Algebra 1.1

ÁlgebraCompendio de Ciencias I-A

31SISTEMA HELICOIDAL

MOTIVACIÓN

Los Árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra.

A fines del siglo VIII floreció la escuela de Bagdad a la que pertenecían al Juarismi, al Batani y Omar K.hayyan. A l Juarismi, persa del siglo IX, escribió el primer libro de Algebra y le dio nombre a esta ciencia.

Al Batani, sirio (858 - 929), aplicó el Algebra a problemas astronómicos. Y Omar Khayyan persa del siglo XII, conocido por sus poemas escritos en «Rubayat», escribió un tratado de Algebra. «Querer es poder, tú quieres, luego puedes».

Concepto : Es la operación que consiste en multiplicar un número llamado base tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, para obtener un resultado llamado potencia. Así tenemos:

Notación:

donde: b base n exponente P potencia Luego:

Ejemplos:

•

Es base : 2 Es exponente : 5 Es potencia : 32

•

Es base : –3 Es exponente : 4 Es potencia : 81

•

•

•

•

Donde:

POTENCIACIÓN

OBJETIVOS

Las leyes de exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos; y la operación que da origen al exponente es la potenciación.


32 PASCUAL SACO OLIVEROS

Es base :

Es exponente : 4

Es potencia :

•

•

• (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)

Recíprocamente de acuerdo a la definición de potenciación se verifica:

•

•

•

•

Ejemplos Diversos: • –34 = –3 × 3 × 3 × 3 = –81 • (–3)4=(–3)(–3)(–3)(–3)=+81 • (3x)4 = (3x) (3x) (3x) (3x) • 3x4 = 3x x x x • (–3x)4 = (–3x) (–3x) (–3x) (–3x) • –3x4 = – 3 x x x x

•

•

(*) –bn ≠ (–b)n

(**)

Identificación de una base y su exponente:

• En:

• En:

* En :

En el Exponente anterior: , se tiene: Exp. = x2

Base = x

LEY DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIÓN

Ejemplos: • (+2)4=+24

(24) = 16

• (+x)32 = x32

(x)32 = x32

Ejemplos: • (+2)5=+25

(2)5 = 32

• (+x)17 =+x17

(x)17 = x17

Ejemplo: • (–2)6=+26

(–2)6 = 64 • (–x)18=+x18

(–x)18 = x18

Ejemplo: • (–2)5 = – 25 (–2)5 = – 32 • (–x)21 = – x21

(1º) Es conveniente indicar la diferencia entre:–34 y (–3)4

(*) En: – 34; el exponente no afecta al signo.

(*) En: (–3)4; el exponente si afecta al signo. (–3)4=+34

Por ello: –34 (–3)4

(2º) Debes tener presente lo siguiente:

(i) con



Ejemplos: • 123 = 1 • 1128 = 1 • 1–25 = 1

(ii) Ejemplos: • (–1)16 = 1 • (–1)328 = 1

(iii) Ejemplos: • (–1)17 = –1 • (–1)5 = –1

(iv) con Ejemplos: • 017=0 • 0120=0 • 01256 =0

Para realizar diversas operaciones a través de la po-tenciación es necesario recordar las potencias más

usuales:

POTENCIAS MÁS USUALES :

LEYES DE EXPONENTES Los exponentes se rigen a través de leyes, normas que estudiaremos a continuación:

Objetivos:• El objetivo es capacitar al alumno a poder identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos,

luego dar paso a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes.

Para un mayor entendimiento en este capítulo, las leyes de exponentes lo dividimos en 3 partes:

(1º) Leyes de Los Exponentes I (2º) Leyes de los Exponentes II (3º) Leyes de los Exponentes III A continuación pasaremos a desarrollar las respectivas

leyes contenidas en cada grupo.

LEYES DE EXPONENTES I Aqui mencionaremos las leyes que son usuales dada su forma en que se presentan:

1. Ley del exponente Cero

siempre y cuando : b 0 Ejemplos: • (3)0=1 • 30 = 1

• (–3)0=1 • –30 = –1

• 3x0=3(1)=3 • (3x)0 = 1

• • 3(a+b)0 = 3(1) = 3

• – 3x0y = –3(1)y = –3y

0ºesindeterminado

2. Ley del exponente Uno

El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiende Ejemplos:

• 51 = 5 •

• • (a+b)1=(a+b)

• 3x1 = 3x •

3. Ley del exponente de Exponentes: (cadena de expo-nentes)

Para desarrollar esta expresión se toma los 2 últimos términos (base y exponente), luego se va transfor-mando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los términos.

