AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai ma- tematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadina- mi aibės elementais. Kai elementas a priklauso aibei A rašome: a ∈ A. Jei b nėra (nepriklauso) aibei A, rašome b/ ∈ A. Pavyzdžiui, 1 ∈{0, 1, 3, 5} ir 2 / ∈{0, 1, 3, 5}. Paminėkime gerai žinomas matematikoje skaičių aibes N = {1, 2, 3,...} – natūralieji skaičiai, Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, 3,...} – sveikieji skaičiai, Q = { m n ,m ∈ Z, n ∈ N } – racionalieji skaičiai, R – realieji skaičiai. Realieji skaičiai gali būti pavaizduoti tiesėje: bet kurį realųjį skaičių atitinka vienintelis tiesės taškas ir atvirksčiai – bet kurį tiesės tašką atitinka vienintelis realusis skaičius.
27
Embed
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYSinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Studiju_medziaga/2010P/Taik... · 2008-12-13 · AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
Aibės sąvoka ir pavyzdžiai
Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai ma-
tematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadina-
mi aibės elementais. Kai elementas a priklauso aibei A
rašome: a ∈ A. Jei b nėra (nepriklauso) aibei A, rašome
b /∈ A. Pavyzdžiui, 1 ∈ {0,1,3,5} ir 2 /∈ {0,1,3,5}.
Paminėkime gerai žinomas matematikoje skaičių aibes
Realieji skaičiai gali būti pavaizduoti tiesėje: bet kurį realųjį
skaičių atitinka vienintelis tiesės taškas ir atvirksčiai – bet
kurį tiesės tašką atitinka vienintelis realusis skaičius.
Aibės poaibis
Apibrėžimas. Jei visi aibės A elementai yra ir aibės B
elementai, sakome, kad A yra aibės B poaibis ir rašomeA ⊂ B.
Pavyzdžiui,
{1,2,3} ⊂ {−1,0,1,√
2,2,3, π} ⊂ R
Pastebėkime, kad skaičių aibės
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Iš poaibio apibrėžimo išplaukia, kad A ⊂ A, t. y. kiekvienaaibė yra savo poabis.
2
Skaičių intervalai
Intervalai – aibės R poaibiai[a, b] – uždarasis intervalas (atkarpa) –aibė {x ∈ R : a 6 x 6 b};(a, b) – atvirasis intervalas –aibė {x ∈ R : a < x < b};(a, b] – pusiau atvirasis intervalas –aibė {x ∈ R : a < x 6 b};[a, b) – pusiau atvirasis intervalas –aibė {x ∈ R : a 6 x < b}.
Begaliniai intervalai:(−∞, a] – aibė {x ∈ R : x 6 a};(−∞, a) – aibė {x ∈ R : x < a};(b,+∞) – aibė {x ∈ R : x > b};[b,+∞) – aibė {x ∈ R : x > b}.
Pastebėkime, kad (−∞,+∞) = R.
3
Aibių sąjunga ir sankirta
Apibrėžimas. Aibių A ir B sąjunga vadiname aibę(žymime A∪B), sudarytą iš elementų, kurie priklauso bentvienai iš aibių A, B (t. y. iš elementų, kurie priklauso arbaaibei A, arba aibei B, arba abiems aibėms A ir B).
Pavyzdžiui,
{1,2,5} ∪ {0,1,3,4,5,6} = {0,1,2,3,4,5,6}
Pastebėkime, kad tų pačių elementų du kartus nerašome.Dar susitarkime, kad nėra svarbi aibės elementų tvarka.
Apibrėžimas. Aibių A ir B sankirta vadiname aibę(žymime A ∩ B), sudarytą iš elementų, kurie priklauso iraibei A, ir aibei B (t. y. iš elementų, kurie priklauso abiemsaibėms A ir B).
Pavyzdžiui,
{1,2,5} ∩ {0,1,3,4,5,6} = {1,5}
4
Tuščioji aibė
Kai aibės A ir B neturi bendrų elementų, jų sankirta irgi
neturi elementų ir vadinama tuščiąja aibe (žymime ∅).
Pavyzdžiui,
{1,2} ∩ {3,4,5} = ∅
(0,1) ∩ (1,1) = ∅
{x ∈ R : x2 + 1 = 0} = ∅
Teorema. Jei A yra bet kuri aibė,
∅ ⊂ A
5
Aibių skirtumas
Aibių A ir B skirtumu (žymime A \ B) vadinama aibė,
sudaryta iš tų aibės A elementų, kurie nėra (nepriklauso)
aibės B elementai.
