Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai Luspay Tamás, Bauer Péter BME Közlekedésautomatikai Tanszék 2012. január 10.
Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai
Luspay Tamás, Bauer Péter
BME Közlekedésautomatikai Tanszék
2012. január 10.
1. Bevezetés - Átviteli függvény, frekvenciafüggvény
Dinamikus rendszerek leírásának egyik módja az átviteli függvények segítségével történik.Az átviteli függvényeket a rendszer differenciálegyenletéből kiindulva a Laplace transzfor-máció alkalmazásával vezethetjük be (lásd [1] A függelék). Vegyük a differenciálegyenletL-transzformáltját zérus kezdeti értékekkel, majd rendezzük a benne szereplő Y (s) ésU(s) tagok szerint, ahonnan kapjuk a G(s) racionális törtfüggvényt:
G(s) =Y (s)
U(s)=
b(s)
a(s)=
bmsm + . . .+ b1s+ b0
ansn + . . .+ a1s+ a0(1)
Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vettL-transzformáltjainak hányadosa.
Az átviteli függvényt ún. pólus-zérus alakban is felírhatjuk:
G(s) = k
∏m
j=1(s− zj)
∏n
i=1(s− pi)
(2)
ahol zj a rendszer zérusai, vagyis a b(s) = 0 egyenlet gyökei, míg pi jelöli a rendszerpólusait, az a(s) = 0 egyenlet gyökeit.
A G(s) leírásának egy további lehetséges módja az időállandós alak. Alaptagok álta-lános időállandós alakja a következő:
G (s) =C(s)
Tnsn + Tn−1sn−1 + . . .+ T1s+ 1︸︷︷︸
0T︸ ︷︷ ︸
1T
(3)
Itt a nevező polinom fokszáma adja meg, hogy hány tárolós a tag. Így egy n-edfokúnevező polinom n tárolós tagot jelent, rövid jelölése nT . A számláló C(s) eleme háromfélealakú lehet:
1. A ekkor a tag arányos (P)
2. Ads ekkor a tag differenciáló (D)
3. AI
sekkor a tag integráló (I)
A lineáris dinamikus időinvariáns rendszerek frekvenciatartományban való vizsgálatátszinuszos lefutású bemenőjelekre adott válaszfüggvényeik segítségével végezhetjük el. Eh-hez bevezetjük a frekvenciafüggvény fogalmát. Egy rendszer frekvencia-válaszfüggvényé-nek (vagy egyszerűbben frekvenciafüggvényének) a rendszer egység amplitúdójú szinuszosbemenőjelre állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük.
A frekvenciafüggvényt a differenciálegyenletből a jelek exponenciális alakjának és azexponenciális függvény differenciálási szabályának felhasználásával egyszerű átrendezéssel,míg az átviteli függvényből formálisan az s = iω helyettesítéssel kapjuk. Ez utóbbi kap-csolat mutatja azt is, hogy a frekvenciafüggvényeket a differenciálegyenletekből az ún.Fourier transzformációval, zérus kezdeti feltételekkel közvetlenül is megkaphatjuk [1]. AG(iω) függvényeket a rendszer frekvenciafüggvényének nevezzük, és az ω körfrekvenciaszerint ábrázoljuk.
Nyquist diagram: A Nyquist diagramon való ábrázolás kétféle módon is felfogható. Afrekvenciafüggvény értéke egy adott ω0 frekvencián egy komplex szám:
1
G(iω0) = ReG(iω0) + iImG(iω0)
Ez a szám komplex számsíkon ábrázolható és így ω = 0 . . .∞ tartományon a pontokatábrázolva adódik a Nyquist diagram.
A másik szemlélethez definiálni kell egy adott ω0 frekvenciára vonatkozóan az ampli-túdót A(ω0) és fázisszöget ϕ(ω0):
A(ω0) =√
ReG(iω0)2 + ImG(iω0)2
ϕ(ω0) = arctanImG(iω0)
ReG(iω0)
Így az amplitúdó, mint a fázisszöggel irányított szakasz ábrázolható derékszögű koor-dinátarendszerben. Ez a koordinátarendszer lehet a komplex számsík is, ahol ha a Revalós tengellyel bezárt szög a fázisszög akkor a kétféle szemlélet azonos ábrázolást ad.(márpedig definíció szerint a fázisszög a Re tengellyel bezárt szög).
A továbbiakban az alap tagok (0-tól 2 tárolóig) Nyquist és Bode diagramjainak alakjátismertetjük a jellegzetes pontok meghatározását is leírva (és a frekvenciafüggvényt azábrázoláshoz használt paraméterekkel is megadva). Az ezekhez kapcsolódó hosszabb le-vezetéseket és az állítások igazolását a függelék tartalmazza.
Összetett tagok Nyquist diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafügg-vényt felbontjuk alaptagok összegére. Az így kiadódott alaptagok Nyquist diagramjaitpontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó vektorokat összegezve) kapjukaz eredő Nyquist diagramot.
