Al Juarismi

Al-Juarismi

Sello emitido el 6 de septiembre de 1983 en la Unin Soviticaconmemorando el aniversario n. 1200 (aproximado) del mate-mtico persa.

Abu Abdallah Muammad ibn Ms al-Jwrizm(Abu Yar) ( ), conocido generalmente como al-Juarismi,fue un matemtico, astrnomo y gegrafo persa[1][2]musulmn, que vivi aproximadamente entre 780 y 850.Poco se conoce de su biografa, a tal punto que existendiscusiones no saldadas sobre su lugar de nacimiento. Al-gunos sostienen que naci en Bagdad. Otros, siguiendo elartculo de Gerald Toomer[3] (a su vez, basado en escritosdel historiador al-Tabari) sostienen que naci en la ciudadcorasmia de Jiva, en el actual Uzbekistn. Rashed[4] hallaque se trata de un error de interpretacin de Toomer, de-bido a un error de transcripcin (la falta de la conectivawa) en una copia del manuscrito de al-Tabari. No sereste el ltimo desacuerdo entre historiadores que encon-traremos en las descripciones de la vida y las obras deal-Juarismi. Estudi y trabaj en Bagdad en la primeramitad del siglo IX, en la corte del califa al-Mamun. Pa-ra muchos, fue el ms grande de los matemticos de supoca.Debemos a su nombre y al de su obra principal, "Hisb al-

abr wa'l muqbala", ( ) nues-tras palabras lgebra, guarismo y algoritmo. De hecho,es considerado como el padre del lgebra y como el in-troductor de nuestro sistema de numeracin denominadoarbigo.Hacia 815 al-Mamun, sptimo califa Absida, hijo deHarn al-Rashid, fund en su capital, Bagdad, la Casa dela sabidura (Bayt al-Hikma), una institucin de investi-gacin y traduccin que algunos han comparado con laBiblioteca de Alejandra. En ella se tradujeron al rabeobras cientcas y loscas griegas e indias. Contabatambin con observatorios astronmicos. En este ambien-te cientco y multicultural se educ y trabaj al-Juarismijunto con otros cientcos como los hermanos Banu Mu-sa, al-Kindi y el famoso traductor Hunayn ibn Ishaq. Dosde sus obras, sus tratados de lgebra y astronoma, estndedicadas al propio califa.

1 lgebraEn su tratado de lgebra Hisb al-abr wa'l muqbala( , Compendio de clculo porcomplecin y comparacin), obra eminentemente didcti-ca, se pretende ensear un lgebra aplicada a la resolucinde problemas de la vida cotidiana del imperio islmico deentonces. La traduccin de Rosen de las palabras de al-Juarizmi describiendo los nes de su libro dan cuenta deque el sabio pretenda ensear:

... aquello que es fcil y ms til enaritmtica, tal que los hombres lo requierenconstantemente en casos de herencia, legados,particiones, juicios, y comercio, y en todos sustratos con los dems, o cuando se trata de lamensura de tierras, la excavacin de canales,clculos geomtricos, y otros objetos de variasclases y tipos.

Traducido al latn por Gerardo de Cremona, se utiliz enlas universidades europeas como libro de texto hasta elsiglo XVI. Es posible que antes de l se hubiesen resueltoecuaciones concretas, pero ste es el primer tratado co-nocido en el que se hace un estudio exhaustivo.Luego de presentar los nmeros naturales, al-Juarismiaborda la cuestin principal en la primera parte del libro:la solucin de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales ocuadrticas y estn compuestas de unidades, races y cua-drados; para l, por ejemplo, una unidad era un nmero,

1

2 1 LGEBRA

Primera pgina de Kitb al-mukhtaar f isb al-jabr wa-l-muqbala.

una raz era x y un cuadrado x2 . Aunque en los ejemplosque siguen usaremos la notacin algebraica corriente ennuestros das para ayudar al lector a entender las nocio-nes, es de destacar que al-Juarizmi no empleaba smbolosde ninguna clase, sino slo palabras.Primero reduce una ecuacin a alguna de seis formas nor-males:

