Agradezco a Cinvestav su apoyo económico · 2020-02-22 · Agradezco a mi asesora, Dra. Rosa María Farfán Márquez por la guía, estímulo, apoyo y comprensión que supo brindarme

Agradezco a Cinvestav su apoyo económico en los últimos semestres de mis estudios, hecho que me ha permitido culminarlos.

A mi mamá, con todo mi amor de y por siempre... por el hermoso bagaje que me deja.

A mi papá por infundirme su fortaleza y brindarme su amor.

A mis hermanas por su cariño, su apoyo incondicional y su aliento.

Y a todos ellos por su comprensión ante mis deseos de superacióny por regalarme la posibilidad de elegir.

Agradezco a mi asesora, Dra. Rosa María Farfán Márquez

por la guía, estímulo, apoyo y comprensión que supo brindarme en todo momento.

Agradezco al Dr. Ricardo Cantoral Uriza por discutir conmigo ciertos aspectos de este trabajo, así como también, por los momentos en los que

compartió conmigo sus ideales y experiencia.

Agradezco al Dr. Francisco Cordero Osorio por el apoyo académico y personal que me brindara en esta etapa de formación.

Agradezco a mis compañeras y compañeros que compartieron mis deseos de formar parte de un grupo, sus reflexiones y apoyo en este período de formación y consolidación

de compromisos con nuestra disciplina.

Índice

Introducción Capítulo 1 El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas Imagen conceptual versus definición del concepto...............5

Proceso-Objeto. Teoría APOE...............................................11 Representaciones semióticas y articulación de registros......16 Dialéctica Herramienta-Objeto y Juego de contextos..........21 Obstáculos epistemológicos y actos de entendimiento........27 Pensamiento y lenguaje variacional.........................................31 A manera de conclusión............................................................38

Capítulo 2

Ingeniería Didáctica Ingeniería Didáctica y Situaciones Didácticas........................42 Contrato Didáctico.....................................................................52 Obstáculos epistemológicos y variables didácticas................57 Fases de la Ingeniería Didáctica................................................61

Análisis preliminar...............................................................62 Análisis a priori y diseño de la situación didáctica...........63 Experimentación.................................................................63 Análisis a posteriori y validación..........................................64

Capítulo 3

Acercamiento a un análisis epistemológico Epistemología histórica del concepto “logaritmo”...............70 Albores del concepto de función logaritmo...........................74 Nacimiento de los logaritmos...................................................80 Aportes al desarrollo del cálculo..............................................90 A manera de conclusión..........................................................127

Capítulo 4

Acercamiento a un análisis didáctico Presencia de los logaritmos en la currícula mexicana del siglo XIX....................................................142 Presencia de los logaritmos en el currículum actual....144 Enseñanza Media..............................................................146 Enseñanza Media Superior..............................................147 Enseñanza Superior..........................................................150 Presencia de la función logaritmo en los libros de texto........................................................154 Presencia de los logaritmos en los libros de texto de antaño

Siglo XVII................................................................156 Siglo XVIII..............................................................162 Siglo XIX.................................................................174

Presencia de los logaritmos en los libros de álgebra entre 1950-1970............................184 Presencia de los logaritmos en los libros de bachillerato de última generación.............187 Presencia de los logaritmos en los libros clásicos de Cálculo, en la primera mitad del siglo XX....................................190 Presencia de los logaritmos en los libros clásicos de Cálculo, en la segunda mitad del siglo XX...................................193 A manera de conclusión..................................................201

Capítulo 5

A manera de conclusión..............................................................................207 Bibliografía...................................................................................................... 219

Anexo

Opus Geometricum quadraturae circuli et sectioum coni. Saint

Vincent.

Discusión de la Causa del Peso. Huygens.

Further logarithmic calculatio. Newton.

Instituciones analíticas. Tercer libro. Del cálculo integral. Agnesi.

Introducción

Consideramos que la Matemática Educativa, como disciplina científica, posee

entre sus objetos de estudio al sistema didáctico, visto éste como la triada docente-

alumno-conocimiento y las interrelaciones acaecidas entre los mismos dentro de una

cultura y sociedad particulares. Adherimos a la línea de investigación que mira a la

matemática como una construcción humana y que se preocupa por diseñar

situaciones didácticas que favorezcan la apropiación de significados por parte de los

alumnos y por tanto del desarrollo del pensamiento matemático avanzado. Este

grupo de investigación, dentro del cual consideramos encuadrado este trabajo,

propone una mirada integral y por tanto sistémica de los fenómenos didácticos que

se abordan.

En el trabajo de Trujillo (1995) se reporta una cierta “dislexia” entre los

enfoques aritmético y funcional producida en la enseñanza de los logaritmos

mientras que, en este estudio, intentamos proporcionar elementos para explicar este

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo.

fenómeno así como también, sentar las bases para un posterior diseño de situación

didáctica que se preocupe por dotar de significado a tales nociones.

Así, hemos identificado nuestra problemática en torno a la enseñanza de los

logaritmos y consideramos que abordarla implica dar respuesta a preguntas tales

como, ¿cómo vive esta noción en la escuela de nuestros días? ¿qué elementos

permitieron su incorporación a la estructura matemática actual? ¿cómo fue su

devenir en objeto a ser enseñado en nuestras aulas? ¿qué significados y sentidos se

han diluido en tal proceso? ¿qué preguntas respondió en cada paradigma que los

incorporó? ¿qué concepciones se encuentran respecto a ellos?

La metodología que usaremos será una extensión de la ingeniería didáctica. En

este trabajo se presenta entonces, el análisis preliminar, primera fase de toda

ingeniería didáctica en el cual se intenta dar una visión del desarrollo de los

logaritmos centrándonos fundamentalmente en las dimensiones didáctica,

epistemológica y sociocultural del mismo, siendo esta última la que evidencia nuestro

acercamiento teórico y extensión de esta metodología. Consideramos necesario, para

ubicar nuestra problemática, analizar las distintas aportaciones realizadas por

diferentes grupos de investigación que se desenvuelven adoptando metáforas de

aprendizaje propias y reportar sus resultados tanto respecto a la apropiación por

parte de los alumnos del concepto función como de su enseñanza. Destinamos

nuestro primer capítulo a reflexionar sobre ellas con el propósito de captar la esencia

de cada acercamiento y de su visión respecto a la lectura de sus resultados intentando

asimismo evidenciar por qué adherimos al acercamiento sociocultural propio de

nuestro grupo de investigación.

Según establecimos, nos hemos valido de la ingeniería didáctica para realizar

nuestra investigación y por tanto en el segundo capítulo de este trabajo

desarrollamos ideas en torno a sus características profundizando en las teorías que la

ii

Introducción

sustentan, a saber , la teoría de situaciones didácticas de Guy Brousseau y la teoría de

transposición didáctica de Yves Chevallard.

Siendo nuestra intención resignificar las nociones que son de nuestro interés, es

decir, los logaritmos, nos abocamos a la búsqueda de los interrogantes y debates que

éstos produjeron, de las controversias que suscitaron, de los ires y venires en su

desarrollo y consolidación en la estructura matemática, en definitiva, su devenir en

un saber validado social y culturalmente. Para ello, recurrimos a varios textos

originales y libros de historia intentando también enmarcar al desarrollo científico en

la sociedad de la época volcando nuestras impresiones e indagaciones en el tercer

capítulo, en tanto que el capítulo cuatro, refleja el desarrollo de la comunicación y

divulgación de las nociones relacionadas con los logaritmos desde su definición en el

siglo XVII, hasta nuestros días. Presentamos en él, nuestro análisis de los libros de

textos que consideramos representativos aunque no únicos, y de la currícula de los

sistemas educativos argentino y mexicano para conocer cómo vivieron y viven los

logaritmos en el discurso matemático escolar de distintas épocas.

En este trabajo hemos identificado tres etapas significativas en el desarrollo de

los logaritmos al considerar como eje central, la relación entre ellos y las

progresiones aritmética y geométrica, misma que sabemos no forma parte del

discurso matemático escolar. Proponemos así mismo, una analogía entre estas etapas

a las que denominamos los logaritmos como transformación, como modelizadores y como objetos

teóricos, y los momentos que una situación didáctica debe contemplar, a saber, acción,

formulación, validación e institucionalización. Es decir, nos apropiamos de un

constructo teórico particular para reformularlo y adecuarlo a nuestras necesidades e

intereses. Destinamos entonces, el quinto capítulo para reflexionar en torno a los

posibles diseños de situaciones didácticas que pueden sustentarse en nuestro trabajo

y, por ende, en nuestra hipótesis epistemológica dejando abierto a la discusión tal

tópico.

iii

Agradezco a Cinvestav su apoyo económico en los últimos semestres de mis estudios, hecho que me ha permitido culminarlos.

A mi mamá, con todo mi amor de y por siempre... por el hermoso bagaje que me deja.

A mi papá por infundirme su fortaleza y brindarme su amor.

A mis hermanas por su cariño, su apoyo incondicional y su aliento.

Y a todos ellos por su comprensión ante mis deseos de superacióny por regalarme la posibilidad de elegir.

Agradezco a mi asesora, Dra. Rosa María Farfán Márquez

por la guía, estímulo, apoyo y comprensión que supo brindarme en todo momento.

Agradezco al Dr. Ricardo Cantoral Uriza por discutir conmigo ciertos aspectos de este trabajo, así como también, por los momentos en los que

compartió conmigo sus ideales y experiencia.

Agradezco al Dr. Francisco Cordero Osorio por el apoyo académico y personal que me brindara en esta etapa de formación.

Agradezco a mis compañeras y compañeros que compartieron mis deseos de formar parte de un grupo, sus reflexiones y apoyo en este período de formación y consolidación

de compromisos con nuestra disciplina.

Índice

Introducción Capítulo 1 El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas Imagen conceptual versus definición del concepto...............5

Proceso-Objeto. Teoría APOE...............................................11 Representaciones semióticas y articulación de registros......16 Dialéctica Herramienta-Objeto y Juego de contextos..........21 Obstáculos epistemológicos y actos de entendimiento........27 Pensamiento y lenguaje variacional.........................................31 A manera de conclusión............................................................38

Capítulo 2

Ingeniería Didáctica Ingeniería Didáctica y Situaciones Didácticas........................42 Contrato Didáctico.....................................................................52 Obstáculos epistemológicos y variables didácticas................57 Fases de la Ingeniería Didáctica................................................61

Análisis preliminar...............................................................62 Análisis a priori y diseño de la situación didáctica...........63 Experimentación.................................................................63 Análisis a posteriori y validación..........................................64

Capítulo 3

Acercamiento a un análisis epistemológico Epistemología histórica del concepto “logaritmo”...............70 Albores del concepto de función logaritmo...........................74 Nacimiento de los logaritmos...................................................80 Aportes al desarrollo del cálculo..............................................90 A manera de conclusión..........................................................127

Capítulo 4

Acercamiento a un análisis didáctico Presencia de los logaritmos en la currícula mexicana del siglo XIX....................................................142 Presencia de los logaritmos en el currículum actual....144 Enseñanza Media..............................................................146 Enseñanza Media Superior..............................................147 Enseñanza Superior..........................................................150 Presencia de la función logaritmo en los libros de texto........................................................154 Presencia de los logaritmos en los libros de texto de antaño

Siglo XVII................................................................156 Siglo XVIII..............................................................162 Siglo XIX.................................................................174

Presencia de los logaritmos en los libros de álgebra entre 1950-1970............................184 Presencia de los logaritmos en los libros de bachillerato de última generación.............187 Presencia de los logaritmos en los libros clásicos de Cálculo, en la primera mitad del siglo XX....................................190 Presencia de los logaritmos en los libros clásicos de Cálculo, en la segunda mitad del siglo XX...................................193 A manera de conclusión..................................................201

Capítulo 5

A manera de conclusión..............................................................................207 Bibliografía...................................................................................................... 219

Anexo

Opus Geometricum quadraturae circuli et sectioum coni. Saint

Vincent.

Discusión de la Causa del Peso. Huygens.

Further logarithmic calculatio. Newton.

Instituciones analíticas. Tercer libro. Del cálculo integral. Agnesi.

Introducción

Consideramos que la Matemática Educativa, como disciplina científica, posee

entre sus objetos de estudio al sistema didáctico, visto éste como la triada docente-

alumno-conocimiento y las interrelaciones acaecidas entre los mismos dentro de una

cultura y sociedad particulares. Adherimos a la línea de investigación que mira a la

matemática como una construcción humana y que se preocupa por diseñar

situaciones didácticas que favorezcan la apropiación de significados por parte de los

alumnos y por tanto del desarrollo del pensamiento matemático avanzado. Este

grupo de investigación, dentro del cual consideramos encuadrado este trabajo,

propone una mirada integral y por tanto sistémica de los fenómenos didácticos que

se abordan.

En el trabajo de Trujillo (1995) se reporta una cierta “dislexia” entre los

enfoques aritmético y funcional producida en la enseñanza de los logaritmos

mientras que, en este estudio, intentamos proporcionar elementos para explicar este


fenómeno así como también, sentar las bases para un posterior diseño de situación

didáctica que se preocupe por dotar de significado a tales nociones.

Así, hemos identificado nuestra problemática en torno a la enseñanza de los

logaritmos y consideramos que abordarla implica dar respuesta a preguntas tales

como, ¿cómo vive esta noción en la escuela de nuestros días? ¿qué elementos

permitieron su incorporación a la estructura matemática actual? ¿cómo fue su

devenir en objeto a ser enseñado en nuestras aulas? ¿qué significados y sentidos se

han diluido en tal proceso? ¿qué preguntas respondió en cada paradigma que los

incorporó? ¿qué concepciones se encuentran respecto a ellos?

La metodología que usaremos será una extensión de la ingeniería didáctica. En

este trabajo se presenta entonces, el análisis preliminar, primera fase de toda

ingeniería didáctica en el cual se intenta dar una visión del desarrollo de los

logaritmos centrándonos fundamentalmente en las dimensiones didáctica,

epistemológica y sociocultural del mismo, siendo esta última la que evidencia nuestro

acercamiento teórico y extensión de esta metodología. Consideramos necesario, para

ubicar nuestra problemática, analizar las distintas aportaciones realizadas por

diferentes grupos de investigación que se desenvuelven adoptando metáforas de

aprendizaje propias y reportar sus resultados tanto respecto a la apropiación por

parte de los alumnos del concepto función como de su enseñanza. Destinamos

nuestro primer capítulo a reflexionar sobre ellas con el propósito de captar la esencia

de cada acercamiento y de su visión respecto a la lectura de sus resultados intentando

asimismo evidenciar por qué adherimos al acercamiento sociocultural propio de

nuestro grupo de investigación.

Según establecimos, nos hemos valido de la ingeniería didáctica para realizar

nuestra investigación y por tanto en el segundo capítulo de este trabajo

desarrollamos ideas en torno a sus características profundizando en las teorías que la

ii

Introducción

sustentan, a saber , la teoría de situaciones didácticas de Guy Brousseau y la teoría de

transposición didáctica de Yves Chevallard.

Siendo nuestra intención resignificar las nociones que son de nuestro interés, es

decir, los logaritmos, nos abocamos a la búsqueda de los interrogantes y debates que

éstos produjeron, de las controversias que suscitaron, de los ires y venires en su

desarrollo y consolidación en la estructura matemática, en definitiva, su devenir en

un saber validado social y culturalmente. Para ello, recurrimos a varios textos

originales y libros de historia intentando también enmarcar al desarrollo científico en

la sociedad de la época volcando nuestras impresiones e indagaciones en el tercer

capítulo, en tanto que el capítulo cuatro, refleja el desarrollo de la comunicación y

divulgación de las nociones relacionadas con los logaritmos desde su definición en el

siglo XVII, hasta nuestros días. Presentamos en él, nuestro análisis de los libros de

textos que consideramos representativos aunque no únicos, y de la currícula de los

sistemas educativos argentino y mexicano para conocer cómo vivieron y viven los

logaritmos en el discurso matemático escolar de distintas épocas.

En este trabajo hemos identificado tres etapas significativas en el desarrollo de

los logaritmos al considerar como eje central, la relación entre ellos y las

progresiones aritmética y geométrica, misma que sabemos no forma parte del

discurso matemático escolar. Proponemos así mismo, una analogía entre estas etapas

a las que denominamos los logaritmos como transformación, como modelizadores y como objetos

teóricos, y los momentos que una situación didáctica debe contemplar, a saber, acción,

formulación, validación e institucionalización. Es decir, nos apropiamos de un

constructo teórico particular para reformularlo y adecuarlo a nuestras necesidades e

intereses. Destinamos entonces, el quinto capítulo para reflexionar en torno a los

posibles diseños de situaciones didácticas que pueden sustentarse en nuestro trabajo

y, por ende, en nuestra hipótesis epistemológica dejando abierto a la discusión tal

tópico.

iii

CAPÍTULO 1

El concepto de función desde distintas perspectivas teóricas

Consideramos que la Matemática Educativa acoge en su seno, al igual que sucede

en otras disciplinas, distintas escuelas de pensamiento y matices en la construcción

de significados respecto a comprender, aprehender y aprender un concepto

matemático. Sin embargo, considerando que el objeto de estudio de nuestra

disciplina es el sistema didáctico en sí mismo, con todas las dificultades que su

abordaje trae aparejado al tratarse de relaciones humanas inmersas en una cultura,

sociedad y tiempos específicos y particulares en torno a un saber, el matemático, las

aportaciones de cada una de ellas difiere acorde a sus referentes teóricos y culturales.

Discutiremos en este capítulo seis acercamientos que actualmente buscan dar

explicación al intrincado proceso de aprendizaje de saberes del pensamiento

matemático avanzado. En estas líneas de investigación enfocadas al estudio de la

didáctica del análisis, que se sustentan en distintas “metáforas de aprendizaje”,

reconocemos un tronco común, la idea de que el conocimiento no es una mera copia

de la realidad sino que se construye, es decir, se adhieren a la tesis piagetiana de la

epistemología genética respecto al desarrollo del pensamiento (Cantoral & Farfán,

1998).


Estas investigaciones se alejan, en cierta medida, de concepciones adoptadas por

las teorías conductistas respecto a la linealidad de estímulo-respuesta para lograr

aprendizajes y de la visión del error como “el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre o

del azar” (Brousseau, 1976). Percibimos también en ellas las ideas de estímulo–

respuesta pero aquí cobran vital importancia los esquemas que el individuo pone en

juego para actuar sobre la realidad. Esta interacción individuo-realidad hace que los

esquemas que el sujeto posee vayan cambiando y que utilice, a medida que adquiere

experiencia, herramientas más complejas y especializadas. Para Piaget, la inteligencia

atraviesa fases cualitativamente distintas, llamadas “estadios”, y el pasaje de unos a

otros implica la adquisición de esquemas y estructuras nuevos, consistiendo estos

últimos en una serie de elementos que, una vez que interactúan, producen resultados

diferentes a la adición de sus efectos si se los toma por separado.

Esta teoría sostiene que el individuo construye su conocimiento a medida que

interacciona con la realidad, involucrando en esta construcción distintos

procedimientos, siendo la asimilación y acomodación los que más se destacan. En el caso

de la asimilación, el individuo incorpora la nueva información haciéndola parte de su

conocimiento, lo cual no significa que la integre necesariamente a la que ya posee, en

tanto que la acomodación es el proceso mediante el cual se transforma la

información que ya se tenía en función de la nueva, ambos procesos son interactivos,

realizándose de manera dialéctica, es decir, necesitándose una a otra para el

desarrollo de la estructura cognitiva. El resultado final de la interacción entre los

procesos de asimilación y acomodación es la equilibración.

Por otra parte, para Vygotsky el conocimiento es un producto de la interacción

social y cultural, concibiendo al individuo como un ser eminentemente social, y al

conocimiento mismo como un producto social. Este pensador mantiene que todos

los procesos psicológicos superiores (comunicación, lenguaje, razonamiento, entre

2


otros.) se adquieren primero en un contexto social y luego se internalizan. En

palabras de Vygostky:

“Un proceso interpersonal queda transformado en uno intrapersonal. En el

desarrollo cultural del niño, toda función aparece dos veces: primero, a escala social, y

más tarde, a escala individual; primero entre personas (interpsicológica), y después, en

el interior del propio niño (intrapsicológica). Esto puede aplicarse igualmente a la

atención voluntaria, a la memoria lógica y a la formación de conceptos. Todas las

funciones psicológicas superiores se originan como relaciones entre seres humanos”

(citado en Carretero, 1993, p. 24)

Estas aportaciones teóricas de la psicología cognitiva, así como las de Ausubel

quien considera que aprender y comprender son sinónimos, es decir, que el

aprendizaje debe ser una actividad significativa para la persona que aprende,

actividad que recae en la existencia de relaciones entre el conocimiento nuevo y el

que ya posee el individuo; donde la incorporación de saberes requiere de

consistencia, pertinencia y de relaciones no arbitrarias con los que ya se poseen, dan

marco a las metáforas de aprendizaje de matemática que abordaremos en este

capítulo.

Es así que, de una u otra manera, percibimos estos constructos teóricos en los

perfiles de las distintas escuelas que vamos a considerar como representativas de los

avances e intereses de nuestra disciplina. Entra en juego en ellas, además de la

filosofía que se adopte para explicar el cómo se aprende, es decir, los mecanismos

puestos en juego entre el sujeto epistémico y el objeto a conocer, la mayor o menor

importancia que a lo social y cultural se le confiera y al análisis del devenir de una

noción en saber a enseñar, ya sea esto en el transcurso de la historia y desarrollo de la

cultura como dentro de la cultura particular del aula, así como también, el saber

3


matemático a ser enseñado en sí mismo. La hipótesis que estas escuelas manejan se

acercan a lo establecido por Bachelard (1938) e incorporado a la matemática

educativa por Brousseau (1976) respecto a que “conocemos contra un conocimiento anterior,

destruyendo los conocimientos mal hechos, sobrepasando aquello que, en el espíritu mismo, constituye

un obstáculo a la inteligencia”.

En particular nos interesa abordar la nnoocciióónn ddee ffuunncciióónn pues la importancia que

se le confiere en la Matemática de hoy, se ve reflejada en su status y presencia dentro

del currículum actual, tanto en el nivel medio superior como en el superior. Es

considerada fundamental y central en Cálculo y en otras ramas de la Matemática, así

como también esencial en diversas áreas de la ciencia. Las dificultades detectadas en

los alumnos para apropiarse y comprender el concepto de ffuunncciióónn han motivado

diversas investigaciones. Abordaremos en este trabajo algunas de ellas, tal como se

presenta en el siguiente esquema, dando una somera explicación de los tópicos que

consideramos fundamentales para la comprensión de cada una.

Pensamiento y lenguaje variacional

Articulación de Registros

Proceso - Objeto

Obstáculos Epistemológicos y Actos de Entendimiento

Dialéctica Herramienta - Objeto

Imagen y definición del concepto

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Imagen conceptual versus definición del concepto

Investigadores tales como Tall (1991; 1996) y Vinner (1992) consideran que se

debe realizar una distinción entre el modo en el que un sujeto piensa sobre un

concepto y la definición formal del mismo, es decir, distinguir entre matemática

como una actividad mental y matemática como un sistema formal. En este sentido,

evidencian la existencia de un conflicto entre la estructura de la matemática y los

procesos cognitivos para adquirir determinados conceptos. Pensar en matemática

como un sistema deductivo, que comienza con nociones primarias y axiomas, para

continuar con definiciones y pruebas lleva a proponer al estudiante,

pedagógicamente, el abordaje de una definición mediante ejemplos y maneras de

manipular y experimentar con la noción, lo cual dista de ser idóneo para evitar

conflictos cuando se trata de conceptos abstractos. Es evidente entonces, la

dificultad que involucra la transición hacia el pensamiento matemático avanzado, a

partir de la matemática básica, pues requiere reconstruir a través de deducciones

lógicas y definiciones formales un universo basado en la intuición y la experiencia.

Tall (1992) considera que, en general, aprender una nueva noción no borra la

anterior. El estudiante, en ciertos momentos, posee dos ideas simultáneamente, a las

que puede recurrir, y lo que está en juego es la “selección” (frecuentemente

inconsciente) de cual de ellas recuperar, siendo posible también las combinaciones

de ambas ideas, todo lo cual genera conflictos cognitivos. Esto es particularmente

evidente en la incursión en el pensamiento matemático avanzado, cuando la mente

posee imágenes conceptuales basadas en experiencias anteriores interactuando con

nuevas ideas basadas en definiciones y deducciones.

Este acercamiento teórico introduce el término ““iimmaaggeenn ddeell ccoonncceeppttoo”” (concept

image) para describir la estructura cognitiva que es asociada al concepto, la cual

5


incluye todas las imágenes mentales y las propiedades y procesos asociados con el

mismo. Es lo que evoca nuestra memoria, es una entidad no verbal asociada, en

nuestra mente, con el concepto. Puede ser una representación visual, una colección

de impresiones o experiencias, nociones intuitivas, ejemplos y no ejemplos, gráficos,

etc., relacionados con el concepto. Esta imagen del concepto se robustece con los

años a través de la experiencia y estímulos de diversos tipos no siendo su desarrollo

necesariamente coherente. En contrapartida, consideran que la ““ddeeffiinniicciióónn ddeell ccoonncceeppttoo””

(concept definition) es una descripción formal del mismo.

Es importante entonces distinguir entre el concepto matemático formal

especificado por una “definición del concepto” y la amplia, individual y subjetiva “imagen

del concepto”. Para este acercamiento teórico, apropiarse del significado de una noción

implica formar una imagen de la misma. Las personas recuerdan mejor los aspectos

visuales de un concepto que los aspectos analíticos del mismo. Aprender de

memoria una definición, no garantiza que se ha comprendido la noción a la que

alude. Las representaciones e imágenes mentales, impresiones y experiencias

asociadas con el concepto, pueden ser trasladadas a formas verbales. Por ejemplo,

cuando alguien escucha “función”, puede recordar la expresión y = f(x), o, visualizar

alguna gráfica, pensar en alguna función específica como seno o logaritmo, evocar

los diagramas de Venn, entre otros.

Algunos resultados obtenidos de las investigaciones llevadas a cabo para analizar

la apropiación del concepto de función, considerado uno de los mas complejos a ser

enseñado y aprendido debido a las diversas representaciones que admite y a las

variadas concepciones que giran a su alrededor, muestran la brecha entre las

definiciones dadas por los estudiantes y los criterios utilizados en las tareas de

reconocimiento de objetos funcionales o de clasificación de funciones y no

funciones, dadas en distintos registros. En general, dan cuenta de la concepción de

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función organizada alrededor de prototipos comunes encontrados, de la asociación

entre ““ffuunncciióónn yy ffóórrmmuullaa”” o entre ““ffuunncciióónn yy ccuurrvvaa rreegguullaarr””, y no en torno a su definición.

Esto lleva a los alumnos a rechazar funciones o a admitir objetos no funcionales. Por

ejemplo, Vinner (1992) ha hallado que los estudiantes creen, respecto al concepto de

función, que:

La correspondencia que constituye la función debe ser establecida por una regla

con sus propias regularidades. No se considera una correspondencia arbitraria

como función.

Un cambio en la variable independiente debe sistemáticamente reflejarse en la

variable dependiente, por tanto una función constante no es tal, es decir:

( ) 2f x = forma algebraica no es función pues:

No depende de “x”. No hay variación.

forma gráfica no es función pues:

Un cambio en la variable

Independiente debe reflejarse en la variable dependiente.

Una función debe tener un término algebraico, una fórmula o una ecuación. Es

una manipulación realizada sobre la variable independiente para obtener la

variable dependiente. Luego, una correspondencia funcional definida por trozos

no es una función sino varias. Por ejemplo:

22 si 0( ) 1 si 0

x xf x x x+ >= − ≤

7


La función es identificada con una de sus representaciones gráficas o simbólicas,

es decir, como una curva en un sistema de coordenadas o como diagramas de

Venn, o como y = f(x)

Una regla de correspondencia que no tenga una regla algebraica es función sólo

si la comunidad de matemáticos la enuncia como tal.

La gráfica de una función debe ser regular, y sin cambios bruscos. Cambios

imprevistos en la gráfica indican que no es función. Por ejemplo, el siguiente

gráfico no es considerado como la representación de una función.

Una función es una correspondencia uno a uno.

Por su parte, Eisenberg (1983), reporta que los estudiantes pueden generar

soluciones cuando se les da la fórmula y pueden construir una tabla de

correspondencias como la siguiente:

( ) 7 3f w w= +

W 1 3 7

f(w) 10 24 52

Pero, si el problema es “cambiado” pidiéndosele al alumno que halle los valores

de para 1, 3, 7 la mayoría vuelve a calcular la tabla pese a tener los

valores de ( frente a ellos, desconociendo la noción de variable.

( ) 7 3f m m= +

, (w f ))w

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Para Eisenberg, comprender un concepto matemático básico implica haberlo

construido desde una base intuitiva y generalmente, durante el proceso de

enseñanza, el estudiante no logra dar sentido ni internalizar los conceptos, es decir,

éstos no se convierten en parte de ellos, no logrando adquirir un pensamiento

funcional, sino sólo una manipulación de mecanismos. Parece natural ver algunos

aspectos de la matemática general y de funciones en particular de manera gráfica. Sin

embargo, los estudiantes simplemente no tienen esta “imagen del concepto” de función.

Parecen tender a procesar la información y resolver ejercicios analíticamente, no

visualmente. Ejemplo de esta dicotomía entre el gráfico de una función y la función

en sí misma, es el caso presentado por la totalidad de los alumnos de cálculo

entrevistados respecto a hallar la inversa de una función conocido su gráfico y su

expresión analítica (Eisenberg, 1991). El 90% fue capaz de hacerlo en forma analítica

y el 55% de los mismos justificar su repuesta, en tanto que sólo el 30% “reflejó la

gráfica respecto a la recta y = x” dando indicios de su conocimiento de tal

mecanismo geométrico, pero ninguno de ellos fue capaz de justificar dicho proceso,

demostrando la existencia de un divorcio entre el concepto de función y su

interpretación visual.

Según Tall (1992), hay definiciones que oscurecen las imágenes conceptuales de

los alumnos. Por ejemplo, una función podría ser definida como un proceso

mediante el cual se asigna a cada elemento de un conjunto (dominio) un único

elemento de otro (rango). Ante esto, los estudiantes, en general, limitan estos

“elementos” a números, no considerando que puede tratarse de una correspondencia

entre conjuntos, funciones, matrices, n-uplas en un espacio n-dimensional, etc. Por

otra parte, considera conveniente que, en lugar de comenzar con la definición del

concepto, la cual puede contener palabras o nociones no familiares para el alumno,

se intente hallar una aproximación para construirla sobre conceptos que jueguen el

doble papel de ser inicialmente familiares para el estudiante y a su vez lo provean de

9


una base para el desarrollo matemático posterior, a lo que Tall denomina “raíces

cognitivas”.

Los resultados expuestos anteriormente dan pauta de que el cerebro humano no

es una entidad puramente lógica. La manera compleja en la que funciona está a

menudo en desacuerdo con la lógica de la matemática. El desarrollo de las imágenes

conceptuales y del razonamiento, como camino hacia la comprensión y aprendizaje

de las ideas matemáticas, no puede ser coherente durante todo el tiempo pues los

estímulos sensoriales excitan ciertos caminos neuronales e inhiben otros, pudiéndose

producir conflictos cognitivos entre partes inconsistentes de la imagen conceptual

construida por el sujeto (Vinner & Tall, 1981). Una aproximación pedagógica

ingenua, supone que, en el proceso de formación de un concepto, la definición se

hará cargo y formará la imagen conceptual del mismo.

( ) 2f x x= +

Concepto

FUNCIÓN

inconsistencias

Esquema en torno al aprendizaje del concepto de función =

Aprendizaje

Razonamiento

MÁS

del del

Un función y de la variable x es una relación entre pares de elementos de dos conjuntos numéricos A y B, tal que cada elemento x del primer conjunto A se le asigna un elemento y , y solamente uno del segundo conjunto B, según una regla definida

Sean A y B dos conjuntos, sea AxB su producto cartesiano. Un subconjunto f de AxB es una función si, cualesquiera sean (a,b) y (c,d) elementos de f. Si a = c entonces b = d

x f (x) 0 2 1 3

Parejas de baile

convicciones

conflictos Desarrollo cognitivo

Pre-concepciones

errores

D E F I N I C I Ó N

I M A G E N

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Proceso – Objeto. Teoría APOE

La teoría APOE, de naturaleza constructivista y cuyas siglas significan Acción,

Proceso, Objeto y Esquema se nutre de ideas piagetianas. Para Dubisnky:

“El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder a las situaciones

matemáticas problemáticas, reflexionando sobre ellas en un contexto social y construyendo o

reconstruyendo acciones, procesos y objetos matemáticos y organizando en esquemas con el

fin de manejar las situaciones” (Dubinsky, 1998).

Para comprender esta cita es necesario incursionar en sus concepciones

respecto a cada uno de los términos que componen este constructo teórico. Es así,

que una reacción a estímulos externos que el sujeto percibe y que le indican cómo

actuar es considerada una acción, la cual tiende a controlar al individuo. Una acción

implica entonces una repetición mental o manipulación física de objetos. Por

ejemplo, en el caso del concepto de función, que un alumno esté en esta etapa

significa que su concepción de función es estática, tendiendo a pensar un paso a la

vez, necesitando que tenga una única fórmula y siendo sólo capaz de evaluar en

puntos específicos o de manipular la fórmula.

Si un individuo es capaz de reflexionar sobre las acciones, es decir, ejecutar la

misma transformación anterior pero internamente, decimos que está a nivel de

proceso para ese concepto, por tanto, posee control sobre el mismo y puede hacer

consideraciones sin necesidad de ejecutarlo explícitamente. Decimos que cuando un

alumno puede reflexionar sobre el concepto, describirlo, invertir los pasos de la

transformación tiene, entonces, una concepción proceso de esa noción. Para el caso

de función significa tener una idea dinámica, poder pensarla como algo que recibe

una o más entradas y que regresa las salidas, tener la capacidad de hallar la inversa de

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una función o, por ejemplo, de componer funciones, lo que implica ligar dos o más

procesos, sin mayores dificultades.

Así mismo, un individuo piensa un cierto proceso como objeto cuando es capaz

de reflexionar sobre las operaciones aplicadas a dicho proceso, toma conciencia de

él como un todo, percibe las transformaciones que puede realizarle y puede

construirlas. Decimos entonces que el proceso ha sido encapsulado en un objeto.

Éste a su vez, puede posteriormente volver a ser proceso, es decir desencapsularse,

para luego regresar a su estado inicial de objeto. En el caso de funciones este

encapsulamiento aparece cuando se piensa en la manipulación de funciones, ya sea

en operarlas, derivarlas o formar conjuntos con ellas, es decir, cuando se es capaz de

ejecutar acciones o procesos sobre las mismas.

Finalmente un esquema es un conjunto de acciones, procesos, objetos y otros

esquemas que el individuo posee sobre cierto concepto, en el cual existe coherencia,

es decir, que el individuo entiende y distingue explícitamente qué acciones, procesos

y objetos pertenecen a dicho esquema y cuales no.

OBJETO PROCESO internalización

encapsulación acción Coordinación

Reversibilidad

generalización

Construcción de un esquema (Dubinsky, 1992)

Es así que los objetos son construcciones que realiza el sujeto a partir de varias

experiencias las cuales pueden provenir de percepciones sensoriales, actividades

motoras, ideas, etc. Los procesos, en cambio, hacen referencia al conjunto de

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mecanismos o actividades que el sujeto es capaz de utilizar, involucrando su

habilidad para manipularlos y transformarlos en su mente. Como resultado el

individuo es capaz de reflexionar sobre los procesos en sí mismos, combinarlos con

otros, revertirlos, etc.

La construcción de objetos y de procesos es una espiral pues unos son

utilizados para la construcción de los otros, es decir, los objetos son utilizados para

la obtención de nuevos procesos en tanto que la manipulación de éstos deriva en

nuevos objetos y así siguiendo. Estas construcciones involucran cinco etapas, a

saber, la internalización, la encapsulación, la coordinación, la reversibilidad y la

generalización.

La construcción de un proceso comienza con acciones sobre objetos los cuales

son organizados e internalizados como conocimientos de una totalidad coherente. Por

ejemplo, un estudiante puede conocer la definición de función como la

correspondencia entre dos conjuntos y utilizar este conocimiento para resolver el

problema de determinar puntos de una función. Necesitaría para ello, construir un

proceso mental en el cual use la fórmula dada para manipular objetos pertenecientes

al dominio y transformarlos en elementos del rango.

La etapa de encapsulación, en cambio, es difícil de observar y sólo puede ser

inferida. Requiere la manipulación de las nociones como si fueran objetos. Es

importante en cálculo pues se necesita manipular funciones, por ejemplo, derivarlas,

integrarlas, trabajar con familias de funciones paramétricas, etc., es decir, tratar a la

función como un objeto en sí misma. Cuando se toma uno o más procesos y se los

utiliza para construir nuevos procesos, desde una simple concatenación hasta lazos

de funciones estamos en la etapa de coordinación.