Összetett tagok Bode diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvénytfelbontjuk alaptagok szorzatára. Az így kiadódott alaptagok Bode diagramjait pontonkéntösszeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó pontokat összegezve) kapjuk az eredő Bodediagramot. Ennek igazolását lásd a függelékben!
2. Alaptagok frekvenciatartományi vizsgálata
2.1. 0TP 0 tárolós arányos tag
Átviteli függvénye:
G(s) = A
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) = A = 2
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = A
ω → ∞ ⇒ G(i∞) = A
Nyquist diagramja egyetlen pont (lásd 1. ábra).Bode amplitúdó diagramja egy a 0dB-es tengellyel párhuzamos egyenes 20 lg(A) magas-ságban. Bode fázis diagramja konstans nulla (lásd 2. ábra). Itt a(ω) = 20lg|A(ω)| azamplitúdó felhasznált definíciója, mely az amplitúdót decibel [dB] mértékegységben adjaeredményül.
2
0 0.5 1 1.5 2−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Re
Im
0TP tag Nyquist diagramja
A
1. ábra. 0TP alaptag Nyquist diagramja
100
101
5
5.5
6
6.5
7
7.5
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
0TP tag Bode amplitúdó diagramja
20*log10
(A)
100
101
−1
−0.5
0
0.5
1
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
0TP tag Bode fázis diagramja
2. ábra. 0TP alaptag Bode diagramja
2.2. 0TD 0 tárolós differenciáló tag
Átviteli függvénye:
G(s) = Ads
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) = Adiω = 2iω
3
−0.5 0 0.5−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Re
Im
0TD tag Nyquist diagramja
ω = 0
ω → ∞
3. ábra. 0TD alaptag Nyquist diagramja
10−1
100
101
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
25
30
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
0TD tag Bode amplitúdó diagramja
Ad−1
+20 dB/dek
10−1
100
101
89
89.2
89.4
89.6
89.8
90
90.2
90.4
90.6
90.8
91
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
0TD tag Bode fázis diagramja
4. ábra. 0TD alaptag Bode diagramja
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = 0
ω → ∞ ⇒ G(i∞) = i∞
4
Nyquist diagramja egy egyenes 0-ból i∞-be (lásd 3. ábra).Bode amplitúdó diagramja egy a +20 dB
dekmeredekségű egyenes, mely a 0dB-es tengelyt
az 1
Adfrekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans +90 fok (lásd 4. ábra). Ennek
igazolását a függelék tartalmazza. 1 dekád a tizes alapú logaritmikus skálán a 10 kétegymást követő hatványa közti távolságot jellemzi. Például 1 dekád a távolság 10k és10k+1 közt, de ugyanígy 0, 25 ∗ 10k és 0, 25 ∗ 10k+1 közt is.
2.3. 0TI 0 tárolós integráló tag
−0.5 0 0.5−5
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Re
Im
0TI tag Nyquist diagramja
ω = 0
ω → ∞
5. ábra. 0TI alaptag Nyquist diagramja
Átviteli függvénye:
G(s) =AI
s
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =AI
iω= −AIi
ω= −2i
ω
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = −i∞ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0
Nyquist diagramja egy egyenes −i∞-ből 0-ba (lásd 5. ábra).Bode amplitúdó diagramja egy −20 dB
dekmeredekségű egyenes, mely a 0dB-es tengelyt az
AI frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans −90 fok (lásd 6. ábra). Ennekigazolását a függelék tartalmazza.
5
100
101
−15
−10
−5
0
5
10
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
0TI tag Bode amplitúdó diagramja
Ai
−20 dB/dek
100
101
−91
−90.8
−90.6
−90.4
−90.2
−90
−89.8
−89.6
−89.4
−89.2
−89
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
0TI tag Bode fázis diagramja
6. ábra. 0TI alaptag Bode diagramja
−1 0 1 2 3 4 5 6−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Re
Im
1TP tag Nyquist diagramja
ωs = 1/T
ω = 0ω → ∞A
7. ábra. 1TP alaptag Nyquist diagramja
2.4. 1TP 1 tárolós arányos tag
Átviteli függvénye:
6
10−2
10−1
100
101
−15
−10
−5
0
5
10
15
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
1TP tag Bode amplitúdó diagramja
T−1
−20 dB/dek
20*log10
(A)
10−2
10−1
100
101
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
1TP tag Bode fázis diagramja
0.1*T−1
−45 fok/dek
10*T−1
8. ábra. 1TP alaptag Bode diagramja
G(s) =A
Ts+ 1
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =A
Tiω + 1=
A− ATωi
1 + T 2ω2=
5
2iω + 1
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = A
ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
=A− Ai
2=
A
2− Ai
2