Ejemplos: (*) Desarrollar:

Luego: (*) Desarrollar:



Luego:

4. Ley del exponente Negativo

con b 0

*Caso Particular

con: a; b 0 Ejemplos:

•

•

•

• Tambien:

•

•

•

Recíprocamente:

• •

• •

•

Si la forma del exponente es negativo:

Entonces transformamos a una expresión fraccionaria

I. Problema desarrollado

1. Indicar de las proposiciones que afirmaciones son correctas:

A) (F)

B) (F)

C) (V)

RESOLUCION

A) La proposición es falsa

B)

Es falso la proposición

C)

La proposición es verdadera

II. Problema por desarrollar2. Indicar cuales de las afirmaciones son verdaderas (V)

o falsas (F):

A) ................... ( )

B) ............ ( )

A) ........................... ( )

RESOLUCION



1. Hallar el resultado de:

A)

B)

2. Efectuar:

A)

B)

Rpta.: .......................................................

3. Efectuar:

A)

B)

Rpta.: .......................................................

4. Efectuar:

A)

B)

Rpta.: .......................................................

5. Efectuar:

Rpta.: .......................................................

6. Efectuar:

Rpta.: .......................................................

7. Efectuar:

Rpta.: .......................................................

8. Efectuar:

Rpta.: .......................................................9. Efectuar:

Rpta.: .......................................................

10. Efectuar:

Rpta.: .......................................................

11. Calcular:

Rpta.: .......................................................

12. Efectuar:

Rpta.: .......................................................

13. Calcular:

Rpta.: .......................................................

14. Calcular:

Rpta.: .......................................................

15. Efectuar:

Rpta.: .......................................................

16. Efectuar:

Rpta.: .......................................................

17. Efectuar:



1. Calcular:

A) –9 B) 27 C) –27 D) 3 E) 6

2. Calcular:

A) 12 B) 17 C) –15 D) 19 E) –20

3. Calcular:

A) 13 B) 15 C) 16 D) 11 E) 5

4. Efectuar:

A) 10 B) 9 C) 7 D) 6 E) 5

5. Calcular:

A) 5 B) 6 C) 1/6 D) –6 E) 1/5

Rpta.: .......................................................

18. Efectuar:

Rpta.: .......................................................

19. Calcular:

Rpta.: .......................................................

20. Calcular:

Rpta.: .......................................................



LEYES DE EXPONENTES II Aquí mencionamos las Leyes que rigen a los exponentes de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las diversas expresiones.1. Multiplicación de Bases Iguales

; En forma extensiva:

Ejemplos: •

•

•

•

•

•

Recíprocamente:

•

•

•

2. División de Bases Iguales

con b 0 Ejemplos:

•

•

•

Si se tiene:

Luego obtendremos:

Regla Práctica : “La base resultante lleva como exponente una forma

particular; donde el exponente del numerador mantie-ne su exponente, mientras el exponente denominador va a pasar con signos opuestos”

Ejemplos:

•

•

•

Ejemplos Diversos:

•

•

•

Se observa:

OBJETIVOS

MOTIVACIÓN

«Cada uno de nosotros en cierta medida ha nacido bueno, mediocre o malo, pero al igual que la inteligencia. El sentido moral puede ser desarrollado por la educación, la disciplina y la fuerza de voluntad».

Buscar que el alumno logre dominar las diversas operaciones que se da con los exponentes establecidos como leyes.

El camino a recorrer con estas leyes nos permitirá desarrollar a través de los ejercicios su capacidad de razonamiento.



•

3. Potencia de Potencia

;

Ejemplos:

•

•

•

•

•

•

Recíprocamente:

•

•

•

Si se tiene:

m•n = n•m

Luego se cumple:

Ejemplos:

•

•

•

no confundir:

Pues:

4. Potencia de un Producto

•

•

Ejemplos:

•

•

•

•

Recíprocamente:

(*)

(*)

(*)

Nota:

5. Potencia de un Cociente

; con b 0

Ejemplos:

•



1. Efectuar:

a) =

b) =

2. Efectuar:

a) =

b) =

Rpta.: .......................................................