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La reversibilidad juega un papel importante. Por ejemplo, en el caso de funciones

uno a uno y sobre, se han observado, (Dubinsky, 1991), dificultades en el

reconocimiento de ejemplos de las mismas. No se percibieron mayores problemas

en el tratamiento de las funciones “sobre” pues requiere evocar la definición de

función tal como se la conoce, en tanto que para reconocer y justificar el caso de

funciones “uno a uno” se necesita pensar en la definición en sentido inverso, esto

es, desde el rango hacia el dominio, involucrando un proceso en reversa cuya

explicación se dificulta.

Finalmente, cuando se es capaz de utilizar un esquema ya construido en nuevas

situaciones, diferentes de las anteriores se está en la etapa de generalización del

esquema. Por ejemplo, cuando un estudiante es capaz de utilizar sus ideas sobre

función como transformación de números de un conjunto a números de otro

mediante una regla definida, para resolver el problema de asignar proposiciones

“verdadero-falso” a cada número entero, ha generalizado su noción de función.

Algunos de los resultados de investigaciones llevadas a cabo bajo este paradigma

(Dubinsky, 1992) dan cuenta que los alumnos:

Asocian el concepto de función con un proceso calculatorio, es decir, con una

manipulación de variables.

Confunden el proceso de construir un conjunto de pares ordenados con la

función misma.

Consideran que una función debe ser definida por un algoritmo relativamente

simple, es decir, se rechaza la idea de una función definida arbitrariamente.

Requieren de una regla bien definida que puedan expresar mediante un gráfico o

fórmula.

Creen que gráficas discontinuas representan varias funciones.

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Generan gran dependencia con los símbolos algebraicos utilizados, es decir,

consideran que:

no es lo mismo que ( ) 2 1f x x= + ( ) 2 1f t t= +

Consideran que dos funciones no pueden ser iguales si están definidas por

distintas expresiones, aunque observen que dan los mismos valores para todo el

dominio.

Poseen, en general una concepción de función en tanto proceso por sobre la de

objeto, requiriéndose una concepción de función en tanto objeto que permita

que otro procedimiento actúe a su vez sobre él.

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( ) 2 3f x x= +

(1) 2.1 3 5f = + =

'( ) 2f x =

1 1 3( )

2 2− = −f x x

Por tanto, concluyen que existen dificultades en el pasaje de la función vista

como ““pprroocceessoo”” y la función vista como ““eennttiiddaadd ccoonncceeppttuuaall uu oobbjjeettoo””,, siendo el tiempo y

la motivación factores importantes para lograr este pasaje. Para mayor información

sobre las investigaciones enmarcadas en este acercamiento teórico puede consultarse

la página web (http://trident.mcs.kent.edu/%7eedd/publications.html) en la cual se

encuentran varios artículos que en los últimos años ha producido el grupo RUMEC

y que dan cuenta de algunos interesantes resultados en la implementación de cursos

que utilizan el ciclo ACE (actividades con computadoras, en clase y teóricas)

respecto a este tema. El alumno puede reflexionar sobre el concepto, describirlo, invertir los pasos de la transformación. Es una concepción de función dinámica.

Función

concepción de función estática

El alumno es capaz deevaluar en puntos específicos o de manipular la fórmula.

el alumno reflexiona sobre lasoperaciones aplicadas a un procesoen particular, toma conciencia delproceso como un todo.

Esquema de las etapas para el caso de función

http://trident.mcs.kent.edu/%7eedd/publications.html


Representaciones semióticas y articulación de registros

La formación del pensamiento científico, particularmente en matemática, está

íntimamente ligado al desarrollo de simbolismos específicos para representar a los

objetos y a sus relaciones, por tanto, el progreso de los conocimientos implica la

creación y el desarrollo de sistemas semióticos nuevos y específicos.

Para encarar este hecho Duval (1999) desarrolla los conceptos de representación

semiótica y de articulación de registros. Delimita entonces que las representaciones

semióticas, como producciones constituidas por el empleo de símbolos, son relativas

a un sistema particular de signos (lenguaje, escritura algebraica, gráficos cartesianos,

etc.) las cuales pueden ser convertidas en representaciones “equivalentes” en otros

sistemas semióticos. Tales sistemas deben permitir el cumplimiento de las tres

actividades cognitivas inherentes a toda representación, es decir, la formación de

representaciones en un registro semiótico particular, así como las dos actividades

ligadas a la propiedad fundamental de toda representación semiótica, su

transformabilidad en otras representaciones que conserven todo el contenido de la

representación inicial o una parte del mismo. Esta última abarca tanto la

transformación de las representaciones de un objeto en un mismo registro,

denominado tratamiento, como de un registro a otro, la conversión.

La formación de representaciones en un registro semiótico particular, es decir, la

construcción de una marca o conjunto de marcas perceptibles e identificables como

una representación de alguna cosa en un sistema determinado, permite expresar una

representación mental o evocar un objeto. Esta actividad implica siempre una

selección en el conjunto de los caracteres y la utilización de signos para actualizar la

mirada de un objeto o para sustituir la visión del mismo. Por otra parte, requiere el

respeto de las reglas propias del sistema empleado, las llamadas “reglas de

conformidad”, las cuales definen un sistema de representación y, en consecuencia,

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las unidades constitutivas de todas las representaciones posibles de un registro. Estas

reglas se refieren a:

La determinación de unidades elementales (símbolos, vocabulario, etc.)

Las combinaciones admisibles de las unidades elementales para formar unidades

de nivel superior (reglas de formación de un sistema formal, gramática de la

lengua, etc.)

Las condiciones para que una representación de orden superior sea una

producción pertinente y completa (reglas canónicas de un género literario, etc.)

Respecto a las dos actividades ligadas a la propiedad fundamental de toda

representación semiótica, su transformabilidad en otras representaciones,

hablaremos en primer término del tratamiento considerándolo como aquella actividad

cognitiva que transforma las representaciones de algún objeto en el mismo registro.

Es una transformación interna al registro de representación que se realiza de acuerdo

con las reglas propias al sistema, llamadas “reglas de expansión”, para obtener otras

representaciones que pueden constituir una ganancia de conocimientos en

comparación con las representaciones iniciales.

En segunda instancia, consideramos a la conversión como aquella actividad

cognitiva que consiste en transformar las representaciones producidas en un sistema

de representaciones a otro, de tal manera que éstas últimas permitan explicitar otras

significaciones relativas a aquello que es representado. Es, por tanto, una

transformación externa al registro de la representación inicial constituyéndose en la

actividad cognitiva menos espontánea y más difícil de adquirir para la mayoría de los

alumnos.

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2( ) 2f x x x= + −

( ) ( 1)( 2 )f x x x= − +

RReepprreesseennttaacciióónn iiddeennttiiffiiccaabbllee (lenguaje específico):

Esquema de un registro de representación semiótica

Registro de representación

TTrraannssffoorrmmaacciióónn iinntteerrnnaa::

TTrraannssffoorrmmaacciióónn eexxtteerrnnaa::

La coordinación de los diferentes registros de representación ligados a la

objetivación o al tratamiento de los conocimientos, no se da espontáneamente,

incluso en el transcurso de una enseñanza que movilice esta diversidad de registros.

En general, los aprendizajes se quedan como una comprensión en un solo registro lo

cual no permite ninguna transferencia. Este encerramiento resulta de una falta de

congruencia entre las representaciones del mismo objeto que provienen de sistemas

semióticos diferentes. Generalmente el pasaje espontáneo de una representación a

otra conlleva tres condiciones: la correspondencia semántica entre las unidades

significativas que la constituyen; un mismo orden posible de aprehensión de estas

unidades en las dos representaciones y la conversión de una unidad significativa en la

representación inicial en una sola unidad significativa en la representación final.

En la enseñanza de matemática, el pasaje de un registro a otro o la movilización

simultánea de varios, son fenómenos frecuentes y naturales, pero nada evidentes

para los alumnos. Éstos no reconocen un mismo objeto a través de las

representaciones que pueden darse del mismo en diferentes sistemas semióticos.

Sólo una comprensión integrativa, es decir, una comprensión fundada en la

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coordinación de los registros de representación que presupone la discriminación de

las unidades significativas de los registros, propicia tales posibilidades de

transferencia. Los objetos matemáticos tales como números, funciones, rectas, etc.

no deben ser confundidos con la representación que se les hace, es decir, con la

escritura decimal, símbolos, gráficas, etc. ya que no puede existir comprensión en

matemática si no se distingue un objeto de su representación. Es esencial entonces,

para la actividad matemática, poder movilizar varios registros en el curso de una

misma acción, o bien poder elegir un registro de otro. En la fase de aprendizaje, la

articulación de registros simbólicos juega un papel fundamental en la

conceptualización.

Es así que el análisis del desarrollo de los conocimientos y de los obstáculos en el

aprendizaje enfrenta tres fenómenos estrechamente ligados:

La diversificación de los registros de representación semiótica, pues cada registro

plantea preguntas específicas sobre aprendizaje las cuales son muy diferentes

entre sí.

La diferenciación entre representante y representado o al menos entre forma y

contenido de una representación semiótica.

La coordinación entre los diferentes registros de representación semiótica

disponibles, pues el conocimiento de las reglas de correspondencia entre dos

registros distintos no es suficiente para que puedan ser movilizados y utilizados

conjuntamente.

Según entendemos, lograr un aprendizaje en este acercamiento teórico podría

esquematizarse, para el caso de la función cuadrática, de la siguiente manera:

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Tratamiento de la representación (Transformación interna)

Marcan unidades significativas en cada registro Indican la conversión de la unidad significativa elegida

2( ) 2f x x x= + −

( ) ( 1)( 2)f x x x= − +

Registro gráfico Registro numérico

Registro del lenguaje natural

“El cuadrado de un número más el mismo número menos dos”

Registro algebraico

x f(x) -2 0 0 -2 1 0

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Formación de la representación

Conversión de la representación

Esquema de la articulación de registros semióticos para el caso de función cuadrática

Los trabajos en torno al aprendizaje del concepto de función son numerosos y

los resultados de estas investigaciones concordantes. Se han hallado no sólo

dificultades para articular los diferentes registros simbólicos y las representaciones en

cada uno de ellos de la noción de función, sino también, en la conversión de un

registro a otro y en el trabajo dentro de un mismo registro. Las investigaciones

señalan a los hábitos de la enseñanza tradicional como causas de las dificultades

cognitivas mencionadas, pues el gran predominio que en ella se otorga al registro

algebraico y el status infra-matemático asignado al registro gráfico, impiden al

estudiante lograr flexibilidad en el pasaje de uno a otro (Artigue, 1995).

La utilización de calculadoras graficadoras o de computadoras personales en la

enseñanza, debido a que permiten al alumno acceder a distintos registros de

representación por medio de ventanas múltiples, ha alentado la realización de

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investigaciones orientadas al estudio de las dificultades y las posibilidades que

realmente ofrecen estas herramientas. Algunas evidencias sugieren que el uso de

calculadoras graficadoras ayuda a desarrollar una comprensión más global del

concepto de función pues permite visualizar sus gráficas y establecer relaciones entre

éstas y las funciones correspondientes. A su vez, los registros gráfico y numérico

adquieren un nuevo status, pues los alumnos comprenden que los problemas

algebraicos se pueden resolver gráfica o numéricamente tan bien como con la

manipulación algebraica (Mirón, 2000). Por otro lado, entre algunas concepciones

erróneas que se han reportado como producidas por el manejo de estas

herramientas, figuran la creencia que el rango de la ventana es el dominio de la

función o que siempre existe una asíntota en los puntos donde la función no está

definida, consideraciones éstas que alertan sobre la necesidad de asumir una postura

racional y crítica frente a la existencia de herramientas tecnológicas diseñadas y

factibles de ser incorporadas a la enseñanza (Penglase & Arnold, 1996).

Dialéctica Herramienta – Objeto y Juego de contextos

Douady (1986; 1995; 1996), mediante su constructo teórico “dialéctica herramienta-

objeto, y juegos de marcos o contextos” (cadres) propone un acercamiento a la comprensión

de las implicaciones y significados de aprender en situación escolar y a los factores

puestos en juego en tal situación. Su interés se centra en el aprendizaje en el aula,

poniendo el acento, por tanto, en el análisis de la microsociedad conformada por el

alumno, el docente y el saber matemático.

La dialéctica herramienta-objeto es un proceso cíclico que organiza los papeles

del profesor y del alumno, en el transcurso del cual los conceptos matemáticos

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juegan alternativamente el papel de “herramienta” para resolver el problema y de

“objeto” al tomar un lugar en la construcción de un conocimiento organizado.

Es necesario, para comprender estas nociones, ahondar un poco en el

significado que se le confiere, fundamentalmente, a “un saber matemático” a

“aprender” y a “enseñar”. Así, se considera que un saber matemático responde a dos

aspectos, por un lado, la capacidad de disponer de ciertas nociones y teoremas

matemáticos para resolver problemas, e interpretar y plantear nuevos interrogantes o

situaciones. Esto conlleva la generación y establecimiento de relaciones entre las

nociones expresadas en la situación y movilizadas para la resolución de la misma. En

este sentido, las nociones o teoremas tienen un status de herramienta, inscritas en un

contexto bajo la acción y el control de un individuo o grupo en un momento dado.

Un alumno puede recurrir a una herramienta implícita o explícitamente. Lo hace de

manera implícita cuando pone en juego concepciones que le permiten utilizar un

procedimiento cuya justificación hace referencia a nociones que sabe formular o que

expresa únicamente en términos de acciones en un contexto particular, en tanto que

recurre a una herramienta explícita cuando emplea nociones que puede formular y

justificar su uso.

Por otro lado, el saber matemático implica el reconocimiento de nociones y

teoremas como integrantes de un cuerpo de conceptos científica y socialmente

reconocido, así como también, la formulación dentro del mismo de definiciones y el

enunciado y demostración de teoremas, adquiriendo en este momento el status de

objeto. Cobra importancia en esta instancia la descontextualización,

despersonalización y atemporalidad de las nociones, es decir, el formularlas de la

manera más general posible para integrarlas así al cuerpo de conocimientos

científicos ya establecido. Por tanto, un saber constituido en objeto, permite

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organizar mejor alguna rama de la matemática o las ideas y concepciones que posea

un individuo o simplemente el hecho de su comunicación.

Decimos entonces que un concepto tiene el status de herramienta cuando

nuestro interés en él se centra en la utilidad que nos brinda para resolver un

problema, en tanto que deviene en objeto cuando lo entendemos como un ente

cultural insertado en una estructura más robusta, el saber erudito socialmente

validado.

Se considera que un individuo aprende mediante una actividad intelectual la cual

traerá aparejado la disponibilidad de un saber con su doble status de herramienta y

de objeto. En tanto que un profesor enseña cuando crea las condiciones que

producen, a la larga, en el alumno un saber. Se habla de una dialéctica herramienta–

objeto en el sentido que las nociones pueden ser abordadas, modificadas y trabajadas

en las situaciones propuestas a los alumnos derivando posteriormente en nuevos

conceptos que son, a su vez, susceptibles de ser abordados, modificados, trabajados

y generalizados en un interjuego dinámico y espiralado. Cobra importancia entonces

la expresión del problema en un determinado contexto, con toda la complejidad del

manejo del simbolismo que esto trae aparejado, y la posibilidad de ser traducido a

otro que posibilite y enriquezca su estudio. Se entiende que un contexto está

constituido por los objetos de una rama de la matemática, de las relaciones entre

ellos y de las imágenes mentales asociadas con los objetos y relaciones. Se

constituyen en contextos matemáticos, por tanto, el numérico, el gráfico, el

algebraico, el icónico, entre otros.

La posibilidad que el alumno interactúe con varios contextos, es decir, juegue

con un cambio de contexto en la resolución de un problema, ya sea este hecho

espontáneo o provocado por el profesor u otro alumno, facilita el abordaje del

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problema, permite avanzar en la resolución del mismo y por tanto interviene en la

evolución de los conceptos implicados. La dialéctica herramienta-objeto produce

significados, en tanto que los juegos de contextos son fuente de desequilibrios y la

reequilibración de aprendizajes.

Un contexto es algo dinámico, en él la familiaridad y la experiencia pueden

conducir a conflictos entre lo que se espera y lo que se produce efectivamente y por

tanto a la génesis de nuevas imágenes o a su evolución. El cambio de contexto a su

vez, es un medio para obtener formulaciones y acercamientos diferentes a un

problema, permitiendo acceder y atacar desde otro ángulo las dificultades

encontradas y poner en acción otro tipo de herramientas. En un cambio de contexto

se pueden distinguir tres fases:

La transferencia e interpretación, pues los alumnos son enfrentados a un

problema formulado en un cierto contexto. Sus experiencias, habilidades, análisis

del enunciado los conduce a la traducción del mismo a otros contextos y a la

interpretación en éste de algunas cuestiones, poniendo en acción una

correspondencia entre contextos diferentes.

Las correspondencias imperfectas entre contextos debido a razones matemáticas

o a conocimientos insuficientes. La situación que se le proponga al alumno debe

ser fuente de desequilibrio.

La mejora de las correspondencias y progreso del conocimiento ya que el juego y

comunicación entre contextos es un factor de reequilibración.

Por último, se dice que un alumno ha adquirido un saber matemático cuando es

capaz de provocar su funcionamiento como herramienta explícita en la resolución de

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un problema además de ser capaz de adaptarla cuando las condiciones habituales de

su empleo no son exactamente satisfechas para plantear cuestiones en torno al

problema.

Hallar la longitud de los lados de un rectángulo para que su área

sea la máxima posible ( ) (1 )A x x x= −

Las nociones de función cuadrática resultan “útiles” para resolver este problema

Es la noción de “máximo” que estamos construyendo,

es aquello que deseamos incorporar a la estructura de

conocimientos

Esquema herramienta – objeto para el caso de función

Una de las experiencias realizadas por Douady gira en torno de la manipulación

de expresiones algebraicas, esto es la factorización y desarrollo de funciones

polinómicas en el contexto analítico, el estudio de la representación gráfica y de sus

propiedades en el contexto gráfico, y por último, cálculos, operaciones y evaluación

de funciones en el marco numérico. El problema planteado en el contexto gráfico,

involucra a su vez varios contextos que los estudiantes tienen que poner en acción

para la resolución del mismo. Se categorizan las herramientas que se desean entren

en juego en conceptuales y tecnológicas. Entre las primeras, considera las nociones

subyacentes a las competencias que se presuponen como herramientas explícitas, por

ejemplo, expresar como producto de factores y otras de índole implícita como el

teorema “un producto de factores se anula si uno de los factores es cero”. Entre las

herramientas tecnológicas, se mencionan, tanto el método de trabajo (sustitución de

literales por valores en una expresión algebraica) como la calculadora como elemento

para la obtención de coordenadas de diferentes puntos.

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La situación de aprendizaje1 que se propone dista de tratarse de una simple

aplicación de nociones o métodos conocidos, es decir, que con los conocimientos

que los estudiantes poseen no pueden solucionar completamente el problema. Por

ejemplo, una idea subyacente a la actividad propuesta en Douady (1995), es la de

función, la cual no es conocida aun por los alumnos, o puede suceder que el

estudiante disponga de esta noción en otro contexto pero tiene dificultades para

adaptarla al nuevo.

Por tanto, los objetos de enseñanza, aquello que se espera que el alumno aprenda

y retenga, son herramientas adaptadas a la resolución del problema propuesto, el cual

debe estar planteado en más de un contexto.

Los resultados de diversas investigaciones en este marco, alrededor del concepto

de función, dan cuenta de la existencia de dificultades para considerar a las funciones

como herramientas en el trabajo matemático y, de forma más notoria, para traducir

al contexto de funciones aquellos problemas que han sido planteados en otros

contextos matemáticos tales como el numérico, el geométrico, o externos a la

matemática y que requieren de tal traducción para ser resueltos.

( ) 2 1f x x= +

LLeenngguuaajjee nnuumméérriiccoo::

x f(x) 0 1 1 3

LLeenngguuaajjee ggrrááffiiccoo::

LLeenngguuaajjee aallggeebbrraaiiccoo::

Esquema de juego de contextos

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1 Hace referencia no sólo al instrumento diseñado para propiciar el aprendizaje sino también a las interacciones que su aplicación en el aula provoca, por tanto a la gestión de las distintas variables.


Obstáculos epistemológicos y actos de entendimiento

Sierspinska (1992), reflexiona sobre el significado de aprender y comprender un

concepto estableciendo que sólo cuando somos capaces de establecer lo que es y no

es un objeto, cuando hemos visto ejemplos y contraejemplos del mismo, cuando

podemos establecer relaciones y analogías con otros que nos son familiares, cuando

lo caracterizamos dentro de una teoría, es que podemos considerar que hemos

entendido algo acerca de ese objeto. Cobra importancia entonces, en el proceso de

aprendizaje y construcción de matemática, los “saltos” y discontinuidades, con sus

avances, retrocesos y estancamientos, siendo estos indicativos de cambios en la

manera de conocer y relacionar conceptos, dejándose de lado así, la concepción que,

sobre el progreso continuo y seguro facilitado por el docente, ha seguido la didáctica

tradicional. Podemos observar estos “saltos” de dos maneras complementarias: una

es contemplar nuestro viejo modo de conocer, observar qué cosas ponemos en

juego para aprender, es decir, mirar los obstáculos epistemológicos y la otra es, en

lugar de observar los errores del pasado, mirar hacia delante en términos de nuevas

maneras de aprender.

Para este acercamiento teórico, un “acto de entendimiento” implicará superar una

dificultad u obstáculo y esto se dará en la medida que formemos una imagen del

concepto. Poner atención en ambos actos, es decir, en superar un obstáculo y en

comprender, nos permitirá ir construyendo el significado de “comprender en

matemática”.

Por lo establecido anteriormente, cobran relevancia los “obstáculos epistemológicos”

pues son inherentes a los conceptos y no así a las particularidades de las maneras de

enseñar, y además, por ser propios de la construcción de una cultura y ser obstáculos

objetivos para nuevos modos de conocer.

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En el surgimiento de los obstáculos epistemológicos se pueden distinguir tres

niveles: el primero inherente a las actitudes, creencias, convicciones, todas ellas

debidas a una visión particular del mundo, el segundo debido a los esquemas de

pensamiento, de abordar problemas, de interpretar situaciones, siendo aprendidos

por imitación y práctica en el proceso de socialización y educación; y por último

debido al conocimiento técnico, cuyo valor o validez se asienta en criterios mas

racionales de consistencia, aplicabilidad y tipo de relaciones con sistemas de

conocimiento socialmente calificados como científicos. Estos tres niveles no son

independientes, por ejemplo, nuestras creencias y conocimientos tiñen nuestros

esquemas de pensamiento pues nos dan tópicos o maneras de investigar y aprender

pero a la vez, son nuestros esquemas de pensamiento y su desarrollo los que nos

permiten cambiar nuestras creencias. Así mismo, nuestras creencias y esquemas

inconscientes de enseñanza, pueden actuar como obstáculos para el nivel técnico, es

decir, para la adquisición de conocimientos validados por la sociedad como

científicos. Sin embargo, podremos superar un obstáculo en la medida que seamos

capaces de tomar distancia de nuestras creencias y esquemas de pensamiento,

cuando veamos sus consecuencias y seamos capaces de considerar otros puntos de

vista. Estas consideraciones no quitan el que una creencia o esquema de

pensamiento pueda ser un facilitador del abordaje de cierto problema o a la hora de

interpretar una situación.

Vemos entonces, que este acercamiento hacia la comprensión en matemática

confiere relevancia al rol del obstáculo epistemológico, considerando que no debe

ser evitado en la práctica docente, sino enfrentado proporcionándole al alumno los

elementos necesarios para superarlo. Para aprender se debe ir en contra de lo que ya

se conoce, en contra de creencias y preconcepciones. Aparece así, como importante,

la idea de procesos de aprendizaje o cognitivos en forma espiralada y no circular.

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Esquema obstáculo epistemológico/acto de entendimiento

Obstáculo Epistemológ co

cto de Entendimiento

Por su parte, Sierpinska (1992) considera que existen cuatro categorías en los

actos de entendimiento. El primero sería la identificación de un objeto entre otros. El

resultado de este acto es que algo que hasta entonces era una experiencia, aparece

como la principal imagen del objeto, percibido ahora como algo digno de nuestro

interés y estudio. Frecuentemente tenemos que darle un nombre o si ya lo tiene, el

mismo gana en nuestra mente el status de un término científico. La discriminación

entre dos objetos es otra de las categorías consideradas. Ésta trae aparejado nuestro

conocimiento de la existencia de dos objetos distintos, empezamos a notar no sólo

las diferencias entre ellos sino también sus propiedades relevantes. Por otro lado, la

generalización conduce al conocimiento de las posibilidades de extender el rango de

aplicaciones, algunas suposiciones resultan ser irrelevantes y se descubren nuevas

posibilidades de interpretación, en tanto que la síntesis es la percepción de ligas entre

hechos aislados, propiedades, relaciones, objetos, etc. que son organizados en un

todo consistente. Por último, Sierpinska considera que usar un concepto es una

condición necesaria para que ocurra un acto de entendimiento.

Bajo esta perspectiva del significado de aprender y comprender conceptos, y

enfocándonos particularmente en el de función, adquiere relevancia el conocimiento

y explicitación de las distintas concepciones que sobre función se encuentran en los

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actores del sistema educativo, así como también detectar dificultades propias de su

desarrollo y devenir en un objeto a ser enseñado.

Pensar en el concepto “función” para algunos implicará evocar la definición

formal como una relación especial entre conjuntos de puntos, es decir, pensar en una

regla que asigna a elementos de un determinado conjunto un único elemento de

otro, habrá quienes recordarán una relación entre magnitudes que varían, otros en

cambio, imaginarán relaciones entre las coordenadas de puntos en un sistema de

coordenadas o en una expresión. Cada uno de estos acercamientos al concepto

involucra una concepción distinta, y por tanto una manera de pensarla diferente, en

el primer caso implicaría una correspondencia numérica, en el segundo un

acercamiento a concepciones de predicción y por último una imagen más estática de

asignación de puntos.

Por otra parte, para Sierpinska, los actos de entendimiento más relevantes para el

concepto de función consisten en la identificación de cambios observados a nuestro

alrededor como un problema práctico a resolver, así como también, el

reconocimiento de regularidades en las relaciones entre cambios como una manera

de estudiarlos. Ignorarlos como condiciones necesarias para el desarrollo de la

noción de función, conllevaría enfrentar un obstáculo epistemológico, relativo a la

filosofía de la matemática, respecto a considerar que los problemas prácticos no

conciernen a esta disciplina. Esto desconocería lo sucedido en la historia, pues las

funciones aparecieron como herramientas para predecir y describir fenómenos de la

naturaleza. Por otro lado, considera que el desarrollo de una fuerte creencia en el

poder de las operaciones formales con expresiones algebraicas y la creencia que sólo

las relaciones que pueden expresarse mediante una fórmula analítica son funciones

constituyen otro obstáculo. En tanto que, discriminar entre la función y las

herramientas analíticas utilizadas para describir una ley implicaría un acto de

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entendimiento. Además, establece que la definición es una descripción del objeto

conocido a través de los sentidos. La definición no determina al objeto, sino el

objeto a la definición. Superar este obstáculo requeriría la capacidad de discriminar

entre una definición matemática y la descripción del objeto, es decir, hacer una

síntesis de la concepción general de función como objeto. Sierpinska realiza un

exhaustivo e interesante análisis de dificultades, obstáculos, quiebres en las

concepciones y cambios de paradigmas a lo largo de la historia y dentro del salón de

clases, para cuyo conocimiento se remite al lector al artículo (Sierpinska, 1992).

Pensamiento y lenguaje variacional

La línea de investigación desarrollada por (Cantoral & Farfán, 1998) denominada

“pensamiento y lenguaje variacional” se nutre y da sentido al acercamiento socio-

epistemológico que dichos investigadores conjuntamente con Cordero (1999)

proponen como paradigma dentro de la Matemática Educativa. Consideran

fundamental incorporar, en la investigación, los cuatro pilares en la construcción del

conocimiento: su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos

cognitivos que involucra y su transmisión mediante la enseñanza, con una

aproximación sistémica. Es por tanto una de sus inquietudes encarar la articulación

entre la investigación y las prácticas sociales que dan sentido a la matemática en el

aula.

Este acercamiento además de considerar y analizar los aportes de otras

disciplinas o escuelas de pensamiento en cuanto al significado de aprender, así como

también a las prácticas de enseñanza, es decir aquello relativo a los aspectos

cognitivos y didácticos, y a los del saber en sí, incorpora con claridad las prácticas

sociales de referencia y la construcción social del conocimiento en su deseo de

31


comprender, a cabalidad, las prácticas involucradas en un sistema didáctico sin dejar

de lado el análisis de la transmisión de los saberes como modos culturales inmersos

en un contexto social, es decir, despegándose de la visión que estudiar matemática

significa sólo apropiarse de nociones para acercarse a la idea de mirar a esta

disciplina como una práctica social, al hombre haciendo matemática en un tiempo,

una sociedad y cultura particulares.

En general sus trabajos no se enfocan en una noción matemática en particular,

sino en una visión mas global del proceso que la tiene como integrante, por ejemplo,

en el trabajo de Soto (1988) en el cual se explora la sensibilidad para enfrentarse a la

contradicción de un grupo de estudiantes, valiéndose de la correspondencia que

sostuvieron matemáticos como Euler, Bernoulli y Leibniz, alrededor de los

logaritmos de números negativos, se perciben confusiones y concepciones

particulares respecto a la noción de función, de entre las más significativas destacan:

la falta de sentido respecto tanto a la noción de dominio como a la de función

inversa, las que son utilizadas sin mayor reflexión. En el trabajo de Saldaña (1988) se

presenta un estudio sobre noción y concepto mediante la construcción histórica de la

Esquema de pensamiento y lenguaje variacional

Dimensión sociocultural

NNaattuurraalleezzaa eeppiisstteemmoollóóggiiccaa

PPllaannoo ccooggnniittiivvoo

MMooddooss ddee ttrraannssmmiissiióónn vvííaa llaa eennsseeññaannzzaa

32


determinación y cálculo de áreas y su vinculación con el concepto de integración,

prestando atención a la aparición de la constante de integración para la resolución de

integrales indefinidas, incursionándose también en el mismo, sobre la noción que

nos interesa analizar en este trabajo. Alanís (1996) y Ocampo (1992) constituyen

otros ejemplos de este acercamiento, en los cuales surge la necesidad de contemplar

la noción de función pese a que sus intereses están, para el primer caso, en el

rediseño de un curso de cálculo en el cual las nociones matemáticas sean vistas como

la herramientas que se requieren para abordar problemas y no sólo como objetos de

un saber ya constituido, buscando así, favorecer los aprendizajes deseados; en tanto

que, para el segundo, radican en las concepciones que poseen los profesores en

ejercicio sobre el concepto de límite y su aplicación en la comprensión de la derivada

atendiendo con particular interés el aspecto gráfico. Entre las conclusiones que

Ocampo reporta se encuentra evidencia de la pobreza en el manejo de funciones en

el contexto gráfico lo cual, según este investigador, da origen a la no generalización

del concepto de límite y de derivada. Alanís, en cambio, estructura su curso tomando

como eje la cinemática y en la aplicación de sus diseños de situaciones percibe, por

ejemplo, que no se reconoce que la gráfica de una función lineal es una recta pues no

les ha sido presentada desde la típica expresión . y mx b= +

Son varios los trabajos desarrollados por este grupo que nos aportan resultados

sobre el concepto de función. Particular interés tuvimos en los aportes de Melchor

Ceballos (1996) quien desarrolla una propuesta de acercamiento a esta noción a

partir de la proporción, y en los de Quiróz (1989) cuya propuesta didáctica se enfoca

en el desarrollo de un lenguaje gráfico para dotar de significado y propiciar la fluidez

entre los lenguajes gráfico y analítico. En este trabajo se abordan las dificultades ya

reportadas por Dreyfus & Eisenberg (1987) respecto a transformaciones tales como,

desde f(x) hallar f(x)+h, o f(x+h) o kf(x) o f(kx) entre otras, así como también, la

33


construcción de la gráfica de ciertas funciones desde otras dadas como prototipos,

tal el caso de f(x) = x, o de f(x) = ex.

Por su parte Rivera (1996) observa el efecto que produce en docentes el

proponer situaciones didácticas en un ambiente de calculadoras graficadoras,

respecto a su acercamiento a la matemática y a su enseñanza. Para ello toma la

resolución de desigualdades en las cuales el concepto de función se permea y permite

inferir lo distante que los docentes están de manipular con soltura el contexto

gráfico, así como también lo restringido de su universo gráfico. Así, varios son los

trabajos, de este corte, que aportan elementos para la caracterización de la

problemática de la enseñanza de funciones.

Para Farfán (1992), entre las causas que hacen de la función uno de los

conceptos matemáticos más difíciles de dominar y enseñar en la escuela, se

encuentran las diversas concepciones y las múltiples representaciones de ésta,

potenciadas por el hecho que la enseñanza tiende a sobrevalorar la algoritmización y

los métodos analíticos por encima del desarrollo de habilidades propias del

pensamiento matemático. Evidencia de ello se encuentra en (Melchor, 1996), donde

se reporta que los estudiantes están inhibidos de utilizar argumentos gráficos, como

herramienta auxiliar para resolver problemas, lo cual puede atribuirse al hecho de

que el manejo de la visualización gráfica no se considera en el discurso matemático escolar

del Nivel Medio Superior. Además, la apropiación del conocimiento no se lleva a

cabo, en general, a partir de la definición conceptual sino desde una severa acción

algorítmica propiciada por los docentes en el salón de clases. Por tanto se considera

que esta algoritmia se refleja como un obstáculo en la apropiación de conocimiento

en los estudiantes.

34


En el “raconto” de investigaciones presentadas en las Reuniones

Centroamericana y del Caribe sobre la formación de profesores e Investigación en

Matemática Educativa, realizadas entre 1986 y 1992, Farfán (1992) logra vislumbrar

dos vertientes en los proyectos que abordan el concepto de función: por un lado,

aquellos que se interesan por estudiar los mecanismos que operan la transferencia

entre los contextos gráficos/analíticos, en ambientes adhoc, tal el caso de (Quiróz,

1989) donde se presenta un curso de precálculo que propone transitar del lenguaje

algebraico al gráfico y viceversa; y por otro lado, aquellos que incursionan en el uso

de tecnología partiendo de las distintas representaciones y de su estudio. Sin

embargo, considera que en ambos enfoques se percibe una intencionalidad por

incorporar al discurso matemático escolar aquellos elementos que permitieron la

génesis de los conocimientos, aquellos que consolidaron su construcción y

transmisión, tales como la visualización, la predicción, el reconocimiento de

patrones, la analogía, la inducción entre otros, y que están ausentes en la didáctica

actual.

En este sentido, consideran relevante la adquisición y el manejo de un lenguaje

gráfico que fundamentalmente posibilite la transferencia entre contextos

virtualmente ajenos, logrando un pasaje fluido y una identificación de significantes

entre los lenguajes algebraico y gráfico.

Podemos finalmente, puntualizar varios de los resultados que, a lo largo de más

de diez años de existencia, este grupo ha producido en torno a la noción de función.

El concepto de función devino protagónico hasta que se le concibe como

fórmula y con ello la integración de dos dominios de representación: el álgebra y

la geometría. Su desarrollo se ha producido prácticamente a la par del humano ya

que se encuentra presente en las correspondencias entre cantidades trabajadas en

35


la antigüedad hasta los debates actuales, tanto en el ámbito de la comunidad de

matemáticos como en su incorporación y presencia en la currícula actual

(Cantoral & Farfán, 1998).

Su complejidad se refleja en las diversas concepciones y representaciones con las

que tratan los estudiantes y profesores.

La enseñanza sobrevalora los aspectos formales y algorítmicos ambos, en

general, desprovistos de significados para el estudiante, lo cual redunda en la

construcción de un universo restringido de formas gráficas y expresiones

analíticas en la cultura áulica y por tanto en los saberes de los estudiantes y

profesores. Se dejan de lado, por tanto, las argumentaciones visuales y los

enfoques numéricos, entre otras causas por no ser considerados como

procedimientos matemáticamente válidos.

Se requiere una concepción de función en tanto objeto que permita que otro

procedimiento actúe a su vez sobre él, añadiéndosele un manejo eficiente de

formas gráficas extenso y rico en significados.

Impera la concepción de función en tanto proceso por sobre la de objeto.

Aparece entonces el interrogante: ¿Qué significa operar un proceso? Esto

constituye un verdadero obstáculo para la apropiación de significados de

nociones más complejas del pensamiento matemático avanzado, tal como

derivadas, integrales, etc. para cuya construcción se requiere realizar acciones

sobre funciones, por lo que su status de objeto debe estar consolidado en el

estudiante.

