia en F de 10s elementos distintos de cero de F. Supdngase que a +bJZ # 0 sta en F; entonces, dado que JTes irracional, a' - 2b2# 0.Comose obtiene que (a + bv'B(a/c - a b / c ) = 1, donde c = a 2- 2b2. El inversorequerido para a + b f i es a/ c - A b / c , el cual desde luego es un elementode F, ya que a/c y b/c son racionales.


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5.1 Ejemplos de campos 1776. Seanf cualquier campo y F [x ] el anillo de polinomios en x sobre F. Como

F x ] es un dom inio integral o entero, tiene un cam po de cocientes por el Teore-m a 4.7.1, el cual consta d e to do s 10s cocientesf (x) /g(x) , dondef (x ) y g( x) e stanen F [ x ] y g ( x ) # 0.Este camp o d e cocientes de F [x] se denota por F ( x ) y sellama cam po- d e 1asfunciones rationales en x sobre F.7. Z,, 10s enteros m6d ulo el prim o p , es un c am po (finito).>8. En el Ejemp lo 2 de la Seccion 4.4 del Cap itulo 4 se vio como construirun camp o q ue tenga nueve elementos.Esto s och o ejemplos son especificos. Utilizando 10s teoremas qu e se han de-mostrado anteriormente, se tienen algunas construcciones generales de cam-pos.9. Si D es cualquier d ominio entero, entonces tiene campo de cocientes, porel Teo rem a 4.7.1, el cual consiste de todas las fracciones a/ b , don de a y b estan

e n . D y b # 0.10. Si R es un anillo conmu tativo con elemento unidad 1 y M es un idealm h i m o d e R, entonces el Teorema 4.4.2 indica que R/ M es un campo.Este ultimo ejemplo, para R's particulares, desempefiara un papel impor-tante en lo que sigue en este capitulo.Se pod ria co ntinu ar viendo mas ejemp los, particularmente con casos espe-ciales de 10s Ejemplos 9 y 10, per0 10s diez considerados a nteriorm ente mues-tran una cierta variedad de campos y se observa que no es muy dificilencontrarse con ellos.E n 10s Ejemplos 7 y 8 10s campos son finitos. Si F es un ca mp o finito conq elementos, considerando a F simplemente como un grupo abeliano respectoa su adicion "+ ", se tiene, por el Teo rema 2.4.5, qu e q x = 0 para todox E F. Este es un comportamiento muy distinto a1 que ocurre en 10s camposusuales, como el de 10s racionales y el de 10s reales.Esta clase de comportamiento se seiiala en laDEFINICI~N.e dice qu e un cam po F tiene (o es de) caracterkticap # 0 si pa ra cierto entero positiv op, px = 0 para todo x E F , y ningunentero positivo menor que p goza de esta propiedad.Si un campo F no es de caracteristica p # 0 ara ningun entero positivo p ,se le llama camp o d e caracterktica 0. De esta manera Q, R, C son campos decaracteristica 0, mientras qu e Z3 es de caracteristica 3.En la definicion anterio r el uso d e la letra p para denotar la caracteristicaes altamen te sugestivo, ya q ue siempre se ha utilizado p para representar un nu-me ro primo. En realidad, c om o se observa en el teorema siguiente, este empleode p resulta consistente.


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178 CAP~TULO CAMPOSTEOREMA 5.1 I . La-.- caracteristica. ...... , .- , de. . .un. . campo. - es..-cero. .. o bien. .. , .un nu-mero primo.- -.-... -

DEMOSTRACI~N.i un campo F tiene caracteristica 0, no hay nada mhs quedecir. Supdngase entonces que mx = 0 para todo x E F, donde m es un enteropositivo. Seap el menor entero positivo tal que px = 0 para todo x E F. Afir-mamos quep es primo. S ip = uv, donde u > 1 y v > 1 son enteros, entoncesse tiene que en F, (u l )(vl ) = (uv)l = 0, donde 1 es el elemento unidad deF. Pero por ser F u n campo, es un dominio integral (Problema 1); por lo tanto,ul = 0 o bien vl = 0.En cualquier caso se obtiene que 0 = (ul)(x) = ux [o,de manera semejante, 0 = (v1)x = vx] para cualquier x en F. Pero estocontradice la elecci6n de p como el menor entero con esta propiedad. Porconsiguiente, p es primo.