•

•

•


1. Indicar de las proposiciones que afirmamos son correctas:

a) (F)

b) (V)

c) (F) RESOLUCION

A)

La proposición es falsa

B)


3. Efectuar:

a) =

b) =

Rpta.: .......................................................

4. Efectuar:

C)

La proposición es falsa

II. Problema por desarrollar

2. Indicar cuales de las proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):

a) .......................... ( )

b) .......................... ( )

c) .......................... ( )

RESOLUCION

Recíprocamente:

•

•

•



a) =

b) =

Rpta.: .......................................................

5. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

6. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

7. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

8. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

9. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

10. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

11. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

12. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

13. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

14. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

15. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

16. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

17. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

18. Efectuar:



1. Simplificar:

A) 3 B) 5 C) 7 D) 4 E) 6

2. Efectuar:

A) B) C)

D) E)

3. Reducir:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. Calcular el exponente final de x en:

A) 9 B) –9 C) 18

D) –27 E) 27

=

Rpta.: .......................................................

19. Efectuar:

=

Rpta.: .......................................................

20. Efectuar:

Si

Calcular :

= Rpta.: .......................................................



LEYES DE LOS EXPONENTES III Las siguientes leyes están dadas para la transformación de expresiones afectadas por el símbolo de una raíz.

1. Exponente Fraccionario

con n 2 Ejemplos:

• •

•

Si se tiene

(se sobreentiende el índice 2)

Ejemplos:

• •

2. Potencia de una Raíz

; con n 2 Ejemplos:

•

•

•

•

Si se tiene

Luego: Para fines prácticos:

(1º) Si m = 1:

(2º) Si m ≠ 1: Ejemplos:

•

•

•

•

•

•

•

•

La porque:

La porque:

La porque: S

La porque:

La porque:

La porque:

OBJETIVOS

MOTIVACIÓN

«El tiempo que gastas en averiguar vidas ajenas, debes emplearlo en reconocer tus defectos, tus aspiraciones y los actos de tu propia vida».

Lograr que el alumno domine las leyes relacionadas a exponentes fraccionarias y los radicales, los cuales son muy importantes dado sus diversas aplicaciones en otras materias. Esto será posible a través de la práctica que efectuemos con los diversos ejercicios.



Sabemos que: Si hacemos: m = n, se tendrá:

Luego:

En forma similar:

Ejemplos:

•

•

•

•

•

•

•

Se cumple; dadas las siguientes formas::

⇒

:

⇒

:

⇒

Ejemplos:

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

3. Raíz de una Multiplicación

•

•

Ejemplos:

•

•

• •

Recíprocamente:

•

•

•

•4. Raíz de una División

•

Ejemplos:

•

•

•

• Recíprocamente:



•

•

•

•

5. Raíz de Raíz

•

•

Ejemplos:

•

•

•

•

•

PROPIEDADES AUXILIARES

• .....................................................(I)

• ................................................... (II)

• ...............................................(III)

• ................................(IV)

• ................................. (V)

• ......(VI)

Propiedad de Raíz de Raíz

:

:

Ejemplos Diversos:

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Ejemplos de las formas de Raíz de Raíz:Efectuar:

•

•

•

Desarrollar:

•

•



1. Efectuar:

a)

b)

2. Efectuar:

a)

b)

Rpta.: .......................................................

3. Efectuar:

a)

b)

Rpta.: .......................................................

4. Efectuar:

Rpta.: .......................................................

5. Simplificar:


1. Indicar de las proposiciones que afirmaciones son correctas:

A) (V)

B) (F)

C) (V)

RESOLUCION

A)


B)

9 . 3 = 9 27 = 9 La proposición es falsa

C)


II. Problema por desarrollar2. Indicar cuales de las proposiciones es verdadera (V) o

falsa (F):

A) ....................... ( )

B) ....................... ( ) C)

....................... ( )

RESOLUCION



Rpta.: .......................................................

6. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

7. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

8. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

9. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

10. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

11. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

12. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

13. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

14. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

15. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

16. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

17. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

18. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

19. Simplificar:



1. Hallar la expresión equivalente:

A)

B)

2. Reducir:

A) 1 B) 3 C) 9

D) 27 E) 30 3. Reducir:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 4. Calcular:

A) B) C)

D) E)

5. Calcular:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7

Rpta.: .......................................................

20. Simplificar:

Rpta.: .......................................................

Algebra 1.1

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