1 Kursas: matematika ir filosofija Padalomoji medžiaga 2018 m. vasario 22 d. Žaislinis aritmetikos modelis: trupmenos Dievas sukūrė sveikuosius skaičius, o visa kita - žmogaus rankų darbas Leopoldas Kronekeris (1823-1891) – vokiečių matematikas Tekstas supažindina su aritmetika, kurioje skaičiumi laikomas taškas ant geometrinės tiesės. Tai nėra šiuolaikinės matematikos struktūros pavyzdys. Jis neatitinka šiuolaikinės matematikos griežtumo standartų. Šiuo modeliu siekiama supažindinti su samprotavimų loginiu tikslumu naudojant minimaliai abstrakčius matematinius objektus. Todėl modelis vadinamas žaisliniu. Tačiau modelyje laikomasi visų logikos taisyklių. Samprotavimų loginis tikslumas reiškia tris dalykus: o tikslų sąvokų apibrėžimą; o kiekvieno teiginio teisingumas yra paaiškinamas ir įrodomas; o tarp sąvokų egzistuoja loginė tvarka, vadinama hierarchine struktūra. Kodėl pradedame nuo trupmenų? Trupmenos sąvoka aiškinama 5-6 klasėse, ji yra viena pirmųjų sukelianti rimtų sunkumų mokantis matematikos mokykloje. Vėliau tokių sunkumų tik daugėja. Trupmenos sąvokos supratimas reikalauja iš vaiko abstraktaus mąstymo elementų, nes pati sąvoka ir aritmetiniai veiksmai su trupmenomis dažniausiai yra nauji vaiko patyrimui. Vyresnėse klasėse, susipažįstant su algebra, abstrakcija tampa dar didesne. Paprastai trupmenos sąvoka ir procedūros su trupmenomis suformuluojamos kaip apibrėžimai ir taisyklės, kurias reikia įsiminti. Siekiant palengvinti įsiminimo sunkumus paprastai siūloma daug pavyzdžių ir naudojamos įvairios pedagoginės priemonės. Trupmenos sąvoką stengiamasi padaryti paprastesne ir aiškesne interpretuojant ją realaus pasaulio kontekste, pavyzdžiui, dalinant picą ar tortą į dalis. Viso to nepakanka. Penktos klasės vadovėliuose yra įprasta trupmenos aiškinimą pradėti nuo picos dalinimo, kaip ir pradinėse klasėse. Toliau apie trupmenas pasakoma bent keletas dalykų, vienas po kito: o trupmena yra dalmuo, gautas vieną sveikąjį skaičių dalijant iš kito sveikojo skaičiaus; o trupmena yra viena ar kelios lygios vieneto (ar visumos) dalys; o trupmena yra dviejų sveikųjų skaičių santykis; o trupmena yra dydis dalies gautos objektą (picą) dalinant į lygias dalis; o trupmena yra taškas skaičių spindulyje.
13
Embed
Žaislinis aritmetikos modelis: trupmenosrimasn/Matematika ir filosofija...1 Kursas: matematika ir filosofija Padalomoji medžiaga 2018 m. vasario 22 d. Žaislinis aritmetikos modelis:
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
Kursas: matematika ir filosofija
Padalomoji medžiaga
2018 m. vasario 22 d.
Žaislinis aritmetikos modelis: trupmenos
Dievas sukūrė sveikuosius skaičius, o visa kita - žmogaus rankų darbas
Leopoldas Kronekeris (1823-1891) – vokiečių matematikas
Tekstas supažindina su aritmetika, kurioje skaičiumi laikomas taškas ant geometrinės tiesės. Tai
nėra šiuolaikinės matematikos struktūros pavyzdys. Jis neatitinka šiuolaikinės matematikos
griežtumo standartų. Šiuo modeliu siekiama supažindinti su samprotavimų loginiu tikslumu
naudojant minimaliai abstrakčius matematinius objektus. Todėl modelis vadinamas žaisliniu.
Tačiau modelyje laikomasi visų logikos taisyklių. Samprotavimų loginis tikslumas reiškia tris
dalykus:
o tikslų sąvokų apibrėžimą;
o kiekvieno teiginio teisingumas yra paaiškinamas ir įrodomas;
o tarp sąvokų egzistuoja loginė tvarka, vadinama hierarchine struktūra.
Kodėl pradedame nuo trupmenų? Trupmenos sąvoka aiškinama 5-6 klasėse, ji yra viena pirmųjų
sukelianti rimtų sunkumų mokantis matematikos mokykloje. Vėliau tokių sunkumų tik daugėja.
