AKAR PERSAMAAN NON LINEAR AKAR PERSAMAAN NON LINEAR Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh : 0 2 c bx ax Solusi : a ac b b x 2 4 2 12 Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh : 0 3 ) ( 2 3 x e x f x x
AKAR PERSAMAAN NON LINEAR. Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh :. Solusi :. Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :. Maka timbulah solusi dengan metode numerik, dengan pembagian metode sebagai berikut :. GRAFIS BISECTION - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
AKAR PERSAMAAN NON AKAR PERSAMAAN NON LINEARLINEAR
Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh :
02 cbxax
Solusi :a
acbbx
2
42
12
Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :
03)( 23
xexf xx
Maka timbulah solusi dengan metode Maka timbulah solusi dengan metode numerik, dengan pembagian metode numerik, dengan pembagian metode sebagai berikut :sebagai berikut :
1. GRAFIS2. BISECTION3. REGULA FALSI4. SECANT5. NEWTON RHAPSON6. ITERASI FIXED POINT
2. BISECTION2. BISECTION• Metode ini melakukan pengamatan
terhadap nilai f(x) dengan berbagai nilai x, yang mempunyai perbedaan tanda.
• Taksiran akar diperhalus dengan cara membagi 2 pada interval x yang mempunyai beda tanda tersebut.
F(x)
x
x1
x2x3
x4 x5
1) Pilih x1 bawah dan x2 puncak taksiran untuk akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan :
2) Taksiran akar x, ditentukan oleh :
0)().( 21 xfxf
Algoritma :
221 xx
xr
3) Buat evaluasi dengan memastikan pada bagian interval mana akar berbeda :
* jika f(x1).f(x2) < 0 akan berada pada bagian interval
bawah, maka x2 = xr , dan kembali kelangkah 2 * Jika f(x1).f(x2) > 0 akan berada pada bagian interval atas , maka x1 = xr , dan kembali
kelangkah 2 * Jika f(x1).f(x2) = 0, akar setara xr, perhitungan dihentikan, atau bisa juga :
)().( 21 xfxf
Dimana ε adalah harga toleransi yang dibuat.
Contoh :Contoh :
Carilah akar persamaan dari :
001,0 ,033)( 23 denganxxxxf
Penyelesaian:
Hitung nilai )(xf
pada interval antara 2 titikuntuk x=1, 43)1(3)1()1()1( 23 xf
untuk x=2 33)2(3)2()2()2( 23 xf
Fungsi diatas adalah kontinyu, berarti perubahan tanda dari fungsi antara x=1 dan x=2 akan memotong sumbu x paling tidak satu kali. titik perpotongan antar sumbu x dan fungsi merupakan akar-akar persamaan.
hitung nilai rx , kemudian hitung fungsi )( rxf
5,12
21
221
xxxr
875,13)5,1(3)5,1()5,1()5,1( 23 rxf
Langkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya untuk membuat interval yang semakin kecil, dimana akar persamaan berada. Hasil perhitungan ditunjukkan pada tabel berikut.
• Kekurangan metode bisection adalah membagi dua selang diantara x1 dengan x2 menjadi dua bagian yang sama, besaran f(x1) dan f(x2) diabaikan. Misalnya, jika f(x1) lebih dekat ke nol daripada f(x2), kemungkinan besar akar akan lebih dekat ke x1 daripada ke x2.
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x
y
Algoritma :Algoritma :1) Pilih x1 bawah dan x2 (puncak) untuk taksiran akar,
sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan: f(x1) . f(x2) < 0
2. Taksir akar xr, ditentukan oleh:
a) Buat evaluasi berikut untuk memastikan harga akar : b) Jika , maka akar berada pada bagian
interval bawah, maka , kembali ke langkah 2.c) Jika maka akar berada pada bagian
interval atas, maka , kembali ke langkah 2.d) Jika , akar setara xr maka hentikan
5. Metode Newton Rhapson5. Metode Newton Rhapson• Metode ini paling banyak digunakan
dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Jika perkiraan dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f(xi). Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.
x
y
x1x2
Algoritma :Algoritma :
• Tentukan nilai x1 sebagai terkaan awal
• Buat taksiran untuk x1+n dengan persamaan :
• Perhitungan dihentikan jika f(x n+1) ≈ 0 atau Є = yang ditentukan
6. 6. Metode Iterasi Fixed Metode Iterasi Fixed PointPoint
• Teknik iterasi fixed point dijalankan dengan cara membuat fungsi f(x) menjadi bentuk fungsi implisit f(x)=0 kemudian x=g(x), iterasi yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan; xn+1 = g(xn)
Algoritma :Algoritma :
• Tentukan nilai taksiran awal xn
• Lakukan perhitungan taksiran akar dengan mempergunakan persamaan;