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs) = −45◦. A tagNyquist diagramja egy félkör az alsó síknegyedben A-ból 0-ba (lásd 7. ábra). A félköralak igazolása a függelékben megtalálható.A Bode diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismer-tetjük. A diagramokon piros színnel jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg kékkel avalódi frekvencia válaszokat.1TP tag Bode amplitúdó diagramja ωs =
1
Tfrekvenciáig egy 20 lg(A) magasságban haladó
vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától −20 dBdek
meredekségű egyenes. Fázisdiag-ramja 0◦ a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, −45
◦
dekmeredekségű egyenes
0.1ωs és 10ωs frekvenciák között és −90◦ a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frek-venciák esetén (lásd 8. ábra). Ennek igazolását a függelék tartalmazza. Látható, hogyωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen−45◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
7
2.5. 1TD 1 tárolós differenciáló tag
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Re
Im
1TD tag Nyquist diagramja
ω = 0 ω → ∞
Ad /T
ωs = 1 / T
9. ábra. 1TD alaptag Nyquist diagramja
10−2
10−1
100
101
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
1TD tag Bode amplitúdó diagramja
T−1
+20 dB/dek
10−2
10−1
100
101
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
1TD tag Bode fázis diagramja
0.1*T−1
−45 fok/dek
10*T−1
10. ábra. 1TD alaptag Bode diagramja
Átviteli függvénye:
8
G(s) =Ads
Ts+ 1Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =Adiω
T iω + 1=
AdTω2 + Adωi
1 + T 2ω2=
5iω
2iω + 1A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = 0
ω → ∞ ⇒ G(i∞) =Ad
T
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
=Ad + Adi
2T=
Ad
2T+
Adi
2T
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs) = +45◦. A tagNyquist diagramja egy félkör a felső síknegyedben 0-ból Ad
T-be (lásd 9. ábra). A félkör
alak igazolása a függelékben megtalálható.Az 1TD tag Bode diagramját legkönnyebben szerkesztéssel határozhatjuk meg. Figye-lembe véve az összetett tagok ábrázolására vonatkozó tételt (lásd függelék), az 1TD tagfelfogható mint egy 0TD és 1TP alaptagok sorba kapcsolt eredője. Az alaptagok ampli-túdó és fázis görbéit megrajzolva, majd minden frekvencián összegezve kapjuk az eredőgörbéket, melyről a következőket mondhatjuk:
• az amplitúdó görbe egy +20 dBdek
meredekségű egyenes ω < 1
Tfrekvenciákon, mely az
1
Adpontban metszi (metszené) a 0 dB-es tengelyt, majd 1
T< ω frekvenciákra egy
20 lg Ad
Terősítésű vízszintes egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés az 1
Tés 1
Ad
frekvenciák viszonyától függ. Ha 1
T> 1
Adakkor létrejön a metsződés, ha 1
T< 1
Ad
akkor nem jön létre metsződés, ha 1
T= 1
Adakkor a diagram éppen a 0dB-es tengelyre
törik.
• a fázis 90◦ és 0◦ között változik, 0.1ωs-nél kisebb frekvenciák esetén 90◦, 0.1ωs és10ωs frekvenciatartományon −45
◦
dekmeredekségű egyenes, 10ωs-nél nagyobb frek-
venciák esetén 0◦ (lásd 10. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bodefázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen +45◦ értéket vesz fel, me-lyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
2.6. 1TI 1 tárolós integráló tag
Átviteli függvénye:
G(s) =AI
s(Ts+ 1)
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =AI
iω(T iω + 1)=
−AITω2 − AIωi
T 2ω4 + ω2=
−AIT − AI
ωi
T 2ω2 + 1=
2
3(iω)2 + iω
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = −AIT − i∞ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
=−AIT − AIT i
2= −AIT
2− AIT i
2
9
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
Re
Im
1TI tag Nyquist diagramja
AI T
ω = 0
ω → ∞
11. ábra. 1TI alaptag Nyquist diagramja
10−2
10−1
100
101
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
1TI tag Bode amplitúdó diagramja
T−1
−20 dB/dek
−40 dB/dek
10−2
10−1
100
101
−180
−170
−160
−150
−140
−130
−120
−110
−100
−90
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
1TI tag Bode fázis diagramja
0.1*T−1
−45 fok/dek
10*T−1
12. ábra. 1TI alaptag Bode diagramja
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs) = −135◦. A tag Ny-quist diagramja ω = 0-ban az AIT −i∞ pontból indul és a 0 pontba fut be. Aszimptotájaaz AIT -vel jellemzett egyenes (lásd 11. ábra).
10
Az 1TI tagot mint 0TI és 1TP soros kapcsolásának tekintve a Bode diagramok:
• az amplitúdó görbe egy −20 dBdek
meredekségű egyenes ω < 1
Tfrekvenciákon, majd
1
T< ω frekvenciákra egy −40 dB
dekmeredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való
metsződés az 1
Tés AI frekvenciák viszonyától függ. Ha 1
T> AI akkor -20 dB
dek, egyéb
esetben -40 dBdek
meredekséggel metszi a görbe a 0dB-es tengelyt.