ObsCrvese que no se emple6 toda la fuerza de la hip6tesis de que F era uncampo. Solamente se ocupo que F era un dominio integral (con unidad 1). Demanera que si se define la caracteristica de un dominio integral como cero oel menor entero positivop tal quepx = 0 para toda x E F, se obtiene el mismoresultado. Por consiguiente, se tiene elCOROLARIO.i D es un dominio integral (o entero), entonces sucaracteristica es cero o bien un numero primo.

PROBLEMAS 5.11.DemuCstrese que un campo es un dominio integral.2. PruCbese el corolario aun en el caso en que D no tenga elemento unidad.3. Dado un anillo R, sean S = R [x] el anillo de polinomios en x sobre R

y T = S [y] el anillo de polinomios en y sobre S. DemuCstrese que:(a) Cualquier elemento f (x, y) de T tiene la forma CCaUx'yj , donde

10s aij estan en R.(b) En tirminos de la forma def (x, y ) en Tdada en la parte (a), proporcio-

nese la condicion para la igualdad de dos elementos f (x, y) y g(x, y)de T.(c) En terminos de la forma de f (x, y) dada en (a), proporcionese laformula de f (x, Y) + g(x, Y 1 , para f (x, Y 1 , g(x, Y) en T.

(d) Proporcionese la forma del product0 de f (x, y) y g(x, y) si ambos es-tan en T. (T se llama anillo de polinomios en dos variables sobre R yse denota por R [x, y].)

4. Si D es un dominio integral o entero, demukstrese que D [x, y ] es tambiCnun dominio integral o entero.


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5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales 1795. Si F es un cam po y D = F [x, y ], el cam po d e cocientes de D se llama cam -p o d e unciones racionales en do s variables sobre F y se den ota usualmentepor F (x , y ) . P roporc ionese la fo rma del e l emen to ~ i p i c o e F( x , y ) .6. PruCbese que F( x , y ) es i somorfo a F (y , x ) .7. Si F es un campo de caracteristica p # 0, demuestrese que (a + b)P =

a P + bP pa ra todo a , b E F. (Sugerencia: Utilice el teorema del bino-mio y el hecho de que p es primo.) I8. Si F es un campo de caracteristica p # 0, demuestrese que (a + b)m =a m + bm , donde m = p n , p a ra t o d o a , b en F y cualquier entero posi-tivo n.9. Sea F u n campo de carac ter is t icap # 0 y sea cp: F+F definida por cp(a) =a P pa r a t o d o a E F.(a) DemuCstrese que cp define un monomorfismo de F en 61 mismo.(b) Proporcionese un ejemplo de un cam po F donde cp no sea suprayectiva.(Mu y dificil.)

10. Si F es un c am po finito d e caracteristica p , demuestrese que la aplicacioncp definida anteriormente es suprayectiva, por consiguiente es un automor-fismo de F.

- - -P ar a a bo rda r las cosas deseables de realizar en la teoria d e 10s cam pos, se re-quieren ciertos instrum entos tecnicos qu e todavia n o se tienen. Es to implica larelacion de dos c amp os K > F y lo que seria bueno considerar com o cierta me-dida de la magnitud de K comparada con la de F. Dicha magnitud es lo quese llamara dimension o grado de K sobre F.Sin embargo, para tales consideraciones, se requiere de K mucho menosque ser un campo. Seria una negligencia si se probaran estos resultados sola-me nte pa ra el context0 especial de dos cam pos K > F , en virtud de que las mis-mas ideas, demostraciones y espiritu son validos en una situacion mucho m bam plia. Se necesita el concept0 de espacio vectorial sobr e un c am po F.Ademasdel hecho de que lo que se realice en 10s espacios vectoriales sera importanteen relacion a 10s campos, las ideas desarrolladas aparecen en todas las partesde las matem aticas. L os estudiantes de algebra deben ver estos temas en algunaetapa de su instruccion. Un lugar apropiado es aqui precisamente.

