Alexandre Andrade Brandão Soares Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional Dissertação de Mestrado Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio Orientador: Prof. Paulo Batista Gonçalves Rio de Janeiro Julho de 2013
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Alexandre Andrade Brandão Soares
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio
Orientador: Prof. Paulo Batista Gonçalves
Rio de Janeiro Julho de 2013
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Alexandre Andrade Brandão Soares
Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Paulo Batista Gonçalves Orientador
Departamento em Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Frederico Matins Alves da Silva Universidade Federal de Goiás
Profª. Deane Mesquita Roehl Departamento em Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 05 de Julho de 2013
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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
Alexandre Andrade Brandão Soares
Graduou-se em Engenharia Civil na Universidade da Amazônia, UNAMA (Belém do Pará), em Janeiro de 2011. Ingressou em Março de 2011 no curso de Mestrado em Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica de Rio de Janeiro (PUC-Rio), na área de Estruturas. Já desenvolveu trabalhos na área de barragens, métodos das diferenças finitas e mais atualmente na área de dinâmica das estruturas, abrangendo nesta última os temas cascas cilíndricas e materiais com gradação funcional.
Ficha Catalográfica
Soares, Alexandre Andrade Brandão Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas
com gradação funcional / Alexandre Andrade Brandão Soares; Orientador: Paulo Batista Gonçalves. – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2013.
v., 121 f.: il. (color); 29,7 cm 1.Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2013.
cilíndricas. 3. Vibrações não lineares. 4. Material com gradação funcional. 5. Dinâmica I. Soares, Alexandre Andrade Brandão. II. Gonçalves, Paulo Batista. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
CDD: 624
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Dedico com amor a: Arthur, Celeste, Izaura, Regina, Verena, Erida e Alice.
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Agradecimentos
As pessoas mais queridas de minha vida que são: Arthur,
Celeste, Izaura, Regina, Verena, Erida e Alice. Agradeço-lhes pela
paciência, compreensão e esperança que depositaram em mim.
Ao orientador Professor Paulo Batista Gonçalves que muito
me ajudou nesta dissertação. Além de seus conhecimentos vastos e
precisos, seu caráter muito me engrandeceu no período que realizei o
Mestrado.
A instituição PUC-Rio, que é uma instituição de excelência.
Aos professores e funcionários do Departamento de
Engenharia Civil da PUC-Rio que me repassaram parte de seus
conhecimentos e muito me auxiliaram nesta jornada. Em especial a
funcionária Rita de Cassia.
Aos amigos(as) que fiz na PUC-Rio: Camyla Oliveira, Eliot
Pezo, Eulher Carvalho, Fabio Anderson, Julio Rueda, Lorena
Chamorro, Nicolas Papadopoulos, Martin Purizaga, Rafael Abreu,
Ricardo Amado e Tathiana Caram.
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Ao CNPq e CAPES;
Aos professores que participaram da comissão examinadora
desta dissertação que com suas competências elevaram meus
conhecimentos.
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Resumo
Soares, Alexandre Andrade Brandão; Gonçalves, Paulo Batista. Vibrações
livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional. Rio de Janeiro, 2013. 121p. Dissertação de Mestrado – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Cascas cilíndricas são usadas em muitas aplicações de engenharia e, devido
a sua forma e capacidade de transporte de carga, são bastante usadas na indústria
aeroespacial e em estruturas civis. Elas minimizam a quantidade de material do
qual são fabricadas, tornando-se assim estruturas muito leves e esbeltas. Em
décadas recentes tem se procurado criar novos materiais que conjuguem
múltiplas propriedades como maior resistência, melhor proteção térmica,
proteção contra corrosão e adequado nível de amortecimento, dentre outras. Uma
classe de materiais que podem atender simultaneamente várias destas exigências
é o chamado material com gradação funcional, onde as propriedades do material
variam de forma contínua em uma ou mais direções. Materiais com gradação
funcional são particularmente indicados para a construção de cascas. Como a
maioria destas estruturas estão sujeitas a cargas dinâmicas, torna-se importante o
estudo do comportamento dinâmico de cascas fabricadas com materiais com
gradação funcional. O objetivo deste trabalho é estudar as vibrações não lineares
de cascas cilíndricas esbeltas com gradação funcional. Para isto utiliza-se a teoria
não linear de cascas de Sanders, considerada uma das teorias mais precisas para a
análise de cascas esbeltas. Inicialmente, derivam-se as equações de movimento
considerando um estado de tensões iniciais. Usando as equações linearizadas,
obtêm-se às frequências naturais e as cargas críticas, sendo estes resultados
comparados favoravelmente com resultados encontrados na literatura para
materiais homogêneos e com gradação funcional. A seguir, usando uma expansão
modal que atende as condições de contorno e continuidade, além de expressar os
acoplamentos modais característicos de cascas cilíndricas no regime não linear,
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as equações de movimento são discretizadas usando-se o método de Galerkin. As
equações algébricas resultantes são resolvidas pelo método de Newton-Raphson,
sendo assim obtida a relação não linear frequência-amplitude. Finalmente,
realiza-se uma análise paramétrica para estudar a influência da geometria da
casca, da gradação do material funcional e dos modos de vibração no grau e tipo
de não linearidade da casca cilíndrica, sendo esta a principal contribuição deste
trabalho de pesquisa.
Palavras-chave
Cascas cilíndricas; Vibrações não lineares; Material com gradação
funcional; Dinâmica.
