Alberto Pettarin Federico Tramarin

Formule matematicheAmbienti matematiciFunzionalita avanzate

Bibliografia di riferimento

Il favoloso mondo di LATEX

Alberto Pettarin Federico Tramarin

Tutor Junior Ingegneria ∼ IEEE Student Branch PadovaDipartimento di Ingegneria dell’Informazione

Universita degli Studi di Padova

Seconda Lezione ∼ Prima PartePadova, 22 Aprile 2008

A. Pettarin, F. Tramarin (dei@unipd) Il favoloso mondo di LATEX Padova, 22 Aprile 2008 1/79



Non mi legga chi non e matematico nelli mia principi.Leonardo Da Vinci

Mathemata mathematicis scribuntur.Copernico

Et les Dieux en colere pour punir les humainsfirent venir sur la terre les Mathematiciens.

Anonimo graffitaro, Parigi 1968




Nota sul copyright

Gli autori rilasciano quest’opera nei termini previsti dalla licenzaCreative Commons 2.5 1.

Parte del materiale presentato in questo documento e stata trattada “Introduzione al mondo di LATEX”, corso su LATEX a cura delGruppo Italiano Utenti TEX (GUIT)2 e dalle guide dei pacchetticitati.

1http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/legalcode/2http://www.guit.sssup.it/


http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/legalcode/

http://www.guit.sssup.it/



Programma della lezione (prima parte)1 Formule matematiche

Nozioni di baseScrivere formule matematiche

2 Ambienti matematiciEquazioniMatrici e sistemiCasi e equazioni multilineaEquazioni con allineamento reciprocoDefinizioni, teoremi e dimostrazioni

3 Funzionalita avanzateOpzioni globali del pacchetto amsmathRiferimenti a oggetti matematiciFont matematiciGlifi impilati

4 Bibliografia di riferimentoA. Pettarin, F. Tramarin (dei@unipd) Il favoloso mondo di LATEX Padova, 22 Aprile 2008 4/79




A che punto siamo1 Formule matematiche








L’arte della tipografia matematica

Generalmente la scrittura di formule matematiche costituisce laparte piu complessa e delicata della stesura di un documentoscientifico. Proprio in questo particolare ambito, LATEX offre unaqualita tipografica allo stato dell’arte.

La sintassi per la scrittura di formule matematiche non eassolutamente difficile, richiede soltanto un minimo di pratica.





Scrivere le formule nel testo

LATEX applica parecchia cura nella spaziatura nelle formule. Eccoun cattivo esempio di come non vanno scritte:

Non e vero che 1+1=2 e 2-2=0, sono solo bugie.

Non e vero che 1+1=2 e 2-2=0, sono solo bugie.

Il modo corretto di scrivere le formule all’interno del testo e quellodi inserirle tra due $. . . $:

Non e vero che $1+1=2$ e $2-2=0$, sono solo bugie.

Non e vero che 1 + 1 = 2 e 2− 2 = 0, sono solo bugie.





Scrivere le formule nel testo

Se si inserisce la formula nel testo LATEX cerca di schiacciarla pernon aumentare l’interlinea:

Per primo Eulero intuı che $\sum i=1^+\infty\frac1n^2 = \frac\pi6$ sebbene non sia mairiuscito a darne una dimostrazione completa.

Per primo Eulero intuı che∑+∞

i=11i2

= π6 sebbene non sia mai

riuscito a darne una dimostrazione completa.





Centrare le formule

Per centrare la formula su una riga occorre inserira tra un doppio$$. . . $$ In questo caso lo sviluppo verticale sara maggiore:

Per primo Eulero intuı che $$\sum i=1^+\infty\frac1n^2 = \frac\pi6$$ sebbene non sia mairiuscito a darne una dimostrazione completa.

Per primo Eulero intuı che

+∞∑i=1

1

i2=π

6

sebbene non sia mai riuscito a darne una dimostrazionecompleta.





