ÑAÏI SOÁ VAØ HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH 1 · PDF fileHöôùng daãn sinh vieân ñoïc giaùo trình...

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC

TAÏ LEÂ LÔÏI

ÑAÏI SOÁ VAØ HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH 1 (Giaùo Trình)

-- Löu haønh noäi boä -- Ñaø Laït 2008

Höôùng daãn sinh vieân ñoïc giaùo trình

Ñaây laø giaùo trình Ñaïi soá vaøHình hoïc Giaûi tích 1 daønh cho sinh vieân naêm thöù nhaátngaønh Toaùn hay ngaønh Toaùn Tin. Noäi dung ñeà caäp ñeán moät soá khaùi nieäm vaø keát quaûcô baûn nhaát cuûa ñaïi soá tuyeán tính: soá phöùc, ña thöùc moät bieán, heä phöông trình tuyeántính, khoâng gian vector, aùnh xaï tuyeán tính, ñònh thöùc. Ngoaøi ra, giaùo trình ñeà caäp tôùimoät soá aùp duïng cuûa ñaïi soá tuyeán tính vaøo hình hoïc: vector. Ñeå ñoïc ñöôïc giaùo trìnhnaøy sinh vieân chæ caàn bieát chuùt ít lyù thuyeát taäp hôïp vaø aùnh xaï, cuøng vôùi moät vaøi lyùluaän logic toaùn caên baûn (e.g. qui taéc tam ñoaïn luaän, phöông phaùp phaûn chöùng, phöôngphaùp qui naïp). Ngöôøi ñoïc laàn ñaàu neân ñoïc laàn löôït theo thöù töï ñöôïc trình baøy tronggiaùo trìnhï.

Ñeå ñoïc moät caùch tích cöïc, sau caùc khaùi nieäm vaø ñònh lyù sinh vieân neân ñoïc kyõ caùc víduï, laøm moät soá baøi taäp neâu lieàn ñoù. Neân döïa vaøo tröïc quan ñeå trôï giuùp vieäc tö duykhaùi quaùt vaø tröøu töôïng. Ngoaøi ra hoïc toaùn phaûi laøm baøi taäp. Moät soá baøi taäp caên baûnnhaát cuûa moãi chöông ñöôïc neâu ôû phaàn cuoái cuûa giaùo trình.

Veà nguyeân taéc neân ñoïc moïi phaàn cuûa giaùo trình. Tuy vaäy, coù theå neâu ôû ñaây moät soáñieåm caàn löu yù ôû töøng chöông:

0. Kieán thöùc chuaån bò. Laàn ñaàu ñoïc coù theå boû qua caùc muïc 3.8, 3.9.I. Khoâng gian vector hình hoïc. Laàn ñaàu ñoïc coù theå boû qua caùc muïc 2.3II. Ma traän - Phöông phaùp khöõ Gauus. Coù theå boû muïc 2.10.III. Khoâng gian vector. Laàn ñaàu ñoïc coù theå boû qua phaàn 3 veà toång, tích, thöông caùckhoâng gian vector.IV. AÙnh xaï tuyeán tính. Laàn ñaàu ñoïc coù theå boû phaàn 3 veà khoâng gian ñoái ngaãu.V. Ñònh thöùc. Coù theå khoâng ñoïc muïc 3.3, vaø caùc aùp duïng cuûa ñònh thöùc ôû caùc muïc4.4, 4.5, 4.6.

Ñeå vieäc töï hoïc coù keát quaû toát sinh vieân neân tham khaûo theâm moät soá taøi lieäu khaùc coùnoäi dung lieân quan (ñaëc bieät laø phaàn höôùng daãn giaûi caùc baøi taäp). Khoù coù theå neâu heáttaøi lieäu neân tham khaûo, ôû ñaây chæ ñeà nghò caùc taøi lieäu sau (baèng tieáng Vieät):

[1] Jean-Marier Monier, Ñaïi soá 1 vaø 2 , NXB Giaùo duïc.[2] Jean-Marier Monier, Hình hoïc , NXB Giaùo duïc.[3] Leâ Tuaán Hoa, Ñaïi soá tuyeán tính qua caùc ví duï & baøi taäp, NXB Ñaïi hoïc Quoác giaHaø noäi.

Ngoaøi ra, sinh vieân neân tìm hieåu vaø söû duïng moät soá phaàn meàm maùy tính hoã trôï chovieäc hoïc vaø laøm toaùn nhö Maple, Mathematica,...

Chuùc caùc baïn thaønh coâng!

Ñaïi soá vaø Hình hoïc giaûi tích 1

Taï Leâ Lôïi

Muïc luïc

Chöông 0. Kieán thöùc chuaàn bò1. Caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Tröôøng soá phöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. Ña thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Chöông I. Khoâng gian vector hình hoïc1. Vector hình hoïc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152. Cô sôû Descartes - Toïa ñoä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173. Coâng thöùc ñaïi soá cuûa caùc pheùp toaùn treân vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Chöông II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss1. Ma traän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272. Caùc pheùp toaùn treân ma traän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283. Phöông phaùp khöû Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Chöông III. Khoâng gian vector1. Khoâng gian vector - Khoâng gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412. Cô sôû - Soá chieàu - Toïa ñoä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443. Toång - Tích - Thöông khoâng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Chöông IV. AÙnh xaï tuyeán tính1. AÙnh xaï tuyeán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532. AÙnh xaï tuyeán tính vaø ma traän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. Khoâng gian ñoái ngaãu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Chöông V. Ñònh thöùc1. Ñònh thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652. Tính chaát cuûa ñònh thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673. Tính ñònh thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694. Moät soá öùng duïng cuûa ñònh thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Baøi taäp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

0. Kieán thöùc chuaån bò

Chöông naøy neâu ñònh nghóa veà caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn laø nhoùm, vaønh vaø tröôøng.Phaàn tieáp theo laø moät soá kieán thöùc toái thieåu veà soá phöùc vaø ña thöùc.

1. Caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn

1.1 Ñònh nghóa. Cho A laø moât taäp hôïp. Moät pheùp toaùn hai ngoâi treân A laø moätaùnh xaï:

� : A×A→ A

Khi ñoù aûnh cuûa caëp (x, y) ∈ A×A bôûi aùnh xaï � seõ ñöôïc kyù hieäu laø x � y

• Pheùp toaùn � goïi laø coù tính keát hôïp neáuu1 (x � y) � z = x � (y � z), ∀x, y, z ∈ A• Pheùp toaùn � goïi laø coù tính giao hoaùn neáuu x � y = y � x, ∀x, y ∈ A• Phaàn töû e ∈ A, goïi laø phaàn töû ñôn vò , neáuu x � e = e � x = x, ∀x ∈ AKhi � vieát theo loái coäng + thì phaàn töû ñôn vò goïi laø phaàn töû khoâng vaø kyù hieäu laø 0.Khi � vieát theo loái nhaân · thì phaàn töû ø kyù hieäu laø 1.• Giaû söû pheùp toaùn � coù phaàn töû ñôn vò e. Khi ñoù x ∈ A goïi laø khaû nghòch neáuu toàntaïi x′ ∈ A sao cho: x � x′ = x′ � x = e. Khi ñoù x′ phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x.Khi � vieát theo loái coäng, thì phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x goïi laø phaàn töû ñoái vaø kyù hieäu

laø −x. Khi � vieát theo loái nhaân, thì phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x kyù hieäu laø x−1 hay1x.

Nhaän xeùt. Phaàn töû ñôn vò neáu coù laø duy nhaát:Neáu e1, e2 laø hai phaàn töû ñôn vò, thì e1 = e1 � e2 = e2.Nhaän xeùt. Neáu � coù tính keát hôïp, thì phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x neáu coù laø duy nhaát:Neáu x′, x′′ laø hai phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x, thì x′ = x′�e = x′�(x�x′′) = (x′�x)�x′′ =e � x′′ = x′′.

Baøi taäp: Haõy xeùt caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân treân A := N,Z,Q,R coù tính chaátgì? Coù phaàn töû ñôn vò? Coù phaàn töû nghòch ñaûo?

1.2. Nhoùm. Moät nhoùm laø moät caëp (G, �), trong ñoù G laø moät taäp hôïp khoâng roãng, coøn� laø moät pheùp toaùn hai ngoâi treân G, thoaû caùc ñieàu kieän sau:(G1) � coù tính keát hôïp.(G2) � coù phaàn töû ñôn vò.(G3) Moïi phaàn töû cuûa G ñeàu coù phaàn töû nghòch ñaûo.Nhoùm G ñöôïc goïi laø nhoùm giao hoaùn hay nhoùm Abel neáu:(G4) � coù tính giao hoaùn.

Ngöôøi ta thöôøng noùi nhoùm G thay vì (G, �) khi ñaõ ngaàm hieåu pheùp toaùn naøo. Qui öôùcnaøy cuõng duøng cho khaùi nieäm vaønh, tröôøng tieáp sau.

1Trong giaùo trình naøy: neáuu = neáu vaø chæ neáu.

2

Ví duï.a) Taäp N vôùi pheùp coäng khoâng laø nhoùm vì khoâng chöùa phaàn töû ñoái. Taäp Z,Q,R laønhoùm giao hoaùn vôùi pheùp coäng, nhöng khoâng laø nhoùm vôùi pheùp nhaân vì 0 khoâng coùphaàn töû nghòch ñaûo.b) Taäp caùc song aùnh töø moät taäp X leân chính X laø moät nhoùm vôùi pheùp hôïp aùnh xaï.Noùi chung nhoùm naøy khoâng giao hoaùn.

1.3 Vaønh. Moät vaønh laø moät boä ba (R,+, ·), trong ñoù R laø moät taäp khoâng roãng, coøn+ vaø · laø caùc pheùp toaùn treân R, thoaû caùc ñieàu kieän sau:(R1) (R,+) laø moät nhoùm giao hoaùn.(R2) Pheùp nhaân · coù tính keát hôïp.(R3) Pheùp nhaân coù tính phaân phoái veà hai phía ñoái vôùi pheùp coäng:

x(y + z) = xy + xz vaø (y + z)x = yx+ zx ∀x, y, z ∈ R

Neáu pheùp nhaân coù tính giao hoaùn thì R goïi laø vaønh giao hoaùn.

Ví duï.a) Z,Q,R vôùi pheùp coäng vaø nhaân laø caùc vaønh giao hoaùn.b) Zp caùc lôùp caùc soá nguyeân ñoàng dö theo moät soá p laø vaønh giao hoaùn vôùi pheùp coängvaø nhaân ñöôïc ñònh nghóa:

[m] + [n] = [m+ n], [m][n] = [mn]

1.4 Tröôøng. Moät tröôøng laø moät vaønh giao hoaùn coù ñôn vò 1 �= 0 vaø moïi phaàn töûkhaùc khoâng cuûa K ñeàu coù phaàn töû nghòch ñaûo. Moät caùch ñaày ñuû, moät tröôøng laø boäba (K,+, ·), trong ñoù K laø taäp khoâng roãng, + vaø · laø caùc pheùp toaùn treân K thoaû 9ñieàu kieän sau vôùi moïi x, y, z ∈ K:(F1) (x+ y) + z = x+ (y + z)(F2) ∃0 ∈ K, x+ 0 = 0 + x = x(F3) ∃ − x ∈ K, x+ (−x) = −x+ x = 0(F4) x+ y = y + x(F5) (xy)z = x(yz)(F6) ∃1 ∈ K, 1 �= 0, x1 = 1x = x(F7) Khi x �= 0, ∃x−1 ∈ K, xx−1 = x−1x = 1(F8) xy = yx(F9) x(y + z) = xy + xz

Ví duï.a) Vaønh (Z,+, ·) khoâng laø tröôøng. (Q,+, ·), (R,+·) laø caùc tröôøng.b) Neáu p laø soá nguyeân toá, thì Zp laø moät tröôøng. Hôn nöõa, Zp laø taäp höõu haïn vaø vôùimoïi [n] ∈ Zp, [n] + · · ·+ [n]︸︷︷︸

p laàn

= [0].

Ñaëc soá cuûa moät tröôøng K, kyù hieäu char(K), laø soá töï nhieân döông beù nhaát sao

Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 3

cho 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸n laàn

= 0. Neáu khoâng coù soá töï nhieân nhö vaäy, thì K goïi laø coù ñaëc soá 0.

Ví duï. Q,R coù ñaëc soá 0, coøn Zp coù ñaëc soá p. Ta coù 1 + 1 = 0 trong Z2 !

2. Tröôøng soá phöùc

Treân tröôøng soá thöïc, khi xeùt phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 tröôøng hôïpb2 − 4ac < 0 phöông trình voâ nghieäm vì ta khoâng theå laáy caên baäc hai soá aâm. Ñeå caùcphöông trình nhö vaäy coù nghieäm, ta caàn theâm vaøo taäp caùc soá thöïc caùc caên baäc haicuûa soá aâm. Phaàn naøy ta seõ xaây döïng taäp caùc soá phöùc C laø môû roäng taäp soá thöïc R,treân ñoù ñònh nghóa caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân ñeå C laø moät tröôøng. Hôn nöõa, moïiphöông trình baäc hai, chaúng haïn x2 + 1 = 0, ñeàu coù nghieäm trong C.

2.1 Ñònh nghóa. Ta duøng kyù hieäu i, goïi laø cô soá aûo , ñeå chæ nghieäm phöông trìnhx2 + 1 = 0, i.e. i2 = −1. Taäp soá phöùc laø taäp daïng:

C = {z : z = a+ ib, vôùi a, b ∈ R}z = a+ ib goïi laø soá phöùc, a = Rez goïi laø phaàn thöïc, b = Imz goïi laø phaàn aûo.z1 = z2 neáuu Rez1 = Rez2, Imz1 = Imz2.

Ta xem R laø taäp con cuûa C khi ñoàng nhaát R = {z ∈ C : Imz = 0}Töø “soá aûo” sinh ra töø vieäc ngöôøi ta khoâng hieåu chuùng khi môùi phaùt hieän ra soá phöùc.Thöïc ra soá phöùc raát “thöïc” nhö soá thöïc vaäy.

Ví duï.a) Soá phöùc z = −6 + i

√2 coù phaàn thöïc Rez = −6, phaàn aûo Imz =

√2.

b) Ñeå giaûi phöông trình z2 + 2z + 4 = 0, ta bieán ñoåi z2 + 2z + 4 = (z + 1)2 + 3.Vaäy phöông trình töông ñöông (z + 1)2 = −3. Suy ra nghieäm z = −1± i√3.

Sau ñaây laø ñònh nghóa caùc pheùp toaùn vöøa thöïc hieän.

2.2 Caùc pheùp toaùn. Treân C coù hai pheùp toaùn ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:

Pheùp coäng. (a+ ib) + (c+ id) = (a+ c) + i(b+ d)Pheùp nhaân. (a+ ib)(c+ id) = (ac− bd) + i(ad+ bc)

Nhaän xeùt. Pheùp nhaân ñöôïc tính nhö nhaân caùc soá thoâng thöôøng vôùi chuù yù laø i2 = −1.

Meänh ñeà. Vôùi caùc pheùp toaùn treân C laø tröôøng soá.

Meänh ñeà treân deã suy töø ñònh nghóa vôùi chuù yù laø:Pheùp coäng coù phaàn töû khoâng laø 0 = 0+i0, phaàn töû ñoái cuûa z = a+ib laø −z = −a−ib.Pheùp nhaân coù phaàn töû ñôn vò laø 1 = 1 + i0, nghòch ñaûo cuûa z = a + ib �= 0 laø

z−1 =1z

=a

a2 + b2− i b

a2 + b2

Söï toàn taïi vaø vieäc tìm nghòch ñaûo ñöôïc thöïc hieän bôûi pheùp chiaa+ ib

c+ id(c + id �= 0)

4

khi giaûi phöông trình a+ ib = (c+ id)(x+ iy). Ñoàng nhaát phaàn thöïc, phaàn aûo ta coù{cx− dy = adx+ cy = b

Vaäya+ ib

c+ id=ac+ bd

c2 + d2+ i

bc− adc2 + d2

Pheùp lieân hôïp. z = a− ib goïi laø soá phöùc lieân hôïp cuûa z = a+ ib.

Tính chaát. z = z, z1 + z2 = z1 + z2, z1z2 = z1z2.

Nhaän xeùt. Neáu z = a + ib, thì zz = a2 + b2. Töø ñoù coù theå chia 2 soá phöùc baèngcaùch nhaân soá lieân hieäp cuûa maãu, chaúng haïn

2− 5i3 + 4i

=(2− 5i)(3− 4i)(3 + 4i)(3− 4i)

=6− 23i+ 20i2

32 − 42i2=−14− 23i

25

2.3 Bieåu dieãn soá phöùc. Sau ñaây laø moät soá bieåu dieãn khaùc nhau cuûa soá phöùc

��z

O� x

�

y

�i

a

b

r

ϕ

Daïng ñaïi soá. z = a+ ib, a, b ∈ R, i2 = −1.

Daïng hình hoïc. z = (a, b), a, b ∈ R.Trong maët phaúng ñöa vaøo heä toïa truïc Descartes vôùi 1 = (1, 0), i = (0, 1) laø 2 vectorcô sôû. Khi ñoù moãi soá phöùc z = a + ib ñöôïc bieåu dieãn bôûi vector (a, b), coøn C ñöôïcñoàng nhaát vôùi R2 . Trong pheùp bieåu dieãn naøy pheùp coäng soá phöùc ñöôïc bieåu thò bôûipheùp coäng vector hình hoïc.

Daïng löôïng giaùc. z = r(cosϕ+ i sinϕ)Bieåu dieãn soá phöùc z = (a, b) trong toïa ñoä cöïc (r, ϕ), trong ñoù r laø ñoä daøi cuûa z, ϕ laøgoùc ñònh höôùng taïo bôûi 1 = (1, 0) vaø z trong maët phaúng phöùc. Ta coù:{

a = r cosϕb = r sinϕ

vaø

{r = |z| = √a2 + b2, goïi laø modul cuûa zϕ = Arg z, goïi laø argument cuûa z

Vaäy neáu z �= 0, thì cosϕ =a√

a2 + b2, sinϕ =

b√a2 + b2

.

Ta thaáy ϕ coù voâ soá giaù trò sai khaùc nhau k2π, k ∈ Z, trong ñoù coù moät giaù trò ϕ ∈ (−π, π]


goïi laø giaù trò chính vaø kyù hieäu laø argz. Vaäy coù theå vieát

Argz = argz + k2π, k ∈ Z.

Ví duï. z =√

3 − i coù modul |z| =√

(√

3)2 + (−1)2 = 2, vaø argument argz = −π3

(suy töø tanϕ = −1√3vaø Rez > 0). Vaäy

√3− i = 2(cos(−π

3 ) + i sin(−π3 )).

Moãi caùch bieåu dieãn soá phöùc coù thuaän tieän rieâng. Sau ñaây laø moät soá öùng duïng.

2.4 Meänh ñeà. |z1z2| = |z1||z2| vaø Arg(z1z2) = Argz1 + Argz2Suy ra coâng thöùc de Moivre

(r(cosϕ+ i sinϕ))n = rn(cosnϕ+ i sinnϕ), n ∈ N

Chöùng minh: Neáu z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1), z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2), thì

z1z2 = r1r2(cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2) + i(sinϕ1 cosϕ2 + cosϕ1 sinϕ2)= r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2))

Suy ra |z1z2| = r1r2 = |z1||z2|, vaø Arg(z1z2) = ϕ1 + ϕ2 + 2kπ = Argz1 + Argz2. �

Nhaän xeùt. Veà maët hình hoïc pheùp nhaân soá phöùc r(cosϕ + i sinϕ) vôùi soá phöùc zlaø pheùp co daõn vector z tæ soá r vaø quay goùc ϕ. (xem hình veõ)

2.5 Caên baäc n cuûa soá phöùc. Cho z ∈ C vaø n ∈ N. Moät caên baäc n cuûa z laømoät soá phöùc w thoaû phöông trình wn = z.Ñeå giaûi phöông trình treân, bieåu dieãn z = r(cosϕ+ i sinϕ) vaø w = ρ(cos θ + i sin θ).Töø coâng thöùc de Moivre ρn(cos(nθ) + i sin(nθ)) = r(cosϕ+ i sinϕ).Suy ra {

ρ = n√r (caên baäc n theo nghóa thöïc)

nθ = ϕ+ 2kπ, k ∈ Z

Vaäy khi z �= 0, phöông trình coù ñuùng n nghieäm phaân bieät:

wk = n√r(cos(

ϕ

n+ k

2πn

) + i sin(ϕ

n+ k

2πn

)), k = 0, · · · , n− 1.

Khi z �= 0, kyù hieäu n√z laø taäp n caên baäc n cuûa z.

√0 = 0.

Veà maët hình hoïc chuùng laø caùc ñænh cuûa moät ña giaùc ñeàu n caïnh, noäi tieáp ñöôøng troøntaâm 0 baùn kính n

√r.

6

��z

O�

�

��

r(cos ϕ + i sin ϕ)z

ϕ

Nhaân r(cosϕ+ i sinϕ) vôùi z wn = 1, vôùi n = 8

�w0

�w1

�w2

�w3

�

�

�

�

Ví duï.a) Caên baäc n cuûa 1 laø n soá phöùc: 1, ωn, · · · , ωn−1

n , vôùi ωn = cos 2πn + i sin 2π

n

b) Ñeå tìm caùc gía trò cuûa 3√

1 + i, ta bieåu dieãn 1 + i =√

2(cos π4 + i sin π

4 ).Suy ra 3

√1 + i = 2

16 (cos( π

12 + 2kπ3 ) + i sin( π

12 + 2kπ3 )), k ∈ Z.

Vaäy coù 3 giaù trò phaân bieät laø:

k = 0, w0 = 216 (cos( π

12) + i sin( π12))

k = 1, w1 = 216 (cos(3π

4 ) + i sin(3π4 )) = ω3w0

k = 2, w2 = 216 (cos(17π

12 ) + i sin(17π12 )) = ω3w0

3. Ña thöùc

3.1 Ñònh nghóa. Cho K laø moät tröôøng. Moät ña thöùc treân K laø bieåu thöùc daïng

P (X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn,

trong ñoù n ∈ N, vaø ak ∈ K, k = 0, · · · , n, goïi laø heä soá baäc k cuûa P (X).Hai ña thöùc goïi laø baèng nhau neáuu moïi heä soá cuøng baäc cuûa chuùng baèng nhau.Neáu an �= 0, thì n goïi laø baäc cuûa P (X) vaø kyù hieäu n = degP (X), an = lcP (X).Neáu ak = 0 vôùi moïi k, thì P (X) goïi laø ña thöùc khoâng vaø qui öôùc deg(0) = −∞.

Ta thöôøng vieát döôùi daïng toång: P (X) =n∑

k=0

akXk hay P =

∑k

akXk laø toång voâ haïn

nhöng chæ coù höõu haïn ak �= 0.Kyù hieäu K[X] laø taäp moïi ña thöùc treân K.

3.2 Caùc pheùp toaùn treân ña thöùc. Treân K[X] coù hai pheùp toaùn coäng vaø nhaân ñònhnghóa nhö sau:Pheùp coäng:

∑k

akXk +

∑k

bkXk =

∑k

(ak + bk)Xk

Pheùp nhaân: (∑

i

aiXi)(∑j

bjXj) =

∑k

ckXk vôùi ck = a0bk + · · ·+ akb0 =

∑i+j=k

aibj .

Meänh ñeà. K[X] laø vôùi hai pheùp toaùn treân laø moät vaønh giao hoaùn.

Baøi taäp: Chöùng minh meänh ñeà treân.


Nhaän xeùt. degP (X)Q(X) = degP (X) + degQ(X), vôùi moïi P (X), Q(X) ∈ K[X].

3.3 Pheùp chia Euclid. Cho hai ña thöùc P0(X), P1(X) ∈ K[X], P1(X) �= 0.Khi ñoù toàn taïi duy nhaát caùc ña thöùc Q(X), R(X) ∈ K[X], sao cho

P0(X) = Q(X)P1(X) +R(X), degR(X) < degP1(X)

Ta goïi Q(X) laø thöông , R(X) laø phaàn dö cuûa pheùp chia P0(X) cho P1(X), vaø ñöôïcxaây döïng cuï theå theo thuaät toaùn sau:

Thuaät toaùn chia Euclid.Input: P0, P1 ∈ K[X], P1 �= 0Output: Q,R ∈ K[X], thoaû P0 = QP1 +R, degR < degP1.

Tröôùc heát cho R0 = P0, Q0 = 0.Giaû söû ôû voøng laëp thöù k ta coù Qk, Rk ∈ K[X], thoaû P0 = QkP1 +Rk

Neáu nk = degRk − degP1 < 0, thì ñaõ chia xong Q = Qk, R = Rk

Neáu nk = degRk − degP1 > 0, thì khöû heä soá baäc cao nhaát cuûa Rk baèng caùch:

Rk+1 = Rk − lc(Rk)lc(P1)

XnkP1

Qk+1 = Qk +lc(Rk)lc(P1)

Xnk

Ta coù P0 = Qk+1P1 +Rk+1

Do degRk+1 < degRk, neân ñeán voøng laëp thöù m ≤ degP0, ta coù degRm < degP1.Khi ñoù Q = Qm, R = Rm.

Ví duï. Thuaät toaùn chia Euclid X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 cho X3 +X2 − 4X − 4coù theå thöïc hieän theo sô ñoà

R0 = X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 | X3 +X2 − 4X − 4R1 = − 3X3 − 2X2 + 16X + 15 X − 3R2 = X2 + 4X + 3

Vaäy X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 = (X3 +X2 − 4X − 4)(X − 3) +X2 + 4X + 3

Baøi taäp: Thöïc hieän pheùp chia P (X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn cho X − c.

3.4 Öôùc chung lôùn nhaát. Ña thöùc P (X) ∈ K[X] goïi laø chia heát cho ña thöùcD(X) ∈ K[X] neáuu toàn taïi ña thöùc A(X) ∈ K[X], sao cho P (X) = A(X)D(X).Khi ñoù D(X) goïi laø moät öôùc cuûa P (X) vaø kyù hieäu D(X)|P (X).Öôùc chung lôùn nhaát cuûa caùc ña thöùc P0(X), P1(X) ∈ K[X], laø moät ña thöùc D(X) ∈K[X], thoaû ñieàu kieän:

D(X)|P0(X), D(X)|P1(X) vaø neáu C(X)|P0(X), C(X)|P1(X) thì C(X)|D(X)

Khi ñoù kyù hieäu D(X) = GCD(P0(X), P1(X))Nhaän xeùt. Öôùc chung lôùn nhaát ñöôïc xaùc ñònh sai khaùc moät haèng soá tæ leä.Nhaän xeùt. Neáu P0 = QP1 + R, thì GCD(P0, P1) = GCD(P1, R), vì öôùc chung cuûa

8

P0, P1 laø öôùc chung cuûa P1, R.Ngoaøi ra GCD(R, 0) = R, neân öôùc chung lôùn nhaát ñöôïc xaây döïng töø daõy phaàn dö cuûathuaät chia Euclid, nhö sau:

Thuaät toaùn tìm GCD.Input : P0, P1 ∈ K[X], P0, P1 �= 0Output : GCD(P0, P1) vaø U, V ∈ K[X], thoaû UP0 + V P1 = GCD(P0, P1)

Xaây döïng daõy ña thöùc khaùc khoâng (P0, P1, P2, · · · , Pm), vôùi Pk laø phaàn dö cuûa pheùpchia Pk−2 cho Pk−1:

Pk−2 = Qk−1Pk−1 + Pk (k = 2, · · · ,m− 1)Pm−2 = Qm−1Pm−1 + Pm

Pm−1 = QmPm

Theo nhaän xeùt treân ta coù GCD(P0, P1) = GCD(Pm, 0) = Pm

Thuaät toaùn coøn cho caùc daõy ña thöùc (U0, · · · , Um) vaø (V0, · · · , Vm), thoaû

Pk = UkP0 + VkP1, (k = 0, · · · ,m) (∗)Tröôùc heát, khi k = 0, 1, ta phaûi coù U0 = 1, V0 = 0 vaø U1 = 0, V1 = 1. Sau ñoù ñeä qui

Uk = Uk−2 −Qk−1Uk−1 vaø Vk = Vk−2 −Qk−1Vk−1 (k = 2, · · ·m)

Ta kieåm tra daõy thoaû (∗) baèng qui naïp. Giaû söû (∗) ñuùng ñeán k − 1. Khi ñoù

Pk = Pk−2 −Qk−1Pk−1

= (Uk−2P0 + Vk−2P1)−Qk−1(Uk−1P0 + Vk−1P1)= (Uk−2 −Qk−1)P0 + (Vk−2 −Qk−1Vk−1)P1

= UkP0 + VkP1

Khi U = Um, V = Vm ta coù UP0 + V P1 = Pm = GCD(P0, P1). Vaäy ta coù:

Ñaúng thöùc Beùzout. Cho P0(X), P1(X) ∈ K[X]. Khi ñoù toàn taïi U(X), V (X) ∈ K[X]sao cho

GCD(P0(X), P1(X)) = U(X)P0(X) + V (X)P2(X)

Ví duï. Vôùi P0(X) = X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 vaø P1(X) = X3 +X2 − 4X − 4,caùc böôùc cuûa thuaät toaùn treân ñöôïc theå hieän qua baûng sau

k Pk−2 Pk−1 Qk−1 Pk

2 X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 X3 +X2 − 4X − 4 X − 3 X2 + 4X + 33 X3 +X2 − 4X − 4 X2 + 4X + 3 X − 3 5X + 54 X2 + 4X + 3 5X + 5 1

5X + 35 0

5 5X + 5 0

U0 = 1, U1 = 0, U2 = 1, U3 = −X + 3, U4 = 15X

2 − 45 , U5 = −X + 3

V0 = 0, V1 = 1, V2 = −X+3, V3 = X2−6X+10, V4 = −15X3+

35X2+

35X−3, V5 = X2−6X+10


Vaäy GCD(P0, P1) = 5X + 5 vaø (−X + 3)P + 0 + (X2 − 6X + 10)P1 = 5X + 5.

3.5 Nghieäm - Boäi. Cho ña thöùc P (X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn ∈ K[X].

Giaù trò cuûa P (X) taïi c ∈ K ñònh nghóa laø P (c) = a0 + a1c+ · · ·+ ancn.

Nhaän xeùt. Ñeå duøng ít pheùp toaùn khi tính P (c), ta coù qui taéc Horner sau

P (c) = (· · · ((anc+ an−1)c+ an−1)c+ · · ·+ a1)c+ a0

Neáu P (c) = 0, thì c goïi laø moät nghieäm cuûa P (X).

Ñònh lyù Beùzout. c ∈ K laø nghieäm cuûa ña thöùc P (X) khi vaø chæ khi toàn taïi ñathöùc Q(X) ∈ K[X], sao cho P (X) = (X − c)Q(X)

Chöùng minh: Theo pheùp chia Euclid P (X) = (X − c)Q(X) + r, vôùi r ∈ K.Suy ra P (c) = r. Vaäy P (c) = 0 khi vaø chæ khi r = 0 hay P (X) = (X − c)Q(X). �

Nhaän xeùt. Theo ñònh lyù treân, soá nghieäm cuûa moät ña thöùc baäc n laø khoâng quaù n.