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Abstract
Soares, Alexandre Andrade Brandão; Gonçalves, Paulo Batista (Advisor). Nonlinear free vibrations of functionally graded cylindrical shells. Rio de Janeiro, 2013. 121p. MSc. Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Cylindrical shells are used in many engineering applications and, due to its
shape and load carrying capacity, are frequently used in aerospace and civil
structures. They minimize the amount of material from which they are
manufactured, thus making it a very lightweight and slender structure. In recent
decades, there has been a search for new materials that combine multiple
properties such as increased strength, better thermal protection, corrosion
protection and appropriate damping level, among others. A material that can meet
several of these requirements simultaneously is the so called functionally graded
material, where the material properties vary continuously in one or more
directions. Functionally graded materials are particularly suitable for the
construction of shells. As most of these structures are subjected to dynamic loads,
it is important to study the dynamic behavior of shells made of functionally
graded materials. The objective of this work is to study the nonlinear vibrations
of slender functionally graded cylindrical shells. For this, the Sanders non-linear
shell theory, which is considered one of the most precise theories for the analysis
of slender shells, is adopted. Initially, the equations of motion are derived
considering an initial stress state. Using the linearized equations of motion, the
natural frequencies and critical loads are obtained. These results compare
favorably with results reported in the literature for homogeneous and functionally
graded shells. Then, using a modal expansion that satisfies the boundary and
continuity conditions and expresses the modal couplings characteristic of
cylindrical shells in the nonlinear regime, the equations of motion are discretized
using the Galerkin method. The resulting algebraic equations are solved by the
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Newton-Raphson method, thus obtaining the nonlinear frequency-amplitude
relation. Finally, a parametric analysis is conducted to study the influence of the
geometry of the shell, the gradient of the functional material and vibration modes
on the degree and type of nonlinearity of the cylindrical shell, which is the main
Nas Equações (2.6) o termo ⁄ é desprezado, pois é muito pequeno,
compreendido entre ⁄ ⁄ e, dividido por , torna-se insignificante.
Ao realizar as integrais supracitadas, chega-se aos esforços , , , , ,
, e , em termos dos deslocamentos da superfície média e suas
derivadas:
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{[
] [
( )
( )
]} (2.7a)
{[
( )
( )
] [
]} (2.7b)
[
( )]
( )
(2.7c)
{
[ ]} (2.7d)
{[ ] } (2.7e)
{
[ ]} ( ) (2.7f)
onde e são respectivamente a rigidez de membrana e a rigidez à flexão, sendo
para o material isotrópico iguais a:
(2.8a)
(2.8b)
2.4
Funcionais de energia
Considere a casca cilíndrica perfeita da Figura (2.5), com suas extremidades
simplesmente apoiadas e submetida a carregamentos de borda ( ), pressão lateral
interna ( ) e pressão lateral externa ( ).
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Figura 2.5 – Representação do carregamento aplicado à casca. Fonte: Silva (2008).
2.4.1
Energia interna de deformação elástica
A energia interna de deformação armazenada em um corpo elasticamente
deformado, , é dada por (Wang, 1953):
∭ ( )
(2.9)
Para o caso de uma casca cilíndrica delgada, Brush & Almroth (1975)
omitem os termos , e , e a Equação (2.9) reduz-se a:
∭( )
(2.10)
A relação das tensões com as deformações (Equações 2.11) para o caso
bidimensional advindas da lei generalizada de Hooke, são (Vlasov & Leont’ev,
1966):
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( ) (2.11a)
( ) (2.11b)
( ) (2.11c)
O termo para a casca cilíndrica, equivale a um comprimento de arco
proveniente do produto do raio , e do ângulo ou seja:
(2.12)
Substituindo na Equação (2.10) as Equações (2.11), tem-se a Equação (2.13)
para a energia interna de deformação de uma casca cilíndrica:
( )∭(
) (2.13)
Ao realizar a integração desta equação com relação a , no intervalo de
⁄ a ⁄ , e substituindo na mesma as Equações (2.4), obtém-se:
( )∬{ [
( )
]
[
( )
]}
(2.14)
Observa-se que a energia interna de deformação pode ser escrita como a
soma de duas parcelas de energia, chamadas de energia de membrana ( ) e
energia de flexão ( ), dadas respectivamente por:
∬(
( )
) (2.15a)
∬(
( )
) (2.15b)
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2.4.2
Energia cinética
Seja ( ) o campo de deslocamentos relativos à configuração
inicial de equilíbrio. Para um sistema submetido a um conjunto de forças
conservativas de superfície e de volume, mudando continuamente o seu estado de
equilíbrio entre os instantes e , tem-se a energia cinética dada por (Kraus,
1967):
∫
(2.16)
sendo a densidade da casca. Para uma casca cilíndrica homogênea isotrópica a
energia cinética é definida como:
∭ ( ) (2.17)
Integrando a energia cinética ao longo da espessura, tem-se:
∬( ) (2.18)
2.4.3
Energia potencial das cargas externas
A energia potencial, , das cargas externas é dada por:
∫
(2.19)
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onde, para casca cilíndrica, é um vetor de forças conservativas por unidade de
área.
∬( ) (2.20)
Entende-se e , como as componentes de forças na direção axial ( ) e
circunferencial ( ), respectivamente, e é a componente normal à superfície na
direção .
Para o carregamento considerado na Figura (2.5), o trabalho das forças
externas ( ) é dado por:
∬( )
∫ (2.21)
onde e designam a pressão lateral interna e externa, respectivamente,
atuantes na casca, enquanto indica o carregamento axial uniformemente
distribuído ao longo das bordas.
2.4.4
Trabalho das forças de dissipação
As forças de dissipação podem ser calculadas a partir da função da
dissipação de Rayleigh, que, segundo Popov et al. (1998), pode ser escrita como:
∭[ (
)]
∭[
( )( ) ]
(2.22)
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Integrando a Equação (2.22) em relação a , tem-se:
∬( )
∬( ) (2.23)
O primeiro termo representa as forças viscosas lineares decorrentes da
resistência do meio em que a casca está, enquanto o segundo termo designa as
forças viscosas elásticas do material da casca. Os termos e representam os
coeficientes de amortecimentos, dados por:
(2.24a)
(2.24b)
onde e são, respectivamente, os coeficientes de amortecimento viscoso e do
material e, é a menor frequência natural da casca cilíndrica, e o operador é
dado por:
(2.25)
2.5
Equações de equilíbrio
Após determinar os funcionais de energia nas seções 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3 e
2.4.4, tem-se a seguinte função de Lagrange ( ):
( ) (2.26)
onde é função de:
( )
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As equações de Euler-Lagrange são, pois dadas por:
(
) [
(
)
(
)]
(2.27a)
(
) [
(
)
(
)]
(2.27b)
(
) [
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)]
(2.27c)
Substituindo as Equações (2.15), (2.18) e (2.21) na Equação (2.26) e em
seguida nas Equações (2.27), chega-se às seguintes equações de movimento:
(2.28a)
( )
( )
(2.28b)
( )
( )
( )
( )
(2.28c)
2.6
Estado de tensão inicial
Considera-se agora a estrutura (Figura 2.3) inicialmente carregada quase
estaticamente até que atinja um estado de equilíbrio denominado fundamental ( ).