Centrare le formule

Per centrare la formula su una riga si usa l’ambientedisplaymath:

\begindisplaymath\sum i=1^+\infty i^-2=\frac\pi6\enddisplaymath

+∞∑i=1

i−2 =π

6





Un esempio vale piu di mille parole

inline display.tex













Esponenti

Per inserire un esponente si usa il comando ^ (accento circonflessoo circum):

$x^y$

xy

Nel caso di esponenti piu complessi si ricorre alle parentesi:

$x^y+1$

xy+1





Esponenti e deponenti in modalita testo

Il LATEX esiste anche la possibilita di scrivere esponenti e deponentifuori dal contesto di ambienti matematici con i comandi\textsuperscript e \ped:

Matlab\textsuperscript\textregistered e H\ped2O

Matlab R© e H2O





Indici

Per inserire un indice si usa il comando (underscore):

$x n$

xn

Nel caso di indici multipli si ricorre alle parentesi annidate:

x i j k

xijk

I caratteri diventano via via sempre piu piccoli: e sconsigliabilecreare piu di tre livelli di deponenti.





Frazioni

Per inserire una frazione si usa il comando \frac:

\begindisplaymath\frac11+d i

\enddisplaymath

1

1 + di





Frazioni

Il comando \frac puo anche essere annidato:

\begindisplaymath\fracx+\frac1xy+\frac1y

\enddisplaymath

x+ 1x

y + 1y

Attenzione!

Si possono scrivere anche frazioni continue (\cfrac), binomiali(\binom) e strutture simili in generale (\genfrac).





Radici

Per scrivere la radice si usa il comando \sqrt:

\begindisplaymath\sqrt[3+d]x+y+z

\enddisplaymath

3+d√x+ y + z





Sommatorie

Il simbolo di sommatoria si scrive con il comando \sum:

\begindisplaymath\sum i=1^\infty

\enddisplaymath

∞∑i=1





Limiti

I limiti si scrivono con il comando \lim:

\begindisplaymath\lim i \to \infty

\enddisplaymath

limi→∞





Deponenti e esponenti su piu righe

Utilizzando il comando \substack e possibile ottenere deponentied esponenti multiriga:

\sum \substack0\leq i\leq 1+m+m^2\\0<j<nT(i,j)

∑0≤i≤1+m+m2

0<j<n

T (i, j)

Attenzione!

Per allineare a sinistra anziche centrato, utilizzare un’ambientesubarray.





Integrali

Il segno di integrale si scrive con il comando \int:

\begindisplaymath\int 0^\pix\,dx

\enddisplaymath

∫ π

0x dx

Attenzione!

Il \, serve per inserire uno spazio prima del dx





Operatori

Moltissimi operatori matematici sono gia definiti in LATEX: adesempio, seno e coseno si ottengono con i comandi \sin e \cos:

\begindisplaymath\cos2x=\frac1-\sin^2x2

\enddisplaymath

cos 2x =1− sin2 x

2

Le espressioni \sin^2x e \sin^2x sono identiche.





Operatori predefiniti

\arccos\arcsin\arctan\arg\bmod\cos\cosh\cot\coth\csc\deg\det\dim\exp

\gcd\hom\inf\injlim\ker\lg\lim\liminf\limsup\ln\log\max\min\mod

\pmod\pod\Pr\projlim\sec\sin\sinh\sup\tan\tanh\varinjlim\varliminf\varlimsup\varprojlim





Operatori predefiniti

Per scrivere dei nomi di funzioni, conviene utilizzare i comandioperatore anziche digitarne direttamente il nome, perche la resagrafica e nettamente superiore. Confronta:

\arccos \left( x^3 +1 \right)

arccos(x3 + 1

)

arccos \left( x^3 + 1\right)

arccos(x3 + 1

)





Operatori in italiano

Se si vogliono gli operatori in italiano, ad esempio sen x, bisognaaggiungere nel preambolo una dichiarazione di nuovo operatorematematico:

\DeclareMathOperator\sensen

Nel corpo del documento sara quindi possibile utilizzaredirettamente:

$\senx$

senx





Testo dentro una formula

Nel caso in cui occorra inserire del testo all’interno di una formulaquest’ultimo deve essere dichiarato con il comando \text:

\begindisplaymath\forall x\in\phi\text si ha x^2=1

\enddisplaymath

∀x ∈ φ si ha x2 = 1





Parentesi automatiche

Per ottenere delle parentesi che si adattano alle dimensioni diquello che contengono si usa \left( e \right) e analogamenteper quadre e graffe.