1. Cuadrados iguales a radicales.

2. Cuadrados iguales a nmeros.

3. Races iguales a nmeros.

4. Cuadrados y races iguales a nmeros, por ejemplox2 + 10x = 39

5. Cuadrados y nmeros iguales a races, por ejemplox2 + 21 = 10x

6. Races y nmeros iguales a cuadrados, por ejemplo3x+ 4 = x2

La reduccin se lleva a cabo utilizando las operacionesde al-abr (complecin, el proceso de eliminar trmi-nos negativos de la ecuacin) y al-muqabala (balanceo,el proceso de reducir los trminos positivos de la misma

potencia cuando suceden de ambos lados de la ecuacin).Luego, al-Juarismi muestra como resolver los seis tiposde ecuaciones, usando mtodos de solucin algebraicosy geomtricos. Por ejemplo, para resolver la ecuacinx2 + 10x = 39 , escribe:

... un cuadrado y diez races son igualesa 39 unidades. Entonces, la pregunta en estetipo de ecuacin es aproximadamente as:cul es el cuadrado que, combinado con diezde sus races, dar una suma total de 39. Lamanera de resolver este tipo de ecuacin estomar la mitad de las races mencionadas.Ahora, las races en el problema que tenemosante nosotros son diez. Por lo tanto, tomamos5 que multiplicadas por s mismas dan 25,una cantidad que agregars a 39 dando 64.Habiendo extrado la raz cuadrada de esto,que es 8, sustraemos de all la mitad de lasraces, 5, resultando 3. Por lo tanto el nmerotres representa una raz de este cuadrado.lgebra[5]

Sigue la prueba geomtrica por complecin del cuadra-do, que no expondremos aqu. Sealaremos sin embargoque las pruebas geomtricas que usa al-Juarismi son ob-jeto de controversia entre los expertos. La cuestin, quepermanece sin respuesta, es si estaba familiarizado con eltrabajo de Euclides. Debe recordarse, en la juventud deal-Juarismi y durante el reinado de Harun al-Rashid, al-Hajjaj haba traducido los "Elementos" al rabe, y era unode los compaeros de al-Juarismi en la Casa de la Sabidu-ra. Esto avalara la posicin de Toomer (op.cit.). Rashedcomenta[6] que "el tratamiento [de al-Juarismi] fue proba-blemente inspirado en el reciente conocimiento de "los Ele-mentos". Pero, por su parte, Gandz[7] sostiene que los Ele-mentos le eran completamente desconocidos. Aunque esinseguro que haya efectivamente conocido la obra eucli-diana, es posible armar que fue inuido por otras obrasde geometra; vase el tratamiento de Parshall[8] sobre lassimilitudes metodolgicas con el texto hebreoMishnat haMiddot, de mediados del siglo II.Contina el Hisab al-abr wa'l-muqabala examinandocmo las leyes de la aritmtica se extienden a sus objetosalgebraicos. Por ejemplo, muestra cmo multiplicar ex-presiones como (a + bx)(c + dx) . Rashed (op. cit.) en-cuentra sus formas de resolucin extremadamente origi-nales, pero Crossley[9] las considera menos signicativas.Gandz considera que la paternidad del lgebra es muchoms atribuible a al-Juarismi que a Diofanto.[10]

La parte siguiente consiste en aplicaciones y ejemplos.Describe reglas para hallar el rea de guras geomtricascomo el crculo, y el volumen de slidos como la esfe-ra, el cono y la pirmide. Esta seccin, ciertamente, tie-ne mucha mayor anidad con los textos hebreos e indiosque con cualquier obra griega. La parte nal del libro se

3ocupa de las complejas reglas islmicas de herencia, perorequiere poco del lgebra que expuso anteriormente, msall de la resolucin de ecuaciones lineales.