Posteriormente, carregando-a dinamicamente, o sistema passa a ocupar uma nova
configuração de equilíbrio denominado incremental ( ). Ademais, supõe-se
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inicialmente, por simplicidade, que a casca cilíndrica está submetida a um estado
inicial de membrana (Brush & Almroth, 1975).
Partindo das Equações (2.28) de movimento e realizando simplificações
para que as mesmas atendam a um estado inicial de membrana, chega-se aos
esforços fundamentais de membrana:
(2.29a)
( ) (2.29b)
(2.29c)
Os novos esforços atuantes na casca são a soma dos esforços fundamentais
com os esforços incrementais (Brush & Almroth, 1975):
(2.30)
Por fim, substituindo as Equações (2.29) e (2.30) nas Equações (2.28),
chega-se às equações não lineares de movimento mostradas a seguir.
(2.31a)
{[ ( )
] ( ) }
(
)
(2.31b)
( )
[(
) ]
{[ ( )
] }
(
)
(
)
(2.31c)
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2.7
Condições de contorno
Sabe-se que a casca cilíndrica é completa na coordenada . Por conseguinte,
nesta direção, sua condição de contorno será substituída pela condição de
periodicidade (CP). Na direção axial se aplicam as condições de contorno (CC)
em .
A condição de periodicidade dos deslocamentos circunferenciais implica
em:
( ) ( ) (2.32)
Para uma casca simplesmente apoiada, os deslocamentos circunferenciais e
radiais devem ser nulos nas extremidades da casca, ou seja:
( ) ( ) (2.33a)
( ) ( ) (2.33b)
Igualmente, o momento e o esforço normal axial devem ser nulos na
extremidade da casca, a saber:
( ) ( ) (2.34a)
( ) ( ) (2.34b)
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3
Material com gradação funcional
O capítulo contém uma breve descrição sobre materiais compósitos e
Materiais com Gradação Funcional (MGF), além de apresentar algumas leis de
variação das propriedades dos materiais ao longo da espessura da casca.
3.1
Introdução aos materiais compósitos
Reddy (2004) afirma que materiais compósitos são dois ou mais materiais
que combinados entre si em escala macroscópica formam um único material.
Segundo Jones (1975), a vantagem dos compósitos é que comumente conjugam as
melhores qualidades dos materiais constituintes, e apresentam frequentemente
algumas qualidades que não estão presentes nos materiais isolados.
Algumas das propriedades que usualmente são melhoradas com a formação
de um compósito são descritas abaixo (Jones, 1975):
Rigidez;
Resistência à corrosão;
Resistência ao desgaste;
Peso;
Resistência à fadiga;
Condutividade térmica;
Isolamento acústico.
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Naturalmente, nem todas as propriedades são melhoradas ao mesmo tempo.
A utilização dos materiais compósitos não tem sua utilização apenas
recentemente na história da humanidade. Jones (1975) afirma que sua origem é
desconhecida. Entretanto, em toda a história humana há referências a alguma
forma da utilização dos materiais compósitos.
Segundo Rezende & Botelho (2000), a partir da década de 1960, os
materiais compósitos de alto desempenho foram introduzidos na indústria
aeroespacial. Os mesmos autores relatam que o uso de compósitos está distribuído
a nível mundial nas seguintes proporções das indústrias:
Aeronáutica comercial 60%;
Defesa e espaço 20%;
Recreativo 10%;
Outras indústrias 10%.
3.2
Introdução aos materiais com gradação funcional
O conceito de Materiais com Gradação Funcional (MGF, ou FGM do inglês
Functionally Graded Materials) teve sua introdução em 1984 no Japão (Koizumi,
1997).
Segundo Albino (2011), os MGF são uma nova geração de compósitos
formados por duas ou mais fases constituintes, cuja principal característica é
possuir uma composição continuamente variável.
Na engenharia, especificamente, Albino (2011) relata que os MGF têm
melhores distribuições das tensões residuais, melhores propriedades térmicas, alta
tenacidade à fratura e reduzidos fatores de concentração de tensões, quando
comparados com outros compósitos ou materiais homogêneos.
Um esquema que mostra a microestrutura típica dos MGF com duas fases
constituintes (fase cerâmica e fase metálica) é apresentado na Figura 3.1. Percebe-
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se que há uma variação gradual dos materiais constituintes. Na Figura 3.1, a cor
preta representa a fase metálica e a cor branca representa a fase cerâmica.
Figura 3.1 – Variação gradual dos materiais constituintes. Fonte: Modificada de Aboudi et al.(1999).
Segundo Sofiyev (2004), os MGF têm recebido considerável atenção como
uma classe de materiais compósitos avançados não homogêneos com a
possibilidade de ampla aplicação na engenharia.
Sofiyer (2009) explica que os MGF são feitos, genericamente, a partir da
mistura metal e cerâmica, por meio da variação gradual destes dois materiais,
embora outras misturas apareçam também na literatura. Wu et al. (2004) explicam
que há uma variação gradual na fração de volume dos materiais constituintes
(Figura 3.1) e desta mudança contínua de variação na composição resultam as
propriedades dos MGF.
Um dos processos mais comum de fabricação dos MGF, segundo Albino
(2011), dá-se pelo processo metalúrgico do pó em que materiais cerâmicos e
metálicos são misturados em um silo seguindo uma determinada fração de
volume. Essa mistura é então pulverizada sobre uma lamina e rapidamente
sintetizada usando-se laser2. A Figura 3.2 ilustra a explicação precedente.
2 Sigla em Inglês de light amplication stimulated emission of radiation. Em Português significa:
Amplificação de luz por emissão estimulada de radiação.
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Figura 3.2 – Esquerda: Mostra a geração de um composto metal/carboneto feito com feixe de laser. Direita: Mostra um tubo com gradação funcional não na direção longitudinal. Fonte: Kieback et al. (2003).