• a fázis −90◦ és −180◦ között változik, 0.1ωs-nél kisebb frekvenciák esetén −90◦, 0.1ωs
és 10ωs frekvenciatartományon −45◦
dekmeredekségű egyenes, 10ωs-nél nagyobb frek-
venciák esetén −180◦ (lásd 12. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvencián a Bodefázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −135◦ értéket vesz fel, me-lyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
2.7. 2TP 2 tárolós arányos tag
−4 −2 0 2 4 6−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
Re
Im
2TP tag Nyquist diagramja
Aω =0
ω → ∞
ωs = 1/T
ωs = 1/T
ξ≥ 0,5
ξ< 0,5
13. ábra. 2TP alaptag Nyquist diagramja
Átviteli függvénye:
G(s) =A
T 2s2 + 2Tξs+ 1
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =A
T 2(iω)2 + 2Tξiω + 1=
A(1− T 2ω2 − 2Tξωi)
(1− T 2ω2)2 + 4T 2ξ2ω2=
A− AT 2ω2 − 2ATξωi
T 4ω4 + (4T 2ξ2 − 2T 2)ω2 + 1
ξ = 0, 8 G(iω) =5
4(iω)2 + 3, 2iω + 1
ξ = 0, 3 G(iω) =5
4(iω)2 + 1, 2iω + 1
11
10−2
10−1
100
101
−40
−30
−20
−10
0
10
20
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TP tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja
20*log10
(A) p
−40 dB/dek
10−2
10−1
100
101
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TP tag (ξ<1) Bode fázis diagramja
0.1*p
−90 fok/dek
10*p
10−2
10−1
100
101
102
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TP tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja
20*log10
(A) p−40 dB/dek
10−2
10−1
100
101
102
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TP tag (ξ=1) Bode fázis diagramja
0.1*p
−90 fok/dek
10*p
10−2
10−1
100
101
102
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TP tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja
20*log10
(A) p1
−20 dB/dek
p2
−40 dB/dek
10−2
10−1
100
101
102
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TP tag (ξ>1) Bode fázis diagramja
0.1*p1
−45 fok/dek
0.1*p2
−90 fok/dek
10*p1
−45 fok/dek10*p
2
14. ábra. 2TP alaptag Bode diagramjai
12
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = A
ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
=A− A− 2Aξi
4ξ2= 0− 2Aξi
4ξ2
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéketisztán képzetes ϕ(ωs) = −90◦. A tag Nyquist diagramja egy torz "félkör" az alsó kétsíknegyedben A-ból 0-ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquistdiagramja) (lásd 13. ábra). Bizonyítható (lásd függelék), hogy az A pontba húzottfüggőleges egyenest ξ < 0, 5 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor"lóg át" rajta jobbra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak bal oldalánhelyezkedik el.A kéttárolós tagok esetében a rendszer viselkedését a ξ csillapítási tényező befolyásolja,három esetet különböztetünk meg (tipikus kéttárolós tag az egytömegű csillapított lengő-rendszer):
• ξ < 1 a rendszer gyengén csillapított, ekkor a rendszernek komplex konjugált pólus-párja van,
• ξ = 1 esetén a rendszer aperiodikus-periodikus határhelyzetben van, a rendszernekegy darab kétszeres multiplicitású valós pólusa van (kritikus csillapítás),
• ξ > 1 esetén a rendszer túlcsillapított, két eltérő valós pólusa van (|p1| < |p2|).A kéttárolós tagok Bode diagramjait szorzatra bontással és az alaptagok ábrázolása utánieredő számítással kaphatjuk meg.A pólusok alapján a 2TP aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk:
• – Komplex konjugált póluspár vagy kétszeres multiplicitású valós pólus eseténaz amplitúdó diagram 20 lg(A) erősítésű vízszintes egyenes az |p1| = |p2| = |p|frekvenciáig, majd onnan −40 dB
dekmeredekségű egyenes.
– A fázisfüggvény 0◦ és −180◦ között forgat: 0◦ a 0.1|p| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −90
◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p| és 10|p| frekvenciák között
és −180◦ 10|p|-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 14. ábra). Látható, hogyωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezőenéppen −90◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan advissza.
– A valós Bode amplitúdó diagramon a |p| frekvencián kiemelés található gyengéncsillapított esetben. Határeset a ξ = 0 csillapítatlan rendszer ahol az ωs = |p|sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelennagy kiemelés alakul ki.
• – Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram 20 lg(A) erősítésű vízszintes egye-nes az |p1| frekvenciáig, majd onnan −20 dB
dekmeredekségű egyenes a |p2| frek-
venciáig. |p2| frekvenciától pedig −40 dBdek
meredekségű egyenes.