Attenzione

Le graffe sono un carattere riservato quindi si scrive \left\ e\right\

Da utilizzare per elementi di “grosse” dimensioni quando non se neconosce la dimensione (matrici, casi,. . . ).





Parentesi

Si possono usare parentesi di diverse dimensioni (anche se esconsigliato!):

( x )\bigl( x \bigl)

\Bigl( x \Bigl)

\biggr( x \biggr)

\Biggr( x \Biggr)

(x)(x)(x)

(x

)(x

)





Parentesi

Un esempio di parentesi grande.

\begindisplaymath\Biggl(\frac1n+1\Biggr)\^2

\enddisplaymath

(1

n+ 1

)2

Ovviamente \Bigl accetta anche parentesi quadre e graffe.





Alcune lettere greche

Scrivere lettere greche all’interno di ambienti matematici eestremamente semplice. Alcuni esempi:

\alpha\beta...\pi\omega

αβ. . .πω

\xi\Xi\psi\Psi

ξΞψΨ





Simboli matematici

LATEX mette a disposizione una collezione pressoche completa disimboli matematici. Questi di seguito costituiscono solo unafrazione infinitesima di quelli disponibili.

$\leftarrow$$\curvearrowleft$$\looparrowleft$$\precsim$$\gnapprox$

←x"-

Attenzione!

Per utilizzare i simboli matematici piu comuni, e necessariocaricare il pacchetto amssymb. E utile dotarsi di una reference cardo della guida symbols-a4.pdf.






comandi mat base.tex

symbols-a4.pdf




EquazioniMatrici e sistemiCasi e equazioni multilineaEquazioni con allineamento reciprocoDefinizioni, teoremi e dimostrazioni









Scrivere le equazioni

L’ambiente equation permette di numerare le equazioni:

\beginequationF(x):= \int -\infty\textasciicircum x f(t)\,dt

\endequation

F (x) :=

∫ x

−∞f(t) dt (1)

Attenzione!

Per utilizzare questo ambiente e necessario caricare il pacchettoamsmath.





Scrivere le equazioni

Con il simbolo * le equazioni non vengono piu numerate:

\beginequation*F(x):= \int -\infty^x f(t)\,dt

\endequation*

F (x) :=

∫ x

−∞f(t) dt













Gli ambienti per le matrici

Matrici senza parentesi:

matrix

Matrici con parentesi tonde (con delimitatori ( )):

pmatrix

Matrici con parentesi quadre (con delimitatori [ ]):

bmatrix

Matrici con parentesi graffe (con delimitatori ):

Bmatrix





Gli ambienti per le matrici

Matrici con barre verticali (con delimitatori | |):

vmatrix

Matrici con doppie barre verticali (con delimitatori || ||):

Vmatrix

Matrici di piccola dimensione (per essere facilmente inserite neltesto):

smallmatrix





Scrivere matrici senza parentesi

\begindisplaymath\beginmatrix

1-x & 2 \\3 & 4-x

\endmatrix\enddisplaymath

1− x 23 4− x





Esempio: matrice con parentesi tonde e puntini

\begindisplaymath\beginpmatrix

a 11 & a 12 & \dots & a 1n\\a 21 & a 22 & \dots & a 2n\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a n1 & a n2 & \dots & a nn\\

\endpmatrix\enddisplaymath

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann





L’ambiente array

Viene utilizzato per scrivere sistemi di equazioni:

\begindisplaymath\beginarrayl

x+y+z=0\\2x-y=1\\y-4z=-3

\endarray\enddisplaymath

x+ y + z = 02x− y = 1y − 4z = −3





L’ambiente array

I comandi \left\ e \right\. aggiungono una graffa solo asinistra (utile per i sistemi):

\begindisplaymath\left\\beginarrayl

x+y+z=0\\2x-y=1\\y-4z=-3

\endarray\right.\enddisplaymath

x+ y + z = 02x− y = 1y − 4z = −3













L’ambiente cases

Viene utilizzato per scrivere definizioni costituite per casi:

\begindisplaymathf(n):=\begincases

2n+1 & \textse $n$ e dispari,\\n/2 & \textse $n$ e pari.\\

\endcases\enddisplaymath

f(n) :=

2n+ 1 se n e dispari,n/2 se n e pari.