Na Figura 3.3, exibe-se uma microestrutura real onde partículas de um
material denominado por Kieback et al. (2003) de WC são introduzidos, através
do processo de dispersão, na liga Cu/Mn (Cobre/Magnésio).
Figura 3.3 – Micrografia de um gradiente de liga de WC/Cu/Mn e a distribuição espacial da correspondente concentração de partículas WC. Fonte: Kieback .et al. (2003).
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Atualmente, os MGF estão disseminados em vários ramos da indústria.
Como exemplo, pode-se citar a sua utilização na indústria offshore, mais
especificamente nas estruturas de risers (linhas flexíveis), as quais são estruturas
em formato de cascas que servem em geral para transportar óleo, desde a “cabeça”
do poço até as plataformas baseadas em sistemas flutuantes (Albino, 2011).
3.3
Propriedades do MGF
Para cascas cilíndricas com gradação funcional, autores distintos em
trabalhos anteriores consideram as propriedades materiais variando ao longo da
espessura. Assim, nesta direção há uma variação contínua do módulo de
elasticidade, coeficiente de Poisson e densidade do material.
Sofiyev (2004 e 2009) propôs para um material composto de cerâmica ( ) e
metal ( ) a seguinte lei de variação:
( ) (3.1a)
( ) (3.1b)
( ) (3.1c)
onde é o volume do material cerâmico, que pode variar na forma linear,
quadrática, quadrática inversa e cúbica, como detalhado a seguir:
(3.2a)
( ) (3.2b)
( ) (3.2c)
( ) ( ) (3.2d)
onde ⁄ é a coordenada adimensional da espessura ( ⁄ ⁄ ).
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O volume relativo dos dois materiais obedece à relação:
(3.3)
A variação da porcentagem volumétrica de cerâmica através da espessura da
casca cilíndrica é mostrada na Figura 3.4, considerando as quatro Equações (3.2).
Figura 3.4 – Variação do volume de cerâmica ao longo da espessura da casca cilíndrica. O sentido horizontal representa a coordenada , e o sentido vertical a espessura .
Bahtui & Eslami (2005) escrevem a lei de variação dos materiais em função
do volume relativo de metal e de cerâmica, e , respectivamente, que são
determinados como:
(3.4a)
(3.4b)
com:
(3.5)
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Os autores também propõem as expressões:
(
)
(3.6a)
(3.6b)
onde o índice representa a variação do material ao longo da espessura da casca
cilíndrica, sendo k igual ou maior que zero. O valor igual a zero representa um
material homogêneo (no caso metal). Quando tende ao infinito, há a
predominância de cerâmica (Bahtui & Eslami, 2005).
Para tal lei de variação dos volumes, Bahtui & Eslami (2005) estabelecem
que o módulo de elasticidade e a densidade variam segundo as relações:
( ) (3.7a)
( ) (3.7b)
Bahtui & Eslami (2005) não estabelecem, contudo, uma variação para o
coeficiente de Poisson.
3.4
Formulação do problema
Usar-se-á aqui as formulações propostas por Bahtui & Eslami (2005),
considerando adicionalmente a seguinte variação para o coeficiente de Poisson:
( ) (3.8)
Assim, tem-se que:
; ; ; em (3.9a)
; ; ; em (3.9b)
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A Figura 3.5 ilustra uma distribuição esquemática dos materiais ao longo da
direção .
Figura 3.5 – Representação esquemática da distribuição dos materiais ao longo da espessura da casca cilíndrica.
Considerando um valor médio das propriedades da casca ao longo da
espessura, tem-se, a lei constitutiva:
{
}
[
( )]
{
} (3.10)
onde:
∫ ( )
⁄
⁄
(3.11a)
∫ ( )
⁄
⁄
(3.11b)
∫ ( )
⁄
⁄
(3.11c)
Entretanto, para levar em consideração a gradação de forma mais precisa,
deve-se modificar a matriz constitutiva. Deve-se, neste caso, substituir as
Equações (3.7) nas Equações (2.15), (2.18) e (2.21) e integrar os funcionais de
Cerâmica
+h/2
-h/2
+h/2
-h/2
Liga Metálica
Cerâmica
+h/2
-h/2
+h/2
-h/2
Liga Metálica
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energia em . Isto gera um acoplamento entre os esforços de membrana e flexão,
adicionando novos termos às Equações (2.15), (2.18) e (2.21).
Assim, as relações entre os esforços e as deformações específicas passam a
ser dados por:
{
}
[ ]
{
}
(3.11)
onde
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
(3.12)
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
∫ ⁄
⁄
e
( ) (3.13)
Os termos Bij expressam o acoplamento entre os esforços de membrana e
flexão.
DBD
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4
Análise linear
O presente capítulo apresenta a análise linear da casca cilíndrica, mostrando
as equações de equilíbrio linearizadas, o cálculo das frequências naturais e o
cálculo das cargas críticas. Além disso, mostram-se comparações das frequências
naturais e das cargas críticas, aqui calculadas, com diversos outros trabalhos
presentes na bibliografia. Estes cálculos serão realizados tanto para materiais
isotrópicos como para MGF.
4.1
Introdução
As três Equações (2.28) não lineares de movimento, vistas no Capítulo 2,
podem ser escritas em função do campo de deslocamentos , e , resultando
nas Equações (4.1). Estas equações são para um MGF, onde há algumas
modificações no funcional de energia e nos esforços de membrana e flexão, como
visto no capítulo anterior (Equação 3.11).
(4.1a)
DBD
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(4.1b)
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DBD
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(4.1c)
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DBD
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Os modos de vibração para uma casca cilíndrica simplesmente apoiada ou
infinitamente longa, que atendem as condições de contorno especificadas no
Capítulo 2, são dados por:
(4.2a)
(4.2b)
(4.2c)
onde ⁄ , sendo o número de semi-ondas longitudinais, o número de
ondas circunferenciais, a frequência circular, √ e , e são
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as amplitudes dos modos de vibração. Por fim, a expressão denota a função
harmônica ( ( )).