Phaàn töû c ∈ K goïi laø nghieäm boäi m cuûa P (X) neáuu P (X) = (X − c)mP1(X),vôùi P1(X) ∈ K[X] vaø P1(c) �= 0, i.e. P (X) chia heát cho (X − c)m, nhöng khoângchia heát cho (X − c)m+1

3.6 Ña thöùc treân tröôøng phöùc. Ta coâng nhaän ñònh lyù sau

Ñònh lyù cô baûn cuûa ñaïi soá. Moïi ña thöùc baäc > 0 treân tröôøng phöùc ñeàu coù nghieäm phöùc.

Meänh ñeà. Moïi ña thöùc phöùc P (X) ∈ C[X], baäc n ñeàu coù n nghieäm phöùc keå caûboäi, i.e. toàn taïi caùc soá phöùc c1, · · · , cs ∈ C, khaùc nhau, sao cho

P (X) = an(X − c1)m1 · · · (X − cs)ms

trong ñoù an laø heä soá baäc n cuûa P (X), m1 + · · ·+ms = n

Chöùng minh: Theo ñònh lyù treân, neáu n > 0, P (X) coù nghieäm c1 ∈ C. Theo ñònh lyùBeùzout P (X) = (X − c1)P1(X). Neáu degP1 = n − 1 > 0, thì laëp lyù luaän treân choP := P1. Khi ñeán baäc 0, ta coù P (X) = (X − c1) · · · (X − cn)A, vôùi A laø soá. Ñoàngnhaát heä soá baäc cao nhaát cuûa ña thöùc 2 veá, ta coù an = A. �

3.7 Ña thöùc treân tröôøng thöïc.

Meänh ñeà. Cho ña thöùc thöïc P (X) ∈ R[X]. Khi ñoù(i) Neáu c ∈ C laø nghieäm cuûa P (X), thì soá phöùc lieân hôïp c cuõng laø nghieäm cuûa P (X).(ii) Neáu n = degP (X), thì P (X) coù phaân tích thaønh thöøa soá baäc 1 hay baäc 2 nhö sau

P (X) = an(X − c1)m1 · · · (X − cr)mr(X2 + p1X + q1)n1 · · · (X2 + psX + qs)ns

trong ñoù an laø heä soá baäc n cuûa P (X), cj (j = 1, · · · r) laø caùc nghieäm thöïc cuûa P (X),X2 + pkX + qk (k = 1, · · · , s) laø caùc tam thöùc baäc hai khoâng coù nghieäm thöïc.

10

(iii) Neáu n = degP (X) laø leû, thì P (X) coù nghieäm thöïc.

Chöùng minh:(i) Giaû söû P (X) = a0 + a1X + · · ·+ anX

n ∈ R[X]. Khi ñoù vôùi moïi c ∈ C, ta coù

P (c) = a0 + a1c+ · · ·+ ancn = a0 + a1c+ · · ·+ ancn = P (c)

(ñeå yù laø ak ∈ R neân ak = ak, vaø lieân hôïp cuûa toång (tích) laø toång (tích) lieân hôïp)Vaäy P (c) = 0 khi vaø chæ khi P (c) = 0. Suy ra (i).(ii) Cho c = a+ ib ∈ C. Khi ñoù

(X − c)(X − c) = X2 − (c+ c)X + cc = X2 − 2aX + (a2 + b2)

laø ña thöùc coù heä soá thöïc daïng (X−a)2 + b2, neân voâ nghieäm khi b �= 0, i.e. khi c �∈ R.Vôùi nhaän xeùt treân vaø ñònh lyù phaân tích ña thöùc treân tröôøng phöùc ta coù (ii).(iii) Theo (ii) neáu degP (X) = n leû, thì P (X) phaûi coù moät thöøa soá (X−c), vôùi c ∈ R,i.e. coù nghieäm thöïc c. �

3.8 Tìm nghieäm ña thöùc baèng pheùp khai caên. Phaàn naøy ñeà caäp ñeán vieäc giaûitìm nghieäm ña thöùc phöùc.

Phöông trình baäc 2: ax2 + bx + c = 0 (a �= 0)

Chia cho a: x2 +b

ax+

c

a= 0

Tònh tieán ñeå khöû soá haïng baäc 1: X = x+b

2a, phöông trình coù daïng X2− b

2 − 4ac(2a)2

= 0

Tìm r laø moät caên baäc 2 cuûa b2 − 4ac. Suy ra X = ± r

2a. Vaäy x =

−b± r2a

Phöông trình baäc 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a �= 0)

Chia cho a: x3 +b

ax2 +

c

ax+

d

a= 0

Tònh tieán ñeå khöû soá haïng baäc 2: X = x+b

3a, phöông trình coù daïng X3 +pX+q = 0

Vieäc giaûi phöông trình X3 + pX + q = 0, nhö sau:Ñaët X = u+ v, phöông trình coù daïng u3 + v3 + (3uv + p)(u+ v) + q = 0.Ta caàn tìm u, v thoûa heä phöông trình:{

u3 + v3 = −quv = −p

3

Ñaët U = u3, V = v3. Ta coù U + V = −q, UV = −p3

27.

Vaäy U, V laø nghieäm phöông trình X2 + qX − p3

27= 0. Giaûi tìm nghieäm U0, V0.

Giaûi u3 = U0, ta coù 3 nghieäm u0, ju0, j2u0, vôùi j = cos(

2π3

) + i sin(2π3

).

Giaûi v3 = V0, tìm nghieäm v0 thoaû phöông trình thöù hai cuûa heä u0v0 = −p3.

Vaäy coù 3 nghieäm cuûa heä laø (u0, v0), (ju0, j2v0), (j2u0, jv0)


Vaäy 3 nghieäm caàn tìm: X1 = u0 + v0, X2 = ju0 + j2v0, X3 = j2u0 + jv0

Caùc tính toaùn treân ñöôïc toång keát baèng coâng thöùc Cardano:

x = − b

3a+

3

√√√√−q2

+

√q2

4+p3

27+

3

√√√√−q2−√q2

4+p3

27

Nhaän xeùt. Trong thöïc haønh coâng thöùc treân laø voâ duïng. Chaúng haïn, coâng thöùc treânñoái vôùi x3 − 21x+ 20 = 0 (coù caùc nghieäm laø 1, 4,−5):

x =3√−10 + i

√243 +

3√−10− i

√243 =???

Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình; x3 − 15x− 4 = 0, −2x3 + 18x2 − 42x+ 10 = 0.

Phöông trình baäc 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a �= 0)

Chia cho a, roài tònh tieán ñeå khöû soá haïng baäc 3, ñaët X = x+b

4a, ñöa veà giaûi phöông

trình:X4 + pX2 + qX + r = 0

Phaân tích: X4 + pX2 + qX + r = (X2 + αX + β)(X2 − αX + γ)Ñoàng nhaát heä soá, ta coù α, β, γ laø nghieäm cuûa heä:

β + γ = p+ α2

βγ = r

γ − β =q

α

Töø ñoù α2 laø nghieäm phöông trình baäc 3: α2(p+ α2)2 − 4rα2 − q = 0Giaûi ta coù α, β, γ. Thay vaøo phöông trình tích, roài giaûi phöông trình baäc 2 ta coù caùcnghieäm X1, X2, X3, X4

Baøi taäp: Giaûi phöông trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 6x+ 9 = 0

Phöông trình baäc ≥ 5. Abel (1802-1829) ñaõ chöùng minh khoâng theå giaûi moät phöôngtrình ña thöùc baäc ≥ 5 toång quaùt, theo nghóa khoâng theå bieåu dieãn nghieäm nhö laø bieåuthöùc goàm caùc pheùp toaùn ñaïi soá (coäng, tröø, nhaân, chia) vaø caên soá (baäc 2, 3, · · · ) cuûacaùc heä soá cuûa ña thöùc. Sau ñoù Galois (1811-1832) duøng lyù thuyeát nhoùm ñaõ tìm ñöôïctieâu chuaån ñeå moät phöông trình baäc ≥ 5 cuï theå coù giaûi ñöôïc baèng caên thöùc khoâng. Víduï phöông trình x5 − x− 1 = 0 khoâng giaûi ñöôïc baèng caên thöùc

Tìm nghieäm höõu tæ cuûa phöông trình heä soá nguyeân. Cho moät ña thöùc coù heä soánguyeân

P (X) = a0 + a1X + · · ·+ anXn ak ∈ Z, k = 0, · · · , n, an �= 0

Khi ñoù neáu moät soá höõu tæp

q, vôùi gcd(p, q) = 1, laø nghieäm cuûa P (X), thì p laø öôùc soá

cuûa a0 vaø q laø öôùc soá cuûa an.

12

Chöùng minh: Neáup

qlaø nghieäm cuûa P (X), thì töø P (

p

q) = 0, ta coù

a0qn + a1q

n−1p+ · · ·+ an−1qpn−1 + anp

n = 0

Do gcd(p, q) = 1, töø ñaúng thöùc treân deã suy ta p laø öôùc soá cuûa a0, q laø öôùc cuûa an. �

Baøi taäp: Tìm caùc nghieäm höõu tæ cuûa phöông trình: 3x4 + 5x3 + x2 + 5x− 2 = 0

3.9 Phaân thöùc. Moät phaân thöùc treân K laø moät bieåu thöùc daïng

P (X)Q(X)

, trong ñoù P (X), Q(X) ∈ K[X], Q(X) �= 0

Hai phaân thöùc baèng nhau:P (X)Q(X)

=P1(X)Q1(X)

⇔ P (X)Q1(X) = P1(X)Q(X).

Ñònh lyù. Cho P (X), Q(X) ∈ K[X]. Giaû söû Q(X) = Q1(X)k1 · · · Qs(X)ks ,vôùi Q1(X), · · · , Qs(X) ∈ K[X] thoaû ñieàu kieän GCD(Qi(X), Qj(X)) = 1, neáu i �= j.Khi ñoù toàn taïi duy nhaát caùc ña thöùc A(X), Pij(X) ∈ K[X], i = 1, · · · , s, j = 1, · · · , ki,sao cho degPij(X) < degQi(X) vaø

P (X)Q(X)

= A(X) +s∑

i=1

ki∑

j=1

Pij(X)Qi(X)j

Chöùng minh: Söï toàn taïi: Neáu degP < degQ vaø Q = D1D2, vôùi GCD(D1, D2) = 1,thì theo ñaúng thöùc Beùzout ta coù

1 = U1D1 + U2D2, U1, U2 ∈ K[X]

Suy ra P = PU1D1 +PU2D2. Chia Euclid, ta coù PU1 = AD2 +V2, deg V2 < degD2.Vaäy P = V2D1 + V1D2, vôùi V1 = AD1 + PU2. Do degP < degQ, deg V2 < degD2,ta coù deg V1 < degD1. Suy ra ta coù bieåu dieãn

P

Q=V1

D1+V2

D2, vôùi deg V1 < degD1, deg V2 < degD2

Tröôøng hôïp toång quaùt, tröôùc heát chia Euclid P cho Q ta coù thöông laø A. Sau ñoù aùpduïng bieåu dieãn treân cho D1 = Qk1

1 , D2 = Qk22 · · ·Qks

s . Tieáp tuïc aùp duïng bieåu dieãntreân cho Q = Qk2

2 · · ·Qkss . Sau höõu haïn böôùc ta coù phaân tích

P

Q= A+

s∑i=1

ki∑

j=1

Pij

Qji

, vôùi degPij < degQi

Tính duy nhaát: Giaû söû coù caùc ña thöùc khaùc A′, P ′ij ∈ K[X], sao cho

P

Q= A′ +

s∑i=1

ki∑

j=1

P ′ij

Qji

, vôùi degP ′

ij < degQi


Suy ra A = A′ do tính duy nhaát cuûa pheùp chia Euclid.

Tröø hai bieåu dieãn ta coùs∑

i=1

ki∑

j=1

Pij − P ′ij

Qji

= 0 (∗).

Giaû söû phaûn chöùng laø P1k1 − P ′1,k1�= 0. Nhaân (∗) vôùi Q, suy ra

(P1k1 − P ′1,k1

)Qk22 · · ·Qks

s +Q1U = 0, vôùi U ∈ K[X]

Do GCD(Q1, Qk22 · · ·Qks

s ) = 1, neân Q1|(P1k1−P ′1,k1

). Vaäy deg(P1k1−P ′1,k1

) ≥ degQ1.

Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi deg(P1k1 − P ′1,k1

) ≤ max(degP1k1 , degP ′1k1

) ≤ degQ1.Vaäy phaûi coù P1k1 − P ′

1,k1= 0.

Töông töï laäp luaän treân, ta coù Pij = P ′ij , ∀ij. �

Heä quaû 1. Moïi phaân thöùc treân tröôøng phöùc ñeàu coù phaân tích duy nhaát döôùi daïng

P (X)Q(X)

= A(X) +s∑

i=1

mi∑j=1

aij

(X − ci)j

trong ñoù A(X) ∈ C[X], aij ∈ C, c1, · · · , cs ∈ C laø caùc nghieäm cuûa Q(X) vôùi boäim1, · · · ,ms töông öùng.

Heä quaû 2. Moïi phaân thöùc treân tröôøng thöïc ñeàu coù phaân tích duy nhaát döôùi daïng

P (X)Q(X)

= A(X) +r∑

i=1

mi∑j=1

aij

(X − ci)j+

s∑i=1

ni∑j=1

bijX + cij(X2 + piX + qi)j

trong ñoù Q(X) = an(X−c1)m1 · · · (X−cr)ms(X2+p1X+q1)n1 · · · (X2+psX+qs)ns ,X2 + piX + qi (i = 1, · · · , s) khoâng coù nghieäm thöïc., A(X) ∈ R[X], aij , bij , cij ∈ R.

Ví duï. Phaân tích1

X5 −X2thaønh phaân thöùc ñôn treân tröôøng thöïc:

Ta coù X5 −X2 = X2(X − 1)(X2 +X + 1).

Vaäy phaân tích coù daïng1

X5 −X2=A

X+

B

X2+

C

X − 1+

DX + E

X2 +X + 1.

Ñeå tính caùc heä soá A,B,C,D,E döïa vaøo

1 = AX(X−1)(X2+X+1)+B(X−1)(X2+X+1)+CX2(X2+X+1)+(DX+E)X2(X−1)

Ñoàng nhaát heä soá ña thöùc 2 veá (goïi laø phöông phaùp heä soá baát ñònh), roài giaûi heä phöôngtrình tuyeán tính, ta coù

1X5 −X2

=0X− 1X2

+1

3(X − 1)− X − 1

3(X2 +X + 1)

I. Khoâng gian vector hình hoïc

Chöông naøy vector ñöôïc trình baøy döïa vaøo tröïc quan, vôùi muïc ñích taïo moâ hình hìnhhoïc giuùp cho vieäc tö duy tröøu töôïng vaø khaùi quaùt hoùa ôû caùc chöông sau. Ñeå coù theålaøm vieäc cuï theå hôn treân caùc vector, nguôøi ta ñaïi soá hoaù khoâng gian hình hoïc baèngcaùch ñöa vaøo heä côû sôû Descartes1. Khi ñoù caùc pheùp toaùn treân vector seõ coù coâng thöùctính thuaän lôïi, coøn caùc ñoái töôïng hình hoïc nhö ñöôøng, maët cong seõ ñöôïc moâ taû bôûicaùc phöông trình giuùp cho vieäc nghieân cöùu hình hoïc deã daøng vaø cuï theå hôn.

1. Vector hình hoïc

Trong nhieàu vaán ñeà toaùn hoïc cuõng nhö vaät lyù ngoaøi caùc ñaïi löôïng voâ höôùng, coøncoù nhieàu ñaïi löôïng coù höôùng chuùng ñöôïc ñaëc tröng bôûi ñoä lôùn vaø höôùng, chaúng haïnlöïc, vaän toác,... . Caùc ñaïi löôïng naøy ñöôïc moâ hình hoaù thaønh caùc vector.

1.1 Ñònh nghóa. Trong khoâng gian Euclid E3 moät vector ñöôïc moâ taû nhö laø moätñoaïn thaúng ñöôïc ñònh höôùng AB.

Kyù hieäu:−→AB= �v, hay ñôn giaûn chæ laø v.

A goïi ñieåm goác, B goïi laø ñieåm ngoïn.Ñöôøng thaúng AB goïi laø phöông, höôùng töø A ñeán B.

Ñoä daøi ñoaïn AB, kyù hieäu laø ‖ −→AB ‖.

��

��

��−→

v

A

B

��

��

��−→

v

phöông

Hai vector−→AB,

−→CD goïi laø baèng nhau, kyù hieäu

−→AB=

−→CD, neáuu chuùng cuøng ñoä daøi vaø

höôùng, i.e. ABDC laø hình bình haønh.

Vector khoâng, kyù hieäu laø→O hay O, laø vector coù goác truøng vôùi ngoïn.

Vector ñoái cuûa−→AB ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa − −→

AB=−→BA.

Nhaän xeùt. Phaân bieät ñònh nghóa treân vôùi khaùi nieäm vector buoäc khi ta xem hai vectorcoù goác khaùc nhau laø khaùc nhau.

1Reneù Descartes (1596-1650) vaø Pierre Fermat (1601-1665) ñöôïc xem laø caùc cha ñeû cuûa Hình hoïc

giaûi tích

16

1.2 Coäng vector:→u +

→v , cuûa hai vector

→u,

→v , laø vector xaùc ñònh bôûi qui taéc

hình bình haønh hay qui taéc hình tam giaùc sau:

��

��

��

−→

u

��−→

v

��

��

��

��

��

��−→

u +−→

v

��

��

��

−→

u

��−→

v

��

��

��

��

��

��−→

u +−→

v

Tính chaát. Vôùi moïi vector→u,

→v ,

→w, ta coù

→u +

→v =

→v +

→u

(→u +

→v )+

→w =

→u +(

→v +

→w)

→v +

→O =

→v

→v +(− →

v ) =→O

Heä thöùc Chasles. Trong khoâng gian cho caùc ñieåm A0, A1, · · ·An. Khi ñoù

−→A0A1 +

−→A1A2 + · · ·+

−→An−1An =

−→A0An

1.3 Nhaân vector vôùi soá: αv, cuûa vector→v vaø soá α, laø vector:

Coù ñoä daøi laø |α|‖ →v ‖.

Cuøng höôùng vôùi→v neáu α > 0, ngöôïc höôùng vôùi

→v neáu α < 0, vaø 0

→v=

→O.

��

��

��−→

v

� ��

��

��

��

α−→

v (α > 0)

��

��

��

α−→

v (α < 0)

�


→v vaø caùc soá α, β, ta coù

α(β→v ) = (αβ)

→v

(α+ β)→v = α

→v +β

→v

α(→u +

→v ) = α

→u +α

→v

1→v =

→v

Chöông I. Khoâng gian vector hình hoïc 17

2. Cô sôû Descartes - Toïa ñoä

Ñeå coù theå laøm vieäc cuï theå hôn treân caùc vector, ngöôøi ta ñaïi soá hoùa nhö sau

2.1 Heä cô sôû Descartes. Descartes ñaõ ñaïi soá hoaù maët phaúng E2 hay khoâng gianEuclid E3 baèng caùch ñöa vaøo heä toïa truïc, maø chuùng ta ñaõ quen bieát vôùi caùi teân goïiheä cô sôû Descartes , laø boä boán (O;

→e1,

→e2,

→e3):

Ñieåm O goïi laø goác cuûa heä.Caùc vector

→e1,

→e2,

→e3, goïi laø caùc vector cô sôû, thoaû caùc tính chaát sau:

(i)→e1,

→e2,

→e3 vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi.

(ii) ‖ →e1 ‖ = ‖ →

e2 ‖ = ‖ →e3 ‖ = 1.

(iii) Boä ba (→e1,

→e2,

→e3) taïo thaønh tam dieän thuaän (?).

�

O�−→

e1

−→

e3

�

−→

e2

�x

��

��

�� y

�z

�M

Caùc ñöôøng thaúng coù vector chæ phöông e1, e2, e3 thöôøng ñöôïc goïi teân laø caùc truïcOx,Oy,Oz töông öùng. Heä côû sôû trong maët phaúng E2 ñöôïc ñònh nghóa töông töï nhötrong E3. Hôn nöõa, ta seõ ñoàng nhaát E2 vôùi maët phaúng Oxy trong E3, neân tieáp sauñaây caùc khaùi nieäm seõ chæ ñöôïc trình baøy trong khoâng gian.

2.2 Toïa ñoä. Khi coá ñònh moät heä cô sôû Descartes (O;→e1,

→e2,

→e3), ta coù:

• Moãi ñieåm M ∈ E3 töông öùng duy nhaát moät boä ba soá (x, y, z), goïi laø toïa ñoä ñieåm

M , xaùc ñònh qua caùc vector cô sôû nhôø pheùp chieáu vuoâng goùc:

−→OM= x

→e1 +y

→e2 +z

→e3 .

• Moãi vector→v , sau khi ñöa goác veà O seõ coù ngoïn laø A ∈ E3, töông töï nhö treân

→v=

−→OA= v1

→e1 +v2

→e2 +v3

→e3. Ta coù theå moâ taû ñaïi soá vector

→v nhö boä ba (v1, v2.v3)

goïi laø toïa ñoä vector→v . Ta vieát:

→v= (v1, v2, v3).

Vieäc vieát cuøng kyù hieäu toïa ñoä cho vector vaø ñieåm seõ ñöôïc chæ ñònh roõ khi caàn.

Nhaän xeùt. Nhö vaäy khi ñöa vaøo heä cô sôû ta ñaõ ñoàng nhaát E3 vôùi R3, i.e. ta ñaõñaïi soá hoaù khoâng gian E3. Coù thuaän tieän gì ? Haõy xem ...

2.3 Moâ taû ñoái töôïng hình hoïc baèng phöông trình hay phöông trình tham soá.Xeùt caùc ñoái töôïng hình hoïc (ñöôøng, maët, khoái,· · · ) trong maët phaúng E2 hay khoâng

18

gian E3:X = {M : M thoaû ñieàu kieän (P )}

Coá ñònh moät cô sôû Descartes. Khi ñoù caùc ñieåm M thay ñoåi vaø thoaû ñieàu kieän (P ), thìtöông öùng caùc toïa ñoä (x, y, z) cuûa M cuõng thay ñoåi vaø thoûa ñieàu kieän (F ) naøo ñoù.Cuï theå hôn, ta thöôøng gaëp caùc tröôøng hôïp sau:

• Ñieàu kieän hình hoïc coù theå moâ taû bôûi phöông trình:

M thoaû (P ) ⇔ (x, y, z) thoûa phöông trình F (x, y, z) = 0

trong ñoù F : D → R, laø moät haøm soá xaùc ñònh treân D ⊂ R3.Khi ñoù ta noùi X ñöôïc cho bôûi phöông trình F (x, y, z) = 0.

Ví duï.a) Trong maët phaúng, ñöôøng troøn taâm A = (a, b) baùn kính R > 0 laø taäp ñònh nghóa

C = {M ∈ E2 : khoaûng caùc töø M ñeán A baèng R}

C ñöôïc cho bôûi phöông trình: F (x, y) = (x− a)2 + (y − b)2 −R2 = 0.b) Töông töï,ï trong khoâng gian maët caàu taâm A = (a, b, c), baùn kính R > 0 ñöôïc chobôûi phöông trình

F (x, y, z) = (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 −R2 = 0

Toång quaùt hôn, khi caùc ñieàu kieän (P1), · · · , (Pk) coù theå moâ taû bôûi caùc phöông trìnhtöông öùng F1 = 0, · · · , Fk = 0, thì

X = {M : M thoaû ñieàu kieän (P1) vaø · · · vaø (Pk)} =k⋂

i=1

{M : M thoaû ñieàu kieän (Pi)}

Khi ñoù ta noùi X ñöôïc cho bôûi heä phöông trình: F1(x, y, z) = 0, · · · , Fk(x, y, z) = 0

Ví duï. Heä phöông trình: (x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2, z = 0,moâ taû giao cuûa maët caàu vaø maët phaúng, vaäy laø ñöôøng troøn treân maët phaúng Oxy

• Ñieàu kieän hình hoïc coù theå moâ taû bôûi phöông trình tham soá:Khi taäp ñang xeùt laø ñöôøng cong C (chaúng haïn quõy ñaïo cuûa moät ñieåm), noù thöôøng coønñöôïc moâ taû bôûi

M ∈ C ⇔ (x = f(t), y = g(t), z = h(t)), t ∈ I

trong ñoù f, g, h : I → R laø caùc haøm xaùc ñònh treân I ⊂ R.Khi ñoù ta noùi ñöôøng cong C ñöôïc cho bôûi phöông trình tham soá

x = f(t)y = g(t)z = h(t)

, vôùi tham soá t ∈ I


Töông töï, maët cong S thöôøng coøn ñöôïc moâ taû bôûi

M ∈ S ⇔ (x = f(s, t), y = g(s, t), z = h(s, t)), (s, t) ∈ Dtrong ñoù f, g, h : D → R laø caùc haøm xaùc ñònh treân D ⊂ R2.Ta noùi maët S ñöôïc cho bôûi phöông trình tham soá

x = f(s, t)y = g(s, t)z = h(s, t)

, vôùi 2 tham soá (s, t) ∈ D

Ví duï.a) Ñöôøng troøn taâm A = (a, b), baùn kính R, coù theå cho bôûi phöông trình tham soá trongmaët phaúng: {

x = a+R cos ty = b+R sin t

t ∈ [0, 2π]

(t trong tröôøng hôïp naøy laø ñoä lôùn cuûa goùc quay)b) Maët caàu taâm A = (a, b, c), baùn kính R, coù theå cho bôûi phöông trình tham soá trongkhoâng gian:

x = a+R cos s sin ty = b+R sin s sin tz = c+R cos t

, (s, t) ∈ [0, π]× [0, 2π]

(s, t trong tröôøng hôïp naøy coù theå xem laø vó ñoä vaø kinh ñoä treân maët caàu)

Ngoaøi ra, coøn nhieàu tröôøng hôïp ñieàu kieän hình hoïc coù theå moâ taû bôûi heä phöôngtrình vaø baát phöông trình maø ta khoâng xeùt ôû ñaây.

3. Coâng thöùc ñaïi soá cuûa caùc pheùp toaùn treân vector

Trong E3 coá ñònh heä cô sôû Descartes (O;→e1,

→e2,

→e3).

Cho ba vector→u= (u1, u2, u3),

→v= (v1, v2, v3),

→w= (w1, w2, w3).

3.1 Coâng thöùc coäng vector.→u +

→v= (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)

3.2 Coâng thöùc nhaân vector vôùi soá. α→v= (αv1, αv2, αv3).

3.3 Coâng thöùc tính ñoä daøi. ‖ →v ‖ =

√v21 + v2

2 + v23 (coâng thöùc Pythagore)

3.4 Coâng thöùc tính khoaûng caùch. Cho caùc ñieåm A(a1, a2, a3) vaø B(b1, b2, b3). Khoaûng

caùch giöõa chuùng laø ñoä daøi vector−→AB=

−→OB − −→

OA= (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3). Vaäy

d(A,B) = ‖−→AB ‖ =

√(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + b3 − a3)2

Ngoaøi caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân vôùi soá, coøn caùc pheùp toaùn cô baûn treân caùc vectormaø ta seõ ñònh nghóa vaø tính toaùn sau ñaây.

20

3.5 Tích voâ höôùng: <→u,

→v>=

→u .

→v , cuûa hai vector

→u,

→v , laø moät soá ñöôïc ñònh

nghóa:

<→u,

→v>= ‖ →

u ‖‖ →v ‖ cos (

→u,

→v )

Veà maët hình hoïc hình chieáu vuoâng goùc cuûa→u leân phöông

→v laø

<→u,

→v>

‖ →v ‖2

→v (Baøi taäp)

Coâng thöùc qua toïa ñoä:<

→u,

→v>= u1v1 + u2v2 + u3v3

Chöùng minh: Goïi→u=

−→OA,

→v=

−→OB. Ta coù

‖−→AB ‖ = ‖ →

v − →u ‖2 = u2

1 + u22 + u2

3 + v21 + v2

2 + v23 − 2(u1v1 + u2v2 + u3v3)

Maët khaùc, ta coù heä thöùc löôïng giaùc cho tam giaùc OAB:

‖ −→AB ‖2 = ‖ −→

OA ‖2 + ‖ −→OB ‖2 − 2‖ −→

OA ‖‖ −→OB ‖ cos (AOB)

So saùnh veá phaûi cuûa caùc ñaúng thöùc treân, ta coù coâng thöùc caàn tìm. �


→v ,

→w vaø caùc soá α, β, ta coù

<→u,

→v> = <

→v ,

→u>

< α→u + β

→v ,

→w> = α <

→u,

→w> + β <

→v ,

→w>

<→v ,

→v>= ‖ →

v ‖2 ≥ 0, vaø <→v ,

→v>= 0⇔→

v= O

3.6 Tích höõu höôùng:→u × →

v=→u ∧ →

v , goïi laø tích vector cuûa hai vector→u,

→v (theo

ñuùng thöù töï ñoù), laø moät vector:→u × →

v vuoâng goùc vôùi maët phaúng (→u,

→v ).

(→u,

→v ,

→u × →

v ) laø tam dieän thuaän.

‖ →u × →

v ‖ = ‖ →u ‖‖ →

v ‖| sin (→u,

→v )| =

√‖ →u ‖2‖ →

v ‖2− <→u,

→v>2

Veà maët hình hoïc ‖ →u × →

v ‖ = dieän tích hình bình haønh taïo bôûi→u,

→v .

�−→

u

−→

u × →

v

�

−→

v

Ñeå ñònh nghóa ñöôïc chaët cheõ ta qui öôùc→u × →

v laø vector→O trong tröôøng hôïp moät

trong hai vector baèng→O, hay hai vector song song.

Ví duï.→e1 × →

e1=→O,

→e1 × →

e2=→e3,

→e1 × →

e3= − →e2.

Coâng thöùc qua toïa ñoä:

→u × →

v=

∣∣∣∣∣∣∣→e1

→e2

→e3

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ u2 u3

v2 v3

∣∣∣∣∣ →e1 −

∣∣∣∣∣ u1 u3

v1 v3

∣∣∣∣∣ →e2 +

∣∣∣∣∣ u1 u2

v1 v2

∣∣∣∣∣ →e3


Chöùng minh: Goïi→u × →

v= (x, y, z). Töø caùc tính chaát

→u × →

v ⊥ →u,

→u × →

v ⊥ →v , ‖ →

u × →v ‖2 = ‖ →

u ‖2‖ →v ‖2 sin2 (

→u,

→v ) ,

ta coù caùc phöông trình töông öùng

u1x+ u2y + u3z = 0v1x+ v2y + v3z = 0x2 + y2 + z2 = (u1v2 − u2v1)2 + (u1v3 − u3v1)2 + (u2v3 − u3v2)2

Giaûi heä phöông trình, keát hôïp vôùi ñieàu kieän (→u,

→v ,

→u × →

v ) laø tam dieän thuaän, ta coùcoâng thöùc treân. �


→v ,

→w vaø caùc soá α, β, ta coù

→u × →

v = − →v × →

u

(α→u + β

→v )× →

w = α→u × →

w + β→v × →

w

3.7 Tích hoãn hôïp: cuûa ba vector→u,

→v ,

→w ñöôïc ñònh nghóa laø soá

(→u,

→v ,

→w) =<

→u × →

v ,→w>

Veà maët hình hoïc

|(→u,→v ,→w)| = ‖ →u × →

v ‖‖ →w ‖| cos(

→u × →

v ,→w)|

= Dieän tích ñaùy× chieàu cao cuûa hình hoäp bình haønh taïo bôûi→u,

→v ,

→w

= Theå tích hình hoäp bình haønh taïo bôûi→u,

→v ,

→w

��

→

w

�→

u��

→

v

→

u × →

v

��

��

��

��

Coâng thöùc qua toïa ñoä:

(→u,

→v ,

→w) =

∣∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣Khi (

→u,

→v ,

→w) > 0, i.e. cos(

→u × →

v ,→w) > 0, heä (

→u,

→v ,

→w) goïi laø thuaän .

