ALE(211015)

8/18/2019 ALE(211015)

1/38

1.8 Pengenalan Transformasi Linear

1.9 Matriks Dari Suatu Transformasi Linear

Persamaan Linear Dalam Aljabar Linear

Aljabar Linear Elementer 2Matematika FMIPA UR

21 Oktober 2015

Universitas Riau

Aljabar Linear Elementer 2 Matematika FMIPA UR Persamaan Linear Dalam Aljabar Linear

http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

2/38



Overview

1 1.8 Pengenalan Transformasi Linear

2 1.9 Matriks Dari Suatu Transformasi Linear


http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

3/38



Transformasi

Definisi

Suatu transformasi (atau fungsi atau pemetaan) T dari Rn ke

Rm

merupakan suatu aturan yang mengatur untuk tiap-tiap vektor x ∈ Rn dan tiap-tiap vektor T (x ) ∈ Rm . Himpunan Rn

disebut domain T dan Rm disebut kodomain dari T , yang

dinotasikan T : Rn → Rm . Untuk setiap x ∈ Rn , maka T (x ) ∈ Rm disebut peta (image) dari x. Kemudian, himpunan

dari semua T (x ) disebut range dari T .


http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

4/38




http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

5/38



transformasi matriks

Pada bagian ini akan difokuskan pada kumpulan pemetaan

dengan perkalian matriks. Untuk setiap x ∈ Rn , T (x ) dihitungsebagai Ax dengan A merupakan matriks mxn , atau

dinotasikan dengan x → Ax . Disini, domain T (x ) adalah Rn

ketika A mempunyai n kolom dan kodomain dari T (x ) adalahR

m dan tiap-tiap kolom A mempunyai sebanyak m entri.

Sedangkan range T adalah himpunan semua kombinasi linear

dari kolom A, karena tiap-tiap pemetaan T (x ) berbentuk Ax .


P l T f i Li

http://goforward/http://find/http://goback/

8/18/2019 ALE(211015)

6/38



Contoh 1

Misalkan A = 1 −3

3 5−1 7

,

2−1

, b = 3

2−5

, c =

325

,

dan didefinisikan suatu transformasi T : R2 →→ R3 olehT (x ) = Ax , sehingga

T (x ) = Ax = 1 −33 5−1 7

x 1x 2

=

x 1 − 3x 23x 1 + 5x 2−x 1 + 7x 2

.

a. Temukan T (u ), peta u di bawah transformasi T ?

b. Temukan suatu x ∈ R2 yang petanya di bawah T adalah b ?

c. Apakah lebih dari satu x yang petanya di bawah T adalah

b ?

d. Tentukan jika c adalah range transformasi T .


1 8 P l T f i Li

http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

7/38



Solusi

a. Hitung T (u ) = Au =

1 −33 5−1 7

2

−1

=

51−9

b. Penyelesaian T (x ) = b untuk x . Yaitu, selesaikan Ax = b ,

atau 1 −33 5−1 7

x 1x 2

=

32−5

,Gunakan metode yang didiskusikan dalam bagian 1.4

untuk mereduksi baris matriks augmented :

1 −3 33 5 2−1 7 −5

∼

1 −3 30 14 −7

0 4 −2

∼


1 8 Pengenalan Transformasi Linear

http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

8/38



Solusi

1 −3 30 1 −0.50 0 0

∼ 1 0 1.50 1 −0.5

0 0 0

Karena itu x 1 = 1.5, x 2 = −0.5, dan 1.5

−0.5 . Peta dari x dibawah T ini diberikan oleh vektor b .

c. Untuk x sembarang yang petanya di bawah T adalah b

harus memenuhi Ax = b pada bagian b .. Dari reduksibaris pada bagian b . jelas bahwa

1 −33 5−1 7

x 1x 2

=

32−5

mempunyai solusi tunggal. Sehingga terdapat tepat satu x

di bawah T yang petanya adalah b .Aljabar Linear Elementer 2 Matematika FMIPA UR Persamaan Linear Dalam Aljabar Linear

http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

9/38

1 8 Pengenalan Transformasi Linear

8/18/2019 ALE(211015)

10/38




http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

11/38


8/18/2019 ALE(211015)

12/38





http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

13/38

g


Contoh 3

Misalkan A =

1 3

0 1

. Transformasi T : R2 → R2

didefinisikan oleh T (x ) = Ax disebut transfrmasi shear. Itudapat ditunjukkan, jika x merupakan titik-titik pembentuk

persegi, maka petanya berbentuk seperti jajargenjang.

Misalkan kita transformasikan titik

0

2

dan titik

2

2

, maka

1 30 1

02

=

62

. dan

1 30 1

22

=

82

.



http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

14/38

g




http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

15/38


Transformasi Linear

Definisi

Suatu transformasi (atau pemetaan) T adalah linear jika :

i. T (u + v ) = T (u ) + T (v ) untuk u , v dalam domain T.ii. T (cu ) = cT (u ) untuk skalar c dan u dalam domain T .

Catatan. Setiap transformasi matriks adalah transformasi

linear.



http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

16/38


Fakta

FaktaJika T adalah transformasi linear, maka

T (0) = 0

dan

T (cu + dv ) = cT (u ) + dT (v )

untuk setiap u dan v dalam domain T dan skalar c dan d.