DEFINICION. n espacio vectorial V sobre un carnpo F es un grupoabeliano respecto a la adicion "+ " al que para todo a! E F y todo v EV existe un elemento a !v E V de tal mod0 que:


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180 CAPiTULO 5 CAMPOS(a ) a ( v l + v2) = a v l + av2 , para a E F , v l , v2 E V.(b) (a + P)v = a v + pv, para a , /3 E F , v E V.(c) ~ ( P v ) (aP )v , para a , E F , v E V.(d) lv = v para todo v E V, do nd e 1 es el elemento unidad de F.Cuando se trate de espacios vectoriales (lo cual se hara muy brevemente)

se emplearan letras latinas minusculas p ara 10s elementps de V y letrasminusculas griegas para 10s elementos de F.El asunto basico que se tratara aqu i radica solamente en un aspect0 de lateoria de 10s espacios vectoriales: el con cep to de la dimens ion d e V sob re F.Se desarrollara este concep to de la ma nera m as expedita posible, n o necesaria-mente la m ejor o la mas elegante. Se aconseja firmeme nte a 10s lectores qu eestudien 10s demas aspectos de lo que se realiza en 10s espacios vectoriales enotros libros de algebra o de algebra lineal (por ejemplo, Algebra Moderna delauto r de este libro).Antes de ab orda r algunos resultados, se examinan varios ejemplos. En ca-da caso, se dejan a1 lector 10s detalles de verificacion de que el ejemplo real-mente es de un espacio vectorial.

1. Sean F cualquier ca mp o y V = { ( a l ,a 2 , . . . a,) 110s a;E F ) el conjuntode n-adas sobre F , con igualdad y adicion definidas por com ponentes. P ar a v =( a 1 ,a 2 , . . , a,) y /3 E F , definase pv = ( P a l , p a2 , . . .,Pa,). V es un espaciovectorial sobre F.2. Sean F cualquier campo y V = F [x ] el anillo de polinom ios en x sobre

F. Haciendo a un lado el producto de elementos arbitrarios de F [x ] y utilizan-do solamente el producto de un polinomio por una constante, por ejemplo,

se encuentra qu e V se convierte en u n espacio vectorial sob re F.3. Sean V como en el Ejemplo 2 y W = {f (x ) E VJgrd (f ( x ) ) I ) . En-tonces W es un espacio vectorial sobre F y W C V es un sub espacio d e V.4. Sea V el co nju nto de toda s las funciones reales diferenciables en [0 , I.],el interval0 unitario cerrado, con la adicion y multiplicacidn de una funcionpor un nu me ro real usuales. Entonces V es un espacio vectorial sobre R.5. Sea W el co nju nto de toda s las funciones reales continuas en [0 , 11, denuevo con la adici6n y multiplicacion de ;na funci6n por un n dm ero real usua-les. Tambikn W es un espacio vectorial sobre R y el V del Ejemp lo 4 es un su-bespacio de W.


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5.2 Breve excursion hac ia 10s espacios vectoriales 1816. SeaF cualquier campo y F [x] el anillo de polinomios en x sobreF. Sea

f (x) un elemento de F [x] y J = (f (x)) el ideal de F [x] generado por f (x).Sea V = F [x]/J, donde se define a(g(x) + J ) = ag(x) + J. EntoncesV es un espacio vectorial sobre F.