Trupmenos sąvokos supratimas reikalauja iš vaiko abstraktaus mąstymo elementų, nes pati sąvoka
ir aritmetiniai veiksmai su trupmenomis dažniausiai yra nauji vaiko patyrimui. Vyresnėse klasėse,
susipažįstant su algebra, abstrakcija tampa dar didesne. Paprastai trupmenos sąvoka ir procedūros su
trupmenomis suformuluojamos kaip apibrėžimai ir taisyklės, kurias reikia įsiminti. Siekiant
palengvinti įsiminimo sunkumus paprastai siūloma daug pavyzdžių ir naudojamos įvairios
pedagoginės priemonės. Trupmenos sąvoką stengiamasi padaryti paprastesne ir aiškesne
interpretuojant ją realaus pasaulio kontekste, pavyzdžiui, dalinant picą ar tortą į dalis. Viso to
nepakanka.
Penktos klasės vadovėliuose yra įprasta trupmenos aiškinimą pradėti nuo picos dalinimo, kaip ir
pradinėse klasėse. Toliau apie trupmenas pasakoma bent keletas dalykų, vienas po kito:
o trupmena yra dalmuo, gautas vieną sveikąjį skaičių dalijant iš kito sveikojo skaičiaus;
o trupmena yra viena ar kelios lygios vieneto (ar visumos) dalys;
o trupmena yra dviejų sveikųjų skaičių santykis;
o trupmena yra dydis dalies gautos objektą (picą) dalinant į lygias dalis;
o trupmena yra taškas skaičių spindulyje.
2
Tokia trupmenos apibūdinimų gausa yra pirmoji problema. Trupmena siejama su iš pažiūros labai
skirtingomis sąvokomis. Pirmą kartą bandančiam suprasti trupmenos prasmę, tai yra sunkus
išbandymas. Antroji panašių apibūdinimų problema yra ta, kad nei vienas jų nėra naudojamas
paaiškinti visas trupmenų savybes, tokias kaip trupmenų ekvivalentumas, tvarka tarp trupmenų ir
aritmetinės operacijos su trupmenomis. Trečioji šių apibūdinimų problema yra ta, kad, priklausomai
nuo konteksto, jie gali būti logiškai klaidingi. Pavyzdžiui, pirmasis apibūdinimas neturi prasmės
tada, kai prieš tai dalmuo nėra apibrėžtas bet kuriai sveikųjų skaičių porai. Mūsų mokyklose
paprastai dalmuo apibrėžiamas tik tai skaičių porai, kurioje vienas jų dalo kitą be liekanos.
Kiekviena trupmenų savybė apibrėžiama pasitelkiant vienu iš daugelio apibūdinimu arba tik
iliustruojant pavyzdžiais. Tačiau toks mokymo kelias nepadeda vaikui ne tik įsiminti, bet ir suprasti
trupmenas. Mokymą iliustruojantys pavyzdžiai gali padėti tik ypatingai gabiems vaikams patiems
rasti paaiškinimus. Kiti vaikai greičiausiai praranda motyvaciją mokytis matematikos.
Matematikos procedūrų paaiškinimas ir supratimas slypi pačioje matematikoje. Matematikos žinios
sudaro tampriai susijusią ir hierarchinę sistemą. Jei pavyktų vaikui bent šiek tiek praskleisti skaičių
sistemos ryšius, tai jis be didelio vargo galėtų tas taisykles atrasti sau kiekvieną kartą kai jų reikia.
Sunkumas tas, kad šiuolaikinėje matematikoje naudojama skaičių sistemos samprata yra per daug
sudėtinga pirmam susipažinimui. Būtent, matematikoje racionalieji skaičiai ir aritmetinės operacijos
su jais apibrėžiami naudojant ekvivalentumo klases, o tai yra per daug abstraktu vidutiniam 5-6
klasės moksleiviui. Mokymo tikslams galima būtų naudoti ne pačią bendriausią skaičių sistemos
sampratą, bet pačius paprasčiausius tokios skaičių sistemos variantus. Pagrindinis reikalavimas
tokiai sistemai yra galimybė susieti visus mokykloje mokomus faktus apie skaičius. Be abejonės,
analogijos ir metaforos labai padeda suprasti sudėtingas sąvokas, jos ir toliau turėtų būti
naudojamos mokyklinėje matematikoje. Bet analogijos ir metaforos, bei realaus pasaulio
pavyzdžiai, negali pakeisti samprotavimų loginio tikslumo ugdymo.