Pavyzdžiai
{1,2,3}\{2,3,4} = {1}, {2,3,4}\{1,2,3} = {4}
{x ∈ R : |x| > 0} = R, {x ∈ R : |x| > 0} = R\{0}
{x ∈ R : |x| > 0} = ∅
6
Veiksmų su aibėmis
Oilerio diagramos
7
Veiksmai su skaičių intervalais
(−∞, a) ∪ [a,+∞) = R
(−∞, a) ∪ (a,+∞) = R \ {a}
(−∞, a) ∩ [a,+∞) = ∅
(−∞, a] ∩ [a,+∞) = {a}
Tarkime, kad a < b. Tada
(−∞, b] ∩ [a,+∞) = [a, b]
(−∞, b) ∩ (a,+∞) = (a, b)
(−∞, a] ∩ [b,+∞) = ∅
8
Funkcijos apibrėžimas
Tarkime, kad f yra taisyklė, kuri kiekvienam aibės A ele-
mentui, priskiria kurį nors vieną aibės B elementą. Rašome
f : A → B. Pavyzdžiui, A = {Jonas,Petras,Birutė} – fir-mos darbuotojų aibė, B = {vadovas,pavaduotojas,referentas}– pareigų aibė. Taisyklė f , kuri nurodo darbuotojo parei-
gas:
f :Jonas → vadovasPetras → pavaduotojasBirutė → referentas
yra funkcija.
Tarkime, kad a ∈ A, b ∈ B. Tada funkciją galima api-
brėžti jos reikšmėmis f(a) = b. Pažymėkime, JJ – Jonas
Jonaitis, PP – Petras Petraitis, JP – Jonas Petraitis, PJ –Petras Jonaitis, v – vadovas, p – patarėjas, r – referentas.
Taisyklė g:
g (JJ) = v, g (JP) = p, g (PJ) = p, g (PP) = r
irgi yra funkcija.
9
Funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritys
Aibė A vadinama funkcijos f : A → B apibrėžimo sriti-
mi, visų reikšmių f(a) aibė vadinama funkcijos reikšmių
sritimi. Paveiksle pavaizduota funkcija
f : A → B, A = {a, b, c, d}, B = {α, β, γ, δ}.
Jos reikšmių aibė yra {α, β, δ} ⊂ B.
10
Funkcijų pavyzdžiai
Dolerio kursas
Surašykime į lentelę Lietuvos banko nustatytus JAV dolerio
kursus [Lt]:
data 2008-11-03 2008-11-09 2008-11-13Lt už $ 2.61480 2.68440 2.73960
data 2008-11-17 2008-11-22Lt už $ 2.71690 2.76050
Turime funkciją L : D → R.
D – datų aibė, R – realiųjų skaičių aibė.
Pateikta lentelėje informacija leidžia sužinoti dienos d dole-
rio kursą k = L(d). Kintamasis d vadinamas nepriklau-
somu kintamuoju, o funkcijos reikšmė k – priklauso-
mu kintamuoju.
11
Funkcijų pavyzdžiai
Paprastųjų palūkanų skaičiavimas
Tarkime, kad bankas moka r% (procentų) paprastųjų pa-
lūkanų per metus ir pradinis įnašas į banką S0[Lt]. Tada
sukaupta po n metų suma
Sp (n) = S0
(
1 +r
100· n
)
.
Sudėtinių palūkanų skaičiavimas
Tarkime, kad bankas moka r% (procentų) sudėtinių pa-
lūkanų per metus ir pradinis įnašas į banką S0[Lt]. Tada
sukaupta po n metų suma
Ss (n) = S0
(
1 +r
100
)n.
Taigi abiem atvejais Sp,s : N → R.
12
Funkcijos grafikas
Nagrinėsime skaičių funkcijas, t. y. f : A → B,A ⊂ R, B ⊂ R. Tarkime, kad A yra baigtinis ar-ba begalinis intervalas. Tada aibę A galima pavaizduo-ti skaičių tiesėje 0x (abscisių ašyje), o funkcijos reikšmesy = f(x) vaizduojame vertikalioje (ordinačių) ašyje 0y.Taigi plokštumos taškai, kurių Dekarto koordinėtės (x, y),sudaro kreivę – funkcijos grafiką.
Paveiksle pavaizduotos funkcijų y = x + 1 ir y = x2
grafikai.
13
Elementariųjų funkcijų grafikai
Tiesinė funkcija
y = kx + b
14
Kvadratinė funkcija
y = ax2 + bx + c
Diskriminantas D = b2 − 4ac.Lygties y = 0 šaknys (egzistuoja, kai D > 0)
x1,2 =−b ±
√D
2a.
Paveiksle pavaizduotos parabolėsy = x2, y = 2x2, y = −2x3 + 4.
15
Trigonometrinės funkcijos
Paveiksle pavaizduoti funkcijų y = sin x ir y = cos x
Paveiksle pavaizduoti funkcijųy = log2x – (1), y = lnx – (2), y = lg x – (3)grafikai.
18
Funkcijų reiškimas keliomis formulėmis
Tarkime, kad funkcijos f(x) aibrėžimo sritis yra aibė D ir
A ⊂ D. Jei funkcija f(x) reiškiama formule f1(x), kai
x ∈ A ir formule f2(x) priešingu atveju. Tada rašome
f(x) =
{
f1(x), kai x ∈ A,f2(x), kai x ∈ D \ A.