7. Sean R el campo real y Vel conjunto de todas las soluciones de la ecuacibndiferencial d2y/dx2 + y = 0. V es un espacio vectorial sobre R .I8. Sea V cualquier espacio vectorial sobre un campo F y sean tambiCnv,, v2, . . ., U, elementos del espacio vectorial V. Sea (v ,, v2, . . . , v, ) ={alul + a 2 v 2 + - - + a,v, la1, a2, . . ., a , E F). Entonces ( v,, v2, . . ., V, )es un espacio vectorial sobre F y es un subespacio de V. Este subespacio(vl, v2, . . ., , ) se llama subespacio de V generado o abarcado por v,, . . ., v,sobre F ; sus elementos se llaman combinaciones lineales de vl, . . ., v,. Prontose tendra mucho que decir con respecto a (vl, v2, . . ., u,).

9. Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F y V e W ={(v, w) 1 v E V, w E W), con igualdad y adicion definidas por componentes ydonde a(v, w) = (av, aw). Entonces se ve facilmente que Ve W es un espaciovectorial sobre F; se le llama suma directa de V y W.

10. Sea K > F dos campos, con la adici6n "+ " de K y donde av, paraa E F y v E K, es el producto como elementos del campo K. Entonces las con-diciones 1 y2 que definen un espacio vectorial son simplemente casos especialesde las leyes distributivas que son validas en K, y la condition 3 es simplementeuna consecuencia de la asociatividad del producto en K. Finalmente, la condi-cion 4 es exactamente la reformulacion del hecho de que 1 es el elemento uni-dad de K. Por lo tanto, K es un espacio vectorial sobre F.

Entre estos ejemplos existe una marcada diferencia en un aspecto, la cualse especifica analizandolos cada uno a su vez.1. En el Ejemplo 1, si

v , = (1, 0, . . ., O), v 2 = (0, 1, 0, . . , O), . . ., vn = (0, 0, ..., I),entonces todo elemento v de V tiene una representacibn unica de la formau = a 1 v 1 + . . . + a , ~ , ,donde a,, . . . , a, estan en F.

2. En el Ejemplo 3, si v l = 1, v 2 = x, . . ., V , = xi-', . . ., u , + ] = xn,enton-ces donde v E V tiene una representacion unica como v = a l v l + - . +a , ~ , ,con 10s a; en F.

3. En el Ejemplo 7, toda solucidn de d2y/dx2 + y = 0 es de la forma unicay = acosx + psenx, con a y p reales.

4. En el Ejemplo 8 , todo v E vl, . . ., v,) tiene una re~resentacion aunqueno necesariamente unica- como v = a l v l + . . . + a n v n en virtud de la


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182 CAP~TULO CAMPOSmisma definicion de (v,, . . ., v,). L a unicidad de esta representacion de-pende mucho de 10s elementos v,, . . . v n .

5. En el caso especial del Ejem plo 10, don de K = C ,el cam po de 10s num eroscomplejos, y F = R el de 10s numeros reales, se tiene que todo v E C esde la form a unica v = a, + pi, (Y, ,O E R .6. ConsidCrese K = F ( x ) > F , el camp o de las funciones racionales en x so -bre F. Se afi rm a -y se deja a1 lector- que no s e pu ed e enco ntrar ningunconjunto finito de elementos de K que genere K sobre F. Este fenomenotambikn fue cierto en algunos de 10s otros ejemp los de espacios vectorialesque se dieron.

El unico centro de atencion aqu i radicara en este concept0 de espacio vecto-rial qu e contenga algun subco njunto f inito que lo genere sobre el camp o de ba-se . Antes d e iniciar la discusion del tema , se debe disponer prim ero de una listade propiedades form ales que sean validas en un espacio vectorial. El lector yaesta tan perfeccionado en el tra to con estas cosas abstractas form ales, que sele deja la demostracion del siguiente lema.

