áLgebra

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ALGEBRA

1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, ¿se cumple la relación (A-B)2 = A2-2AB+B2?

2. Sabiendo que 2 =

ihg

fed

cba

. Hallar el valor de:

a)

hi2e

h-ei-fe)-2(d

h-bi-ce)-2(a

b)

fic

ehb

dga

c)

fci

e/2b/2h/2

3f-2d3c-2a3i-2g

3. Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius. Discutir según los valores de m y resolverlo enel caso de compatible determinado:

x1 + mx2 = 0mx1 - x2 = m3x1 + x2 = 2

4. Sabiendo que

15

2-4- = D

13

36 = C

20

11 = B

10

12 = A

Resolver: AX + BY = C AX = YD

Soluciones:

2. a) -4; b) -2; c) 2

3. m=-1 S.C.D. x1=2, x2=1/2m=2 S.C.D. x1=4/5, x2=-2/5

4.

11

10 = Y

1-1

12 = X


ALGEBRA

1. ¿Es cierta la afirmación (A+B).(A-B) = A2-B2 siendo A y B matrices cuadradas deorden n?

2. Si |A| = 2, siendo A una matriz de 3H3. Hallar a) |3A|; b) |A-1|; c) |(A-1.At)-1|

3. Dadas las matrices:

1-42-

44-4

211-5

= D

101

111-

011

= C 11-1

102 = B

1-0

1-2

20

= A

resuelve matricialmente AABAX - CAX = 2 D

4. Discutir según los valores de m, cuando tiene solución el siguiente sistema, cuántas tiene yhállalas todas:

mx - my = -1(m+1)x + y + z = 02x + 2z = 2

5. Dada la matriz

3-01

13-

3-12

= A

λ

λ

a) Triangula la matriz Ab) Según ë halla el rango de Ac) ¿Para qué valores no tiene inversa?. Halla A-1 si ë = 1.

Solución:2.- a) 54; b) 1/2; c) 1

3.-

2-22-

2-84-

22-2

= X

4.- m=0 S.I.; m=-1 S.C.I.; mÖ0 y mÖ-1 S.C.D

5.- b) ë="2 r(A) = 2; ëÖ"2 r(A) = 3; c) ë="2;

5/6-1/6-1/6

7/6-1/65/6

2/3-1/3-1/3

= A 1-


ALGEBRA

1. Si F1, F2, F3 son las filas de una matriz A0M3H3 y |A|=5. Hallar a) |A-1|; b) |(at.A)-1|; c)|(F1-F2,2F3,F2)|

2. Si A.B = A.C, entonces ¿se puede decir que B=C?. Razónalo si |A|=0 y si |A|Ö0.

3. Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius. Clasificación de sistemas.

Sea el sistema

0=y-2x

3=y+x Escríbelo en forma matricial y resuélvelo por medio de

la matriz inversa.

4. Discutir el sistema y resolverlo en el caso de compatible indeterminado.

2=z+3y+3x

1= my+2x

1=z+1)y+(m+x

5. Eliminar los parámetros a y b.

x = 1 - a - by = 2 + a + bz = 3 + 2a - bt = a - b

Solución:

1. a) 1/5; b) 1/25; c) -10

3.

0

3 =

y

x

1-2

11; x=1, y=2

4. m=1 6 r(A) = 2 = r(A*) S.C.I.mÖ1 6 r(A) = 3 = r(A*) S.C.D.

m=1 6 x=ë, y=1-2ë, z=-1+3ë

5. 4-=3t+2z-y

7=3t-2z+x


ALGEBRA

CUESTIONES

a) Demuestra que (AAB)-1 = B-1AA-1

b) En general para dos matrices cualesquiera, ¿se cumple que: (A+B)2 = A2 + 2 AAB + B2 ?

c) Pon un ejemplo, si es posible, de sistemas de ecuaciones que cumplan las siguientes condiciones:a) Dos ecuaciones con tres incógnitas que sea incompatible.b) Dos ecuaciones con tres incógnitas que sea compatible indeterminado.c) Dos ecuaciones con tres incógnitas con solución única.d) Tres ecuaciones con dos incógnitas que sea compatible y determinado.