L’ambiente multline

Viene utilizzato per scrivere per un’equazione da dividere in piurighe, senza particolari allineamenti:

\beginmultlinef=a+b+c+d+e+g+h \\+i+k+l+m+n+o+\\+p+q+r+s+t+u+v

\endmultline

f = a+ b+ c+ d+ e+ g + h

+ i+ k + l +m+ n+ o+

+ p+ q + r + s+ t+ u+ v (2)













L’ambiente align

Viene utilizzato per per gruppi di due o piu equazioni quando erichiesto allineamento reciproco (modelli LP, algebra,. . . ):

\beginalignx&=y & X&=Y & X&=X+Y\\q&=w & Q&=W & Q&=Q+W\\e&=f & E&=F & E&=E+F\endalign

x = y X = Y X = X + Y (3)

q = w Q = W Q = Q+W (4)

e = f E = F E = E + F (5)





L’ambiente align*

La versione asteriscata sopprime la numerazione:

\beginalign*\min\quad &x 1 + &x 2\\&x 1 + 3 &x 2 &\geq 0\\7&x 1 - &x 2 &\geq 0\\&x 1, &x 2 &\geq 0\endalign*

\beginalign*\min\quad &x 1 & + x 2\\&x 1 & + 3 x 2 &\geq 0\\7&x 1 & - x 2 &\geq 0\\&x 1,& x 2 &\geq 0\endalign*

min x1+ x2

x1 + 3 x2 ≥ 0

7x1− x2 ≥ 0

x1, x2 ≥ 0

min x1 +x2

x1 +3x2 ≥ 0

7x1 −x2 ≥ 0

x1, x2 ≥ 0













Il comando \newtheorem

Per definire ambienti del tipo definizione, teorema, corollario,ecc. . . bisogna definire un nuovo ambiente per ciascun tipo sivoglia utilizzare.

\newtheoremdefinDefinizione\newtheoremteoreTeorema\newtheoremcorolCorollario

Se volessimo aggiungere alla numerazione progressiva anche ilnumero di sezione, potremmo usare il parametro opzionale:

\newtheoremdefinsecDefinizione[section]\newtheoremteoresecTeorema[section]\newtheoremcorolsecCorollario[section]






Otteniamo cosı:

\begindefinUna distribuzione si dice a supporto compatto se ilsuo supporto e compatto.\enddefin

Definizione 1 Una distribuzione si dice a supporto compattose il suo supporto e compatto.






Otteniamo cosı:

\begindefinsecUna distribuzione si dice a supporto compatto se ilsuo supporto e compatto.\enddefinsec

Definizione 2.5.1 Una distribuzione si dice a supportocompatto se il suo supporto e compatto.






Volendo, possiamo attribuire un nome a un teorema!

\beginteore[Pitagora]In un triangolo rettangolo, il quadrato costruitosull’ipotenusa e pari alla somma dei quadraticostruiti sui cateti.\endteore

Teorema 1 (Pitagora) In un triangolo rettangolo, ilquadrato costruito sull’ipotenusa e pari alla somma dei quadraticostruiti sui cateti.





I contatori condivisi

Con le tre definizioni viste sopra, ciascun ambiente dispone di un(proprio) contatore. Se volessimo avere una numerazione unica perteoremi e corollari, dovremmo definire qualcosa del tipo:

\newtheoremdefinDefinizione\newtheoremteoreTeorema\newtheoremcorol[teore]Corollario

Attenzione!

Bisogna definire prima l’ambiente teore e poi l’ambiente“aggregato” corol.





I contatori condivisi

Otteniamo cosı:

\beginteoresec$15$ non e primo.\endteoresec\begincorolsec$30$ ha almeno tre divisori.\endcorolsec

Teorema 2.5.1 15 non e primo.Corollario 2.5.2 30 ha almeno tre divisori.