LEMA 5.2.1. Si V es un espacio vectorial- sobre un campo F , . nton--ces,-- p a ra-- t odo (YEy todo v E-y:(a) (YO = 0, donde 0 es el elemento cero de V.(b) Ov = 0, donde 0 es el cero de F.(c) (Y V = 0 implica que a, = 0 o bien v = 0.(d)-- (Y )V= - ( ( Y V ) .. " -

E n vista de este lema, n o se incurrira en ning una confusion si se utiliza elsimbolo 0 tanto para el cero de F como para el de V.Nos olvidamos de 10s espacios vectoriales por un momento y analizamoslas soluciones de ciertos sistemas de ecuaciones lineales en cam pos . ConsidC-rense, p or ejemp lo, las dos ecuaciones lineales hom ogenea s con coeficientes re-ales, x, + x2 + x3 = 0 y 3x1 - x2 + x3 = 0. Se ve facilmente que paracualesquier x,, x3tales q ue 4x, + 2x3 = 0 y x2 = -(x, + x3 ), se obtiene unasolucion del sistema. E n realidad, existe un a infinidad de soluciones de este sis-tema apa rte de la trivial x, = 0, x2 = 0 , x3 = 0. Si examinamos este ejemploy nos preguntamos: i P o r quC hay infinidad de soluciones de este sistema deecuaciones lineales?, llegamos rapidamente a la conclusion de que, debido aque hay mas variables que ecuaciones, se tiene espacio pa ra m aniobrar y pro-ducir soluciones. Es ta es exactamente la situacion qu e prevalece en el caso masgeneral, como se ve en seguida.DEFINICION.ea F un campo; entonces la n-ada (PI, . . . , o n ) ,donde 10s 0, estan en F y no todos son 0, se dice que 13una solucionno trivial en F del sistema de ecuaciones lineales homogeneas


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5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales

dond e tod os 10s a;, estan en F, si a1 sustituir xl = P I , . . ., xn = Pn sesatisfacen todas las ecuaciones de (*).P ar a el sistema (*) se tiene el siguienteTEOREMA 5.2.2. -Si n -> r, es decir, si el nlimero de variables (incog-nitas) excede el num ero d e ecuaciones en (*), e n t o k e s (*) trene una so -- . ---- - - -lucidn no trivial en F.--

DEMOSTRACI~N.l mktodo, que de ordinario se estudia en bachillerato, esel de la soluci6n d e ecuaciones simultaneas que consiste en eliminar una de lasincognitas y a la vez reducir en uno el numero de ecuaciones.Se procede por induccidn en r, el nlimero de ecuaciones. Si r = 1, el siste-m a (*) se reduce a allxl+ . . + aInxn 0 , y n > 1. Si todos 10s a l i= 0 ,entonces x, = x2 = . = xn = 1 es una solucion no trivial de (*). De mane-ra que, renum erando, se puede suponer que a ,, # 0; entonces se tiene la solu-cion n o trivial de (*): x2 = . - = xn = 1 y xI = - ( l / a l l ) ( a 1 2 + . . + a,,).Supong ase que el resultado es correct0 para r = k, p ara cierto k, y que (*)es un sistema de k + 1 ecuaciones homogkneas lineales en n > k + 1 va-riables. Se puede suponer c om o antes que algun aii# 0, y que a ,, # 0, sin quese pierda generalidad.Se construye un sistema relacionado (**) de k ecuaciones homogkneas line-ales en n - 1 variables; puesto que n > k + 1, se tiene que n - 1 > k, porlo tan to se puede aplicar induction a este nuevo sistem a (**). iC6 m0 obtener-lo? Se desea eliminar x, de las ecuaciones. Para tal fin se resta la primeraecuacion multiplicada por a , , /a l l e la i-ksima ecuacion para cada i = 2, 3,. . ., k .+ 1. Luego de realizar lo anterio r, se llega a1 nuevo sistema d e k ecua-ciones homogeneas lineales en n - 1 variables:


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184 CAP~TLILO CAMPOS

donde fl u = au- a i , / a l l ara i = 2, 3, . ., k + 1 y j = 2, 3, . . ., n .Puesto que (**) es un sistem a de k ecuaciones homogkneas lineales en n -1 variables y n - 1 > k, por la hipotesis de inducci6n (**) tiene una soluci6nno trivial (y,, . . ., 7,) en F. Sea y l = - ( a l z y z + - - - + a l n y n ) / a l l ;e de ja a1lector verificar que la n-ada (y,, y,, . . , y,) asi obte nida es una so luci6n n otrivial requerida de (*). Esto com pleta la inducci6n y de esta manera se pruebael teorema.