EJERCICIOS

1.- Discute el siguiente sistema según los distintos valores del parámetro "a", y resuélvelo en el casocompatible indeterminado:

1=z+2y+ax

0=z+ay+2x

1=z+2y+x

2.- Aplica el método de Gauss para calcular el rango de la matriz:

27-60

1210

131-2

21-31

3.- Resuelve la ecuación matricial: XAA - XAB = C, siendo:

102

33-6

030

= C ;

101

1-20

101-

= B ;

112

011

11-1

= A

Soluciones:

1. a=1 6 r(A) = 2 = r(A*) S.C.I. x=ë, y=1+ë, z=-1-3ëa=2 6 r(A) = 2 Ö r(A*) = 3 S.I.aÖ2 y aÖ1 6 r(A) = 3 = r(A*) S.C.D.

2. r(A) = 3

3.

110

131

201-

= X


ALGEBRA

1.- Enuncia las propiedades de los determinantes.

2.- a) Discutir el sistemab) Resolver por Gauss y Cramerc) ¿Cómo sería la discusión si los términos independientes fueran todos nulos?.

1=4z+ky

0=3z+y+x-

2-k=z+2y+x

3.- Haciendo uso del método de Gauss, discutir el rango de la matriz B según los valores delparámetro a:

a7-2-4

1-3-3-1

11-1a

2031

4.- Razona: a) ¿Un sistema homogéneo puede ser incompatible?; b) ¿Un sistema homogéneopuede ser compatible indeterminado?

5.- Dadas las matrices A y B encontrar una matriz simétrica P tal que B = P-1 A P

2-7-

37 = B

21-

13 = A

Soluciones:

2. a) k=3 6 r(A) = 2 Ö r(A*) = 3 6 S.I. kÖ3 6 r(A) = r(A*) = 3 6 S.C.D.

3. a = 1 6 r(A) = 2a Ö 1 6 r(A) = 4

4. a) No; b) Sí

5.

11

12 = P


ALGEBRA

1.- a) Teorema de Rouche b) Se sabe que det (A) = 4 y que A es una matriz de orden 4. ¿Cuánto vale det (2A)?.

Razónalo.

2.- Averiguar para qué valores de "t" la matriz A no tiene inversa.Calcular la matriz inversa de A para t = 2, si es posible.

3.- Hallar el rango de la matriz A para los distintos valores de t.

t1-3-2

1t1-2

01t0

= A

4.- Dado el sistema:a) Discutirlob) Resolverlo para a = 1

5.- Determinar el valor de a para que el sistema seacompatible y resolverlo por Gauss.

Soluciones:

1.- Det (2A) = 642.- a) t = 3

b)

2-11-

31-1

2-10

= A 1-

3.- a) t = 1 6 r(A) = 2 t Ö 1 6 r(A) = 34.- a) a = 2 6 r(A) = 2 Ö r(A*) = 3 6 S.I. a Ö 2 6 r (A) = 3 = r(A*) 6 S.C.D.b) x = -2; y = 2; z = �5.- a) a = 3 b) x = 1; y = 1; z = 0

110

2t1

1-01

= A

1-=1)z+(a+y+2x

2-=3)z+(a+y+3x

3=2z+2y+ax

a=2z-y+2x

2-=z+y-x-

1=z-2y-3x

2=z+y+x


ALGEBRA

1.- a) Regla de Cramer.b) Enunciado del teorema de Rouche-Frobenius.

2.- Hallar la matriz X sabiendo que A.X+B.X=C, siendo:

3-2-

2-1 = C

1-1-

12 = B

1-2

01 = A

3.- Discutir el siguiente sistema según los valores de á y resuélvelo en el caso compatibleindeterminado.

3=z+y+2x

3)+(=z+y+3x

3-=z-y-2)x-(

αα

αα

4.- Discutir según los valores de a el sistema homogéneo:

0=z+2y+2x

0=z+ay+1)x-(a

0=z+2y+2)x+(a

Soluciones:

2.