36


La ausencia de transferencia entre los contextos gráfico y analítico, propiciado

por los modos de comunicación de conocimiento en la enseñanza, impide un

estudio cualitativo global por parte de los estudiantes.

Se perciben en estos resultados la visión sistémica que desarrolla este paradigma

pues en los puntos considerados observamos la presencia de aspectos socio-

culturales, cognitivos, didácticos y epistemológicos aunados para dotar de significado

a las dificultades y distintos acercamientos respecto a la noción de función.

En su tesis doctoral, Farfán (1993) afirma que, en general, las investigaciones en

este campo se han centrado en el sujeto epistémico soslayando en cierta medida la

relación dialéctica que se establece entre éste, el objeto de estudio, el ámbito en que

se produce la acción de conocer y el instrumento cognoscitivo, todo en su completa

significación epistemológica, en tanto que la línea de investigación tendida por este

grupo intenta mirar integralmente a estos elementos, reconociendo a su vez la

presencia de una identidad, producto de la inmersión en una práctica educativa en un

sistema educativo particular, de mecanismos funcionales en la construcción de

conceptos y procesos matemáticos entre las dimensiones social e individual, así

como entre ámbitos específicos de conocimiento. En resumen, para Farfán, la

aproximación socioepistemológica es un marco para la investigación y el desarrollo del currículum

que se apoya en la teoría de situaciones, profundiza el análisis del saber incorporando en su análisis

no sólo el origen conceptual o procedimental, sino su origen social. Una cierta razón de ser que es

factible descubrir si se examinan las prácticas de referencia y las formas de su aproximación en una

cultura2.

2 Conferencia dada en la Escuela de Medicina, México, Mayo-2000.

37


A manera de conclusión

Consideramos que lo expuesto hasta ahora ha permitido percibir las ideas base

de cada lineamiento, presentados desde y para comprender los distintos resultados

reportados por los mismos en torno a la noción de función, así como también nos

confiere una visión más amplia de la problemática que abordaremos en próximos

capítulos.

El lenguaje y las inquietudes de estos acercamientos, con diferentes matices y

acentos, giran en torno de comprender y dar respuesta, con una visión científica, a la

problemática surgida de la enseñanza y aprendizaje de saberes matemáticos, cuya

estructura lógico formal y la diversidad de sus contextos y lenguajes, así como

también las variadas concepciones lo convierten en una compleja tarea.

Encontramos coincidencias en cuanto a que aprender implica apropiarse de nuevas

nociones incorporándolas a las que ya se poseen, fuente esto de múltiples conflictos

cognitivos. Al respecto, vimos que para Tall y Vinner es motivo de inconsistencias y

no adecuaciones entre las imágenes y la definición del concepto, sin embargo

consideramos que este acercamiento se centra demasiado en el contenido y en

documentar experiencias educativas, siendo un ejemplo del paradigma “empírico-

analítico” y cuya epistemología se basa en la construcción del conocimiento en el

aula, esto es, la visión de un sujeto que aprende ante un objeto a ser enseñado.

Consideramos que para estos investigadores aprender es sinónimo de superar

inconsistencias y conflictos producidos por la distancia entre las imágenes del

concepto construidas como respuesta a estímulos de distintas naturaleza y las

definiciones formales y estructura lógica presentes tanto en la matemática erudita

como en la escolar. Dubinsky, por su parte, tampoco utiliza, como fuente de

información y entendimiento de ciertos obstáculos o dificultades persistentes en los

alumnos, aspectos socio-epistemológicos, es decir le confiere poca importancia a los

38


individuos, a las herramientas y al contexto sociocultural en el cual se lleva a cabo la

actividad humana, considerando que el individuo aprende en la medida que es capaz

de construir procesos y objetos, siendo por tanto central en este acercamiento la

adquisición de “esquemas”. En este sentido, otra línea de investigación que se

desarrolla bajo el ala de lo que se ha dado en llamar un “acercamiento socioepistemológico”,

que dirige Cordero (1999) se preocupa por el papel de las herramientas en la

construcción de significados.

Duval, en cambio centra su atención en que se aprende en la medida que se

abstrae el objeto de sus representaciones, proceso en el cual adquirir

representaciones semióticas y un pasaje fluido entre ellas se torna una actividad

importante. Douady habla de objetos, en un sentido sutilmente distinto al de

Dubinsky, y de herramientas como los posibles status que pueden tener las nociones

en un individuo. Al igual que Duval, considera importante el pasaje dinámico entre

contextos, lo que denomina “juego de contextos”, siendo a la vez fundamental el

proceso dialéctico entre los objetos y las herramientas en la construcción de

significados.

A su vez, Sierpinska habla de distintas categorías de obstáculos epistemológicos

construyendo desde ellos su percepción de lo que significa aprender, esto es,

mediante la superación de los mismos en lo que ha dado en llamar “actos de

entendimiento”, produciéndose esta dinámica de forma espiralada lo cual la aleja de la

didáctica tradicional que considera que el alumno aprende de manera llana y lineal,

en la medida que el docente le evita dificultades y obstáculos, facilitándole así el

aprendizaje.

Nos adherimos entonces al acercamiento socioepistemológico, en el cual

consideramos se atienden todos los aspectos inherentes al conocimiento matemático

39


y al sujeto que aprende. Es decir, incluye y estudia los diferentes planos de lo

cognitivo desde la perspectiva de la psicología social, trabajando las ideas de Piaget,

Vygostky, Bruner, entre otros, en tanto se considera que el conocimiento

matemático se construye interactuando con una realidad. Atiende el plano de lo

didáctico, encontrando sus fuentes en la Teoría de Situaciones Didácticas de

Brousseau y en la Transposición Didáctica de Chevallard, estudiando a su vez el

discurso matemático escolar y teniendo como fin último el impactar en el sistema

educativo, estableciendo nexos y puentes entre la investigación y la realidad áulica.

No pierde de vista que la matemática es un constructo sociocultural y las prácticas de

referencia que le dan origen y vida a esta disciplina, así como también incorpora con

mayor énfasis la componente epistemológica en sus investigaciones, como una

herramienta indispensable para la comprensión de los sucesos áulicos y como una

fuente de información respecto a las dificultades y modos de superación producidos

en el desarrollo de las nociones y conceptos matemáticos, así como también de

significados que, por los procesos de comunicación se diluyen o pierden en el

tiempo. Todo esto desde una perspectiva y análisis sistémico que le confiere una

visión global del sistema didáctico, considerando a éste integrado por docente,

alumno y saberes validados para ser enseñados, que confluyen en una realidad

particular inmersos en una cultura y tiempos específicos, lo que confiere matices a

las relaciones establecidas entre los mismos.

40

CAPÍTULO 2

Ingeniería Didáctica

Como estableciéramos en el capítulo anterior, adherimos al acercamiento

socioepistemológico como paradigma y marco para nuestro trabajo y utilizaremos la

ingeniería didáctica como metodología de nuestra investigación. En este trabajo, nos

interesa establecer consistentemente las pautas para un posterior diseño de situación

didáctica en torno a la dislexia en el aprendizaje de las noción de función logaritmo

producto de la no construcción de dicho concepto en el ámbito escolar. En otras

palabras nos estamos refiriendo a la ausencia de significado que la función logaritmo

presenta en los alumnos, debido al salto que se percibe entre su introducción a la

enseñanza como una potente herramienta facilitadora de operaciones en un

acercamiento netamente aritmético y su posterior aparición en la enseñanza superior

como una función definida mediante la integración de la hipérbola equilátera.

Destinamos entonces este capítulo a discutir las ideas que sustentan la

metodología elegida para nuestro trabajo. Para ello, incursionaremos someramente

en dos teorías que se erigen como principales referentes de la ingeniería didáctica, la

Teoría de Situaciones Didácticas desarrollada por Guy Brousseau y la Teoría de la

Transposición Didáctica debida a Yves Chevallard. Así mismo, reflexionaremos

sucintamente alrededor de las características propias de la ingeniería didáctica.


Ingeniería Didáctica y Situaciones Didácticas

El término Ingeniería Didáctica, surge a principio de los años ’80, al seno de la

didáctica francesa de la matemática, debiendo su nombre a una analogía con el

trabajo del ingeniero pues no sólo se sustenta en resultados científicos, sino que

demanda la toma de decisiones y el control sobre los distintos componentes del

proceso.

Según Douady (1995), una ingeniería didáctica es un conjunto de secuencias de

clase, diseñadas, organizadas y articuladas coherentemente por un “profesor-

ingeniero”, para lograr el aprendizaje de cierto conocimiento en un grupo de

alumnos específico. Por tanto, considera que la ingeniería didáctica es, por un lado,

un “producto” que resulta de un análisis preliminar, donde se tienen en cuenta las

dimensiones cognitiva, didáctica y epistemológica del conocimiento a impartir y de

un análisis a priori en el cual se decide sobre qué variables didácticas son pertinentes y

sobre cuales se actuará, y por otro lado, un “proceso” en el cual el profesor

implementa el producto y realiza los ajustes y adaptaciones necesarias según la

dinámica de la clase lo exija. Nuestro grupo incorpora una cuarta componente, la

socio-cultural, en su búsqueda de un acercamiento sistémico a la construcción de

conocimientos, adoptando una visión socioepistemológica que las atraviesa y aúna.

Como ya expresáramos, dos son las teorías que dan sustento teórico a la

Ingeniería Didáctica, a saber, la teoría de transposición didáctica de Chevallard, y la teoría

de situaciones didácticas de Brousseau. Estas teorías surgen en una necesidad de crear

acercamientos teóricos menos simplistas que los proporcionados por otras

disciplinas como la pedagogía, la psicología, la sociología, la matemática misma,

integrando los aportes de todas ellas en un esfuerzo por crear explicaciones propias y

por tanto generar una disciplina que atienda la problemática particular que produce

42


el tratamiento de entes matemáticos en un ambiente áulico y los fenómenos

inherentes a esta actividad.

Surge entonces, la “didáctica de la matemática” como una disciplina científica,

cuyo objeto de estudio son los fenómenos ligados a la enseñanza de objetos

matemáticos vistos, en nuestro acercamiento, como productos culturales. La idea

última que guía este constructo es la de “intervenir” de manera racional en el sistema

educativo, controlando a priori el proceso y las variables puestas en juego, es decir,

conjeturando con sustento los efectos esperados y siendo dúctiles para efectuar los

cambios que sean pertinentes en tal procedimiento.

Por tanto, el objetivo de la didáctica de la matemática es explicar los fenómenos

didácticos debiendo para ello estudiar y entender la naturaleza de los sucesos

acaecidos en el salón de clases en torno a los saberes de nuestra disciplina. Se

constituye así, como fundamental, el estudio de los saberes puestos en juego y las

restricciones bajo las cuales esto tiene lugar.

Brousseau nos habla de una “génesis ficticia” de los saberes puestos en juego en el

aula con el propósito de facilitar su enseñanza, en la cual se aíslan las nociones y

propiedades de las actividades que les dieron origen, sentido, motivo y utilización.

Considera a su vez, la necesidad de retornar e incorporar en el discurso escolar, la

historia de los saberes, esto es, indagar sobre las dificultades y preguntas que

provocaron su aparición como conceptos necesarios y su evolución y uso en nuevos

problemas. No deseamos decir con esto que se incorpore el desarrollo histórico de

los conocimientos al salón de clase, sino que los saberes adquieran nuevos

significados o recuperen sus significantes iniciales, desde esta visión en la cual se los

adopta como entes socioculturales.

43


Según Chevallard (1995), el conocimiento generado por la élite de matemáticos,

no llega al aula tal y como es producido, sino que sufre un proceso que ha

denominado transposición didáctica. Siguiendo sus ideas, el “saber erudito” pasa a ser

un “saber a enseñar”, luego de ser validado por una “nooesfera” que le confiere el status

de conocimiento a ser abordado en la escuela. No se trata de una elementarización

burda del conocimiento, ni de una mera simplificación del mismo, sino por el

contrario, el producto de los ajustes didácticos que lo hace diferir del conocimiento

de origen.

A su vez, para Cantoral (1995), la palabra transponer significa poner una cosa

más allá en un sitio distinto del lugar que ocupaba. Por tanto, el término

transposición didáctica implica “transponer” un saber al ámbito escolar. Sin

embargo, los objetos destinados para ser enseñados no pueden ser analizados como

simplificaciones de objetos más complejos producidos por la sociedad científica,

sino como el resultado de ajustes didácticos, de una construcción a propósito de su

destino, lo cual les hace diferir de los saberes de referencia.

Entendemos entonces que la transposición didáctica no es caprichosa ni

voluntaria, sino producto de las restricciones que la sociedad impone a las prácticas

educativas. La primera etapa de este proceso se produce cuando el científico pone a

consideración de sus pares los resultados obtenidos en su investigación. Esto le exige

hacerlo público, es decir, quitarle su sello personal, transformarlo en un saber a ser

“comunicado”, para lo cual debe dejarlo libre de los resabios de su creación, es decir,

de sus errores, de sus caminos truncados, de sus retrocesos, para volverlo un saber

cultural, por tanto, despersonalizado, descontextualizado y atemporal, esto es, que

pueda vivir en cualquier momento. Aparece así, lo que Chevallard ha dado en llamar

el “saber sabio o erudito”. Luego, cuando este saber público entra en la escuela a través

del profesor, comienza un proceso de re-personalización, re-contextualización y

44


temporalidad de los conocimientos, es decir, se le debe dotar de intencionalidad, de

una nueva naturaleza, de otro sentido y escenario en el cual ser entendido,

interpretado y validado por los estudiantes. Cabe luego el esfuerzo de los alumnos

para redespersonalizar, redescontextualizar y reatemporalizar los conocimientos

adquiridos para ser capaces de utilizarlos en otras circunstancias, viéndolos como

saberes culturales de su época.

Polo psicológico

Polo

ped

agóg

ico

SABER – CULTURA

Contrato didáctico

Transposición didáctica Polo epistemológico

Representaciones y concepciones

Saber a enseñar

alumno profesor

Representaciones y concepciones

Esquema del sistema didáctico

Por otro lado, Guy Brousseau, desarrolla su teoría de las situaciones didácticas

reformulando ciertas ideas generadas por Piaget, y que éste plasmara en su teoría de

la equilibración, respecto a la evolución y apropiación de conocimientos por parte de

un sujeto, es decir, para explicar los mecanismos puestos en juego en el aprendizaje

de una persona. Considera que un individuo aprende en la medida que construye o

resignifica un concepto incorporándolo a su estructura cognitiva, es decir, acepta que

45


un individuo se adapta, mediante los procesos de asimilación y acomodación, a un

medio que es factor de desequilibrios y dificultades, en su proceso de construcción

del conocimiento. Para él, ... “una noción aprendida no es utilizable sino en la medida en la

que ella es relacionada con otras, esas relaciones constituyen su significación, su etiqueta, su método

de activación. Empero, no es aprendida si no es utilizable y utilizada efectivamente, es decir, sólo si

es una solución de un problema. Tales problemas, junto con las restricciones a las que la noción

responde, constituyen la significación de la noción...” (Brousseau, 1983).

Piaget, cuestiona las concepciones sobre aprendizaje manejadas por las teorías

empiristas, tan difundidas entre los docentes y la sociedad en general, para las cuales

los conocimientos provienen de la experiencia externa o interna. En este

acercamiento el discurso del profesor se “imprime” en la mente del alumno, por

tanto es de vital importancia evitar los errores, cayéndose además, en un exagerado

uso de las presentaciones ostensivas como facilitadoras del aprendizaje.

Brousseau, por su parte, replantea las ideas piagetianas pues considera que

estudiar la génesis espontánea de los conocimientos no responde completamente a

los fenómenos acaecidos en el salón de clases, donde impera una génesis ficticia

provocada para la formación de los mismos. Se considera entonces, que el

conocimiento es una construcción personal, en tanto que el saber proviene de una

elaboración cultural, siendo motivo de interés la génesis, en cuanto a su historia, del

saber.

El aprendizaje, para el constructivismo, se produce en un régimen discontinuo,

de desequilibrios provocados por la confrontación entre su estructura mental y la

realidad exterior a la que se enfrenta, para cuya comprensión estas estructuras le son

insuficientes, obligando a la búsqueda de nuevas formas de organización. Pierden

vigencia entonces las ideas empiristas de presentar el conocimiento ya estructurado

46


en pequeñas dosis, cada vez mas difíciles y complejas, para que sean adquiridas de

manera progresiva y continua.

En palabras de Brousseau:

“el alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de

dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este

saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas que son la

prueba del aprendizaje” (Brousseau, 1986, p. 48).

Esta adaptación de la que nos habla en su teoría, corresponde a la actitud del

estudiante frente a la situación didáctica propuesta, es decir, “el conocimiento proviene en

buena parte del hecho que el alumno lo adquiera en su adaptación a las situaciones didácticas que le

son propuestas” (Brousseau, 1986, p. 67). En este sentido, aparece la idea de “devolución”

del profesor al alumno, esto es, “acto por el cual el profesor hace que el alumno acepte la

responsabilidad de una situación de aprendizaje (a-didáctica) o de un problema y acepte él mismo

las consecuencias de tal transferencia” (Brousseau, 1988, p. 325).

Consideramos que la devolución es la esencia del acto de comunicación entre

profesor y alumno frente a un objeto de conocimiento, produciéndose la misma en

ambos sentidos. Así, es el acto mediante el cual el profesor le “devuelve” al alumno

la responsabilidad de su propio aprendizaje, le delega la exploración, la búsqueda, la

necesidad de hallar respuestas y de avanzar de manera tal que esto sea aceptado

quizás sin ser percibido por el mismo. A su vez el alumno, al involucrarse con el

problema y confrontar con sus pares en el proceso de acercarse al objeto de estudio

“devuelve” al profesor el papel de mediador entro los saberes sociales y los

producidos en el aula, gestionándose así el proceso de aprendizaje de ambos.

47


El docente debe proponerle al alumno, una situación que le permita dotar al

conocimiento que se desea impartir, de un significado propio y plausible de serle útil

y de que reconozca su utilidad en la resolución de otro problema. La situación

planteada debe tener por objeto que el alumno interactúe con el saber, es decir, que

actúe, formule, pruebe, construya modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que

intercambie con otros, que reconozca los que están conformes con la cultura, que

tome los que le sean útiles (Lezama, 1999).

La situación que se le proponga al alumno debe ser tal que le permita adquirir los

conocimientos que pretendemos enseñar, siendo deseable que éstos aparezcan como

una respuesta personal a la pregunta formulada y que éste sea capaz de hacerlos

funcionar o de modificarlos respondiendo a las exigencias del medio y no a las del

profesor. Se debe partir de conocimientos matemáticos que el alumno ya maneje con

soltura, pero apartándose de ellos lo suficiente como para que no le permitan dar

una respuesta inmediata a la secuencia propuesta. A su vez, la secuencia, debe ser lo

suficientemente cercana a los conceptos puestos en juego, como para que pueda

realizar acciones sobre los objetos de conocimiento propuestos y donde llegue un

momento en el que se evidencie la ineficacia de los mismos para resolver el

problema planteado.

La situación debe ser fuente de aprendizaje y en ciertas ocasiones también

criterio de validación de las estrategias puestas en juego. El profesor debe diseñar y

proponer a los alumnos situaciones con las que ellos se puedan comprometer y

aceptar la responsabilidad de resolver el problema. Organizarlas de tal manera que el

conocimiento sea planteado como un objeto de enseñanza que pueda ser adquirido

por los alumnos mediante un proceso de confrontación y argumentación, bajo su

dirección. Es decir, las situaciones deben lograr que los alumnos entren en acción y

48


que el conocimiento aparezca como la solución óptima a la misma y que sea factible

que ellos la encuentren. El problema planteado debe propiciar que el alumno

explore, conjeture, argumente, reflexione permitiendo que sus ideas maduren y

evolucionen, es decir, provocar la aparición y uso de estrategias y recursos propios.

Se considera que el alumno se ha apropiado del conocimiento, cuando es capaz

de utilizarlo fuera del contexto de enseñanza, y en momentos donde no haya

indicación intencional, denominándose a éstos, “situaciones no-didácticas”. Brousseau,

en su teoría, define: situaciones no-didácticas, ya mencionadas como aquellas

carentes de intencionalidad para enseñar; “situaciones didácticas”, que son las que se

entablan entre profesor y alumnos alrededor del saber a enseñar, dentro del aula. En

ellas se exhibe la intención de enseñar y aprender, están regidas por el contrato

didáctico, es decir, por las obligaciones implícitas que se establecen entre los actores

del sistema didáctico, esto es, en la triada docente-alumno-conocimiento. Por último,

define “situaciones a-didácticas”, como aquellas en las cuales el profesor se aparta del

escenario dejando que el alumno viva esta situación como investigador de un

problema matemático, independiente del sistema educativo (Margolinas, 1993). El

alumno es consciente de que el problema que se le plantea tiene la intención de que

aprenda un determinado conocimiento, al que debe construir respondiendo a la

lógica interna de la situación propuesta por el docente.

A su vez, Brousseau, distingue diferentes tipos de situaciones a-didácticas, que

inducen a los alumnos a transitar por diversas etapas propias de la actividad

matemática: la acción, la formulación y la validación, así como la de

institucionalización definida tiempo después.

Situación a-didáctica de acción: es aquella donde el conocimiento que ya posee el

alumno le permite actuar sobre la situación. El conocimiento matemático está

49


presente bajo la forma de un modelo implícito el cual sugiere la toma de

decisiones o el uso de algoritmos. Existe un intercambio de información no

codificada.

Surgen nociones protomatemáticas, es decir,aquellas que son utilizadas sin ser conscientes deellas, no se las reconoce como objetos de estudioni como instrumentos útiles para el estudio deotros objetos.

alumno situación

Situación a-didáctica de formulación: es aquella donde el conocimiento se intercambia

con una o varias personas a través de mensajes escritos u orales. El conocimiento

aparece bajo la forma de lenguaje, el cual permite la producción de un mensaje, el

cual a su vez permite la generación de un modelo explícito.

Surgen nociones paramatemáticas, es decir, aquellasque son utilizadas conscientemente como instrumentosútiles para el estudio de otros objetos, sin serconsideradas como objetos de estudio en sí mismas

Alumno B Alumno A

50


Situación a-didáctica de validación: es aquella donde el conocimiento es utilizado para

convencer a otra persona. El conocimiento se presenta bajo la forma de una

teoría que permite construir proposiciones y juicios

Surgen nociones matemáticas, es decir,aquellos objetos de conocimiento construidos,susceptibles de ser enseñados y utilizados enaplicaciones prácticas. Son, por lo tanto,objeto de estudio en sí mismas.

Alumno B Alumno A

Situación de institucionalización: es aquella donde el conocimiento toma la forma de

conocimiento socialmente admitido. En ella se produce el reconocimiento del

objeto de enseñanza por parte del alumno y del aprendizaje del alumno por parte

del profesor, lo cual es un fenómeno social muy importante y una fase esencial

del proceso didáctico.

r

Alumno

51

Profeso


Contrato Didáctico

Como hemos establecido, en este capítulo nos interesa estudiar y caracterizar los

fenómenos que acontecen en el aula en torno a un saber específico. Vimos que,

según Chevallard, el conocimiento que se introduce en el salón de clases se aparta

del saber erudito, creado y validado por la elite de académicos, lo suficiente como

para que sea considerado por la sociedad en general como digno de figurar en el

acervo escolar ya que se distancia de los saberes cotidianos, pero lo suficientemente

cercano al conocimiento de origen para no ser desconocido por los eruditos.

Ponderada por unos, criticada por otros, la transposición didáctica es inevitable, crea

un nuevo contexto y establece límites precisos sobre el conocimiento que interesa

dominar.

Es entonces el saber a enseñar el que ingresa en la escuela, en un ámbito social

específico donde confluyen a su vez profesores y alumnos, lo cual da lugar a

relaciones y conflictos, disfuncionamientos y contramarchas. Es, mediante

interacciones sociales que se recrea el saber y por tanto es pertinente analizarlas.

En la búsqueda por esclarecer las relaciones entre profesores y alumnos en el

ámbito escolar, retomamos la noción de “contrato pedagógico” establecida por Filloux

(1974, citado en Sarrazy, 1995). Con ella intentamos poner en evidencia la relación

oscilante establecida entre la posición seductora del profesor hacia el alumno (casi

mágica e irracional) y la racionalidad definida por el proyecto educativo,

considerando que, a su vez, determina los roles y el estatus de los profesores y

alumnos dentro de la estructura social. Este contrato pedagógico “... apunta a

reglamentar los cambios entre dos partes que toman, por un período limitado, un

sistema de derechos y de deberes recíprocos; supone el principio de un

consentimiento mutuo de las partes ya que se funda sobre el enunciado de reglas de

juego a las que cada uno debe libremente someterse...”

52


Brousseau (1988) retoma estas ideas, y construye su noción de contrato didáctico,

para explicar la relaciones de profesores y alumnos las cuales son condicionadas por

un proyecto social exterior a ambos que se les impone y que les da razón de ser. Sin

embargo, es específico de un saber, y difiere del contrato pedagógico en que es

perecedero, no estable como aquél, sino que evoluciona y se transforma a la par de

los conocimientos puestos en juego, por tanto se encuentra muy ligado a los

conceptos de medio (milieu) y de devolución, ambos ya presentados en este escrito.

Los roles de cada integrante del sistema didáctico están definidos. La

introducción de un saber, implica la construcción de situaciones de aprendizaje las

cuales exigen, en primer lugar, un análisis epistemológico para determinar las

condiciones propias de la significación de una noción matemática determinada. Los

conocimientos matemáticos tienen un estatus social establecido, y es competencia de

los alumnos apropiarse de estos saberes reconocidos por la sociedad o por grupos

sociales y utilizarlos para sí mismos. Por otra parte, el profesor de matemática tiene

una dimensión social que se impone, le compete a él lograr el buen aprendizaje de

cada alumno y asegurar la homogeneidad de la construcción de saberes y su

coherencia a nivel de toda la clase. La hipótesis constructivista sobre aprendizaje

evita recurrir a la imposición autoritaria de un saber, esta homogeneización sólo

puede, entonces, provenir de las interacciones sociales. Tal es así que, para la teoría

de situaciones, “el profesor debe entonces efectuar, no la comunicación de un conocimiento, sino la

devolución de un buen problema. Si esta devolución se opera, el alumno entra en el juego y si logra

ganar, el aprendizaje se produce” (Brousseau, 1986).

Esta dimensión social da al profesor una posición particular, es el eslabón entre

los saberes sociales y los saberes construidos en la clase. Es su responsabilidad

asegurar la regulación del funcionamiento y de las producciones intelectuales

individuales, sea por las intervenciones directas sea por la mediación de situaciones

53


específicas (Balacheff, 1988), en tanto que, es responsabilidad del alumno

comprometerse con el problema planteado, es decir, aceptar la invitación al juego

propuesto por la situación didáctica.

El alumno, en su calidad de jugador, no se interesará por un juego del cual ya

conozca todos los resultados, ni por uno en el cual no vislumbre ningún resultado

posible. La incertidumbre ligada a esta situación constituye una de las condiciones de

la devolución, y el interés en ella provendrá de su dominio y de poder anticipar los

resultados de una acción. Esta negociación de las reglas del juego permitirá

desarrollar el aprendizaje, y es el contrato didáctico quien la vuelve posible, ya que el

aprendizaje es definido como una adaptación a la situación, evidenciándose éste por

el hallazgo del alumno de la estrategia óptima, es decir, la menos costosa y la más

eficiente; por su control de la situación y la reducción de su incertidumbre. Cabe

entonces al profesor lograr que el alumno acepte el riesgo de buscar los medios para

construir su conocimiento y a la vez de absorber la angustia que tal riesgo trae

aparejado, así como también la producida por los errores y falencias en el camino

hacia el saber.

Las reglas de juego establecidas en estas relaciones sociales, teñidas por la

cultura, entre profesores y alumnos alrededor del saber a enseñar, son implícitas y

devienen importantes en sus rupturas, siendo en éstas que Brousseau considera que

se desarrolla el aprendizaje. El contrato debe garantizar la devolución, de no ser así,

se producen las rupturas y la búsqueda de nuevos contratos se torna importante. No

es único, sino que está íntimamente relacionado con la naturaleza del conocimiento

puesto en juego.

Una comunicación personal de Lezama referente a la falta de significación que

los alumnos presentan ante el concepto de función logaritmo, tema central de esta

54


tesis, nos permite dar cuenta de un ejemplo sobre ruptura de contrato didáctico.

Ante un listado de ejercicios similares cuyo objetivo era adquirir destreza y dominio

en la resolución de ecuaciones logarítmicas, los alumnos tropiezan con el siguiente

enunciado:

6 10log ( 1) log 1x x+ + =

Solucionan el primer obstáculo constituido por el “1”, procediendo de la

siguiente manera:

6 10log ( 1) log 10 logx x+ = − 10

no sin antes sostener una discusión respecto a cómo superar tal obstáculo. El

ejercicio se transforma ahora en:

6 110log ( 1) logxx

+ = 0

utilizando las relaciones y propiedades estudiadas y discutidas en clase, y realizando

las operaciones algebraicas correspondientes, logran arribar a la siguiente ecuación:

10log 6101x

x

+ =

para cuya solución se hallan indefensos, pues ignoran los algoritmos que se pueden

implementar para determinar los valores de la incógnita que satisfacen tal expresión.

Su comentario es: “el profesor se equivocó al darnos este ejercicio pues no lo

sabemos resolver, en lugar de logaritmo en base 6 debería haber puesto en base 10”.

55


La recreación de esta anécdota nos da pie a reflexionar sobre los comentarios

vertidos anteriormente respecto a contrato didáctico y sus reglas implícitas. Una de

las más características que se encuentran en la escuela es la idea que “todo problema

planteado por el profesor tiene solución y ésta debe ser la única posible”. Quebrar

esta regla, genera desconcierto en los alumnos, y por tanto argumentos en el sentido

de equívocos del docente. Sin embargo, este problema, probablemente mal copiado

por el docente responsable del curso, pone en evidencia a los alumnos las

limitaciones de los conocimientos que poseen hasta ese momento, y cuestionarse

quizás el profundizarlos.

Para Chevallard (citado en Sarrazy, 1995), el primer contrato es un contrato

social cuya fuente se sitúa en el proyecto social de enseñanza y si bien el origen de

esta contratación no existe jamás, el contrato aparece a través de los efectos que

engendra. Preexiste e instituye la relación didáctica para la reunión del profesor, el

alumno y el saber designándole a cada uno su rol. De esta manera, el contrato

didáctico define los derechos y deberes tanto de los alumnos como de los

profesores, y en esta división de tareas, reparte y limita las responsabilidades de cada

uno.

Producto de prácticas de enseñanza y aprendizaje, el contrato didáctico

evoluciona con ellas. Se modifica entonces con el progreso del conocimiento y con

la aparición de nuevas prácticas matemáticas. La negociación del contrato didáctico

en contra de las costumbres puede crear rupturas portadoras de sentido que revelen

ciertas reglas y sus relaciones con el saber. El modelo de contrato nos provee un

contexto para describir y explicar, a la vez, el carácter dinámico de las interacciones

sociales en la clase, sus relaciones con el saber y su estabilidad, su permanencia,

indispensable para el funcionamiento del sistema didáctico.

56


Obstáculos epistemológicos y variables didácticas

Consideramos central en la Teoría de Situaciones Didácticas la idea de evolución,

no sólo del alumno hacia el conocimiento del cual debe apropiarse, sino de la

situación en sí misma, del medio en el que tal fenómeno sucede. Es así, que la

situación didáctica es el escenario dinámico donde el alumno debe evolucionar,

actuar, jugar y no sólo ser un mero receptor de datos o del discurso del profesor. La

idea de medio como aquello que se coloca al alcance del alumno, ya sean objetos,

ideas, etc., que le permiten tratar con las consignas e intervenciones del profesor, con

las propuestas de sus compañeros y con el saber en sí, rompe el esquema de que sólo

se trata de una relación docente-alumno considerando, en su lugar, que entran en

juego las interacciones, la cultura, la institución, entre otros factores.

Una situación didáctica se produce cada vez que se puede caracterizar la

intención del profesor de enseñar un saber al alumno y los mecanismos socialmente

definidos que se ponen en juego. La idea es colocar al alumno en situación de

producir su propio conocimiento, luchando con los anteriores, en referencia al

problema propuesto y no a las intenciones del profesor. No se trata de que el

alumno descifre los códigos que el profesor pone en juego en el salón de clases, sino

de que asuma el problema como propio y por tanto genere un saber particular.

Esta construcción de conocimientos no está exenta de errores, contramarchas,

angustias, avances, caminos truncos, en donde juegan un papel importante no sólo

las situaciones diseñadas en torno al conocimiento, sino también las concepciones de

los alumnos, sus elecciones anteriores, los errores que la situación intenta evitar, las

formulaciones que ella propicia.

Brousseau, retomando las ideas de Bachelard, considera que: ... los errores no son

sólo efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar como se cree en las teorías empiristas o

57


conductistas, sino el efecto de un conocimiento anterior que, habiendo tenido su interés, éxito, se

revela falso o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son erráticos ni imprevisibles, se

constituyen como obstáculos ... (Brousseau, 1983, p.170).

Es decir, un obstáculo se manifiesta a través de los errores, los cuales no son

azarosos sino persistentes y reproducibles, siguen apareciendo incluso después de

trabajar sobre ellos intencionalmente en el salón de clases. Están íntimamente

ligados a maneras de conocer, a concepciones si no correctas al menos coherentes, a

conocimientos anteriores que han tenido éxito en ciertos dominios y cuya extensión

a otros es, a menudo, fuente de errores.

La superación de un obstáculo amerita trabajar sobre las interacciones repetidas,

reflexivas y dialécticas entre el alumno y el objeto de conocimiento. Por lo tanto, el

diseño de la situación que se proponga debe permitir y motivar esta dialéctica entre

el a priori y el a posteriori, entre el conocimiento y la acción, entre lo individual y lo

grupal, entre el alumno y sus pares, entre el profesor y el alumno, entre el profesor y

la clase, entre ellos y la situación.

La idea de obstáculo epistemológico tiende a sustentarse, en ciertos casos, en tres

categorías, a saber, como errores en la enseñanza; como insuficiencias en el sujeto

cognocente; y como intrínsecos al propio conocimiento. Por tanto, Brousseau (1983)

habla de sendos obstáculos de origen didáctico, ontogénico y epistemológico.

Podemos ejemplificar esta noción de obstáculo epistemológico mediante los

resultados de las investigaciones reportados por Confrey (1996) y Lezama (1999) en

torno a la comprensión de las funciones exponenciales. Ambos investigadores

coinciden en que la enseñanza de estructuras multiplicativas desde las aditivas y el

uso de las primeras para introducir la potenciación, se convierte en un obstáculo para

58


la apropiación y entendimiento de las funciones exponenciales por parte de los

alumnos. Por ejemplo, luego que los alumnos dominan la adición, se les enseña la

multiplicación, presentándola como una suma reiterada, es decir:

3+3+3+3+3 = “cinco veces tres” = 5 × 3

a su vez, se los introduce al concepto de “potenciación”, como una multiplicación

repetida, por ejemplo:

3×3×3×3×3 = “cinco veces tres” = 35

Vemos que, ante esta definición de la potenciación desde estructuras

multiplicativas, 35 significa multiplicar la “base” por sí misma tantas veces como

indique el “exponente”. Esta explicación tiene sentido para los alumnos en tanto se

trate de exponentes enteros y positivos, pues se puede traducir como “cinco veces el

tres”. Pero, ¿que significado podrán conferirle a 1

22 o 33 ? ¿Cómo calcular “media

vez el tres” o “raíz de dos veces tres”? Incluso, ¿qué sentido darle al cálculo de 20 o

de 21? ¿Qué significa multiplicar cero veces el dos o una vez el dos? Respuestas

persistentes y que se encuentran con facilidad giran en torno al 0 o al 2.

Claramente un algoritmo que les era familiar y útil, con el que tenían éxito, deja

de funcionarles al extender el dominio de validez de los exponentes. Otro tanto

sucede con los exponentes negativos, donde es frecuente encontrar respuestas del

tipo: , en la cual se percibe el uso de los procedimientos

anteriores sin dotarlos de mayor sentido.

3 ( 2)( 2)( 2) 82− = − − − = −

La superación de un obstáculo implica el diseño de acciones racionales que se

plasmen en una situación didáctica susceptible de evolucionar y de hacer evolucionar

59


al alumno mediante un proceso dialéctico que permita confrontar las concepciones

anteriores y recrear por tanto el nuevo conocimiento.

Se torna relevante, entonces, en el diseño de una situación la identificación de las

variables didácticas que se controlarán y de la gestión que sobre ellas se establecerá,

por ser éstas las que condicionan y organizan los aprendizajes de los alumnos.

Una variable didáctica es un elemento de la situación que puede ser modificado por el

maestro, y que afecta a la jerarquía de las estrategias de solución que pone en

funcionamiento el alumno (por el costo, por la validez, por la complejidad, etc.) (Brian,

1996, citado por Ruiz Higueras, 2000).