Un a vez establecido este resultado, se puede utilizar libremen te en el estu-dio de espacios vectoriales. Para hacer hincapik, se repite algo que se definioanteriormente en el Ejemplo 8.DEFINICI~N.ean V un espacio vectorial sobre F y u,, u,, . . . u,elementos de V . Se dice que un elemento u E V es .una combinacion li-neal de u,, u,, . . . u, si u = a l u , + - e e + a,u, para a lgunos a , , e - a ,a, en F.Co m o se sefial6 en el Ejem plo.8 , el con junto (u ,, u,, . . . . u, ) de toda s lascombinaciones lineales de u,, u,, . . . U, es un espacio vectorial sobre F y co -mo esta contenido en V , es un subespacio de V . i P o r q ue es un espaci'o vecto-rial? Si a , , + . . . + a , u , y P l v l + . . . + Pnvn son dos combinacioneslineales de u,, . . ., u,, entonces

por 10s axiomas que definen un espacio vectorial, y por lo tanto esta en(u l , . . ., u,). Si y E F y a 1 u 1 \+ - - a + a , ~ , ( u l , . . ., u,), entoncesasi que tambikn esta en (u,, . . . u,). Por consiguiente, (u,, . . ., u,) es unespacio vectorial. C om o se le llam o anteriorm ente, es el subespacio de Vgeneradosobre F por ul , . . ., Un.


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5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales 185Esto conduce a la muy importanteDEFINICI~N.n espacio vectorial V sobre F es finito-dimensionalsobre F si V = ( v,, . . ., v,) para ciertos v,, . . ., v, en V, es decir, siV es generado sobre F por un conjunto finito de elementos.En caso contrario, se dice que V es infinite-dimensional sobre F si no esfinito-dimensional sobreF. Obstrvese que aunque se ha definido lo que signifi-

ca espacio vectorial finito-dimensional, aun no se ha definido lo que significasu dimensi6n. Esto vendra a su debido tiempo.

Supongase que V es un espacio vectorial sobre F y que v,, . . ., v, en Vson tales que todo elemento v de (v,, . ., v,) tiene una representacion unicade la forma v = a l v l + . . . + a,v,, donde a , , . . . a, E F. Puesto que

0 E ( ~ 1 , . 9 ~ n ) Y 0 = OV , + ... + OV,,por la unicidad supuesta se obtiene que si a , v , + - . + a,v, = 0, entoncesa , = a2 = - - = a, = 0. Esto sugiere una segunda definicion muy impor-tante, la cual se da a continuacion.

DEFINICI~N.ea V un espacio vectorial sobre F; entonces se diceque 10s elementos v,, . . ., v, en V son linealmente independientessobre Fs i a , v , + + a,v, = 0, donde a , , . . ., a, estan en F, im-plica que a, = a2 = . . = a, = 0.Si 10s elementos v,, . . ., v, en V no son linealmente independientes sobre

F, entonces se dice que son linealmente dependientes sobre F. Por ejemplo,si W es el campo de 10s numeros reales y V es el conjunto de las triadassobre W como se defini6 en el Ejemplo 1, entonces (0, 0, I), (0, 1, 0) y(1, 0, 0) son linealmente independientes sobre R (prutbese), mientras que(1, -2, 7), (0, 1, 0) y (1, -3, 7) son linealmente dependientes sobre R ,ya quel(1, -2, 7) + (-1)(0, 1, 0) + (-1)(1, -3, 7) = (0, 0, 0)-es una combinacionlineal no trivial de dichos elementos sobre R , que es igual a1 vector cero.Obstrvese que la independencia lineal depende del campo F. Si C > R son10s campos complejo y real, respectivamente, entonces C es un espacio vecto-rial sobre W per0 tambitn es un espacio vectorial sobre C mismo. Los elemen-tos 1, i en C son linealmente independientes sobre W per0 no lo son sobre C ,ya que il + (-l)i = 0 es una combinaci6n lineal no trivial de 1, i sobre C .Se prueba el siguiente