Ao substituir as Equações (4.2) e suas respectivas derivadas no tempo, em
e em nas Equações (4.1) linearizadas, chega-se à matriz de massa ,
sendo a matriz identidade, e a matriz de rigidez De posse destas matrizes,
obtém-se o problema de autovalor:
{[
] [
]} {
} { } (4.3)
onde:
(4.4a)
(4.4b)
(4.4c)
(4.4d)
(4.4e)
(4.4f)
Os autovalores da equação | | são as frequências naturais de
vibração da casca e os autovetores, os modos de vibração.
A seguir, estudam-se as frequências naturais e as cargas críticas.
DBD
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4.2
Frequências naturais
4.2.1
Material homogêneo isotrópico
Na Tabela 4.1, comparam-se os valores das menores frequências naturais
( ) (que corresponde ao modo de vibração predominantemente radial, isto é, em
) obtidas neste trabalho utilizando-se tanto a teoria de Sanders ( ) quanto a
teoria de Donnell ( ), com os encontrados por Shah et al. (2009) e Gonçalves
& Ramos (1996) para uma casca com m, m e m.
Considera-se e valores crescentes de ( ). As propriedades do
material da casca são:
; ;
.
Tabela 4.1 – Comparação das frequências naturais ( e ).
Figura 5.2 – Frequência natural em função das amplitudes modais. , ⁄ , , ⁄ , e .
5.4.1
Material com gradação funcional para o caso não linear
Para uma casca cilíndrica com MGF, utiliza-se como exemplo a mesma
geometria encontrada no trabalho de Gonçalves (1987), entretanto, não mais com
apenas um material e sim com dois, que são o aço e o níquel, cujas propriedades
são dadas na Tabela 5.1. Consideram-se os mesmos valores de (0,5, 1 e 5)
usados na Tabela 4.6. A predominância do aço está na parte externa da casca, já o
níquel predomina na parte interna, como apresentado no capítulo 3 desta
dissertação.
Vale lembrar que o níquel ( ) é classificado na tabela periódica como um
metal de transição, não obstante, aqui ele será denomindo genericamente com um
material cerâmico para distinguí-lo do material aço que é uma liga metálica entre
o ferro ( ), que também é classificado como metal de transição, e o carbono ( ),
que é não metálico.
Tabela 5.1 – Propriedades dos materiais aço e níquel para uma casca com MGF.
( ⁄ ) ( ⁄ )
Aço 2,07788x105
0,317756 8,166x10-9
Níquel 2,05098x105 0,31 8,900x10
-9
Fonte: Arshad et al. (2010).
DBD
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Para o material com gradação funcional e a frequência natural
aumenta conforme a amplitude modal cresce (Figura 5.3), exibindo a casca
neste caso um ganho de rigidez, ao contrário da casca isotrópica cujos resultados
foram mostrados na Figura 5.2. Para este valor de o número de ondas associado
à frequência mínima não muda, ou seja, o número de ondas circunferênciais
permanesse o mesmo nesta estrutura independente do material ( e ).
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0
A1
(a)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
A2
(b)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
A3
(c)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-5E-005
-4E-005
-3E-005
-2E-005
-1E-005
0
A4
(d)
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 82
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
0
4E-006
8E-006
1.2E-005
1.6E-005
A5
(e)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-4E-007
-3E-007
-2E-007
-1E-007
0
A6
(f)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
B1
(g)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-0.0016
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0
B2
(h)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
0
2E-006
4E-006
6E-006
8E-006
1E-005
B3
(i)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
-1.6E-005
-1.2E-005
-8E-006
-4E-006
0
B4
(j)
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 83
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
0
0.004
0.008
0.012
0.016
0.02F
1
(k)
3226 3226.4 3226.8 3227.2 3227.6
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
(l)
Figura 5.3 – Frequencia natural em função das amplitudes modais para . Gometria: , e e .
A Figura 5.4 mostra os resultados para , onde observa-se um
comportamento não linear semelhante ao da Figura 5.3, onde também se tem um
aumento da frequência natural. Todavia, as frequências naturias são menores em
termos absolutos.
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0
A1
(a)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
A2
(b)
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 84
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
A3
(c)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-5E-005
-4E-005
-3E-005
-2E-005
-1E-005
0
A4
(d)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
0
4E-006
8E-006
1.2E-005
1.6E-005
A5
(e)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-4E-007
-3E-007
-2E-007
-1E-007
0
A6
(f)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
B1
(g)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-0.0016
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0
B2
(h)
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 85
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
0
4E-006
8E-006
1.2E-005B
3
(i)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
-1.6E-005
-1.2E-005
-8E-006
-4E-006
0
B4
(j)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
0
0.004
0.008
0.012
0.016
0.02
F1
(k)
3194.4 3194.8 3195.2 3195.6 3196 3196.4
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
(l)
Figura 5.4 – Frequência natural em função das amplitudes modais para . Gometria: , e e .
Assim como as figuras anteriores 5.3 e 5.4, a Figura 5.5 apresenta um
aumento na não linearidade conforme se eleva o valor da constante para .
Contudo, os valores absolutos da frequência natural são menores em comparação
com os das variações para e .
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 86
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0A
1
(a)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
A2
(b)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-0.0004
-0.0003
-0.0002
-0.0001
0
A3
(c)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-5E-005
-4E-005
-3E-005
-2E-005
-1E-005
0
A4
(d)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
0
4E-006
8E-006
1.2E-005
1.6E-005
A5
(e)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-4E-007
-3E-007
-2E-007
-1E-007
0
A6
(f)
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 87
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
B1
(g)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-0.0016
-0.0012
-0.0008
-0.0004
0
B2
(h)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
0
4E-006
8E-006
1.2E-005
B3
(i)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
-1.6E-005
-1.2E-005
-8E-006
-4E-006
0
B4
(j)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
0
0.004
0.008
0.012
0.016
0.02
F1
(k)
3134 3134.4 3134.8 3135.2 3135.6
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
(l)
Figura 5.5 – Frequência natural em função das amplitudes modais para . Gometria: , e
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 88
Para melhor entedimento dos resultados, a Figura 5.6a mostra a variação dos
dois materiais componentes ao longo da espessura e a Figura 5.6b mostra a
relação frequência-amplitude para os três valores de usados nos exemplos
anteriores. Observa-se que, embora o valor de k tenha influência na frequência
natural, sua influência no grau e tipo de não linearidade da casca é muito pequena.