Contrato Didáctico

Control Gestión

Variable Didáctica

Acción Evolución

Situación Didáctica

Hipótesis de aprendizaje

ALUMNO

PROFESOR

SABER

Recreación del esquema de hipótesis de aprendizaje y gestión de variables didácticas (Ruiz Higueras, 2000)

60


Es importante entonces, bajo la luz de la teoría de situaciones didácticas, la

realización de diseños que, partiendo de los conocimientos que los alumnos

dominan, los inviten a interactuar con sus pares y su profesor en un medio regido

por las reglas implícitas del contrato didáctico, en torno a un saber específico, cuya

recreación y apropiación demanda la dialéctica entre los elementos mencionados.

Juega entonces un papel esencial la elección y gestión de variables didácticas, tarea a

cargo del profesor o del investigador, al igual que la identificación de los obstáculos

inherentes al conocimiento puesto en juego así como también la aceptación de la

responsabilidad de su propio aprendizaje por parte de cada alumno.

Fases de la Ingeniería Didáctica

La Ingeniería Didáctica es un instrumento metodológico para la enseñanza y para

la investigación, que nos brinda la posibilidad de desarrollar una acción racional

sobre el sistema educativo, pues intenta captar la complejidad del proceso de

enseñanza-aprendizaje en situación escolar. Como metodología de investigación, se

caracteriza fundamentalmente porque sus productos son construidos a partir de un

esquema experimental basado en las realizaciones didácticas en clase, es decir, sobre

la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza; y

también por que se ubica en los registros de los estudios de caso y cuya validación es

interna, es decir, basada en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori

(Artigue, 1995).

Son cuatro las fases fundamentales que se distinguen en la elaboración de una

Ingeniería Didáctica, a saber:

61


Análisis preliminar.

Diseño de la situación didáctica y su análisis a priori.

Experimentación.

Análisis a posteriori y validación.

Este trabajo se centrará en el análisis preliminar, precisando las hipótesis

epistemológicas necesarias para el diseño de una situación. Sin pretender ser

exhaustivos, expondremos brevemente las características de cada una de estas fases.

Análisis preliminar

En el análisis preliminar, luego de establecer los objetivos específicos de la

investigación, se analizan y determinan, desde una aproximación sistémica, todos y

cada uno de los actores del sistema didáctico y de las relaciones entre los mismos.

Para ello, se debe tomar en cuenta: el conocimiento matemático que se desarrolla en

la escuela así como su devenir en saber, esto en la denominada componente

epistemológica; las concepciones de los estudiantes, sus dificultades y los obstáculos que

deben enfrentar para apropiarse de las nociones puestas en juego por la secuencia

implementada, en la llamada componente cognitiva; la enseñanza tradicional y sus

efectos, es decir, cómo vive el contenido matemático al seno de la escuela, dentro de

la componente didáctica; y por último, la componente socio-cultural, que contempla la

construcción del conocimiento como una serie de prácticas sociales de referencia

compartidas por un grupo social.

62


Análisis a priori y diseño de la situación didáctica

En esta fase de la Ingeniería Didáctica se eligen las variables didácticas que se

controlarán y se define la forma en que las mismas serán gestionadas. También en

esta instancia se establecen las hipótesis de trabajo, es decir, qué se espera de la

interacción de los alumnos con la situación diseñada, qué avances se consideran

dentro de las expectativas, qué errores se perciben persistentes, qué mecanismos se

prevé serán utilizados, en fin, todo lo inherente a las hipótesis de trabajo y

expectativas del investigador. Es, en consecuencia, una fase tanto prescriptiva como

predictiva.

Una vez determinadas las variables didácticas y establecido el objetivo, es decir,

caracterizado el obstáculo que se desea confrontar, se pasa al diseño de la situación

didáctica en sí misma, la cual debe crear un medio propicio para que el alumno

acepte la “invitación” al juego, se sienta desafiado a apropiarse del saber puesto

sobre la mesa.

Experimentación

En esta etapa se procede a la “puesta en escena” de la situación diseñada, es

decir, se la implementa en condiciones controladas estrictamente por el investigador.

Los medios de perpetuar los sucesos que se desarrollen, para su posterior análisis

quedan bajo la responsabilidad y elección del investigador. Es importante el control

de las actividades y el registro de los sucesos, pues el conocimiento y caracterización

de los mismos redundará en la calidad y fidelidad de la siguiente etapa.

63


Análisis a posteriori y validación

El análisis a posteriori consiste en una exhaustiva revisión de los sucesos

acaecidos durante la puesta en escena de la situación diseñada, es en esta etapa que se

confrontan las hipótesis definidas en el análisis a priori y se determina en qué medida

las expectativas fueron alcanzadas o cuanto se desvían los resultados de lo que se

esperaba.

De esta confrontación entre los análisis a priori y a posteriori surge la fase que

caracteriza a esta metodología de investigación, esto es, la validación de la misma.

Esta validación, a diferencia de otros acercamientos tales como los de carácter

cuantitativo para los cuales el éxito se mide en tanto el grupo experimental logra

mejores resultados que el grupo de control, es decir, entre los resultados externos a

la situación planteada en sí misma, en la Ingeniería Didáctica, la validación es interna,

pues se confrontan dos fases de la misma, lo esperado y lo que se obtuvo en

realidad, entre las conjeturas y expectativas que fueron explicitadas en el análisis a

priori y los resultados analizados y categorizados en el análisis a posteriori.

De las consideraciones realizadas, y del hecho que la validación de una

Ingeniería Didáctica surge de la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori, se

deducen dos aspectos relevantes de ésta, el estricto control que debe ejercerse en la

experimentación y la precisión del análisis preliminar. Es por ello que nos abocamos

a reportar el realizado para sentar las bases de la situación didáctica que se diseñará a

posteriori.

Nuestro grupo de investigación retoma, entre otras, las ideas desarrolladas por

Brousseau en sus indagaciones en la enseñanza primaria, llevándolas y

reformulándolas en el ámbito de la enseñanza superior. Surgen así, distintos trabajos

64


que reflejan nuestra preocupación por dar respuesta a las inquietudes, dificultades y

problemáticas propias de la práctica educativa planteadas por docentes e

instituciones. El deseo de impactar en el sistema de enseñanza, deviene en nuestra

constante preocupación por reflexionar e investigar sobre la matemática escolar,

intentando articular los resultados de nuestras investigaciones con la realidad que se

vive en el aula.

65

Capítulo 3

Acercamiento a un análisis epistemológico

Iniciamos en este capítulo el análisis preliminar, es decir, la fase de la ingeniería

didáctica que desarrollaremos en nuestro trabajo. Comenzamos con la dimensión

epistemológica, para continuar, en el siguiente capítulo, con el abordaje de la

dimensión didáctica. Consideramos que la importancia de ambas dimensiones recae

en la posibilidad de resignificar las nociones de interés, en este caso, de la función

logaritmo, en la búsqueda de los interrogantes y debates que produjo, de las

controversias que suscitó, de los ires y venires en su desarrollo y consolidación en la

estructura matemática, en definitiva, su devenir en un saber validado social y

culturalmente. Así mismo, nos interesa indagar sobre la manera en que su desarrollo

se ha plasmado en los textos escolares y en las currícula a través del tiempo, en este

sentido, deseamos observar la forma en la que se ha producido su comunicación, los

conceptos priorizados en cada momento, los que han perdido vigencia por

responder a paradigmas olvidados, en fin, dar evidencia de que la matemática es una

construcción humana que responde a necesidades de una sociedad que le marca y

delimita su campo, todo esto a través del estudio de la noción de logaritmo.

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo .

No cabe duda respecto a la importancia que la noción de logaritmos ha poseído

desde su origen hasta nuestros días; su evolución, su adaptabilidad a los distintos

paradigmas científicos que han ido entrecruzándose, reemplazándose, superándose,

ha permitido que arribe a nuestros días intacta, contando con un rincón propio en la

estructura matemática actual. Sin embargo, la complejidad de su definición, de las

nociones que involucra, hacen pertinente explorar su evolución, recabar información

respecto a los significados que se han perdido en el transcurso de la historia, en un

intento de proporcionar elementos para introducirla y desarrollarla en el aula de

forma más accesible para los alumnos y profesores, los cuales se encuentran por lo

general ante una noción con la que pueden operar, trabajar algorítmicamente, a la

que luego someten a derivación, integración, entre otras operaciones matemáticas,

sin haberla construido en su vida escolar. Pierde así su sentido, se convierte en una

caja negra destinada al olvido por su falta de significación y a generar angustia en la

mayoría de sus usuarios.

En este trabajo partimos de la premisa que la matemática es una construcción

humana, un producto social y cultural, consideramos que todo objeto matemático,

para consolidarse como tal, necesariamente pasa por varias etapas o momentos.

Comienza por ser utilizado sin mayor conciencia de su presencia, siendo

manipulado, extendido, formulado, dotado de representaciones y significados más

precisos hasta ser insertado en una teoría con características propias. En estas ideas,

las cuales surgen de pensar como aplicables al aprendizaje de la humanidad las

situaciones de aprendizaje desarrolladas por Brousseau en su teoría de las situaciones

didácticas, es que analizamos los datos recogidos en nuestra indagación

epistemológica.

Efectivamente, si tomamos como eje central en el desarrollo de los logaritmos,

las relaciones entre las progresiones aritméticas y geométricas, que sustentaron su

68


definición como objeto matemático facilitador de operaciones en el siglo XVII,

podemos distinguir tres grandes etapas en el devenir histórico de los logaritmos.

Podemos observar así, una primera etapa de los logaritmos como transformación,

definidos y enmarcados en el registro numérico en el cual, pese a que no habían sido

aun formalmente definidos, pues estamos refiriéndonos a siglos anteriores al XVII,

se explora esta relación en busca de extender el rango de los números y de facilitar

los cálculos que por la magnitud de las cifras involucradas demandaban tediosas

y complicadas operaciones. Es un momento de exploración de posibilidades, de uso

de lo que ya se conoce y de enfrentamiento con las limitaciones propias de las

herramientas matemáticas puestas en juego, es por tanto una etapa de acción si nos

valemos de la analogía propuesta.

Deviene luego una etapa de definición de la noción, de extensión y

caracterización de la misma en otros registros y contextos en donde la relación entre

las progresiones se torna fundamental. Así, se descubren las características de los

logaritmos en el contexto geométrico, esto es, su asociación con una curva que posee

subtangente constante. Se construye su gráfica la cual, como veremos, no fue

producto de la tabulación de sus valores. Se encuentra su cuadratura superando las

deficiencias del patrón hallado para la cuadratura de las funciones potencia cuando

se trata del exponente –1. Se los utiliza para describir fenómenos de la naturaleza

como la caída de cuerpos en medios resistentes o la propagación de las ondas

sonoras. Se logra su desarrollo en serie de potencias lo que posteriormente le

conferirá el status de función. Así, distinguimos a esta etapa como aquella de los

logaritmos como modelizadores en la cual se los identifica en cada lenguaje utilizado, se los

caracteriza en los distintos contextos conocidos y se establecen las relaciones entre

ellos.

69


Por último, consideramos que con los esfuerzos por incorporarlos a la estructura

teórica siguiendo ideas de rigor y purismo matemático, de descontextualización y

abstracción, se los escinde de sus orígenes convirtiendo a los logaritmos en un objeto

teórico. Se les dota de una definición formal, lejana a la publicada por Napier como la

relación espacio-velocidad de dos puntos moviéndose con velocidad constante uno

y decreciente en progresión geométrica el otro. Se los incorpora en el cuerpo teórico

matemático como la inversa de la función exponencial, y como aquella función que

convierte un producto en una suma. Se conserva la esencia de los logaritmos, no así

su relación explícita con las progresiones y otras características que han desaparecido

del léxico escolar.

Entran en juego entonces, en esta visión sociocultural de la matemática a la que

adherimos, variables sociales y culturales, las que deberán fungir como cristales para

comprender los avances y retrocesos, los obstáculos y las maneras de superarlos, las

argumentaciones y los consensos en este aprendizaje de la humanidad,

particularmente en el desarrollo de los logaritmos.

Epistemología histórica del concepto “logaritmo”

La idea de los obstáculos epistemológicos debida a Gastón Bachelard (1938), e

introducida al campo de la didáctica de la matemática por Guy Brousseau en 1976, se

basa en la hipótesis que el conocimiento es dialécticamente construido desde y sobre

el conocimiento previo, incluso en contra del mismo, implicando que su

construcción no puede ser continua, lineal ni libre de errores. Esta afirmación

confronta las creencias de profesores, que inmersos en la enseñanza tradicional,

70


basan su trabajo en la posibilidad de un aprendizaje continuo, donde el buen docente

es aquel que evita al estudiante dificultades y errores.

Las dificultades que se presentan, tanto en la apropiación de la noción de

función en general, como de logaritmo y exponencial en particular, pueden dotarse

de significado indagando sobre la génesis de tales conceptos, y en su devenir en

objetos de saber a ser enseñados; y a la vez, explorando las concepciones de los

profesores, su epistemología, pues conocer ambas vertientes, puede aportar datos

para comprender los obstáculos que se perciben en los estudiantes.

Sierpinska (1992), en un estudio sobre las dificultades para la comprensión del

concepto de función, distingue varios obstáculos epistemológicos, tres de los cuales,

a nuestro criterio, sustentan la problemática de la enseñanza de las nociones de

logaritmo y exponencial, a saber: la falta de relación entre la matemática y los

problemas prácticos; la concepción de función, estableciendo que una definición no

determina un objeto, sino al contrario; y las distintas representaciones de función.

Según Sierpinska, la identificación de los cambios observados a nuestro alrededor

como problemas prácticos a resolver y de las regularidades en las relaciones entre

cambios, como una manera de tratar con ellos, constituyen los más importantes

“actos de entendimiento” del concepto de función. Ignorarlos como condiciones

necesarias para el desarrollo de esta noción en los estudiantes, significa estar frente a

un obstáculo inherente a la concepción de matemática, a su filosofía, pues implica

considerar que a esta disciplina no le conciernen los problemas prácticos, lo cual

evidentemente acarreará connotaciones didácticas a la hora de introducir y

desarrollar este tema en el aula. Por otro lado, considera que se requiere cierta

cultura matemática para ver una definición como una descripción de un objeto

conocido mediante los sentidos o la percepción, pues la definición no determina al

71

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . objeto, sino que es éste el que determina la definición. Por tanto, extrae como

conclusión que la temprana introducción de la definición general de función no tiene

sentido, pues podría ser ignorada o mal interpretada por los alumnos.

Por último, considera que las distintas representaciones de este concepto trae

aparejados problemas de diversa índole. Actualmente, varias son las representaciones

de función que se utilizan en el aula, entre ellas las gráficas, las tablas y las

expresiones analíticas son las más frecuentes. Las tablas son consideradas la

representación más antigua de relaciones o mapeos. La identificación de éstas como

funciones constituye el obstáculo epistemológico identificado con el número trece,

“EO(f)13: (concepción de función). La función es una sucesión”, (Sierpinska, 1993, p. 49), una

de cuyas posibles consecuencias es la creencia de que los métodos de interpolación

proporcionan los valores exactos de la función en puntos intermedios. Así mismo, el

estudio de curvas juega un importante papel en la historia del concepto de función,

siendo muy útiles para el desarrollo de ideas de Cálculo en el siglo XVII. En un

principio las curvas no fueron interpretadas como gráficos de relaciones dadas, sino

como lugares geométricos de puntos o trayectoria de puntos que se mueven. Esto se

corresponde con algo que hallamos en los estudiantes, “EO(f)14: (concepción de

coordenadas). Las coordenadas de un punto son segmentos (no números)” (ibídem, p. 51) y

“EO(f)15: (concepción de gráfico de una función). El gráfico de una función es un modelo

geométrico de la relación funcional. No necesita ser fiel, podría contener puntos (x, y) tales que la

función no está definida en x” (ibídem, p. 52). Por otro lado, el obstáculo de identificar

una función con una expresión analítica ha estado presente en el desarrollo histórico

de este concepto, provocado por la inmaterialidad y abstracción de esta

representación.

Para Bachelard (1938), “la ciencia contemporánea está hecha de la investigación de

hechos verdaderos y de la síntesis de leyes verídicas. La veracidad o el decir la verdad, de la ciencia

72


no reside en la reproducción fiel de alguna verdad inscrita desde siempre en las cosas o en el

intelecto”. En contra de otros filósofos de su época, considera que el progreso del

conocimiento en una ciencia no es sólo la acumulación, es decir, el aumento de

volumen de la misma, agrupando lo viejo con lo nuevo, sino la revisión permanente

de los contenidos y de sus profundizaciones y cancelaciones. En este sentido,

considera que... “Para un espíritu científico todo conocimiento es una respuesta a una pregunta.

Nada es espontáneo. Nada está dado. Todo se construye.”...

Se podría considerar al desarrollo del saber científico y al desarrollo del saber

escolar como dos procesos que evolucionan de manera independiente. Sin embargo,

la transposición didáctica pone en evidencia la relación de dependencia entre ambos

saberes, y exige investigaciones históricas y epistemológicas. En este sentido, la

historia de la matemática permite pensar en una posible coherencia de los saberes

que van a enseñarse y tomar consciencia de las marchas y contramarchas acaecidas

en su conformación. Para ponerlas en evidencia indagamos, en distintas fuentes, el

desarrollo de los conceptos de logaritmo y de exponencial, con el fin de lograr una

comprensión cabal de los mismos.

Presentamos entonces, la revisión que realizáramos sobre el desarrollo de la

noción de logaritmos dividida y organizada de acuerdo a los problemas más

representativos de su evolución. Hemos considerado pertinente hacerlo en tres

partes: la primera, albores del concepto de función logaritmo, en donde pasamos revista a

cuestiones relacionadas con las etapas previas a su publicación en el siglo XVII; la

segunda, nacimiento de los logaritmos, donde desarrollamos conceptos inherentes a su

aparición formal como objeto matemático y por último, aportes que recibiera por la

aparición y desarrollo del Cálculo, todo esto en busca de evidenciar las reformulaciones

de las que fue objeto y a la vez de sus propias aportaciones al desarrollo de esta

última disciplina.

73


Albores del concepto de función logaritmo

La génesis del concepto de función es una de las más interesantes de rastrear en

la historia, y muchas son las opiniones vertidas al respecto. Este concepto comienza

a gestarse en la antigüedad, aseveración amparada por tablas confeccionadas por los

babilonios (2000 años A.C). Encontramos, en ellas, correspondencias entre

cantidades aunque no pueda considerarse que, en esta época, se tuviera conciencia de

tal noción. En la Edad Media en cambio, se cuenta ya con ideas mas acabadas al

respecto, con representaciones gráficas y verbales, en tanto que sus expresiones

analíticas aparecen recién en el siglo XVII gracias a los aportes de Vieta y Descartes

entre otros. La definición que manejamos hoy en día, es atribuida a Dirichlet, por

algunos, y a Lobachevski por otros, en el siglo XIX, y para llegar a ella se necesitó el

aporte y las discusiones de muchos matemáticos, destacándose entre ellos los

hermanos Bernoulli y Euler, cuya concepción de función y continuidad aparece

frecuentemente entre los estudiantes de hoy (Youschkevitech, 1976).

Dando una hojeada a la historia, encontramos que los logaritmos y las

exponenciales han estado estrechamente vinculados, desde sus albores como

nociones matemáticas, surgidas a principios del siglo XVII; en el caso de los

logaritmos, de la mano de Napier, para facilitar los cálculos necesarios para el

desarrollo del comercio, la astronomía y la navegación. El desarrollo histórico de la

construcción de las funciones logaritmo y exponencial, ha estado plagado de

discusiones y argumentos dispares, donde las nociones de número y de exponentes

fueron centrales en éstas, así como también, ha enriquecido, con importantes

aportes, la construcción y consolidación del concepto mismo de función.

Hoy sabemos que la idea que subyace en la definición de logaritmo es la relación

entre una progresión aritmética y una geométrica y que, si bien Napier construye su

74


teoría haciendo mención explícita al trabajo de Euclides, circunstancias favorables

para la aparición de esta relación pueden ser halladas con mucha antelación. Varios

historiadores consideran que Arquímedes (287 a 212 A. C.), uno de los más grandes

sabios griegos de la antigüedad, es el primero en prestar atención a las propiedades

de los números y volcar, como curiosidad, en su libro “Arénaire” la clásica relación,

que con notación actual sería: “si se consideran números y a de rango m y n

respectivamente, se constata que el número a ocupa el rango m+n”. Por otro

lado, Arquímedes también encara problemas tales como la determinación del área de

una vuelta de espiral o la cuadratura de la parábola mediante el “método de

exahusión”. Más adelante veremos cómo estas primitivas ideas son retomadas y

ampliadas por matemáticos tales como Saint Vincent, Fermat, Newton, Leibniz

entre otros, los cuales las utilizan para desarrollar las vinculaciones entre geometría y

álgebra logrando, en particular, relacionar la cuadratura de la hipérbola con la

función logaritmo.

ma n

m n+

El dominio romano que devino posteriormente, paralizó en cierta medida los

avances científicos en esta dirección debido, entre otros factores, a la poca ductilidad

aritmética de su sistema de numeración. Es recién en los siglos XIII y XIV, mediante

el contacto comercial con los árabes a través del Mediterráneo, que se produce un

considerable avance en el estudio de las propiedades numéricas, gracias a la

introducción y paulatina incorporación de la numeración decimal de posición

manejada por este pueblo.

Así, los contactos con el Oriente bizantino sostenidos desde principios del siglo

XIV, posibilitaron a Europa contactarse con expertos en la ciencia antigua, la cual

por más de diez siglos les había sido ajena. Son los árabes los que heredan e

incorporan a la suya, la cultura griega al conquistar la parte del imperio romano

correspondiente al Oriente Medio y al Norte de África, incorporando más tarde a

75

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . sus dominios el sur de España. Durante la Edad Media los árabes fueron el pueblo

más importante en el desarrollo de ciencias como: matemática, química, astronomía

y medicina.

Redescubiertos o simplemente vueltos a estudiar los clásicos griegos y latinos

ponen en vigencia la consideración del hombre y de su capacidad de conocer. La

contribución de la filología humanista fue particularmente importante pues

proporcionó, en ediciones críticas y traducciones muy cuidadas, los textos clásicos de

la antigua ciencia, ampliando así el cuadro que durante siglos se limitó a Aristóteles.

Junto a los contenidos, variaban la calidad y la influencia de los instrumentos de

difusión de los conocimientos. La imprenta, inventada alrededor del año 1447 en

Alemania, posibilitó la creación de bibliotecas en la mayoría de las cortes europeas,

contribuyendo a la formación y elaboración de nuevas ideas. Se convirtió en el canal

más importante para la formación de una clase “culta”, pues al lado de los textos

religiosos, los clásicos originales griegos y latinos obtuvieron una mayor

disponibilidad en cantidad, precisión y manejabilidad.

Sin embargo, este resurgimiento de la cultura antigua no se limitó al estudio y

revisión de los clásicos originales, sino que la lectura de los mismos fue realizada con

una mirada cuestionadora. Según Ruiz (1993) en el siglo XIII también se superó el

estatismo de las ideas griegas en cuanto a la descripción del movimiento. Se

comienza a hacerlo en términos de espacio-tiempo. Así, la teoría de la intensidad de las

formas y la cinemática, una de sus ramas, comienzan a desarrollarse tanto en

Inglaterra priorizando la cinemática-aritmética, como en Francia con Oresme,

tendiéndose aquí hacia la geometría. Cobran importancia entonces, las discusiones

alrededor de los distintos tipos de movimientos y a su descripción matemática,

76


prestándose así, en el siglo XIV, mayor atención a la formulación matemática y

cuantitativa de las leyes del movimiento.

Según Sierpinska (1992), la mayor contribución de esta época a tal empresa la

realiza Thomas Bradwardine quien en su Treatise on Proportion revisa, con sumo

cuidado, las consideraciones realizadas con anterioridad y atribuidas a Aristóteles

sobre la naturaleza de las fuerzas que provocan el movimiento. Por otro lado,

considera que la idea básica de Aristóteles reposa en que la velocidad es proporcional

a la fuerza que la motiva e inversamente proporcional a la resistencia. Las

dificultades implícitas en esta teoría son relativas a que:

1. Si la fuerza es igual a la resistencia, entonces no habrá movimiento pero

según la teoría el movimiento debe ocurrir.

2. Si no existe resistencia, es decir, el movimiento ocurre en el vacío, entonces la

velocidad debería ser infinita.

Aristóteles fue consciente de estas limitaciones y las salva estableciendo

explícitamente que la velocidad es cero si la fuerza es igual a la resistencia y negando

la posibilidad de que el vacío exista.

Bradwardine retomó estas ideas sobre las causas del movimiento pero

considerando que la velocidad crece aritméticamente en tanto que la razón

fuerza/resistencia lo hace geométricamente. Establece así que, si u0 es la velocidad

correspondiente a una razón particular r de la fuerza de resistencia, entonces la razón

de r2 necesariamente producirá una velocidad de 2u0 y razones de r3, r4, r5, producirán

velocidades de 3u0, 4u0, 5u0 respectivamente.

77


Observamos que con este razonamiento está estableciendo una relación

funcional de tipo logarítmica entre la velocidad y la fuerza, esto es, y

si bien, no podemos asegurar que Napier, Huygens o Newton conocieran este

trabajo de Bradwardine, los tres lo retoman y desarrollan siglos más tarde.

( ) ( )nf x nf x=

En los siglos XV y XVI pareciera no haberse introducido a la matemática ideas

brillantes, sin embargo se perfecciona el simbolismo algebraico y se consolida la

trigonometría como una rama particular, consecuencia directa del desarrollo de la

astronomía. Por otro lado, durante el siglo XVI, se percibe un gran esfuerzo por

apartarse del yugo eclesiástico y escolástico imperante, creándose una intensa e

independiente actividad científica que se refleja en la literatura de la época. Ejemplo

de ello lo constituyen manuscritos como Summa Arithmetica (1494), de Luca Pacioli,

conteniendo los conocimientos de esos días sobre álgebra, aritmética y trigonometría

o Le triparty en la science des nombres, de Chuquet (1484), así como también la difusión

de las obras de los antiguos sabios griegos mediante buenas traducciones y

recopilaciones. Estamos en pleno Renacimiento, en el “renacer de la cultura

antigua”. Es en este siglo en el cual dos geómetras incursionan en lo que

posteriormente Napier plasmaría en su teoría de logaritmos, ellos son Chuquet en

Francia y Stifel en Alemania.

Si bien se desconoce el medio científico en el que se desarrolló Chuquet, su obra

refleja un gran rigor científico, incluso superior al del siglo siguiente. Por ejemplo, en

su trabajo con radicales y números irracionales, se encuentran exploraciones con

exponentes fraccionarios y negativos. Realiza a su vez, un estudio sistemático de los

números y de sus propiedades, que lo conduce a hablar de progresiones geométricas

y aritméticas, y a reformular el enunciado de Arquímedes, ya que considera la serie

de términos de una progresión geométrica y establece “qui multiplie lung d’iceux par lung

des autres, et qui déouste les deux ordres esquelz sont situés les deux nombres ml’tipliez, il trouve le

78


lieu ou doit estre situé le nombre venu de la multiplicacion”, que se podría traducir como, “en

una progresión geométrica, el producto de un número de rango n por el número de

rango m da el número de rango (m+n)” (Naux, 1966).

Por otro lado, Stifel (1486, 1567) publica en 1544, en Alemania, su tratado

“Arithmetica integra”, en la cual se evade de la rutina acostumbrada en la época para el

manejo de los números negativos. Considera:

Progresión aritmética: y una 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5− − − − −

+ =

Progresión geométrica: 1 1 1 1 1, , , , , 1, 2, 4, 8, 16, 3232 16 8 4 2

* =

extendiendo así, las ideas descubiertas por Arquímedes y Chuquet. En esta época ya

se manejaba que 2 cuando se relaciona la posición de los

exponentes con la de sus potencias correspondientes. Si bien su pensamiento de

geómetra le impide dar una explicación al valor analítico de los números negativos,

Stifel muestra que

3 5 4* 8=32+ = ⇒

1 1 1* =4 8 32

( 2) ( 3) 5 − + − = − ⇒ .

Vemos así que desde la antigüedad hasta el siglo XVI se desarrollan

paulatinamente y de acuerdo a las herramientas matemáticas e inquietudes que se

poseían, ideas vinculadas estrechamente con lo que Napier, tiempo después, da en

llamar logaritmos.

Las falencias y limitaciones del sistema de numeración para la descripción de

grandes cantidades y el modo de operar con ellas, comienza a hacerse cada vez más

importante y a generar investigaciones al respecto. Asimismo, el uso de la

79

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . matemática para tratar con fenómenos de la naturaleza, como el movimiento de

cuerpos, iniciados por Aristóteles sienta las primeras bases de la idea de función

como modelizadora, aunque aun no se poseyera conciencia de este concepto.

Las ideas desarrolladas hasta ahora en torno a las que consideramos vinculadas a

los logaritmos, están fundamentalmente dentro del registro numérico y en plena

confrontación entre número y magnitud, entre aritmética y geometría. Por otro lado,

el estudio de los fenómenos de la naturaleza comienza a generar preguntas respecto

a cómo predecir el comportamiento de distintos entes, problemática que perdurará

varios siglos y en la cual los logaritmos juegan un interesante papel.

Las inquietudes y adelantos de Arquímides en el tratamiento de números de gran

magnitud no hallan demasiado eco entre sus contemporáneos, quizás por estar

adelantadas a su época y no responder a una necesidad de su sociedad. Si bien sus

ideas se siguen desarrollando, hasta confluir en las actuales reglas para operar con

potencias de igual base, no es sino hasta fines del siglo XVI y principios del XVII,

donde una imperiosa necesidad de expansión tanto comercial como política

(dominar al nuevo mundo, por tanto desarrollar técnicas de navegación) propicia la

aparición de los logaritmos. Se hace evidente entonces, que no sólo las herramientas

matemáticas son necesarias para la aparición de un nuevo objeto matemático sino

también una necesidad de índole socio-cultural a la cual responder.

Nacimiento de los logaritmos

Según Hogben (1956), la expansión comercial y las técnicas de navegación del

siglo XV exigían cálculos matemáticos de gran envergadura, lo que obligó a los

Rechenmeister (profesores de aritmética) a realizar una labor descomunal, generando

80


la necesidad de encontrar procedimientos menos complicados y laboriosos. En

Inglaterra y Holanda, la relación entre los artesanos, el mundo científico y las

compañías comerciales fue muy estrecha. En las primeras escuelas de navegación,

matemática, astronomía y técnicas náuticas se reunían alrededor de problemas como

la determinación de distancias. Los métodos del Cálculo fueron impulsados

fuertemente por dos invenciones de gran importancia, las fracciones decimales y los

logaritmos.

La búsqueda de procedimientos nuevos, más expeditivos que los anteriores, fue

una de las preocupaciones de los estudiosos del Renacimiento, fundamentalmente de

los astrónomos. Surgen en esta época varias tabulaciones, por ejemplo, el astrónomo

italiano Magini (1555-1617) de la Universidad de Bolonia, vuelca en tablas de doble

entrada, sus cálculos de la raíz cuadrada de los números del 1 al 11000, explicando

así mismo, los recursos para extraerlas, con el fin de aportar al estudio de los

triángulos rectángulos elementos fundamentales de la geometría plana; los

matemáticos alemanes por otro lado, construyen tablas trigonométricas de gran

precisión que requieren a su vez cálculos muy laboriosos.

Según Rei (1978), la incorporación dentro de la relación entre el hombre y la

naturaleza de un conjunto de reglas lógicas y de procedimientos experimentales

condujo al método científico. Los análisis conceptuales de la lógica aristotélica y la

geometría, renovada por el Humanismo mediante las traducciones de Euclides y

Arquímedes, contribuyeron a exacerbar el rigor formal y de razonamiento en el

empleo de dibujos y cálculos.

Al comenzar esta época, aun se están explorando y delineando las posibilidades

del sistema de numeración decimal. Entre los primeros en estudiar las fracciones

decimales encontramos a Stevin, quien las explica en su libro La Disme publicado en

81

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . 1585, en donde reconoce la importancia del punto decimal. No hay aun consenso

respecto a la escritura de los números y se considera que en este sentido, el

manuscrito Rabdologiae Seu Numerationis per virgulas libri duo, publicado en 1617 por

Napier, y el uso sistemático del punto decimal en sus tablas de logaritmos,

constituyen aportes fundamentales a la adopción y estabilización de la escritura de

números que conocemos actualmente.

En Inglaterra, durante los siglos XVI y XVII, se producen los primeros intentos

de liberar a la iglesia de la autoridad del Papa, desencadenándose así luchas religiosas

que ensangrentarán a toda Europa. Comienza también la edad de oro de

Shakespeare y por tanto del teatro inglés. La prosa, la poesía y el teatro se ocupan de

entretener al público con invenciones y crónicas muy expresivas convirtiéndose en

una especie de periodismo precoz que nos permite dilucidar aspectos de la sociedad

y cultura de la época isabelina. Se capta en ellos la coexistencia y fuertes tensiones

entre maneras de pensar completamente opuestas. Encontramos defensores del

idealismo que pensaban que la existencia es de naturaleza espiritual confrontados

con quienes se adherían al materialismo, es decir, aquellos que reducían todos los

fenómenos de la naturaleza a magnitudes físicas concretas. Se percibe una

mezcolanza entre el bien y el mal, entre la exquisitez y la vulgaridad, donde el palacio

y la taberna exaltan todo lo que pueden tener en común, en una época de grandes

diferencias económicas.

A principios del siglo XVII los autores coinciden en tener sentimientos

profundamente religiosos que no les impiden cultivar intereses laicos, amar la

imaginación barroca aunque sin reducirla a la ornamentación, interesarse por la

psicología y tender al mismo tiempo hacia la lógica, cultivar tanto el gusto

aristocrático como el de tendencia popular.

82


La obra, de fondo religioso, se sirve de conquistas científicas para explorar el

carácter de la naturaleza del hombre, como se observa en la vida diaria. Aparece en

esta época la obra de Galileo (1564-1642) pudiéndoselo considerar el creador de la

prosa científica al escribir sobre astronomía, física y matemática valiéndose de un

gran rigor lógico y con admirable lucidez y justeza de lenguaje. Mérito suyo es el

haber introducido la metodología científica en sus escritos y a través de ellos, en toda

nuestra ciencia occidental.

En el período comprendido entre fines del siglo XVI y principios del XVII, se

produjeron profundas investigaciones astronómicas realizadas entre otros, por

Tycho Brahe (1546-1601), Kepler (1571-1630), Galileo Galilei que requirieron

elaborados cálculos involucrando funciones trigonométricas. Se hizo imperativo

entonces hallar procedimientos que acortaran la labor requerida para realizarlos.

Algo que ayudó y facilitó la tarea, fue el conocimiento y uso de la identidad llamada

“prosthapheresis” la cual establece que:

2 ( ) (senAsenB cos A B cos A B= − − + )

o la atribuida al astrónomo árabe Ebn-Jounis (980-1083):

( ) (12

senAcosB sen A B sen A B = + + − )

en las cuales observamos la transformación de un producto en una suma.

Es durante esta efervescencia social que Napier comienza a trabajar en sus

logaritmos (1594) dándolos a conocer veinte años después, en 1614, al publicar su

manuscrito intitulado: Mirifici Logarithmorum Cannonis Descriptio, trabajo que contiene

una tabla de logaritmos además de las reglas para la solución de triángulos planos y

esféricos, con el uso del “canon”. Por otro lado, póstumamente en 1619, se publica

su obra Mirifici Logarithmorum Cannonis Constructio, traducida como “Construcción del

83

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . maravilloso canon de logaritmos” y en la que se presenta una explicación del método

con el que se construyó la tabla así como las propiedades de la función logarítmica.

Su libro Mirifici Logarithmorum Cannonis Descriptio, o A description of the admirable

table of logarithms, si consideramos la traducción que realizara el inglés Edward Wright

en 1616, trata exclusivamente el estudio de los logaritmos y se divide en cinco

capítulos. En el primero, “Of the Definitions”, presenta los conceptos

fundamentales de su trabajo; en tanto que en el segundo, “Of the propositions of

logarithmes”, trabaja con proporciones y cómo los logaritmos las modifican; por

ejemplo, allí aparece la propiedad: “Si los senos guardan la relación cz hzez kz= ,

entonces la diferencia de sus logaritmos es igual”. En el tercer capítulo, “Containing

the description of the Table of Logarithmes, and of the seven columns thereof” y en

treinta y un párrafos que denomina “sections”, describe las tablas; en tanto que, en el

cuarto capítulo “On the use of the Table, and of the numbers thereof” y en el quinto

“Of the most ample use of the Logarithms, and ready practise by them”, enseña a

calcular los logaritmos de números que figuran o no en ella. Realiza esto en un

conciso y claro lenguaje y en sólo cincuenta y siete páginas.

