Milene Pimenta
Milene Pimenta
Considere a matriz
A =
que possui m linhas e n colunas. Diz-se que
é uma matriz de ordem m por n e escreve-se
A(m,n).
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
....
....................
....
.....
21
22221
11211
Cada elemento será representado por aij.
A matriz A poderá ser representada por
A = [aij] , onde i = 1,..., m e j = 1,..., n.
Tipos de Matrizes:
Matriz Retangular: Quando m ≠ n.
Matriz-Coluna: Quando n = 1.
Matriz-Linha: Quando m = 1.
Matriz Quadrada: Quando m = n. Diz-se que
A é matriz de ordem n.
Numa matriz quadrada, pode-se definir a
diagonal principal e a diagonal secundária.
Os elementos aij , onde i = j constituem a
diagonal principal. Os elementos aij , onde i +
j = n + 1, constituem a diagonal secundária.
Exemplo: Dada a matriz quadrada A de ordem 3,
onde:
A =
os elementos da diagonal:
principal são: 1, 5 e 9;
secundária são 3, 5 e 7.
987
654
321
Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada onde
aij = 0 se i ≠ j.
Exemplo:
A =
4000
0300
0020
0001
Matriz Escalar: É uma matriz diagonal que
possui os elementos aij iguais entre si para
i = j.
Exemplo:
A =
3000
0300
0030
0003
Matriz Unidade( ou Identidade): É uma matriz
escalar em que aij= 1 se i = j e é
representada por I.
Exemplo:
A = = I
1000
0100
0010
0001
Matriz Zero: É a matriz em que aij = 0 , i, j.
Ela é representada por ℴ.
Exemplo:
A =
000
000
000
Operações Básicas:
Igualdade de Matrizes: A(m,n) = [aij] = B(m,n) =
[bij] se, e somente se, aij = bij .
Adição de Matrizes: Se A(m,n) = [aij] e B(m,n) =
[bij], A+ B = C = [cij], onde cij= aij + bij.
Produto por um Escalar: Se A(m,n) = [aij] e
ℝ, A = B = [bij], onde bij = aij .
Produto entre Duas Matrizes: Se A(m,p) = [aik]
= B(p,n) = [bkj], então A.B = C(m,n) = [ cij] ,
onde
cij = .
p
k
kjikba1
.
Matriz Transposta: A matriz transposta de
A(m,n), é a matriz AT(n,m), que se obtém da
matriz A permutando as linhas pelas colunas
de mesmo índice.
Exemplo:
A = e AT =
987
654
321
963
852
741
Propriedades:
(i) (A+B)T = AT + BT ,
(ii) (A)T = AT,
(iii) (AT)T = A,
(iv) (AB)T = BTAT.
Matriz Simétrica: Uma matriz quadrada A é
simétrica se A = AT.
Exemplo:
A = é matriz simétrica pois
A = AT .
653
542
321
Matriz Anti-simétrica: Uma matriz quadrada
A é anti-simétrica se A = -AT.
Exemplo:
A = é anti-simétrica pois
A = - AT .
032
301
210
Matriz Ortogonal: Uma matriz quadrada A é
ortogonal se AAT = I = ATA.
Exemplo: A = é matriz
ortogonal pois AAT = I = ATA.
De fato,
5/35/4
5/45/3
A.AT = . = = I
ATA = . = = I
5/35/4
5/45/3
5/35/4
5/45/3
10
01
5/35/4
5/45/3
5/35/4
5/45/3
10
01
Matriz Triangular Superior ( Inferior): Uma
matriz quadrada A = [aij] que tem os
elemento aij= 0 , para i > j ( para i < j) , é
uma matriz triangular superior ( inferior).
Uma matriz é dita triangular se ela for
triangular superior ou inferior.
Exemplo:( Matriz Triangular Superior)
A =
10000
9800
7650
4321
Potência de Uma Matriz: Uma matriz
quadrada A = [aij] pode ser multiplicada n
vezes por si mesma.
A matriz que resulta dessas operações ,
denotada por An, é chamada potência n da
matriz A.
Matriz Periódica: Uma matriz quadrada é dita
uma matriz periódica se existe n > 1 tal que:
An = A.
Se p é o menor inteiro maior do que 1 para o
qual Ap = A, diz-se que o período de A é p-1.
Matriz Idempotente: É uma matriz periódica em que A2 = A.
Exemplo:
A = e
A2 = . =
455
343
112
455
343
112
455
343
112
455
343
112
Matriz Nihilpotente: é uma matriz quadrada
A, em que existe p> 1, tal que Ap = ℴ. Se k é
o menor inteiro maior que 1 tal que Ak= ℴ,
diz-se que A é matriz nihilpotente de “índice”
k.
Exemplo: ( Matriz Nihilpotente)
A = e
A2 = . =
444
333
111
444
333
111
444
333
111
000
000
000