Šiame tekste aptarsime skaičių sistemą, grindžiamą skaičių tiese (spinduliu), t.y. skaičiumi yra
laikomas taškas ant geometrinės tiesės. Tokia skaičiaus interpretacija yra viena iš daugelio
sutinkamų mokyklos kurse. Tačiau ji paprastai nėra naudojama paaiškinti ir pagrįsti skaičiaus
savybes ir aritmetinius veiksmus su skaičiais. Remsimės Hung-Hsi Wu ([Wu, 2010], [Wu, 2011]) ir
G. R. Jenseno [GRJ] knygomis mokytojams. Skirtingai nuo H.-H. Wu, trupmenas atitinkančius
taškus ant skaičių tiesės mes vadiname racionaliaisiais skaičiais, o trupmena tokiu atveju yra
racionaliojo skaičiaus išraiška, simbolis, skaitmuo. Racionalusis skaičius yra objektas turintis
vienaties savybę, o tą patį racionalųjį skaičių išreiškia daug skirtingų trupmenų. Wu taip pat skiria
skaičių nuo jo išraiškos, bet vadina juos trupmena ir trupmenos simboliu, atitinkamai (žr. 185 pusl.
[Wu, 2011]). Šioje medžiagoje praleidžiamas natūraliųjų skaičių aritmetikos įvadas ir be
paaiškinimo naudojamos kai kurios geometrijos sąvokos (geometrinė tiesė, taškas ant tiesės,
atkarpa, kongruencija). Pastebėsime, kad, siekiant iliustruoti samprotavimų loginį tikslumą,
maksimalus formalizmas – visų sąvokų ir veiksmų su jomis pagrindimas – nėra būtinas.
Geometrijos objektai yra naudojami tik vaizdumui, panašiai kaip skaičiuojant galima naudoti rankos
pirštus.
Skaičių tiesė ir kitos susijusios sąvokos
3
Skaičių tiesė yra geometrinė tiesė, kurioje vienodu atstumu išsidėstę taškai žymi natūraliuosius
skaičius 0,1,2,... . Toliau apibrėžiamos pagalbinės sąvokos.
Apibrėžtis. Tarkime, kad a, b, c yra tiesės taškai, o [a,b] ir [b,c] yra dvi tos pačios tiesės atkarpos,
turinčios vieną bendrą tašką b. Šių atkarpų jungtis yra atkarpa [a,c].
Toliau tarsime, kad atkarpa [a,a] yra taškas a.
Taip pat apibrėžiama bet kurio skaičiaus vienas kitą liečiančių atkarpų jungtis.
Apibrėžtis. Sakysime, kad geometrinės tiesės taškų poros (T,S) ir (U,V) yra vienodai nutolusios, jei
jų sudarytos atkarpos [T,S] ir [U,V] yra kongruenčios, t.y. pastūmus [T,S] taip, kad T sutaptų su U,
S turi sutapti su V.
Geometrinės tiesės taškų pora (T,S) vienareikšmiškai apibrėžia atkarpą [T,S]. Apie atkarpas
sakysime, kad dvi ar daugiau atkarpų turi vienodą ilgį, jei jos yra kongruenčios. Kol kas
neapibrėžiame, kas yra atkarpos ilgis.
Tarkime, kad geometrinėje tiesėje yra pažymėtas nulis ir taškas T esantis į dešinę nuo nulio.
Stumkime atkarpą [0,T] į dešinę nuo nulio tol, kol kairysis atkarpos galas nulis sutaps su T.
Pastumtos atkarpos dešinį galą žymėkime 2T, t.y. atkarpos [0,T] ir [T,2T] turi vienodą ilgį.
Nuosekliai kartodami atkarpos [0,T] stūmimą, gauname taškus 0,T,2T,3T,....., kurie sudaro tai, ką
vadinsime taško T kartotinių taškų seka. Šioje sekoje T vadinamas taško T pirmuoju kartotiniu
tašku, 2T vadinamas taško T antruoju kartotiniu tašku ir t.t. Taško T kartotinių taškų sekos
iliustracija:
——|——————|——————|——————|——————|——
0 T 2T 3T ir t.t.
Dabar priminsime skaičių tiesės apibrėžimą.
Apibrėžtis. Duotoje geometrinėje tiesėje pasirenkame du skirtingus taškus: pirmasis kairėje žymi 0
(nulį), o kitas žymi 1 (vienetą). Vieneto kartotinius taškus vadinsime natūraliaisiais skaičiais.
Skaičių tiesė yra geometrinė tiesė su taškais žyminčiais natūraliuosius skaičius:
——|——————|——————|——————|——————|——
0 1 2 3 ir t.t.
Atkarpa tarp taškų 0 ir 1 vadinama vienetine atkarpa ir žymima [0,1]. Sakysime, kad vienetinei
atkarpai kongruenčios atkarpos ilgis yra lygus vienetui. Vėliau apibrėšime atkarpos ilgį, kurio
reikšmė yra racionalusis skaičius.
Turėdami skaičių tiesę galime apibrėžti skaičiaus sąvoką.
Apibrėžtis. Realusis skaičius yra taškas skaičių tiesėje.
Pastaba. Terminą realusis skaičius pradėjo naudoti René Descartes 1637 m. norėdamas skirti šį
skaičių nuo menamojo skaičiaus.