Al final de este manuscrito, aparece la tabulación de sus logaritmos en siete

columnas, presentadas de la siguiente manera:

23 + | -

Senos Logaritmos Diferencias Logaritmos Senos

0 3 907 311 9 397 354 8 569 026 828 328 9 205 049 60

1 3 909 989 9 390 504 8 560 941 829 583 9 203 912 59

...

30 3 987 491 9 207 616 8 328 403 865 823 9 170 601 30

84


Observamos que la primera columna corresponde a los minutos de arco; la

segunda a los senos de los ángulos calculados con siete cifras significativas, pues

considera al radio del círculo trigonométrico dividido en 107 unidades secundarias; la

tercera corresponde a los logaritmos, los cuales decrecen conforme a su definición;

en la cuarta columna aparecen las diferencias, que no son otra cosa que el logaritmo

de la tangente del ángulo considerado si ésta es positiva y de la cotangente si es

negativa, pues puede utilizarse la relación log( , en tanto

que la quinta columna corresponde a los senos de los ángulos complementarios, hoy

llamados cosenos de los mismos.

) log( ) log( )tg sen cosα α= − α

La construcción de esta tabla se realiza en cuatro etapas: la primera, es el cálculo

de los puntos de referencia; la segunda, la evaluación de los logaritmos en los

mismos; la tercera, el cálculo de los logaritmos en valores intermedios y finalmente la

cuarta es la determinación de los logaritmos en números fuera de la tabla. Pese a que

las nociones de coseno y tangente están ausentes de su discurso, el logaritmo de los

mismos puede extraerse de su tabla, tal como mencionáramos anteriormente.

Tanto Napier en Escocia, como Burgüi en Suiza, inventaron los logaritmos antes

que el uso de la actual notación exponencial se hubiera consolidado en el álgebra de

la época. No utilizaron la notación exponencial ni se familiarizaron con el concepto

de exponencial, el cual juega hoy un papel fundamental en el desarrollo de la teoría

logarítmica. Además, en esta época las funciones trigonométricas no eran

consideradas estrictamente como razones, sino que el seno, por ejemplo, era la

semicuerda de un círculo, en tanto que su radio era llamado sinus totus, y al cual

Napier escoge como 107, elección que redunda directamente en la cantidad de cifras

significativas de sus cálculos.

85


seno

Complemento del seno α

710r = unidaSinus totu

Napier basa sus explicaciones en dos c

mecánico del movimiento de puntos; y l

aritmética y geométrica. En efecto, define

exhaustivo estudio de relaciones entre las

ideando un modelo cinético que le permiti

los valores discretos que el proceso anterio

además, que estos conceptos surgen en el

geométrico y del físico para establecer sig

más tiempo para su construcción y no surg

la conocemos hoy en día. Sin embargo,

construida con valores aislados hacia una

acercamiento a la noción de “función logari

Es así que Napier ingeniosamente re

desplazamiento de un punto que se mu

recorriendo espacios iguales en tiempos

aritmética, en correspondencia con el mov

86

des s

onsideraciones: el concepto geométrico–

as relaciones existentes entre las series

y construye sus tablas a partir de un

series geométrica y aritmética asociadas,

era “hacer continua su tabla”, utilizando

r le proporcionaba. Podemos considerar

contexto aritmético pero con auxilio del

nificados. La noción de “base” requirió

e dentro de la teoría de Napier tal como

en la necesidad de extender la tabla

continua, podemos percibir el primer

tmo”.

curre a un modelo de la mecánica, el

eve con velocidad constante, es decir,

iguales, describiendo una progresión

imiento de otro punto, el cual se mueve


con velocidad proporcional al desplazamiento, en progresión geométrica. En efecto,

en su libro Description of the admirable table of logarithmes with the most plentiful, easie, and,

ready comienza con dos definiciones que reflejan su apoyo en la física para describir y

definir esta noción.

Así estableciendo, como definición 1, que: A line is said to increase equally, when the

poynt describing the same, goeth forward equall spaces, in equall times or moments y como

corolario o consecuencia, que: therefore by this increasing, quantities equally differing, must

needes be produced, in times equally differing comienza su explicación de la construcción de

la tabla de logaritmos haciendo referencia a puntos que se mueven describiendo

distancias iguales en tiempos necesariamente iguales, aludiendo a móviles que se

desplazan a velocidad constante situación que puede ser descrita mediante una

progresión aritmética pues se refiere a cantidades creciendo con una misma razón.

Continúa, luego de una breve explicación de tales aseveraciones, con la

definición 2: A line is said to decreace proportionally into a shorter, when the poynt describing the

same in oequall times, cutteth off parts continually of the same proportion to the lines from which

they are cut off. Establece aquí, implícitamente, una progresión geométrica decreciente

de razón constante para describir el movimiento del punto el cual en tiempos iguales

alcanza una porción del espacio recorrido en el instante anterior.

Para visualizar esta correspondencia discreta entre las progresiones geométrica y

aritmética, podemos postular que dos partículas idénticas se desplazan

simultáneamente a lo largo de dos rectas paralelas, partiendo con la misma velocidad

inicial, una de ellas mantiene su velocidad constante, en tanto que la otra va

desacelerándose en proporción a la distancia no recorrida.

87


y C D E F G ... ∝

A

Z a x

Sinus totus c d e f g ...

En su construcción Napier toma el segmento aZ de longitud fija 107, y una recta

paralela A∝. En t = 0, ambos puntos están en a y A, respectivamente. El punto B, se

mueve sobre la recta A∝ a velocidad constante, en tanto que el punto b lo hace

sobre aZ de modo tal que su velocidad es proporcional a la distancia bZ. Asume que

la velocidad inicial de ambos es la misma, y que la velocidad del punto b decrece

hasta cero en Z. Si a un cierto tiempo el punto b está a una distancia x de Z, y el

punto B a una distancia y de A, Napier define , estableciendo entonces que: logy = x

“The logarithme therfore of any sine is a number very neerely expressing the line,

which increased equally in the meane time, whiles the line of the whole sine decreased

proportionally into that sine, both motions being equal-timed, and the beginning equally

swift” (Napier, 1614), es decir, “el logaritmo de un seno dado es aquel número que

se incrementa aritméticamente con velocidad constante e igual que aquella con la cual el

radio empieza a decrecer geométricamente, y en el mismo tiempo en que el radio decrece

hacia el seno dado” (Cantoral et al., 1983).

88


Si denominamos “ ”, al sinus totus, que Napier define como 10υ 7, podemos

expresar la relación entre las series geométrica y aritmética, en notación moderna,

como:

21 1 1senos: , (1 ), (1 ) , ..., (1 ) ...logaritmos: 0, 1, 2, ..., ...

nn

υ υ υ υυ υ υ− − −

en directa correspondencia con la construcción de su modelo mecánico, si se asocian

las velocidades de los puntos en cada intervalo de tiempo con los senos, lo cual

muestra la directa concatenación entre su definición discreta y su modelo continuo.

En su manuscrito define: “los logaritmos son números que corresponden a números

proporcionales y tienen iguales diferencias”, considerando que los números proporcionales

corresponden a los términos de la progresión geométrica, en tanto que los de la

progresión aritmética son aquellos que tienen iguales diferencias. La idea que subyace

es la siguiente: la expresión 1(1 )nυ υ− se obtiene de multiplicar por n aplicaciones

sucesivas de la razón

υ

1 )υ−(1 , donde n, el logaritmo, indica “el número de razones”.

Cobra así sentido que Napier adoptara la palabra griega logaritmo, que significa logos =

razón y arithmos = número, es decir, número de razones y la palabra antilogarithme

para referirse al logaritmo del complemento de los arcosenos.

Así, como en el parágrafo anterior, consideramos que si bien los logaritmos no se

habían definido como tales, varias de las ideas que hoy sabemos los sustentan ya

habían cobrado vida, ya formaban parte de la estructura matemática aunque de

manera endeble, y fundamentalmente basados en lo numérico. Con Arquímedes

aparecen las primeras ideas en torno a la magnitud de los números y su relación con

la posición que ocupan; con Stifel y Chuquet se refina la relación entre las

progresiones aritméticas y geométricas desde una perspectiva aritmética. A principio

89

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . del siglo XVII, en cambio, el devenir histórico de los logaritmos se perfila hacia ideas

físicas y modelos de descripción de movimientos que tiñen y matizan las

producciones de la época. No se abandona el marco numérico, sino que se lo amplía

con ideas provenientes de la física, acercándose más a ideas de variación que estáticas

de asignación. Napier, no intenta describir el movimiento de un cuerpo sino que crea

su propio fenómeno para definir sus logaritmos. Quizás emula a Arquímedes, quien

según Bernal (1979), utilizaba modelos mecánicos para llegar a sus resultados

matemáticos, sin prejuicio de que los descartara después en la demostración.

A principios del siglo XVII la necesidad social de facilitar las operaciones con

magnitudes grandes debido a la expansión económica y comercial, así como a la

política reflejada en la necesidad de dominar técnicas náuticas para competir por el

nuevo mundo, confluyen con ideas matemáticas idóneas para tal fin dando origen a

un nuevo ente, los logaritmos. La familiaridad con la aritmética de la mayoría de los

comerciantes y personas vinculadas con el cálculo hizo que se buscara transformar

multiplicaciones y divisiones en sumas y restas, es decir, se robustece la aritmética.

Estas necesidades hallan eco en matemáticos como Napier y Burgui, los cuales por

separado, proponen un novedoso objeto matemático que por lo cercano a las ideas

manejadas hasta entonces como por su maleabilidad encuentran rápida aceptación

por parte de los matemáticos de este siglo, quienes prontamente comienzan a

reformularlos y a adecuarlos mejor a sus múltiples necesidades.

Aportes al desarrollo del Cálculo.

Para llegar a la noción de logaritmo que conocemos hoy en día, varios fueron los

matemáticos del siglo XVII que propusieron mejoras y cambios a las ideas originales

de Napier y Bürgi las que resumimos en la siguiente tabla.

90


ARGUMENTO

BASE

COMENTARIOS

Napier (1614)

Ángulos y sus

senos, considerando 107 como “sinus

totus”

Este concepto es inaplicable en su

propuesta

El logaritmo se anula para 107

Bürgi (1620)

Ángulos y sus

senos, considerando 108 como “sinus

totus”

Este concepto es inaplicable en su

propuesta

El logaritmo se anula para 108

Napier-Briggs

(1617)

Números naturales

Adoptan el número 10

El logaritmo se anula para 1, en tanto que el logaritmo de

10 es igual a 1

Speidell (1619)

Los calcula a partir de los de Napier

utilizando: log ( ) 1 log ( )

x Speidellx Napier

== −

Adopta el número

10

Reformula los logaritmos de Napier transformándolos en los que hoy denominamos

“logaritmos naturales”

Halley (1695) Cotes (1714)

“Numeri Rationum

Exponentes”, o logaritmos de

razones

Cualquier sistema

de logaritmos difiere por un

factor constante de aquel elegido

como patrón

Consideran que: La medida de la razón es un número constante de

veces el logaritmo patrón de esa razón

91


A mediados del siglo XVII existe un manifiesto interés por explorar y

determinar tangentes, puntos singulares y áreas bajo las curvas, así como el trazado

de las mismas. Varios son los matemáticos que se interesan en estos tópicos, entre

ellos, Fermat, Descartes, Saint Vincent, Newton, Leibniz, Torricelli, Huygens,

quienes en sus investigaciones y discusiones reflejan las controversias de esta época,

en la cual creatividad, reforma y ruptura se contraponen a la permanencia de

métodos e ideas antiguas. El método arquimediano, de reducción al absurdo, de

exhausión, utilizados hasta entonces, y cuyos razonamientos se basan en la

geometría, comienzan a ser confrontados con métodos de corte algebraico, y series

infinitas. En esta época, donde se estaba gestando el Cálculo, los logaritmos y

exponenciales cobran importancia, pues admiten interpretaciones geométricas y

desarrollo en series infinitas, además, se los identifica como relaciones entre números

por tanto como funciones, todo lo cual contribuye a afianzar métodos e ideas que

incentivan el desarrollo histórico del Cálculo.

En esta época, la circulación de ideas estaba confinada a ciertos personajes

alrededor de los cuales se tejían redes de comunicación, a la correspondencia y a las

reuniones que se proponían en círculos selectos. Un ejemplo de animador social lo

constituye el padre Mersenne (1558-1648) quien estuvo relacionado con todos los

científicos europeos de su época mediante una nutrida correspondencia. La

necesidad de una comunicación más estable propicia la creación de las primeras

instituciones científicas, entre ellas, la Académia de los Liceos (1603) y el Gresham

College (1548) los cuales se convierten en centros de reunión de aquellos interesados

en el progreso del conocimiento. Se inicia así un período de organización de la

actividad científica en torno a las academias de corte netamente científico,

patrocinadas por las autoridades. Aparecen entes que se dedican a validar las nuevas

teorías, es decir, a reconocerlas oficialmente, lo cual también redunda en

colaboraciones más estrechas y estables entre los científicos así como también los

92


primeros pleitos por plagio. Se crea entonces, en Londres, la Royal Society (1662); en

París, la Académie des Sciences (1666), ambas ligadas a la monarquía y preocupadas

tanto por problemas teóricos como por la navegación y la artillería. Más tarde surgen

la Academia de Berlín (1700) y la de San Petersburgo (1724) fundada por Pedro el

Grande todas éstas con la inquietud de propiciar la expansión del conocimiento

científico.

Muy pronto las Academias Científicas pasan a ocupar el centro de la sociedad de

eruditos pues, mediante publicaciones periódicas como el Journal des Savants en

Francia, el Transactions de la Royal Society y los Acta Eruditorum de Leipzig, se crea

una red de información, intercambio de ideas y comprobación de conocimientos. Es

en el siglo XVII que el saber racional sale de las academias y las cortes reales para

difundirse en la sociedad burguesa. La ciencia que se desarrolla en esta época se

sustenta en un método esencialmente matemático, lo cual propició un gran

desarrollo de la astronomía y la mecánica en detrimento de otras ciencias, siendo las

preocupaciones principales los problemas técnicos (minería, transporte, industrias,

etc.) convirtiéndose así en parte integrante de la sociedad y adquiriendo una

continuidad y status que ya no perderá.

El desarrollo autónomo de las matemáticas que culminó con la fusión del álgebra

y la geometría en la geometría analítica de Descartes, ponía a disposición de la

ciencia física, a falta de un instrumento como el cálculo infinitesimal, que será

elaborado más tarde, alrededor de 1650, un aparato de precisión numérica y gráfica

capaz de garantizar determinaciones rigurosas de las relaciones cuantitativas entre los

fenómenos.

El sustento teórico de los logaritmos fue ampliado durante el siglo XVII gracias a

la representación gráfica en coordenadas rectangulares y polares, de una variable, lo

93

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . cual abre camino hacia su comprensión. Aparecen entonces, la curva logarítmica, la

espiral logarítmica y la llamada hipérbola, la cual es especialmente importante en la

historia de los logaritmos. Así, en 1638, Descartes presenta la espiral logarítmica en

una carta a Mersenne, describiéndola como una curva que forma ángulos iguales con

todos los radios trazados desde el origen. Descartes al igual que Torricelli, quien la

reinventa tiempo después, no la asocia con los logaritmos.

Descartes, en su Géométrie (1639), enseña a trazar curvas a partir de su

expresión y a calcular la posición de la tangente en un punto cualquiera. Uno de sus

discípulos, De Beaune, plantea el problema de definir una curva por la relación entre

coordenadas y subtangentes. La respuesta atribuida a Descartes, no es otra que la

hoy conocida como curva logarítmica, pues la construcción que realiza es la

siguiente:

Se traza un eje AX, una recta AY

formando un ángulo de 45° con éste y

la curva ABM tal que la tangente BL en

un punto cualquiera B esté definida por

la relación:

BC NCL BI= ,

donde N es un tamaño dado.

Descartes no asocia esta curva con los logaritmos, su interés se centra en

determinar “symptômes” o características de ella, encontrando que admite una

asíntota y que la subtangente es constante, característica específica de los logaritmos.

Luego, el problema se transforma en hallar la cuadratura de esta curva, en la cual la

ordenada es a la subtangente como un segmento de línea dado es a la diferencia

94


entre la ordenada y la abscisa. La respuesta a esto, la proporciona Leibniz en 1676,

quien la traduce a la ecuación w dwa dx= , y tomando constante e igual a b, obtiene dx

aw db= w

p

, es decir, las coordenadas proporcionales a sus incrementos y tales que, si

las x’s se incrementan en progresión aritmética, las w’s lo hacen en progresión

geométrica. Por tanto las x’s son los logaritmos de las w’s.

Comienza ahora un período en el que varios matemáticos investigan sobre la

determinación de áreas bajo ciertas curva y las exploraciones acerca de la cuadratura

de la hipérbola equilátera genera varios acercamientos al no encuadrarse en los

patrones que se iban hallando para otras curvas tales como las parábolas. Ya desde el

siglo XIV con Oresme, el problema de cómo hallar el área bajo una curva había

cobrado importancia debido a que las curvas representan las magnitudes de las

velocidades en el tiempo. El área bajo una curva representaba, entonces, el cambio

total en cuanto a la posición y por tanto se torna una herramienta importante en la

física matemática que comenzaba a desarrollarse. Sin embargo, las exploraciones

respecto a la cuadratura de la hipérbola equilátera no parecen originarse en ideas

físicas sino geométricas tal como la evidencian los trabajos de Fermat y Saint

Vincent que desarrollamos continuación.

Algunas exploraciones sobre cuadratura de curvas aparecen en el Treatrise on

Quadrature, que Fermat publica en 1658. Aquí explica su método y vuelca sus

resultados respecto a la cuadratura de parábolas de la forma e hipérbolas

del tipo , con excepción de la hipérbola rectangular. En realidad, su

método es una extensión de la aplicabilidad del método arquimediano a segmentos

infinitos, en este caso, la división del eje x en un número infinito de segmentos de

longitud finita, y su sustento se halla en el método de exhausión. Su ingenio le hace

qy kx=

p qx y k=

95

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . dividir el eje x con segmentos cuyas longitudes conforman una progresión

geométrica, y determina que la cuadratura de la parábola es directamente

transferible a las curvas de la forma con p y q enteros. Tomando p como

media proporcional de la división del eje llega al resultado general que el segmento

parabólico es al rectángulo que lo contiene, como

2y k= xpqy kx=

qp q+ . Luego, generaliza para las

hipérbolas: si x y entonces el área de la porción de hipérbola desde la

ordenada es al rectángulo como

p q k=

0y 0 0x y qp−q , resultado no aplicable a la hipérbola

pues en este caso y la expresión anterior quedaría como xy k= 1p q= = 10

lo cual

carece de sentido. (Mahoney, 1973). Si bien Fermat denomina a su método

“logarítmico”, no se percibe que esté asociando sus exploraciones con los

logaritmos, desconociendo quizás el trabajo de Saint Vincent al respecto.

Según Edwars (1937), la importancia de los logaritmos en el desarrollo histórico

del cálculo radica en el descubrimiento publicado en 1647 por el jesuita Gregorie

Saint Vincent, respecto a la vinculación entre la función logaritmo natural y la

hipérbola rectangular . 1xy =

Saint Vincent, retoma de cierta manera, las proposiciones sobre cuadraturas

desarrolladas siglos antes por Arquímedes y el axioma de Eudoxio, ambas en torno a

nociones de infinito y que contribuyen interesantemente al desarrollo del cálculo,

abriendo con ello un camino para otros matemáticos como Torricelli, Newton,

Huygens, Leibniz, contemporáneos a él, con la suficiente sensibilidad y perspicacia

como para valorar los resultados de su tratado, pese a la controversia que el mismo

despierta. Saint Vincent, demuestra ser un erudito de su época, conocedor de los

métodos desarrollados hasta entonces respecto a cuadraturas y curvaturas, así como

también de la obra sobre indivisibles de Cavalieri (1598-1647), y de la de Stevin

96


alrededor de la determinación de ejes y centros de gravedad de sólidos utilizando

ideas de límite y de reducción al absurdo propuesta por Arquímedes.

Según Le Goff (1989), la obra de Saint Vincent sienta precedentes importantes

para el posterior desarrollo del cálculo, por ejemplo, declara su intención de

sistematizar el estudio del volumen de los sólidos, preparando el terreno para la

aparición de las integrales dobles, desarrolla ideas de convergencia de series, es decir,

respecto a la posibilidad de aproximar una suma infinita tanto como se desee. Así

mismo, declara su deseo de hallar la cuadratura del segmento de hipérbola con la

puesta en relación de dos progresiones, una geométrica y otra aritmética, sin

introducir la idea de logaritmo, lo cual será el aporte de su discípulo Sarasa en 1649 al

responder las objeciones de Mersenne. Saint Vincent desarrolla estas ideas en el libro

VI, proposición 109 estableciendo que:

“si les abscisses d’une hyperbole équilatere croissent en progression

géométrique, les aires des surfaces decoupées entre l’hyperbole et son asymptote

par les lignes ordonnées correspondantes, croissent en progression arithmétique”

(Le Goff, 1989, p. 199), es decir, logra establecer que “si las paralelas

de una asíntota son trazadas entre la hipérbola y la otra asíntota, de tal forma

que las áreas sucesivas de los cuadriláteros mixtilíneos así formados sean

iguales, entonces las longitudes de tales paralelas forman una progresión

geométrica” (Cantoral et al., 1983).

Una interpretación gráfica de tal aseveración en términos actuales sería como la

mostrada en el siguiente esquema:

97


ka

a Asíntota horizontal

Áreas iguales

Asi

ntot

a ve

rtic

al

Efectivamente, Saint Vincent demuestra la cuadratura del círculo y de la

hipérbola en su controvertido libro “Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum

coni”, escrito en 1630 y publicado en 1647. En él aparecen varias proposiciones que

aportan ideas nuevas y originales, tales como, “si las abscisas de una hipérbola

equilátera crecen en progresión geométrica, las áreas de las superficies determinadas

por las ordenadas correspondientes crecen en progresión aritmética”. Por tanto,

muestra que las medidas de las áreas de sectores bajo la hipérbola y sus abscisas

forman un sistema logarítmico.

Le Goff (1989) presenta varios extractos del libro original (ver anexo 1) de los

cuales reproducimos un párrafo del Livre VI, pág. 586, proposition CIX y pág. 597,

proposition CXXX (relation exponentielle et inverse entre progresions des abscisses et des segments

d´hyperbole) y recreamos la demostración propuesta por Saint Vincent.

98


Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni (1647)

Proposition CIX

Liber sextus: De Hyperbola, pars quarta (pag. 586)

Soient AB, BC, les asymptotes d’une hyperbole DEF: et divisons AC,

de façon que AG, AH, AI, AK, AC soient en proportion continue

[progression géométrique], et que soient posées [les lignes] GD, EH,

LI, MK, FC, paralléles á AB.

Je dis que les segments [d´hyperbole] HD, IE, KL, CM [i-e les

quadrilatéres mixtilignes HEDG, ILEH, KMLI & CFMK] sont

egaux [en aire].

Proposition CXXX

Liber sextus: De Hyperbola, pars quarta (pag. 597)

Soient AB, BC, les asymptotes d’une hyperbole: posons des paralléles á

une asymptote [ici á AB], DH, EI, FK,GL, CM découpant des segments

[d´hyperbole] egaux HE, IF, KG, LC.

Je dis que les lignes HD, IE, KF, LG, MC sont en progression continue

[géométrique].

99


Una interpretación actual de tal consideración puede ser representada

gráficamente como lo muestra la siguiente figura:

Interpretación de las consideraciones de Saint Vincent

Curva logarítmica

Área igual a log(a)

Área igual a log(k)

Área igual a 2log(k)

a

Progresión geométrica k

2a ka

Progresión aritmética

Vemos entonces que Saint Vincent, en estas proposiciones, pone en evidencia la

relación exponencial que liga las abscisas con las áreas de segmentos de hipérbola, de

manera directa y recíproca.

Su demostración parte de considerar un arco de hipérbola equilátera cualquiera

y segmentos OA, OB, OC, ... que conforman una progresión geométrica. Las

ordenadas trazadas perpendicularmente al eje en A, B, C, ... determinan trapecios

mixtilíneos de igual área. Resulta entonces que las áreas de EABF, EACG, EADH,...

crecen en progresión aritmética, mientras que las abscisas OA, OB, OC, ... crecen en

progresión geométrica.

xy a=

100


La constancia de las áreas de los rectángulos

inscritos, devienen de las propiedades de la

hipérbola. Para probarlo, se considera el último

de ellos (CDHI) y a k como la razón de la

progresión geométrica descrita por las abscisas.

Luego:

CD = OD - OC = ( OC - OC) = OC( -1)

HD = OD OC

k ka a

k=

I

E

p

F

N

G

H

OA MB R C S

y el área del rectángulo es:

( 1)CD.HD = OC( 1) OCa kak ck k

−− = = te

Por tanto, si las abscisas OA, OB, OC, ... crecen en progresión geométrica, las

áreas de los rectángulos sucesivos son iguales. Si se duplica el número de segmentos

entre los extremos, tal que OA, OM, OB, OR, OC, OS, OD, ... estén en progresión

geométrica, los rectángulos generados AMPQ, MBFN, ... , dos en cada trapecio

mixtilíneo, son iguales. Si se vuelve a duplicar el número de rectángulos inscritos en

estos trapecios, tomando medias proporcionales en los segmentos anteriores, las

áreas de ambos tienden a igualarse.

Saint Vincent menciona explícitamente que se basa en el Libro III de las Conics de

Apolonius para obtener la cuadratura de la hipérbola. Establece que: Primae

propositiones libri tertii Apollonii optime hic conveniunt et par eas segmentorum aequalitas

demonstrari potest in triangulis et quadrilateris de quibus ipse agit, es decir, considera que las

ideas de Apolonio se adecuan a esta situación en la cual se desea probar la igualdad

de segmentos utilizando triángulos y cuadriláteros.

101


Si bien Saint Vincent no asocia sus resultados con las propiedades logarítmicas,

sienta bases importantes para el desarrollo de estas nociones en el marco

geométrico-gráfico, el cual, según Confrey (2000), en el siglo XVII era considerado

como la principal representación en matemática ya que tanto la aritmética como el

álgebra eran consideradas como las formas de lenguaje escrito para la discusión de la

verdad geométrica.

Las investigaciones que realiza Torricelli sobre este tema se pueden reducir a las

dos más importantes, el trazado y estudio de la curva logarítmica y al de la espiral

logarítmica. Su estudio de las curvas es metódico y comienza con el trazado de las

mismas, continúa con el estudio de las formas y con la relación entre áreas

curvilíneas y áreas de rectángulos de referencia, llegando al importante resultado de

que la subtangente de la curva logarítmica es de longitud constante.

El trazado de la curva lo realiza a la manera antigua, inspirándose en la

definición de logaritmos. Sobre un eje traza segmentos iguales (AM=MN=NP=...) y

donde las longitudes de AM, AN, AP, ... crecen en progresión aritmética. Por los

puntos A, M, N, P, ... levanta las perpendiculares al eje AD, ME, NF, ... que

decrecen en progresión geométrica. Esta construcción respeta las relaciones

fundamentales de las progresiones que definen a los logaritmos y pueden

establecerse las relaciones:

.log 0; log ; log ..AD ME AM NF AN= = =

102


Esta curva es un arco logarítmico de ecuación

, pero recién en el siglo XVIII se le asocia

tal expresión. Torricelli utiliza las ideas de Euclides

para explicar la relación entre coordenadas, pues

ME = kAD; NF = kME= k

logx = y

2AD; PG = kNF= k3AD;

etc. y además, AM = MN = NP = ... por tanto

.PG ..NF= = =ME NFAD ME = k

CJG

F

E

D

A M N P T B

Concluye entonces, respecto a la curva, que es cóncava, que admite una rama

infinita que se aproxima asintóticamente al eje AB, por lo que le denomina

“hemyperbola” y que su subtangente es constante.

Vemos que Torricelli se aboca a estudiar las características de una curva logarítmica

pero en realidad explora la curva que hoy conocemos como exponencial, es decir, la

función inversa de la logarítmica. Eso se debe a que los matemáticos del siglo XVII

denominaban genéricamente curva logarítmica a aquellas que relacionan progresiones

aritméticas y geométricas, sin realizar la distinción que hoy utilizamos.

Iniciada por Saint Vincent y retomada por varios matemáticos, entre ellos

Fermat y Torricelli, la exploración de la cuadratura de la hipérbola da pie al hallazgo

y formulación de nuevas características de la función logaritmo en el campo de la

geometría. Los logaritmos se despegan entonces de sus orígenes aritméticos para

hallar cabida en otros registros en los cuales encuentra significados nuevos que los

enriquecen.

Por otro lado, observamos que la gráfica de la función logaritmo no fue

producto de la tabulación de sus valores, sino tema de múltiples exploraciones. De

esta manera, tanto la gráfica como la función logaritmo en sí, fueron objeto de

103

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . variados acercamientos y reformulaciones. La ductilidad de esta función respecto a

su desarrollo en serie de potencias dio cabida a desarrollos interesantes y aportó al

afianzamiento del cálculo.

Mengoli (1626-1685) es uno de los primeros en enriquecer los conocimientos de

logaritmos desde la perspectiva de las series, pues siendo un excelente conocedor de

las posibilidades de trabajar con sumas infinitas de fracciones, se aboca a estudiar

una nueva manera de definir los logaritmos, apartándose tanto de la definición

tradicional de Napier y Brigg como de las ideas geométricas que se habían

desarrollado hasta ese momento.

Según Naux (1966), Mengoli en su obra Geomtriae speciosae elementa (1659) le

confiere al logaritmo un nuevo significado, pues establece que utilizando solamente

conocimientos aritméticos se pueden definir, mediante series de fracciones, números

que cumplan con las propiedades de los logaritmos. Enuncia entonces, un teorema

de existencia pues considera que todo número a está dotado de un logaritmo

definido por la intervención directa de la cantidad a en la formación de su valor

numérico. Construye un modelo utilizando dos elementos fundamentales, a los que

denomina, hyperlogarithme (Hyl) e hypologarithme (hyl) de la siguiente manera:

1 1 1 1... ( )

1 2 11 1 1 1

... ( )1 2 1

an n n n na

an n n na na

Hyl

hyl

α

β

= + + + ++ + −

= + + + ++ + −

Todo término de la expresión a es más grande que su correspondiente en b, con

lo cual , además, nHyl a hyl a> n1 1 1 1(n n

aHyl a hyl an na n a

−− = − = ) cantidad que tiende

a cero cuando n tiende a infinito, por tanto observa que es posible intercalar un valor

104


numérico entre estos valores, (implícitamente está considerando la completitud de

los números reales). Entonces, y haciendo tender n a infinito,

Mengoli establece que A es el logaritmo de a, y lo define de la siguiente manera:

nHyl a A hyl a> > n

“Porro, logarithmus illa est quantitas, ad quae tendunt hyperlogarithmi, cum semper deinceps

minuuntur et ad quam tendunt hypologarithmi, cum semper deinceps augientur; omni minor

hyperlogarithmo, omni major hypologarithmo”, cuya traducción versaría, el logaritmo es

aquella cantidad, hacia la cual tienden los hiperlogaritmos disminuyendo

continuamente unos después de los otros y los hipologaritmos en aumento sin cesar

unos después de los otros. Es entonces, el más grande de los hiperlogaritmos y el

más pequeño de los hipologaritmos.

Este desarrollo de Mengoli, demuestra su conocimiento de las discusiones

contemporáneas sobre la naturaleza del continuo y sobre convergencia, y permite

asimismo establecer una analogía con el área bajo la hipérbola equilátera.

Sea OA = 4, OB = 8, AM = MN = NP = PB = 1

D

C

B P M N A O

105


La suma del área de los rectángulos circunscritos es, utilizando notación

moderna, la cual no era propia de Mengoli, quien expresaba sus ideas

coloquialmente, es decir, con un reducido uso de símbolos:

4 4

4 4

1 1 1 1 S 24 5 6 71 1 1 1 S 25 6 7 8

S H

S h

= + + + ⇒ =

= + + + ⇒ =

4

4

yl

yl

y según la definición de Mengoli, el área ABCD es el logaritmo de 2.

Pese a la originalidad de estas ideas, las mismas no hayan eco en la sociedad

matemática y se desvanecen con el tiempo. Sin embargo, es quizás una de las

primeras veces en donde se evidencia que el logaritmo está en función del número.

Por otro lado, Mengoli se interesa en el estudio de la fisiología, centrando su

atención en hallar una ley para describir el sonido en su obra Speculationi di musica

(1670). En este campo propone asociar un fenómeno real y uno subjetivo mediante

un modelo que utiliza logaritmos, y en el cual involucra las vibraciones del tímpano

provocadas por el movimiento del aire, idea muy progresista para su época y que se

desarrolla varios siglos después. Comienza así otra etapa en el desarrollo de los

logaritmos, en la cual éstos son usados para modelar fenómenos de la naturaleza.

Tanto Huygens como Newton utilizan los logaritmos para describir, entre otros

fenómenos naturales, la caída de los cuerpos en medio resistentes. Vuelve a aparecer

así, pero tratado con herramientas matemáticas más desarrolladas y poderosas, lo

que siglos antes Arquímedes y luego Bradwardine intentaran modelizar al abordar el

estudio de la relación entre la velocidad de los cuerpos y las fuerzas que las causan.

106


En este sentido, cabe mencionar los aportes de Huygens a la floreciente

disciplina de la física matemática quien, entre otros fenómenos como la propagación

de ondas, estudia la caída de un cuerpo, por su propio peso, en un medio que le

ofrece cierta resistencia. Sus investigaciones lo llevan a describir el movimiento del

cuerpo mediante una curva logarítmica y a estudiar características de las mismas. Los

utiliza asimismo, para modelar fenómenos de probabilidad y combinatoria y para

expresar sus exploraciones numéricas en torno a la relación entre presión

atmosférica y altura.

En el anexo 1 reproducimos parte del original de su Discours de la cause de la

pensateur publicada en su Traité de la Lumiére en 1690. Lo interesante de estas

exploraciones recae en el uso de los logaritmos como herramientas para la

modelización de fenómenos de la naturaleza, en este caso en particular, de la caída

de un cuerpo en un medio. Establece que la resistencia del aire o agua está en

relación con el cuadrado de la velocidad que éste adquiere, pero que si se supone que

la resistencia es como la velocidad del aire, la curva espacio-tiempo que se produce

es la curva logarítmica (ABC) pues al tomar segmentos iguales (FG, GD, etc.) sobre

su asíntota (DE), los puntos sobre la curva que quedan determinados siguen una

progresión geométrica, lo cual es una de las características propia de los logaritmos.

El gráfico que presenta Huygens en su tratado es el siguiente:

AQKD

G

F

OE

R NH

B

P

L MC

107


Es decir, al tomar FG = GD los segmentos FB, GH y DA se hallan en

progresión geométrica, en palabras de Huygens: “proporcionalmente continuas”.

Considera entonces que la velocidad de un cuerpo aumenta continuamente,

acercándose a un valor, llamado velocidad terminal, que no puede ser sobrepasado y

al que se llega cuando el peso es igualado por la resistencia del medio, momento en

el cual la aceleración se anula y por tanto la velocidad se vuelve constante.

En quince ítems explora y detalla las características de la curva logarítmica.

Establece relaciones entre espacios comprendidos entre la curva, las asíntotas y las

ordenadas con distintos segmentos, llegando a comparar el área de un espacio

infinito con la de uno finito. Utiliza ideas geométricas en algunas de sus afirmaciones

en tanto que, para otras, pareciera sustentarse en el cálculo y en resultados anteriores,

tales como la cuadratura de la hipérbola establecida por Saint Vincent.

Newton, por su parte, también explora el movimiento de los cuerpos en medios

resistentes publicando los resultados de sus investigaciones en el libro Philosophie

Naturalis Principia Mathematica (1686) considerado su obra cumbre y uno de las más

influyentes en la ciencia moderna. En sus escritos e ideas se percibe una actitud

crítica hacia la geometría universal de Descartes en boga en esos años como

representación fundamental en matemáticas, sosteniendo que el álgebra y la

aritmética son las ciencias matemáticas básicas contraponiendo a la anterior una

mecánica universal, en la cual todo fenómeno observable puede ser referido a un

conjunto de cuerpos en movimiento según reglas precisas.

Kepler, Galileo, Huygens y Newton entre otros, se esfuerzan por someter a los

fenómenos de la naturaleza a las leyes de la matemática. Un claro ejemplo de ello se

encuentra en los Principia de Newton en los cuales, utilizando su cálculo, demuestra

que basta medir con precisión para hallar un factor causal. Para él, sabiendo trazar

108


tangentes a las curvas, o hallar las áreas comprendidas entre ellas, es posible

adentrarse con la geometría en el mundo real y medir tiempos y espacios, masas y

velocidades, hasta llegar a una ecuación fundamental.