– A fázisfüggvény 0◦ és −180◦ között forgat: 0◦ a 0.1|p1| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −45
◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p1| és 0.1|p2| frekvenciák kö-
zött, −90◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p2| és 10|p1| frekvenciák között, −45
◦
dek
meredekségű egyenes 10|p1| és 10|p2| frekvenciák között, és −180◦ 10|p2|-nél na-gyobb frekvenciák esetén(lásd 14. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvenciána Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −90◦ értéketvesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
13
2.8. 2TD 2 tárolós differenciáló tag
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Re
Im
2TD tag Nyquist diagramja
Ad /
2ξT
ω = 0
ω → ∞ φ = 0
15. ábra. 2TD alaptag Nyquist diagramja
Átviteli függvénye:
G(s) =Ads
T 2s2 + 2Tξs+ 1
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =Adiω
T 2(iω)2 + 2Tξiω + 1=
Adiω(1− T 2ω2 − 2Tξωi)
(1− T 2ω2)2 + 4T 2ξ2ω2=
(1− T 2ω2)Adiω + 2AdTξω2)
T 4ω4 + (4T 2ξ2 − 2T 2)ω2 + 1
ξ = 0, 8 G(iω) =5iω
4(iω)2 + 3, 2iω + 1
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = 0
ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
=0 + 2Adξ
T
4ξ2=
Ad
2ξT+ 0i
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéketisztán valós (ϕ(ωs) = 0). A tag Nyquist diagramja egy teljes kör a felső és alsó kétsíknegyedben 0-ból 0-ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquistdiagramja) (lásd 15. ábra). A teljes kör alak igazolása a függelékben megtalálható.A pólusok alapján az 1TD aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk:
14
10−2
10−1
100
101
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TD tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja
+20 dB/dek
p
−20 dB/dek
10−2
10−1
100
101
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TD tag (ξ<1) Bode fázis diagramja
0.1*p
−90 fok/dek
10*p
10−2
10−1
100
101
102
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
5
10
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TD tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja
+20 dB/dek
p
−20 dB/dek
10−2
10−1
100
101
102
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TD tag (ξ=1) Bode fázis diagramja
0.1*p
−90 fok/dek
10*p
10−2
10−1
100
101
102
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TD tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja
+20 dB/dek
p1
p2
−20 dB/dek
10−2
10−1
100
101
102
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TD tag (ξ>1) Bode fázis diagramja
0.1*p1
−45 fok/dek
0.1*p2
−90 fok/dek
10*p1
−45 fok/dek10*p
2
16. ábra. 2TD alaptag Bode diagramjai
15
• – Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus ese-tén az amplitúdó diagram +20 dB
dekmeredekségű egyenes az |p1| = |p2| frek-
venciáig (mely 0dB-es tengelyt az 1
Adfrekvencián metszi), majd onnan −20 dB
dek
meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés az 1
Tés 1
Adfrekven-
ciák viszonyától függ. Ha 1
T> 1
Adakkor létrejön a metsződés, ha 1
T< 1
Adakkor
nem jön létre metsződés.
– A fázisfüggvény 90◦ és −90◦ között forgat: 90◦ a 0.1|p| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −90
◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p| és 10|p| frekvenciák között
és −90◦ 10|p|-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 16. ábra). Látható, hogyωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezőenéppen 0◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan advissza.
– A valós Bode amplitúdó diagramon a |p| frekvencián kiemelés található gyengéncsillapított esetben. Határeset a ξ = 0 csillapítatlan rendszer ahol az ωs = |p|sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelennagy kiemelés alakul ki.
• – Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram +20 dBdek
meredekségű egyenes az|p1| frekvenciáig (mely 0dB-es tengelyt az 1
Adfrekvencián metszi), majd onnan
vízszintes egyenes a |p2| frekvenciáig. |p2| frekvenciától pedig −20 dBdek
mere-dekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel való metsződés az |p1| és 1
Adfrekvenciák
viszonyától függ. Ha |p1| > 1
Adakkor létrejön a metsződés, ha |p1| < 1
Adakkor
nem jön létre metsződés.
– A fázisfüggvény 90◦ és −90◦ között forgat: 90◦ a 0.1|p1| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −45
◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p1| és 0.1|p2| frekvenciák kö-
zött, −90◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p2| és 10|p1| frekvenciák között, −45
◦
dek
meredekségű egyenes 10|p1| és 10|p2| frekvenciák között, és −90◦ 10|p2|-nél na-gyobb frekvenciák esetén (lásd 16. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvenciána Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 0◦ értéket veszfel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
2.9. 2TI 2 tárolós integráló tag
Átviteli függvénye:
G(s) =AI
s (T 2s2 + 2Tξs+ 1)
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) =AI
T 2(iω)3 + 2Tξ(iω)2 + iω=
AI(−2Tξω2 − ωi+ T 2ω3i)
4T 2ξ2ω4 + ω2 − 2T 2ω4 + T 4ω6=
=−2TξAI − AI
ωi+ T 2AIωi
4T 2ξ2ω2 + 1− 2T 2ω2 + T 4ω4
G(iω)|ξ=0,8 =5
4(iω)3 + 3, 2(iω)2 + iωG(iω)|ξ=0,6 =
5
4(iω)3 + 2, 4(iω)2 + iω
16
−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0−500
−400
−300
−200
−100
0
1002TI tag Nyquist diagramja
Re
Im
ξ<0.707
ξ≥0.707
ω = 0
ω → ∞
2Tξ AI
17. ábra. 2TI alaptag Nyquist diagramja
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = −2TAIξ − i∞ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 0
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
=−2TAIξ + (TAI − TAI)i
4ξ2=
−TAI
2ξ+ 0i
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéketisztán valós (ϕ(ωs) = −180◦). A tag Nyquist diagramja az 1TI tag diagramjának torzí-tása (két síknegyeden halad át) 2TAIξ értékkel jellemzett aszimptotával (lásd 17. ábra).Bizonyítható (lásd függelék), hogy a 2TAIξ pontba húzott függőleges egyenest ξ < 1/
√2
csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor "lóg át" rajta balra) egyébkéntminden pontja az egyenesen, vagy annak jobb oldalán helyezkedik el.A pólusok alapján az 1TI aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk:
• – Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus ese-tén az amplitúdó diagram −20 dB
dekmeredekségű egyenes az |p1| = |p2| = |p|
frekvenciáig, majd onnan −60 dBdek
meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyelvaló metsződés a |p| és AI frekvenciák viszonyától függ. Ha |p| > AI , akkor−20 dB
dek, egyéb esetben −60 dB
dekmeredekséggel metszi a görbe a 0dB-es tengelyt.
