1.1.4. Superficie Extendida La cantidad de calor que disipa un cuerpo a un medio fluido depende de su temperatura y área de transferencia de calor: cuando no puede modificar la superficie del cuerpo, extendiéndola mediante el uso de “aletas”: estas aletas tiene diversas formas y tamaños que pueden adaptarse a superficies ya sean planas, cilíndricas, esféricas u otras. El cálculo de dichas aletas debe realizarse en forma teórica, concluyendo este estudio con el concepto práctico de la “eficiencia de aletas”, cuya utilización es muy rápida y efectiva dentro de la ingeniería moderna. Diversos tipos de aletas se muestran n las figuras 1.1.4.a. y 1.1.4.b.
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1.1.4. Superficie Extendida
La cantidad de calor que disipa un cuerpo a un medio fluido depende de su
temperatura y área de transferencia de calor: cuando no puede modificar la
superficie del cuerpo, extendiéndola mediante el uso de “aletas”: estas aletas
tiene diversas formas y tamaños que pueden adaptarse a superficies ya sean
planas, cilíndricas, esféricas u otras.
El cálculo de dichas aletas debe realizarse en forma teórica, concluyendo este
estudio con el concepto práctico de la “eficiencia de aletas”, cuya utilización es
muy rápida y efectiva dentro de la ingeniería moderna.
Diversos tipos de aletas se muestran n las figuras 1.1.4.a. y 1.1.4.b.
1.1.4.1. Clasificación de las Superficies Extendidas
Las superficies extendidas son muy diversas y cuando más complicadas son, más
difícil de obtener un modelo matemático de cálculo; la clasificación que
presentamos en la figura 1.1.4.1 se refiere a superficies extendidas que poseen
modelos matemáticos de cálculo.
Tipo de Aletas Nº Perfil Nombre Tipo de Sección
RE
CT
AS
1 RECTANGULAR Recta Constante
2 PARABÓLICA Recta Variable
3 PIRAMIDAL Recta Variable
4 HIPERBÓLICA Recta Variable
CIR
CU
LAR
ES
5 RECTA Curva Variable
6 HIPERBÓLICA Curva Variable
SE
CC
IÓN
CIR
CU
LAR
(ES
PIN
AS
)
7 CILÍNDRICA Circular Constante
8 PARABÓLICA Circular Variable
9 CÓNICA Circular Variable
10 HIPERBÓLICA Circular Variable
1.1.4.2. Ecuación General para Superficies Extendidas
Las superficies extendidas de uso práctico se caracterizan por lo siguiente:
El espesor de las aletas generalmente es pequeño, en consecuencia el
gradiente de temperaturas también es pequeño en esta dirección y el modelo
unidimensional es un método muy aproximado para su evaluación.
El material con el cual se los construye tiene una conductividad térmica
elevada a fin de transmitir mejor el calor.
La conductividad térmica para los metales y algunas aleaciones puede
considerarse constante.
Generalmente se les ubica del lado del fluido que tiene un coeficiente
pelicular pequeño.
La longitud de la aleta es relativamente grande con respecto a su espesor.
La hipótesis unidimensional nos ofrece un resultado diferente al
comportamiento real de una aleta. Por eso los cálculos con las ecuaciones no
son valores “exactos” para dichas aletas.
La hipótesis unidimensional implica que la temperatura en cada sección
recta sea constante.
La sección recta de la aleta puede ser constante o variable según las
necesidades de uso.
En consecuencia para la superficie extendida mostrada se puede escribir un
balance termodinámico a fin de obtener una ecuación general que nos permita
evaluar la distribución de temperaturas y el flujo de calor.
Balance Calor
+ = +
Matemáticamente
Con la serie de Taylor:
Remplazando en la ecuación matemática sin tomar en cuenta la
generación interna:
→
La ecuación general de conducción para superficies extendidas es:
Donde:
= Coeficiente combinado de transferencia de calor en .
= Área lateral de la superficie extendida en .
= perímetro del sólido diferencial en .