En el Libro II de los Principia, Newton desarrolla sus ideas y resultados respecto

al movimiento de los cuerpos en medios resistentes. Utiliza a lo largo de sus

proposiciones, lemas y teoremas que la velocidad y las fuerzas de resistencia o de

gravedad se relacionan mediante progresiones geométricas y aritméticas, por

ejemplo, establece que:

Si un cuerpo es resistido en la razón de su velocidad, y se mueve por su sola inercia a través de

un medio homogéneo, y los tiempos se toman iguales, las velocidades en el comienzo de cada uno de

los tiempos están en una progresión geométrica, y los espacios descritos en cada uno de los tiempos

son como las velocidades. (Proposición II. Teorema II)

Explora así, varias situaciones en las cuales juega con tiempos, velocidades,

espacios y fuerzas considerando que los espacios están relacionados con las áreas

bajo las curvas y por ser éstas, en la mayoría de los casos, hipérbolas equiláteras se

torna indispensable el uso de las tablas de logaritmos para determinarlas. Por tanto

no desarrolla ideas respecto a los logaritmos y sus características, sino que

claramente los utiliza en sus conjeturas. Las investigaciones que realiza sobre ellos no

las plasma en este libro sino en publicaciones anteriores, entre ellas, en una carta a

Leibniz de 1676 cuyo detalle presentamos más adelante y en un escrito encontrado

bajo el título Further logarithmic calculation fechado aproximadamente en 1667 donde

presenta ideas para calcular los logaritmos con tanta precisión como se requiera.

Observamos en esta época, mediados del siglo XVII, un cambio de enfoque

respecto a los logaritmos. Su importancia va más allá de la necesidad de facilitar

109

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . cálculos, problemática que les dio origen, y la cual los rebaja a un mero tratamiento

aritmético, para encaminarse ahora, con mayor interés, hacia las problemáticas

propias del cálculo integro-diferencial, mirados bajo una óptica más analítica, para la

cual fue relevante su desarrollo en serie logrado simultánea, aunque

independientemente, por Mercator y Newton.

Mercator describe, en su obra Logarithmotechnia de 1668, un procedimiento para

hallar la cuadratura de la hipérbola mediante series. Extiende el algoritmo de la

división aritmética a la algebraica, determinando que:

2 31 1 ...1

a a aa= − + − +

+

en donde no tiene en cuenta la existencia de resto, para luego integrar esta expresión,

es decir, aplicar ideas de sumatoria hallando que, en el intervalo 0 a 0.1 la suma es

0.095310181, siendo el valor exacto de 0.1

0 1da

a+∫ el número 0.095313179.

Observamos que con este nuevo método el número de cifras decimales exactas

puede extenderse tanto como se desee. Newton, por su parte, entre 1665-1666

desarrolla una teoría completa sobre series, con la que abarca también la obtención

de los logaritmos hiperbólicos, considerando que éstos son el resultado de calcular

áreas hiperbólicas.

En un artículo recogido por Whiteside (1968) que data de 1667, intitulado:

Further logaritmic calculations Newton presenta dos proposiciones para calcular el área

bajo una curva, específicamente de áreas hiperbólicas:

110


Prop. 1.- Supposing ab=x ^ bc=y. If ye valor of y consist of simple termes, Multiply each

terme by x, & divide it by ye number of ye dimensions of x in that terme, & ye quote shall signify ye

area acb.

Prop. 2 If any terme in ye valor of y bee a compound terme Reduce it to simple ones by

Division or Extraction of Rootes or by Vieta’s Method of Resolving Affected Equations, as you

would doe in Decimall Numbers, & yn find ye Area by Prop 1st.

A diferencia de Mercator, que trabaja con el caso particular de la hipérbola

equilátera, Newton desarrolla su método utilizando la expresión más general de una

hipérbola, es decir, aayb x

=+

que al dividir en fracciones decimales es:

33 4 ...aa aa aa aa aay x xx

b x b bb b b= = − + − +

+x

y por tanto, mediante su teoría de fluxiones para la medida de áreas determina, en

notación moderna, que:

2 2 2 2 2

2 3 42 3 4 ...

2 3 4a dx a a a ax x x xb x b b b b

= − + − ++∫

asociando a esta expresión con el área hiperbólica abc y así,

2 3 4

2 3 4

1 1 1log( ) ...2 3 4

x x x xb xb b b b

+ = − + − + si a =1

Para calcular el área, utiliza dos series que podrían denotarse de la siguiente

manera:

111


( )

( )

2 1

0

2

1

1,2 1

1,2

i

i n

i

i n

m n mi

m n mi

α

β

+

≤ ≤

≤ ≤

= +

=

∑

∑

es decir, calcula los términos positivos de la serie mediante a y los negativos con b.

Por ejemplo, suponiendo que ad = 0.9 y ac = 1.1 siendo ab=bc=1, la suma de las

series a y b es el área dbfc y su diferencia el área bche.

En efecto, si x =0.1=be, hoy interpretaríamos este resultado como:

( ) ( )

2 3 4

3 2

1 1 1log(1.1) log(1 0.1) 0.1 0.1 0.1 0.1 ...2 3 41 1 1 0.1 0.1 ... 0.1 0.1 ...3 2 4

0.1, 0.1,n nα β

= + = − + − +

= + + − + +

= −

4

= área bche

112


Del mismo modo:

( ) ( )

2 3 4

3 2 4

1 1 1log(0.9) log(1 0.1) ( 0.1) ( 0.1) ( 0.1) ( 0.1) ...2 3 4

1 1 1 0.1 0.1 ... 0.1 0.1 ...3 2 4

[ 0.1, 0.1, ]n nα β

= − = − − − + − − − +

= − + + − + +

= − +

= área dbfc Newton sólo escribe sus resultados:

área bche =0,09531,01798,04324,86004,39521,23280,76509,22206,05365,30864,41991,83

área dbfc = [-]0,10536,05156,57826,30122,75009,80839,31279,83061,20372,98327,40725,43

Posteriormente establece que las líneas ad, ae etc. son respecto a las áreas bcfd,

bche etc. como los números a sus logaritmos pues las líneas ad, ae, etc. crecen en

progresión geométrica y las superficies bcfd, bche, etc. crecen en progresión aritmética.

De esta manera calcula log(0.9) y log(1.1) tomando ad = 0.9 y ac = 1.1

respectivamente y, log(0.8) y log(1.2) al considerar ad = 0.8 y ac = 1.2, esto es para

x = 0.2. Pasa luego a calcular los logaritmos de 2, 3, 10, 100, 1000, 10000, etc. pues

hace observar que:

1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 22; 0.8 0.9 0.8 0.8 0.9 0.8

1.2 1.2 1.2 1.2 2 2 40.8 0.8 0.8 0.9 0.9 0.8 0.8

10 2 5; 100 10 10; 11 10 1.1

× × × ×= =

× × ×

× × × ×= =

× × × ×

= × = × = ×

113

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . utilizando entonces, aunque no lo explicita, las propiedades de los logaritmos, por

ejemplo:

log 2 = log 1.2 + log 1.2 + log 1.2 – log 0.8 – log 0.9

Da varios ejemplos de cómo calcular el logaritmo de números valiéndose del

conocimiento de otros para lo cual se las ingenia para factorizar cada número

convenientemente. Logra así dar aproximaciones de los logaritmos con 57 cifras

significativas.

Newton, retoma estas ideas en una carta dirigida a Leibniz el 24 de Octubre

de 1676, donde explica algunas nociones de su método de fluxiones y discute cómo

calcular logaritmos hiperbólicos partiendo de dos expresiones:

3 5 7

2 4 6 8

1 [log(1 ) log(1 )] ...2 31[log(1 ) log(1 )] ...2 2 4

x x xx x x

x x x xx x

+ − − = + + + +

+ + − = + + + +

5 7

6 8

En particular, encuentra que para las expresiones se convierten en: 0.1x =

1 [log1.1 log 0.9]2

− y 1 [log1.1 log 0.9]2

+

cuyo cálculo utilizando series es bastante sencillo. Prosigue con obteniendo

los logaritmos de 0.8 y de 1.2 mediante sus fórmulas y utilizándolos para calcular los

logaritmos de 2 y de 10 pues considera que:

0.2x =

114


1.2 1.2 20.8 0.9

×=

× y 2 2 2 10

0.8× ×

=

lo cual le permite extender sus cálculos a números como 11, 9 etc. pues, por

ejemplo,

log11 log(1.1 10) log1.1 log10= × = + ;

log 9 log(0.9 10) log 0.9 log10 2 log 3= × = + =

Mediante este método calcula los logaritmos de 2 y de 10 con 57 cifras decimales

exactas.

Newton y Leibniz, piezas fundamentales en el desarrollo del cálculo

infinitesimal, utilizaban las relaciones log( ) dxx

=d x y log( )dx xx

=∫ adecuando sus

nuevas ideas a los conocimientos anteriores sobre logaritmos. Ambos exploraron las

propiedades de la geometría de las hipérbolas aplicándoles sus nuevas concepciones.

Tanto Newton como Wallis, en sus estudios de las cuadraturas, identifican a la

hipérbola equilátera como no cuadrable, es decir, una curva que no se ajustaba a las

expresiones que estaban construyendo para calcular el área bajo la misma,

determinando que en este caso el área es infinita.

Según Martínez (2000), entre las anotaciones que hiciera Newton sobre el

trabajo de Wallis se encuentra la siguiente proposición:

Proposición 1.- Supongamos que , bd (perpendicular a ab) y que

la naturaleza de la línea addc es tal que el valor de “y” consiste de fracciones donde

“x” puede ser numerador o denominador pero en ambos casos la dimensión [el

ab x= y=

115


exponente] de “x” no puede ser diversa [es decir, que tenga dimensión

entera].

c c

d d d

d &c a

a b b

Entonces si multiplicamos cada valor de “y” por “x” y dividimos cada término

por la dimensión de “x” más una unidad, el resultado significa el área abd de la

línea addc.

Por ejemplo: Si y = 1 , y = x o y = xx o x3 o x4 ... el área abd es 11x ,

o 2

xx o 3xxx o, 3

4xx , 4

5xx ... También si ay

b= , o axy

b= o

axxyb

= ... el área abd es axyb

= o axxyb

= o 3axy

b= ...

De la misma manera, si ayxx

= o 3

ayx

= o 4

ayx

= ... entonces

(( 1 )

a ayx x

−= =

−) , o

( 2 )ayxx

=−

... es el área abd (como otros han

demostrado) también si a yx= entonces

0

0 0a ax= es el área de abd, que es un

área infinita...

(Newton, 1665, citado en Martínez, 2000, p. 30)

116


Por otro lado, Newton propone, para hallar la cuadratura de la hipérbola, el

siguiente procedimiento:

Sea nadm una Hipérbola, & cp = 1 = pa, pq = x, qd, qe, qf, qg, & c = y

&

d

e

f

g

a

n

b

c p q

m

3

3 4

11111 2

1 3 3

1 4 6 4 ... etc

y dqxy eq

x y qfx xx y qg

x xx x

x xx x x

= =+= =

+ = =

+ + = =

+ + +

+ + + +

Sus cuadraturas son, respectivamente:

3

3 4

3 4 5

3 4 5

,,

22 ,

2 33 3

2 3 44 6 4 ,

2 3 4 55 10 10 5 ,

2 3 4 5 6

xxxx

xx xx

xx x xx

xx x x xx

xx x x x xx

+

+ +

+ + +

+ + + +

+ + + + +6

como lo muestra la siguiente tabla:

117


=apqd =apqe =apqf =apqg

X 1 1 1 1 1 1 1 1

2xx -1 0 1 2 3 4 6 7

33x 1 0 0 1 3 6 15 21

44x -1 0 0 0 1 4 20 35

55x 1 0 0 0 0 1 15 35

66x -1 0 0 0 0 0 6 21

77x 1 0 0 0 0 0 1 7

Los primeros términos representan la cuadratura de la Hipérbola, esto es:

3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9 1xx x x x x x x x xx − + − + − + − + −

10

0

(Newton, 1665, citado en Martínez, 2000, p. 33)

Vemos entonces, que Newton encara el estudio de los logaritmos sometiéndolos

a su método de fluxiones y reconociéndolos como herramientas útiles. Desarrolla,

por tanto, una forma sencilla de calcularlos con la precisión que se desee, la cual

dependerá del error que se cometa al calcular cada término de la serie y al sumarlos.

Realiza así, un cuidadoso estudio de los logaritmos derivado quizás de su necesidad

de medir con precisión, requisito necesario para sustentar las afirmaciones de su

Principia.

Ya en los manuscritos de Leibniz de 1675, en los cuales se observa el afán de

organizar ideas aunque para su comunicación utilizara en un lenguaje de difícil

comprensión y que requiriera del trabajo de otros matemáticos como los hermanos

Bernoulli o L’Hospital para hacerlos asequibles a la mayoría, aparece la idea de que la

118


integral del recíproco de una variable es igual al logaritmo de la misma, en términos

modernos: 1 log( )yy=∫ . Newton, por su parte, analiza las hipérbolas equiláteras

desde su óptica de las fluxiones. Sin embargo, es Bernoulli quien generaliza estas

ideas estableciendo que ( , )log ( , )( , )

dF x yx yF x y

=d F , requiriéndose varios años para

hallar la deducción geométrica de esta expresión y de su inversa, es decir, su integral.

Tanto Leibniz como su alumno Bernoulli, comienzan a explorar la vinculación

entre los exponenciales con los logaritmos, esto en una época en la cual se empezaba

a pensar en la posibilidad de expresar los exponentes como variables, es decir,

aceptar como tales a cualquier número. Estas ideas encuentran antecedentes en los

trabajos de Oresme (1328-1382), quien propone el uso de exponentes para el

tratamiento de los irracionales ya conocidos desde los griegos. Sorprende además,

con sus ideas acerca de la posibilidad de representar variaciones mediante segmentos

lo cual es un importante aporte al desarrollo de la noción de función y tratamiento

de la variación. Las consideraciones respecto al uso de los exponentes, se

profundizan con Chuquet, como estableciéramos anteriormente. A su vez, Wallis en

su libro Arithmétique des infinis (1656) avanza sobre las ideas de exponentes,

proponiendo el uso de números positivos, negativos y fraccionarios. Comienza así a

aceptarse como natural que el exponente pueda ser cualquier número, por tanto

aparece al seno del álgebra las expresiones del tipo y . xa xx

Según Confrey (2000) si bien no fue Walllis el primero en utilizar los exponentes

fraccionarios, su obra es importante pues sus métodos empíricos inspiraron a

Newton para derivar su serie binomial general, la cual a su vez fue la principal

herramienta que Euler utilizó para explorar el mundo de las funciones continuas

incluyendo las exponenciales de base natural y las logarítmicas.

119


Si bien Descartes introduce el simbolismo moderno para potencias de números

mediante una notación que es aceptada rápidamente por matemáticos de la época,

como Wallis y Newton quienes la extienden utilizando exponentes enteros positivos,

negativos y fraccionarios, la relación entre las funciones exponencial y logarítmica no

es palpable en esta época. Al respecto, podemos considerar que “la teoría de los

exponentes que involucra valores positivos, negativos y fraccionarios es explicada y usada en el

Analyse demontrée de C. Reyneau, París 1708. La unión de los conceptos de exponencial y

logaritmo tuvo lugar hasta el siglo XVIII”. (Cantoral et al., 1983). Efectivamente, en las

reflexiones de Euler en torno del concepto de función, éstas aparecen definidas

mediante la función inversa, tema sobre el que ahondaremos en el próximo capítulo.

La controversia respecto a aplicar el concepto de logaritmo a números negativos

y complejos aparece en los siglos XVII y XVIII, época en la cual la extensión de las

propiedades conocidas para determinado conjunto de números a otro, era hecha de

manera natural. Lo endeble de las concepciones que los matemáticos de esta época

manejaban respecto a los números negativos y complejos generó controversias entre

personajes de la talla de Bernoulli y Leibniz, en torno al significado de calcular su

logaritmo, las cuales quedaron plasmadas en la correspondencia mantenida por

ambos. El trabajo de Soto (1988) rescata estas discusiones y las pone a consideración

de un grupo de profesores mediante una serie de deducciones extraídas de las

mismas. Su manuscrito es un claro ejemplo de la importancia de conocer el devenir

en objeto de saber de cierta noción pues el mismo se repite y se percibe en las

discusiones de los profesores. Vemos entonces que, rastrear la génesis de las

nociones en la historia, nos arroja luz sobre los sucesos del aula, así como también el

estudio de las producciones de los alumnos y profesores nos pueden permitir

comprender mejor su devenir histórico.

120


Por otro lado, cabe analizar las producciones del siglo XIX, para lo cual, hemos

elegido la obra de Cauchy, por ser uno de los matemáticos cuyas ideas ingresaron en

el discurso matemático escolar con mayor fuerza y las cuales persisten hasta nuestros

días, en detrimento de otras, como las de Lagrange, que sin ser menos eruditas o

rigurosas, no lograron permanecer en el ámbito escolar.

Cauchy (1789-1857), es quizás el fundador del análisis matemático moderno

pues tanto su rigor como su concepción de la matemática lo aleja de sus

predecesores. Se reconoce en su obra la influencia de las ideas de Euler, pero a su

vez un distanciamiento de ellas hacia un enfoque más analítico que algebraico. Su

Análisis Algebraico y su Lecciones sobre cálculo diferencial (1821) son libros dirigidos a los

alumnos de escuelas orientadas a la formación de técnicos para el Estado y para la

industria. Esta última es, quizás, la primer obra de análisis y en la cual se reflejan las

ideas de su autor respecto a dar más precisión a las teorías y a aportar restricciones más útiles

a las aseveraciones demasiado extendidas (Cauchy, 1994).

Cauchy, luego de una breve introducción, estructura su Curso de Análisis en dos

partes, la primera destinada al análisis algebraico desarrollado en once capítulos; y la

segunda al cálculo infinitesimal, estructurado en veinticuatro lecciones. A su vez,

cada capítulo o lección consta de varios parágrafos en los cuales desarrolla sus ideas

de manera muy esquemática, presentando para ello, el enunciado del teorema, su

demostración, los corolarios que se pretenden de él y alguna que otra vez,

resolviendo un problema. Se considera que la aportación más significativa de Cauchy

fue su definición de continuidad, la cual estructura su obra.

Al igual que Euler, inicia su trabajo definiendo el concepto de función,

estableciendo que:

121


... cuando las cantidades variables están de tal modo relacionadas entre sí que,

dado el valor de una de ellas, es posible concluir los valores de todas las demás,

expresamos ordinariamente estas diversas cantidades por medio de una de ellas, la cual

toma entonces el nombre de “variable independiente”, y a las otras cantidades

expresadas por medio de la variable las llamamos funciones de esta variable...

(Cauchy, 1994, p. 77)

Da también una clasificación de las mismas dividiéndolas primero en explícitas e

implícitas, y para ejemplificar estas categorías se vale de la función logaritmo de la

siguiente manera:

En la ecuación “y” es una función implícita de x, pero si llamamos

A la base del sistema de logaritmos que se consideran, la misma función, se vuelve

explícita mediante la resolución de la ecuación dada, y queda expresada de la siguiente

forma:

( )L y x=

xy A=

(Cauchy, 1994, p. 78).

A diferencia de Euler, divide a las funciones en simples, aquellas que resultan de

una sola operación efectuada sobre la variable y compuestas a las que se deducen de

una sola variable con ayuda de varias operaciones.

Al desarrollar sus ideas sobre continuidad, en el capítulo 2, establece que tanto

xa como son funciones continuas en la vecindad de una valor finito atribuido

a la variable x, si el valor se encuentra comprendido entre cero e infinito, en tanto

que, en estos últimos tomará valores singulares, es decir, y si

la base del logaritmo es menor que la unidad y al revés si la base es mayor que uno.

( )L x

(0)L = −∞ ( )L ∞ = ∞

122


Continúa su presentación utilizando las funciones logaritmo y exponencial para

ejemplificar distintos teoremas, hasta que en el Capítulo V, titulado Determinación de las

funciones continuas de una sola variable adecuadas para verificar ciertas condiciones y en el

primer parágrafo del mismo, Búsqueda de una función continua formada de tal manera que

dos funciones semejantes de cantidades variables, al ser añadidas o multiplicadas entre ellas, dan

como suma o producto una función semejante a la suma o producto de esas variables, plantea el

problema de determinar una función continua de x, representada por (x )ϕ tal que

verifique para todo valor posible de x una de las siguientes ecuaciones:

( ) ( ) (( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x y x yx y x yxy x yxy x y

)ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ

+ = +

+ =

= +

=

donde observamos que la cuarta expresión corresponde a la propiedad de los

sistemas logarítmicos. Efectivamente, enuncia:

Problema 3. Determinar la función ( )xϕ de tal manera que permanezca continua entre

dos límites positivos cualesquiera de la variable x, y que se tenga para todos los valores positivos de

las variables x, y :

( ) ( ) (xy x y )ϕ ϕ ϕ= +

Solución: Considera que si se designa por A un número cualquiera, y por L a la

característica de los logaritmos en el sistema de base A, se tendrá, para todos los

valores positivos de las variables x, y:

, Lx Lyx A y A= =

123

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . donde vuelve a aparecer las funciones exponencial y logarítmica como inversas una

de la otra, de modo que la ecuación dada se convierte en:

( ) ( ) (Lx Ly Lx LyA Aϕ ϕ ϕ+ = + )A

)A

)

Lx

utiliza ahora la regla de producto de potencias de igual base, sin aclarar nada al

respecto, es decir, dándolo por conocido.

Establece luego que, como las cantidades variables Lx y Ly admiten cualquier valor

positivo o negativo, resulta que se tendrá, para todos los valores reales posibles de las

variables x, y

( ) ( ) (x y x yA Aϕ ϕ ϕ+ = +

de donde concluye, utilizando la resolución del primer problema referente a la primera ecuación

presentada en este apartado, lo siguiente:

1( ) ( ) (xA x A x Aϕ ϕ ϕ= =

y en consecuencia

( ) ( )LxA Aϕ ϕ=

o lo que es lo mismo:

( ) ( )x aL xϕ =

donde a y A son constantes arbitrarias.

124


Vemos en este problema una manera particular de definir los logaritmos, más

estructural y analítica que las anteriormente presentadas, con un enfoque más

riguroso y abstracto acorde con las ideas sobre matemáticas de su autor.

En los parágrafos siguientes continúa desarrollando sus ideas y utilizando los

logaritmos para ejemplificar las mismas. Se aboca a presentar el desarrollo en serie de

varias funciones y a determinar su convergencia, sometiendo a este estudio a las

funciones exponencial y logarítmica a partir del desarrollo de la expresión (1

en donde designa una cantidad cualquiera.

)x µ+

µ

En la segunda parte de su libro, desarrolla el Cálculo infinitesimal comenzando por

enseñar a derivar distintas funciones, a trabajar con indeterminaciones y cambios de

variables, a determinar máximos y mínimos, proceso en el cual encontramos

indefectiblemente a los logaritmos y exponenciales.

A partir de la Lección XXI, comienza a trabajar con integrales definidas, y en la

lección XXII, donde presenta Fórmulas para la determinación de los valores exactos o

aproximados de las integrales definidas, aparece la expresión:

0 0

limX

x

dx Xn lx x

α= =∫

estableciendo que esta ecuación debe limitarse únicamente al caso en el que las

cantidades x0 y X estén afectadas por el mismo signo (Cauchy, 1994, p. 297).

Observamos en el discurso de Cauchy ideas más estructuralistas para cuyo

desarrollo utiliza un leguaje simbólico pulido y estricto. En su libro están ausentes

vinculaciones de los temas desarrollados con la realidad, o con otras disciplinas

125

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . como la física. Se limita al estudio de la matemática en la forma más pura y rigurosa

que los cánones de su época le permitieron.

Nos interesó presentar una visión de su trabajo e ideas pues indudablemente fue

un matemático que abrió caminos, y cuyas concepciones prevalecieron y opacaron

las de otros científicos de su época, tal como Lagrange, cuya visión del Binomio de

Newton, tan importante en el sustento de las ideas de ambos, y de las derivadas, son

sutilmente diferentes y las cuales no han sido recogidas al seno del discurso

matemático escolar, el cual se rige por concepciones de Cauchy.

Observamos en la obra de Cauchy la ausencia absoluta de gráficos y de ideas

geométricas en torno a los logaritmos cuya exploración en siglos anteriores derivó en

la vinculación de la cuadratura de la hipérbola con la función logaritmo. El rigor y

purismo matemático presentado en la misma difiere sustancialmente de los del siglo

XVII, donde era fundamental que un concepto admitiera una representación

geométrica para ser validado como saber matemático.

Hemos observado cómo los logaritmos encontraron un lugar en cada registro, se

adecuaron a la aritmética en sus orígenes facilitando cálculos laboriosos al

transformar multiplicaciones en sumas y divisiones en restas. Sobrevivieron al

cálculo integro-diferencial hallando en la cuadratura de la hipérbola equilátera otra

manera de ser representados, se adecuaron y hallaron características propias en la

geometría al poseer una subtangente constante, adquirieron el estatus euleriano de

función al admitir ser desarrollados en series de potencias. Se convirtieron en una

herramienta importante para la descripción de fenómenos físicos permaneciendo

impávidos ante el nuevo paradigma de la ciencia “moderna” y lograron ser incluidos

en la estructura matemática de hoy al soportar una definición rigurosa y abstracta

que respeta sus características esenciales.

126


Queda como tarea, para completar la visión global sobre el desarrollo de los

logaritmos, extender este trabajo hacia las ideas del siglo XX, y profundizar en otras

imprecisiones de las que adolece el mismo. Abarcar la profusión de ideas y su

desarrollo en torno a los logaritmos es un trabajo que supera las posibilidades de la

presente investigación aunque no los intereses de la misma.


En este capítulo hemos presentado la exploración sobre el desarrollo de los

logaritmos. Lo hemos hecho de manera cronológica, sin expresar mayormente

nuestras opiniones, sólo a título informativo intentando evidenciar su evolución y

prestando atención a los hitos que consideramos más relevantes. Cabe ahora

reflexionar sobre estos datos, los cuales, si bien distan de ser exhaustivos, nos

proporcionan una idea bastante general del devenir de los logaritmos en saber

aceptado e incorporado a la estructura matemática.

Se permea de lo expuesto que los logaritmos fueron aceptados rápidamente por

la comunidad de eruditos, fueron acogidos y desarrollados por varios de ellos,

sometidos a nuevos métodos de análisis, a nuevas formulaciones, y su ductilidad les

permitió, quizás, llegar a nuestros días con un status importante dentro de la

estructura de conocimientos matemáticos.

Coincidimos con la visión actual que el conocimiento se construye, alejándonos

así de las ideas platónicas respecto a que un concepto se debe redescubrir pues ya

existe en el mundo de las ideas. Creemos en la riqueza de las exploraciones del

hombre en busca del conocimiento, de dar explicaciones a su entorno, a sus

127

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . inquietudes por dominar la información proveniente de la naturaleza, de su

interacción con ella y con sus semejantes. Admitimos su capacidad de generar

preguntas y de darles respuesta dentro de un paradigma particular, y de reformularlas

y mudarlas a otros, producto de la evolución continua, que quizás llegan a escindir a

las nociones de sus orígenes pero que las enriquecen y las robustecen, o quizás las

obligan a caer en el desuso o en el olvido, cuando esta transformación no es del todo

feliz o por no haber podido resistir los embates de las nuevas ideas y métodos de

análisis.

Coincidimos con Bachelard en cuanto que la ciencia, y para nosotros también la

matemática, no es un cúmulo de ideas que va aumentando su volumen con los

nuevos descubrimientos, sino que va reestructurándose, mutando, madurando,

sobreviviendo a rupturas y crisis que la fortalecen. Es decir, rastrear la evolución de

un concepto, dista de ser sólo la presentación cronológica de la misma, la cual no

deja de ser parcial, producto de las interpretaciones de historiadores, de la

posibilidad de que los originales no se pierdan o se destruyan por ideologías

contrarias o por accidente, donde se dé cuenta de su evolución hacia ideas más

abstractas, más distantes de las preguntas o necesidades que les dieron origen.

Enriquece la mirada observar el medio en el que se constituyó, su campo de validez,

sus reglas de uso, sus extensiones hacia otros campos, los aportes de sus usuarios. Se

debe intentar percibir etapas, en las que confluyan ideas y en donde los niveles de

reflexión muestren cierta coherencia interna, donde las deducciones y métodos sean

compatibles con la ideología y paradigma imperante en la misma, siendo sensibles a

los quiebres y rupturas que permiten evolucionar hacia otros períodos de equilibrio,

responder a otros cuestionamientos, adaptarse a otros paradigmas.

Así, consideramos que un objeto matemático se construye por abstracción y

reflexión, es decir, actuando sobre su naturaleza. Un concepto se crea, por tanto pasa

128


por distintos estadios surgiendo como respuesta a una pregunta formulada dentro de

un contexto socio-cultural que le confiere razón de ser.

En el recorrido que efectuáramos por la historia de los logaritmos, hemos

intentado abarcar la mayoría, sino todas, las etapas y formulaciones a las que

estuvieron sujetos rastreando su presencia en la cultura, de la mano de varios

historiadores y de algunas obras originales. Partimos entonces, de la idea que toda

noción, en un primer momento, es utilizada sin ser explicitada, definida, sin tener

consciencia de ella. En el caso de función, correspondería al momento en el cual los

antiguos establecieron relaciones entre cantidades, las tabularon identificando

correspondencias, las manipularon sin poseer en realidad un pensamiento funcional

como lo concebimos hoy en día. Si pensamos en los logaritmos en particular, esta

etapa de acción por utilizar la terminología de la Teoría de Situaciones Didácticas y

establecer una analogía con sus ideas y el desarrollo de los conocimientos

matemáticos producidos por la humanidad, correspondería a la etapa que precede la

definición formal de Napier.

Consideramos que las ideas relacionadas con los logaritmos, tales como

manipular grandes números, facilitar cálculos, establecer correspondencias entre

progresiones numéricas, existen desde la antigüedad. Como mencionáramos, ya

Arquímedes sienta precedentes a la ley de los exponentes en su intento por extender

el rango de los números conocidos y hacer cálculos que superaban las posibilidades

del sistema numérico utilizado en sus días, en tanto que los esfuerzos de Stifel y

Chuquet por conferir sentido a la correspondencia entre las progresiones aritméticas

y geométricas, se constituyen en un primer intento de extender los exponentes a

todo número conocido y no limitarse a los naturales. Percibimos, también, las ideas

de Napier en las relaciones utilizadas por los astrónomos del siglo XVII como Tycho

Brahe y Kepler entre otros, los cuales utilizan la expresión denominada prosthapheresis

129

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . la que establece una correspondencia entre un producto y una suma de relaciones

trigonométricas, persiguiendo sólo facilitar los cálculos con números provenientes de

especulaciones astronómicas.

Podemos llamar entonces, a esta primera etapa donde nociones subyacentes a los

logaritmos comienzan a tener fuerza y a preparar el camino para la génesis de los

mismos, etapa de exploración algorítmica, esto en el sentido de búsqueda de algoritmos

que facilitasen el cálculo de cantidades, las cuales se habían vuelto inmanejables y

demandaban laboriosas operaciones. Es una época donde prolifera la construcción

de tablas como medios de registrar las operaciones ya conocidas, es decir, como

medios de ahorrar tiempo en tediosos cálculos tales como raíces cuadradas o

cúbicas, o en la evaluación de funciones trigonométricas; en la cual germina la idea

de utilizar transformaciones entre reales, estableciendo una correspondencia entre

operaciones, esto es, convirtiendo productos en sumas.

Distinguimos así, en el discurso matemático de la primera etapa, dos ideas que

más tarde confluyen en la definición de los logaritmos: por una lado, la relación entre

las progresiones aritmética y geométrica que se constituye en el eje central de la

misma, y por otro, el pasaje de una multiplicación, división o potencia, a una suma,

resta o multiplicación sencilla respectivamente, lo cual le confiere su razón de ser.

Bajo este contexto e inquietudes, en 1614, formalmente se publican las ideas de

Napier plasmadas en sus tablas y dándose a conocer, también, el método para

construirlas. Comienza así una etapa de tabulaciones y trasfondo numérico en la

utilización de los logaritmos. Su potencia como herramienta facilitadora de

operaciones los hace objeto de múltiples exploraciones y reformulaciones. Pese a la

continuidad de la tabla realizada por Napier, no se percibe un pensamiento funcional

en torno a los logaritmos. Es una etapa que podemos considerar numérica utilitaria,

130


pues predomina su uso como herramienta de cálculo. Sus ideas, en un principio

limitadas a funciones trigonométricas y resolución de triángulos, se extienden a los

números naturales para luego asociarlos a distintas bases y por ende a la generación

de diferentes sistemas logarítmicos relacionados entre sí mediante constantes.

A nuestro parecer, las relaciones entre series aritméticas y geométricas se

convierten en el eje central del desarrollo de los logaritmos y nos permiten distinguir

a ésta como la primera etapa en la que miraremos a los logaritmos como

transformaciones numéricas.

Vemos que las relaciones entre las progresiones aritméticas y geométricas se

encuentran presentes en las variadas exploraciones de los logaritmos en distintos

contextos y registros. Son el nudo de la definición de los logaritmos dada por Napier

a principios del siglo XVII; son las que permiten determinar la cuadratura de la

hipérbola lograda por Saint Vincet y su discípulo Sarrasa; las que posibilitaron la

descripción de fenómenos físicos tales como la caída de cuerpos en medios

resistentes realizadas por Newton y Huygens; las que evidenciaron que el desarrollo

en serie, utilizando el método de las fluxiones para la cuadratura de la hipérbola,

determinan una curva logarítmica; son también las que permiten reconocer la gráfica

de una curva como logarítmica; entre otras construcciones.

A este período de búsqueda y exploración de nuevos registros y simbología lo

plasmaremos pensando a los logaritmos como modelizadores, pues en esta etapa se los

utiliza tanto para describir fenómenos físicos como para unificar la estructura

matemática. Es una etapa en donde se abstraen características y propiedades, donde

se los identifica y por tanto define, donde se los manipula y consolida, donde se los

dota de un lenguaje y simbología particular.

131


En esta etapa la representación gráfica cobra importancia en las exploraciones del

siglo XVII dentro del cálculo. Se le confiere en este momento un enfoque más

geométrico, asociándolos a aquella curva de subtangente constante. No existe una

distinción clara entre las funciones exponenciales y logarítmicas, las cuales

genéricamente eran tratadas como “logarítmicas” o “logísticas”. Podríamos

considerar a esta etapa como gráfica-geométrica en la cual comienzan a explorarse las

cuadraturas de varias funciones, entre ellas la hipérbola, y a asociarse expresiones

analíticas con curvas. Cabe mencionar que la gráfica de la curva logarítmica o de la

espiral logarítmica no surge como la representación gráfica de los valores tabulados,

idea muy difundida en el discurso matemático escolar de nuestros días, sino como

respuesta a diferentes problemas y preguntas ligadas a la construcción y desarrollo de

un universo de formas gráficas, producto quizás de la inquietud por explorar las

ideas cartesianas de representación.

Las ideas de continuidad, de infinito, de asociación de áreas con segmentos, y de

cálculo de áreas, entre otras, nos llevan a considerar como siguiente etapa, la del

desarrollo en serie de potencias. En efecto, la relación entre la cuadratura de la

hipérbola y los logaritmos, mediante la identificación de propiedades inherentes a

estos últimos, en cuanto a la percepción de que, formando con las abscisas una

progresión geométrica, las áreas bajo una hipérbola, determinadas por las ordenadas

correspondientes, son iguales pone en evidencia la correspondencia con un sistema

logarítmico. Estas ideas se extienden y se logra asociar un número con su logaritmo,

esto es, se hace explícita la funcionalidad del logaritmo.

Hablamos entonces de una etapa de analiticidad pues se logra su formulación en

serie de potencias lo cual lo hace susceptible al análisis. Comienza a gestarse y

evidenciarse su status de función dentro del aparato matemático del siglo XVII.

132


Con Euler quizás se inaugura una nueva etapa, en la cual se vincula claramente a

los logaritmos con la función exponencial, pese a que encontramos estas ideas en las

exploraciones de Leibniz y Bernoulli acerca de exponenciales. Se los instituye como

funciones inversas una de la otra y se los relaciona con el modelaje de fenómenos de

la naturaleza. Ambas funciones se erigen como fundamentales en el desarrollo de

nuevos entes matemáticos, como las ecuaciones diferenciales, las funciones

multivaluadas, las exploraciones de números complejos, entre otras. Podríamos

considerar a esta etapa como de simbolización en la cual se estabiliza el aparato

algorítmico-simbólico que permite trabajar de manera analítica, es decir, racional y

científica, gran variedad de problemas, la mayoría de ellos vinculados con la física y

la economía. Es una etapa en la cual se construyen maneras más económicas de

calcular los logaritmos y de construir las tablas, donde se las incorpora al campo

legítimo de las funciones analíticas, es decir, de aquellas que son plausibles de

expresarse con series de potencias. Adquiere entonces cierto status dentro de una

teoría, es aceptado por la comunidad erudita, se justifica su existencia, se los valida

socialmente.