Khi (→u,

→v ,

→w) < 0, heä goïi laø nghòch .

Ví duï.a) Hai vector

→u,

→v vuoâng goùc khi vaø chæ khi <

→u,

→v>= 0.

b) Hai vector→u,

→v song song khi vaø chæ khi

→u × →

v=→O.

c) Ba vector→u,

→v ,

→w ñoàng phaúng khi vaø chæ khi (

→u,

→v ,

→w) = 0.

22

4. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng

Trong E3 coá ñònh moät heä cô sôû Descartes. Sau ñaây laø vaøi aùp duïng cuûa phöôngphaùp toïa ñoä.

4.1 Phöông trình ñöôøng thaúng. Ñöôøng thaúng qua M0 = (x0, y0, z0) coù vector chæ

phöông→v= (a, b, c) = O ñöôïc ñònh nghóa laø taäp

∆ = {M ∈ E3 :−→M0M song song vôùi

→v }

��

��−→

v

��

��

��

��

��

��

��

�

M0

M

ñöôøng thaúng ∆

��

��

��

Vaäy M = (x, y, z) ∈ ∆ neáu vaø chæ neáu−→M0M= t

→v , t ∈ R.

Töø ñoù ta coù phöông trình tham soá cuûa ∆:x = x0 + tay = y0 + tbz = z0 + tc

, t ∈ R

Khi a, b, c = 0, khöû t ta coù phöông trình chính taéc cuûa ∆:

x− x0

a=y − y0

b=z − z0c

4.2 Phöông trình maët phaúng. Cho M0 = (x0, y0, z0) vaø hai vector khoâng song song→u= (u1, u2, u3),

→v= (v1, v2, v3). Maët phaúng qua M0 vaø coù caùc vector chæ phöông

→u,

→v

ñöôïc ñònh nghóa laø taäp

P = {M ∈ E3 :−→M0M,

→u,

→v ñoàng phaúng }

M0 �� M��→

u

��→

v

→

n

P��

��

Vaäy M = (x, y, z) ∈ P neáu vaø chæ neáu−→M0M= s

→u +t

→v , s, t ∈ R.


Töø ñoù ta coù phöông trình tham soá cuûa P :x = x0 + su1 + tv2y = y0 + su2 + tv2z = z0 + su3 + tv3

, s, t ∈ R

Ta cuõng coù M = (x, y, z) ∈ P neáu vaø chæ neáu (−→M0M,

→u,

→v ) =<

−→M0M,

→u × →

v>= 0.Töø ñoù ta coù phöông trình toång quaùt cuûa P

Ax+By + Cz +D = 0 ,

trong ñoù vector phaùp→n=

→u × →

v= (A,B,C) = O laø vuoâng goùc vôùi P .

4.3. Moät soá baøi toaùn. Döïa vaøo toïa ñoä vaø phöông trình coù theå ñöa caùc baøi toaùnhình hoïc veà baøi toaùn ñaïi soá:

Baøi toaùn 1: Xeùt vò trí cuûa 2 maët phaúng P1, P2.Soá giao ñieåm chính laø soá nghieäm cuûa heä phöông trình xaùc ñònh bôûi 2 maët phaúng:{

A1x+B1y + C1z +D1 = 0A2x+B2y + C2z +D2 = 0

P1 ∩ P2 ⇔ A1B2 −A2B1, B1C2 −B2C1, C1A2 − C2A1 khoâng ñoàng thôøi baèng 0P1 ‖ P2 ⇔ A1 : A2 = B1 : B2 = C1 : C2 = D1 : D2

P1 ≡ P2 ⇔ A1 : A2 = B1 : B2 = C1 : C2 = D1 : D2

Baøi toaùn 2: Xeùt vò trí ñöôøng thaúng ∆ vôùi maët phaúng P .Töông töï baøi toaùn treân xeùt heä phöông trình xaùc ñònh bôûi ñöôøng thaúng vaø maët phaúng.

x− x0

a=y − y0

b=z − z0c

Ax+By + Cz +D = 0

Ta coù M = M0 + t→v∈ ∆∩P ⇔ (Aa+Bb+Cc)t+Ax0 +By0 +Cz0 +D = 0. Vaäy

∆ ∩ P ⇔ Aa+Bb+ Cc = 0∆ ‖ P ⇔ Aa+Bb+ Cc = 0, Ax0 +By0 + Cz0 +D = 0∆ ⊂ P ⇔ Aa+Bb+ Cc = 0, Ax0 +By0 + Cz0 +D = 0

Baøi toaùn 3: Tính goùc giöõa caùc maët phaúng / ñöôøng thaúng.Vôùi kyù hieäu ôû treân ta coù

cos(P1, P2) = | cos(→n1,

→n2)| = |A1A2 +B1B2 + C1C2|√

A21 +B2

1 + C21

√A2

2 +B22 + C2

2

sin(∆, P ) = | cos(→v ,

→n)| = |Aa+Bb+ Cc|√

A2 +B2 + C2√a2 + b2 + c2

Baøi toaùn 4: Tính khoaûng caùch töø ñieåm M0 = (x0, y0, z0) ñeán maët phaúng

P : Ax+By + Cz +D = 0 .

24

�

�M0

d

H

→

n

P��

��

Goïi H = (x, y, z) laø hình chieáu cuûa M0 leân P , ta coù:−→M0H ‖ →

n vaø H ∈ P .

Töông ñöông vôùi:−→M0H= t

→n vaø Ax+By + Cz +D = 0

Thay toïa ñoä H vaøo phöông trình treân: A(x0 + tA)+B(y0 + tB)+C(z0 + tC)+D = 0.

Suy ra t =Ax0 +By0 + Cz0 +D

A2 +B2 + C2

Vaäy

H = (x0, y0, z0)− Ax0 +By0 + Cz0 +D

A2 +B2 + C2(A,B,C)

Ta coù coâng thöùc tính khoûang caùch laø

d(M0, P ) = ‖−→M0H ‖ =

∣∣∣∣Ax0 +By0 + Cz0 +D√A2 +B2 + C2

∣∣∣∣Baøi toaùn 5: Tính khoaûng caùch töø ñieåm M = (x, y, z) ñeán ñöôøng thaúng ∆ qua M0 vaø

coù vector chæ phöông→v .

�M0

→

v

d

��

��

��

M

∆

Döïa vaøo hình hoïc, roài duøng caùc pheùp toaùn treân vector, ta coù:

d(M,∆) = chieàu cao hình bình haønh taïo bôûi−→M0M,

→v

=dieän tích hình bình haønh taïo bôûi

−→M0M,

→v

‖ →v ‖

=‖ −→M0M × →

v ‖‖ →v ‖


Baøi toaùn 6: Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng ∆1,∆2.Giaû söû ∆1 qua M1 = (x1, y1, z1) vaø coù vector chæ phöông

→v1= (a1, b1, c1)

∆2 qua M2 = (x2, y2, z2) vaø coù vector chæ phöông→v2= (a2, b2, c2)

��

M2

M1

�→

v1

��→

v2

D

∆1

�� ∆2

��

��

��

��

Döïa vaøo hình hoïc, roài duøng caùc pheùp toaùn treân vector, ta coù:

d(∆1,∆2) = chieàu cao hoäp bình haønh taïo bôûi→v1,

→v2,

−→M1M2

=theà tích hoäp bình haønh taïo bôûi

→v1,

→v2,

−→M1M2

dieän tích hình bình haønh taïo bôûi→v1,

→v2

=|(→v1, →v2,

−→M1M2)|

‖ →v1 × →

v2 ‖

Baøi toaùn 7: Tìm phöông trình ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa 2 ñöôøng thaúng ∆1,∆2.

Vôùi kyù hieäu nhö treân, goïi A1 ∈ ∆1, A2 ∈ ∆2 sao cho−→A1A2⊥ ∆1,

−→A1A2⊥ ∆1.

Khi ñoù ñöôøng vuoâng goùc chung D laø ñöôøng thaúng qua A1, coù vector chæ phöông−→A1A2.

Ñeå xaùc ñònh A1, A2, ta tieán haønh nhö sau:

Ñaët−→

M1A1= x→v1,

−→M1A2= y

→v2. Suy ra

−→A1A2=

−→M1M2 +y

→v2 −x →

v1.

Töø <−→A1A2,

→v1>= 0, <

−→A1A2,

→v2>= 0, ta coù heä phöông trình:

‖→v1 ‖2x − <

→v1,

→v2> y = <

−→M1M2,

→v1>

<→v1,

→v2> x − ‖ →

v2 ‖2y = <−→

M1M2,→v2>

Giaûi heä phöông trình, ta coù x, y, suy ra A1, A2. Vaäy xaùc ñònh ñöôïc D.

Nhaän xeùt. Khi ∆1 ‖ ∆2 ⇔ →v1 ‖ →

v2 ⇔ ‖ →v1 × →

v2 ‖ = ‖ →v1 ‖2‖ →

v2 ‖2− <→v1,

→v2>

2 = 0:heä phöông trình treân duy nhaát nghieäm, i.e. coù duy nhaát moät ñöôøng vuoâng goùc chung.

Moät caùch laøm khaùc ñeå tìm D, döïa nhieàu vaøo hình hoïc hôn: goïi→v=

→v1 × →

v2= (a, b, c),P1 laø maët phaúng qua M1 vaø coù caùc vector chæ phöông

→v1,

→v ,

P2 laø maët phaúng qua M2 vaø coù caùc vector chæ phöông→v2,

→v

Khi ñoù ñöôøng vuoâng goùc chung D = P1 ∩ P2. Vaäy M ∈ D khi vaø chæ khi: (

−→M1M,

→v1,

→v ) = 0

(−→M2M,

→v2,

→v ) = 0

26

Thay toïa ñoä M = (x, y, z) vaø caùc toïa ñoä cuûa caùc yeáu toá treân vaøo caùc tích hoãn hôïp, tacoù heä phöông trình xaùc ñònh ñöôøng vuoâng goùc chung.

II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss

Trong khoa hoïc, kyõ thuaät nhieàu baøi toaùn ñöa veà vieäc tìm nghieäm heä phöông trình tuyeántính. Trong chöông naøy seõ ñeà caäp ñeán phöông phaùp khöû Gauss1 , laø phöông phaùp ñôngiaûn vaø hieäu quûa ñeå giaûi heä phöông trình tuyeán tính. Phaàn ñaàu laø khaùi nieäm veà matraän2 , noù laø coâng cuï höõu hieäu vaø töï nhieân ñeå theå hieän, löu tröõ döõ lieäu. Ñeå söû lyù caùc soálieäu ngöôøi ta ñöa vaøo caùc pheùp toaùn thöïc hieän treân ma traän. Ngoaøi ra, ôû chöông naøycoøn neâu öùng duïng cuûa pheùp bieán ñoåi sô caáp treân ma traän ñeå tính haïng, tìm ma traänngöôïc. Caùc tính toaùn ôû caùc chöông sau döïa nhieàu vaøo phöông phaùp tính ôû chöông naøy.

1. Ma traän

1.1 Ñònh nghóa. Moät m × n ma traän hay ma traän caáp m × n treân tröôøng soá K(K = R hay C) laø moät baûng caùc soá thuoäc K ñöôïc saép xeáp nhö sau

A = (aij)m×n =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

trong ñoù aij ∈ K goïi laø phaàn töû doøng i coät j cuûa A.Hai ma traän goïi laø baèng nhau neáuu chuùng coù cuøng caáp vaø caùc phaàn töû cuøng doøng,cuøng coät baèng nhau.Kyù hieäu MatK(m,n) laø taäp moïi m× n ma traän treân K.Ví duï.a) Moät m× 1 ma traän laø ma traän coät. Moät 1× n ma traän laø moät ma traän doøng.

a1

a2...am

(x1 x2 · · · xn)

b) Ma traän sau goïi laø ma traän lieân thuoäc cuûa ñoà thò beân caïnh

0 2 0 12 0 2 10 2 0 11 1 1 0

�V1

�V2

�V3

� V4

��

��

Trong ma traän treân, phaàn töû aij = soá ñöôøng noái Vi vôùi Vj .1Goïi laø phöông phaùp khöû Gauss vì Karl Friedrich Gauss (1777-1855) ñeà caäp khi tính toaùn ñeå xaùc ñònh

quõy ñaïo haønh tinh Pallas. Thöïc ra ngöôøi Trung quoác ñaõ bieát phöông phaùp naøy töø laâu (khoaûng 200 B.C)2Ngöôøi Trung quoác ñaõ söû duïng ma traän vaøo khoaûng 2200 B.C, xem ví duï veà oâ vuoâng kyø aûo caáp 3

28

c) Caùc ma traän sau ñöôïc goïi laø caùc oâ vuoâng kyø aûo

6 1 8

7 5 32 9 4

16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1

15 8 1 24 1716 14 7 5 2322 20 13 6 43 21 19 12 109 2 25 18 11

Caùc ma traän treân coù caùc phaàn töû laø n2 (n = 3, 4, 5) soá töï nhieân ñaàu tieân ñöôïc saépxeáp sao cho toång caùc soá haïng treân moãi doøng, moãi coät, cuõng nhö treân hai ñöôøng cheùochính laø moät haèng soá !

1.2 Caùc ma traän ñaëc bieät. Cho A = (aij) ∈Matk(m,n).Ma traän khoâng laø ma traän maø moïi phaàn töû aij = 0. Kyù hieäu Om×n.Ma traän vuoâng caáp n laø ma traän caáp n× n. Kyù hieäu MatK(n, n) = MatK(n).Ma traän ñöôøng cheùo laø ma traän vuoâng vaø caùc phaàn töû khoâng naèm treân ñöôøng cheùoñeàu baèng 0, i.e. aij = 0 neáu i �= j. Kyù hieäu diag(a11, a22, · · · , ann).Ma traän ñôn vò caáp n laø ma traän ñöôøng cheùo caáp n maø caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùobaèng 1, i.e. aij = 0 neáu i �= j vaø aii = 1. Kyù hieäu In.Ma traän tam giaùc treân (t.ö. döôùi ) laø ma traän vuoâng maø moïi phaàn töû döôùi (t.ö. treân)ñöôøng cheùo ñeàu baèng 0, i.e. aij = 0 neáu i > j (t.ö. neáu i < j).

diag(λ1, λ2, · · · , λn) =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

......

0 0 · · · λn

In =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n...

......

0 0 · · · ann

2. Caùc pheùp toaùn treân ma traän

2.1 Coäng ma traän. Cho A = (aij), B = (bij) ∈MatK(m,n).

A+B = (aij + bij) ∈MatK(m,n)

Töø ñònh nghóa pheùp coäng ta coù:Tính chaát. Cho A,B,C ∈MatK(m,n). Khi ñoù(i) A+B = B +A(ii) (A+B) + C = A+ (B + C)(iii) A+O = O +A = A , trong ñoù O ∈MatK(m,n) laø ma traän khoâng.

2.2 Nhaân moät soá vôùi ma traän. Cho A = (aij) ∈MatK(m,n) vaø α ∈ K.

αA = (αaij) ∈MatK(m,n)

Chöông II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss 29

Töø ñònh nghóa deã kieåm chöùng caùc tính chaát sau:

Tính chaát. Cho A,B ∈MatK(m,n) vaø α, β ∈ K. Khi ñoù(i) α(βA) = (αβ)A(ii) (α+ β)A = αA+ βA(iii) α(A+B) = αA+ αB

Ví duï.

3

(1 2 x0 −1 −2

)− 2

(1 1 y1 0 1

)=

(1 4 3x− 2y−2 −3 −8

)

2.3 Nhaân ma traän. Cho A = (aij) ∈MatK(m,n), B = (bjk) ∈MatK(n, p).

AB = (cik) ∈MatK(m, p)

cik = ai1b1k + ai2b2k + · · ·+ ainbnk =n∑

j=1

aijbjk

Chuù yù: Chæ ñònh nghóa pheùp nhaân AB khi soá coät cuûa A = soá doøng cuûa B (= n).Sô ñoà tính phaàn töû cik

ai1 ai2 · · · ain

b1k

b2k...bnk

=

cik

Ví duï.

a)

(1 2 34 5 6

) 0 13 4x y

=

(1.0 + 2.3 + 3.x 1.1 + 2.4 + 3.y4.0 + 5.3 + 6.x 4.1 + 5.4 + 6.y

)

b)(a1 a2 · · · an

)x1

x2...xn

= a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn.

c) Cho tei = (0 · · · 1 · · · 0)↑

coät i

, A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...am1 a12 · · · amn

, ej =

0...1...0

← doøng j .

Khi ñoù teiA = (ai1 ai2 · · · ain) (doøng i cuûa A), Aei =

a1j

a2j...

amj

(coät j cuûa A)

Vaäy vôùi moïi m× n ma traän A, ta coù: InA = A vaø AIm = A.

30

Tính chaát. Cho A,A′, B,B′ vaø C laø caùc ma traän. Neáu caùc caùc pheùp toaùn ôû caùcbieåu thöùc sau coù nghóa, thì(i) A(BC) = (AB)C(ii) (A+A′)B = AB +A′B(iii) A(B +B′) = AB +AB′

(iv) Noùi chung AB �= BA, i.e. pheùp nhaân ma traän khoâng coù tính giao hoaùn.

Chöùng minh: Caùc tính chaát (ii),(iii) deã daøng suy töø ñònh nghóa. Ñeå chöùng minh (i), goïiA = (aij), B = (bjk), C = (ckl). Ta caàn so saùnh A(BC) = (dil) vaø (AB)C = (d′il).Theo ñònh nghóa, ta coù

dil =∑j

aij(∑k

bjkckl) =∑j

∑k

aijbjkckl

d′il =∑k

(∑j

aijbjk)ckl =∑k

∑j

aijbjkckl

Vaäy dij = d′ij, ∀i, j.Deã tìm ví duï ñeå chöùng minh (iv), chaúng haïn A =

(0 10 0

)vaø B =

(0 00 1

).

Khi ñoù AB = A coøn BA = O. �

2.4 Ma traän ngöôïc. Moät ma traän vuoâng A ∈ MatK(n) goïi laø khaû nghòch neáuutoàn taïi X ∈MatK(n) sao cho XA = AX = In.Khi ñoù deã thaáy X laø duy nhaát, goïi laø ma traän ngöôïc cuûa A vaø kyù hieäu laø A−1.Vaäy theo ñònh nghóa, ta coù A−1A = AA−1 = InKyù hieäu GlK(n) laø taäp moïi ma traän vuoâng caáp n treân K khaû nghòch.

Tính chaát. Cho A,B ∈ GlK(n). Khi ñoù A−1, B−1, AB ∈ GlK(n) vaø

(i) (A−1)−1 = A. (ii) (AB)−1 = B−1A−1.

Chöùng minh: Do AA−1 = A−1A = In, neân A−1 coù ma traän ngöôïc laø A.Do (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I.Töông töï, (B−1A−1)AB = I. Vaäy ta coù (ii). �

Ví duï.

a) Ñeå tính ma traän ngöôïc cuûa A =

(2 13 2

)ta giaûi phöông trình AX = I2 vôùi aån

X ∈MatK(2). Suy ra ma traän ngöôïc laø A−1 =

(2 −1−3 2

).

b) Deã tìm ví duï ma traän khoâng khaû nghòch, chaúng haïn ma traän khoâng, hay

(1 12 2

)

Vieäc xaùc ñònh moät ma traän khaû nghòch khi naøo vaø tính ma traän ngöôïc seõ ñöôïc ñeàcaäp sau.


2.5 Pheùp chuyeån vò ma traän. Cho A = (aij) ∈ MatK(m,n). Ma traän chuyeån vò

cuûa ma traän A ñôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa nhö sautA = ( taji) ∈MatK(n,m) , trong ñoù taji = aij

i.e. chuyeån doøng cuûa A thaønh coät cuûa tA.

Ví duï. Ma traän chuyeån vò cuûa ma traän

(1 2 34 5 6

)laø

1 4

2 53 6

Tính chaát. Cho A,B,C,D laø caùc ma traän. Neáu caùc pheùp toaùn trong caùc bieåu thöùc saucoù nghóa, thì

(i) t(A+B) = tA+ tB(ii) t(αA) = α tA(iii) t(AC) = tC tA(iv) t(D−1) = (tD)−1

Chöùng minh: (i),(ii) vaø (iii) deã kieåm chöùng. Ñeå chöùng minh (iv), gæa söû D ∈ GlK(n).Töø (iii) suy ra tD t(D−1) = t(D−1D) = tIn = In. Töông töï t(D−1) tD = In.Vaäy t(D−1) laø ma traän ngöôïc cuûa tD. �

2.6 Luõy thöøa ma traän. Cho A laø moät ma traän vuoâng caáp n. Vôùi moãi k ∈ N ,ñònh nghóa

A0 = In, A1 = A, Ak = AA · · · A︸︷︷︸k laàn

Ví duï. Baèng qui naïp coù theå chöùng minh vôùi moïi k ∈ N,(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)k

=

(cos kϕ − sin kϕsin kϕ cos kϕ

)

diag(λ1, λ2, · · · , λn)k = diag(λk1, λ

k2 , · · · , λk

n)

2.7 Bieán ñoåi sô caáp treân ma traän. Caùc pheùp bieán ñoåi treân ma traän sau ñaây ñöôïc goïilaø bieán ñoåi sô caáp :Bieán ñoåi 1- Chuyeån vò hai doøng (coät).Bieán ñoåi 2- Nhaân moät doøng (coät) vôùi moät soá khaùc khoâng.Bieán ñoåi 3- Coäng moät doøng (coät) vôùi boäi cuûa moät doøng (coät) khaùc.

Kyù hieäu.

Di ↔ Dj Pheùp chyeån vò doøng thöù i vaø thöù j.αDi Pheùp nhaân doøng thöù i vôùi soá α.Di + αDj Pheùp coäng doøng thöù i vôùi α laàn doøng thöù j.Ci ↔ Cj Pheùp chyeån vò coät thöù i vaø thöù j.αCi Pheùp nhaân coät thöù i vôùi soá α.Ci + αCj Pheùp coäng coät thöù i vôùi α laàn coät thöù j.

32

Cho A,B ∈MatK(m,n). Khi ñoù B goïi laø töông ñöông sô caáp vôùi A., kyù hieäu A→ B,neáuu B nhaän ñöôïc töø A qua höõu haïn bieán ñoåi sô caáp treân A.

Nhaän xeùt. Cho A ∈MatK(m,n), B ∈MatK(n, p).Kyù hieäu ai laø doøng thöù i cuûa A, bj laø coät thöù j cuûa BTheo qui taéc nhaân ma traän ta coù

AB =

a1

a2

...am

(b1 b2 · · · bp). =

a1Ba2B...

amB

= (Ab1 Ab2 · · · Abp) ,

i.e. doøng i cuûa AB = (doøng i cuûa A)B, vaø coät j cuûa AB = A (coät j cuûa B).Vaäy bieán ñoåi sô caáp treân doøng AB = (bieán ñoåi sô caáp treân doøng A)B ,vaø bieán ñoåi sô caáp treân coät AB = A(bieán ñoåi sô caáp treân coät B).Suy ra caùc bieán ñoåi sô caáp coù theå bieåu dieãn qua pheùp nhaân ma traän:

Meänh ñeà. Cho A ∈MatK(m,n). Khi ñoù(i) Neáu d laø bieán ñoåi sô caáp treân doøng cuûa A, thì d(A) = d(Im)A (nhaân beân traùi).(ii) Neáu c laø bieán ñoåi sô caáp treân coät cuûa A, thì c(A) = Ac(In) (nhaân beân phaûi).

Ma traän sô caáp laø ma traän nhaän töø bieán ñoåi sô caáp ma traän ñôn vò.Baøi taäp: Haõy lieät keâ moïi daïng cuûa ma traän sô caáp caáp 2: d(I2), c(I2).Chöùng minh caùc ma traän sô caáp laø khaû nghòch. Tìm caùc ma traän ngöôïc töông öùng.

Ví duï.a)

0 1 01 0 00 0 1

1 a b c

2 d e f3 g h i

=

2 d e f

1 a b c3 g h i

(d = D1 ↔ D2)

1 2 3x y zt u v

1 0 α

0 1 00 0 1

=

1 2 3 + αx y z + αxt u v + αt

(c = C3 + αC1)

b) Gæa söû a11 �= 0. Cho

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...am1 a12 · · · amn

va E =

1 0 0 · · · 0−a21

a111 0 · · · 0

−a31a11

0 1 · · · 0...

......

...−am1

a110 0 · · · 1

Baøi taäp: Ma traän E bieåu dieãn pheùp bieán ñoåi gì treân doøng cuûa ma traän ñôn vò Im ?Vieát coät ñaàu cuûa ma traän EA.


2.8 Ma traän daïng baäc thang. Cho A = (aij) ∈ MatK(m,n). Khi ñoù A goïi laøcoù daïng baäc thang neáuu

aij′ = 0, ∀j′ < j ⇒ ai′j = 0, ∀i′ > i,

i.e. neáu treân doøng i caùc phaàn töû phía traùi aij ñeàu baèng 0, thì treân coät j moïi phaàn töûphía döôùi aij ñeàu baèng 0.

neáu→

0 0 · · · 0 aij

00...0

↑thì

∗ × × × × × ×0 0 ∗ × × × ×0 0 0 ∗ × × ×0 0 0 0 0 ∗ ×0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

(∗ �= 0)

2.9 Meänh ñeà. Moïi ma traän ñeàu coù theå ñöa veà daïng baäc thang baèng höõu haïn pheùp bieánñoåi sô caáp treân doøng.

Vieäc chöùng minh ñöôïc theå hieän qua thuaät toaùn sau:

Thuaät toaùn Gauss.Input: A ∈MatK(m,n)Output: B ∈Matk(m.n) daïng baäc thang vaø A→ B

Thuaät toaùn ñöôïc tieán haønh qui naïp (laëp) nhö sau:Gæa söû ôû voøng laëp thöù k − 1, k − 1 doøng ñaàu cuûa A coù daïng baäc thang.Baây giôø chæ thöïc hieän bieán ñoåi treân caùc doøng i ≥ k.Tröôøng hôïp 1: Moïi phaàn töû moïi doøng i ≥ k baèng 0. Khi ñoù A ñaõ coù daïng baäc thang.Tröôøng hôïp 2: Tìm phaàn töû coù vò trí khaùc 0 gaàn phía traùi nhaát

j(k) = min{j : aij �= 0, i ≥ k}

Böôùc 1: Chuyeån vò doøng, Di ↔ Dk, ñeå ôû doøng k coù akj(k) �= 0.Böôùc 2: Khöû caùc phaàn töû ôû coät j(k) ôû caùc doøng i > k baèng bieán ñoåi:

Di − αiDk, vôùi αi =aij(k)

akj(k)

Böôùc 3: Neáu k < m, taêng k leân 1.Tieán haønh laëp nhö treân, sau höõu haïn (≤ m) böôùc, ta coù ma traän B daïng baäc thang.

Haïng cuûa ma traän A laø soá nguyeân r, kyù hieäu r = rankA, neáuu coù theå duøng caùcpheùp bieán ñoåi sô caáp ñöa A veà daïng baäc thang vôùi r doøng khaùc khoâng.Vieäc chöùng minh tính ñuùng ñaén cuûa ñònh nghóa vöøa neâu: hai ma traän töông ñöông sôcaáp laø coù cuøng haïng (i.e. r khoâng phuï thuoäc bieán ñoåi sô caáp) ñöôïc chöùng minh ôû caùc

34

chöông sau. ÔÛ ñaây chæ neâu aùp duïng cuûa thuaät toaùn treân ñeå tính haïng.Sô ñoà tính haïng:

A −→ B (daïng baäc thang), rankA = soá doøng khaùc khoâng cuûa B

Ví duï. Cho

A =

1 0 2 2

1 −1 3 −22 −1 5 0

Ñeå tính haïng cuûa A ta duøng caùc pheùp bieán ñoåi treân doøng ma traän nhö sau 1 0 2 2

1 −1 3 −22 −1 5 0

D2−D1,D3−2D1−→

1 0 2 2

0 1 1 40 1 −1 4

D3−D2−→

1 0 2 2

0 1 1 40 0 0 0

Töø ñoù suy ra rankA = 2.

Ñeå keát thuùc tieát naøy ta phaùt bieåu ñònh lyù sau, vieäc chöùng minh xem nhö baøi taäp.

2.10 Ñònh lyù. Cho A ∈ MatK(m,n). Khi ñoù rankA = r khi vaø chæ khi toàn taïi

höõu haïn pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng vaø treân coät ñeå A→(Ir 00 0

)..

Noùi moät caùch khaùc, toàn taïi caùc ma traän khaû nghòch P ∈ GlK(m), Q ∈ GlK(n), sao cho

PAQ =

1 · · · 0 · · · 0...

. . ....

...0 · · · 1 · · · 00 · · · 0 · · · 0...

......

0 · · · 0 · · · 0

︸︷︷︸r

Höôùng daãn: Duøng thuaät toaùn Gauss bieán ñoåi sô caáp treân doøng (= nhaân beân traùi A vôùicaùc ma traän sô caáp) ñöa A veà daïng baäc thang. Töông töï, coù theå duøng caùc bieán ñoåi sôcaáp treân coät (= nhaân phaûi bôûi caùc ma traän sô caáp) cuûa moät ma traän daïng baäc thangñöa ma traän ñoù veà daïng ñöôøng cheùo nhö treân. Goïi P (t.ö. Q) laø tích caùc ma traän sôcaáp töông öùng vôùi pheùp bieán ñoåi treân doøng (t.ö. coät) Ñeå yù laø caùc ma traän sô caáp laøkhaû nghòch, neân P,Q khaû nghòch.

Baøi taäp: Thöïc hieän cuï theå höôùng daãn treân tìm P,Q cho ma traän ôû ví duï phaàn treân.Töø ñoù vieát thuaät toaùn cho ñònh lyù treân.


3. Phöông phaùp khöû Gauss

3.1 Ñònh nghóa. Moät heä phöông trình tuyeán tính m phöông trình, n aån, treân tröôøngK, laø bieåu thöùc daïng

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

......

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

trong ñoù aij , bj ∈ K, vaø x1, · · · , xn laø caùc kyù hieäu goïi laø caùc aån.Neáu b1 = · · · = bn = 0, thì heä goïi laø heä phöông trình thuaàn nhaát.

Boä n soá (x1, · · · , xn) ∈ Kn, thoûa caùc phöông trình treân goïi laø nghieäm cuûa heä.Heä phöông trình goïi laø töông thích neáuu noù coù taäp nghieäm khaùc troáng.

Baøi toaùn.1- Khi naøo heä töông thích, i.e. coù nghieäm ?2- Khi heä coù nghieäm thì duy nhaát nghieäm hay bao nhieâu nghieäm ?3- Giaûi heä, i.e. tìm taäp nghieäm cuûa heä.

3.2 Bieåu dieãn ma traän heä phöông trình tuyeán tính. Neáu kyù hieäu

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...am1 a12 · · · amn

, x =

x1

x2...xn

, b =

b1b2...bm

,

thì töø pheùp nhaân ma traän heä phöông trình coù theå vieát goïn thaønh Ax = b.

Nhaän xeùt. Phöông phaùp theá laø phöông phaùp ñôn giaûn nhaát ñeå giaûi heä phöông trìnhtuyeán tính. Giaû söû heä coù heä soá a11 �= 0. Khi ñoù töø phöông trình ñaàu

x1 =1a11

( b1 − a12x2 − · · · − a1nxn ).