= Temperatura de la superficie exterior de la superficie extendida y
temperatura en toda la sección en la posición x en .
= Temperatura del medio fluido que rodea a la superficie extendida en .
Calor que ingresa por conducción por unidad de tiempo dθ
Calor generado por el cuerpo en el tiempo dθ
Calor que sale por conducción por unidad de tiempo dθ
Calor por convección y radiación en la superficie por unidad de tiempo dθ
1.1.4.3. Superficies Extendidas de Sección Recta Constante
En este tipo de superficies extendidas la sección recta puede adoptar diferentes
geometrías que pueden ser círculos, cuadrados, rectángulos, triángulos y
cualquier otra geometría que podamos imaginar siempre y cuando sea constante
a todo lo largo de la aleta.
En la figura indicamos un caso genérico que nos ilustra las características de este
tipo de superficies extendidas donde el perímetro “ ” es un valor constante.
La Ecuación Diferencial
La ecuación de Fourier:
Reemplazando en la ecuación general de conducción:
Si en la “superficie” de sección recta constante el perímetro , el área de la
sección recta y la conductividad térmica , se mantienen constantes,
entonces la ecuación diferencial puede escribirse de la siguiente manera:
La Ecuación de Distribución de Temperaturas
Haciendo:
La solución de la ecuación diferencial es:
Condiciones de Contorno:
Reemplazando en la ecuación integrada se tiene:
Resolviendo se encuentran las constantes de integración:
Reemplazando en la ecuación integrada se obtiene la ecuación de
distribución de temperaturas:
La Temperatura Mínima
Entonces:
Nota.- La temperatura mínima se obtiene reemplazando en la ecuación de
distribución el valor de “x” por “ ” entonces: de la aleta.
Las Ecuaciones para el Flujo de Calor
Flujo de calor en :
Si el gradiente de temperaturas es:
Reemplazando en la ecuación de Fourier:
Flujo de calor en :
Si el gradiente de temperaturas es:
Reemplazando en la ecuación de Fourier:
Flujo de Calor al Medio Periférico
Si: →
Con: , constantes →
Si:
→
Integrando:
Con: , usando , y simplificando, se obtiene:
1.1.4.4. Casos Particulares
En la práctica existen superficies extendidas cuyas características son
particulares, en ellas se usan ecuaciones simplificadas en forma más directa.
Existen 3 casos particulares simples y de utilidad práctica, cuyas ecuaciones
también pueden reducirse a partir de las ecuaciones de distribución de
temperaturas y flujo de calor. Estos casos particulares son:
a) Superficies extendidas de longitud infinita.
b) Superficies extendidas con un extremo adiabático.
c) Superficies extendidas en las cuales se considera el calor perdido en el
extremo libre, en contacto con el fluido.
En la figura 1.1.4.4. se muestran estas superficies extendidas.
a)
b)
c)
Superficies Extendidas de Longitud Infinita
Sea una superficie extendida de sección recta constante de longitud , con
temperaturas en sus contornos y ; como se muestra en la figura
1.1.4.4., para lo cual calcularemos la distribución de temperaturas y el flujo de
calor.
Ecuación de Distribución de Temperaturas
Utilizando la ecuación generalizada con la condición, para ,
se obtiene:
Ordenando la ecuación en forma conveniente:
Y si entonces: y
y
En consecuencia la distribución de temperaturas es:
Ecuaciones para el Flujo de Calor
El calor disipado por la superficie extendida se disipa por la superficie lateral “S” y
este calor ingresa por la raiz de la superficie extendida.
En consecuencia puede calcularse de dos maneras:
Usando el Flujo de Calor Conducido en la Raiz
Para la condición la ecuación de conducción se reduce a:
Multiplicando y dividiendo por para levantar la indeterminación cuando
Cuando , entonces:
Por lo tanto:
Usando el Flujo de Calor Convectivo en el Área Lateral de la Sauperficie
Extendida
,
Usando
El término y con se tiene:
Nota: El mismo resultado se obtiene reduciendo la ecuación general de calor
para la superficie extendida.