Consideramos entonces, que la mayoría de las exploraciones del siglo XVII,

quizás el más prolífico en ideas y formulaciones en torno a las funciones logaritmo y

exponencial, giran alrededor de las relaciones entre las progresiones aritméticas y

geométricas, en tanto que la fuerza de la misma para conjeturar y determinar

relaciones de tipo logarítmico pierde vigencia en siglos posteriores, opacada por

otras ideas más acordes al regreso a la rigurosidad y purismo matemático que logra

su esplendor en el siglo XIX con Cauchy habiendo comenzado en el siglo XVIII con

Euler y su búsqueda de algebrizar los conceptos y de determinar la analiticidad de los

entes que se estaban desarrollando y utilizando. Se escinde así definitivamente a los

logaritmos de su origen como relaciones entre estas progresiones, se prioriza su

definición formal bajo dos aspectos, uno algebraico que relaciona la potencia de un

133

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo . número con su logaritmo, y aquel que los presenta como la función inversa de la

exponencial, los cuales se mantienen hasta hoy en el discurso escolar provocándole

una falta de sentido y significación a esta poderosa herramienta del cálculo.

Ingresamos por último en una etapa de rigurosidad, de formalismo, en la cual se los

instituye como la antiderivada del recíproco de una función, así como también como

aquella función tal que , es decir, se los define desde un

enfoque analítico y estructural. Una época en la que se los escinde de sus orígenes

aritméticos, de las necesidades a las que dieron respuesta. Se los incorpora de manera

definitiva a la estructura matemática, aunque quizás en algunos momentos opacados

por las exponenciales, las cuales juegan un papel relevante en la descripción de

variados problemas vinculados con la realidad, así como también dentro del

abstracto aparato matemático para darle coherencia. Distinguimos a este período

como aquel en el que los logaritmos se incorporan definitivamente en el aparato

matemático, volviéndose un objeto matemático formalmente definido con un

espacio propio en la teoría matemática.

( ) ( ) (f xy f x f y= + )

Consideramos importante remarcar que en el desarrollo de las nociones

logaritmo y exponencial juega un importante papel, desde sus albores, la

comunicación de ideas y el prolífico intercambio académico propiciado por la

aparición de publicaciones como el Acta Eruditorum en Alemania, le Journal des Savants

en París, así como las memorias de las distintas casas de estudio que comienzan a

circular, tales como, la Académies des Sciences de Paris, de Berlin, de Saint-Petersbourg y de

Bologne. La confrontación de ideas, ya sea mediante su publicación o la comunicación

epistolar entre colegas muy desarrollada en esta época, confiere un marco social

especial al desarrollo de las mismas. Si bien no se inhiben los trabajos simultáneos,

ocultos hasta su publicación pulida y libre de “tachaduras”, ni se puede pensar en

trabajos cooperativos entre los eruditos de las distintas épocas, sí se propicia el

134


rápido conocimiento de los trabajos, las preguntas que intentan responder, los

consensos respecto a simbología y definiciones. Es ésta, una etapa donde el

virtuosismo matemático comienza a ser difundido mediante aparatos simbólicos

cada vez más robustos.

Hemos dado así, un recorrido por el desarrollo de la noción logaritmo,

estableciendo distintas categorías valiéndonos de una reformulación de las ideas que

Brousseau estableciera en su teoría de las situaciones didácticas, mediante una

analogía que resulta interesante para observar los hechos desde una óptica, que si

bien fue desarrollada para explicar los fenómenos que acontecen en el proceso de

enseñanza-aprendizaje en el ámbito de la educación primaria, consideramos

adaptable para explicar los eventos culturales, es decir, al aprendizaje de la

humanidad.

En síntesis, bajo nuestra particular óptica hemos distinguido seis etapas en el

desarrollo de la noción de función logaritmo, a saber, la de exploración algorítmica, la

numérica utilitaria, la gráfico-geométrica, la de analiticidad, la de simbolización y la de

formalismo, en cada una de las cuales se responde a distintos cuestionamientos, se

utilizan diferentes herramientas, se incorporan nuevos elementos. A su vez, al

analizar estas etapas con un referente más global y desde una perspectiva más

general, establecimos tres momentos relevantes en el devenir de los logaritmos en un

objeto matemático validado social y culturalmente para ser incorporado en el

discurso matemático escolar. Percibimos así, un primer momento de los logaritmos

como transformaciones numéricas, con el cual enmarcamos las dos primeras etapas: la de

exploración algorítmica y la numérica utilitaria; un segundo momento de los logaritmos como

modelizadores donde incluimos las etapas: gráfica-numérica y de analiticidad; y por último

un tercer momento, los logaritmos como objetos teóricos, en el cual englobamos las dos

últimas etapas: la de simbolización y la de formalismo.

135


Concluimos entonces, que los objetos matemáticos aparecen en tanto se actúe

sobre ellos, son una construcción sociocultural, por cuanto nacen al seno de una

comunidad específica, respondiendo a cuestionamientos particulares pero que se van

abstrayendo y escindiendo de sus orígenes para devenir en objetos universales,

despersonalizados y atemporales. Las discusiones, las confrontaciones, la

comunicación de los mismos hace que evolucionen, que adquieran status en una

estructura teórica en tanto sean aceptados y exista un consenso. Los logaritmos,

como toda producción humana, no está libre de estas consideraciones y creemos que

una pequeña muestra de ello ha sido presentada en este capítulo.

136

Capítulo 4

Acercamiento a un análisis didáctico

Como estableciéramos en el primer capítulo, la importancia que se le ha

conferido a la noción de función en la matemática actual, se ve reflejada en su

presencia dentro de la currícula, tanto de nivel medio superior como superior. En el

mismo analizamos numerosas investigaciones realizadas respecto a la enseñanza de

este concepto y a las dificultades que su apropiación, por parte de los alumnos, trae

aparejado. Pusimos en evidencia a su vez, la tendencia que se percibe hacia una

enseñanza centrada en el marco algebraico, que prioriza lo algorítmico y subvalora

otros registros; las consecuencias que esto acarrea; así como también su génesis y las

concepciones que desarrollan los estudiantes y profesores en su interacción con este

concepto, en los distintos acercamientos desarrollados en los últimos años.

A lo largo de nuestro trabajo, hemos analizado los problemas que surgen al

enfrentar el desafío de enseñar el concepto “función”, así como también los perfiles

de investigaciones aun en ciernes, que dan cabida a temas como al que nos

abocamos ahora y el cual se constituye en el centro de nuestro interés, esto es,

estudiar en particular, las funciones exponencial y logarítmica. Para ello, se requiere

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo

indagar sobre cómo viven estos conceptos en el seno de la escuela, es decir, rastrear

su inclusión en la currícula y en los libros de texto. Es este trabajo, nos centraremos

sólo en los sistemas educativos de México y Argentina por considerar imprescindible

conocer a profundidad “nuestro” medio educativo para poder, a la larga, impactar

sobre él.

Asimismo consideramos que todo objeto de conocimiento que ingresa a la

escuela con un status de “saber a enseñar” trae aparejado una intencionalidad

didáctica, una reflexión sobre los fines que tal incorporación conlleva, así como

también, su incorporación al discurso matemático escolar y por tanto una

delimitación del saber producto de los tiempos institucionales, intereses sociales y

pautas culturales que imperan en esta microsociedad que representa la escuela en el

momento que tal incorporación se produce.

Chevallard (1991) nos habla, en su Teoría de Transposición Didáctica, de los

requisitos que comporta la incorporación al discurso escolar de un cierto

conocimiento, es decir, su preparación didáctica que este investigador ha dado en

llamar: la puesta en texto de saber. Menciona en primer lugar la desincretización del saber,

concepto ligado a la descontextualización del conocimiento, es decir, la desvinculación

con sus prácticas de referencia, con las preguntas que lo originaron, con el paradigma

que lo vio nacer, con la problemática que le otorgó su “sentido” completo y genuino.

Se produce así una división de la estructura teórica en campos de saber delimitados

que dan lugar a prácticas de aprendizaje especializadas. Se establece también, una

diferenciación entre los objetos que explícitamente conforman el discurso

matemático escolar, denominados por Chevallard nociones matemáticas y paramatemáticas

y aquellos saberes que siendo parte de las prácticas de enseñanza-aprendizaje

permanecen en el submundo de los implícitos pero que no son prescindibles para la

construcción del texto escolar, llamadas las nociones protomatemáticas.

138


En segundo lugar, se aboca a establecer la importancia de la despersonalización del

saber en cuanto a distanciamiento entre el saber y la persona para permitir una mejor

comunicación y entendimiento del mismo por parte de la comunidad destinataria.

En tercer lugar, menciona la programabilidad de la adquisición del saber refiriéndose

en este ítem a una secuenciación razonada de los saberes, la cual permita la

adquisición progresiva de los conocimientos puestos en juego. Involucra la

historicidad de los saberes escolares, esto es, la ordenación y encadenamiento de los

conocimientos, la posibilidad de distinguir un principio y un fin en la exposición de

los saberes, que evidentemente lo distancian de la verdadera génesis del mismo,

donde tal transparencia y secuenciación no es posible, al igual que lo diferencian del

proceso seguido para su aprendizaje.

En cuarto lugar, considera la publicidad del saber, preocupándose ahora por la

transmisión del conocimiento, por su comunicación, por la definición del saber a

transmitir tanto en extensión como en comprensión. Muy ligado a este ítem,

menciona en quinto lugar, el control social de los aprendizajes en virtud del paradigma

que, encontrándose en vigencia, rige las concepciones sobre “saber”, aprendizaje y

procedimientos de verificación que certifiquen los conocimientos.

Como surge de nuestra indagación epistemológica sobre la función logaritmo,

este concepto ha sido importante y reconocido como digno de ser transmitido y

conservado dentro del discurso matemático escolar desde sus orígenes. Su

permanencia en la currícula pese a la masiva incorporación de tecnología (dígase

calculadoras científicas y software matemáticos para computadoras personales) y el

impacto que esto trajo aparejado en tanto cambio de sentido, nos coloca en situación

de analizar y reestructurar el enfoque dado a esta noción, sin que por ello haya

perdido vigencia y pertinencia.

139


Nos interesa ahora, observar grosso modo, la presencia de la función logarítmica

en sí y de ciertas nociones que consideramos ligadas y necesarias para su desarrollo y

comprensión en los planes de estudio de los niveles medio, medio superior y

superior. Así mismo, nos parece interesante incorporar la información recolectada

por Camacho (2000) respecto a la currícula que en el siglo XIX regía la formación de

los alumnos para luego abocarnos al análisis del discurso escolar reflejado en los

libros de texto, tanto en el de L’Hospital (1697) y Agnesi (1748), por ser unos de los

primeros libros de difusión de saberes, como en los de Euler, Vallejo, Lacroix y

Cauchy, representantes de los siglos XVIII y XIX, así como también en los manuales

actuales, con el afán de percibir enfoques y tratamientos del tema, lejos de ser

nuestro espíritu de confrontación, sino de recolección de información útil para la

formulación de nuestras hipótesis que darán sustento a un posterior diseño,

conscientes que los saberes responden a un contexto, a una cultura y momento

histórico específicos y por tanto, el sentido que se les confiere depende de la visión

imperante en la época.

Efectivamente, nuestra mirada a los textos escolares de distintas épocas y la

lectura que de ellos presentamos está empapada de las ideas que desarrolláramos en

el capítulo anterior dedicado a la componente epistemológica de nuestro análisis

preliminar. En él distinguimos tres etapas en la evolución del concepto de función

logarítmica, estableciendo un paralelismo con las ideas de Brousseau en cuanto a las

etapas de una situación didáctica. Consideramos que esas ideas se refuerzan con el

análisis que desarrollamos en este capítulo, en el cual, a diferencia del anterior donde

nuestra mirada se centró en libros “eruditos”, intentamos dar una visión de la puesta

de ese conocimiento en textos de saber.

Según Kuhn (1986), los científicos nunca aprenden conceptos, leyes ni teorías en

abstracto o por sí mismos sino que las encuentran en una unidad histórica y

140


pedagógicamente anterior, que las presenta con sus aplicaciones y a través de ellas.

Es decir, encuentran estas herramientas intelectuales en los libros de textos de donde

se nutrirán y formarán como científicos, tesis sostenida y profundizada por

Castañeda (2000), en cuyo trabajo encontramos pistas de la devolución hacia la

sociedad producida por los textos destinados a la enseñanza. Es doble entonces,

nuestro interés en observar el pasaje del saber erudito a los libros de texto utilizados

para su difusión, ya que por un lado, deseamos distinguir en ellos los paradigmas a

los que respondieron y la forma de comunicarlos y por otro, la influencia que, en los

nuevos eruditos, ellos poseyeron.

En nuestra exploración de los libros pensados desde la didáctica y para la

comunicación de saberes, vemos reflejada claramente la importancia de los

argumentos geométricos en los textos del siglo XVII, coincidiendo con las

concepciones de la época respecto a que la geometría era el lenguaje matemático por

excelencia, reconocido por la comunidad. Además, distinguimos en ellos los

argumentos desarrollados en la etapa que llamáramos los logaritmos como modelizadores,

en la cual este concepto estaba fuertemente ligado a la relación entre una progresión

aritmética y una geométrica, argumento que era esgrimido a la hora de analizar

curvas en el plano, fenómenos naturales, cuadraturas, etc. elemento que está

absolutamente fuera del discurso matemático escolar de nuestros días.

Distinguimos asimismo, las características propias de la tercera etapa, que

llamáramos los logaritmos como objeto teórico, en la cual claramente las ideas eulerianas y

la importancia del lenguaje algebraico comienzan a perfilarse y desplazar a la

geometría, afianzándose así ideas que perduran hasta nuestros días ya que los libros

de álgebra que tratan la noción de logaritmo, prácticamente reproducen el discurso

de Euler, en tanto que los libros de cálculo sustentan su presentación en la idea de

función inversa, la cual aparece tratada en los escritos del mismo autor.

141


Las ideas de Cauchy, y su rigor y purismo, también se perciben e invaden el

tratamiento de estos temas en los libros de textos actuales, en los cuales los

logaritmos aparecen escindidos de las nociones que los generaron y de los

argumentos que tanto empuje y significaciones diferentes, y en distintos registros, les

confirieron. Por otra parte, pese a que en la currícula se propone el tratamiento de

varias de las nociones que podría dotar de mayor significado y sentido a los

logaritmos, las mismas aparecen desperdigadas, siguiendo un orden lógico de

complejidad creciente, pero sin nexo explícito entre ellas, dando indicios de la

compartamentalización y atomización de los conceptos tan presentes en el discurso

escolar.

Presencia de los logaritmos en la currícula mexicana del siglo XIX

Encontramos, en el trabajo de Camacho (2000) sobre la transculturación de

saberes, que la noción de función logarítmica formaba parte de los planes de estudio

en 1854, del Colegio San Ildefonso, dentro de los programas de las materias

aritmética y álgebra, incorporando, en el primer caso, las progresiones aritméticas y

geométricas y en el segundo los logaritmos en sí. El Compendio de matemáticas de J.

Vallejo, Los Elements d’Algebre de Lacroix y el Álgebre de Bourdon, eran los libros de

texto que se utilizaban en esta época.

Según Camacho, la evolución académica durante la regencia del imperio, se

manifiesta por la incorporación de varias asignaturas de neto corte enciclopedista

que rebasan al concepto de filosofía escolástica. En el plan de 1855 para la carrera de

Filosofía, encontramos el tema logaritmo entre los incorporados a la enseñanza de la

trigonometría. A criterio de este investigador, el currículum tuvo coherencia en

142


cuanto a los objetivos planteados durante esta época, no siendo fragmentado sino

percibiéndose una conexión fluida entre los temas matemáticos que permiten ir de

los conocimientos aritméticos y geométricos mínimos, pasando por el álgebra y la

trigonometría en sus diversas versiones, a los levantamientos topográficos de la

superficie de terrenos y a su diseño en planta.

Entre 1855 y 1866, la carrera de Filosofía tuvo un claro lineamiento hacia un

objetivo técnico, en tanto que con el advenimiento del positivismo y su visión de la

ciencia, el currículum tuvo un giro importante. Así, en 1867, con la creación de la

Escuela Nacional Preparatoria Barreda, y la reestructuración de los planes de

estudios desaparece, entre otros temas, el uso explícito de logaritmos en

trigonometría, apareciendo en cambio, materias como la mecánica racional en torno

a la cual gira la enseñanza de la matemática. Según Vallejo, se llama Mecánica a la

ciencia del movimiento y equilibrio de los cuerpos... La mecánica considerada solo teóricamente, se

caracteriza con el nombre de Mecánica racional, y tiene por objeto el determinar en general todas las

leyes del equilibrio y movimiento de los cuerpos... (Vallejo, 1849, p. 157, art. 255).1

Como sabemos, la currícula intenta responder a las necesidades de una

sociedad al preparar a sus estudiantes para insertarse en la misma, por tanto se la

somete a constantes reestructuraciones y cuestionamientos, se la adecua al paradigma

imperante en cada época. Si miramos en los planes de estudios actuales, la presencia

de los logaritmos da cuenta de la vigencia de este tema en el discurso matemático

escolar de nuestros días, apareciendo tanto en los programas de bachillerato como

universitarios, encontrándose también, en los últimos años de la enseñanza

secundaria, nociones generales de las progresiones aritmética y geométrica, temas

que profundizaremos en el siguiente parágrafo.

1 En la transcripción del original de Vallejo, se ha respetado estrictamente su estilo y ortografía.

143


Presencia de los logaritmos en el currículum actual

Como ya estableciéramos, para desarrollar este tema, nos abocaremos a analizar

los planes de estudio de los tres niveles educativos que consideramos incluyen este

tema entre sus tópicos, a saber, los niveles medio (secundario), medio superior

(bachillerato) y superior (universitario).

Pretendemos entonces, identificar la inclusión de las nociones de logaritmo y de

exponencial, íntimamente vinculadas desde sus albores, en los programas

académicos con el fin de analizar su exposición progresiva, lógica y secuencial dentro

de los demás contenidos matemáticos desarrollados en los mismos. Para ello,

consultamos los planes de estudio y programas actualmente en vigencia tanto en

Argentina como en México en los niveles educativos ya mencionados. No

pretendemos con ello, realizar un exhaustivo análisis comparativo de estos sistemas

educativos, lo cual ameritaría un claro y profundo conocimiento de las idiosincrasias

y funcionamiento de tales sistemas, sino por el contrario, presentar un abanico de

enfoques y acercamientos a las nociones logaritmo y exponencial que enriquezcan

nuestra visión de tales temas permitiéndosenos detectar carencias o aciertos en los

mismos que pudieran proporcionarnos pautas de trabajo a la hora de diseñar una

situación didáctica y también detectar posibles falencias en la enseñanza de los

mismos que pudieran derivar en obstáculos de índole didáctica.

A manera de introducción a los sistemas educativos de ambos países

consideramos pertinente presentar un esquema de la estructura de los mismos para

poner en evidencia las coincidencias y lograr mayor transparencia al referirnos a las

distintas etapas de cada uno de ellos.

144

OBLIGATORIEDAD

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Univ. Tecnológica 1° 2° 3° 4° 5° 6° 1° 2° 3° Bachillerato

Normal Licenciatura

Lic. Universitaria Profesional Técnico

Preescolar Primaria Secundaria Institutos. Tecnológicos

Formación para el

trabajo

Mercado Laboral

Trayecto Técnico

Profesional

Tray

ecto

Téc

nico

Pr

ofes

iona

l

1° ciclo 2° ciclo 3° ciclo

Educación

Universitaria

Polimodal Inicial Educación General Básica Educación Superior

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

OBLIGATORIEDAD

Esquema de los sistemas


Enseñanza Media

En México, el “Plan y programas de estudio para la Educación Básica Secundaria”

propuesto por la Secretaria de Educación Pública (SEP) en 1993 como “un medio para

mejorar la calidad de la educación, atendiendo a las necesidades básicas de aprendizaje

de los jóvenes mexicanos, que vivirán en una sociedad más compleja y demandante que

la actual”, inaugura la obligatoriedad de la enseñanza secundaria que eleva a nueve los

años de permanencia en el sistema educativo escolarizado. Las prioridades en la

organización del plan de estudios que se han establecido en el área de matemática se

refieren a la “ampliación y consolidación de los conocimientos y habilidades

matemáticas y las capacidades para aplicar la aritmética, el álgebra y la geometría en el

planteamiento y resolución de problemas de la actividad cotidiana y para entender y

organizar información cuantitativa”.

Bajo estas concepciones se propone que, en primer grado, se trabaje con los

números naturales y su escritura en sistemas posicionales con base distinta de 10. En

segundo grado, se profundice en potencias sucesivas, en potencias de 10 y en notación

científica o exponencial, en tanto que para tercer grado se sugiere introducir la raíz

cuadrada, el plano cartesiano y las funciones, así como también analizar crecimientos

aritméticos y exponenciales en el rubro de tratamiento de la información.

En Argentina, se promulga en 1993 la “Ley Federal de Educación” mediante la cual

se reestructura el sistema educativo de este país. Asciende ahora a diez años la

obligatoriedad de la enseñanza, manteniéndose así a los alumnos entre sus cinco y

catorce años dentro del sistema escolarizado. Entre las competencias educativas que se

desean desarrollar, vinculadas con el conocimiento científico-tecnológico, se puntualiza

la necesidad de que el alumno adquiera “esquemas de conocimiento que le permitan

ampliar su experiencia dentro de la esfera de lo cotidiano y acceder a sistemas de mayor

146


grado de integración a través de los procesos de pensamiento específicos dirigidos a la

resolución de problemas en los principales ámbitos y sectores de la realidad”.

Así, en el primer ciclo de la Educación General Básica (EGB) se propone trabajar

con el sistema de numeración posicional decimal: unidades de distinto orden (unidades,

decenas, centenas, etc.) y la utilización de este sistema para leer, escribir, comparar,

descomponer y componer numerales de hasta cuatro cifras, reconocimiento e

interpretación de patrones numéricos, confección de diagramas y tablas para

ejemplificar relaciones numéricas. En segundo ciclo, se introducen temas tales como:

sistemas de numeración posicionales y no posicionales, la construcción de sucesiones

numéricas según una regla dada, la noción de función y sus distintas representaciones.

En tercer ciclo, se continúa con el trabajo en el sistema de numeración posicional

decimal, introduciéndose la noción de “base”, la notación científica, la potenciación con

exponente entero y la regla de los exponentes, sucesiones numéricas proporcionales,

nociones de función y particularmente de función exponencial aplicada a distintas áreas

de conocimiento.

Vemos que en ambos sistemas educativos se van introduciendo nociones las cuales

van entrelazándose en conceptos más elaborados, tejiéndose así una red de saberes en

la cual sustentar las nuevas nociones. Sin embargo varias de ellas no se retoman al

introducir los logaritmos en el salón de clases.

Enseñanza Media Superior

Incursionando, un poco, en la historia de la currícula mexicana, Trujillo (1995)

reporta que, en ciertas escuelas de nivel medio superior, la enseñanza de matemática en

los años sesenta, estaba contemplada en un plan anual que se cubría en dos años.

Mediante éste, se proponía considerar temas relativos a álgebra, trigonometría,

147


geometría analítica y algunas fórmulas de derivadas, en tanto que, la enseñanza de los

logaritmos en sí, era exclusiva de escuelas de nivel medio, y se remonta más allá de esta

década. En los años setenta, en cambio, las escuelas de nivel medio superior comienzan

a implementar un plan anual de tres años, contemplándose la enseñanza de los

logaritmos, en primer y tercer año. Ya en los años ochenta, el plan se convierte en

semestral con la misma duración, mientras que el programa de matemática se encuentra

constituido de la siguiente manera:

Primer semestre: Aritmética y álgebra.

Segundo semestre: Geometría y trigonometría.

Tercer semestre: Geometría analítica y probabilidad.

Cuarto semestre: Cálculo diferencial.

Quinto semestre: Cálculo integral.

En este programa, el tema de logaritmo se trata en el segundo semestre, siendo su

contenido:

Definición de logaritmos para cualquier base.

Propiedades de los logaritmos.

Función exponencial. Gráficas y aplicaciones.

Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas reducibles a lineales con una

incógnita.

La enseñanza de los logaritmos se enfoca principalmente hacia la resolución de

problemas aritméticos que involucran multiplicación, división, potenciación y

148


radicación. Así mismo, se deja de lado su estudio como función, al igual que el de la

exponencial, observándose que no se aborda la esencia de estas nociones. Además, su

tratamiento como función aparece en el cuarto semestre, dentro del tema derivadas de

funciones trascendentales, sin dar cuenta del significado de estas funciones ni de su

construcción.

En Argentina, en cambio, la reestructuración establecida por la Ley Federal de

Educación repercute directamente en los contenidos mínimos que se exigen para este

nivel, denominado Polimodal. Se explicita en ella que “... la educación de los jóvenes

busca garantizar tres funciones básicas: la formación de los ciudadanos, la preparación

para proseguir estudios superiores y la formación para desempeñar actividades

laborales... Las sociedades demandan de los sistemas educativos una formación que

desarrolle y fortalezca en los estudiantes un mismo número de competencias

fundamentales, que les permitan actuar y aprender en los diversos ámbitos de

desempeño, enfrentando situaciones complejas, cambiantes e inciertas con

responsabilidad, espíritu crítico y solvencia práctica”...

Son cinco las modalidades que se derivan después de un año de formación común,

ellas son: la modalidad en Ciencias Naturales, en Economía y Gestión de las

Organizaciones, en Humanidades y Ciencias Sociales, en Producción de Bienes y

Servicios y por último en Comunicación, Artes y Diseño las cuales responden a la

necesidad de abrir espacios alternativos para contener los variados intereses de los

adolescentes y las necesidades del contexto social y productivo.

En este nivel, se espera que los contenidos de la Educación General Básica que

se recuperan sean profundizados y ampliados, ya sea para mejorar su organización, su

forma de comunicación o para su aplicación a nuevos temas o problemas; de manera

que el alumno pueda acceder a un mayor nivel de sistematización, integración y

abstracción en lo conceptual y metodológico. Se considera que para ello se deberá

149


poner énfasis tanto en la cohesión interna de esta disciplina como en su significatividad

y funcionalidad.

Respecto a la noción que nos interesa rastrear en los contenidos básicos de

matemática para el Polimodal encontramos propuesto, en el bloque de “Número y

funciones”, trabajar con operaciones de funciones elementales (suma, multiplicación,

composición), entre ellas, valor absoluto, potencial, exponencial, logarítmica y

trigonométricas. Representación de funciones inversas, modelización de fenómenos del

mundo real utilizando funciones, en tanto que en el bloque de “Álgebra y Geometría”

aparece la resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales, al igual que de

ecuaciones usando las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales.

Es en este nivel en el cual se introducen explícitamente la noción de logaritmo y

exponencial, enfocándose ambas hacia lo aritmético pese a que se proponen ideas de

modelización de fenómenos. No se percibe un nexo con ideas trabajadas en la etapa

escolar anterior, tales como las relaciones entre progresiones aritméticas y geométricas,

tan significativas en la génesis de los logaritmos

Enseñanza Superior

En México, la Educación Superior puede ser universitaria, tecnológica o normal. Su

objetivo es formar profesionales capaces en las diversas áreas de la ciencia, tecnología,

cultura y docencia cuya preparación los habilite para insertarse en un mercado de

trabajo cada vez más complejo, diverso y cambiante.

150


Las Universidades se constituyen en públicas autónomas, públicas estatales,

instituciones dependientes del estado, privadas libres y privadas reconocidas por la

SEP. Existen 39 universidades de las cuales 34 son autónomas. A nivel licenciatura se

nuclean, según el criterio de la ANUIES2, en seis áreas: ciencias naturales y exactas,

educación y humanidades, ciencias agropecuarias, ciencias de la salud, ingeniería y

tecnología, ciencias sociales y administrativas.

La Educación Tecnológica está más orientada hacia el mercado laboral y al

desarrollo regional. Entre sus instituciones se encuentran: el Instituto Politécnico

Nacional, 119 institutos tecnológicos y 24 universidades tecnológicas.

La Educación Normal, en cambio, se dirige a la formación de profesores de

preescolar, primaria, secundaria, especial y educación física.

Según Alanís (1996), en la mayoría de las carreras universitarias el acercamiento a la

matemática es de carácter instrumental, como fin no como medio lo cual puede

percibirse en objetivos como: “proporcionar al alumno los conocimientos fundamentales del

cálculo diferencial e integral de una variable real que serán utilizados en la interpretación,

planteamiento y resolución de problemas específicos de su carrera”.

Para este investigador son dos los tipos de enseñanza del cálculo que se presentan

en las distintas instituciones, uno que busca la apropiación, por parte del alumno, de las

ideas fundamentales presentadas de manera formal y rigurosa y otra que tiende a

centrarse en una práctica algorítmica y algebraica del cálculo.

2 Asociación Nacional de Universidades e Institutos de Educación Superior

151


Un programa típico de esta materia es:

Conjuntos.

Números Reales.

Funciones.

Límite y continuidad de funciones.

Derivada y sus aplicaciones.

Integrales y sus aplicaciones.

Funciones Trigonométricas Inversas.

Funciones logarítmicas y exponenciales.

Técnicas de integración.

Formas indeterminadas.

Sucesiones y series.

En Argentina, el sistema educativo superior se constituye por universidades

estatales y privadas, de carácter autónomo. Persiguen, como objetivos principales, la

formación integral de los estudiantes en distintas disciplinas, la cual los capacite para

insertarse en un mundo laboral competitivo.

Las consideraciones que Alanís realiza para el sistema mexicano son adaptables al

sistema argentino. Un curso de cálculo típico también sigue el ordenamiento anterior,

pese a que actualmente en varias universidades se ha implementado el precálculo, para

introducir las primeras nociones de cálculo.

En un curso de precálculo se aborda el estudio de desigualdades, valor absoluto,

repaso del sistema numérico e intervalos. Se pasa luego a trabajar con ecuaciones

lineales y su representación gráfica, para luego incursionar en un acercamiento a la

noción de función lineal. El mismo enfoque se le da al tratamiento de la función

cuadrática. Se continúa con cónicas, para acercarlos a la geometría analítica.

152


Se presenta luego, el tema de funciones tratándose a las constantes, lineales,

racionales, logarítmicas, exponenciales, trabajando sus gráficas, dominios, y

comportamientos generales. Se estudian las funciones inversas y se presentan como

tales a la logarítmica y a la exponencial. Se cierra el programa con las funciones

trigonométricas.

Vemos que en ambos sistemas, la función logarítmica se presenta varias veces en

los programas, pero no es construida en el discurso escolar. Se los utiliza y se presentan

sus propiedades con otros usos, tal el caso de la derivación logarítmica.

Concluimos entonces, de esta somera exploración de los programas de estudio

universitarios, que la función logaritmo es tratada en los primeros semestres de ambos

sistemas, primero con un acercamiento rayando en lo numérico–gráfico para luego

aparecer como plausible de ser derivada, compuesta con otras funciones, es decir,

sometida a procesos diversos en su carácter de función inversible. Se la define,

posteriormente, formal y axiomáticamente, esto una vez introducida la integración para

luego volvérsela a someter a otros procesos.

Si bien se observa una secuencia y una delimitación de los saberes apareciendo

éstos de manera progresiva, construyéndose así, las bases para posteriores aprendizajes,

en el caso particular de los logaritmos no pareciera cumplirse pues su presentación

inicial, en el aula, generalmente no rescata nociones anteriores que podrían dotar de

mayor significado a los mismos. Se prioriza un enfoque algebraico-aritmético para pasar

luego a someterlos a operaciones sin haber sido realmente construidos como noción.

Aparece entonces una “dislexia” del discurso matemático escolar pues si bien alumnos

y maestros llegan a tener un buen dominio algorítmico, pocos comprenden la noción en

sí, su carácter funcional.

153


Presencia de la función logaritmo en los libros de texto

Otro de los aspectos que se deben tener en cuenta en la componente didáctica se

refiere a los libros de texto. En ellos se refleja el enfoque dado a las nociones

consideradas aptas para ser enseñadas y, por ende, una parte de lo que denominamos

matemática escolar. El texto sigue un orden lógico que poco tiene que ver con los

problemas a los que se enfrentó el investigador, con los ires y venires en la construcción

de los conceptos, apareciendo éstos descontextualizados y distantes de los avatares de

su génesis (Farfán, 1995). Para ello, realizamos una somera revisión de algunos de los

más utilizados, con el fin de observar la manera en la que éstos abordan el tema que nos

preocupa. Nuestra intención es recabar información sobre la existencia de elementos

didácticos, ausentes en la currícula, que pudieran propiciar la construcción de las

nociones de función logaritmo y exponencial salvando la brecha entre el trato

aritmético y el funcional de las mismas.

Según Laborde, ...el estudio de los contenidos de enseñanza y de sus variaciones en el curso del

tiempo, de un manual a otro, permite poner en evidencia fenómenos didácticos vinculados a la

transposición de los saberes... (citado en Ruiz Higueras, 1998, p. 164)

Consideramos interesante entonces, rastrear la puesta en textos de saber a lo largo de la

historia tomando, para nuestro análisis, libros de tres siglos diferentes como

representativos de cada época. Así, analizamos en primer lugar, el de L’Hospital (fines

el siglo XVII), en segundo lugar, el de Agnesi (mediados del siglo XVIII), y dos de la

fecunda producción de Euler (finales del siglo XVIII), luego, los de Vallejo, Lacroix y

Cauchy, este último visto ya en el capítulo anterior, pertenecientes al siglo XIX y por

último varios manuales contemporáneos de distintas décadas.

El análisis que realizamos de los libros de siglos pasados, usados para difundir el

conocimiento, tiene la intencionalidad de detectar qué ideas perduran y podemos

reconocer en los libros de texto actuales y cuales han perdido vigencia intentando

154


descubrir los motivos de tal abandono y si es interesante o no su “rescate”. El que

realizamos en los libros de textos actuales, en cambio, tiene otro enfoque y categorías

de análisis. Al haber elegido los textos de manera intencional, no pretendemos extender

ni generalizar nuestras conclusiones a otros libros diferentes. La idea sólo consiste en

proporcionar información relativa a la enseñanza de logaritmos y exponenciales en

nuestros días, eligiéndose para ello los manuales que se consideran los más utilizados, y

por tanto representativos, en los sistemas educativos considerados.

Para este análisis de los contenidos de los libros de texto, hemos seguido las

categorías propuestas por Ruiz Higueras (1998), por tanto las variables analizadas han

sido las siguientes:

Modo de presentación de los conceptos teóricos, fundamentalmente observar si

éstos se presentan antes de los ejercicios y problemas los cuales quedan así

relegados a aplicaciones de los conceptos o si, por el contrario, se inicia el tema

planteando una serie de problemas para cuya solución se presentan los conceptos

como herramientas.

Definición presentada para las funciones logaritmo y exponencial, observándose

cual de ellas se introduce en primer término, si son construidas o sólo definidas por

extensión de conceptos anteriores.

Ejemplos propuestos, prestando atención a si son netamente matemáticos o se

introducen otros contextos que doten de otro tipo de sentido a estas funciones, por

ejemplo, como modeladoras de fenómenos de crecimiento.

155


Secuenciación de los temas relacionados con la génesis de los logaritmos. Esto es

observar la presencia y vinculación con las progresiones aritméticas y geométricas,

con la hipérbola equilátera, etc.

Ejercicios propuestos, en cuanto a tipo, observando por ejemplo, si se trata de

ejercicios de índole aritmética, esto es, su uso como facilitador de operaciones, o

que requieran o no de calculadoras, o para modelizar fenómenos, o si se utiliza el

registro gráfico y con qué propósito y, por otro lado, la cantidad y distribución de

ellos.

El análisis de los libros antiguos es más somero, se mira en ellos la presentación del

tema y la secuenciación de los mismos, la ausencia absoluta de ejercicios hace

improcedente los demás ítems que se consideran para los manuales contemporáneos.

Presentamos a continuación este análisis, para reflejar finalmente en nuestras

conclusiones las ideas extraídas de esta revisión de “textos de saber”.

Presencia de la función logaritmo en los libros de texto de antaño.

Siglo XVII

En la sección anterior, donde rastreáramos la construcción de los logaritmos,

comentamos la tabla de éstos y la explicación de la forma de utilizar y aprovechar las

bondades de esta transformación que estableciera Napier, uno de sus creadores, en

“Mirifici Logarithmorum Cannonis Constructio, traducida como “Construcción del

maravilloso canon de los logaritmos” y en la que se presenta una explicación del

método con el que se construyó la tabla así como las propiedades de la función

logarítmica, y que hiciera su aparición a principios del siglo XVII.

156


Para nuestro trabajo, nos interesa observar la presentación y uso que se propone en

libros de texto de antaño, es decir, en aquellos escritos para la divulgación de los

conocimientos científicos de la época, que vieran la luz en los siglos siguientes.