11

1-0 = X

3. á = 1 6 S.C.I. {x=1, y=1-ë, z=ë}á = 0 6 S.C.I. {x=1-ë/3; y=1-ë/3; z=ë}á Ö 1 y á Ö 0 6 S.C.D.4. a = 0 6 S.C.I.

a = 2 6 S.C.I.a Ö 0 y a Ö 2 6 S.C.D.


ALGEBRA

1.- Enuncia el teorema de Rouche-Frobenius.

2.- Hallar la matriz X si A.X+X=B, siendo

422

100

232

= B

102

11-0

011

= A

3.- Haciendo uso de las propiedades de los determinantes hallar A.

A =

x1-1-1-

1x1-1-

11x1-

1111

4.- Discutir según los valores de a, el sistema:

1=az+y+x

1=z+ay+x

a=z+y+2x

5.- Resolver el sistema anterior cuando sea posible.

6.- Dado

1+m=my+x

0=y+mx, se pide m para que:

a) No tenga solución.b) Tenga infinitas soluciones.c) Tenga solución única.d) Tenga solución única y x=3.

Soluciones:

2.

100

010

111

= X

3. A = (x+1)3

4. a=0 6 S.I.a=1 6 S.C.I.aÖ0 y aÖ1 6 S.C.D.5. a = 1 6 x=0; y=1-ë; z=ëaÖ0 y aÖ1 6 z=y=(-a+2)/2a; x=((a-1)(a+2))/2a6. a) m=1; b) m=-1; c) mÖ"1; d) m=2/3


ALGEBRA

1.- Define matriz inversa. ¿Qué condición se ha de dar para que una matriz tenga inversa?.Halla la inversa de A, si la tiene.

01

11 = A

2.- Hallar X e Y, sabiendo que:

23

10 = Y - 2X

10

1-3 = Y + X

3.- Define rango de una matriz y sistema de Cramer.Discutir según los valores de ë y resolver en el caso compatible indeterminado.

−

+−

−−−

0

12

=zx

1=z+yx

=zy2x

λ

λ

4.- Enuncia las propiedades de los determinantes.Halla el rango de la matriz, e indica la existencia de inversa, según los valores de m.

110

m-01

m2m

Soluciones:

1.

1-1

10 = A

2.

01-

1-2 = Y

11

01 = X

3. ë = 1 6 r(A)=2=r(A*) S.C.I.ë=� 6 r(A)=2Ör(A*)=3 S.I. ë=1: x=k; y=1; z=këÖ1 y ëÖ� 6 r(A)=3=r(A*) S.C.D.

4. m=1 6 r(A) = 2m=-2 6 r(A) = 2mÖ1 y mÖ-2 6 r(A) = 3

õA-1 ] mÖ1 y mÖ-2 Y

2-m-1

m+mm1-

2m-2-mm

2)+1)(m-(m

1 = A 21-


ALGEBRA

1.- Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n, ¿se cumple la igualdad (A-B)2 = A2-2AB+B2?

2.- Halla el valor del determinante:

0112

1-210

2-133

1-212

3.- Discute y resuelve el sistema siguiente, en el caso compatible indeterminado. Escríbelo enforma matricial.

6= 3y-m)x+(3

3=1)z+(m+y-2x

0=2z+y+x

_

4.- Define matriz inversa y rango de una matriz.Resuelve el siguiente sistema en forma matricial, usando matriz inversa.

0=z+2y-3x

2=z+y+2x

1=z+y+x

5.- Teorema de Rouche-Frobenius.

Soluciones:

2. 8

3. mÖ-9 y mÖ0 6 r(A)=3=r(A*) S.C.D. m=0 6 r(A)=2=r(A*) S.C.I. {x=ë; y=ë-2; z=1-ë} m=-9 6 r(A)=2Ör(A*) S.I.

Forma matricial:

2

1

1-

=

z

y

x

.