(a)
1 1.0001 1.0002 1.0003 1.0004
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Variação de kk=0,5
k=1
k=5
(b)
Figura 5.6 – (a)Variação do volume dos materiais aço e níquel ao longo da espessura da casca cilíndrica com MFG. (b) Variação da frequência natural para os valores de considerados nas Figuras 5.3, 5.4 e 5.5.
5.5
Análise paramétrica
Prosseguindo-se com o mesmo material adotado no ítem anterior (MGF aço
e níquel), faz-se agora uma variação da geometria da casca cilíndrica. As
geometrias a serem analisadas são apresentadas na Tabela 5.2. Conserva-se o
valor da espessura ( ) da casca constante, variando-se os valores de e . Desta
forma, analisa-se um amplo espectro de relações geometricas ⁄ e ⁄ .
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 89
Tabela 5.2 – Dimensões de cascas cilíndricas variando os valores e o , e .
I II III IV V VI VII
(mm) 410 820 410 205 410 410 300
(mm) 300 300 600 300 150 410 300
(mm) 1 1 1 1 1 1 1
Para melhor entender a casca cilíndrica e seu material, apresenta-se a Figura
5.7, onde se mostra por meio das cores verde ( ) para o aço e vermelho ( ) para o
níquel a variação dos materiais ao longo da espessura de um elemento de casca
cilíndrica.
(a) Visualização interna da casca
(b) Visualização externa da casca
Figura 5.7 – Amostra genérica de um pedaço de casca cilíndrica com MGF. O vermelho ( ) representa o níquel e o verde ( ) representa o aço.
Antes de se efetuar a análise não linear para os exemplos de casca da Tabela
5.2, faz-se uma análise linear para se obter os valores das frequências naturais
para essas geometrias. Apresenta-se na Tabela 5.3 o valor da frequência mínima
para cada geometria e os três valores de aqui considerados bem como o número
de ondas circunferenciais do modo de vibração associado à frequência minima.
Em todos os casos as menores frequências ocorrem para .
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 90
Tabela 5.3 – Frequências naturais mínimas para os modelos de I a VII, com seus respectivos valores de .
De imediato, observa-se na Tabela 5.3, que há um decréscimo no valor das
frequências naturais à medida que se aumenta o , em outras palavras, significa
dizer que, conforme se eleva o teor de níquel, a frequência natural diminui. O aço
tem maior módulo de elasticidade ( ) que o níquel, logo, quanto maior é o
módulo de elasticidade maior será a rigidez do sistema, e consequentemente maior
será a frequência natural, pois a frequência natural é diretamente proporcional à
rigidez da estrutura.
Ao defrontar as Tabela 5.2 e 5.3, percebe-se que, quando se aumenta o valor
de , o valor da frequência natural ( ) diminui assim como o valor do número de
ondas circunferenciais ( ). Já quando se aumenta o valor do , o valor de
aumenta, mas o valor da frequência natural diminui.
Para melhor elucidar o parágrafo precedente, apresenta-se na Figura 5.8 uma
visão comparativa das diversas geometrias analisadas bem como as conclusões
quanto aos valores de e (cresce ( ) ou decresce ( )), tomando como
referência o modelo I. Esta variação é similar para todos os .
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 91
Figura 5.8 – Cilíndros estudados com suas respectivas variações de e
A seguir, efetua-se a análise não linear, tendo como valores iniciais das
frequências naturais no método de Newto-Raphson os valores presentes na Tabela
5.3.
A Figura 5.9 exibe a relação entre a frequência e a maior e mais
significativa amplitude modal para cada modelo da Tabela 5.2 e para .
Para observar melhor a influência da geometria no grau de não linearidade,
apresenta-se na Figura 5.10 a variação da amplitude modal em função da
frequência adimensional ⁄ Para melhor entender a Figura 5.10 e as
posteriores, Figuras 5.12 e 5.14, deve-se ter em conta que para estes gráficos o
é a frequência não linear e o é a frequência linear.
Nos modelos III, IV e VII as frequências diminuem conforme a amplitude
modal aumenta, já os modelos I, II e III apresentam um comportamento não
linear com ganho de rigidez. O modelo VI apresenta um comportamento quase
linear. Enquanto o modelo II apresenta o maior ganho de rigidez, o modelo IV
apresenta a maior perda de rigidez. Estes resultados mostram a grande influência
da geometria na relação frequência-amplitude associada à frequência miníma.
Cabe lembrar que o número de ondas circunferênciais é diferente em cada caso.
Na verdade, o modelo VI, de certa forma, mescla as características dos
outros modelos, porque se inicia com a diminuição da frequência natural
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 92
conforme a amplitude cresce e, em um determinado momento, a frequência
deixa de diminuir e começa a crescer conforme mantem seu crescimento, como
mostra a Figura 5.9. Observa-se no modelo VI que para uma mesma frequência
natural pode haver duas amplitudes modais.
As relações geométricas escolhidas permitem algumas conclusões sobre a
influência da geometria sobre o grau e tipo de não linearidade da casca. Os
modelos I, II, IV e VII têm a mesma relação ⁄ ( ⁄ ) e diferentes
valores de ⁄ (veja Fig. 5.8). Observa-se que a casca mais curta ( ⁄ ,
modelo IV) apresenta a maior perda de rigidez. À medida que ⁄ cresce, ou seja,
a casca se torna mais longa, a não linearidade decresce e, a partir de certo valor,
passa a apresentar ganho de rigidez, sendo o modelo II ( ⁄ , casca longa)
aquele que apresenta maior ganho de rigidez. Ao se comparar as curvas para os
modelos II e V que apresentam o mesmo ⁄ ( ⁄ ), observa-se que
ambos os modelos apresentam ganho de rigidez sendo que a maior não linearidade
ocorre para o modelo com maior relação ⁄ . Comparando agora os modelos III
e IV que apresentam ⁄ , observa-se que ambos apresentam perda de
rigidez, sendo que o modelo com maior perda de rigidez é aquele com a menor
relação ⁄ . Conclue-se, pois, que para o mesmo ⁄ a curva tende para a direita
à medida que a relação ⁄ aumenta (a casca se torna mais fina, tendendo para
uma membrana). Cabe lembrar que a relação entre rigidez de membrana e flexão
( ⁄ ) é nas equações adimensionais proporcional a ( ⁄ ) (Gonçalves, 1987).