Theá bieåu thöùc treân vaøo caùc phöông trình coøn laïi, ta ñöa veà vieäc giaûi m − 1 phöôngtrình, n− 1 aån x2, · · · , xn. Tieáp tuïc tieán haønh töông töï cho heä môùi ... .

Ñeå giaûi heä phöông trình côõ lôùn, ngöôøi ta thöôøng duøng phöông phaùp khöû Gauss (haycaûi tieán cuûa phöông phaùp naøy)3. Phöông phaùp naøy döïa vaøo nhaän xeùt ñôn giaûn sau:

3.3 Meänh ñeà. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp sau ñaây ñöa heä phöông trình veà heä töôngñöông vôùi heä ñaõ cho, i.e. heä ñaõ bieán ñoåi coù cuøng taäp nghieäm vôùi heä xuaát phaùt:Bieán ñoåi 1- Chuyeån vò hai phöông trình cuûa heä.Bieán ñoåi 2- Nhaân moät phöông trình vôùi moät soá khaùc khoâng.Bieán ñoåi 3- Coäng moät phöông trình vôùi boäi moät phöông trình khaùc cuûa heä.

3Xem chöông Ñònh thöùc ñeå bieát ñaùnh giaù soá pheùp toaùn caàn ñeå thöïc hieän thuaät toaùn Gauss

36

Nhaän xeùt. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân töông öùng vôùi bieán ñoåi sô caáp treân doøng matraän môû roäng (A | b) cuûa heä.

3.4 Ñònh lyù. Moïi heä phöông trình tuyeán tính, baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp, ñeàutöông ñöông vôùi heä coù daïng baäc thang. i.e. heä coù daïng Ax = b vôùi A laø ma traändaïng baäc thang.

Vieäc chöùng minh ñònh lyù treân ñöôïc theå hieän qua phöông phaùp sau:

3.5 Phöông phaùp khöû Gauss.Giaûi heä Ax = b, trong ñoù A = (aij) ∈MatK(m,n), b ∈ Km.Sô ñoà cuûa phöông phaùp:Böôùc 1: Duøng thuaät toaùn Gauss (A | b)→ (A′ | b′) (A′ coù daïng baäc thang)Böôùc 2: Giaûi phöông trình A′x = b′ baèng phöông phaùp theá.

Nhaän xeùt. Raát deã giaûi heä phöông trình daïng baäc thang baèng phöông phaùp theá. Chaúnghaïn, ñeå giaûi heä phöông trình sau:

2x1 + x2 + x3 − 3x4 + x5 = 1

3x2 + x3 − x4 + x5 = 2x4 + x5 = 3

Baét ñaàu töø phöông trình cuoái, laàn löôït ta coù:

x4 = 3− x5, x2 = 1/3(2 + · · · ), x1 = 1/2(1 + · · · )

Vaäy heä treân coù voâ soá nghieäm, phuï thuoäc 2 tham soá x3 vaø x5.

3.6 Bieän luaän. Gæa söû heä Ax = b coù daïng baäc thang, i.e.

(A | b) =

a1j(1) · · · a1j(2) · · · a1j(r) · · · a1n | b10 · · · a2j(2) · · · a2j(r) · · · a2n | b2...

......

... | ...0 · · · 0 · · · arj(r) · · · arn | br0 · · · 0 · · · 0 · · · 0 | br+1...

......

... | ...0 · · · 0 · · · 0 · · · 0 | bm

Trong ñoù m laø soá phöông trình, n laø soá aån, vaø r chính laø haïng cuûa A.Tröôøng hôïp 1: r = m = n, heä duy nhaát nghieäm.Tröôøng hôïp 2: r = m < n, heä coù voâ soá nghieäm. Caùc bieán xj(1), · · · , xj(r) ñöôïc giaûitheo n− r bieán coøn laïi, goïi laø caùc bieán töï do coøn soá (n− r) goïi laø baäc töï do.Tröôøng hôïp 3: r < m,

3a) br+1 = · · · = bm = 0, heä coù nghieäm (vôùi baäc töï do laø n− r).3b) (br+1, · · · , bm) �= (0, · · · , 0), heä voâ nghieäm.


Minh hoïa tröôøng hôïp 1:

∗ × × × × | ×0 ∗ × × × | ×0 0 ∗ × × | ×0 0 0 ∗ × | ×0 0 0 0 ∗ | ×

Minh hoïa tröôøng hôïp 2:

∗ × × × × × | ×0 ∗ × × × × | ×0 0 0 ∗ × × | ×0 0 0 0 ∗ × | ×

Minh hoïa tröôøng hôïp 3a vaø 3b:

∗ × × × × × | × | ×0 0 ∗ × × × | × | ×0 0 0 ∗ × × | × | ×0 0 0 0 0 ∗ | × | ×0 0 0 0 0 0 | 0 | ∗0 0 0 0 0 0 | 0 | ×

Ví duï. Giaûi ñoàng thôøi 2 heä phöông trình chæ khaùc nhau coät b

x2 + x3 − 3x4 + 2x5 = 6 | 32x1 − x2 + 2x4 − 6x5 = 4 | 66x1 − 3x2 + 7x4 − 10x5 = −8 | 102x1 + x3 + x4 + 12x5 = 15 | −7

Ta thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi treân ma traän môû roäng:

2 −1 0 2 −6 | 4 | 60 1 1 −3 −2 | 6 | 36 −3 0 7 −10 | −8 | 102 0 1 1 12 | 15 | −7

(D1 ↔ D2)

1 −1/2 0 1 −3 | 2 | 30 1 1 −3 −2 | 6 | 30 0 0 1 8 | −20 | −80 1 1 −1 18 | 11 | 13

(1/2D1, D3 − 3D1, D4 − 2D1)

1 −1/2 0 1 −3 | 2 | 30 1 1 −3 −2 | 6 | 30 0 0 1 8 | −20 | −80 0 0 2 16 | 5 | 16

(D4 −D2)

1 −1/2 0 1 −3 | 2 | 30 1 1 −3 −2 | 6 | 30 0 0 1 8 | 20 | −80 0 0 0 0 | 45 | 0

(D4 − 2D3)

38

Sau bieán ñoåi heä coù daïng baäc thangx1 − 1/2x2 + x4 − 3x5 = 2 | 3

x2 + x3 − 3x4 − 2x5 = 6 | 3x4 + 8x5 = −20 | −8

0 = 45 | 0

Vaäy heä vôùi coät ñaàu voâ nghieäm vì coù phö trình cuoái 0 = 45.Heä vôùi coät sau coù phöông trình cuoái laø thöøa (0 = 0). Tieáp tuïc giaûi baèng phöông phaùptheá töø phöông trình cuoái cuûa heä, ta coù

x4 = −8− 8x5

x2 = 3− x3 + 3x4 − x5 = −21− x3 − 26x5

x1 = 8− 1/2x2 − x4 + 3x5 = 1/2− 1/2x3 − 2x5

Nghieäm toång quaùt cuûa heä vôùi coät sau:

(1/2− 1/2x3 − 2x5,−21− x3 − 26x5, x3,−8− 8x5, x5), x3, x5 ∈ K.

Vaäy heä coù voâ soá nghieäm phuï thuoäc 2 tham soá, i.e. heä coù baäc töï do laø 2.

Nhaän xeùt. Coù theå giaûi tieáp heä phöông trình daïng baäc thang baèng bieán ñoåi sô caáptreân ma traän. Töông töï nhö phaàn cuoái cuûa thuaät toaùn sau:

3.7 Phöông phaùp Gauss-Jordan tính ma traän ngöôïc. Cho A ∈MatK(n).Nhaän xeùt. Söï toàn taïi vaøvieäc tìm ma traän ngöôïc cuûa A töông ñöông vôùi vieäc giaûi ñoàngthôøi n heä phöông trình n aån. Cuï theå, goïi Xi, i = 1, · · · , n, laø nghieäm (neáu coù) cuûa heäphöông trình:

AXi = ei, trong ñoù ei =

0...1...0

← coät thöù i

Khi ñoù A−1 = (X1 · · ·Xn)

Thuaät toaùn Gauss-Jordan.Input: Cho A ∈MatK(n)Ouput: A coù khaû nghòch? Neáu coù xaùc ñònh A−1

Böôùc 1: Duøng thuaät toaùn Gauss treân (A | I) ñöa A veà daïng tam giaùc.- rankA < n, i.e moät trong caùc phaàn töû ñöôøng cheùo baèng 0: A khoâng khaû nghòch.- rankA = n: chia doøng i vôùi aii ñeå phaàn töû treân ñöôøng cheùo laø 1.Böôùc 2: Khöû caùc phaàn töû khoâng naèm treân ñöôøng cheùo baét ñaàu töø doøng aùp cuoái(i = n − 1, · · · , 1) baèng caùc bieán ñoåi Di − αikDk (k = n, · · · , i+ 1), vôùi αik = a−1

ik

ñöa heä veà daïng (In | X)Ma traän ngöôïc laø A−1 = X


Ví duï sau minh hoïa cho thuaät toaùn Gauss-Jordan.

Ví duï. Tính ma traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A =

0 1 2

2 −1 1−1 1 0

Thieát laäp ma traän môû roäng vaø bieán ñoåi 0 1 2 | 1 0 0

2 −1 1 | 0 1 0−1 1 0 | 0 0 1

→

−1 1 0 | 0 0 1

2 −1 1 | 0 1 00 1 2 | 1 0 0

→

1 −1 0 | 0 0 −1

2 −1 1 | 0 1 00 1 2 | 1 0 0

→

1 −1 0 | 0 0 −1

0 1 1 | 0 1 20 1 2 | 1 0 0

→

1 −1 0 | 0 0 −1

0 1 1 | 0 1 20 0 1 | 1 −1 −2

→

1 −1 0 | 0 0 −1

0 1 0 | −1 2 40 0 1 | 1 −1 −2

→

1 0 0 | −1 2 3

0 1 0 | −1 2 40 0 1 | 1 −1 −2

Vaäy

A−1 =

−1 2 3−1 2 4

1 −1 −2

Moät phöông phaùp khaùc ñeå tính ma traän ngöôïc seõ ñöôïc trình baøy ôû chöông Ñònh thöùc.

Nhaän xeùt. Cho A laø ma traän vuoâng caáp n. Khi ñoù caùc ñieàu sau töông ñöông:• A laø ma traän khaû nghòch.• rankA = n• Coù theå bieán ñoåi sô caáp ñeå A→ In.• Vôùi moïi b, phöông trình Ax = b coù duy nhaát nghieäm.

III. Khoâng gian vector

Trong chöông naøy, khaùi nieäm khoâng gian vector 1 ñöôïc trình baøy theo phöông phaùptieân ñeà. Vì coù raát nhieàu moâ hình coù caáu truùc khoâng gian vector, maø thoaït tieân nhìnvaøo coù theå raát khaùc nhau, neân phöông phaùp naøy ngoaøi tính chaët cheõ, coøn coù thuaänlôïi khi nghieân cöùu caùc tính chaát chung, caùc keát quûa chung cho moät lôùp caùc ñoái töôïng.Chaúng haïn, thuaät ngöõ “vector” ñöôïc söû duïng cho nhieàu ñoái töôïng: löïc, vaän toác, ...(caùc ñaïi löôïng coù höôùng trong vaät lyù); vector hình hoïc, ma traän, ña thöùc, haøm lieân tuïc,... . Caáu truùc khoâng gian vector coù caû ñaëc tröng hình hoïc laãn ñaïi soá. Ñaëc tröng hìnhhoïc laøm cho vaán ñeà mang tính tröïc quan, coøn ñaëc tröng ñaïi soá taïo ñieàu kieän thuaäntieän cho vieäc ñònh löôïng, tính toaùn keát quûa.

1. Khoâng gian vector - Khoâng gian vector con

1.1 Ñònh nghóa. Cho K laø moät tröôøng (K = R hay C). Moät khoâng gian vector

hay khoâng gian tuyeán tính) treân K laø moät boä ba (V,+, ·), trong ñoù V laø moät taäp hôïpkhaùc troáng, coøn + vaø · laø caùc pheùp toaùn, goïi laø:pheùp coäng + : V × V −→ V (x, y) �→ x+ ypheùp nhaân vôùi soá · : K × V −→ V (α, x) �→ αx ,caùc pheùp toaùn thoûa caùc tieân ñeà sau: ∀x, y, z ∈ V , ∀α, β ∈ K,

(V 1) x+ y = y + x (tính giao hoaùn)(V 2) (x+ y) + z = x+ (y + z) (tính keát hôïp)(V 3) ∃O ∈ V : x+O = x ( O goïi laø vector khoâng)(V 4) ∃ − x ∈ V : x+ (−x) = O (− x goïi laø vector ñoái cuûa x)(V 5) (α+ β)x = αx+ βx (tính phaân phoái)(V 6) α(x+ y) = αx+ αy (tính phaân phoái)(V 7) α(βx) = (αβ)x(V 8) 1x = x

Moãi phaàn töû x ∈ V goïi laø vector, α ∈ K goïi laø voâ höôùng hay soá.Neáu K = R (t.ö K = C), thì V ñöôïc goïi laø khoâng gian vector thöïc (t.ö. phöùc).Pheùp tröø ñöôïc ñònh nghóa: x− y = x+ (−y).Do tính keát hôïp ta coù theå vieát toång höõu haïn vector v1, · · · , vk ∈ V khoâng caàn vieát daáu

ngoaëc v1 + · · ·+ vk =k∑

i=1

vi.

Qui öôùc. Ta seõ söû duïng cuøng moät kyù hieäu cho pheùp coäng (pheùp nhaân) treân K vaø treânV (ñieàu ñoù seõ khoâng gaây laàm laãn). Hôn nöõa, ta thöôøng noùi V laø khoâng gian vectorthay vì boä ba (V,+, ·).

1Khoâng gian vector ñöôïc trình baøy ñaàu tieân bôûi Herman Grassmann (1809-1877) trong “Aus-dehnungslehre” naêm 1862, nhaèm moâ taû caùc yù töôûng hình hoïc trong khoâng gian n chieàu qua ngoânngöõ ñaïi soá maø khoâng phuï thuoäc heä toïa ñoä.

42

Ví duï. Sau ñaây laø moät soá moâ hình khoâng gian vector quan troïng.

��

−→

x

��−→

y

��

��

��

��

��

��−→

x +−→

y

a) Khoâng gian vector hình hoïc (laø moâ hình tröïc quan).b) Khoâng gian vector ñaïi soá Kn = {x = (x1, · · · , xn) : xi ∈ K, i = 1, · · · , n} (laø moâhình quan troïng khi tính toaùn). Ñeå thuaän tieän, khi thöïc hieän caùc pheùp toaùn lieân quanñeán ma traän ta qui öôùc duøng bieåu dieãn vector thuoäc Kn döôùi daïng coät. Treân khoânggian naøy, pheùp coäng vaø pheùp nhaân vôùi soá ñöôïc ñònh nghóa nhö ñoái vôùi ma traän:

x1...xn

+

y1...yn

=

x1 + y1...

xn + yn

, α

x1...xn

=

αx1...

αxn

(α ∈ K).

c) Khoâng gian MatK(m,n) vôùi pheùp coäng ma traän vaø pheùp nhaân soá vôùi ma traän.d) Khoâng gian caùc ña thöùc heä soá treân K, bieán X , kyù hieäu K[X], vôùi pheùp coäng ñathöùc vaø nhaân soá vôùi ña thöùc. Khoâng gian caùc ña thöùc baäc khoâng quùa n, kyù hieäuKn[X].e) Caùc khoâng gian haøm vôùi pheùp coäng haøm vaø nhaân soá vôùi haøm:

F [a, b] khoâng gian caùc haøm xaùc ñònh treân ñoaïn [a, b].C[a, b] khoâng gian caùc haøm lieân tuïc treân [a, b].Ck(a, b) khoâng gian caùc haøm khaû vi lieân tuïc ñeán caáp k treân (a, b) (k ∈ N ).R[a, b] khoâng gian caùc haøm khaû tích treân [a, b].

Meänh ñeà. Cho V laø khoâng gian vector treân K. Khi ñoù ∀x, y, z ∈ V, ∀α ∈ K, tacoù(1) O laø vector duy nhaát thoûa: O + x = x+O = x(2) −x laø vector duy nhaát thoûa: x+ (−x) = −x+ x = O(3) Qui taéc giaûn öôùc: x+ z = y + z ⇒ x = y(4) Qui taéc chuyeån veá: x+ y = z ⇒ x = z − y(5) 0x = O vaø αO = O(6) (−1)x = −x.

Chöùng minh: Döïa vaøo heä tieân ñeà, duøng caùc suy daãn toaùn hoïc, ta suy ra caùc keátquûa treân. Chaúng haïn, chöùng minh:

(1) Gæa söû O′ ∈ V coù tính chaát nhö O. Khi ñoù O′ (V 3)= O′ +O

(gt)= O.

(2) Gæa söû x′ ∈ V coù tính chaát nhö −x. Khi ñoù

x′(V 3)= x′ +O

(V 4)= x′ + (x− x)(V 2)

= (x′ + x)− x (gt)= O − x (V 3)

= − x.

Chöông III. Khoâng gian vector 43

(5) x(V 8)= 1x

(K)= (1 + 0)x

(V 5)= 1x+ 0x

(V 8)= x+ 0x

(3)=⇒ 0x = O.

Vieäc chöùng minh caùc tính chaát coøn laïi xem nhö baøi taäp. �

1.2 Khoâng gian vector con. Cho V laø khoâng gian vector treân K. Moät taäp hôïpcon khaùc troáng W ⊂ V ñöôïc goïi laø khoâng gian vector con cuûa V neáuu W laø khoânggian vector vôùi cuøng caùc pheùp toaùn treân V haïn cheá treân W .Ñònh nghóa treân töông ñöông vôùi:

∀x, y ∈W ⇒ x+ y ∈W vaø ∀α ∈ K, ∀x ∈W ⇒ αx ∈W.

Vaø cuõng töông ñöông vôùi:

∀x, y ∈W, ∀α, β ∈ K ⇒ αx+ βy ∈W.

Nhaän xeùt. Moïi khoâng gian vector con ñeàu chöùa vector O.Moïi khoâng gian V ñeàu chöùa caùc khoâng gian con taàm thöôøng: V vaø O.

Ví duï.a) Khoâng gian vector con cuûa khoâng gian vector hình hoïc R3 coù moät trong caùc daïng:goác O, ñöôøng thaúng qua goác O, maët phaèng qua goác O vaø toaøn boä khoâng gian R3.b) Taäp nghieäm cuûa heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát: Ax = O, vôùi A ∈MatK(m,n), laø khoâng gian con cuûa Kn, i.e. neáu x, y laø nghieäm, thì αx+ βy (α, β ∈K) cuõng laø nghieäm.c) Kn[X] laø khoâng gian con cuûa K[X].d) Caùc bao haøm thöùc sau ñaây xaùc ñònh caùc khoâng gian vector con

Ck[a, b] ⊂ C[a, b] ⊂ R[a, b] ⊂ F [a, b]

e) Khoâng gian nghieäm cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính:

{y ∈ Cn(a, b) : any(n) + an−1y

(n−1) + · · ·+ a0y = 0}, vôùi ai ∈ F (a, b)

laø khoâng gian con cuûa Cn(a, b).

Meänh ñeà. Giao cuûa moät hoï khoâng gian vector con laø moät khoâng gian vector con.

Chöùng minh: Gæa söû Wi, i ∈ I laø caùc khoâng gian con cuûa V . Cho α, β ∈ K vaøx, y ∈ W = ∩i∈IWi. Khi ñoù, theo gæa thieát αx + βy ∈ Wi, ∀i ∈ I, i.e. αx + βy ∈W = ∩i∈IWi. �

Nhaän xeùt. Hôïp hai khoâng gian con noùi chung khoâng laø khoâng gian con (chaúng haïn,hôïp cuûa 2 ñöôøng thaúng trong maët phaúng).

Baøi toaùn. Cho A ⊂ V , xaùc ñònh khoâng gian con beù nhaát cuûa V chöùa A.Ví duï. Cho vector e = O. Khi ñoù khoâng gian con beù nhaát chöùa e chính laø ñöôøng thaúng{x = te, t ∈ K}. Töông töï, khoâng gian con beù nhaát chöùa hai vector khoâng “songsong” e1, e2 laø maët phaúng {x = x1e1 + x2e2, x1, x2 ∈ K}.

44

��

��e1

��

��

��

x1e1

x2e2

e2

� x = x1e1 + x2e2

Toång quaùt, ta coù:

1.3 Khoâng gian con sinh bôûi moät taäp con. Cho V laø moät khoâng gian vector treânK. Cho A ⊂ V laø taäp khaùc troáng. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät khoâng gian con beù nhaátchöùa A, kyù hieäu L(A), goïi laø khoâng gian sinh bôûi A.L(A) chính laø giao cuûa caùc khoâng gian con chöùa A, vaø coù bieåu dieãn (Baøi taäp):Neáu A = {e1, · · · , en}, thì L(A) = {x ∈ V : x = x1e1 + · · ·+ xnen, xi ∈ K}.Neáu A coù voâ haïn phaàn töû, thì L(A) laø taäp caùc vector x coù bieåu dieãn döôùi daïng toång(höõu haïn): x =

∑ei∈A

xiei, trong ñoù xi ∈ K vaø chæ coù höõu haïn xi = 0.

2. Cô sôû - Soá chieàu - Toïa ñoä

Cuõng nhö trong khoâng gian caùc vector hình hoïc, ñeå ñònh löôïng vaø tính toaùn, ta seõ ñaïisoá hoùa khoâng gian vector baèng caùch ñöa vaøo khoâng gian heä cô sôû (laø khaùi nieäm khaùiquaùt hoùa khaùi nieäm heä cô sôû Descartes trong R2,R3). Khi ñoù moãi vector ñöôïc hoaøntoaøn xaùc ñònh bôûi toïa ñoä cuûa noù trong cô sôû naøy, caùc toïa ñoä ñöôïc bieåu dieãn nhö laømoät vector coät trong khoâng gian vector ñaïi soá. Hôn nöõa, caùc pheùp toaùn treân vectorñöôïc chuyeån thaønh caùc pheùp toaùn töông öùng treân toïa ñoä.

Cho V laø khoâng gian vector treân K.

2.1 Ñònh nghóa.Moät toå hôïp tuyeán tính cuûa moät heä vector e1, · · · , en ∈ V laø moät vector coù daïng

x = x1e1 + · · ·+ xnen , trong ñoù x1, · · · , xn ∈ K.

Khi ñoù x goïi laø toå hôïp tuyeán tính hay laø bieåu dieãn tuyeán tính cuûa caùc vector e1, · · · , en.Moät taäp con A ⊂ V goïi laø moät heä sinh cuûa V , hay ta noùi A sinh ra V , neáuu L(A) = V ,i.e. moïi vector thuoäc V ñeàu laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc vector thuoäc A.Moät khoâng gian vector höõu haïn chieàu laø moät khoâng gian coù moät heä sinh goàm höõu haïnvector. Tröôøng hôïp ngöôïc laïi ta noùi khoâng gian laø voâ haïn chieàu.

Nhaän xeùt. Cho a1, · · · , an vaø b laø caùc vector trong Kn. Khi ñoùb laø toå hôïp tuyeán tính cuûa a1, · · · , an ⇔ phöông trình x1a1+ · · ·+xnan = b coù nghieäm.

Ví duï. b =

7

61

coù laø toå hôïp tuyeán tính cuûa a1 =

1

23

, a2 =

−2−5

2

hay


khoâng, töông ñöông vôùi heä phöông trình sau coù nghieäm hay khoâng

x1

1

23

+ x2

−2−5

2

=

7

61

Duøng thuaät toaùn Gauss, ta coù 1 −2 | 7

2 −5 | 63 2 | 1

→

1 −2 | 7

0 −1 | −80 8 | −20

→

1 −2 | 7

0 −1 | −80 0 | −84

Vì heä voâ nghieäm, neân b khoâng laø toå hôïp tuyeán tính cuûa a1, a2

Baøi taäp: Chöùng minh caùc khoâng gian K[X], F ([a, b]) laø voâ haïn chieàu.

Nhaän xeùt. Trong khoâng gian vector hình hoïc:Moät ñöôøng thaúng ñöôïc sinh ra bôûi ñuùng 1 vector khaùc khoâng.Moät maët phaúng ñöôïc sinh ra bôûi ñuùng 2 vector khoâng song song.Khoâng gian sinh bôûi ñuùng 3 vector khoâng ñoàng phaúng.Khaùi nieäm song song, ñoàng phaúng vaø “sinh ra bôûi ñuùng ...” ñöôïc khaùi quaùt hoùa nhö sau:

2.2 Ñònh nghóa. Moät heä e1, · · · , en ∈ V goïi laø phuï thuoäc tuyeán tính neáuu toàn taïix1, · · · , xn ∈ K khoâng ñoàng thôøi baèng 0 sao cho x1e1 + · · ·+ xnen = O. Tröôøng hôïpngöôïc laïi heä goïi laø ñoäc laäp tuyeán tính, i.e.

x1e1 + · · ·+ xnen = O ⇒ x1 = · · · = xn = 0.

Taäp B ⊂ V ñöôïc goïi laø moät cô sôû cuûa V neáuu(B1) B laø moät heä sinh cuûa V , i.e. L(B) = V .(B2) B laø moät heä vector ñoäc laäp tuyeán tính,

i.e. moïi hoï höõu haïn vector thuoäc B laø ñoäc laäp tuyeán tính.

Nhaän xeùt. Töø ñònh nghóa, ta coù:• Heä e1, · · · , en phuï thuoäc tuyeán tính khi vaø chæ khi toàn taïi i ∈ {1, · · · , n}, sao choei laø toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc vector coøn laïi.• Moät heä ñoäc laäp tuyeán tính khoâng theå chöùa vector O.• Moät heä con cuûa moät heä ñoäc laäp tuyeán tính laø ñoäc laäp tuyeán tính.• Neáu V coù cô sôû, thì V = {O}.

Ví duï.a) Trong Kn heä a1, · · · , ap laø ñoäc laäp tuyeán tính khi vaø chæ khi heä phöông trình thuaànnhaát x1a1 + · · ·+ xpap = O chæ coù nghieäm taàm thöôøng O.Chaúng haïn, xeùt tính ñoäc laäp tuyeán tính cuûa heä 3 vector sau trong K 3

a1 =

1−2−1

, a2 =

−1

10

, a3 =

1

01

.

46

Heä phöông trình x1a1 + x2a2 + x3a3 = O coù nghieäm khoâng taàm thöôøng, chaúng haïnx1 = 1, x2 = 2, x3 = 1, neân a1, a2, a3 khoâng ñoäc laäp tuyeán tính ( i.e. chuùng ñoàngphaúng).

b) Cô sôû chính taéc trong Kn laø heä vector e1 =

10...0

e2 =

01...0

, · · · , en =

00...1

c) Moät cô sôû töï nhieân cuûa Kn[X] laø heä caùc ñôn thöùc {1, X,X2, · · · , Xn}.d) Hoï voâ haïn ñôn thöùc {1, X,X2, · · · } laø moät cô sôû cuûa K[X].Baøi taäp: Chöùng minh caùc heää vector treân laø cô sôû.

2.3 Ñònh lyù (cô sôû).(i) Moïi khoâng gian vector V = O ñeàu toàn taïi cô sôû.(ii) Moïi cô sôû cuûa V ñeàu coù cuøng soá phaàn töû (löïc löôïng).

Töø ñoù soá chieàu cuûa khoâng gian vector V treân K ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa:

dimK V = soá phaàn töû cuûa cô sôû cuûa V, dimK{O} = 0.

Chöùng minh: Tröôøng hôïp V laø khoâng gian höõu haïn chieàu. Goïi A = {a1, · · · , aN} moätheä sinh cuûa V . Tröôùc heát ta xaây döïng moät côû sôû B töø A baèng caùch loaïi bôùt moät soávector. Cuï theå, xeùt phöông trình x1a1 + · · ·+ xNaN = O.Neáu phöông trình chæ coù nghieäm taàm thöôøng x1 = · · · = xN = 0, thì B = A laø cô sôû.Neáu phöông trình coù nghieäm khaùc khoâng (x1, · · · , xn), vôùi xi = 0, thì loaïi ai khoûi A:A1 = A \ {ai}.Laëp laïi laäp luaän treân cho A1, · · · . Sau < N böôùc ta coù cô sôû B ⊂ A.Vieäc chöùng minh (ii) döïa vaøo boå ñeà sau:Boå ñeà. Neáu B = {e1, · · · , en} laø cô sôû vaø f1, · · · , fm laø heä ñoäc laäp tuyeán tính, thìm ≤ n.Vieäc chöùng minh boå ñeà döïa vaøo phöông phaùp thay theá nhö sau:Do f1 ∈ L(e1, · · · , en), f1 = x1e1 + · · · + xnen. Vì f1 = O, khoâng maát tính toångquaùt, giaû söû x1 = 0. Khi ñoù e1 = x−1

1 (f1 − x2e2 + · · ·+ xnen). Vaäy L(e1, · · · , en) =L(f1, e2, · · · , en).Do f2 ∈ L(f1, e2, · · · , en), f2 = y1f1 + y2e2 + · · · + ynen. Vì f1, f2 ñoäc laäp tuyeántính, toàn taïi i ≥ 2 sao cho yi = 0. Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû y2 = 0. Khi ñoùe2 = y−1

2 (f2 − y1f1 − y2e2 + · · ·+ ynen). Vaäy L(e1, · · · , en) = L(f1, f2, · · · , en).Laëp laäp luaän treân, ôû böôùc k, f1, · · · , fk ñöôïc thay theá vaøo B.Ta phaûi coù m ≤ n, vì neáu khoâng, ôû böôùc n, V = L(f1, · · · , fn) vaø khi ñoù fn+1 ∈L(f1, · · · , fn), ñieàu naøy traùi gæa thieát veà tính ñoäc laäp tuyeán tính cuûa f1, · · · , fm.Baây giôø, ta chöùng minh (ii). Cho B vaø B ′ laø caùc cô sôû cuûa V . Kyù hieäu #B vaø #B′laø soá phaàn töû cuûa chuùng. Khi ñoù, theo boå ñeà treân, #B ′ ≤ #B vaø #B ≤ #B′. Vaäy#B′ = #B.Tröôøng hôïp V voâ haïn chieàu, coù theå chöùng minh ñònh lyù döïa vaøo tieân ñeà choïn. �

Ví duï.a) dimK Kn = n (cô sôû chính taéc).b) dimK MatK(m,n) = m × n (cô sôû chính taéc {Eij , i = 1, · · · ,m; j = 1, · · · , n},


vôùi Eij laø m× n ma traän maø phaàn töû doøng i coät j laø 1, caùc phaàn töû khaùc laø 0).c) dimR C = 2 (cô sôû laø 1, i).d) dimK Kn[X] = n+ 1 (cô sôû töï nhieân {1, X, · · · , Xn}).

2.4 Meänh ñeà. Cho V laø khoâng gian vector n chieàu. Khi ñoù(i) Moïi heä sinh cuûa V ñeàu chöùa cô sôû cuûa V .(ii) Moïi heä > n vector ñeàu phuï thuoäc tuyeán tính.(iii) Moïi heä = n vector ñoäc laäp tuyeán tính laø cô sôû.(iv) Moïi heä < n vector ñeàu coù theå boå sung thaønh cô sôû.(v) Neáu W laø khoâng gian con cuûa V , thì dimW ≤ V , vaø daáu = xaûy ra khi vaø chæ khiW = V .