Il pacchetto amsthm

Per personalizzare l’aspetto di questi ambienti, si consiglia diutilizzare il pacchetto amsthm, che consente di ridefinire ognielemento dell’ambiente:

\newtheoremstyle%name%abovespace%belowspace%bodyfont%indent%headfont%headpunct%headspace%custom-head-spec





Il pacchetto amsthm

Otteniamo cosı:

\newtheoremstyleteoacapo12pt12pt%\itshape\sffamily:\newline\theoremstyleteoacapo\newtheoremteoTeorema[section]\beginteo[Euclid]La somma degli angoli interni di un triangolo e paria un angolo piatto.\endteo

Teorema 2.5.3 (Euclide):La somma degli angoli interni di un triangolo e pari a unangolo piatto.





Il pacchetto amsthm

Siccome non di soli teoremi vivono i matematici, ma anche didimostrazioni, amsthm offre un ambiente proof molto elegante.

\beginteo[Euclid]La somma degli angoli interni di un triangolo e paria un angolo piatto.\endteo\beginproofLa dimostrazione segue facilmente dalle proprietadegli angoli formati da una retta secante dueparallele e la si lascia allo studente diligente\dots\endproof





Il pacchetto amsthm

Teorema 2.5.4 (Euclide):La somma degli angoli interni di un triangolo e pari a unangolo piatto.

Dimostrazione. La dimostrazione segue facilmente dalleproprieta degli angoli formati da una retta secante due parallelee la si lascia allo studente diligente. . .

Attenzione!

Naturalmente, e possibile modificare a piacere anche l’ambienteproof, ad esempio per spostare il quadratino di qed: si rimandaalle guide in bibliografia per questi argomenti avanzati.






ambienti.tex




Opzioni globali del pacchetto amsmathRiferimenti a oggetti matematiciFont matematiciGlifi impilati









Opzioni globali del pacchetto amsmath

Quando si carica il pacchetto amsmath e possibile specificarealcune opzioni globali. Le principali sono:

nosumlimits Posiziona esponenti e deponenti dei simboli “sommatoria”sempre a fianco del simbolo principale, anche negliambienti display.

intlimits Posiziona esponenti e deponenti dei simboli “integrale”sempre sopra o sotto al simbolo principale.

nonamelimits Come nosumlimits, ma per limiti e certi operatori comemax, min, sup, inf, ecc. . .

leqno Posiziona i numeri di equazione sulla sinistra.

reqno Posiziona i numeri di equazione sulla destra.

fleqno Posiziona i numeri di equazione ad una distanza prefissatadal margine sinistro piuttosto che centrata nella colonna ditesto.













Riferimenti a oggetti matematici

Naturalmente e possibile creare in modo automatico riferimenti aoggetti matematici, utilizzando i comandi \label e \eqref.

\beginequationE = mc^2 \labelemc2\endequationL’equazione~\eqrefemc2 e tra le piu famose e menocapite della storia.

E = mc2 (6)

L’equazione (6) e tra le piu famose e meno capite della storia.





Comandi per i riferimenti

Se si vuol impostare manualmente l’etichetta e possibile usare ilcomando \tag.

\beginequationE = mc^2 \tagIncompresa\endequation

E = mc2 (Incompresa)

Per ottenere il riferimento, \eqref restituisce il nome/tag correttotra parentesi mentre se utilizzassi \ref otterrei il solo contatore.













Font matematici comuni

\mathbfXYZxyz

\mathrmXYZxyz

\mathsfXYZxyz

\mathttXYZxyz

\mathitXYZxyz

XYZxyzXYZxyzXYZxyzXYZxyz

XYZxyz

Attenzione!

Queste famiglia di font sono direttamente disponibili in LATEX. Epossibile utilizzare altri font caricando pacchetti come euscript,txfonts, pxfonts, bbm, yfonts, bm.





Font matematici particolari

\mathcalXYZxyz

\mathbbXYZxyz

\mathfrakXYZxyz

XYZ§†‡XYZxyzXYZxyz

Attenzione!

Per utilizzare gli ultimi due font e necessario caricare il pacchettoamsfonts (viene caricato automaticamente se si importaamsmath).