4
Matematikoje realusis skaičius nėra tapatinamas su tašku skaičių tiesėje. Realusis skaičius yra
elementas aibės, kurioje aksiomų pagalba apibrėžta tam tikra struktūra (pilnas sutvarkytas laukas).
Matematikoje naudojama (pvz. analizinėje geometrijoje) Cantoro-Dedekindo aksioma: tarp
geometrinės tiesės taškų ir realiųjų skaičių aibės egzistuoja tvarką išsauganti abipus vienareikšmė
atitiktis. Realiųjų skaičių tapatinimas su taškais geometrinėje tiesėje yra pateisinamas mokyklinėje
matematikoje siekiant: (1) tiesių atsakymų į paprastus klausimus (pvz., kas yra skaičius); (2)
parodyti, kad sveikieji skaičiai, trupmenos (racionalieji skaičiai) ir iracionalieji skaičiai yra tos
pačios rūšies objektai; (3) logiškai tiksliai pagrįsti aritmetikos veiksmus su skaičiais.
Čia apsiribojame teigiamais realiaisiais skaičiais norėdami paaiškinti tik idėjas. Skaičių tiesėje jau
turime pažymėtus natūraliuosius skaičius. Todėl tolesnis mūsų uždavinys yra skaičių tiesėje
nurodyti racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių vietas (taškus), bei tokia jų samprata pagrįsti
aritmetines operacijas tarp skaičių. Skaičių tiesėje turime natūraliuosius skaičius. Du skaičiai yra
lygūs, žymima =, jei jų vieta skaičių tiesėje yra ta pati.
Racionaliojo skaičiaus ir trupmenos apibūdinimas
Siūlomas apibūdinimas grindžiamas prielaida, kad duotą atkarpą galima padalinti bet kuriuo
skaičiumi vienodai nutolusių taškų, arba, kas yra tas pats, duotą atkarpą padalinti bet kuriuo
skaičiumi vienodo ilgio atkarpų.
Apibrėžtis. Trupmena yra simbolis 𝑚
𝑛, kuriame m yra natūralusis skaičius vadinamas skaitikliu, o
nuliui nelygus natūralusis skaičius n vadinamas vardikliu.
Pirmiausia skaičių tiesėje nurodysime vietas, žymimas trupmenomis, kurių vardikliais yra skaičius
trys, t.y. trupmenomis 1
3,
2
3,
3
3,
4
3, ir t.t.
Vienetinę atkarpą [0,1] daliname į tris vienodo ilgio atkarpas [0,1
3], [
1
3,2
3] ir [
2
3, 1], kurių jungtis yra
vienetinė atkarpa. Kiekvieną kitą atkarpą [1,2], [2,3],.. tokiu pačiu būdu padaliname į tris vienodo
ilgio atkarpas. Taip gautų visų atkarpų ilgiai yra vienodi, nes atkarpos kongruenčios. Pirmąją
atkarpą [0,1
3] pasirinksime trupmenos
1
3 standartine išraiška:
|▬▬ǀ——ǀ——|——ǀ——ǀ——|——ǀ——ǀ——|—— .
0 1
3 1 2 3
Ši atkarpa vienareikšmiškai nusakoma savo dešiniuoju galu:
|——•——ǀ——|——ǀ——ǀ——|——ǀ——ǀ——|—— .
0 1
3 1 2 3
Gautas taškas skaičių tiesėje yra racionalusis skaičius išreiškiamas trupmena 1
3, arba, tiesiog,
racionalusis skaičius 1
3. Taip pat sakysime, kad atkarpos [0,
1
3] ilgis yra
1
3 .
5
Pastaba. Konkretaus objekto skyrimas nuo jį žyminčio vardo ir tam tikras skirtumo supratimas
naudojamas kasdieniniame gyvenime. Pavyzdžiui, žmogus ir jo pavardė. Paprastai nesakome
,,žmogus išreiškiamas pavarde“, bet kontekstas leidžia nuspręsti kada pavardė nurodo konkretų
žmogų. Panašiai, nebūtina kiekvieną kartą pabrėžti racionaliojo skaičiaus ir trupmenos skirtumą.
Panašiu būdu, imant vienetinių atkarpų trečdalius ir apjungus bet kuriuos keturis iš jų, galima gauti
trupmenos 4
3 išraišką atkarpa. Dėl vienaties, pasirinksime pirmųjų keturių atkarpų jungtį, vadindami
ją trupmenos 4
3 standartine išraiška:
|▬▬ǀ▬▬ǀ▬▬|▬▬ǀ——ǀ——|——ǀ——ǀ——|—— .
0 1 4
3 2 3
Kadangi ši atkarpa vienareikšmiškai nusakoma savo dešiniuoju galu, tai jį tapatinsime su