Chöùng minh: Suy tröïc tieáp töø ñònh lyù treân vaø chöùng minh cuûa noù. �

Ví duï. Cho A ∈ MatK(n). Vì dimMatK(n) = n2, neân neáu k ≥ n2, caùc matraän I, A, · · · , Ak laø phuï thuoäc tuyeán tính. Nhö vaäy, moïi A ∈ MatK(n), toàn taïi ñathöùc baäc k ≤ n2, PA(X) = a0 + a1X + · · ·+ akX

k ∈ K[X], sao cho

PA(A) = a0I + a1A+ · · ·+ akAk = 0.

Neáu A coù ña thöùc PA maø a0 = 0, thì A coù ma traän ngöôïc ñöôïc tính bôûi coâng thöùc

A−1 =1a0

(a1I + a2A+ · · ·+ akAk−1).

2.5 Toïa ñoä. Cho B = (e1, · · · , en) laø moät cô sôû ñöôïc saép thöù töï cuûa V . Khi ñoù vôùimoïi x ∈ V , toàn taïi duy nhaát (x1, · · · , xn) ∈ Kn sao cho x = x1e1 + · · ·+ xnen.

Kyù hieäu xB =

x1

x2...xn

goïi laø toïa ñoä cuûa x theo cô sôû B.

Nhaän xeùt.• Vieäc x laø toå hôïp tuyeán tính cuûa e1, · · · , en laø do B laø heä sinh cuûa V . Tính duy nhaátcuûa caùc toïa ñoä laø do B laø heä ñoäc laäp tuyeán tính.• Ñònh nghóa toïa ñoä phuï thuoäc vaøo thöù töï cuûa caùc vector trong cô sôû. Vì vaäy khi caùcvaán ñeà coù lieân quan ñeán toïa ñoä, ta qui öôùc heä cô sôû laø heä ñöôïc saép thöù töï.

Nhaän xeùt. Heä (e1, · · · , en) laø cô sôû cuûa Kn töông ñöông vôùi caùc ñieàu sau:• Vôùi moïi b ∈ Kn phöông trình x1e1 + · · ·+ xnen = b coù duy nhaát nghieäm.• Duøng thuaät toaùn Gauss-Jordan coù theå thöïc hieän ñöôïc bieán ñoåi (e1 · · · en)→ In• rankA = rank(e1 · · · en) = n.• Ma traän A = (e1 · · · en) khaû nghòch.

Sô ñoà tìm toïa ñoä x ∈ Kn theo cô sôû B = (e1, · · · , en):Duøng phöông phaùp Gauss-Jordan

(e1e2 · · · en | x) −→ (In | xB)

48

Ví duï. Trong K2. Khi vieát x =

(x1

x2

)chính laø toïa ñoä cuûa x trong cô sôû chính taéc,

vì x = x1

(10

)+ x2

(01

)

Ñeå tìm toïa ñoä x trong cô sôû B : f1 =

(11

), f2 =

(−1

1

), giaûi heä phöông trình

x = X1f1 +X2f2 ⇔{x1 = X1 −X2

x2 = X1 +X2

Suy ra xB =

(X1

X2

)=

12

(x1 + x2

x2 − x1

).

Meänh ñeà. Gæa söû B laø cô sôû cuûa khoâng gian vector V treân K. Khi ñoù vôùi moïix, y ∈ V, α ∈ K,

(x+ y)B = xB + yB vaø (αx)B = αxB

Chöùng minh: Deã daøng suy töø ñònh nghóa. �

Nhaän xeùt. Khi coá ñònh moät cô sôû cho moät khoâng gian n chieàu V treân K ta coùtöông öùng 1-1:

Vxx+ yαx

←→

Kn

xBxB + yBαxB

Khi ñoù Kn laø moâ hình hay “baûn sao” cuûa V . Pheùp töông öùng naøy laøm cho tính toaùn,ñònh löôïng thuaän lôïi.

2.6 Haïng cuûa heä vector. Haïng cuûa heä vector a1, · · · , am ∈ V ñöôïc kyù hieäu vaøñònh nghóa

rank(a1, · · · , am) = dimL(a1, · · · , am) = soá vector ñoäc laäp tuyeán tính cöïc ñaïi cuûa heä.

Ñeå tính haïng ta coù theå döïa vaøo nhaän xeùt sau (Baøi taäp):

Meänh ñeà. Khoâng gian sinh bôûi moät heä vector laø khoâng ñoåi khi thöïc hieän caùc pheùpbieán ñoåi sô caáp treân heä. Cuï theå, ∀i = j, ∀α ∈ K \ 0, ta coù:1- L(a1, · · · , ai, · · · , aj, · · · , am) = L(a1, · · · , aj , · · · , ai, · · · , am).2- L(a1, · · · , αai, · · · , am) = L(a1, · · · , ai, · · · , am).3- L(a1, · · · , ai + αaj , · · · , am) = L(a1, · · · , ai, · · · , am).Suy ra haïng cuûa moät heä vector khoâng ñoåi qua caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân heä.

Sô ñoà tính haïng heä a1, · · · , am ∈ Kn:Böôùc 1: Laäp ma traän A maø moãi doøng laø toïa ñoä cuûa moãi vector cuûa heä.


Böôùc 2: Duøng thuaät toaùn Gauss, suy ra rankA = rank(a1, · · · , am).

Ví duï. Trong K4 Cho a1 =

1022

, a2 =

1−1

3−2

, a3 =

2−150

.

Ñeå tính haïng cuûa heä vaø tìm moät cô sôû cuûa L(a1, a2, a3), ta duøng thuaät toaùn Gauss 1 0 2 2

1 −1 3 −22 −1 5 0

D2−D1,D3−2D1−→

1 0 2 2

0 1 1 40 1 −1 4

D3−D2−→

1 0 2 2

0 1 1 40 0 0 0

Töø ñoù suy ra rank(a1, a2, a3) = 2.Hôn nöõa, töø ma traän cuoái ta coù L(a1, a2, a3) laø khoâng gian coù cô sôû laø (1, 0, 2, 2), (0, 1, 1, 4).

3. Toång - Tích - Thöông caùc khoâng gian vector

3.1 Toång. Cho V1, V2 ⊂ V laø caùc khoâng gian con.Toång cuûa V1, V2 : V1 + V2 = {x ∈ V : x = x1 + x2, x1 ∈ V1, x2 ∈ V2} = L(V1 ∪ V2).Toång treân goïi laø toång tröïc tieáp , kyù hieäu V1 ⊕ V2, neáuu V1 ∩ V2 = O.Nhaän xeùt. Toång 2 khoâng gian con laø khoâng gian con.Ví duï. Toång 2 ñöôøng thaúng qua goác O trong khoâng gian laø maët phaúng chöùa 2 ñöôøngthaúng ñoù.

Meänh ñeà. Toång V1 + V2 laø toång tröïc tieáp khi vaø chæ khi vôùi moïi x ∈ V1 + V2 toàntaïi duy nhaát x1 ∈ V1, x2 ∈ V2, x = x1 + x2.

Chöùng minh: Gæa söû x = x1 + x2 = y1 + y2, vôùi x1, y1 ∈ V1, x2, y2 ∈ V2. Khi ñoùx1 − y1 = y2 − x2 ∈ V1 ∩ V2. Neáu V1 ∩ V2 = O, thì x1 = y1, x2 = y2.Ngöôïc laïi, moïi x ∈ V1 ∩ V2 ñeàu coù caùc bieåu dieãn x = x1 = x1 + O ∈ V1, x = x2 =O + x2 ∈ V2, neân neáu bieåu dieãn laø duy nhaát, thì x1 = O, x2 = O, i.e. x = O. VaäyV1 ∩ V2 = O. �

Toång quaùt, toång cuûa höõu haïn khoâng gian con, kyù hieäu V1 + · · ·+ Vs =s∑

i=1

Vi ,

laø khoâng gian caùc vector coù daïng x1 + · · ·+ xs, vôùi xi ∈ Vi.

Toång treân laø tröïc tieáp, kyù hieäu V1 ⊕ · · · ⊕ Vs =⊕s

i=1 Vi, neáuu vôùi moïi x ∈s∑

i=1

Vi coù

bieåu dieãn duy nhaát x = x1 + · · ·+ xx, vôùi xi ∈ Vi.

3.2 Phaàn buø ñaïi soá (hieäu). Cho V1 laø khoâng gian con cuûa V . Khi ñoù toàn taïi khoânggian con V2 sao cho V = V1 ⊕ V2.Ta goïi V2 laø moät phaàn buø ñaïi soá cuûa V1.

Chöùng minh: Goïi B1 laø moät cô sôû cuûa V1. Theo Meänh ñeà 2.4, coù theå boå sungheä ñoù ñeå coù cô sôû B cuûa V . Khi ñoù V2 = L(B \ B1) laø moät phaàn buø cuûa V1. �

50

Nhaän xeùt. Phaàn buø ñaïi soá noùi chung khoâng duy nhaát (chaúng haïn, phaàn buø ñaïi soácuûa ñöôøng thaúng trong maët phaúng.)Tröôøng hôïp V höõu haïn chieàu, neáu V2 laø phaàn buø ñaïi soá cuûa V1, thì dimV2 =dimV − dimV1 khoâng ñoåi vôùi moïi phaàn buø ñaïi soá, soá treân goïi laø soá ñoái chieàu cuûa V1

trong V vaø kyù hieäu laø codimV1.

Meänh ñeà. Cho V laø khoâng gian höûu haïn chieàu. Khi ñoù(i) dim(V1 + V2) = dimV1 + dimV2 − dim(V1 ∩ V2).(ii) dimV = dimV1 + codimV1.

Chöùng minh: Goïi {a1, · · · , am}, {a1, · · · , am, b1, · · · , bn1}, {a1, · · · , am, c1, · · · , cn2}laàn löôït laø cô sôû cuûa V1 ∩ V2, V1, V2.Ñeå chöùng minh (i), caàn chöùng minh B = {a1, · · · , am, b1, · · · , bn1 , c1, · · · , cn2} laø côsôû cuûa V1 + V2.Deã thaáy B sinh ra V1 + V2.Ñeå kieåm tra tính ñoäc laäp tuyeán tính, gæa söû

m∑i=1

αiai +n1∑

j=1

βjbj +n2∑

k=1

γkck = O.

Suy ran2∑

k=1

γkck = −m∑

i=1

αiai −n1∑

j=1

βjbj ∈ V1 ∩ V2 = L(a1, · · · , am).

Do {a1, · · · , am, c1, · · · , cn2} ñoäc laäp tuyeán tính,n2∑

k=1

γkck = O.

Suy ram∑

i=1

αiai +n1∑

j=1

βjbj = O. Töø tính ñoäc laäp tuyeán tính cuûa {c1, · · · , cn2} vaø

{a1, · · · , am, b1, · · · , bn1}, töø hai ñaúng thöùc treân suy ra

γk = 0, αi = 0, βj = 0, ∀i, j, k.Vaäy B laø heä ñoäc laäp tuyeán tính. �

3.3 Tích. Cho V1, V2 laø caùc khoâng gian vector treân cuøng tröôøng K. Tích V1, V2

laø khoâng gian V1 × V2 = {(x1, x2) : x1 ∈ V1, x2 ∈ V2}, vôùi pheùp coäng vaø nhaân vôùi soáñöôïc ñònh nghóa:

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 +1 y1, x2 +2 y2) α(x1, x2) = (α ·1 x1, α ·2 x2)

Deã thaáy tích treân laø khoâng gian vector treân K.Toång quaùt, baèng qui naïp coù theå ñònh nghóa tích caùc khoâng gian vector treân K:

V1 × · · · × Vs =s∏

i=1

Vi = (V1 × Vs−1)× Vs.

Meänh ñeà. Neáu Vi, i = 1, · · · , s laø caùc khoâng gian höõu haïn chieàu treân K, thì

dims∏

i=1

Vi =s∑

i=1

dimVi


Chöùng minh: Thöïc vaäy, neáu e1, · · · , en laø cô sôû cuûa V1 vaø f1, · · · , fm laø cô sôû V2, thìdeã kieåm tra (e1, O), · · · , (en, O), (O, f1), · · · , (O, fm) laø cô sôû cuûa V1 × V2. Sau ñoùquy naïp theo s. �

Ví duï. Kn = K × · · · ×K︸︷︷︸n

.

3.4 Thöông. Cho W laø moät khoâng gian vector con cuûa khoâng gian vector V .Khoâng gian thöông V/W ñöôïc xaây döïng nhö sau:Treân V xeùt quan heä “ñoàng dö modulo W”:

x, y ∈ V, x ≡ y (mod W ) ⇔ x− y ∈W

Nhaän xeùt.• Quan heä treân laø quan heä töông ñöông.• Quan heä treân phaân hoaïch V thaønh caùc lôùp töông ñöông:

[x] = x+W (x ∈ V ).

• Neáu [x] = [x′], [y] = [y′] vaø α ∈ K, thì [x+ y] = [x′ + y′] vaø [αx] = [αx′].

Töø caùc nhaän xeùt treân, ñònh nghóa khoâng gian thöông V/W = {[x] = x+W : x ∈ V },vôùi pheùp coäng vaø nhaân vôùi soá:

[x] + [y] = [x+ y] , α[x] = [αx].

Nhaän xeùt. Ñònh nghóa laø hôïp caùch vaø V/W laø khoâng gian vector treân K.

Meänh ñeà. Cho V laø khoâng gian höõu haïn chieàu. Khi ñoù

dimV/W = dimV − dimW = codimW.

Chöùng minh: Goïi e1, · · · , em laø cô sôû cuûa moät phaàn buø ñaïi soá cuûa W . Khi ñoù[e1], · · · , [em] laø cô sôû cuûa V/W . Thaät vaäy, moïi x ∈ V , coù bieåu dieãn duy nhaátx = x1e1 + · · · + xmem + y, vôùi y ∈ W . Suy ra, [y] = O ∈ V/W . Do ñoù, moïi[x] ∈ V/W coù bieåu dieãn duy nhaát [x] = x1[e1] + · · ·+ xn[en]. �

Ví duï. Cho W laø ñöôøng thaúng qua goác O trong R2. Khi ñoù x ≡ y( mod W ) neáuu x, ythuoäc ñöôøng thaúng song song vôùi W , i.e. x − y ∈ W , coøn [x] = ñöôøng thaúng qua xsong song W . Khoâng gian thöông R2/W = taäp caùc ñöôøng thaúng song song vôùi W .(ñeå yù laø phaàn töû cuûa taäp naøy laø ñöôøng thaúng).

IV. AÙnh xaï tuyeán tính

Moät aùnh xaï giöõa hai khoâng gian vector maø baûo toaøn pheùp coäng vaø nhaân vôùi soá ñöôïcgoïi laø aùnh xaï tuyeán tính. Trong lôùp caùc aùnh xaï, aùnh xaï tuyeán tính laø ñôn giaûn vaøquan troïng nhaát. Maët khaùc, nhieàu aùnh xaï coù theå xaáp xæ bôûi aùnh xaï tuyeán tính, khi ñoùvieäc nghieân cöùu aùnh xaï goác deã daøng hôn. Vì vaäy phaàn lôùn caùc vaán ñeà toaùn hoïc cuõngnhö kyõ thuaät coù lieân quan ñeán aùnh xaï tuyeán tính. ÔÛ chöông naøy caùc keát quûa ñònh tínhcuûa heä phöông trình tuyeán tính ñöôïc suy ra moät caùch deã daøng thoâng qua khaùi nieämaùnh xaï tuyeán tính.Khi coá ñònh cô sôû treân caùc khoâng gian vector, aùnh xaï tuyeán tính ñöôïc bieåu dieãn bôûima traän. Moái quan heä naøy cho pheùp tính toaùn, ñònh löôïng caùc aùnh xaï tuyeán tính.

1. AÙnh xaï tuyeán tính

1.1 Ñònh nghóa. Cho V vaø V ′ laø caùc khoâng gian vector treân cuøng tröôøng soá K.AÙnh xaï f : V −→ V ′ goïi laø K-tuyeán tính neáuu vôùi moïi x, y ∈ V, α ∈ K(L1) f(x+ y) = f(x) + f(y)

(L2) f(αx) = αf(x)

Nhaän xeùt. (L1)(L2) töông ñöông vôùi

(L) f(αx+ βy) = αf(x) + βf(y) ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ K.Thuaät ngöõ: Khi ñaõ roõ tröôøng K ñang xeùt laø tröôøng naøo, ta thöôøng goïi f laø aùnh xaïtuyeán tính thay cho K-tuyeán tính. AÙnh xaï tuyeán tính coøn ñöôïc goïi laø ñoàng caáu tuyeántính hay toaùn töû tuyeán tính. Neáu V = V ′, thì aùnh xaï tuyeán tính ñöôïc goïi laø töï ñoàngcaáu. Khi V ′ = K, ngöôøi ta coøn duøng thuaät ngöõ phieám haøm tuyeán tính hay daïng tuyeántính.

Kyù hieäu LK(V, V ′)= taäp moïi aùnh xaï tuyeán tính töø V vaøo V ′,vaø LK(V ) = LK(V, V ).

Tính chaát. Cho f ∈ LK(V, V ′). Khi ñoù

f(O) = O vaø f(n∑

i=1

αivi) =n∑

i=1

αif(vi), ∀vi ∈ V, αi ∈ K; i = 1, · · · , n

1.2 Ví duï.a) AÙnh xaï khoâng OV , aùnh xaï ñoàng nhaát idV laø caùc aùnh xaï tuyeán tính.b) AÙnh xaï tuyeán tính sinh bôûi ma traän A ∈MatK(m,n), ñöôïc ñònh nghóa:

LA : Kn −→ Km, LA(x) = Ax.

Deã kieåm tra LA laø tuyeán tính, do tính chaát cuûa caùc pheùp toaùn treân ma traän.Ngöôïc laïi, ôû 2.2 seõ chöùng minh moïi aùnh xaï tuyeán tính Kn → Km ñeàu coù daïng treân.

54

c) Caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc trong R2 sau ñaây laø tuyeán tính:

Pheùp co daõn caùc truïc:

(x1

x2

)�→(λ1x1

λ2x2

)=

(λ1 00 λ2

)(x1

x2

)

Pheùp ñoái xöùng qua Ox1:

(x1

x2

)�→(

x1

−x2

)=

(1 00 −1

)(x1

x2

)

Pheùp ñoái xöùng qua Ox2:

(x1

x2

)�→(−x1

x2

)=

(−1 0

0 1

)(x1

x2

)

Pheùp ñoái xöùng qua taâm O:

(x1

x2

)�→(−x1

−x2

)=

(−1 0

0 −1

)(x1

x2

)

Pheùp quay goùc ϕ:

(r cos θr sin θ

)�→(r cos(θ + ϕ)r sin(θ + ϕ)

)=

(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

)(r cos θr sin θ

)

Pheùp chieáu leân Ox1:

(x1

x2

)�→(x1

0

)=

(1 00 0

)(x1

x2

)

Baøi taäp: Xaùc ñònh pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng ax1 + bx2 = 0.d) Ñaïo haøm, tích phaân laø caùc aùnh xaï tuyeán tính. (Haõy neâu caùc khoâng gian vectornguoàn vaø ñích töông öùng).e) AÙnh xaï khoâng tuyeán tính ñöôïc goïi laø phi tuyeán . Chaúng haïn: haøm ña thöùc baäc ≥ 2,haøm sin, cos, exp, log, ...

1.3 Im - Ker. Cho f ∈ LK(V, V ′) Ta coù caùc kyù hieäu vaø ñònh nghóa:

Imf = f(V ) = {y ∈ V ′ : ∃x ∈ V, y = f(x)} goïi laø aûnh cuûa f .

Kerf = f−1(O) = {x ∈ V : f(x) = 0} goïi laø nhaân hay taâm, haïch cuûa f .

rankf = dim Imf goïi laø haïng cuûa f . dim Kerf goïi laø soá khuyeát cuûa f .

Nhaän xeùt. Imf , Kerf laø khoâng gian vector con cuûa V ′, V töông öùng.Ñieàu treân suy töø khaúng ñònh sau (maø vieäc chöùng minh xem nhö baøi taäp):

Meänh ñeà.(i) Neáu W ⊂ V laø khoâng gian con, thì f(W ) laø khoâng gian con.(ii) Neáu W ′ ⊂ V ′ laø khoâng gian con, thì f−1(W ′) laø khoâng gian con.

Nhaän xeùt. Coù theå xem Kerf vaø Imf ño ñoä ñôn aùnh hay toaøn aùnh cuûa f . Töøñònh nghóa deã suy ra (baøi taäp):

Meänh ñeà.(i) Kerf = O khi vaø chi khi f laø ñôn aùnh.(ii) Imf = V ′ khi vaø chæ khi f laø toaøn aùnh.

Chöông IV. AÙnh xaï tuyeán tính 55

Nhaän xeùt. Khi f = LA : Kn → Km, LA(x) = Ax, vôùi A ∈MatK(m,n).Vieát A döôùi daïng n vector coät A = (a1 · · · an), vôùi aj ∈ Km. Khi ñoù

LA(x) = Ax = x1a1 + · · ·+ xnan x = t(x1 · · ·xn) ∈ Kn

ImLA = {b ∈ Km : ∃x, b = x1a1 + · · ·+ xnan} = L(a1, · · · , an).KerLA = {x ∈ Kn : Ax = 0} = Khoâng gian nghieäm phöông trình Ax = 0.

Ví duï. Cho f : R4 → R3, f(x, y, z, t) = (x− y + z + t, x+ 2z − t, x+ y + 3z − 3t).Ñeå xaùc ñònh Imf vaø Kerf ta tieán haønh nhö sau.Vieát f döôùi daïng ma traän:

f

xyzt

= A

xyzt

, vôùi A =

1 −1 1 1

1 0 2 −11 1 3 −3

Ta coù Imf = Khoâng gian sinh bôûi caùc coät cuûa AÑeå xaùc ñònh khoâng gian treân, bieán ñoåi sô caáp treân doøng ma traän tA:

1 1 1−1 0 1

1 2 31 −1 3

−→

1 1 10 1 20 1 20 −2 −4

−→

1 1 10 1 20 0 00 0 0

Suy ra Imf coù cô sôû laø caùc vector (1, 1, 1), (0, 1, 2).Ta coù Kerf laø khoâng gian nghieäm heä phöông trình

x − y + z + t = 0x + 2z − t = 0x + y + 3z − 3t = 0

Duøng phöông phaùp khöû Gauss bieán ñoåi treân ma traän 1 −1 1 1

1 0 2 −11 1 3 −3

−→

1 −1 1 −1

0 1 1 −20 2 2 −4

−→

1 −1 1 −1

0 1 1 −20 0 0 0

Suy ra y = −z + 2t, x = −2z + t, z, t ∈ R.Vaäy Kerf laø khoâng gian 2 chieàu, coù cô sôû laø (−2,−1, 1, 0), (1, 2, 0, 1).

Ñònh lyù. Cho f : V → V ′ laø aùnh xaï tuyeán tính giöõa caùc khoâng gian höõu haïn chieàu.Khi ñoù

dim Imf + dim Kerf = dimV

Chöùng minh: Goïi e1, · · · , ep laø cô sôû cuûa Kerf . Boå sung ñeå e1, · · · , ep, ep+1, · · · , en

laø cô sôû cuûa V . Ñeå chöùng minh coâng thöùc treân caàn chöùng minh f(ep+1), · · · , f(en) laøcô sôû cuûa Imf .Heä sinh: Moïi y ∈ Imf , toàn taïi x = x1e1 + · · ·+xpep +xp+1ep+1 + · · ·+xnen ∈ V , sao

56

cho y = f(x). Vaäy y = f(x) = xp+1f(ep+1)+· · ·+xnf(en) ∈ L(f(ep+1), · · · , f(en)).

Ñoäc laäp tuyeán tính: Chon∑

i=p+1

xif(ei) = O. Suy ra f(n∑

i=p+1

xiei) = O,

i.e.n∑

i=p+1

xiei ∈ Kerf = L(e1, · · · , ep). Töø tính ñoäc laäp tuyeán tính cuûa e1, · · · , en, ta

coù xp+1 = · · · = xn = 0. �

Heä quûa 1. Cho f ∈ LK(V, V ′). Gæa söû dimV = dimV ′. Khi ñoù caùc ñieàu sautöông ñöông(i) f laø ñôn aùnh (ii) f laø toaøn aùnh (iii) f laø song aùnh (iv) Ker f = 0

Heä quûa 2. (Ñònh lyù veà ñoàng caáu) Cho f ∈ LK(V, V ′). Khi ñoùï f : V/ Kerf → V ′,f([x]) = f(x) laø ñôn aùnh, vaø f : V/ Kerf → Imf laø song aùnh tuyeán tính.

1.4 AÙp duïng vaøo heä phöông trình tuyeán tính.1

Xeùt heä phöông trình tuyeán tính m phöông trình, n aån treân tröôøng K:

Ax = b , trong ñoù A ∈MatK(m,n).

Phaàn naøy seõ giaûi quyeát hai baøi toaùn sau:1 - Khi naøo heä coù nghieäm, i.e. töông thích ?2 - Soá nghieäm cuûa phöông trình?

Nhaän xeùt. Vieát A = (a1 · · · an) daïng n vector coät trong Km. Khi ñoùAx = b laø heä töông thích ⇔ ∃x1, · · · , xn ∈ K : x1a1 + · · ·+ xnan = b

⇔ L(a1, · · · , an) = L(a1, · · · , an, b)⇔ rank(a1, · · · , an) = rank(a1, · · · , an, b).

Töø ñoù ta coù:

Ñònh lyù (Kronecker-Capelli).Heä phöông trình Ax = b töông thích khi vaø chæ khi rankA = rank(A b)

Nhaän xeùt. Goïi LA : Kn → Km, LA(x) = Ax = x1a1 + · · ·+ xnan.(i) Taäp nghieäm phöông trình thuaàn nhaát S0 = {x ∈ Kn : Ax = 0} = KerLA, neân laøkhoâng gian vector con soá chieàu dim KerLA = n− dim ImLA = n− rankA.(ii) Gæa söû x0 thoûa Ax0 = b. Khi ñoù

Ax = b ⇔ A(x− x0) = 0 ⇔ x = x0 + x′, vôùi Ax′ = 0.

Toùm taét laïi, ta coù:

Bieän luaän. Xeùt heä Ax = b, vôùi A ∈MatK(m,n).

rankA < rank(A b) ⇔ heä voâ nghieäm.rankA = rank(A b) = n (soá aån) ⇔ heä duy nhaát nghieäm.rankA = rank(A b) < n ⇔ heä voâ soá nghieäm (baäc töï do n− rankA).1So saùnh vôùi caùc keát quûa ôû Chöông II.


Caáu truùc khoâng gian nghieäm.(i) Taäp nghieäm heä thuaàn nhaát Ax = 0 laø khoâng gian vector (n− rankA) chieàu.(ii) Neáu heä coù nghieäm, thì taäp nghieäm cuûa heä laø moät phaúng (n− rankA) chieàu

Sb = x0 + S0 = {x ∈ Kn : x = x0 + x′, x′ ∈ S0},trong ñoù x0 ∈ Kn laø moät nghieäm rieâng cuûa heä, i.e. Ax0 = b.

S0 laø khoâng gian nghieäm cuûa heä thuaàn nhaát Ax = O.

Bieåu dieãn hình hoïc cuûa heä phöông trình. Taäp caùc ñieåm (x1, · · · , xn) ∈ Kn thoûaphöông trình Hb1 : a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1, (a1j khoâng ñoàng thôøi baèng 0)goïi laø moät sieâu phaúng . Khi ñoù ta noùi Hb1 song song vôùi khoâng gian vector con (n−1)chieàu H01 : a11x1 + · · ·+ a1nxn = 0.Nhö vaäy, taäp nghieäm Sb cuûa heä phöông trình Ax = b, vôùi A ∈ MatK(m,n), laø giaocuûa m sieâu phaúng trong Kn. Neáu heä töông thích, thì Sb = ∅, vaø khi ñoù Sb = x0 + S0,neân Sb ñöôïc goïi laø moät phaúng (n− rankA) chieàu hay (n− rankA)-phaúng, song songvôùi khoâng gian con S0 : Ax = 0 (dimS0 = n− rankA).Ví duï. Moät 1-phaúng laø moät ñöôøng thaúng, moät 2-phaúng laø maët phaúng.

1.5 Ñaúng caáu tuyeán tính. Cho V, V ′ laø 2 khoâng gian vector treân K.Moät aùnh xaï f : V → V ′ goïi laø ñaúng caáu tuyeán tính neáuu f song aùnh vaø f, f−1 laøtuyeán tính. Hai khoâng gian V, V ′ goïi laø ñaúng caáu neáu toàn taïi moät ñaúng caáu tuyeán tínhgiöõa chuùng.Moät ñaúng caáu tuyeán tính töø V leân chính noù goïi laø töï ñaúng caáu hay bieán ñoåi tuyeán tính.Taäp caùc töï ñaúng caáu treân V , kyù hieäu GlK(V ), goïi laø nhoùm tuyeán tính cuûa V .Nhaän xeùt. Neáu f : V → V ′ laø song aùnh vaø f tuyeán tính, thì f−1 tuyeán tính.

Ñònh lyù (ñaúng caáu). Hai khoâng gian vector höõu haïn chieàu treân cuøng tröôøng K ñaúngcaáu khi vaø chæ khi chuùng cuøng soá chieàu.Ñaëc bieät, moïi khoâng gian n chieàu treân K ñeàu ñaúng caáu vôùi Kn.

Chöùng minh: Gæa söû dimV = n. Coá ñònh cô sôû B cuûa V . Khi ñoù, theo II.2.5, tacoù ñaúng caáu tuyeán tính

V � x←→ xB ∈ Kn.

�Nhaän xeùt. YÙ nghóa cuûa ñònh lyù laø neáu chæ xeùt caáu truùc tuyeán tính, thì caùc khoâng giancoù cuøng soá chieàu n ñôïc xem laø nhö nhau, vaø nhö vaäy chæ caàn xeùt moät ñaïi dieän, chaúnghaïn moâ hình Kn.

Ví duï. Ñaúng caáu

Kn[X] � P (x) = a0 + a1X + · · ·+ anXn ←→ (a0, a1, · · · , an) ∈ Kn,

cho pheùp xeùt caùc tính chaát tuyeán tính cuûa caùc ña thöùc baäc ≤ n, thoâng qua caùc heä soácuûa chuùng.

58

2. AÙnh xaï tuyeán tính vaø ma traän

Baøi toaùn. Cho f : V → V ′ laø aùnh xaï tuyeán tính. Giaû söû B, B′ laø caùc côû sôû cuûaV, V ′ töông öùng. Khi y = f(x), haõy tìm quan heä cuûa caùc toïa ñoä yB′ vaø xB.

Ta seõ chöùng minh raèng khi coá ñònh cô sôû aùnh xaï tuyeán tính ñöôïc bieåu dieãn bôûimoät ma traän. Nhö vaäy, cho pheùp tính toaùn cuï theå.Tröôùc heát, ta nhaän xeùt laø moät aùnh xaï tuyeán tính ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi giaù tròcuûa noù treân cô sôû (vì vaäy höõu haïn gía trò neáu khoâng gian laø höõu haïn chieàu). Cuï theå:

2.1 Meänh ñeà. Gæa söû {e1, · · · , en} laø cô sôû cuûa V vaø f1, · · · , fn laø caùc vector (tuøyyù) cuûa V ′. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät aùnh xaï tuyeán tính f : V → V ′ sao chof(e1) = f1, · · · , f(en) = fn.