Attenzione!

Un’interessante famiglia di font per scrivere formule matematiche edisponibile caricando il pacchetto euler.





Lettere greche corsive

\varepsilon ε\vartheta ϑ\varpi $\varrho %\varsigma ς\varphi ϕ\digamma z\varkappa κ

\varGamma Γ\varDelta ∆\varTheta Θ\varLambda Λ\varXi Ξ\varPi Π\varSigma Σ\varUpsilon Υ\varPhi Φ\varPsi Ψ\varOmega Ω













Accenti in modalita matematica

a \acutea

a \bara

a \brevea

a \checka

a \dota

a \ddota

a \gravea

a \hata

a \mathringa

a \tildea

~a \veca

xyz \widetildexyzxyz \widehatxyz

←−−xyz \overleftarrowxyz

−−→xyz \overrightarrowxyz

xyz \overlinexyz

xyz \underlinexyz︷︸︸︷xyz \overbracexyz

xyz︸︷︷︸ \underbracexyz





Frecce estendibili

Per ottenere una freccia con testo sopra e sotto l’asta, si utilizzanoi comandi del pacchetto amsmath:

\xleftarrow\alpha + 2 \times \beta \quad\xrightarrow[\xi\lambda]n\pm 1

α+2×β←−−−− n±1−−→ξλ

Attenzione!

L’argomento obbligatorio (eventualmente vuoto) e il testo dainserire sopra la freccia, quello facoltativo (tra []) e il testo daapporre sotto. Per frecce lunghe (tipo reazioni chimiche), siottengono risultati migliori col pacchetto chemarrow.





\overset e \underset

Per ottenere l’“impilamento” di due simboli, si possono utilizzaredue comandi amsmath, \overset e \underset.

\overset*X oppure \underset*X

∗X oppure X

∗

Attenzione!

In generale, se e disponibile un comando apposito per ottenere unaccento, e sconsigliabile utilizzare \overset e \underset.





Accenti in modalita matematica

Attenzione!

Esistono moltissimi pacchetti specializzati nel fornire diversi accentiestensibili, nel caso quelli di defalt non fossero soddisfacenti:yhmath, chemarrow, mathabx, esvect, undertilde. Per unaguida completa, si rimanda alla guida symbols-a4.pdf.






amsldoc.pdf

symbols-a4.pdf











Bibliografia di riferimento (guide gratuite)

Pakin, ScottThe Comprehensive LATEX Symbol Listhttp://www.ctan.org/tex-archive/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf

American Mathematical SocietyUser manual for the amsmath packagehttp://www.ams.org/tex/amslatex.html

Indian TEX Users GroupLATEX Tutorials: A Primerhttp://www.tug.org.in/tutorials.html

Gregorio, EnricoLATEX Breve guida ai pacchetti di uso piu comunehttp://profs.sci.univr.it/~gregorio/breveguida.pdf


http://www.ctan.org/tex-archive/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf

http://www.ams.org/tex/amslatex.html

http://www.tug.org.in/tutorials.html

http://profs.sci.univr.it/~gregorio/breveguida.pdf



Le possibilita sono quasi illimitate. . .

(M, h, z)

π0

α

∼= ((PPPPPPPPPPPPπ1 // (M1, h1, 0)

π1d

α1

∼= ((PPPPPPPPPPPP

(M′, h′, z′)⊕H(Λk)

π0

π1 // (M′1 , h′1, 0)⊕H(Λk

1 )

π1d

(M0, h0, z0)

α0

∼= ((PPPPPPPPPPPPπ0d // (Md, hd, 0)

αd

∼= ((PPPPPPPPPPPP

(M′0 , h′0, z′0)⊕H(Λk

0 )

β′0⊕id∼=

π0d // (M′d, h′d, 0)⊕H(Λk

d)

β′d⊕id∼=

(M0, h0, z0)

β0

∼= ((PPPPPPPPPPPPπ0d // (Md, hd, 0)

βd

∼= ((PPPPPPPPPPPP

(L, λ, x)⊕H(Λk0 )

π0d // (Ld, λd, 0)⊕H(Λkd)


Alberto Pettarin Federico Tramarin

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