LEMA 5.2.3. Si v es un espacio vectorial sobre F y v,, . . , v, en V-.- "son linealmente independientes sobre F, entonces todo elemento v "" .(v,, . . ., vn ) tiene una representacion unica comocon a,, . ., a, en F.-". , . . , , -


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186 CAP~TULO 0 CAMPOSDEMOSCRAC16N. Sup6ngase que v E ( vl, . . ., v,) tiene las do s represen ta-ciones v = a l v l + + a,v, = P l v l + . . . + P,v, con 10s a y 10s 0 en F.Esto implica que (a, - P l ) v l + + (a , - &)v, = 0; puesto que v,, . . .,v, son linealmente independientes sobre F , se concluye qu e a , - PI = 0, .a , - @ = 0, lo cual da por resultado la unicidad de la representacibn. '

a

~ Q u Can finito es un espacio vectorial finito-dimensional? P ar a m edir esto,llamese a un subc onjun to vl, . . ., v, de V un conjunto generador minimo deV sobre F si V = (v , , . . ., v,) y ningun conju nto con menos de n elementosgenera a V sobre F.Se llega ahora a la tercera definici6n muy importante.DEFINICI~N.i Ves un espacio vectorial finito-dimensional s obre F,entonces la dimension de V sobre F , que se expresa como dim F( V),es n, el numero de elementos de un con junto generador minimo de Vsobre F.E n 10s ejemplos dado s, dim ,(C) = 2, puesto que 1, i es un con junt o gene-rador minimo de C sobre R . En cambio, dim, (C) = 1. En el Ejemplo 1,dimF (V) = n y en el Ejemplo 3, dimF (V ) = n + 1 . En el Ejemplo 7 ladimensi6n de V sobre F es 2. Finalmente, si ( v,, . . ., vn ) C V, entoncesdimF (v,, . .. v,) es a lo sumo n.Se prueba ah ora elLEMA 5.2.4. &V es finito-dimensional sobre F de dimensi6n n y si10s elementos v , , .. . v, de V generan a V sobre F , entonces v,, . . .;..v,_son linea lmente indepen dien tes so bre F.

DEMOSTRACI~N.up6ngase qu e u,, . . ., v, son linealmente dependientes so-bre F; por consiguiente existe una combinaci6n lineal a , v l + . . + a,v, =0, donde no todos 10s ai son cero. Se puede suponer que a , f 0; sin que sepierda generalidad; entonces u , = ( - ~ / o ! ~ ) ( c Y ~ v ~. . . + a , ~ , ) . D a do v E V,en virtud de que v,, .. , u, es un conjunto generador de V sobre F ,

asi que LIZ, . ., V, generan V sobre F , lo cual contradice que el subco njuntov ,, v2, . . , V, sea un con junto generador minimo de V sobre F.Se llega ahora a otra definici6n im portante.


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5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales 187DEFINICION. ea V un espacio vectorial finito-dimensional sob re F;entonces v,, . . . , v, es una base de V sob re F, si 10s elementos v,, . . .,v, generan V sobre F y son linealmente independientes sobre F.Por el Lema 5.2.4 cualquier conjunto generador minimo de V sobre F es

una base de V sobre F. Por consiguiente 10s espacios vectoriales finito-dimensionales poseen bases. Se continua con elTEOREMA 5.2.5. 2 6 n g a s e que V cs finito-dimensional s obre F; en-tonces do s bases cualesquiera d e V sobre F deben tener el mismo numi--ro de elementos, y este numero es exactarnente dim,(V).- .