2 AritmticaDe su aritmtica, posiblemente denominada originalmen-te Kitab al-amaa wa al-Tafriq bi Hisab al-Hind, ( ), libro de la sumay de la resta, segn el clculo indio, slo conservamosuna versin latina del siglo XII, Algoritmi de numero In-dorum. Desafortunadamente, se sabe que la obra[11] seaparta bastante del texto original. En esta obra se descri-ben con detalle los nmeros indoarbigos, el sistema in-dio de numeracin posicional en base 10 y mtodos parahacer clculos con l. Se sabe que haba un mtodo paraencontrar races cuadradas en la versin rabe, pero noaparece en la versin latina. Posiblemente fue el primeroen utilizar el cero como indicador posicional. Fue esen-cial para la introduccin de este sistema de numeracinen el mundo rabe, al-ndalus y posteriormente en Euro-pa. Andr Allard[12] discute algunos tratados en latn delsiglo XII basados en esta obra perdida.

3 AstronomaDe su tratado sobre astronoma, Sindhind zij, tambin sehan perdido las dos versiones que escribi en rabe. Es-ta obra[13] se basa en trabajos astronmicos indios a di-ferencia de manuales islmicos de astronoma posterio-res, que utilizaron los modelos planetarios griegos del 'Al-magesto' de Ptolomeo".[14] El texto indio en que se basael tratado es uno de los obsequiados a la corte de Bag-dad alrededor de 770 por una misin diplomtica de laIndia. En el siglo X al-Mariti realiz una revisin cr-tica de la versin ms corta, que fue traducida al latnpor Adelardo de Bath; existe tambin una traduccin la-tina de la versin ms larga, y ambas traducciones hanllegado hasta nuestro tiempo. Los temas principales cu-biertos en la obra son los calendarios; el clculo de lasposiciones verdaderas del Sol, la Luna y los planetas;tablas de senos y tangentes; astronoma esfrica; tablasastrolgicas; clculos de paralajes y eclipses; y visibilidadde la Luna. Rozenfel'd analiza un manuscrito relacionadosobre trigonometra esfrica,[15] atribuido a al-Juarismi.

4 GeografaEn Geografa, con una obra denominada Kitab Surat-al-Ard, revis y corrigi a Ptolomeo en lo referente a fricay al Oriente. Lista latitudes y longitudes de 2402 sitios, yemplaza ciudades, montaas, mares, islas, regiones geo-grcas y ros, como base para un mapa del mundo en-tonces conocido. Incluye mapas[cita requerida] que, en con-

junto, son ms precisos que los de Ptolomeo. Est cla-ro que donde hubo mayor conocimiento local disponiblepara al-Juarismi, como las regiones del islam, frica y elLejano Oriente, el trabajo es mucho ms exacto que elde Ptolomeo, pero parece haber usado los datos de stepara Europa. Se dice que en estos mapas trabajaron a susrdenes setenta gegrafos.

5 Otras obrasSu obra conocida se completa con una serie de obras me-nores sobre temas como el astrolabio, sobre el que escri-bi dos textos, sobre relojes solares y sobre el calendariojudo. Tambin escribi una historia poltica conteniendohorscopos de personajes prominentes.

6 Notas[1] Toomer, 1990

[2] Oaks, Jerey A. Was al-Khwarizmi an applied alge-braist?. University of Indianapolis.

[3] Toomer, Al-Khwrazm"

[4] Rashed (1994).

[5] Segn la traduccin de Rosen. Vid. Al-Khwarizmi(1831}.

[6] Rashed, op. cit.

[7] Gandz (1932)

[8] Parshall (1988)

[9] Crossley (1980)

[10] Gandz (1936)

[11] Traducida al ingls en Corssley y Henry (1990).

[12] Allard (1991)

[13] Descripta en detalle en Van Dalen (1996).

[14] Sokolovskaya (1985).

[15] Rozenfel'd (1990)

7 Bibliografa AA. VV. (1974). E. Grant, ed. A source book in me-

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al Khwarizmi, 'Abu Ja'far Muhammad ibn Musa(1831). The Algebra of Mohammed ben Musa. tra-duccin, edicin y notas de Friedrich Rosen (reim-preso en 1986). Hildesheim: G. Olms Verlag.

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8 Vase tambin Matemticas en el islam medieval Nombres rabes Nmeros arbigos

9 Enlaces externos

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