03-m)+(3

1)+(m1-2

211

4. x=1; y=1; z=-1


ALGEBRA

1.- Teorema de Rouché-Frobenius.Resolver el sistema:

0=z+2y-x

0=2z+y-2x-

0=z+y+x

2.- Hallar el rango de A en función de m. Hallar A-1 para m=0.

1-21-

1m2

12-m

3.- Calcular la matriz B-1.A2.B, siendo:

21

02 = B

2-0

12 = A

4.- Escribe un sistema, si es posible, de tres ecuaciones con dos incógnitas:a) Incompatibleb) Compatible indeterminadoc) Compatible determinado con solución x=1 e y=1

Soluciones:

1. x = y = z = 0

2. m=1 ó m=-2 6 r(A) = 2; mÖ1 y mÖ-2 6 r(A) = 3

⇒

212

121

21

1-01-

= A 0=m 1-

3.

40

04 = B .A .B 21-


ALGEBRA

1.- a) ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa?b) ¿Puede una matriz de 2H3 tener inversa?

2.- ¿Para qué valores de ë tiene inversa la matriz A?. Halla A-1 para ë=1.

10

012

1-0

= A

λ

λ

3.- Rango de una matriz. Si una matriz M 0 M3x3 su determinante |M| = 0. ¿Qué se puedeafirmar del rango? ¿y de la matriz inversa?. Justifícalo.

4.- Enuncia el teorema de Rouché-FrobeniusDiscutir y resolver en el caso compatible indeterminado el siguiente sistema.

0= 2y+x-

0=z-my+2x-

0=z+y-x

5.- Discutir según los valores de m:

1=mz+y+x

1=z+my+x

1=z+y+mx

Soluciones:

2. úë0ú õA-1; ë=1 Y

1/201/2-

1/201/2

1/4-1/21/4-

= A 1-

3. r(A)<3 Y òA-1

4. m = 3 S.C.I. {x=-2ë; y=-ë; z=ë} m Ö 3 S.C.D.

5. m = 1 Y S.C.I. m = -2 Y S.I. m Ö 1 y m Ö -2 Y S.C.D.


ALGEBRA

1.- Sea

5-02-

61-3

803

= A Comprueba que (A+I)2=0 siendo I la matriz identidad

Obtener la matriz inversa A-1.

2.- Comprobar que el determinante es nulo, sin desarrollarlo.

b+ac1

c+ab1

c+ba1

3.- Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius.Discute el sistema según los valores de a y resuélvelo en el caso compatible indeterminado.

0=az+y+x

0=2z-y-2x

0=z-y+x

4.- Discutir según el valor del parámetro m, el sistema de ecuaciones lineales:

2=mz+ x

3=2z+my+2x

1=z+my+x

5.- Define rango de una matriz.

Soluciones:

1.

302

6-1-3-

8-05-

= A 1-

3. a=-1 Y S.C.I. {x=ë; y=0; z=ë}; aÖ-1 Y S.C.D.

4. m=0 Y S.I. m=1 Y S.C.I. mÖ0 y mÖ1 Y S.C.D.


ALGEBRA

1.- Producto de matrices. Propiedades.¿Se cumple siempre que A2-B2 = (A+B)(A-B)?, siendo A y B matrices cuadradas de orden n.

Razónalo.

2. Resolver A.X+B.Y = C; A.X = Y, siendo:

31-

1-5 = C

21

1-1 = B

10

02 = A

3.- Si A es una matriz de 3H3 con determinante, |A|=3. Hallar |3A|, |A2| y |A-1|

4.- Dada la matriz A, ¿para qué valores de á existen A-1?. Halla A-1 para á=0.

121-

10

21

= A α

α

5.- Regla de Cramer.

6.- Discutir y resolver:

2=z+1)y-(a+2x

0= ay-x

2a=az+y+x

Soluciones:

1. No

2.

11-

02 = Y

11-

01 = X

3. |3A|=81; |A2|=9; |A-1|=1/3

4. áÖ"1; á=0 Y

010

02-1

1-3-2

= A 1-

6. a = -1/3 Y S.C.I. {x=ë, y=-3ë, z=2-6ë} a = 1 Y S.C.I. {x=y=1-ë/2; z=ë} aÖ-1/3 y aÖ1 Y S.C.D. {x=0; y=0; z=2}


ALGEBRA

1.- Aplicando las propiedades de los determinantes, comprueba que el siguiente determinantees nulo.