Chöùng minh: AÙnh xaï tuyeán tính ñoù laø f(x) = f(n∑

i=1

xiei) =n∑

i=1

xifi. �

Ví duï. Ñeå xaùc ñònh aùnh xaï tuyeán tính f : R2 → R2, khi bieát giaù trò cuûa f treân

cô sôû chính taéc e1, e2: f(e1) =

(24

), f(e2) =

(3−2

)

Ta coù, vôùi moïi x ∈ R2, x =

(x1

x2

)= x1e1 + x2e2

Suy ra f(x) = x1f(e1) + x2f(e2) = x1

(24

)+ x2

(3−2

)=

(2x1 + 3x2

4x1 − 2x2

)

2.2 Ma traän bieåu dieãn aùnh xaï tuyeán tính. Xeùt f ∈ LK(V, V ′).Cho B = (e1, · · · , en) laø cô sôû cuûa V vaø B′ = (f1, · · · , fm) laø cô sôû cuûa V ′.

Khi ñoù

f(e1) = a11f1 + a21f2 + · · ·+ am1fm

f(e2) = a12f1 + a22f2 + · · ·+ am2fm...

...f(en) = a1nf1 + a2nf2 + · · ·+ amnfm

i.e. f(ej) =m∑

i=1

aijfi hay f(ej)B′ =

a1j...

amj

(j = 1, · · · , n)

Ma traän bieåu dieãn cuûa f trong cô sôû B, B′ ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh mghóa:

MB′B (f) = (f(e1)B′ · · · f(en)B′) = (aij) ∈MatK(m,n).

Cho x =n∑

j=1

xjej , i.e. xB =

x1...xn

vaø y =

m∑i=1

yifi, i.e. yB′ =

y1...ym

.

Khi y = f(x), ta coù

m∑i=1

yifi = f(n∑

j=1

xjej) =n∑

i=1

(m∑

j=1

aijxj)fi. So saùnh heä soá, suy ra yi =n∑

j=1

aijxj


Vieát laïi theo pheùp nhaân ma traän, ta coù töông öùng:

y = f(x) ←→ yB′ = MB′B (f)xB

Sô ñoà tìm ma traän bieåu dieãn aùnh xaï tuyeán tính f : Kn → Km, trong caùc cô sôûB = (e1, · · · , en), B′ = (f1, · · · , fm):vieát toïa ñoä caùc vector theo coät, roài duøng thuaät toaùn Gauss-Jordan

(f1 · · · fm|f(e1) · · · f(en))→ (Im|MB′B )

Ví duï.a) Ma traän bieåu dieãn aùnh xaï khoâng O trong moïi cô sôû laø ma traän O.b) Ma traän bieåu dieãn aùnh xaï ñoàng nhaát idV trong cuøng cô sôû laø ma traän ñôn vò I.c) Ma traän bieåu dieãn aùnh xaï tuyeán tính Kn → Km trong cô sôû chính taéc:Laäp luaän treân cho thaáy moïi aùnh xaï tuyeán tính f : Kn → Km, ñeàu coù daïng f(x) = Ax,vôùi A ∈MatK(m,n) chính laø ma traän bieåu dieãn cuûa f trong cô sôû chính taéc cuûa Kn

vaø Km.Chaúng haïn, pheùp nhuùng i vaø pheùp chieáu p:

i : Kn → Kn+p, i(x1, · · · , xn) = (x1, · · · , xn, 0, · · · , 0).

p : Kn1 ×Kn2 → Kn1 , p(x1, · · · , xn1, y1, · · · , yn2) = (x1, · · · , xn1),

coù ma traän bieåu dieãn trong cô sôû chính taéc laø:

M(i) =

1 · · · 0. . .

0 · · · 10 · · · 0...

...0 · · · 0

=

(InOp×n

),M(p) =

1 · · · 0 0 · · · 0. . .

......

0 · · · 1 0 · · · 0

= (In1On1×n2)

d) Cho f : K3 → K2, f(x1, x2, x3) = (2x1 − x2 + 2x3, 3x1 − x2 − x3).Ñeå tìm ma traän bieåu dieãn f trong cô sôû

B : e1 =

1

00

e2 =

1

11

e3 =

1−1

1

, vaø B′ : f1 =

(11

)f2 =

(12

).

Ta giaûi caùc heä phöông trình: a1jf1 + a2jf2 = f(ej), j = 1, 2, 3.Duøng thuaät toaùn Gauss-Jordan:(

1 1 | 2 3 51 2 | 3 1 3

)→(

1 1 | 2 3 50 1 | 1 −2 2

)→(

1 0 | 1 5 30 1 | 1 −2 2

)

Suy ra ma traän caàn tìm MB′B (f) =

(1 5 31 −2 2

)e) AÙnh xaï C-tuyeán tính w : C→ C coù daïng

z = x+ iy �→ w = (a+ ib)z = (ax− by) + i(bx+ ay), vôùi a+ ib = w(1).

60

Khi xem C = R2 laø khoâng gian vector thöïc vôùi ñoàng nhaát x+ iy = (x, y), thì ma traänbieåu dieãn aùnh xaï treân trong cô sôû chính taéc (= {1, i}) laø

(a −bb a

)= r

(cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

), vôùi r =

√a2 + b2, a = r cosϕ, b = r sinϕ.

Vaäy aùnh xaï tuyeán tính treân C thöïc hieän pheùp co daõn tæ soá r vaø pheùp quay goùc ϕ treânmaët phaúng R2.

f) Cho T : K2[X]→ K3[X] laø toaùn töû vi phaân ñònh nghóa bôûi T (f) = X2f ′′−2f ′+Xf.Ta seõ xaùc ñònh (4× 3) ma traän bieåu dieãn T trong caùc cô sôû töï nhieân B = (1, X,X 2)vaø B′ = (1, X,X2, X3) cuûa K2[X] vaø K3[X] töông öùng.Ñeå laøm dieàu ñoù caàn xaùc ñònh toïa ñoä T (1), T (X), T (X2) theo cô sôû B′.Ta coù T (1) = X, T (X) = X2 − 2, T (X2) = X3 + 2X2 − 4X . Vaäy caùc toïa ñoä caàntìm

T (1)B′ =

0101

, T (X)B′ =

−2

010

, T (X2)B′ =

0−4

21

.

Vaäy ma traän caàn tìm laø

A =

0 −2 01 0 −40 1 20 0 1

.

Baøi taäp: Vôùi kyù hieäu ôû ví duï treân, cho p(X) = a0 + a1X + a2X2. Haõy kieåm tra ñaúng

thöùcA p(X)B = T (p(X))B′ .

2.3 Quan heä giöõa aùnh xaï tuyeán tính vaø ma traän. Nhö ñaõ bieát khoâng gian caùcma traän MatK(m,n) laø khoâng gian vector treân K vôùi pheùp coäng ma traän vaø nhaânma traän vôùi soá. Treân LK(V, V ′) cuõng coù caáu truùc khoâng gian vector treân K vôùi pheùpcoäng aùnh xaï vaø pheùp nhaân aùnh xaï vôùi soá thoâng thöôøng. Hôn nöõa hôïp 2 aùnh xaï tuyeántính laø tuyeán tính. Ta coù

Meänh ñeà. Cho V, V ′, V ′′ laø caùc khoâng gian vector treân K coù B, B′, B′′ laø caùc côsôû töông öùng. Gæa söû f, g : V → V ′, h : V ′ → V ′′ laø caùc aùnh xaï tuyeán tính, α ∈ K.Khi ñoù

MB′B (f + g) = MB′

B (f) +MB′B (g)

MB′B (αf) = αMB′

B (f)MB′′

B (h ◦ f) = MB′′B′ (h)MB′

B (f)

Chöùng minh: Goïi B = {e1, · · · , en}, B′ = {e′1, · · · , e′m}, B′′ = {e′′1, · · · , e′′p}.Khi ñoù (f + g)(ej)B′ = f(ej)B′ vaø (αf)(ej)B′ = αf(ej)B′ .


Töø ñoù suy ra hai ñaúng thöùc ñaàu.

Gæa söû f(ej) =m∑

k=1

bkje′k, h(e

′k) =

p∑i=1

aike′′i , vaø h ◦ f(ej) =

p∑i=1

cije′′i . Khi ñoù

h ◦ f(ej) = h(m∑

k=1

bkje′k) =

m∑k=1

bkjh(e′k) =p∑

i=1

(m∑

k=1

aikbkj)e′′i

Vaäy cij =m∑

k=1

aikbkj , chính laø ñaúng thöùc cuoái. �

Ñònh lyù. Cho V, V ′ laø caùc khoâng gian höõu haïn chieàu treân K. Gæa söû B, B′ laø caùc côsôû töông öùng. Khi ñoù ta coù ñaúng caáu tuyeán tính

M : LK(V, V ′)→MatK(m,n), f �→M(f) = MB′B (f).

Cuï theå coù töông öùng 1-1:LK(V, V ′)f : x �→ y = f(x)f + gαf

←→

MatK(m,n)M(f) : xB �→ yB′ = M(f)xBM(f) +M(g)αM(f)

Nhaän xeùt. Töø ñònh lyù treân suy ra dimLK(V, V ′) = dimMatK(m,n) = m× n.Nhaän xeùt. Khi coá ñònh cô sôû aùnh xaï tuyeán tính ñôïc bieåu dieãn moät caùch ñònh löôïngbôûi ma traän bieåu dieãn noù.

2.4 Haïng.Haïng cuûa ma traän A: rankA = soá vector coät ñoäc laäp tuyeán tính cuûa A.Haïng cuûa heä vector : rank(a1, · · · , an) = dimL(a1, · · · , an) = soá vector ñoäc laäptuyeán tính cuûa heä.Haïng cuûa aùnh xaï tuyeán tính f : rankf = dim Imf .

Chuù yù: Chöông sau seõ chöùng minh:

rankA = soá doøng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa A.

Nhaän xeùt.• Do ñònh nghóa haïng heä vector vaø haïng aùnh xaï tuyeán tính khoâng phuï thuoäc cô sôû,neân haïng cuûa heä vector chính laø haïng ma traän maø caùc coät laø caùc toïa ñoä caùc vectorcuûa heä trong moät cô sôû baát kyø, vaø haïng cuûa aùnh xaï tuyeán tính laø haïng cuûa ma traänbieåu dieãn noù trong cô sôû baát kyø. Vaäy vieäc tính haïng ñöa veà vieäc tính haïng ma traän.• Neáu A coù daïng baäc thang, thì rankA = soá doøng khaùc khoâng cuûa A.Trong Chöông I, ñaõ neâu ñònh nghóa haïng ma traän qua pheùp bieán ñoåi sô caáp, phaùt bieåusau ñaây khaúng ñònh tính ñuùng ñaén cuûa ñònh nghóa ñoù, ñoàng thôøi cho pheùp tính haïngcuûa ma traän.

62

Tính haïng baèng bieán ñoåi sô caáp. Haïng cuûa ma traän khoâng ñoåi qua pheùp bieán ñoåi sôcaáp treân doøng hay coät.Vì caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng (coät) cuûa moät ma traän A töông öùng vôùi pheùpnhaân moät ma traän khaû nghòch E veà phía traùi (phaûi) cuûa A, neân phaùt bieåu treân suy töø

Meänh ñeà. Cho caùc ma traän A ∈MatK(m,n), B ∈MatK(n, p). Khi ñoùNeáu B laø ma traän khaû nghòch, thì rank(AB) = rankA.Neáu A laø ma traän khaû nghòch, thì rank(AB) = rankB.

Chöùng minh: Goïi LA, LB laø caùc aùnh xaï tuyeán tính lieân keát vôùi ma traän A,B töôngöùng. Khi ñoù

rankAB = rankLA ◦ LB = dim Im(LA ◦ LB) = dimLA( ImLB).

B khaû nghòch khi vaø chæ khi LB song aùnh. Khi ñoù LA(ImLB) = ImLA. Suy rarankAB = dim ImLA = rankA.A khaû nghòch khi vaø chæ khi LA song aùnh. Khi ñoù rankAB = dimLA(ImLB) =dim ImLB = rankB. �

Nhö vaäy, theo Ñònh lyù I.2.10, ta coù:rankA = r khi vaø chæ khi duøng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp coù theå ñöa A veà daïng(

Ir ?O O

)

Ví duï. Xem laïi caùc ví duï ôû II.2.6 vaø ôû III.1.3.

3. Khoâng gian ñoái ngaãu

3.1 Ñònh nghóa. Cho V laø khoâng gian vector treân K.V ∗ = LK(V,K) goïi laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa V (treân K). ϕ ∈ V ∗ goïi laø phieámhaøm tuyeán tính hay daïng tuyeán tính.Ví duï.a) Pheùp chieáu pri = e∗i : Kn → K, pri(x1, · · · , xn) = xi.b) Haøm Dirac δ : F (R)→ R, δ(f) = f(0).

3.2 Cô sôû ñoái ngaãu. Cho B = (e1, · · · , en) laø moät cô sôû cuûa V . Ñònh nghóa caùcphieám haøm e∗i : V → K bôûi e∗i (ej) = δij (delta Kronecker) i, j = 1, · · · , n. Khi ñoùB∗ = (e∗1, · · · , e∗n) laø moät cô sôû cuûa V ∗.B∗ goïi laø cô sôû ñoái ngaãu cuûa B

Chöùng minh: Cho f ∈ V ∗. Khi ñoù vôùi moïi x = x1e1 + · · ·+ xnen ∈ V ,

f(x1e1 + · · ·+ xnen) = x1f(e1) + · · ·+ xnf(en) = f(e1)e∗1(x) + · · ·+ f(en)e∗n(x).

Suy ra f = f(e1)e∗1 + · · ·+ f(en)e∗n, i.e. B∗ laø heä sinh.Hôn nöõa, theo meänh ñeà ñaàu tieát 2, f ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát bôûi caùc gía trò f(e1), · · · , f(en).


Vaäy B∗ laø cô sôû cuûa V ∗. �

Nhaän xeùt. Neáu V laø khoâng gian höõu haïn chieàu, thì dimV ∗ = dimV .

3.3 AÙnh xaï lieân hôïp. Cho f ∈ LK(V, V ′). AÙnh xaï lieân hôïp vôùi f laø aùnh xaï tuyeán tínhtf : V ′∗ → V ∗, tf(u) = u ◦ f, u ∈ V ′∗.

Tính chaát. Vôùi gæa thieát thích hôïp ta coù:(i) t(f+g) = tf+ 6tg (ii) t(αf) = αtf (iii) t(h◦f) = tf ◦th (iv) t(f−1) = (tf)−1.

3.4 Ma traän bieåu dieãn aùnh xaï lieân hôïp trong cô sôû ñoái ngaãu.Cho V, V ′ laø caùc khoâng gian vector höõu haïn chieàu treân K vaø f ∈ LK(V, V ′). Gæa söûB,B′ laø cô sôû cuûa V, V ′. Goïi B∗, B′∗ laø cô sôû ñoái ngaãu töông öùng. Khi ñoù

MB∗B′∗(tf) = tMB′

B (f)

Chöùng minh: Gæa söû B = {e1, · · · , en}, B′ = {f1, · · · , fm}.Gæa söû f(ej) =

m∑i=1

aijfi. Ta caàn xaùc ñònh caùc phaàn töû ajk: tf(f∗k ) =n∑

j=1

ajke∗j . Ta coù

tf(f∗k )(ej) = f∗k ◦ f(ej) = f∗k (m∑

i=1

aijfi) =m∑

i=1

aijf∗k (fi) = akj .

Theo chöùng minh 3.2, tf(f∗k ) =n∑

j=1

akje∗j . Suy ra ajk = akj . �

V. Ñònh thöùc

Vôùi moãi ma traän vuoâng coù töông öùng moät soá goïi laø ñònh thöùc1. Soá naøy phaûn aùnhnhieàu thoâng tin quan troïng cuûa ma traän. Trong chöông naøy ñònh thöùc ñöôïc trình baøytheo phöông phaùp truyeàn thoáng: döïa vaøo hoaùn vò vaø kyù soá. Tuy nhieân, tính ña tuyeántính thay phieân cuûa ñònh thöùc ñöôïc neâu roõ ngay sau ñoù, vaø nhôø ñoù coù theå tính ñònhthöùc moät caùch hieäu quûa. Phaàn cuoái chöông neâu moät soá aùp duïng quan troïng cuûa ñònhthöùc nhö tieâu chuaån khaû nghòch vaø tính ma traän ngöôïc, coâng thöùc Cramer, tính haïng,quan heä giöõa ñònh thöùc vaø theå tích, · · · .

1. Ñònh thöùc

1.1 Hoaùn vò. Kyù hieäu Jn = {1, 2, · · · , n}. Moät song aùnh σ : Jn → Jn ñöôïc goïilaø moät pheùp hoaùn vò cuûa Jn. Thöôøng kyù hieäu bôûi(

1 2 · · · nσ(1) σ(2) · · · σ(n)

)hoac σ(1) σ(2) · · · σ(n)

Kyù hieäu Sn ñeå chæ taäp moïi pheùp hoaùn vò cuûa Jn.Moät chuyeån vò laø moät hoaùn vò chæ ñoåi choã 2 phaàn töû.Ví duï. Vôùi n = 3 ta coù 6 pheùp hoaùn vò sau

1 2 3 2 1 3 3 2 1 1 3 2 2 3 1 3 1 2

Meänh ñeà.(i) Soá phaàn töû cuûa Sn laø n!(ii) Sn laø moät nhoùm ñoái pheùp hôïp aùnh xaï, i.e.

hôïp caùc pheùp hoaùn vò laø moät hoaùn vò, nghòch ñaûo cuûa moät hoaùn vò laø hoaùn vò.(iii) Neáu τ laø chuyeån vò thì τ−1 = τ .(iv) Moïi hoaùn vò ñeàu coù theå bieåu dieãn nhö laø hôïp cuûa höõu haïn pheùp chuyeån vò.

1.2 Nghòch theá. Cho σ ∈ Sn. Moät caëp (σ(i), σ(j)) goïi laø moät nghòch theá cuûa σneáuu i < j vaø σ(i) > σ(j), i.e. soá ñöùng tröôùc lôùn hôn soá ñöùng sau.Ví duï. Hoaùn vò 3 1 4 2 coù caùc nghòch theá: (3, 1), (3, 2), (4, 2).

1.3 Kyù soá. Kyù soá cuûa pheùp hoaùn vò σ ∈ Sn ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa laø

ε(σ) =

{+1 neáu soá nghòch theá cuûa σ chaün−1 neáu soá nghòch theá cuûa σ leû

= (−1) (soá nghòch theá cuûa σ)

Nhaän xeùt. Töø ñònh nghóa coù theå tính kyù soá bôûi coâng thöùc:

ε(σ) =∏

1≤i<j≤n

sign(σ(j)− σ(i)) =∏

1≤i<j≤n

σ(j)− σ(i)j − i .

1Ñònh thöùc ñöôïc ñeà caäp ñaàu tieân bôûi Gotfied von Lebniz naêm 1683 vaø Takakazu Seki (1642-1708)

66

Tính chaát.(i) Neáu τ laø chuyeån vò, thì ε(τ) = −1.(ii) ε : Sn → {+1,−1} laø moät ñoàng caáu nhoùm, i.e.

∀σ, σ′ ∈ Sn, ε(σ ◦ σ′) = ε(σ)ε(σ′), ε(idSn) = +1 vaø ε(σ−1) = ε(σ).

Chöùng minh: Goïi τ laø pheùp chuyeån vò 2 phaàn töû p, q (1 ≤ p < q ≤ n), i.e.

τ =

(1 · · · p p+ 1 · · · q − 1 q · · · n1 · · · q p+ 1 · · · q − 1 p · · · n

)

Vaäy caùc caëp nghòch theá laø

(q, p+ 1), · · · , (q, q − 1), (q, p) vaø (p+ 1, p), · · · , (q − 1, p).

Vaäy soá nghòch theá laø 2(q − p)− 1 (soá leû), i.e. ε(τ) = −1.Ñeå chöùng minh (ii), ñaët

N1 = #{(i, j) : i < j, σ′(i) < σ′(j), σ(σ′(i)) > σ(σ′(j))},N2 = #{(i, j) : i < j, σ′(i) > σ′(j), σ(σ′(i)) < σ(σ′(j))},N3 = #{(i, j) : i < j, σ′(i) > σ′(j), σ(σ′(i)) > σ(σ′(j))}.

Khi ñoù:soá nghòch theá cuûa σ′ = N2 +N3,soá nghòch theá cuûa σ = N1 +N2,soá nghòch theá cuûa σ ◦ σ′ = N1 +N3.Suy ra ε(σ)ε(σ′) = (−1)N2+N3(−1)N1+N2 = (−1)N1+N3 = ε(σ ◦ σ′).Caùc tính chaát khaùc laø roõ raøng. �

1.4 Ñònh thöùc cuûa ma traän. Cho moät ma traän vuoâng A = (aij) ∈MatK(n).Ñònh thöùc cuûa A ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa laø soá

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

...an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∑

σ∈Sn

ε(σ)aσ(1)1 · · · aσ(n)n

1.5 Ñònh thöùc cuûa moät heä vector. Trong Kn, cho n vector

a1 =

a11

a21...an1

, a2 =

a12

a22...an2

, · · · , an =

a1n

a2n...ann

Ñònh thöùc cuûa n vector treân ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa

det(a1, · · · , an) =∑

σ∈Sn

ε(σ)aσ(1)1 · · · aσ(n)n

Chöông V. Ñònh thöùc 67

Nhaän xeùt. Toång∑

σ∈Sn

goàm n! haïng töû daïng D(σ) = ε(σ)aσ(1)1 · · · aσ(n)n laø tích caùc

soá haïng khoâng cuøng doøng, khoâng cuøng coät cuûa A.

Ví duï.a) Ñònh thöùc caáp 2, 3:∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33+a21a31a13+a31a12a23−a13a22a31−a23a32a11−a33a12a21

b) Ñònh thöùc ma traän tam giaùc∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n...

......

...0 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11a22 · · · ann (tích caùc soá haïng ñöôøng cheùo)

Nhaän xeùt. Ñònh nghóa treân cho bieåu thöùc töôøng minh cuûa ñònh thöùc (laø ña thöùc cuûa n2

bieán aij , thuaàn nhaát baäc n). Tuy nhieân, vieäc tính ñònh thöùc theo ñònh nghóa caàn moätsoá raát lôùn pheùp tính (côõ n!). Ñeå giaûm ñaùng keå soá pheùp tính, tröôùc heát ta caàn nghieâncöùu kyõ hôn caùc tính chaát cuûa ñònh thöùc.

2. Tính chaát cuûa ñònh thöùc

2.1 Meänh ñeà. det tA = detA

Chöùng minh: Ta coù Sn � σ �→ σ−1 ∈ Sn , laø song aùnh vaø ε(σ) = ε(σ−1). Vaäy

det tA =∑

σ∈Sn

ε(σ)a1σ(1) · · · anσ(n) =∑

σ−1∈Sn

ε(σ−1)aσ−1(1)1 · · · aσ−1(n)n = detA

�Ñònh lyù sau neâu caùc tính chaát cô baûn nhaát cuûa ñònh thöùc: tính ña tuyeán tính, thay phieân.

2.2 Ñònh lyù. Ñònh thöùc laø aùnh xaï

det : MatK(n) ≡ (Kn)n → K , A = (a1, · · · , an) �→ det(a1, · · · , an)

thoûa caùc ñieàu kieän sau vôùi moïi aj , bj , ak, bk ∈ Kn, j, k ∈ Jn, α ∈ K,

(D1) det(a1, · · · , aj+bj , · · · , an) = det(a1, · · · , aj , · · · , an)+det(a1, · · · , bj , · · · , an)

(D2) det(a1, · · · , αaj , · · · , an) = α det(a1, · · · , aj , · · · , an)

(D3) det(a1, · · · , aj , · · · , ak, · · · , an) = −det(a1, · · · , ak, · · · , aj , · · · , an)

68

(D4) det(e1, · · · , en) = 1 , trong ñoù e1, · · · , en laø cô sôû chính taéc cuûa Kn.

Nhaän xeùt. (D1)(D2) laø tính tuyeán tính theo coät thöù i, (D3) laø tính phaûn ñoái xöùng.Nhaän xeùt. Caùc tính chaát treân cuõng ñuùng khi xem ñònh thöùc nhö aùnh xaï cuûa n vectordoøng cuûa moät ma traän, do Meänh ñeà 2.1.

Chöùng minh: Vieäc chöùng minh (D1),(D2),(D4) suy deã daøng töø ñònh nghóa ñònh thöùc.Ñeå chöùng minh (D3), goïi τ laø pheùp chuyeån vò j vaø k, i.e. τ(j) = k, τ(k) = j, τ(i) =i (i = j, k). Khi ñoù aùnh xaï Sn � σ �→ σ′ = σ ◦ τ ∈ Sn laø moät song aùnh vaøε(σ′) = −ε(σ). Suy ra

veá traùi (D3) =∑

σ∈Sn

ε(σ)aσ(1)1 · · · aσ(j)j · · · aσ(k)k · · · aσ(n)n

=∑

σ′∈Sn

−ε(σ′)aσ′(1)1 · · · aσ′(k)j · · · aσ′(j)k · · · aσ′(n)n

= veá phaûi (D3) .

�Heä quûa 1. Vôùi moïi σ ∈ Sn, det(aσ(1), · · · , aσ(n)) = ε(σ) det(a1, · · · , an)

Heä quûa 2. Cho A ∈MatK(n).(i) Neáu A coù 2 coät (doøng) tæ leä, thì detA = 0.(ii) Neáu A coù moät coät (doøng) baèng 0, thì detA = 0.

Heä quûa 3. Cho A ∈MatK(n), B laø bieán ñoåi sô caáp cuûa A:1. B laäp töø A bôûi chuyeån vò 2 coät (doøng), thì detB = −detA.2. B laäp töø A bôûi nhaân moät coät (doøng) vôùi soá α, thì detB = α detA.3. B laäp töø A bôûi coäng moät coät (doøng) vôùi boäi cuûa coät (doøng) khaùc, thì detB = detA.

Ví duï.∣∣∣∣∣∣∣1 x x2

1 y y2

1 z z2

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣1 0 01 y − x (y − x)y1 z − x (z − x)z

∣∣∣∣∣∣∣ (C3 − xC2, C2 − xC1)

=

∣∣∣∣∣∣∣1 0 00 y − x (y − x)y0 z − x (z − x)z

∣∣∣∣∣∣∣ (D2 −D1, D3 −D1)

= (y − x)(z − x)∣∣∣∣∣∣∣

1 0 00 1 y0 1 z

∣∣∣∣∣∣∣ (Bieán ñoåi 2)

= (y − x)(z − x)∣∣∣∣∣∣∣

1 0 00 1 00 1 z − y

∣∣∣∣∣∣∣ (C3 − yC2)

= (y − x)(z − x)(y − z)


Ñònh thöùc Vandermonde: töông töï caùch tính ñònh thöùc treân, toång quaùt ta coù

V (x0, x1, · · · , xn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 x0 · · · xn0

1 x1 · · · xn1

......

......

1 xn · · · xnn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∏0≤i<j≤n

(xj − xi)

Ñaëc bieät, x0, · · · , xn laø caùc soá khaùc nhau töøng ñoâi khi vaø chæ khi ñònh thöùc treân khaùc 0.

2.3 Meänh ñeà.(i) Cho A,B ∈MatK(n). Khi ñoù detAB = detAdetB.(ii) Neáu A khaû nghòch, thì det(A−1) = (detA)−1

Chöùng minh: Neáu A = (aij), B = (bij), AB = (cij), thì cij =∑

k aikbkj . Neáu kyùhieäu cj laø coät thöù j cuûa AB vaø ak laø coät thöù k cuûa A, thì

cj = a1bj1 + · · ·+ anbjn =n∑

k=1

bjkak

Suy ra

detAB = det(c1, · · · , cn) = det(∑

k1b1k1ak1 , · · · ,

∑knbnknakn)

=∑

k1,··· ,kn

b1k1 · · · bnkn det(ak1 , · · · , akn)

Neáu k1, · · · , kn khoâng khaùc nhau töøng ñoâi, thì det(ak1 , · · · , akn) = 0 (Heä quûa 2).Neáu k1, · · · , kn khaùc nhau töøng ñoâi, thì toàn taïi σ ∈ Sn sao cho ki = σ(i), ∀i.Suy ra

detAB =∑

σ∈Sn

b1σ(1) · · · bnσ(n) det(aσ(1), · · · , aσ(n))

=∑

σ∈Sn

ε(σ)b1σ(1) · · · bnσ(n) det(a1, · · · , an)

= det tB detA = detB detA

Töø (i) ta coù detA−1 detA = detA−1A = det In = 1. Suy ra (ii). �

3.Tính ñònh thöùc

3.1 Duøng bieán ñoåi sô caáp. Döïa vaøo tính chaát cuûa ñònh thöùc, Heä quûa 3 cuûa Ñònhlyù 2.2, ta coù thuaät toaùn tính detA:Böôùc 1: Duøng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp 1 vaø 3 ñöa A veà B daïng tam giaùc treân.Böôùc 2: detA = (−1)p tích caùc soá haïng ñöôøng cheùo cuûa B,

trong ñoù p laø soá pheùp bieán ñoåi 1.

70

Ví duï.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 5 7 21 2 3 4−2 −3 3 2

1 3 5 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 43 5 7 2−2 −3 3 2

1 3 5 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(D1 ↔ D2)

= −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 −1 −2 −100 1 9 120 1 2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(D2 − 3D1, D3 + 2D1, D4 −D1)

= −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 −1 −2 −100 0 7 20 0 0 −10

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(D3 +D2, D4 +D2)

= − 1.(−1).7.(−10) = −70

3.2 Khai trieån theo doøng (coät). Cho A = (aij) ∈MatK(n)Ñaët Aij = ma traän con cuûa A taïo bôûi A baèng caùch boû doøng i coät j.Khi ñoù ta coù

Coâng thöùc khai trieån theo doøng i: detA =n∑

j=1

(−1)i+jaij detAij

Coâng thöùc khai trieån theo coät j: detA =n∑

i=1

(−1)i+jaij detAij

Qui taéc daáu (−1)i+j coù theå moâ taû:

+ − + − · · ·− + − + · · ·+ − + − · · ·...

......

...

Chöùng minh: Do Meänh ñeà 2.1, chæ caàn chöùng minh coâng thöùc khai trieån theo coät.Goïi e1, · · · , en laø cô sôû chính taéc cuûa Kn. Tröôùc heát ta coù

det(a1, · · · , an−1, en) = detAnn

Moät caùch töông töï, vôùi moïi i, j baèng caùch hoaùn vò coät i veà coät cuoái (coù (n− i) nghòchtheá), vaø doøng j veà doøng cuoái (coù (n− j) nghòch theá), do Heä quûa 1 cuûa 2.2, ta coù

det(a1, · · · , ei , · · · , an) = (−1)n−i+n−j detAij = (−1)i+j detAij

↑coät j


Vaäy khi coá ñònh j

detA = det(a1, · · · , aj , · · · , an) = det(a1, · · · ,n∑

i=1

aijei, · · · , an)

=n∑

i=1

aij det(a1, · · · , ei, · · · , an) =n∑

i=1

aij(−1)i+j detAij

�

Nhaän xeùt. Khi duøng phöông phaùp naøy neân khai trieån theo coät hay doøng coù nhieàuphaàn töû khoâng.