– A fázisfüggvény −90◦ és −270◦ között forgat: −90◦ a 0.1|p| frekvenciánál kisebbfrekvenciákra, −90
◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p| és 10|p| frekvenciák között
és −270◦ 10|p|-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 18. ábra). Látható, hogyωs = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezőenéppen −180◦ értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosanad vissza.
– A valós Bode amplitúdó diagramon a |p| frekvencián kiemelés található gyengéncsillapított esetben.
17
10−2
10−1
100
101
−60
−40
−20
0
20
40
60
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TI tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja
−20 dB/dek
p
−60 dB/dek
10−2
10−1
100
101
−280
−260
−240
−220
−200
−180
−160
−140
−120
−100
−80
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TI tag (ξ<1) Bode fázis diagramja
0.1*p
−90 fok/dek
10*p
10−2
10−1
100
101
102
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TI tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja
−20 dB/dek
p
−60 dB/dek
10−2
10−1
100
101
102
−280
−260
−240
−220
−200
−180
−160
−140
−120
−100
−80
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TI tag (ξ=1) Bode fázis diagramja
0.1*p
−90 fok/dek
10*p
10−2
10−1
100
101
102
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
2TI tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja
−20 dB/dek
p1
−40 dB/dek
p2
−60 dB/dek
10−2
10−1
100
101
102
−280
−260
−240
−220
−200
−180
−160
−140
−120
−100
−80
ω [rad/sec]
Fáz
issz
ög [f
ok]
2TI tag (ξ>1) Bode fázis diagramja
0.1*p1
−45 fok/dek
0.1*p2
−90 fok/dek
10*p1
−45 fok/dek10*p
2
18. ábra. 2TI alaptag Bode diagramjai
18
• – Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram −20 dBdek
meredekségű egyenes az|p1| frekvenciáig, majd onnan −40 dB
dekmeredekségű egyenes a |p2| frekvenciáig.
|p2| frekvenciától pedig −60 dBdek
meredekségű egyenes. A 0dB-es tengellyel valómetsződés a |p1| és AI frekvenciák viszonyától függ. Ha |p1| > AI , akkor -20 dB
dek, egyéb esetben -40 dB
dekvagy -60 dB
dekmeredekséggel metszi a görbe a 0dB-es
tengelyt.
– A fázisfüggvény −90◦ és −270◦ között forgat: −90◦ a 0.1|p1| frekvenciánál ki-sebb frekvenciákra, −45
◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p1| és 0.1|p2| frekvenciák
között, −90◦
dekmeredekségű egyenes 0.1|p2| és 10|p1| frekvenciák között, −45
◦
dek
meredekségű egyenes 10|p1| és 10|p2| frekvenciák között, és −270◦ 10|p2|-nél na-gyobb frekvenciák esetén (lásd 18. ábra). Látható, hogy ωs = 1/T frekvenciána Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen −180◦ értéketvesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza.
2.10. PD arányos deriváló tag
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Re
Im
PD tag Nyquist diagramja
ω → ∞
ω = 0
19. ábra. PD alaptag Nyquist diagramja
Átviteli függvénye:
G(s) = Ts+ 1
Frekvenciafüggvénye:
G(iω) = T iω + 1
19
10−2
10−1
100
101
102
103
0
20
40
60PD tag Bode amplitúdó diagramja
ω [rad/sec]
Erõ
síté
s [d
B]
10−2
10−1
100
101
102
103
0
50
100PD tag Bode fázis diagramja
Fáz
issz
ög [f
ok]
ω [rad/sec]
+20dB/dekT−1
0.1*T−1
10*T−1
+45 fok/dek
20. ábra. PD alaptag Bode diagramja
A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai:
ω = 0 ⇒ G(i0) = 1
ω → ∞ ⇒ G(i∞) = 1 + i∞
ωs =1
T⇒ G
(
i1
T
)
= i+ 1
A fenti kifejezésben ωs az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ωs) = 45◦. A tag Nyquistdiagramja egy egyenes az 1 pontból az 1 + i∞-be (lásd 19. ábra).A Bode diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismer-tetjük. A diagramokon piros színnel jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg kékkel avalódi frekvencia válaszokat.PD tag Bode amplitúdó diagramja ωs = 1
Tfrekvenciáig egy 0dB magasságban haladó
vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától +20 dBdek
meredekségű egyenes. Fázisdiag-ramja 0◦ a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, +45
◦
dekmeredekségű egye-
nes 0.1ωs és 10ωs frekvenciák között és +90◦ a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobbfrekvenciák esetén (lásd 20. ábra).