1+c1+b1+a

222

2-c2-b2-a

2.- Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius.Discutir y resolver cuando sea posible según los valores de a:

0=az+y-3x

2=z+y+x

2=az+y+ax

3.- Hallar X e Y, soluciones del sistema matricial:

10

1-1- = Y - X

1-3

2-4 = Y + 2X

4.- Rango de una matriz. Calcular el rango de la matriz A y calcular su inversa.

423

111

201

= A

Soluciones:

2. a=1 6 S.C.I. {x=ë; y=1+ë; z=1-2ë} a=3 6 S.I. aÖ1 y aÖ3 � S.C.D. {x=-2/(a-3), y=2, z=2/(a-3)}

3.

1-1

02 = Y

01

1-1 = X

4. r(A) = 2 Y òA-1


ALGEBRA

1.- Teorema de Rouché-Frobenius

2.- Para qué valor de ë tiene inversa la matriz A. Hallar A-1 con ë=1.

113

1-2

11

= A λ

λ

3.- Discutir y resolver en el caso compatible determinado.

α

α

αα

=z-3y+2x

0=z-y

=z+y+2x

4.- Enunciar cuatro propiedades de los determinantes.Demostrar:

z2yy+x

122

c2bb+a

=

2-z2-y2-x

111

2c2b2a

Soluciones:

2. ëÖ0 y ëÖ7

61

-31

-65

31

-31

32

210

21

-

= A 1-

3. á=1 Y S.C.I. á=-2 Y S.C.I. áÖ-2 y áÖ1 Y S.C.D. x=á/2, y=0, z=0


ALGEBRA

1. Halla el valor del determinante:

1-031-

21-20

01-21

011-1

2. Rango de una matriz.Calcular el rango de la matriz A según los valores de á:

4-23

102

1-11

= A

α

α

α

3. Discutir y resolver en caso compatible indeterminado el sistema:

1=az+y+2x

1+a=az+4y+2x

1-= 2y+2)x-(a _

4. Resuelve la ecuación matricial:

73

20 =

11

21

wz

yx

10

02

Soluciones:

1. 15

2. á = 1 Y r(A) = 2 á Ö 1 Y r(A) = 3

3. a = 0 Y S.C.I. {x=1/2; y=0; z=ë} a = 2 Y S.I. a Ö0 y aÖ2 Y S.C.D.

4.

1-4

1-1


ALGEBRA

1.- Encontrar b para que la matriz tenga rango 1.

4-64

b32

23-b

2.- Resolver la ecuación A.X=B-C.X, siendo:

001

121

21-0

= C

200

045

1-30

= B

1-10

111

01-1

= A

3.- Haciendo uso de las propiedades de los determinantes, calcular el determinante:

1-1-1-1-

1-1-a1

1-a11

a111

4.- Discutir según los valores de a, el sistema. Resolver para a=-1.

1-=2z+2y-ax

1=2z+2y+x-

2=1)z+(a+y+x

5.- Pon un ejemplo de un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas que:a) No tenga soluciónb) Tenga infinitas solucionesc) Tenga solución única

Soluciones:

1. b=-2

2.

1-11

001

110

= X

3. -(a-1)3

4. a=3 6 S.I.a=-2 6 S.I.aÖ3 y aÖ-2 6 S.C.D.

a=-1 Y {x=3/2, y=1/2, z=3/4}


ALGEBRA

TEORÍA

1.- Inversa de una matriz. Definición y propiedades.

2.- Responde de forma razonada a las siguientes cuestiones:a) ¿Todas las matrices cuadradas admiten inversa? �Hay alguna matriz rectangular que tenga inversa?b) ¿Es posible encontrar un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que tenga solución única?