Pavyzdys. Tarkime, kad tam tikra paslauga buvo pasiū-
lyta laiko momentų t1, o laiko momentu t2 ja naudojosi
100% visų vartotojų. Funkcija
L(t) =
0, kai t 6 t1,
100t−t1t2−t1
, kai t1 < t < t2,
100, kai t > t2
gali būti tokios paslaugos tiekimo lygio matematinis mode-
lis.
19
Atkarpomis tiesinė funkcija
Funkcija L(t) vadinama atkarpomis tiesinė funkcija. Josgrafikas pavaizduotas paveiksle.
Uždavinys. Nustatykime laiko momentą, kai paslauganaudojosi 30% visų vartotojų.Sprendžiame lygtį:
L(t) = 100t − t1t2 − t1
= 30
⇒ t = t1 + 0,3 (t2 − t1) = 0,7t1 + 0,3t2.
20
Tiesės lygtis
Tarkime, kad žinomos dvi tiesinės funkcijos y(x) = kx+b
reikšmės y(
x1
)
= y1, y(
x2
)
= y2. Tiesė eina per
taškus A1
(
x1, y1
)
ir A2
(
x2, y2
)
. Tada
x − x1
x2 − x1
=y − y1
y2 − y1
arba
y =y2 − y1
x2 − x1
x − y2 − y1
x2 − x1
x1 + y1.
Taigi
k =y2 − y1
x2 − x1
, b = −y2 − y1
x2 − x1
x1 + y1.
Pavyzdys. Užrašykime tiesės, einančios per taškus A(1,2)
ir B(2,1) lygtį.
Taikome formulę:
x − 1
2 − 1=
y − 2
1 − 2⇒ x − 1 = −y + 2
arba y = −x + 3.
21
Pavyzdys
Akcijos kaina didėjo nuo sausio 7 (12Lt) iki vasario 11 (20Lt),po to mažėjo iki vasario 28 (15Lt). Sudarykime atkarpomistiesinę kainos funkciją k(t). Laiką t matuosime dienų skai-čiais nuo metų pradžios: sausio 7 pažymėkime t1 = 7,vasario 11: t2 = 42 ir vasario 28: t3 = 59. Tada, kait ∈
[
t1, t2
]
, turime tiesės einančios per taškus (7,12) ir
(42,20) atkarpą. Kai t ∈[
t2, t3
]
– per taškus (42,20)
ir (59,15). Taigi pirmuoju atveju
k − 12
20 − 12=
t − 7
42 − 7,
o antruoju –
k − 20
15 − 20=
t − 42
59 − 42.
Užrašome
k(t) =
835 t + 52
5 kai 7 6 t 6 42
≈ 0,2286t + 10,40
− 517 t + 550
17 kai 42 6 t 6 59
≈ −0,2941t + 32,35
22
Apskaičiuokime akcijos kainą sausio 17 ir vasario 21 dieno-
mis.
Sausio 17 yra 17-oji metų diena. Kadangi 17 ∈ [7,42],
gauname
k(17) ≈ 0,2286 · 17 + 10,40 = 14,29[Lt]
Vasario 21 yra 31 + 21 = 52-oji metų diena. Turime
52 ∈ [42,59] ir
k(52) ≈ −0,2941 · 52 + 32,35 = 17,06[Lt]
23
Interpoliacija
Raskime einančią per tris žinomus taškus parabolę
y = ax2 + bx + c.
Tarkime, kad žinomi taškai A1
(
x1, y1
)
, A2
(
x2, y2
)
,
A3
(
x3, y3
)
ir x1 6= x2, x1 6= x3, x2 6= x3. Tada
kvadratinį trinarį galima užrašyti taip:
y(x) = y1
(
x − x2
) (
x − x3
)
(
x1 − x2
) (
x1 − x3
)+
+y2
(
x − x1
) (
x − x3
)
(
x2 − x1
) (
x2 − x3
)+
+y3
(
x − x1
) (
x − x2
)
(
x3 − x1
) (
x3 − x2
),
kuris vadinamas Lagranžo interpoliaciniu daugianariu (po-
linomu).
24
Pavyzdys
Raskime, einančią per taškus (7,12), (42,20) ir (59,15),
parabolę
k(t) =12 (t − 42)(t − 59)
(7 − 42)(7 − 59)+20
(t − 7)(t − 59)
(42 − 7)(42 − 59)+
+15(t − 7)(t − 42)
(59 − 7)(59 − 42)=
=12(t2 − 101t + 2478)
1820−20(t2 − 68t + 413)
595+
+15(t2 − 49t + 294)
884=
= − 311
30940t2 +
22311
30940t +
16453
2210
25
Apskaičiuokime k(17) ir k(52). Turime
k(t) ≈ −0,0101 t2 + 0,7211 t + 7,444
ir
k(17) ≈ −0,0101 · 172 +0,7211 · 17 +7,444 ≈
≈ 16,80,
k(52) ≈ −0,0101 · 522 +0,7211 · 52 +7,444 ≈
≈ 17,76.
26
Paveiksle pavaizduota parabolė ir dviejų tiesių atkarpos,
jungiančios tuos pačius taškus (7,12), (42,20) ir (59,15).