Estas conclusões idependem dos valores de utilizados neste estudo paramétrico
(0,5, 1 e 5) , ou seja, da gradação dos dois materiais ao longo da espessura, como
mostram os resultados das Figuras 5.11 a 5.14.
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 93
1686 1688 1690 1692 1694 1696
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo I para k=0,5
(a)
832 836 840 844 848
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo II para k=0,5
(b)
1202 1204 1206 1208
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo III para k=0,5
(c)
3300 3320 3340 3360 3380 3400
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo IV para k=0,5
(d)
2320 2330 2340 2350
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo V para k=0,5
(e)
1452.6 1452.7 1452.8 1452.9 1453
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo VI para k=0,5
(f)
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 94
2312 2316 2320 2324 2328
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo VII para k=0,5
(g)
Figura 5.9 – Relação não linear frequência-amplitude para o
0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Casca cilíndirca com MGF para k=0,5Modelo I
Modelo II
Modelo III
Modelo IV
Modelo V
Modelo VI
Modelo VII
Figura 5.10 – Relação não linear frequência-amplitude em função de ⁄ para
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 95
1672 1674 1676 1678 1680 1682
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo I para k=1
(a)
824 828 832 836 840
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo II para k=1
(b)
1192 1194 1196 1198
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo III para k=1
(c)
3280 3300 3320 3340 3360 3380
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo IV para k=1
(d)
2300 2310 2320 2330
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo V para k=1
(e)
1440.2 1440.4 1440.6 1440.8 1441
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo VI para k=1
(f)
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 96
2292 2296 2300 2304 2308
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo VII para k=1
(g)
Figura 5.11 – Relação não linear frequência-amplitude para
0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Casca cilíndirca com MGF para k=1Modelo I
Modelo II
Modelo III
Modelo IV
Modelo V
Modelo VI
Modelo VII
Figura 5.12 – Relação não linear frequência-amplitude para
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 97
1644 1646 1648 1650 1652 1654
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo I para k=5
(a)
808 812 816 820 824
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo II para k=5
(b)
1172 1174 1176 1178
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo III para k=5
(c)
3220 3240 3260 3280 3300 3320
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo IV para k=5
(d)
2260 2265 2270 2275 2280 2285 2290
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo V para k=5
(e)
1416.4 1416.5 1416.6 1416.7 1416.8
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo VI para k=5
(f)
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 98
2256 2260 2264 2268 2272
w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Modelo VII para k=5
(g)
Figura 5.13 – Relação não linear frequência-amplitude para
0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
Casca cilíndirca com MGF para k=5Modelo I
Modelo II
Modelo III
Modelo IV
Modelo V
Modelo VI
Modelo VII
Figura 5.14 – Relação não linear frequência-amplitude para o
Deve-se ter em mente que, para uma dada geometria, a não linearidade
depende do modo de vibração. As Figuras 5.16 a 5.18 mostram, respectivamente,
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 99
para os modelos III e VI a influência do número de ondas circunferencias na
relação frequência-amplitude.
Considerando o modelo III, a Figura 5.15 mostra como varia a frequência
natural linear com número de ondas circunferenciais para diversos valores de
Observa-se nas Figuras 5.16 a 5.18 que à medida que diminui a perda de rigidez
e consequentemente o grau de não linearidade da resposta aumenta. Assim, a não
linearidade da estrutura sob vibração forçada depende da frequência da excitação.
12 13 14 15 16
n
1160
1200
1240
1280
1320
Frequência
MGFk=0,5
k=1
k=5
Figura 5.15 – Variação das frequência natural linear em função de para com
diferentes tipos de (modelo III).
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 100
0.992 0.994 0.996 0.998 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
MGF para k=0,5n=12
n=13
n=14
n=15
n=16
Figura 5.16 – Influência do número de ondas circunferenciais n na relação não linear
frequência-amplitude para o Modelo III e
0.992 0.994 0.996 0.998 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
MGF para k=1n=12
n=13
n=14
n=15
n=16
Figura 5.17 – Influência do número de ondas circunferenciais n na relação não linear
frequência-amplitude para o Modelo III e
DBD
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 101
0.992 0.994 0.996 0.998 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
MGF para k=5n=12
n=13
n=14
n=15
n=16
Figura 5.18 – Influência do número de ondas circunferenciais n na relação não linear
frequência-amplitude para o Modelo III e
Verifica-se nas Figuras 5.16 a 5.18 que, conforme se aumenta o o grau de
não linearidade diminui, independente do valor de k.
A seguir estuda-se a influência de um carregamento estático inicial nas
frequencias naturais e na relação frequência-amplitude. Considera-se ou uma
carga crítica axial ou uma pressão lateral, carregamentos mais usuais em cascas
cilíndricas. O procedimento de cálulo é semelhante ao caso anterior. As cargas
críticas e frequências naturais são obtidas para três valores de parâmetros (0,5, 1
e 5). Empregando-se agora as Equações (2.32) no mesmo processo descrito ao
decorrer deste capítulo, calculam-se as frequências naturais para carregamentos de
0%, 20%, 40%, 60%, 80% e 100% das cargas crítica axial e lateral.
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 102
0 400 800 1200
w
0
40000
80000
120000
P
Modelo IIIk=0,5
Pcr=126111,1627
Rigidez nula (instável)
Rigidez máxima
(a)
0 400 800 1200
w
0
40000
80000
120000
P
Modelo IIIk=1
Pcr=125774,456
Rigidez nula (instável)
Rigidez máxima
(b)
0 400 800 1200
w
0
40000
80000
120000
P
Modelo IIIk=5
Pcr=125102,9874
Rigidez nula (instável)
Rigidez máxima
(c)
Figura 5.19 – Variação da frequência natural mínima em função da carga axial para o
Modelo III e três valores de (0,5, 1 e 5) (carga em Newton – N).