20
3. Függelék
3.1. Igazolás: 0TD alaptag Bode diagramja
Az ideális differenciáló tag erősítését a következő módon írhatjuk:
a(ω) = 20 lg |Adiω| = 20 lgAdω = 20 lgAd + 20 lgω
Amennyiben a körfrekvencia egy dekádnyit változik akkor az erősítés változása:
a(10 · ω)− a(ω) = 20 lgAd + 20 lg 10 + 20 lgω − 20 lgAd − 20 lgω
= 20 lg 10 = 20
vagyis az amplitúdó görbe meredeksége +20 dbdek
.A vágási körfrekvencia:
0 = 20 lgAd + 20 lgωc
lgωc = − lgAd = lgA−1
d
ωc =1
Ad
A fázisfüggvény:
ϕ(ω) = arctanImG(iω)
ReG(iω)= arctan
ImAdiω
ReAdiω= arctan
Adω
0= arctan∞ = +90◦
minden ω-ra.
3.2. Igazolás: 0TI alaptag Bode diagramja
Az ideális integráló tag erősítését (hasonlóan a differenciálóhoz) a következő módon írhat-juk:
a(ω) = 20 lgAI
ω= 20 lgAI − 20 lgω
Amennyiben a körfrekvencia egy dekádnyit változik akkor az erősítés változása:
a(10 · ω)− a(ω) = 20 lgAI − 20 lg 10− 20 lgω − 20 lgAI + 20 lgω
= −20 lg 10 = −20
vagyis az amplitúdó görbe meredeksége −20 dbdek
.A vágási körfrekvencia:
0 = 20 lgAI − 20 lgωc
lgωc = lgAI
ωc = AI
A fázisfüggvény:
ϕ(ω) = arctanImG(iω)
ReG(iω)= arctan
Im −AI iω
Re −AI iω
= arctan−AI
ω
0= − arctan∞ = −90◦
minden frekvencián.
21
3.3. Igazolás: 1TP alaptag Nyquist diagramja félkör alakú
Thálesz tétele értelmében egy kör átmérője fölé rajzolt háromszögek, melyek harmadikcsúcsa a körön helyezkedik el mindig derékszögűek. Mi ezt a tételt fordítva fogjuk alkal-mazni és belátjuk, hogy adott Nyquist diagram esetén a futó pont (ω) és a kezdő- (ω = 0)és végpont (ω → ∞) által alkotott háromszögek derékszögűek, így a futó pont félkört(teljes kört) fut be.
Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G.A pedig az ω = 0 ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GAkülönbségi vektorra mindig merőleges:
G =[AN
−ATωN
]T
N = 1 + T 2ω2
A =[A 0
]T
GA = A−G =[A− A
NATωN
]T
GA ·G =A2
N− A2
N2− A2T 2ω2
N2=
A2N
N2− A2 + A2T 2ω2
N2=
=A2 + A2T 2ω2
N2− A2 + A2T 2ω2
N2= 0 ∀ω
q.e.d.
3.4. Igazolás: 1TP alaptag Bode amplitúdó diagramja
Az 1TP tag amplitúdó függvénye:
a(ω) = 20 lg
∣∣∣∣
A
Tiω + 1
∣∣∣∣= 20 lgA− 20 lg
√
1 + (Tω)2
ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függéselhanyagolható, ω << 1
T:
a(ω)|ω<< 1
T= 20 lgA
az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az1 elhanyagolható, ω >> 1
T:
a(ω)|ω>> 1
T= 20 lgA− 20 lg Tω
az aszimptota egyenlete, ami egy −20 dBdek
meredekségű egyenes.A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet:
20 lgA = 20 lgA− 20 lg Tω
amiből ω = 1
Tadódik.
3.5. Igazolás: 1TD alaptag Nyquist diagramja félkör alakú
Az igazolás elve azonos az 1TP tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és kép-zetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω → ∞ ponthoztartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindigmerőleges:
22
G =[AdTω2
NAdωN
]T
N = 1 + T 2ω2
A =[Ad
T0]T
GA = A−G =[Ad
T− AdTω2
N−Adω
N
]T
GA ·G =A2
dω2
N− A2
dT2ω4
N2− A2
dω2
N2=
A2dω
2N
N2− A2
dω2 + A2
dT2ω4
N2=
A2dω
2 + A2dT
2ω4
N2− A2
dω2 + A2
dT2ω4
N2= 0 ∀ω
q.e.d.