DEMOSTRACI~N.ean v,, . . ., v, y w,, . . ., w, do s bases de V so bre F. Serequiere demostrar que rn = n. Sup6ngase que rn > n . En virtud de que v,,. . ., v, es una base de V sobre F, se sabe que tod o elernento de V es una com-binacion lineal de 10s v i sobre F. En particular, w,, . . , w, son cad a un o unacombinacion lineal de v,, . . ., v, sobre F. De esta m anera se tiene

donde 10s aii estan en F.Considerese

El sistema de ecuaciones homogeneas lineales

tiene una solucion no trivial en F e n virtud del Teorem a 5.2.2, ya que el num erode variables rn supera a1 num ero de ecuaciones n. Si PI , . . .,6, es una tal so-luci6n en F , entonces, por lo anterior, P,w, + . . . + b , ~ , = 0, no obstante


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188 CAP~TULO CAMPOSque no todos 10s Pi son cero. Esto contradice la independencia lineal de w,,. . ., w sobre F. Por lo tanto, m I . De manera semejante, n 5 m; porconsiguiente m = n. El teorema resulta luego probado, puesto que un conjun-to generador minimo de V sobre F es una base de V sobre F y el numero deelementos en tal conjunto es por definicion dimF( V). Por lo tanto, en vista delo obtenido anteriormente, n = dimF(V) y se completa la demostracibn.

Otro resultado, que se utilizara en la teoria de campos, de naturalezasemejante a 10s que se han obtenido, es

TEOREMA 5.2.6. Sea V un espacio vectorial sobre F tal quedimf( V) = n. Si m 7-n, entonces m elementos cualesquiera de V son--li nealnk te dependientes. sobre F.

DEMOSTRAC16N. Sean w,, . . ., w E V y vl, . . . vn una base de V sobre F;o sea que n = dimF(V) por el Teorema 5.2.5. Por consiguiente,

La demostracion dada en el Teorema 5.2.5, de que sim > n se pueden encontrarPI, . . ., Pmen F, donde no todos son cero, de tal mod0 que PIw, + . . +P,w, = 0, e aplica a1 pie de la letra. Pero esto establece que w,, . . ., w sonlinealmente dependientes sobre F.

Se concluye esta secci6n con un teorema final del mismo tipo de 10s anterio-res.TEOREMA 5.2.7. Sea V un espacio vectorial sobre F con dimF( V) =n.. Entonces n elemezos cualesquiera de V linealmente ;ndependientesforman una base de V sobre F.-. -

DEMOSTRACI~N.e requiere demostrar que si v,, . . ., un E V son lineal-mente independientes sobre F, entonces generan V sobre F. Sea v E en-tonces v, vl, . . ., v n son n + 1 elementos, por lo tanto, por el Teorema5.2.6, son linealmente dependientes sobre F. De esta manera existen elemen-tos a , a l , . .. a n n F, no todos cero, tales que a v + a l v l + . . + a n u n =0. El elemento a no puede ser cero, de lo contrario a , v , + . . . + a n u n =0, y no todos 10s ai son cero, por lo cual se contradiria la independencialineal de 10s elementos v,, . . ., u n sobre F. Asi que a # 0, y entonces v =(-l/a)(aI v I + - + anun)= Plul + - . + Pnvn,donde Pi = -ai/al. Por lotanto, v,, . . . , v n generan V sobre F y por consiguiente deben formar una basede V sobre F.


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5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectorialesPROBLEMAS 5.2

1. Determinese si 10s siguientes elementos de V,el espacio vectorial de las ter-nas sobre W , son linealmente independientes sobre W .(a ) ( 1 , 2, 31, (4, 5 , 61, (7, 8, 9).(b) ( 1 , 0 , 11 , (0, 1 , 21, (0 , 0 , 1 ) .(c) ( 1 , 2, 31, (0, 4, 5 ) . (i,3 , 3 .

2. Encuentrese una solucion no trivial en ZSdel sistema de ecuaciones homo-geneas lineales:

3. Si V es un espacio vectorial de dimension n sobre Z,, p primo, demubtre-se que V tie

ÁLGEBRA ABSTRACTA -

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