Ví duï.a) Khai trieån theo coät 2 ñònh thöùc sau, ta coù∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 412 0 0 511 0 0 610 9 8 7

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −2

∣∣∣∣∣∣∣12 0 511 0 610 8 7

∣∣∣∣∣∣∣ + 9

∣∣∣∣∣∣∣1 3 4

12 0 511 0 6

∣∣∣∣∣∣∣= −2.(−8).

∣∣∣∣∣ 12 511 6

∣∣∣∣∣ + 9(−3)

∣∣∣∣∣ 12 511 6

∣∣∣∣∣= −187

b) Tính

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

α+ β αβ 0 0 · · · 0 01 α+ β αβ 0 · · · 0 00 1 α+ β αβ · · · 0 0...

......

......

...0 0 0 0 · · · α+ β αβ0 0 0 0 · · · 1 α+ β

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Ta coù D1 = α+ β vaø D2 = (α+ β)2 − αβ.Khai trieån theo coät 1, ta coù

Dn = (α+ β)Dn−1 −

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

αβ 0 · · · 01 α+ β · · · 00 1 · · · 0...

......

...0 0 · · · α+ β

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Vaäy Dn = (α+ β)Dn−1 − αβDn−2.Suy ra Dn − αDn−1 = β(Dn−1 − αDn−2) = · · · = βn−2(D2 − αD1).Suy ra Dn = βn + αDn−1 = βn + α(βn−1 + αDn−2) = · · · = βn + αβn−1 + · · ·+ αn.Vaäy

Dn =αn+1 − βn+1

α− β (α = β)

72

Nhaän xeùt. Ñaùnh giaù soá pheùp toaùn ñeå tính ñònh thöùc ma traän caáp n:• Phöông phaùp bieán ñoåi sô caáp: Ñeå ñöôïc baäc thang thöù 1 ta thöïc hieän bieán ñoåiDj + αjD1 (j = 2, · · · , n), soá pheùp toaùn caàn laø1 pheùp chia (tính αj), n−1 pheùp nhaân (tính αjD1), n−1 pheùp coäng (tính Dj +αjD1).Vaäy ôû böôùc naøy caàn (1 + 2(n− 1))(n− 1) pheùp toaùn.Töông töï, ñeå coù baäc thang thöù 2 caàn (1 + 2(n− 2))(n− 2) pheùp toaùn.Vaäy ñeå ma traän coù daïng tam giaùc, roài tích soá haïng ñöôøng cheùo, soá pheùp toaùn caàn:

[(n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 1] + 2[(n− 1)2 + (n− 2)2 + · · ·+ 12] + n− 1

=n(n+ 1)

2+ 2

(n− 1)n(2n− 1)6

− 1 = O(n3)

• Phöông phaùp khai trieån theo doøng hay coät: laø vieäc ñeä qui ñeå tính ñònh thöùc

det(ma traän caáp n) =n∑

i=1

ci det(ma traän caáp n− 1)

Goïi T (n) laø soá pheùp toaùn ñeå tính ñònh thöùc caáp n theo caùch treân. Ta coù

T (n) = n (pheùp coäng∑

i

)+n (pheùp nhaân ci det(..))+nT (n−1) (pheùp tính caùc det caáp n−1)

Suy ra

T (n) = 2n+ nT (n− 1) ≥ nT (n− 1) ≥ · · · ≥ n! ∼√

2πnnne−n (coâng thöùc Stirling)

Vaäy trong vieäc tính toaùn ñònh thöùc caáp lôùn, ngöôøi ta khoâng duøng phöông phaùp thöù hai.Ñeå so saùnh, chaúng haïn n = 20, neáu n3 pheùp tính ñöôïc thöïc hieän trong 1 giaây, thì n!pheùp tính caàn ∼ 8.1010 giôø ∼ 9.000.000 naêm.

3.3 Coâng thöùc Laplace. Cho A = (aij) ∈MatK(n).Cho I = (i1, · · · , ik) vaø J = (j1, · · · , jk) laø caùc boä ña chæ soá taêng daàn.Goïi AIJ = ma traän con cuûa A giao cuûa k doøng chæ soá thuoäc I, k coät chæ soá thuoäc J .

AIJ = ma traän con cuûa A giao cuûa n− k doøng chæ soá thuoäc Jn \ I, n− k coät chæsoá thuoäc Jn \ J .Kyù hieäu n(I, J) = (i1 + · · ·+ ik) + (j1 + ·+ jk).Khi ñoù

detA =∑

J={j1,··· ,jk}j1<···<jk

(−1)n(I,J) detAIJ det AIJ

detA =∑

I={i1,··· ,ik}i1<···<ik

(−1)n(I,J) detAIJ det AIJ

Coâng thöùc treân toång quaùt coâng thöùc khai trieån theo coät/doøng, ôû ñaây khoâng trình baøychöùng minh. Thöôøng duøng ñeå tính ñònh thöùc ma traän chia khoái.


4. Moät soá öùng duïng cuûa ñònh thöùc

4.1 Coâng thöùc tính ma traän ngöôïc. Cho A ∈MatK(n).Ñaët Aij = ma traän con cuûa A taïo bôûi A baèng caùch boû doøng i coät j,vaø aij = (−1)i+j detAij goïi laø phaàn phuï ñaïi soá cuûa phaàn töû aij .Ma traän phuï hôïp cuûa A ñöôïc ñònh nghóa: adj(A) = t(aij)

Tính chaát. adj(A)A = Aadj(A) = (detA)In

Chöùng minh: Goïi Aadj(A) = (cij). Khi ñoù cij =∑

k aikajk.Theo coâng thöùc khai trieån ñònh thöùc theo doøng ta coù:

- neáu i = j, thì cii = detA;- neáu i = j, thì cij = (ñònh thöùc cuûa ma traän coù 2 doøng gioáng nhau) = 0.

Vaäy Aadj(A) = (detA)In.Laäp luaän töông töï cho adj(A)A = (detA)In. �

Meänh ñeà. A ∈MatK(n) khaû nghòch khi vaø chæ khi detA = 0. Khi ñoù

A−1 = (detA)−1adj(A)

Nhaän xeùt. Ngöôøi ta ít duøng coâng thöùc treân ñeå tính ma traän ngöôïc vì soá pheùp toaùn lôùn.Tuy nhieân, öu ñieåm laø noù cho daïng töôøng minh cuûa ma traän ngöôïc.

Ví duï. Cho ma traän caáp 2 A =

(a bc d

)Ñieàu kieän toàn taïi ma traän nghòch: detA = ad− bc = 0Khi ñoù:

A−1 =1

(ad− bc)t(

+d −c−b +a

)=

1(ad− bc)

(d −b−c a

)

Baøi taäp: Tính

2 1 1

1 2 11 1 2

−1

4.2 Coâng thöùc Cramer. Xeùt phöông trình Ax = b coù soá phöông trình baèng soá aån. Khiñoù neáu x = (x1, · · · , xn) laø nghieäm , thì

xi detA = detAi (i = 1, · · · , n)

trong ñoù Ai = ma traän A thay coät i bôûi coät b.

Chöùng minh: Do x laø nghieäm phöông trình ta coù x1a1 + · · ·+ xnan = b.Suy ra

x1 detA = det(x1a1, a2, · · · , an)= det(b− x2a2 − · · · − xnan, a2, · · · , an)= det(b, a2, · · · , an)− x2 det(a2, a2, · · · , an)− · · · − xn det(an, a2, · · · , an)= detA1 − 0− · · · − 0

74

Ta ñaõ chöùng minh coâng thöùc cho i = 1. Töông töï cho i > 1. �

Heä Cramer laø heä phöông trình Ax = b coù soá phöông trình baèng soá aån vaø detA = 0.Nhö vaäy heä Cramer coù duy nhaát nghieäm laø x = A−1b, vaø theo coâng thöùc treân

xi =detAdetAi

(i = 1, · · · , n)

Nhaän xeùt. Coâng thöùc treân cho daïng töôøng minh cuûa nghieäm (laø thöông cuûa caùc ñathöùc cuûa caùc heä soá cuûa heä). Tuy nhieân trong tính toaùn soá, ñeå giaûi heä phöông trình côõlôùn ngöôøi ta thöôøng duøng phöông phaùp khöû Gauss (hay caûi tieán cuûa noù).

Ví duï. Tìm ña thöùc baäc hai P (x) maø ñoà thò trong maët phaúng Oxy qua 3 ñieåm(1, 2), (2, 3), (3, 6).Gæa söû P (x) = a + bx + cx2. Ñeå xaùc ñònh a, b, c töø ñieàu kieän: P (1) = 2, P (2) =3, P (3) = 6, ta coù heä phöông trình

a + b + c = 2a + 2b + 4c = 3a + 3b + 9c = 6

Heä laø heä Cramer vì ñònh thöùc cuûa ma traän bieåu dieãn laø ñònh thöùc Vandermonde:∣∣∣∣∣∣∣1 1 11 2 22

1 3 32

∣∣∣∣∣∣∣ = (2− 1)(3− 1)(3− 2) = 2 ( = 0)

Töø coâng thöùc Cramer, ta coù

a =12

∣∣∣∣∣∣∣2 1 13 2 46 3 9

∣∣∣∣∣∣∣ = 3, b =12

∣∣∣∣∣∣∣1 2 11 3 41 6 9

∣∣∣∣∣∣∣ = −2, c =12

∣∣∣∣∣∣∣1 1 21 2 31 3 6

∣∣∣∣∣∣∣ = 1.

Vaäy ña thöùc caàn tìm laø: P (x) = 3− 2x+ x2

Toång quaùt, ta coù:

Ña thöùc noäi suy. Gæa söû moät haøm soá y = f(x) ñaõ xaùc ñònh ñöôïc n + 1 gía tròcho bôûi baûng sau

x x0 x1 x2 · · · xn

f(x) y0 y1 y2 · · · yn

Moät ña thöùc noäi suy cho f laø ña thöùc baäc n coù daïng

P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n,

sao cho P (xi) = yi = f(xi) vôùi i = 0 · · · , n.Ñeå xaùc ñònh a0, a1, · · · , an ta coù heä phöông trình tuyeán tính maø ma traän bieåu dieãn laø


ma traän Vandermonde:

1 x0 x20 · · · xn

0

1 x1 x21 · · · xn

1...

......

...1 xn x2

n · · · xnn

a0

a1...an

=

y0

y1...yn

Töø coâng thöùc Cramer vaø ñònh thöùc Vandermonde, ta coù

Meänh ñeà. Cho n + 1 soá khaùc nhau x0, x1, · · · , xn ∈ K vaø n + 1 gía trò tuøy yùy0, y1, · · · , yn ∈ K, luoân toàn taïi duy nhaát moät ña thöùc P (x) baäc khoâng quùa n saocho P (xi) = yi, i = 0, 1, · · · , n.

Nhaän xeùt. Deã kieåm chöùng ña thöùc caàn tìm coù daïng

P (x) =n∑

i=0

yiPi(x), Pi(x) =∏

k �=i(x− xk)∏k �=i(xi − xk)

.

Coâng thöùc treân ñöôïc goïi laø coâng thöùc noäi suy Lagrange.

4.3 Tính haïng. Nhö laäp luaän ôû III.1.4, vieäc tính haïng cuûa heä vector vaø haïng aùnhxaï tuyeán tính coù theå ñöa veà tính haïng ma traän. Trong tính toaùn ta thöôøng duøngphöông phaùp bieán ñoåi sô caáp ñeå tính haïng. Ngoaøi ra ñeå bieát haïng ta coù tieâu chuaåndöïa vaøo ñònh thöùc sau.Cho A ∈ MatK(m,n). Moät k-minor hay töû thöùc caáp k cuûa A laø moät ñònh thöùc cuûamoät ma traän con caáp k cuûa A (taïo bôûi giao cuûa k doøng k coät). Ta coù

Meänh ñeà. rankA = caáp cao nhaát cuûa töû thöùc cuûa A khaùc khoâng, i.e.rankA = r ⇔ toàn taïi moät r-minor = 0 vaø moïi (r + 1)-minor = 0

Chöùng minh: Goïi r = rankA vaø r′ laø caáp cao nhaát cuûa töû thöùc cuûa A khaùc khoâng.Baèng caùch ñaùnh soá laïi coù theå gæa söû a1, · · · , ar laø caùc vector coät ñoäc laäp tuyeántính cuûa A. Theo Boå ñeà thay theá Ch.I.2.3, coù theå boå sung theâm n − r vectorthuoäc cô sôû chính taéc ñeå heä a1, · · · , ar, ej1 , · · · , ejn−r laø cô sôû cuûa Kn. Suy radet(a1, · · · , ar, ej1 , · · · , ejn−r) = 0, i.e. A coù moät r-minor khaùc khoâng. Do ñònhnghóa r′, r ≤ r′.Maët khaùc, theo ñònh nghóa r′, khoâng maát tính toång quaùt ta coù theå gæa thieátdet(aij)1≤i,j≤r′ = 0. Vieát caùch khaùc det(a1, · · · , ar′ , er′+1, · · · , en) = 0.Suy ra a1, · · · , ar′ ñoäc laäp tuyeán tính. Vaäy r′ ≤ r(= rankA).Suy ra r = r′. �

Heä quûa. Haïng ma traän = soá coät ñoäc laäp tuyeán tính = soá doøng ñoäc laäp tuyeán tính.

Ví duï. rank

1 2 3 4

5 6 7 86 8 10 12

= 2 vì coù töû thöùc caáp 2

∣∣∣∣∣ 1 25 6

∣∣∣∣∣ = 0 vaø moïi

76

töû thöùc caáp 3 ñeàu trieät tieâu. (thaät ra chæ caàn kieåm tra caùc töû thöùc caáp 3 laø môû roängcuûa töû thöùc treân).

4.4 Höôùng - Ñònh höôùng. Tröïc quan: treân R coù theå ñònh hai höôùng (döông neáucuøng höôùng vôùi chieàu taêng, aâm neáu ngöôïc laïi). Trong R2 coù theå ñònh hai höôùng(thuaän hay ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà). Ñònh nghóa chính xaùc cuûa höôùng nhö sau:Cho V laø khoâng gian vector n chieàu treân R. Cho (e1, · · · , en) vaø (f1, · · · , fn) laø caùccô sôû cuûa V . Khi ñoù ma traän chuyeån cô sôû P = (pij) sao cho fj =

∑i pijei.

Ta noùi (e1, · · · , en) vaø (f1, · · · , fn) cuøng höôùng neáuu detP > 0,(e1, · · · , en) vaø (f1, · · · , fn) ngöôïc höôùng neáuu detP < 0.

Nhö vaäy taäp caùc cô sôû cuûa V ñöôïc chia thaønh hai lôùp töông ñöông, moãi lôùp goàm caùccô sôû cuøng höôùng vôùi nhau. Lôùp cuøng höôùng vôùi (e1, · · · , en) kyù hieäu laø [e1, · · · , en],lôùp caùc cô sôû ngöôïc höôùng kyù hieäu laø −[e1, · · · , en].

Ví duï. Trong Rn cô sôû chính taéc xaùc ñònh höôùng chính taéc. Do ñònh thöùc cuûa côsôû chính taéc laø 1 > 0, neân côû sôû (e1, · · · , en) laø cuøng höôùng chính taéc khi vaø chæ khidet(e1, · · · , en) > 0. Theo ngoân ngöõ tröïc quan, höôùng chính taéc trong R laø höôùngdöông, höôùng chính taéc trong R2 laø höôùng ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà, coøn höôùng chínhtaéc trong R3 laø höôùng tam dieän thuaän.Vaäy trong R3, boä ba (u, v, w) laø thuaän khi chuùng cuøng höôùng vôùi höôùng chính taéc haytích hoãn hôïp (u, v, w) = det(u, v, w) > 0

Moät bieán ñoåi tuyeán tính T : V → V, goïi laø baûo toaøn höôùng neáuu detT > 0, vaøgoïi laø ñaûo höôùng neáuu detT < 0. Nhö vaäy moät toaùn töû baûo toaøn höôùng khi vaø chækhi noù bieán ñoåi moät cô sôû thaønh moät côû sôû cuøng höôùng.

4.5 Ñònh thöùc vaø ñoä daøi, dieän tích, theå tích. Trong R3, vôùi tích voâ höôùng Euclid< ·, · >, neân coù khaùi nieäm ñoä daøi, dieän tích, theå tích. Ta coù moái lieân heä vôùi ñònh thöùc:

• Ñoä daøi vector a1: ‖a1‖ =√

det < a1, a1 >

• Dieän tích hình bình haønh taïo bôûi a1, a2: dt(a1, a2) =

∣∣∣∣∣ < a1, a1 > < a1, a2 >< a2, a1 > < a2, a2 >

∣∣∣∣∣12

• Theå tích khoái bình haønh taïo bôûi a1, a2, a3:

tt(a1, a2, a3) = | det(a1, a2, a3)| =∣∣∣∣∣∣∣< a1, a1 > < a1, a2 > < a1, a3 >< a2, a1 > < a2, a2 > < a2, a3 >< a3, a1 > < a3, a2 > < a3, a3 >

∣∣∣∣∣∣∣12

Chöùng minh: Ta coù

dt(a1, a2)2 = ‖a1‖2‖a2‖2 sin2(a1, a2) = ‖a1‖2‖a2‖2(1− cos2(a1, a2)

= < a1, a1 >< a2, a2 >

(1− < a1, a2 >

< a1, a1 >< a2, a2 >

)= < a1, a1 >< a2, a2 > − < a1, a2 >< a2, a1 >

=

∣∣∣∣∣ < a1, a1 > < a1, a2 >< a2, a1 > < a2, a2 >

∣∣∣∣∣


Ñeå chöùng minh coâng thöùc theå tích, ñeå yù laø < ai, aj >= taiaj , neân neáu ma traänA = (a1 a2 a3), thì

tAA =

< a1, a1 > < a1, a2 > < a1, a3 >< a2, a1 > < a2, a2 > < a2, a3 >< a3, a1 > < a3, a2 > < a3, a3 >

Vaäy det tAA = dettAdetA = (detA)2 = det(a1, a2, a3)2 = tt(a1, a2, a3)2. �

Toång quaùt, trong Rn coù trang bò tích voâ höôùng Euclid2 < ·, · >. Theå tích k chieàu

cuûa hình bình haønh taïo bôûi a1, · · · , ak ∈ Rn, ñöôïc ñònh nghóa qui naïp theo k:

V1(a1) = ‖a1‖, Vk(a1, · · · , ak) = Vk−1(a1, · · · , ak−1)‖a⊥k ‖

trong ñoù ak = a′k +a⊥k laø phaân tích: ak⊥ ⊥ L(a1, · · · , ak−1) vaø a′k laø hình chieáu vuoâng

goùc cuûa ak leân L(a1, · · · , ak−1).Theå tích coù quan heä vôùi ma traän Gramm ñöôïc ñònh nghóa:

G(a1, · · · , ak) =

< a1, a1 > < a1, a2 > · · · < a1, ak >< a2, a1 > < a2, a2 > · · · < a2, ak >

......

...< ak, a1 > < ak, a2 > · · · < ak, ak >

Nhaän xeùt. Goïi A = (a1 · · · ak). Theo pheùp nhaân ma traän tAA = G(a1, · · · , ak).Ta coù moái quan heä giöõa theå tích vaø ñònh thöùc ma traän Gramm:

V (a1, · · · , ak) =√

detG(a1, · · · , ak) =√

det tAA

Ñaëc bieät khi k = n, ta coùV (a1, · · · , an) = | detA|

Chöùng minh: Tröôøng hôïp toång quaùt chöùng minh gioángï nhö tröôøng hôïp k = 2 sau ñaây.Ta coù a′2 = αa1, < a2

⊥, a1 >= 0. Suy ra∣∣∣∣∣ < a1, a1 > < a1, a2 >< a2, a1 > < a2, a2 >

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ < a1, a1 > < a1, a′2 > + < a1, a2

⊥ >< a2, a1 > < a1, a

′2 > + < a2, a2

⊥ >

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ < a1, a1 > α < a1, a2′ >

< a2, a1 > α < a2, a2′ >

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣ < a1, a1 > 0< a2, a1 > ‖a2

⊥‖2∣∣∣∣∣

= ‖a1‖2‖a2⊥‖2

Töø ñoù suy ra coâng thöùc treân �

Nhaän xeùt. detG(a1, · · · , ak) ≥ 0, vaø = 0 khi vaø chæ khi a1, · · · , ak phuï thuoäc tuyeántính.

2Xem chöông khoâng gian vector Euclid

78

Ví duï. Trong R3 ñeå tính dieän tích hình bình haønh taïo bôûi a1 = (3, 1, 0), a2 = (1, 3, 2),ta laäp ma traän coät toïa ñoä

A =

3 1

1 30 2

Ta coù tAA =

(3 1 01 3 2

) 3 11 30 2

=

(10 66 14

)

Vaäy dt(a1, a2) =√

det tAA =√

140− 60 = 2√

26.Moät caùch khaùc ñeå tính laø dt(a1, a2) = ‖a1 × a2‖.

Cho T : Rn → Rn, laø aùnh xaï sinh bôûi ma traän A ∈MatR(n), T (x) = Ax.Goïi P laø hình bình haønh taïo bôûi b1, · · · , bn ∈ Rn. Khi ñoù theå tích cuûa P laø

V (P ) = | det(b1, · · · , bn)| = detB, vôùi B = (b1 · · · bn)

AÛnh cuûa P qua T laø hình bình haønh T (P ) taïo bôûi T (b1) = Ab1, · · · , T (bn) = Abn.Theo pheùp nhaân ma traän AB = (Ab1 · · ·Abn). Vaäy theå tích cuûa T (P ) laø

V (T (P )) = | det(Ab1, · · · , Abn)| = | det(AB)| = | detA|| detB| = | detA|V (P )

Nhö vaäy, | detA| xem nhö laø yeáu toá co daõn theå tích cuûa hình khi qua aùnh xaï T .

Ví duï. Cho T : R3 → R3, T (x1, x2, x3) = (x1 + x3, 2x2, 2x1 + 5x3). Theå tíchhình bình haønh aûnh cuûa hình hoäp taïo bôûi ce1, ce2, ce3 (c > 0) laø caùc vector song songvôùi cô sôû chính taéc ñöôïc tính nhö sau:

Ma traän bieåu dieãn T trong cô sôû chính taéc: A =

1 0 1

0 2 02 0 5

. | detA| = 6.

Vaäy theå tích hình ñoù laø V = | detA|c3 = 6c3.

Toång quaùt hôn, cho T : Rk → Rn, laø aùnh xaï sinh bôûi A ∈ MatR(n, k), T (x) = Ax,vôùi k ≤ n. Khi ñoù, coù theå chöùng minh theå tích k chieàu cuûa hình bình haønh P ⊂ Rk,vaø cuûa hình bình haønh aûnh T (P ) ⊂ Rn coù quan heä:

Vk(P ) =√

det tAA Vk(P )

4.6 Wronskian. Moät öùng duïng khaùc cuûa ñònh thöùc laø khaùi nieäm Wronskian cuûa moätheä haøm.Cho f0, f1, · · · , fn laø caùc haøm soá xaùc ñònh treân [a, b]. Heä haøm phuï thuoäc tuyeán tínhkhi vaø chæ khi toàn taïi a0, · · · , an ∈ R khoâng ñoàng thôøi trieät tieâu sao cho a0f0(x) +a1f1(x) + · · ·+ anfn(x) = 0, vôùi moïi x ∈ [a, b].Neáu caùc haøm trong heä khaû vi ñeán caáp ñuû lôùn, thì ñaúng thöùc treân töông ñöông

a0f0(x) + a1f1(x) + · · · + anfn(x) = 0a0f

′0(x) + a1f

′1(x) + · · · + anf

′n(x) = 0

......

......

a0f(n)0 (x) + a1f

(n)1 (x) + · · · + anf

(n)n (x) = 0

∀x ∈ [a, b].


Töø ñoù ñònh nghóa Wronskian cuûa heä haøm laø ma traän

W (f0, · · · , fn)(x) =

f0(x) f1(x) · · · fn(x)f ′0(x) f ′1(x) · · · f ′n(x)

......

...f

(n)0 (x) f

(n)1 (x) · · · f

(n)n (x)

Vaäy neáu toàn taïi x0 ∈ [a, b], sao cho detW (f0, · · · , fn)(x0) = 0, thì heä haøm laø ñoäc laäptuyeán tính.Chaúng haïn, heä haøm {x, sinx, cosx} coù Wronskian khaùc khoâng, neân ñoäc laäp tuyeántính.Heä haøm {sin2 x, | sinx| sinx, sinx} vôùi x ∈ [−1, 1], tuy coù wronskian baèng khoâng,nhöng cuõng ñoäc laäp tuyeán tính. (Coù maâu thuaãn gì khoâng? Taïi sao?)

Baøi taäp

0. Soá phöùc - Ña thöùc.

1. Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc soá phöùc sau:

1− i1 + i

,(1 + 2i)3 − (1− i)3(3 + 2i)3 − (2 + i)3

, (1+i√

3)5 , (−12±i√

32

)24 , (1+i)n+(1−i)n ,

√3 + i

√3

2. Tìm modul vaø argumrnent caùc soá phöùc:

−1 + i, −1− i√3,

(1 + i

√3

1− i

)20

, (1 + cosϕ+ i sinϕ)n

3. Tìm moïi nghieäm trong C cuûa caùc phöông trình sau:

z3 + 1 = 0, z5 − 1 = 0, z6 + 27 = 0, z8 =1 + i√3− i

4. Bieåu dieãn cos 5x, cos 8x, sin 6x, sin 9x qua cosx, sinx.

5. Bieåu dieãn sin3 x, sin4 x, cos5 x, cos6 x qua cos kx, sin kx (k ∈ N).

6. Cho ω laø moät caên baäc n cuûa ñôn vò (n ∈ N). Tính 1 + ω + · · ·+ ωn−1.

7. Goïi ω0, · · · , ωn−1 laø caùc caên baäc n cuûa ñôn vò.

Tính S = ωp0 + ωp

1 + · · ·+ ωpn−1 ,

vôùi a) p laø boäi cuûa n. b) p khoâng laø boäi cuûa n.

8. Tìm thöông vaø phaàn dö cuûa pheùp chia

2X4 − 3X3 + 4X2 − 5X + 6 cho X2 − 3X + 1

X4 − 2X3 + 4X2 − 6X + 8 cho X − 1

9. Tìm öôùc chung lôùn nhaát cuûa caùc ña thöùc:a) P = X6 − 7X4 + 8X3 − 7X + 7 vaø Q = 3X5 − 7X3 + 3X2 − 7b) P = X5 +X4 −X3 − 3X2 − 3X − 1 vaø Q = X4 − 2X3 −X2 − 2X − 1

10. Vôùi caùc ña thöùc P,Q ôû baøi taäp treân, tìm caùc ña thöùc U, V sao cho:

UP + V Q = GCD(P,Q).

11. Chöùng minh toång S vaø tích P cuûa caùc nghieäm ña thöùc a0zn +a1z

n−1 + · · ·+an = 0 laø

S = −a1

a0vaø P = (−1)nan

a0.

Suy ra

cos2πn

+ cos4πn

+ · · ·+ cos2(n− 1)π

n= −1

sin2πn

+ sin4πn

+ · · ·+ sin2(n− 1)π

n= 0

82

12. Chöùng minh neáu x1, x2 laø nghieäm cuûa phöông trình ax2 + bx+ c = 0, thì

a2(x1 − x2)2 = b2 − 4ac

13. Chöùng minh neáu x1, x2, x3 laø nghieäm cuûa phöông trình x3 + px+ q = 0, thì

(x1 − x2)2(x1 − x3)2(x2 − x3)2 = −4p3 − 27q2

14. Giaûi caùc phöông trình baäc 3 sau treân C:a) x3 − 6x+ 9 = 0 b) x3 + 45x− 98 = 0c) x3 + 9x2 + 18x+ 28 = 0 d) x3 + 6x2 + 30x+ 25 = 0

15. Giaûi caùc phöông trình baäc 4 sau treân C:a) x4 − 2x3 + 2x2 + 4x− 8 = 0 b) x4 − x3 − x2 + 2x− 2 = 0

16. Tìm nghieäm höõu tæ caùc ña thöùc:X3−6X2+15X−14, X5−2X4−4X3+4X2−5X+6, 10X4−13x3+15X2−18X−24

17. Phaân tích thaønh thöøa soá baäc 1 hay baäc 2 treân C roài treân R caùc ña thöùc:X4 + 1, X4 − 1, X5 + 1, X5 − 1, Xn + 1, Xn − 1

18. Cho phaân thöùc f(X) =P (X)Q(X)

. Giaû söû a laø nghieäm ñôn cuûa Q(X). Chöùng minh neáu

A

X − a laø phaân thöùc trong phaân tích f(X) thaønh caùc phaân thöùc ñôn giaûn, thì A =P (a)Q′(a)

19. Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn (treân C, roài treân R) caùc phaân thöùc sau:

X2 + 1X(X2 − 1)

,2

(X − 1)(X − 2)(X − 3),X5 −X3 −X2

X2 − 1,

4X3

(X2 + 1)2,

X6 −X2 + 1(X − 1)3

,3X2 + 3XX3 − 3X − 2

,X5

(X4 − 1)2

I. Khoâng gian vector hình hoïc.

Caùc baøi taäp phaàn naøy ñöôïc xeùt trong khoâng gian R3 vôùi cô sôû Descartes chính taéc.

1. Laäp phöông trình maët phaúng:a) Qua M0(3,−1, 4) vaø coù caùc vector chæ phöông

→u= (1, 3,−1),

→v= (−1, 2, 2).

b) Qua A(4,−1, 3), B(3, 2, 1), C(−1, 3, 2).c) Qua A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c).

2. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng qua M0(2,−1, 3) vaø coù vector chæ phöông→v= (1, 3,−2).

3. Tìm moät ñieåm M0 vaø moät vector chæ phöông→v cuûa ñöôøng thaúng

D :

{2x− y + 3z − 1 = 0x+ y − 4z − 6 = 0

Baøi taäp 83

4. Ñònh ñieàu kieän cho a, b ∈ R ñeå hai ñöôøng thaúng sau song song

D :

{x = 2z + 1y = az − 2

vaø D′ :

{x = bz − 3y = 4z + 1

5. Ñònh ñieàu kieän cho a ∈ R ñeå ñöôøng thaúng vaø maët phaúng sau song song

D :

{x = 2z − 3y = az + 1

vaø P : x+ 2y − 4z + 5 = 0

6. Ñònh ñieàu kieän cho a ∈ R ñeå hai ñöôøng thaúng sau ñoàng phaúng

D :

{x = az − 1y = 2z + 3

vaø D′ :

{x = bz − 2y = 3z − 1

7. Xaùc ñònh giao cuûa 3 maët phaúng:

P1 : x− 2y + z + 3 = 0, P2 : 2x+ y − z − 2 = 0, P3 : 4x− 3y + z + 4 = 0.

8. Cho caùc maët phaúng

P qua A(1,−1, 0) coù vector chæ phöông→u= (2, 1,−1) vaø

→v= (1, 4, 1)

P ′ qua A′(1, 2, 1) coù vector chæ phöông→u′= (0, 2,−1) vaø

→v′= (1,−1, 3)

Chöùng minh P, P ′ caét nhau theo moät ñöôøng thaúng D. Xaùc ñònh moät ñieåm vaø moätvector chæ phöông cuûa D.

9. Cho D :

{x = z − 1y = 2z + 1

vaø D′ :

{y = 3xz = 1

.

Chöùng minh toàn taïi duy nhaát caëp maët phaúng (P, P ′) sao cho D ⊂ P,D′ ⊂ P ′, P ‖ P ′.Laäp phöông trình caëp maët phaúng ñoù.