MAGNITUDES SELECCIONADAS DE LAS FUNCIONES BESSEL
Z Io(z) I1(z) 2 K0(z)/π 2 K1(z)/π
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6.0
6.2
6.4
6.6
6.8
7.0
7.2
7.4
7.6
7.8
8.0
8.2
8.4
8.6
8.8
9.0
9.2
9.4
9.6
9.8
10.0
1.0000
1.0100
1.0101
1.0920
1.1665
1.2661
1.3937
1.5534
1.7500
1.9896
2.2796
2.6291
3.0193
3.5533
4.1573
4.8808
5.7472
8.7818
9.0277
9.5160
11.3019
13.4425
16.0104
19.0926
22.7937
27.2399
32.5836
39.0088
46.7376
56.0381
67.2344
80.7200
96.9800
116.5400
140.1400
168.6000
202.9000
244.3000
294.3000
354.7000
427.6000
515.6000
621.9000
750.5000
905.8000
1093.6000
1320.7000
1595.3000
1927.0000
2329.0000
*********
0.0000
0.1005
0.2010
0.3137
0.4329
0.5652
0.7147
0.8661
1.0810
1.3172
1.5986
1.9141
2.2901
2.7534
3.3011
3.9534
4.7313
5.6701
6.7927
8.1404
9.7585
11.7056
14.0462
16.8626
20.2528
24.3356
29.2543
35.1821
42.3283
50.9462
61.6419
73.8000
89.0300
107.3000
129.3800
156.0400
188.3000
227.2000
274.2000
331.1000
399.9000
483.0000
583.7000
705.4000
852.7000
1030.9000
1246.7000
1507.9000
1624.0000
2207.0000
*********
Infinito
1.1160
0.7095
0.4950
0.3599
0.2680
0.2028
0.15512
0.11966
0.09290
0.07251
0.05683
0.01170
0.08527
0.02790
0.02212
0.017568
0.013978
0.011141
0.028891*
0.027185
0.025643
0.024551
0.023648
0.022927
0.022350
0.021888
0.021518
0.021221
0.069832
0.087920
0.036382
0.035156
0.034151
0.033350
0.032704
0.032184
0.031765
0.031426
0.031153
0.049325
0.047543
0.046104
0.044941
0.044000
0.043239
0.042624
0.042126
0.0417226
0.0413962
0.0411319
Infinito
3.0100
1.3910
0.8294
0.5185
0.3832
0.2767
0.2013
0.15319
0.11626
0.08904
0.06869
0.00533
0.01156
0.03254
0.02556
0.02014
0.015915
0.012602
0.029999*
0.027947
0.026327
0.025044
0.024027
0.023218
0.022575
0.022062
0.021653
0.021326
0.021065
0.038556
0.036879
0.035534
0.034455
0.033588
0.032891
0.032331
0.031880
0.0311517
0.0312250
0.049891
0.047991
0.046458
0.045220
0.044221
0.043415
0.042763
0.0422360
0.0418100
0.0414360
0.0411870
En las columnas para K0(z) y K1(z) desde estos puntos hacia abajo las cifras ubicadas en los centésimos indica el # de ceros después del punto decimal.
Ejercicio
Con la finalidad de mantener un sistema a 400°C, es necesario disipar por lo
menos 180 Watt. Si se sabe que el otro ectremo se encuentrra mantenido a
100°C , por otro sistema como se muestra en la figura.
a) Verificar si se dsipan por lo menos 180 Watt, procedentes del sistema a
400°C.
b) Calcular cuanto es disipado hacia el aire.
c) Calcular cuanto es disipado al medio a 100°C.
Barra extendida cilíndrica:
Conductividad térmica:
Coeficiente pelicular superficie – aire:
Longitud:
Temperatura del aire:
Solucion:
Ubicando la superficie extendida en un eje de coordenadas se tiene:
Calculo del calor disipado por el sistema a 400 ºC
Si ;
→
→
→
→
Reemplazando valores
Luego el sistema a 400ºC disipa 210.86 W > 180 W, en consecuencia es
conforme esta condición.