3.6. Igazolás: 2TP alaptag Nyquist diagramjának viszonya az Aponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében
A 2TP tag Nyquist diagramja akkor "lóg át" az [A 0] pontba állított függőleges egyenesen,ha ReG(iω) = A lehetséges ω 6= 0 esetén is. Az erre vonatkozó számítás:
A =A− AT 2ω2
T 4ω4 + (4T 2ξ2 − 2T 2)ω2 + 1
AT 4ω4 +(4AT 2ξ2 − 2AT 2
)ω2 + A = A− AT 2ω2 a , ω2 > 0
AT 4a2 +(4AT 2ξ2 − AT 2
)a = 0
AT 4a = AT 2 − 4AT 2ξ2
a =1
T 2− 4
T 2ξ2
(4)
Könnyen belátható, hogy (4)-nek akkor létezik a > 0 megoldása, ha ξ < 0, 5. Ezzeligazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist diagram "átlógni" az A pontba húzott függőlegesen.
3.7. Igazolás: 2TI alaptag Nyquist diagramjának viszonya a −2AITξponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében
A 2TI tag Nyquist diagramja akkor "lóg át" a [−2AITξ 0] pontba állított függőlegesegyenesen, ha ReG(iω) = −2AITξ lehetséges ω 6= 0 esetén is. Az erre vonatkozó számítás(hasonlóan a 2TP taghoz):
− 2AITξ =−2AITξ
T 4ω4 + (4T 2ξ2 − 2T 2)ω2 + 1
T 4ω4 +(4T 2ξ2 − 2T 2
)ω2 = 0 a , ω2 > 0
T 4a2 = 2T 2a− 4T 2ξ2a
a =2
T 2− 4
T 2ξ2
(5)
Könnyen belátható, hogy (5)-nak akkor létezik a > 0 megoldása, ha ξ < 1/√2. Ezzel
igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist diagram "átlógni" a −2AITξ pontba húzott függőle-gesen.
23
3.8. Igazolás: 2TD alaptag Nyquist diagramja kör alakú
Az igazolás elve azonos az 1TP tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetesrészből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ωs = 1/T sarokkörfrekven-ciához tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorramindig merőleges:
G =[
2Tξω2Ad
N
(1−T 2ω2)Adω
N
]T
N = T 4ω4 +(4T 2ξ2 − 2T 2
)ω2 + 1
A =[
Ad
2ξT0]T
GA = A−G =[
Ad
2ξT− 2Tξω2Ad
N−(1−T 2ω2)Adω
N
]T
GA ·G =2ξTA2
dω2
2ξTN− 4T 2ξ2ω4A2
d
N2− (1− T 2ω2)
2A2
dω2
N2=
A2dω
2 (T 4ω4 + 4T 2ξ2ω2 − 2T 2ω2 + 1)
N2− A2
dω2 (T 4ω4 + 4T 2ξ2ω2 − 2T 2ω2 + 1)
N2= 0
q.e.d.
3.9. Igazolás: PD alaptag Bode amplitúdó diagramja
A PD tag amplitúdó függvénye:
a(ω) = 20 lg |T iω + 1| = 20 lg√
1 + (Tω)2
ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függéselhanyagolható, ω << 1
T:
a(ω)|ω<< 1
T= 20 lg 1 = 0dB
az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az1 elhanyagolható, ω >> 1
T:
a(ω)|ω>> 1
T= 20 lg Tω
az aszimptota egyenlete, ami egy +20 dBdek
meredekségű egyenes.A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet:
20 lg 1 = 20 lg Tω
amiből ω = 1
Tadódik.
3.10. Igazolás: Összetett tag Bode diagramja szorzat alakból aszorzatban szereplő alaptagok Bode diagramjainak összege-ként kapható meg
Vegyük egy összetett tag alaptagok szorzataként felírt frekvenciafüggvényét:
G(iω0) = G1G2 . . . Gn
Gj ∈ C j = 1 . . . n ⇒Gj = rje
iϕj ⇒G(iω0) = r1e
iϕ1r2eiϕ2 . . . rne
iϕn = r1r2 . . . rneiϕ1eiϕ2 . . . eiϕn = reiϕ
(6)
24
Az eredő amplitúdó így r = r1r2 . . . rn az eredő fázis pedig ϕ = ϕ1 + ϕ2 + . . . + ϕn. Afázisszögről így azonnal látható, hogy az alaptagok fázisszögeit összegezve megkapjuk azeredő szöget.
Vizsgáljuk most a Bode amplitúdó diagram értékét felhasználva az amplitúdó definí-cióját:
a(ω0) = 20 lg |G(iω0)| = 20 lg |r1r2 . . . rneiϕ| = 20 lg(r1r2 . . . rn) =
= 20 lg r1 + 20 lg r2 + . . .+ 20 lg rn = a1(ω0) + a2(ω0) + . . .+ an(ω0)(7)
Hivatkozások
[1] Bokor József, Gáspár Péter: Irányítástechnika járműdinamikai alkalmazásokkal, Ty-poTeX kiadó, Budapest, 2008.
25