10. Cho D :

{y = x+ 2z = x

vaø D′ :

{y = 2x+ 1z = 2x− 1

.

Tìm taát caû caùc ñöôøng thaúng ∆ song song vôùi xOy vaø caét D,D′, Oz.

11. Xaùc ñònh moïi ñöôøng thaúng caét caùc ñöôøng thaúng

D1 :

{z = −1y = 2x+ 1

D2 :

{z = 0y = −x+ 3

D3 :

{z = 2y = x+ 2

,

vaø song song vôùi maët phaúng P : x+ y − z + 2 = 0.

12. Tìm ñieàu kieän ñaïi soá töông ñöông ñieàu kieän hình hoïc:a) Caùc ñieåm trong maët phaúng: Mi(xi, yi), i = 1, 2, 3, cuøng naèm treân moät ñöôøng thaúng.b) Caùc ñöôøng thaúng trong maët phaúng: Aix+Biy + Ci = 0, i = 1, 2, 3 , ñoàng qui.c) Caùc ñöôøng thaúng trong maët phaúng: Aix + Biy + Ci = 0, i = 1, 2, 3 , taïo neân moättam giaùc.d) Caùc ñieåm trong khoâng gian: Mi(xi, yi, zi), i = 1, 2, 3, cuøng naèm treân moät maët phaúng.e) Caùc maët phaúng trong khoâng gian: Aix+Biy+Ciz +Di = 0, i = 1, 2, 3 , ñoàng qui.

13. Tìm khoûang caùch töø A ñeán maët phaúng P :a) A(3,−1, 2) P : 2x+ 6y − z = 7.b) A(3,−1, 2) P qua (−2, 1, 0) vaø chæ phöông bôûi

→u= (1,−6, 2),

→v= (3,−1, 1).

84

14. Tính caùc goùc:a) Cuûa caùc maët phaúng P : x+ y + z = 3, P ′ : 2x+ y − z = 4.

b) Cuûa caùc ñöôøng thaúng D :

{x− 2y + z = 42x+ y − z = 0

D′ :

{x+ y + z = 02x+ 3y − z = 0

.

c) Cuûa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng D :

{x+ 2y + z = 02x− y + zy = 1

P : x+ 2z = 3.

15. Laäp phöông trình maët phaân giaùc cuûa:

P : 7x− 4y + 4z − 8 = 0, P ′ : 4x+ 8y + z − 11 = 0.

16. Tính khoûang caùch töø A(4,−3, 2) ñeán ñöôøng thaúng D qua (1, 0,−1) vaø coù vector chæ

phöông→v= (2,−1, 3)

17. Tính khoûang caùch giöõa hai ñöôøng thaúng

D qua A(1, 2,−1) vaø coù vector chæ phöông→u= (2,−1, 3)

D′ qua A′(−1, 0, 3) vaø coù vector chæ phöông→v= (1,−1,−1).

18. Laäp phöông trình ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa caùc ñöôøng thaúng

D qua A(2, 3,−1) vaø coù vector chæ phöông→u= (−1, 6, 2)

D′ qua A′(1, 1,−2) vaø coù vector chæ phöông→v= (2, 1,−4)

19. Cho a,m ∈ R+, D1 :

{y = mxz = a

vaø D2 :

{y = −mxz = −a .

Xaùc ñònh caùc ñöôøng thaúng caét D1, D2 döôùi cuøng moät goùc.

II. Ma traän - Heä phöông trình tuyeán tính.1

1. Cho caùc ma traän

A =

(2 31 4

)B =

(1 21 4

)u =

(13

)v =

(2 4

)

C =

2 14 08 −13 2

D =

2 1 3 62 0 0 41 −1 1 −11 5 1 2

Tính 2A− 3B, AB, CD, DC, uv, vu, Bu, CB, (AB)u, A(Bu), t(A+B), tCD.

2. Trong MatK(2), tìm ví duï:a) A �= O : A2 = O. b) A �= I2 : A2 = I2. c) B �= C : AB = AC.

3. Caùc meänh ñeà sau ñuùng hay sai?a) Cho A,B laø caùc ma traän vuoâng cuøng caáp. Khi ñoù (A+B)(A−B) = A2 −B2.b) Cho A laø m× n ma traän. Neáu Ax = 0, vôùi moïi ma traän coät x, thì A = O.c) Cho A,B laø caùc m× n ma traän. Neáu Ax = Bx, vôùi moïi ma traän coät x, thì A = B.

1Moät soá baøi taäp veà heä phöông trình coù söû duïng kieán thöùc cuûa chöông Ñònh thöùc.

Baøi taäp 85

4. Cho A,B laø caùc ma traän vuoâng cuøng caáp. Chöùng minh meänh ñeà sau laø sai:

(A �= O va A2 = AB) =⇒ A = B

Tìm choã sai trong laäp luaän sau ñaây nhaèm “chöùng minh” meänh ñeà treân:“A2 = AB ⇒ A2 −AB = O ⇒ A(A−B) = O .

Do A �= O ⇒ A−B = O ⇒ A = B. ”

5. Cho A =

(0 1−1 0

)vaø B =

(0 1−1 −1

).

Chöùng minh A4 = I,B3 = I, nhöng (AB)12 �= I. Giaûi thích taïi sao.

6. Trong MatK(n) tìm caùc ma traän A sao cho AB = BA vôùi moïi ma traän B.

7. Chöùng minh raèng A2 + I �= O, neáu A laø n× n ma traän thöïc vaø n laø soá leû.

8. Cho A,B laø caùc ma traän vuoâng cuøng caáp. Chöùng minha) Neáu B coù moät coät baèng 0, thì AB cuõng vaäy.b) Neáu B coù hai coät baèng nhau, thì AB cuõng vaäy.

9. Chöùng minh tích caùc ma traän tam giaùc treân laø ma traän tam giaùc treân.

10. Tính An neáu A =(λ1 00 λ2

),

(cos θ − sin θsin θ cos θ

),

(λ 10 λ

),

(1 11 1

)

11. Cho A(θ) =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

). Chöùng minh A(θ + ϕ) = A(θ)A(ϕ). Suy ra

A(θ)−1.

12. Tìm ví duï: A,B laø caùc ma traän cuøng caáp, khaû nghòch, nhöng A+B khoâng khaû nghòch.

13. Moät ma traän sô caáp laø ma traän laäp töø ma traän ñôn vò baèng caùch bieán ñoåi sô caáp treândoøng hay coät. Tìm ma traän ngöôïc cuûa caùc ma traän sô caáp.

14. Cho P,Q,R laø caùc ma traän khaû nghòch, cuøng caáp. Gæa söû PQR = I. Haõy bieåu dieãnQ−1 qua P,R.

15. Gæa söû A laø ma traän khaû nghòch. Goïi B ma traän laäp töø A baèng caùch chuyeån vò doøng(coät) i vaø j. Haõy tìm moái quan heä giöõa B−1 vaø A−1.

16. Cho A laø ma traän vuoâng. Gæa söû toàn taïi soá nguyeân dông k sao cho Ak = O. Chöùngminh (I −A)−1 = I +A+ · · ·+Ak−1.

17. Cho A =

0 1 1

1 0 11 1 0

. Chöùng minh: A2 = A+ I. Suy ra A−1.

86

18. Cho ma traän vuoâng caáp 2 A =

(a bc d

).

a) Chöùng minh: A2 − (a+ d)A+ (ad− bc)I = O.b) Suy ra neáu ad− bc �= 0, thì A coù ma traän ngöôïc. Tính A−1.

19. Tìm moïi ma traän A, vuoâng caáp 2, thoûa A2 = I.

20. Cho caùc ma traän

A =

(1 bc d

), I =

(1 00 1

).

Chöùng minh neáu d− bc �= 0, thì coù theå duøng bieán ñoåi sô caáp treân doøng ñeå ñöa A veà I.

21. Duøng bieán ñoåi sô caáp ñöa caùc ma traän sau veà ma traän ñôn vò

A =

(1 22 3

)B =

(1 23 4

)C =

(1 43 7

)

Xaùc ñònh caùc bieán ñoåi sô caáp A→ B,B → C,A→ C.

22. Moät ma traän A goïi laø coù haïng r, kyù hieäu r = rankA neáu coù theå duøng bieán ñoåi sôcaáp ña A veà daïng baäc thang vôùi r haøng khaùc khoâng. Tính haïng caùc ma traän sau baèngcaùch ñöa veà daïng baäc thang

−1 1 1

1 −1 11 1 −1

,

0 2 −4 1 11 −1 2 3 −12 0 −2 0 10 3 5 −2 0

,

1 −2 3 −1 5−1 2 −3 2 −1

0 0 1 −1 1

,

1 λ −1 2

2 −1 λ 51 10 −6 1

,

n+ 1 n+ 2 · · · 2n− 1 2n2n+ 1 2n+ 2 · · · 3n− 1 3n

......

......

mn+ 1 mn+ 2 · · · (m+ 1)n− 1 (m+ 1)n

23. Cho heä phöông trình {a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2

Chöùng minh neáu a11a22 − a12a21 �= 0, thì heä treân töông ñöông vôùi heä coù daïng{c11x1 + c12x2 = d1

c22x2 = d2,

trong ñoù c11 �= 0, c22 �= 0.

24. Duøng phöông phaùp khöû Gauss giaûi caùc phöông trình sau:

Baøi taäp 87

a)

−x1 +x2 +x3 = 8x1 −x2 +x3 = 4x1 +x2 −x3 = 0

b)

x1 +2x2 +x3 −x4 = 43x2 −x3 +x4 = 3

3x1 −x2 +2x4 = 7

c)

x1 −x2 +x3 −x4 +5x5 = 10−x1 +2x2 −3x3 +2x4 −x5 = −1

x3 −x4 +x5 = 2

25. Cho

A =

(1 −1 32 −1 4

)C =

(1 23 1

)

Baèng caùc giaûi ñoàng thôøi caùc heä phöông trình, tìm ma traän X sao cho AX = C.

26. Tìm moïi gía trò a ∈ R ñeå caùc heä sau voâ nghieäm:

a)

{x1 + x2 = 5

2x1 + ax2 = 4, b)

{x1 + ax2 = 2ax1 + 2ax2 = 4

27. Chöùng minh moïi heä phöông trình tuyeán tính m phöông trình n aån ñeàu coù theå bieåudieãn döôùi daïng ma traän: Ax = b,trong ñoù A laø m× n ma traän, x laø coät caùc bieán coøn b laø vector coät.Suy ra:Heä phöông trình töông thích khi vaø chæ khi haïng A baèng haïng ma traän môû roäng (A b).Khi ñoù khoâng gian nghieäm phuï thuoäc s = n− rank(A) tham soá.

28. Xeùt moïi khaû naêng cho taäp nghieäm heä phöông trình tuyeán tính, i.e. heä voâ nghieäm, duynhaát nghieäm hay voâ soá nghieäm (vôùi soá baäc töï do bao nhieâu?):a) Heä 3 phöông trình 4 aån. b) Heä 4 phöông trình 5 aån. c) Heä 3 phöông trình 3 aån.d) Caùc heä côõ nhö caùc baøi treân theâm ñieàu kieän thuaàn nhaát.

29. Giaûi caùc phöông trình sau baèng phöông phaùp Cramer:

a)

2x1 + 3x2 − 5x3 = 73x1 + x2 + 3x3 = 3x1 − 2x2 + x3 = 0

b)

x1 + x2 + x3 = 1ax1 + bx2 + cx3 = da2x1 + b2x2 + c2x3 = d2

c)

ax1 + bx2 + cx3 = da2x1 + b2x2 + c2x3 = d2

a3x1 + b3x2 + c3x3 = d3

88

30. Giaûi vaø bieän luaän caùc phông trình sau (m laø tham soá):

a)

mx1 + x2 + x3 = 1x1 + mx2 + x3 = mx1 + x2 + mx3 = m2

b)

x1 + x2 + (1−m)x3 = m+ 2(m+ 1)x1 − x2 + x3 = 0

2x1 − mx2 + 3x3 = m+ 2

c)

x1 − mx2 + m2x3 = mmx1 − m2x2 + mx3 = 1mx1 + x2 − m3x3 = 1

31. Cho x0, x1, · · · , xn laø caùc soá khaùc nhau, y0, y1, · · · , yn laø caùc gía trò cho tröùôc. Chöùngminh toàn taïi duy nhaát moät ña thöùc P baäc ≤ n sao cho P (xi) = yi, i = 0, 1, · · · , n.Tìm ña thöùc baäc 3: P (−1) = 0, P (1) = 4, P (2) = 3, P (3) = 16.

32. Vôùi caùc ñieàu kieän ñaõ cho, xaùc ñònh caùc haèng soá cuûa caùc haøm saua) f(x) = c1e

2x + c2e3x, f(0) = 3, f ′(0) = 7.

b) f(x) = c1e−x + c2e

x + c3e2x, f(0) = 8, f ′(0) = 3, f ′′(0) = 11.

33. Xaùc ñònh ña thöùc p(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, thoûaa) p(0) = 2, p′(0) = 3, p(1) = 8, p′(1) = 10.b) p(1) = 3, p′(1) = 4, p(2) = 15, p′(2) = 22.

34. Cho A laø 2 × 2 ma traän. Tìm ma traän ngöôïc cuûa A baèng caùch giaûi heä phöông trìnhAX = I2, vôùi X laø 2× 2 ma traän. Vôùi A =(

2 15 3

) (2 14 1

) (a bc d

)

35. Duøng phöông phaùp giaûi heä phöông trình tìm ma traän ngöôïc cuûa caùc ma traän sau

1 1 −2

1 −2 1−2 1 1

3 4 1

1 1 02 −6 1

1 1 −1 1−1 1 1 −1

1 −1 1 1−1 1 −1 1

36. Xaùc ñònh x ñeå ma traän sau khaû nghòch. Tìm ma traän ngöôïc.

A(x) =

1 0 0 00 x x 10 1 x x0 x 1 x

Baøi taäp 89

III. Khoâng gian vector.

1. Chöùng minh taäp caùc haøm soá xaùc ñònh treân R vôùi pheùp coäng vaø nhaân thoâng thöôøng laøkhoâng gian vector treân R.Caùc taäp con naøo sau ñaây laø khoâng gian vector con:a) caùc haøm lieân tuïc.b) caùc haøm khoâng aâm.c) caùc haøm haèng.d) caùc haøm khaû vi.e) caùc haøm khaû tích treân [a, b].f) caùc haøm coù theå bieåu dieãn döôùi daïng chuoãi luõy thöøa taïi 0 coù baùn kính hoäi tuï döông.g) caùc haøm bò chaën.

2. Trong khoâng gian C2[a, b] caùc haøm khaû vi lieân tuïc ñeán caáp 2 treân [a, b], taäp naøo trongcaùc taäp sau laø khoâng gian con:a) {f ∈ C2[a, b] : f ′′(x) + f(x) = 0, x ∈ [a, b] }.b) {f ∈ C2[a, b] : f ′′(x) + f(x) = x, x ∈ [a, b] }.

3. Trong khoâng gian MatK(m,n), caùc taäp sau taäp naøo laø khoâng gian con:a) {A = (aij) ∈MatK(m,n) : a11 = 0}.b) {A = (aij) ∈MatK(m,n) : moi aij ∈ Z}.

4. Cho S laø taäp caùc daõy soá thöïc S = {u = (un)n∈N : un ∈ R}. Treân S xaùc ñònh caùcpheùp toaùn

(un) + (vn) = (un + vn) α(un) = (αun), α ∈ R.

Kieåm chöùng S laø khoâng gian vector treân R. Caùc taäp con naøo sau ñaây laø khoâng gianvector con:a) caùc daõy soá hoäi tuï.b) caùc daõy soá bò chaën.

5. Trong khoâng gian Kn, caùc taäp naøo laø khoâng gian con:a) {(x1, · · · , xn) ∈ Kn : x1 + · · ·+ xn = 0}.b) {(x1, · · · , xn) ∈ Kn : x1 + · · ·+ xn = 1}.c) {(x1, · · · , xn) ∈ Kn : x1x2 · · ·xn = 0}.

6. Trong khoâng gian Rn[X] caùc ña thöùc baäc ≤ n, caùc taäp naøo laø khoâng gian con:a) {p(X) ∈ Rn[X] : p(0) = 0}.b) {p(X) ∈ Rn[X] : baäc cuûa p(X) = k}.

7. Trong R3 cho: a = (1, 1, 0), b = (0, 1, 1), x = (2, 6, 4). x coù laø toå hôïp tuyeán tính cuûaa, b ?

8. Trong R4 cho: x = (1, 2, α, 1), y = (α, 1, 2, 3), z = (0, 1, β, 0). Xaùc ñònh caùc soá α, βsao cho x, y, z phuï thuoäc tuyeán tính. Tìm bieåu thöùc lieân heä giöõa x, y, z.

9. Gæa söû e1, e2, e3 laø caùc vector ñoäc laäp tuyeán tính. Xeùt tính ñoäc laäp tuyeán tính cuûacaùc heä vector sau:a) e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3.b) e1 + e2, e2 + e3, e3 + e1.c) e1 + e2, e1 + e3, e3.

90

10. Trong khoâng gian R2[X], cho p = 2X2+X+1, q = X2+3X+1, r = −2X2+X+m.Xaùc ñònh m ∈ R ñeå p, q, r ñoäc laäp tuyeán tính.

11. Chöùng minh neáu L(x, y) = L(x, z), thì caùc vector x, y, z phuï thuoäc tuyeán tính. Ñieàungöôïc laïi ñuùng hay sai ?

12. Trong khoâng gian caùc haøm R→ R, ñaët ϕk(x) = cos kx, ψk(x) = cosk x.Chöùng minh L(ϕ0, ϕ1, ϕ2) = L(ψ0, ψ1, ψ2).

13. Trong khoâng gian C[a, b] caùc haøm lieân tuïc treân ñoaïn [a, b], chöùng minh caùc heä haømsau ñoäc laäp tuyeán tínha) ex, e2x, e3x.b) sinx, cosx, ex.

14. Chöùng minh caùc vector (a, b), (c, d) ∈ R2 taïo thaønh cô sôû khi vaø chæ khi ad− bc �= 0.

15. Chöùng minh (e1, e2, e3) laø moät cô sôû cuûa R3, tìm toïa ñoä vector x ñoái vôùi cô sôû naøy.a) e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), x = (1, 2, 3).b) e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 1, 2), e3 = (1, 2, 3), x = (6, 9, 14).

16. Töông töï baøi treân cho R4:e1 = (1, 2,−1,−2), e2 = (2, 3, 0,−1), e3 = (1, 2, 1, 4), e4 = (1, 3,−1, 0),x = (7, 14,−1, 2).

17. Trong K4, cho e1 = (1, 0, 2, 1), e2 = (1, 2, 1, 0), e3 = (3, 2, 5, 2), e4 = (6, 6, 9, 2).a) Tính haïng caùc heä vector: {e1, e2}, {e1, e2, e3}, {e2, e3, e4}.b) Tìm cô sôû vaø soá chieàu cuûa khoâng gian vector con: L(e1, e2), L(e1, e2, e3).

18. Chöùng minh MatK(m,n) laø moät khoâng gian vector mn chieàu treân K. Tìm moät cô sôû.

19. Cho A ∈MatK(n).a) Chöùng minh toàn taïi ña thöùc P (X) = a0 + a1X + · · ·+ akX

k ∈ K[X], baäc k ≤ n2,sao cho P (A) = 0.b) Suy ra neáu a0 �= 0, thì A coù ma traän ngöôïc cho bôûi coâng thöùc

A−1 = − 1a0

(a1I + a2A+ · · ·+ akAk−1).

20. Trong khoâng gian R3[X]. Caùc taäp sau taäp naøo laø cô sôû:{1, X,X2, X3}, {X + 4, X2 − 1, X3 −X}, {1, X + 1, X2 + 1, X3 + 1}.Khi taäp ñoù laø cô sôû, xaùc ñònh toïa ñoä cuûa p(X) = 1 +X +X2 trong cô sôû ñoù.

21. Goïi Rn[X] laø khoâng gian vector caùc ña thöùc moät bieán X , heä soá thöïc, baäc ≤ n.a) Xaùc ñònh soá chieàu cuûa Rn[X].b) Cho P (X) ∈ Rn[X] coù baäc ñuùng baèng n. Goïi P (k)(X) laø ñaïo haøm caáp k cuûaP (X). Chöùng minh B = {P (x), P (1)(X), · · · , P (n)(X)} laø moät cô sôû cuûa Rn[X].c) Ñaët Q(X) = P (X + h), vôùi h ∈ R. Tìm toïa ñoä cuûa Q(X) trong cô sôû B.

22. Caùc phaùt bieåu sau ñuùng hay sai:a) Neáu W laø khoâng gian vector con vaø x+ y ∈W , thì x ∈W vaø y ∈W .

Baøi taäp 91

b) Neáu S = {e1, · · · , em} ⊂ Kn vaø m ≤ n, thì S laø heä ñoäc laäp tuyeán tính.c) Neáu S = {e1, · · · , em} ⊂ Kn vaø m > n, thì S laø heä phuï thuoäc tuyeán tính.d) Neáu S = {e1, · · · , em} ⊂ Kn vaø m < n, thì S khoâng theå sinh ra Kn.e) Neáu S1, S2 laø caùc heä ñoäc laäp tuyeán tính, thì S1 ∪ S2 laø heä ñoäc laäp tuyeán tính.f) Neáu B1 vaø B2 laø caùc cô sôû cuûa caùc khoâng gian con W1,W2 töông öùng, thì B1 ∩ B2

laø cô sôû cuûa khoâng gian W1 ∩W2.

IV. AÙnh xaï tuyeán tính.

1. Caùc aùnh xaï sau aùnh xaï naøo laø tuyeán tính:a) f : Rn −→ Rn, f(x) = x+ a (pheùp tònh tieán theo vector a ∈ Rn).b) f : Rn −→ Rn, f(x) = −x (pheùp ñoái xöùng qua taâm).c) f : R2 −→ R2, f(x1, x2) = (x2, x1) (pheùp ñoái xöùng qua phaân giaùc thöù I).d) f : Rn −→ Rn, f(x) = kx (k > 0) (pheùp vò töï tæ soá k).e) f : R2 −→ R2, f(x, y) = (x cosϕ− y sinϕ, x sinϕ+ y cosϕ) (pheùp quay goùc ϕ).f) f, g, h : R2 −→ R, f(x, y) = xy, g(x, y) = sinx, h(x, y) = ex ln(1 + |y|).

2. Bieåu dieãn caùc aùnh xaï tuyeán tính ôû baøi treân döôùi daïng nhaân ma traän.

3. Chöùng minh f : Kn −→ Km laø aùnh xaï tuyeán tính khi vaø chæ khi f(x) = AX , trongñoù A ∈MatK(m,n) coøn X laø toïa ñoä vector x vieát döôùi daïng coät.

4. Pheùp ñaïo haøm, pheùp tích phaân laø caùc aùnh xaï tuyeán tính treân caùc khoâng gian naøo? Neâuvaøi ví duï.

5. Cho a1, · · · , an ∈ C[a, b]. Chöùng minh toaùn töû vi phaân sau laø tuyeán tính

L : Cn[a, b]→ C[a, b], L(f) = a0f + a1f′ + · · ·+ anf

(n).

6. Trong khoâng gian C[0, 1], cho V = L(ex, e2x, e3x), vaø D : V → V xaùc ñònh bôûiD(f) = f ′. Chöùng minh D laø khaû nghòch. Tính D−1(ex), D−1(e2x), D−1(e3x).

7. Moät aùnh xaï tuyeán tính ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi caùc gía trò treân cô sôû. Cuï theå:a) Cho f : R3 → R laø aùnh xaï tuyeán tính: f(1, 0, 1) = 1, f(0, 1,−2) = −1, f(−1,−1, 0) =3. Tính f(a, b, c).b) Xaùc ñònh aùnh xaï tuyeán tính T : R2 → R2, thoûa T (1, 1) = (−1, 1), T (2, 3) = (1, 2).

8. Cho f : R3 −→ R2, B = ( (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) ) vaø B′ = ( (1, 1), (1,−1) ). Tìmma traän bieåu dieãn f trong cô sôû chính taéc vaø trong caùc cô sôû B, B ′, vôùi:a) f(x, y, z) = (x+ y, y + z) b) f(x, y, z) = (x+ y + z, x+ 2y + 3z).

9. Cho f : R2 → R2 laø pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng l. Tìm ma traän bieåu dieãn ftrong cô sôû chính taéc khi l:a) Truïc Ox = {(x, y) : y = 0} b) Truïc Oy c) Phaân giaùc y = x d) Ñöôøng thaúngy =√

3x.

10. Trong K3 cho caùc cô sôû: B laø cô sôû chính taéc, C = ( (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) ). Chof : K3 → K3, f(x, y, z) = (x+ y, x+ y + z, z).Xaùc ñònh caùc ma traän bieåu dieãn f : MB

B (f), MCC (f), MB

C (f).

92

11. Cho f : Rm → Rn coù ma traän bieåu dieãn trong cô sôû chính taéc laø A. Xaùc ñònhImf, Kerf, rankf , neáu A =

(1 −2−3 6

) 2 1 2

2 2 12 3 0

1 2 3 −1

3 5 8 −21 1 2 0

12. Cho f : R3 → R2 laø aùnh xaï tuyeán tính sao cho

f(1, 0, 0) = (1, 2), f(0, 1, 0) = (−1, 1), f(0, 0, 1) = (2, 3).

a) Xaùc ñònh f(x1, x2, x3).b) Tìm Imf vaø Kerf . Tính dim Kerf vaø dim Imf .

13. Cho f : R3[X]→ R2[X], f(P (X)) = P (X + h)− P (X + k), trong ñoù h �= k laø caùcsoá cho tröôùc.a) Chöùng minh f laø tuyeán tính.b) Chöùng minh f laø toaøn aùnh. Tìm Kerf .

14. Cho f : Rn → Rn laø ñaúng caáu tuyeán tính. Caùc phaùt bieåu sau ñuùng hay sai:a) Kerf = 0 b) dim Imf = n c) dim Kerf−1 = dim Imf .

15. Cho f : R3[X]→ R4[X], f(P (X)) = (X + 2)P (X).a) Chöùng minh f laø aùnh xaï tuyeán tính.b) Tìm ma traän bieåu dieãn f trong caùc cô sôû chính taéc (i.e cô sôû goàm caùc ñôn thöùc1, X,X2, · · · .)c) Tìm Kerf .

16. Töông töï baøi treân cho f : R2[X]→ R3[X], f(P (X)) = X2P ′′(X)−2P (X)+XP (X).

17. Cho f : V → V ′ laø aùnh xaï tuyeán tính. Caùc phaùt bieåu sau ñuùng hay sai:a) Neáu v1, · · · , vk ∈ V ñoäc laäp tuyeán tính, thì f(v1), · · · , f(vk) ñoäc laäp tuyeán tính.b) Neáu v1, · · · , vk ∈ V phuï thuoäc tuyeán tính, thì f(v1), · · · , f(vk) phuï thuoäc tuyeán tính.c) Neáu f ñôn aùnh, thì f bieán heä vector ñoäc laäp tuyeán tính thaønh heä vector ñoäc laäptuyeán tính.d) Neáu dimV > dimV ′, thì f khoâng theå ñôn aùnh.e) Neáu dimV < dimV ′, thì f khoâng theå toaøn aùnh. g) f laø ñaúng caáu khi vaø chæ khi Alaø khaû nghòch, vôùi A laø ma traän bieåu dieãn cuûa f trong cô sôû baát kyø.

V. Ñònh thöùc.

1. Tính

∣∣∣∣∣∣∣−1 1 −1

2 1 00 1 3

∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 −1 23 0 0 12 1 2 03 1 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2. Cho A = (a1 a2 a3 a4) laø 4× 4 ma traän (vôùi caùc coät a1, a2, a3, a4). Gæa söû detA = 3.

Tính detB, neáua) B = (2a1 a2 a4 a3) b) B = (a1 +2a2 a2 a3 a4) c) B = (2a1−a2 2a2−a3 a3 a4).

Baøi taäp 93

3. Cho A,B ∈MatK(4). Gæa söû detA = 2, detB = 3. Tính det 3A, detAB2A−1, det(2(AB)−1).

4. Cho A,B,C laø caùc ma traän vuoâng cuøng caáp. Caùc phaùt bieåu sau ñuùng hay sai:a) det(A+B) = detA+ detB.b) Neáu AB = AC vaø detA �= 0, thì B = C.c) Neáu toàn taïi k ∈ N sao cho Ak = O, thì detA = 0.d) Neáu AB = I, thì BA = I.

5. Cho A, B laø caùc ma traän vuoâng caáp n, vaø λ laø soá. Chöùng minh coâng thöùc sau:a) det(λA) = λndetA.b) det( tA− λI) = det(A− λI).c) det(A− λI) = det(P−1AP − λI), vôùi P laø ma traän khaû nghòch.

6. Chöùng minh vôùi moïi a, caùc ñònh thöùc sau baèng khoâng∣∣∣∣∣∣∣a+ 1 a+ 4 a+ 7a+ 2 a+ 5 a+ 8a+ 3 a+ 6 a+ 9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 4a 7a

2a 5a 8a3a 6a 9a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a a4 a7

a2 a5 a8

a3 a6 a9

∣∣∣∣∣∣∣7. Tính ñònh thöùc sau baèng caùch phaân tích thaønh toång

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 + a1 a2 a3 · · · an

a1 1 + a2 a3 · · · an

a1 a2 1 + a3 · · · an...

......

...a1 a2 a3 · · · 1 + an

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣8. Tính caùc ñònh thöùc sau sau khi bieán ñoåi veà daïng tam giaùc:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 · · · n−1 0 3 · · · n−1 −2 0 · · · n

......

......

−1 −2 −3 · · · 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 a1 a2 · · · an

−x x 0 · · · 00 −x x · · · 0...

......

...0 0 0 · · · x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣9. Chöùng minh ñònh thöùc sau chia heát cho 17

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 6 0 45 3 2 2 72 5 7 5 52 0 9 2 77 8 4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣HD: Ñeå yù caùc doøng, chaúng haïn 20604 = 2.105 +0.104 +6.103 +0.102 +4 chia heát cho17.

94

10. Cho

A =

a b c d−b a −d c−c d a −b−d −c b a

.

Tính A tA. Suy ra detA.

11. Cho ma traän chia khoái daïng

M =

(A OC D

), trong ñoù A,D laø caùc ma traän vuoâng .

Chöùng minh detM = detAdetD.

Tìm ví duï ma traän caáp 4 chia khoái M =

(A BC D

)(vôùi A,B,C,D laø caùc ma traän

vuoâng caáp 2), maø detM �= detAdetD − detB detC.

12. Cho A laø ma traän tam giaùc treân, khaû nghòch. Chöùng minh A−1 cuõng laø ma traän tamgiaùc treân.

13. Tìm ma traän nghòch ñaûo caùc ma traän sau:

(0 12 0

) 1 1 2

2 −1 3−1 4 0

1 2 3

1 −1 41 1 2

14. Vôùi gía trò thöïc naøo cuûa x, ñeå ma traän sau khaû nghòch. Tính ma traän ngöôïc trong caùctröôøng hôïp ñoù

(x 1−1 x

) (2 xx 2

) 2 x 0−x 2 x

0 −x 2

1 x x2

1 1 11 3 9

sinx 0 cosx

0 1 0− cos x 0 sinx

ÑAÏI SOÁ VAØ HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH 1 · PDF fileHöôùng daãn sinh vieân ñoïc giaùo trình...

Documents