¿y de tres ecuaciones con dos incógnitas?c) De las siguientes igualdades:

a)

cc1

bb0

aa1

+

ac1

cb0

ba1

=

c+ac1

c+bb0

b+aa1

b)

cc1

bb0

aa1

2- =

cc1

bb0

aa1

c)

bc1

ab0

ca1

.

cc1

bb0

aa1

=

cbc1

bab0

aca1

di cuáles son ciertas y cuáles falsas.

PRÁCTICA

3.- Halla la matriz X tal que AX+B = X siendo

88

22 = B

2-1

1-2 = A

(Si te sirve de algo, recuerda que X = IX)

4.- Discute, según los valores del parámetro á, y resuélvelo cuando sea compatible e indeterminado elsiguiente sistema:

0=z+y+3x

0=z-y+x-

0=1)z+(+y-x

α

α

α

Soluciones:

2. a) No, no; b) No, sí; c) son certas a) y b)

3.

33

11 = X

4.-

S.C.D.3- y 1/2

S.C.I.1/2 =

S.C.I.3- =

≠≠

αα

α

α

á=1/2 {x=ë; y=-2ë; z=-2ë}á=-3 {x=ë, y=-3ë/5, z=4ë/5}


ALGEBRA

1.- Resuelve la ecuación matricial AX + B = C siendo:

32

1-2

43

= C

13

01

3-1-

= B

102-

01-1

311

= A

2.- Discute el siguiente sistema:

k=3z+y+x

2=3z-ky+x

1=3z+y+kx

3.- Si 3 =

zyx

cba

111

halla:

0z-yz-x

cba

222

c)

zyz-x

2c2b2c-2a

110

c)

111

xyz

abc

b)

z/2y/2x/2

5+c5+b5+a

111

a)

4.- Si |A| = 2 y |2A| = 16, ¿cuál es el orden de A?

5.- Sabiendo que A, B 0 M4H4, |A| = 3 y |B| = 2 calcula:a) |A-1|; b) |Bt.A|; c) |(A.B-1)t|

6.- Define: matriz inversa, matriz simétrica, matriz traspuesta, matriz unidad, matriz triangular.Enuncia el teorema de Rouche-Frobenius.

Soluciones:

1.

21

10

01

= X

2. k=1 Y S.C.I. k=-1 Y S.I. kÖ1 Y S.C.D.3. a) 3/2; b) -3; c) 6; d) 64. Orden 35. a) 1/3; b) 6; c) 3/2


ALGEBRA

1.- a) Enuncia la regla de Cramer. Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius.

b) Dado el sistema de ecuaciones1=z+2y-2x

0=z+y-3x

b1) Añade, si es posible, una ecuación lineal de manera que el sistema resultante sea incompatible.b2) Añade, si es posible, una ecuación lineal de manera que el sistema resultante sea compatible

determinado.b3) Añade, si es posible, una ecuación lineal de manera que el sistema resultante sea compatible

indeterminado.b4) Escribe, si es posible, un sistema de 3 ecuaciones lineales con dos incógnitas compatible

determinado.

2.- a) Resuelve la ecuación matricial XA-B=2X, siendo:

1-1

11-

20

= B 30

13 = A

3.- Discutir y resolver según los valores de a el sistema:

1=z+y+x

3=az+2y+3x

1=z+y+ax

4.- a) Calcula, según los valores de a, el rango de la matriz:

aa11

1001

11aa

= A

b) Si A es una matriz 3x3 tal que rg(A) = 3 razona cuál es el rango de A2, A3...An

5.- Si 2 =

ihg

fed

cba

Calcula razonadamente

de-3f

g-h-3i

2a2b-6c

y

e-iff+c

e-hee+b

d-gbd+a

Soluciones:

2.

2-1

21-

20

= X

3. a=1 Y S.C.I. x=1+ë, y=-2ë, z=ëa=2 Y S.I.aÖ1 y aÖ2 Y S.C.D. x=0, y=(a-3)/(a-2), z=1/(a-2)4. a) a="1 Y r(A)=2; aÖ"1 Y r(A)=3b) r(A2) = r(A3) = ... = r(An) = 35. -12, 2

áLgebra

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