Calculo del calor entregado al aire:
Reemplazando valores:
Calculo del calor disipado al medio a 100ºC
El calor disipado al medio a 100ºC es la diferencia de ambos calores
→
Este calor puede ser también obtenido mediante la expresión y el
resultado es el mismo
Problema
El sistema de sujeción para la galvanización de tubos consta de tres cables de
2cm de diámetro como muestra la figura. Cuando se sumerge el sistema en el
baño de zinc, calcular:
a) La temperatura en la intersección de los tres cables.
b) El calor que pierde la cuba de zinc por intermedio de los cables de
sujeción.
Coeficiente combinado entre el cable y el aire:
Temperatura ambiente:
Conductividad termica del cable:
Temperatura del baño de zinc:
Solucion:
Usando los siguientes sistemas coordenados:
Balance de Calor en el Sistema
Si:
Cable con Eje y
→
Cable con Eje x
Calculo del Calor Conducido en y=o (Superficie extendida con extremo
adiabático)
… (A)
Calculo del Calor Conducido en x = 0 (Suprficies Ext. Con T1 y T2 = 400°C)
… (B)
Igualando las ecuaciones (A) y (B):
→
Cálculo del Calor en x = 0
→
Cálculo del Calor en x = L
El calor que pierde la cuba por los cables es:
→
Ejercicio
Comparar la disipación de calor por unidad de masa de aletas rectangulares con
pirámides, instaladas en una pared de 600 °C y el coeficiente combinado es de
. Para una temperatura ambiente de . Cualquiera de las
aletas tiene 3 cm de espesor en la base y 10 cm de altura; el material es acero
inoxidable ( ); determinar también las ecuaciones de distribución de
temperatura.
Solución:
Calculo de la aleta piramidal
Valor B:
El flujo de calor es:
Si:
Para 1 m de ancho:
Masa de la aleta por metro de ancho:
Calor por unidad de masa que disipa la aleta piramidal:
Calculo de la aleta rectangular:
Valor de m
Calor por unidad de masa que disipa la aleta recta
La masa de la aleta es el doble de la piramidal entonces:
1.1.4.5. Eficiencia de Aletas y Eficiencia de Superficies Aleteadas
a) Eficiencia de aletas
Se define la eficiencia de una aleta como la relación entre el calor teórico
entregado y el calor disipado como si la aleta estuviese a la temperatura de la
raíz. Matemáticamente:
Donde:
El calor teórico se calcula con cualquiera de las ecuaciones teóricas calculadas
con los modelos matemáticos anteriormente dados y el calor a la temperatura
máxima de la raíz es aquel calor convectivo como si toda la aleta estuviese a
dicha temperatura, con respecto al medio ambiente. Por ejemplo:
Aleta Genérica
Si
Aleta Particular
b) Eficiencia total de las superficies aleteadas
Para la superficie aleteada que se muestra, se observa que existen partes o
superficies que no tienen aletas y que también ceden calor al medio fluido,
entonces para una superficie aleteada el calor cedido al medio fluido esta
compuesto por el calor cedido por las aletas más el calor cedido por la superficie
que no posee aletas.
Matemáticamente se puede expresar asi:
Esta ecuación básica puede adoptar diferentes formas incluso en función de la
eficiencia de las aletas como sigue.
Calor Disipado por las Aletas
La eficiencia de aletas es:
Calor de la Superficie sin Aletas
El Calor Total Disipado es entonces
Si el calor disipado se le define en función de una eficiencia total se puede
escribir:
Igualando estas dos últimas expresiones se tiene:
Conclusion
Si se conoce el calor teórico y los otros parámetros de las aletas también pueden
conocerse entonces el calor a la temperatura máxima de la raíz en consecuencia
la eficiencia de la aleta. Estos resultados han sido procesados y llevados a tablas
o graficas, donde con las relaciones dimencionales pueden obtenerse las
eficiencias de las aletas mas conocidas. Al final de la sección las graficas 1.1.4.5
se muestran eficiencias de aletas resumidas en un solo grafico y además