A Figura 5.19 mostra a variação da frequência natural mínima em função de
uma carga axial compressiva para o Modelo III e três valores de (0,5, 1 e 5).
Observa-se que, para cada , a frequência natural descresce à medida que a carga
axial compressiva cresce e torna-se zero quando se atinge a carga crítica e ocorre
a perda de estabilidade da estrutura. Este decréscimo deve-se à diminuição da
rigidez efetiva da casca (rigidez-rigidez geométrica) que diminui com a carga e se
torna nula quando a carga atinge o valor crítico.
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 103
0.94 0.96 0.98 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1F
2
k=0,50% Pcr
20% Pcr
40% Pcr
60% Pcr
80% Pcr
(a)
0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=0,50% qcr
20% qcr
40% qcr
60% qcr
80% qcr
(b)
0.992 0.994 0.996 0.998 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=0,50% qcr
20% qcr
40% qcr
60% qcr
80% qcr
(c)
0.94 0.96 0.98 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=10% Pcr
20% Pcr
40% Pcr
60% Pcr
80% Pcr
(d)
0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=10% qcr
20% qcr
40% qcr
60% qcr
80% qcr
(e)
0.992 0.994 0.996 0.998 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=10% qcr
20% qcr
40% qcr
60% qcr
80% qcr
(f)
0.94 0.96 0.98 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=50% Pcr
20% Pcr
40% Pcr
60% Pcr
80% Pcr
(g)
0.995 1 1.005 1.01 1.015 1.02
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=50% qcr
20% qcr
40% qcr
60% qcr
80% qcr
(h)
0.992 0.994 0.996 0.998 1
w/wo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
F2
k=50% qcr
20% qcr
40% qcr
60% qcr
80% qcr
(i)
Figura 5.20 – Influência do carregamento na relação não linear frequência-amplitude. (a, d, g) Carregamento axial compressivo. (b, e, h) pressão lateral interna (tração). (c, f, i) pressão lateral externa (compressão).
Na análise da Figura 5.20 o cilíndro está submetido a um carregamento
estático de compressão axial (Figuras a, d e g), pressão lateral interna (Figuras b, e
e h) e pressão lateral externa (Figuras c, f e i). Observa-se que um carregamento
que gere um estado de tensões de compressão, à medida que o carregamento se
aproxima do valor crítico, a não linearidade se torna mais acentuada. Já a pressão
lateral interna que gera um estado de tensões de tração tende inicialmente a
diminuir a não linearidade da resposta e, a partir de uma certa carga de tração, a
frequência passa a aumentar à medida que a amplitude modal aumenta. Verifica-
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 104
se que a inclusão do efeito de um pré-carregamento estático é essencial para
avaliar corretamente o comportamento não linear de cascas esbeltas.
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 105
6
Conclusões e sugestões
Estudou-se neste trabalho o comportamento linear e não linear de cascas
cilíndricas com gradação funcional.
A comparação dos resultados da análise linear com os resultados
encontrados na literatura para cascas de material homogêneo e com gradação
funcional demonstram a precisão dos resultados aqui obtidos usando as teorias de
Donnell e Sanders.
Para o material com gradação funcional, verifica-se que a gradação dos
materiais constituinte envolvidos tem grande influência no valor das frequências
assim como das cargas críticas, tanto para as cargas axiais quanto para as cargas
laterais. Esta variação é basicamente devida à diferença entre os módulos de
elasticidade dos dois materiais.
O método de Galerkin foi usado para discretizar o sistema contínuo e as
amplitudes modais foram obtidas pelo método de Newton-Raphson, o qual se
mostrou conveniente por permitir obter as respostas com poucas iterações.
Os resultados não lineares ratificam a importância do acoplamento modal
não linear na resposta da casca com os modos não clássicos apresentando
amplitudes diferentes de zero.
O estudo paramétrico mostra que a geometria tem influência significativa na
forma do modo de vibração da casca associado à frequência mínima, em particular
no número de ondas circunferenciais.
Verifica-se também que a geometria tem influência significativa na relação
não linear frequência-amplitude. Os resultados demonstram que, dependendo da
geometria, cascas cilíndricas podem apresentar uma diminuição das frequências
com a amplitude, ou seja, uma perda de rigidez à medida que sua amplitude de
vibração aumenta, ou um ganho de rigidez.
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 106
A casca quanto mais curta, mais apresenta perda de rigidez, sendo esta
relação governada pelo parâmetro adimensional ⁄ Logo, conclui-se que,
quanto menor esta relação, mais perda de rigidez a estrutura apresenta. Para
cascas longas, relação ⁄ alta, a relação não linear frequência-amplitude
monstra um ganho de rigidez. Caso duas cascas tenham a mesma relação ⁄ a
que terá mais ganho de rigidez será a que possuir a maior relação ⁄ . O valor de
tem pequena influência na relação não linear frequência-amplitude.
Para uma dada geometria, quanto menor o número de ondas
circunferenciais, mais a estrutura tende a perder rigidez, aumentando assim a não
linearidade do sistema.
Os resultados mostram que uma carga estática tem grande influência na
frequência natural e na relação não linear frequência-amplitude. Para cargas axiais
compressivas e pressão externa, quanto maior o carregamento, menor é a
frequência natural mínima, tornando-se esta nula quando a carga atinge o valor
crítico. A influência destes carregamentos também é grande no comportamento
não linear. Quanto mais próximo do valor crítico, maior é a perda de rigidez
estrutural.
Todavia, se a estrutura estiver submetida a uma carga de tração, tem-se um
ganho de rigidez com relação à estrutura descarregada.
Por fim, com base nesta pesquisa, podem-se sugerir alguns estudos
posteriores, como:
Estudo da vibração forçada de cascas com gradação funcional, com
ênfase no comportamento dinâmico não linear;
Análise da influência da temperatura em cascas cilíndricas com
MGF;
Analisar a estrutura sob condições de contorno diferentes;
A análise experimental das vibrações não lineares de cascas
cilíndricas com gradação funcional.
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Vibrações livres não lineares de cascas cilíndricas com gradação funcional 107
7
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