Perumuman

T (c 1v 1 + ... + c p v p ) = c 1T (v 1) + ... + c p T (v p )



M ik D i S T f i Li

http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

17/38


Contoh 4

Diberikan suatu skalar r , didefinisikan T :R

2

→R

2

olehT (x ) = rx . T disebut kontraksi ketika 0 ≤≤ r ≤ 1 dan suatudilasi ketika r > 1. Misalkan r = 3, dan tunjukkan bahwa T adalah transformasi linear.

Solusi Misalkan u , v ∈ R2

dan misalkan c dan d adalah skalar.Maka

T (cu + dv ) = 3(cu + dv )

= 3cu + 3dv

= c (3u ) + d (3v )

= cT (u ) + dT (v )

Maka T adalah transformasi linear.



1 9 M t ik D i S t T f i Li

http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

18/38




1 9 Matriks Dari Suatu Transformasi Linear

http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

19/38


Contoh 5

Didefinisikan suatu transformasi linear T : R2 → R2 oleh

T (x ) = 0 −1

1 0

x 1

x 2 =

−x 2

x 1 .

Temukan peta di bawah transformasi T dari u =

4

1

,

v = 23, dan u + v = 6

4 .



1 9 Matriks Dari Suatu Transformasi Linear

http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

20/38


Solusi

T (u ) =

0 −1

1 0

4

1

=

−1

4

,

T (v ) =

0 −11 0

23

=

−3

2

, dan

T (u + v ) =

0 −1

1 0

6

4

=

−4

6

.


1.8 Pengenalan Transformasi Linear1 9 Matriks Dari Suatu Transformasi Linear

http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

21/38



1.8 Pengenalan Transformasi Linear1 9 Matriks Dari Suatu Transformasi Linear

http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

22/38


Contoh 6

Kolom dari

1 0

0 1

adalah e 1 =

1

0

dan e 2 =

0

1

.

Misalkan T adalah transformasi linear dariR

2

keR

3

sehingga

T (e 1) =

5−7

2

dan T (e 2) =

−38

0

Temukan suatu rumusan untuk peta dari sembarang x ∈ R2.


http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

23/38

1.8 Pengenalan Transformasi Linear1.9 Matriks Dari Suatu Transformasi Linear

8/18/2019 ALE(211015)

24/38

Solusi

Tulis

x =

x 1x 2

= x 1

1

0

+ x 2

0

1

= x 1e 1 + x 2e 2

Karena T adalah suatu transformasi linear, maka

T (x ) = x 1T (e 1) + x 2T (e 2)

= x 1 5−7

2

+ x 2 −3

80

= 5x 1 − 3x 2

−7x 1 + 8x 22x 1 + 0x 2



http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

25/38

Teorema

TeoremaMisalkan T : Rn → Rm merupakan transformasi linear. Maka terdapat matriks tunggal A sehingga

T (x ) = Ax untuk setiap x ∈ Rn .

Dalam fakta, A adalah matriks berordo mxn yang kolom ke j

nya adalah T (e j ), dengan e j adalah kolom ke-j matriks identitas pada Rn

a = [T (e 1)...T (e n )]

Catatan. Matriks A disebut matriks standar untuk transformasi

linear T .



http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

26/38

Contoh 7

Temukan matriks standar A untuk dilasi transformasi T (x ) = 3x untuk x ∈ Rn .

Solusi Tulis

T (e 1) = 3e 1 =

3

0

dan T (e 2) = 3e 2 =

0

3

. Maka

A = 3 00 3



http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

27/38

Contoh 8

Misalkan T : R2 → R2 adalah transformasi yang merotasitiap-tiap titik pada R2 dengan sudut α berlawanan arah jarum

jam. Jika titiknya adalah

1

0

dan

0

1

, temukan matriks

standarnya.

Solusi

1

0

dirotasi kedalam

cos α

sin α

dan

0

1

dirotasikan

kedalam

−sin α

cos α

. Sehingga matriks standarnya adalah

A =

cos α −sin α

sin α sin α



http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

28/38



http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

29/38

Geometri Transformasi Linear dari R2



http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

30/38



http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

31/38



http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

32/38



http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

33/38



http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

34/38



D fi i i

http://find/http://goback/

8/18/2019 ALE(211015)

35/38

Definisi

DefinisiPemetaan T : Rn → Rm dikatakan pada (onto) ke Rm jika untuk setiap b ∈ Rm merupakan peta setidaknya satu x ∈ Rn .



D fi i i

http://find/

8/18/2019 ALE(211015)

36/38

Definisi

DefinisiSuatu pemetaan T : Rn → R dikatakan satu-satu jika untuk setiap b ∈ Rm merupakan peta dari paling banyak satu x ∈ Rn



C t h 9


8/18/2019 ALE(211015)

37/38

Contoh 9

Misalkan T transformasi linear yang matriks standarnya adalah

A = 1 −4 8 10 2 −1 3

0 0 0 5

Apakah T pemetaan R4 ke R3?Apakah T pemetaan satu-satu?



T


8/18/2019 ALE(211015)

38/38

Teorema

TeoremaMisalkan T : Rn → Rm merupakan transformasi linear. Maka T satu-satu jika persamaan T (x ) = 0 hanya mempunyai solusi trivial.

Teorema

Misalkan T : Rn → Rm merupakan transformasi linear dan misalkan A adalah matriks standar untuk T . Maka :

a. T pemetaan yang pada dari Rn ke Rm jika dan hanya jika

kolom A span Rm .

b. T pemetaan satu-satu jika dan hanya jika kolom A bebas

linear.


ALE(211015)

Documents