El libro del Marqués de L´Hospital, aparece en 1696, ochenta años después de la

aparición de la primera publicación sobre logaritmos. En su “Analyse des infiniment petits.

Pour líntelligence des lignes courbes” (Análisis de los infinitamente pequeños para el estudio

de las líneas curvas) no encontramos una construcción de la curva logarítmica, sino que

la misma es considerada conocida y utilizada en ejemplos para desarrollar y evidenciar

la potencia de este “nuevo cálculo”.

L´Hospital organiza su libro en diez secciones en las cuales desarrolla el cálculo

diferencial, el cual según él, se distingue del análisis ordinario debido a que penetra

hasta el infinito, trabajando con diferencias infinitamente pequeñas y con las diferencias

de las diferencias sin hallar límite a ello. Considera que es una poderosa herramienta

para conocer los principios de todas las líneas curvas a las que toma como poligonales

de infinitos lados. El estudio de estos últimos permite obtener la curvatura que forman,

las tangentes a las curvas, sus perpendiculares, sus puntos de inflexión o de retorno, los

rayos que se reflejan, los que se rompen, etc.

Considera que la extensión del cálculo es inmensa, pues es apropiada tanto para las

curvas mecánicas como para las geométricas y surgen una infinidad de descubrimientos

sorprendentes en relación con las tangentes, con problemas de máximos y mínimos,

con los puntos de inflexión y de retorno de las curvas, con las evolutas, con las

cáusticas por reflexión o por refracción, etc. Cabe recordar que en esta época las curvas

se clasificaban, por un lado, en geométricas o algebraicas, aquellas cuyos puntos, según

Descartes, guardan cierta relación con todos los puntos de una línea recta, y para las

cuales era posible representar la relación establecida mediante alguna ecuación

157


algebraica, como por ejemplo una parábola, y por otro, en las denominadas mecánicas,

aquellas de naturaleza no geométrica, tal es el caso de la curva logarítmica.

En la sección 1, “Donde se dan las reglas del cálculo de las diferencias” destina la

proposición IV a “tomar la diferencia de una potencia cualquiera perfecta o imperfecta, de una

cantidad variable”... (L’Hospital, 1998, p. 33). Para establecer la regla general, considera

necesario explicar la analogía existente entre los exponentes, para lo cual presenta, a

modo de ejemplo, una progresión geométrica y la relaciona con una aritmética, de la

siguiente manera:

Progresión geométrica: 1, x, x2, x3, x4, x5, x6, x7, ... etc.

Progresión aritmética: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... etc.

Considera además, que se puede extender hacia números por debajo de la unidad

(en la progresión geométrica) y del cero (en la progresión aritmética), es decir,

2 3 4

1 1 1 1,1, , , , ,x ex x x x

tc

1, 0, -1, -2, -3, -4, etc.

No se detiene aquí sino que introduce términos entre los dados, determinando que

esta inclusión requiere introducir también un número adecuado en la progresión

aritmética. Así, x tendrá como exponente 12

; 3 x , 13

; ...; 5 4x , 45

; 7

1x

, 72

− ; ... etc.

Explica que esta asignación se debe a que, al ser x media geométrica entre 1 y x, debe

tomarse en correspondencia, en la progresión aritmética, 12

por ser la media aritmética

entre 0 y 1; 3 x es la primera de las dos medias geométricas que existen entre 1 y x, por

tanto, su correspondiente exponente debe ser 13

pues es la primera de las dos medias

aritméticas existentes entre 0 y 1.

158


Considera asimismo que, de la naturaleza de estas progresiones surgen las hoy

conocidas como reglas de los exponentes, es decir:

1° La suma de los exponentes de dos términos cualesquiera de la progresión geométrica será el

exponente del término que resulta del producto de ellos (L’Hospital, 1998, p. 35). Por ejemplo,

es el producto de por , etc. Análogamente, 3 4 7x + = x 3x 4x1 1 23 3 3x+= x es el producto de

13x

2x +

por sí mismo, es decir, su cuadrado y esto es, multiplicar por

por , esto es, hallar su cubo. Por tanto, resulta evidente que el doble, el triple, etc.,

del exponente de un término cualquiera de la progresión geométrica es el exponente del

cuadrado, del cubo, etc., de este término, por tanto, la mitad, la tercera parte, etc. del

exponente de un término cualquiera de la progresión geométrica será el exponente de la

raíz cuadrada, cúbica, etc., de ese término.

2 2 2 6x + + + = x 2x + 2x +

De igual manera considera que:

2° La resta de los exponentes de los términos cualquiera de la progresión geométrica será el

exponente del cociente de la división de estos términos (L’Hospital, 1998, p. 36).

Halla posteriormente las diferencias de las potencias distinguiendo entre perfectas

(exponente entero) e imperfectas (exponente fraccionario), generalizando sus resultados

en la Regla IV en la cual establece que la diferencia de una potencia cualquiera, perfecta o

imperfecta, de una cantidad variable es igual al producto del exponente de estas potencias por esta

misma cantidad elevada a una potencia menor en una unidad, y multiplicada por su diferencia.

(L’Hospital, 1998, p. 37). Finaliza estableciendo que si m representa un número entero o

quebrado, positivo o negativo y x una variable cualquiera, la diferencia de siempre

será, .

mx1mmx dx−

159


Al tratarse de un libro sobre cálculo diferencial, no aparece en el mismo la regla

complementaria de ésta, la de integración, es decir, aquella que nos permite regresar a la

cantidad de origen conocida su diferencia. Nos resultó interesante la discusión sobre los

exponentes y la relación entre las progresiones aritmética y geométrica que propone en

este libro, aunque no vaya más allá, pues constituye una primera aproximación a las

ideas del logaritmo.

La curva logarítmica como tal, aparece en la sección 2, donde enseña a trazar

tangentes a curvas de las cuales se conoce su expresión analítica. En el caso que nos

interesa, aparece determinada desde otras dos curvas relacionadas entre sí, una de ellas

la hipérbola equilátera y otra una recta paralela a una de las asíntotas de esta última. No

construye la curva logarítmica, sólo la menciona como aquella cuya subtangente es

constante. Lo que sí presenta es la construcción de la tangente a esta curva, como caso

particular de un problema que resuelve en la proposición XII, (íbidem, pp.79-81).

El problema que plantea en dicha proposición es el siguiente:

&40.- Sean dos líneas cualesquiera BN y FQ . (fig.) que tengan por ejes las rectas BC y ED

que se intersecten en ángulos rectos en el punto A , y sea una línea curva LM tal que, habiendo sido

trazada a partir de uno cualquiera de sus puntos M las rectas MGQ y MPN, paralelas a AB y AE,

la relación de los espacios EGQF (el punto E es un punto fijo dado sobre la recta AE y la línea EF

es paralela a AC) y APND, y de las rectas AP, PM, PN y GQ, esté expresada por una ecuación

cualquiera. Se trata de trazar, a partir de un punto dado M sobre la curva LM, la tangente MT.

160


Denomina a AP = GM = x; PM = AG = y;

PN = u; CG = z; al espacio EGQF, s; al

espacio APND, t; y a las subtangentes dadas

PH = a y GK = b. Luego, considera que se

tendrá:

Pp = NS = MR = dx; Gg = Rm =OQ = -dy

y udxSN dua

= − = porque los triángulos

HPN y NSn son semejantes; además:

zdyOq dzb

= = − ,

en tanto que, NPpn = dt = u dx y QGgq = ds = -z dy, donde debe observarse que

los valores de Rm y Sn son negativos pues al crecer AP = x, disminuyen PM = y y

PN = u. Se desea determinar la razón entre dy y dx, y sustituyendo en la ecuación de la

curva dada, los valores por los hallados, se obtendrá una nueva ecuación que expresará

la razón dy a dx o de MP a PT.

En el ejemplo que propone, para analizar este resultado, considera que s = t ,

entonces ds = dt. Y en ydxMPdxPTdy dy

= = utiliza los valores hallados anteriormente,

para obtener que ydx yzdy u

= = −PT . Establece a su vez que si la curva FQ es una

hipérbola, tal que 2czy

= =GQ y la curva BD es una recta paralela a AB a una distancia

c, yzPT cu

= − = − , es decir, la subtangente permanece constante, entonces la curva LM

es la curva Logarítmica.

161


Lo interesante en el ejemplo, que desarrolla L´Hospital, es que relaciona la

hipérbola y las asíntotas de ella con la curva logarítmica, así como también la igualdad

de las áreas bajo las curvas consideradas; todos éstos, elementos que hoy se utilizan en

la definición de la función logarítmica. Su demostración se sustenta en el marco

geométrico pues utiliza semejanza de triángulos y subtangentes constantes como

argumentos idóneos para tal fin. Esto responde a la importancia que la geometría

poseía en el discurso matemático del siglo XVII.

Asimismo, realiza un análisis similar al anterior para la espiral logarítmica, y más

adelante, utiliza la curva y la espiral logarítmica para ejemplificar el trazado de cáusticas

por reflexión y refracción, temas que no abordaremos en este trabajo.

Siglo XVIII

Nos abocamos ahora, a discutir el enfoque dado a la noción de logaritmo en libros

del siglo XVIII, tal como el de Agnesi, escrito, al igual que el de L’ Hospital, pensando

en facilitar la comprensión del Cálculo, disciplina que se encontraba en gestación, en

plena discusión y construcción en ese momento, lo cual convierte a ambos en

verdaderos pioneros de la difusión de esta disciplina. Así mismo, discutiremos más

adelante las aportaciones de Euler, quien a finales de este siglo realiza importantes

contribuciones al tema.

Tuvimos la oportunidad de acceder al libro titulado Instituzioni analitiche. Libro

Secondo. Del Calcolo Differenziale, y a parte del Libro Terzo. Del Calcolo Integrale, escrito por

Maria Agnesi y publicado en 1748. Resultó de nuestro interés la última parte del tercer

libro pues en ella se presenta una disquisición sobre los logaritmos y su construcción.

162


En el anexo se encuentra una copia de la versión original de la cual hemos extraído los

comentarios que realizamos a continuación.

Agnesi, acorde con las ideas imperantes en la época, no hace una distinción

explícita entre las funciones exponencial y logarítmica tal y como lo hacemos en la

actualidad, sino que, presenta la “curva Logarítmica” como aquella en la que las

coordenadas se hallan relacionadas por progresiones aritméticas y geométricas, es decir,

aquella en la cual las abscisas se hallan en progresión aritmética en tanto que las

ordenadas responden a una progresión geométrica. Esta definición corresponde

actualmente a la función exponencial, sin embargo, el tratamiento que propone para

este tema surge al problematizar la inconsistencia de la regla para integrar potencias en

el caso del exponente –1, pues esta regla determina que su sume una unidad al

exponente y se divida por la misma cantidad. Por tanto, en el caso de ax la integral

sería

1dx−

1 1 0

1 1 0ax ax− +

=− +

, lo cual es “infinito” y, según la autora, no puede conocerse. Establece

entonces que en estos casos, la regla falla y debe recurrirse a la curva llamada

“logarítmica” o a las series infinitas.

Comienza así, en la página 617 del Libro Terzo, a desarrollar las ideas acerca de los

logaritmos, proponiendo una manera de trazar la curva correspondiente. Se apoya para

ello en la relación que ya mencionáramos entre las progresiones aritmética y geométrica,

la cual desaparece en los libros actuales pese a haber jugado un importante papel en la

génesis de este concepto.

La primera construcción que presenta, sustentándose

en la Figura 1 que reproducimos, consiste en dividir la

recta AD en partes iguales (AB, BC, CD,... etc.) y levantar

por los puntos A, B, C, D, etc. las perpendiculares AE, BF,

1

163

Fig.


CG, DH, etc., tales que estando en progresión geométrica, los puntos E, F, G, H, etc.,

se encontrarán sobre la curva logarítmica.

Este procedimiento puede continuarse

dividiendo, indefinidamente y siempre en partes

iguales, los segmentos AB, BC, CD, etc. para obtener

infinitos puntos de la curva, como se muestra en la

Figura 2. Identifica el segmento CG como y,

considera que MO se encuentra infinitamente

próximo a él, es decir, a una distancia dx, y que la

diferencia entre las ordenadas es dy. Establece

además, que lo mismo sucede con los segmentos

DH, al que llama z, y PI cuya diferencia es dz. Fig. 2

Observa que, en las gráficas, las abscisas han sido construidas según una progresión

aritmética, en tanto que las ordenadas conforme a una progresión geométrica, por lo

que sus diferenciales guardan la misma proporción, es decir, dy y dy dzdz z y z

= ⇒ = ,

por tanto será constante la relación dy a y. Asume que dx es constante, por tanto

dy adydx dxy a y= ⇒ = es la expresión que representa la ecuación de la curva y,

además, que la subtangente es constante, siendo su valor a.

Propone inmediatamente después, una segunda manera de construir la curva

logarítmica (Fig. 3). Para ello, define la recta MH, la divide en partes iguales, MN, NB,

BK, etc. y toma un segmento cualquiera NI alzando por I una perpendicular (IO) a la

recta del tamaño que se desee. Traza el segmento NO el cual interseca a la

perpendicular al eje levantada desde A en C; luego, del punto B se construye BC y por

E levanta la perpendicular al eje que interseca a este segmento en D; continúa con este

proceso determinando en cada paso un punto de la curva logarítmica. Para hallar

164


puntos de la curva intermedios a los trazados, divide en mitades los segmentos MN,

NB, BK, etc. y procede de la misma manera. Finalmente establece que basta con

multiplicar a infinito las divisiones iguales de la recta MH, suponiéndolas infinitésimas y

en la misma proporción que MN, NB, etc. para obtener infinitos puntos que señalarán

a la curva logarítmica, para la cual la subtangente será constante.

Construye los arcos OC, CD, DP, etc. de

manera tal que sean tangentes a la curva, al igual que

las rectas trazadas NO, BC, KD, IP, etc. lo cual

produce que los triángulos OIN y CAN sean

semejantes, por tanto, que OI NICA NA

= ; otro tanto

ocurre con los triángulos CAB y DEB, en los cuales

Fig. 3

CA BADE BE

= , pero NI=BA y NA=BE por lo cual OI CACA DE

= y así sucesivamente.

Observa entonces, que en esta construcción, las abscisas se encuentran en

proporción aritmética en tanto que las ordenadas siguen una progresión geométrica, lo

cual corresponde a una de las propiedades de la curva logarítmica.

Establece posteriormente que la curva logarítmica es una curva mecánica que no

puede describirse geométricamente, y esta imposibilidad se corresponde con la de hallar

la cuadratura del espacio hiperbólico. Finalmente, auxiliándose de la Figura 4, establece

que ady lyy=∫ , esto surge de considerar que la subtangente es a y tomar la ordenada AD

igual a ella, la cual equivale a la unidad. Así mismo, AB = x, BC = y en tanto que la

ecuación de la curva logarítmica es ady dxy= , cuya integral es x.

165


Además, x = AB y AB es el logaritmo de BC o sea el logaritmo de y.

Si se toma en la curva logarítmica la ordenada

BC = AH = y , se le agrega HK = b, luego se traza

KG paralela a la asíntota, se obtiene la ordenada

GE, paralela a AD, por tanto, GE = y+b y AE

= l (y+b). Se observa entonces que cualquiera sea

la ordenada considerada a la derecha de A, existirá

su logaritmo; si en cambio la ordenada es igual

AD, es decir, igual a la subtangente, el logaritmo Fig. 4

será cero, en tanto que, para una ordenada a la izquierda de AD, como ΩΛ , el

logaritmo será negativo, en este caso ; en tanto que para la ordenada cero, el

logaritmo será infinito.

AΩ

Resulta interesante el tratamiento que Agnesi le confiere a las curvas logarítmicas

pues los argumentos gráfico-geométricos que utiliza y la íntima relación que pone en

evidencia entre las progresiones geométricas y aritméticas están ausentes del discurso

matemático escolar de nuestros días. Además, introduce el tema problematizando sobre

la falencia o inconsistencia del patrón hallado para la cuadratura de curvas que

responden a la expresión xn , cuando n = -1. En este sentido, son dos los argumentos

que presenta, el primero más cercano al enfoque actual de trazado de curvas, donde

propone realizarlas hallando ciertos puntos para cuya determinación utiliza la relación

entre progresiones; y el segundo, mediante semejanza de triángulos. Agnesi no

menciona conceptos como base sino que lo hace en términos de subtangentes lo cual es

característico del siglo XVII, en el cual la geometría era una pieza importante, sino

fundamental, de la matemática.

166


Por su parte, Euler, uno de los más prolíficos matemáticos del siglo XVIII, a quien

se le atribuye, entre otros muchos aportes, el estudio y desarrollo de la noción de

función, en el prefacio de su libro Introductio in analysin infinitorum, publicado en 1748, y

que fuera traducido al francés en la época napoleónica (1797, versión que hemos

consultado), considera que el análisis matemático es la ciencia de las variables y de sus

funciones, el cual permite descubrir propiedades y encontrar sumas de series infinitas

con las cuales se puede expresar todo tipo de funciones, incluyendo las trascendentes,

como el logaritmo.

Divide su tratado en dos libros, dedicando el primero al Analyse pure y el segundo a

desarrollar cuestiones geométricas mediante el análisis infinitesimal. En el primer libro

encontramos los cinco primeros capítulos dedicados al concepto de función, desde la

definición de cantidades constantes y variables hasta una detallada clasificación de las

funciones. Dedica, en cambio, el capítulo VI al estudio des Quantités exponentielles & des

Logarithmes, y el VII a Du développement des Quantités exponentielles & logarithmiques en Séries,

ambos de nuestro interés.

En el prefacio establece que el estudio de las cantidades exponenciales, con

exponentes variables, provee una idea natural y fecunda de los logaritmos, donde es

fácil concluir sobre sus diferentes usos y lograr métodos expeditivos para construir

tablas de logaritmos. Considera además, que los logaritmos exigen un algoritmo

particular cuyo uso está muy extendido en todo el análisis. Encontramos, entonces, en

sus páginas una idea importante, la clara distinción entre las funciones exponencial y

logarítmica, considerándolas a su vez, una inversa de la otra, noción ausente en los

tratados analizados anteriormente en este trabajo.

167


Así, en el primer libro, explica diversas nociones ligadas al concepto de función,

su resolución en factores y su desarrollo en series infinitas; introduce también la teoría

de Logaritmos, de arcos de círculos, senos, tangentes y varias cuestiones con el fin de

facilitar el estudio del Análisis infinitesimal.

Una de las primeras definiciones que encontramos es: Une fonction de quantité variable

est une expression analytique composée, de quelque maniere que ce soit, de cette même quantité & de

nombres, ou de quantités constantes. (Euler, 1797, p. 2), así como una detallada clasificación

de ellas, la cual puede sintetizarse en el siguiente esquema.

Multiforme Uniforme

FraccionariaEntera

Irracional Racional

Trascendente Algebraica

Función

Una definición que deviene interesante para nuestro trabajo es la que establece

respecto a funciones inversas al enunciar que: Si y est une fonction quelconque de z,

réciproquement z sera une fonction de y (Euler, 1797, p. 8), y aclarar que puede ocurrir que,

siendo y una función uniforme de z, esto es univaluada, z sea una función multiforme,

es decir en términos modernos, multivaluada. Por ejemplo, si entonces y

es una función triforme de z, esto es, por cada valor de z hay tres valores determinados

3y ayz bz= − z

168


para y, en tanto que z es una función biforme de y (dos valores de z por cada y). Esta

idea es la que rescata al definir logaritmos en el capítulo VI, definición que si bien

difiere de la que utilizamos en la actualidad, se corresponde con una de las formas de

definir la función logaritmo que contamos hoy en día.

Aparece entonces en este tratado, la idea de la función logaritmo como la inversa

de la función exponencial, así como también ejemplos de aplicación de estas nociones

ya que presenta varios problemas de crecimiento de población y de capital como forma

de evidenciar la potencia de su uso en la resolución de los mismos.

Comienza el capítulo VI, estableciendo que si bien el estudio de las funciones

trascendentes amerita el uso del análisis integral, abordará las funciones que se

presentan más frecuentemente, tales como las exponenciales y las logarítmicas, pues

éstas allanan el camino para la introducción de otras nociones. Así, desarrolla, en primer

lugar, las ideas acerca de la función exponencial, estableciendo que se pueden distinguir

dos casos, aquel donde lo único que varia es el exponente y aquel donde tanto el

exponente como la cantidad afectada por él son variables, es decir, a en el primer caso

y en el segundo.

z

zy

Se centra luego, en el estudio de la exponencial , donde a es una constante y z, el

exponente que se refiere a todos los números determinados, siendo evidente que si se

reemplaza z por números enteros positivos, se obtendrá para valores determinados

como , etc. en tanto que si se lo reemplaza por enteros negativos como

etc. devendrá en

za

za1 2 3 4 .; ; ; ;..a a a a

.; 3;..− za1; 2− − 2 3

1 1 1; ; ;..a a a

. etc. y para z =0 siempre se tendrá a .

Establece así mismo, que si se sustituye z por números fraccionarios, se obtendrán

radicales, como por ejemplo, para

0 1=

1 1 2 1 3; ; ; ; ;2 3 3 4 4

... etc. será za 3 23 4; ; ; ;a a a a a4 3 .;.. etc.

Al ser una función uniforme de z, cualquiera sea el exponente, se puede determinar, za

169


con mayor o menor dificultad, el valor de la exponencial. Por ejemplo, 7a

xa

será un

valor determinado comprendido entre y a . 2a

= =

3

3 ;...;

z

ly=

Presta atención luego, a los distintos valores que puede asignársele a la base, y

cómo repercute esto en los valores de la función, es decir, considera los casos de

incluso el caso de a negativo, lo cual produce cantidades

imaginarias. Establece posteriormente las reglas de los exponentes, es decir, considera

que si entonces, . Además, si v , entonces

y

1; 1; 1; 0;a a a a> < = =

zy a=

x zvy a +=

2 3;z z nyy a y a y a= nz =

x zv ay

−= .

En el parágrafo 102, define logaritmo como lo inverso a la exponencial, ya que

establece que dado el número a, se puede obtener para cada valor de z el de y, y

recíprocamente, dándole a y un valor positivo cualquiera, se conoce que existe un valor

de z tal que , y este valor de z será función de y, al que ordinariamente se

denomina LOGARITHME de y. Pasa posteriormente a definir el término Base como

aquella cantidad constante tal que, una vez elegida, el logaritmo de un número y no es

otra cosa que el exponente de la potencia a que hace a esta cantidad igual al número y.

En consecuencia, si a y , siendo el logaritmo designado con “l”. Aclara

a su vez que la base, aunque arbitraria, debe ser una cantidad mayor que la unidad, pues

sólo los números positivos pueden tener logaritmos reales. Enuncia varias

características de la curva logarítmica, pero no presenta la visualización de ella, establece

por ejemplo que, la curva es positiva para valores del exponente mayores que la unidad,

negativa para aquellos que se encuentran entre cero y uno, cero si z , en tanto que

los logaritmos de números negativos serán imaginarios.

za =

z z= ⇒

1=

y

170


En el parágrafo 104, presenta las propiedades de los logaritmos, estableciendo por

ejemplo que, ; y aclarando que dado el logaritmo de un número cualquiera, se

puede encontrar el logaritmo de otras potencias del mismo número. En este sentido, si

y , entonces lvy , haciendo la analogía con la regla de los

exponentes anteriormente establecida y dando ejemplos sobre la utilización de

logaritmos conocidos para calcular el de números cuyos factores son los números

dados. Por ejemplo, si conocemos el logaritmo de 3 y de 5, podemos hallar el logaritmo

de 15, pues 15= 3*5, entonces .

nly nly=

xly z= lv = x z lv ly= + = +

15 (3* 5)l l= 3 5l l= +

Trabaja luego con cambios de base, proponiendo la regla de tres para realizar el

pasaje de un sistema a otro y estableciendo que Il suit de-lá que les logarithmes de deux

nombres dans quelque systême que ce soit conservent le même rapport. (Euler, 1797, p. 77,

parágrafo 108).

Afirma que los logaritmos son de gran utilidad para abreviar cálculos numéricos, ya

que no sólo permiten conocer el logaritmo de cierto número, sino que también el

número que responde a un logaritmo dado, es decir, si suponemos que c d son

números cualesquiera, utilizando sus logaritmos se puede calcular, por ejemplo,

, , , , ,e f g h

3

ccd ef gh

,

pues el logaritmo de esta cantidad será: 1 122 3

lc ld le lf lg lh+ + − − −13

y buscar luego el

número al que responde. Así, las tablas de logaritmos son de gran utilidad sobre todo

para encontrar potencias y radicales complicados, sustituyéndolos por simples

operaciones de multiplicación y división. Destina seis páginas a otros tantos ejemplos

del uso de los logaritmos para resolver problemas de crecimientos de la población, de

inversiones, etc.

171


En el parágrafo 110, establece que cada logaritmo está compuesto por dos partes, la

primera, la parte entera, recibe el nombre de caractéristique, y la segunda, una fracción

decimal, (hoy denominada mantisa). Remarca que la característica es una unidad menor

que las cifras que posee el número dado, es decir, el número 78509 tendrá 4 como

característica, ya que está compuesto por 5 cifras. Así, los logaritmos de los números

que sólo difieren en la posición de la coma decimal, serán iguales excepto por la

característica. Por ejemplo, los logaritmos 4,9130187 y 6,9130187 pertenecen a los

números 81850 y 8185000 respectivamente, el 3,9130187 al número 8185 y el

0,9130187 al 8,185. Aclara, así mismo, que todas estas consideraciones se encuentran en

la Introducción a las Tablas de Logaritmos.

Por otra parte, Euler en su libro Elementos de Álgebra, (Elements of Algebra) publicado

en 1840, con notas de Bernoulli y Lagrange, presenta a la función logaritmo con el

enfoque que actualmente vemos en los libros tradicionales de Álgebra. Presenta su libro

dividido en dos partes, la primera destinada al análisis de cantidades determinadas y la

segunda al de cantidades indeterminadas. Desarrolla la noción de logaritmo en la

primera sección de la primera parte, a la que denomina Of the different methods of calculating

simple quantities, (en la traducción al inglés del mismo) haciéndolo luego de trabajar con

las operaciones que involucran números enteros, negativos y fraccionarios. Así, destina

el ítem XXI a Of logarithms in general, el XXII a Of the logarithmic Tables now in use, y el

XXIII a Of the method of expressing logarithms, esto luego de haber desarrollado ideas de

potencias, su cálculo y representación de potencias irracionales mediante exponentes

fraccionarios.

Es interesante observar cómo, en su texto, los logaritmos ya se encuentran

escindidos de su origen como relación entre progresiones, una aritmética y la otra

geométrica, pues estas nociones aparecen en la Sección III en la cual desarrolla razones

y proporciones.

172


La definición que presenta al iniciar el tratamiento de este tema es:

220- Resuming the equation a , we shall begin by remarking that, in the

doctrine of Logarithms, we assume for the root “a”, a certain number taken at pleasure,

and suppose this root to preserve invariably its assumed value. This being laid down, we

take the exponent “b” such, that the power a becomes equal to a given number “c”; in

which case this exponent “b” is said to be the “logarithm” of the number “c”.

b = c

b

(Euler, 1840)

en la cual reconocemos el discurso de los libros actuales de álgebra. Asimismo, todo el

desarrollo que estos últimos proponen, son una copia del enfoque dado por Euler en su

Elementos de Álgebra, y por tanto no lo desarrollaremos. Sin embargo, cabe mencionar

que, pese a que en varios ítems propone ejercicios para que el lector practique, en los

destinados al acercamiento al uso de los logaritmos no lo hace, a diferencia de los

actuales donde el número de ejercicios aritméticos es considerable.

Del análisis de estos libros, surge que en este siglo se produce un cambio

profundo de enfoque, comienzan a imperar las consideraciones de índole algebraico en

detrimento de las geométricas. Las nuevas herramientas que proporciona el desarrollo

del cálculo, y la exploración y generalización de varias de las nociones aparecidas con él,

propician el despegue de las ideas geométricas dando lugar a un nuevo paradigma,

sentado sobre lineamientos más rigurosos donde lo analítico deviene fundamental. En

el caso de los logaritmos se hace evidente el abandono de su construcción desde ideas

geométricas, tales como semejanza de triángulos, donde la noción de subtangente

constante es primordial, o desde ideas numéricas, donde la vinculación entre las

progresiones aritméticas y geométricas se hace indispensable. Se prioriza, quizás a partir

de las ideas eulerianas, una presentación analítica, más ligada a la idea y necesidad de dar

coherencia y continuidad a la teoría matemática que a los propósitos que le dieron

origen. Se extiende así su uso y se profundiza su significado, deviene importante su

173


desarrollo en serie de potencias pues esto garantiza su permanencia en la estructura

matemática, suerte con que otras curvas mecánicas no contaron, lo cual propició su

desaparición paulatina del discurso matemático.

Así, en la presentación y tratamiento tanto de la función logarítmica como de la

exponencial en los trabajos de Euler, percibimos la estructura que aun hoy

encontramos en los libros de texto.

Presencia de “logaritmos” en libros del siglo XIX

En el Compendio de Matemáticas puras y mixtas escrito por Don Mariano Vallejo,

publicado en 1849, y que según el autor se trata de una versión corregida y aumentada con

cuantos adelantos se han hecho hasta el día en dicha ciencia y en sus importantes aplicaciones,

encontramos que el segundo tomo versa sobre aritmética, álgebra, geometría, trigonometría

rectilínea, é idea general de la resolución de los triángulos esféricos, y geometría práctica, y un método

nuevo, sencillo general y seguro para encontrar las raices reales de las ecuaciones numéricas de todos los

grados, aun las que se resisten á cuantos medios y recursos ofrecen las matematicas3.

Se trata de un libro que, como anteriormente estableciéramos, fue elaborado para la

enseñanza de matemática en los colegios de América a mediados del siglo XIX y

utilizado en varios de los colegios más prestigiosos de esta época, tal como el Colegio

San Idelfonso.

Aparece, en el primer tomo de este Compendio, la definición de “potencia de una

cantidad” como el producto de multiplicar dicha cantidad por sí misma cierto número de veces”

3 En la transcripción del Compendio original de Vallejo, se ha respetado estrictamente el estilo y ortografía del autor.

174


(Vallejo, 1849, p. 23, art. 127), la cual perdura hasta nuestros días, pues la encontramos

en los textos actuales sin mayores modificaciones.

A su vez, en el segundo tomo, se establece que: ... se llama función á toda cantidad o

espresión, cuyo valor depende del de una variable. Así, en toda ecuacion indeterminada la variable del

primer miembro es funcion de la del segundo, y al contrario; y las ordenadas son funciones de las

abscisas, etc... (Vallejo, 1849, p. 57, art. 120). Considera además, que las funciones se dividen

en “reales” y “aparentes”. Se llaman reales aquellas en que para cada valor de la variable, resulta uno

nuevo para la función, tales como:

2 22 ; z a x z ax a x= + = + −

y se llaman aparentes a aquellas cuyo valor es constante, cualquiera sea el valor que tome la variable,

tales son: (ibídem, p. 57, art. 120), donde una de las mismas es un caso

particular de función exponencial.

0 ; 1xz x z= =

Percibimos en la definición de función que da Vallejo las ideas de Euler quien en el

prefacio de su obra Institutiones calculi differentialis (publicado en 1755) establece que: ... si

algunas cantidades dependen en tal forma de otras cantidades, que en caso de modificar a estas últimas

también las primeras sufren cambio, se dice que las primeras cantidades son funciones de las segundas.

Esta denominación es de naturaleza más amplia y abarca a todo método mediante el cual una cantidad

puede ser determinada por otras. En consecuencia si x denota a una cantidad variable, entonces todas

las cantidades que dependen de x en cualquier forma quedan determinadas por ella y se les denomina

funciones de ellas...” (Youschkevitech, 1976). En tanto que se aparta de las ideas eulerianas

al considerar como función a las constantes, las cuales para Euler no son funciones por

derecho propio, siendo sugestivo el nombre “aparentes” que les asigna Vallejo en su

libro, aludiendo quizás a las ideas de este gran matemático.

175


En el siguiente párrafo establece que las funciones también se dividen en “algebraicas” y

“trascendentes”; algebraicas son aquellas en que las variables están enlazadas con las constantes, solo

por adicion, sustraccion, multiplicacion, elevacion á potencia y estraccion de raices, sin entrar en ellas

líneas trigonométricas, logaritmos, ni otras espresiones que pronto daremos á conocer con el nombre de

“diferenciales”, pues cuando entran estas cantidades, las funciones se llaman trascendentes (ibídem, p.

58, art. 120).

Distinguimos en su clasificación la establecida un siglo antes por Leibniz quien

cambia la propuesta por Descartes, por una en la cual las curvas podían ser “mecánicas”

o “geométricas”, y cuya denominación llega hasta nuestros días mediante los libros de

texto, siguiendo asimismo las ideas que Euler desarrolla en su libro de análisis.

Vallejo continua su clasificación de funciones estableciendo que las funciones

algebraicas se dividen a su vez en irracionales o racionales, según contengan o no radicales,

y a las primeras en explícitas e implícitas, términos que utilizamos hoy en día pero con un

sentido más amplio. Distingue también las funciones quebradas de las enteras al

considerar si poseen o no exponentes negativos o divisores. También define las

funciones uniformes, biformes, triformes, ..., multiformes, según el número de valores que

adopte la función para cada uno de los valores de las variables.

La noción cuya presentación y desarrollo nos interesa observar en el libro de

Vallejo, es la función logaritmo, así como también los conceptos que se relacionan con

ella. Encontramos así, a lo largo de este escrito, un encadenamiento de conceptos

vinculados con los logaritmos hasta desembocar en su definición como la integral de la

hipérbola equilátera, aunque este autor no relaciona estos conceptos, quizás por el

hecho que presenta a las hipérbolas como lugares geométricos cuyas asíntotas son

rectas oblicuas y no los ejes coordenados. En efecto, la definición de hipérbola aparece

en la sección de cónicas al trabajar con las distintas posiciones que puede adoptar un

176


plano al intersectar a un cono, y se establece que la expresión analítica que le

corresponde es:

( ) ( )2

221cos

2

sen senz a

α α ζ

ζ

+= ± +x x

donde ζ es el ángulo de las generatrices del cono, es el ángulo de inclinación del

plano secante, ambos mayores que . El autor explicita que el doble signo manifiesta que

á cada abscisa corresponden dos ordenadas iguales y de signo contrario, ó lo que es lo mismo, que la

curva estiende igualmente hácia uno u otro lado del eje de las x (Vallejo, 1849, p. 53, art. 106).

α

π

En el artículo 124, presenta a las series como polinomios de infinitos términos por medio de

los cuales se espresa el valor de una cantidad que no le tiene cabal... considerando que se las ha

creado para facilitar el cálculo de funciones irracionales o trascendentes. En el siguiente

parágrafo define la series aritméticas como aquellas que restando cada término del que le

sigue, dan todos una misma diferencia. Los primeros ejemplos que presenta sobre este tema

se refieren al desarrollo en serie de expresiones del tipo , o aa x xα

aζ− +

utilizándolos

para explicar el método correspondiente, el cual consiste en igualar las expresiones

anteriores con el polinomio donde A, B, C, D, E,... son

coeficientes indeterminados. Luego de multiplicar ambos miembros por el

denominador, iguala los coeficientes correspondientes y los calcula. Reconocemos en

este método el paso previo del que actualmente utilizamos para hallar el desarrollo en

serie de potencias de la función logaritmo, ya que sólo resta integrar la expresión

obtenida. (ibídem, pp. 60-63, arts. 124-170).

2 3 4 ...A Bx Cx Dx Ex+ + + + +

177


Luego de presentar el método de los límites y el cálculo de diferencias, definiendo a éstas

como , desarrolla el cálculo de diferenciales introduciéndolo como una

“portentosa” herramienta que tiene procedimientos directos y sencillos para, dada una funcion,

encontrar desde luego el límite de la relacion del incremento de la funcion con el de la variable, sin

necesidad de hallar anticipadamente ni el incremento de la funcion, ni la relacion de este incremento con

el de la variable (ibídem, p. 75, art. 149).

. .( )f x f x x f x∆ = ± ∆ − .

Presenta los recursos de este Cálculo apoyándose en las ideas de Lagrange, las

cuales paulatinamente fueron desapareciendo de la currícula escolar, al ser desplazadas

por las de Cauchy. Así, establece que dada una función z = f.x al sustituir x por x+ k,

siendo k una cantidad cualquiera, z se convierte en z’ = f.x + Ak + Bk2 + Ck3 + Dk4+

... donde A, B, C, D, ... son funciones de x independientes de k.

A su vez utiliza la notación de Leibniz para los diferenciales, esto es antepone una

“d” a la función, estableciendo que toda cantidad “dx” es cero y que sólo representa

una cantidad cuando se halla en relación con otra de tales cantidades, por ejemplo

dd

z Ax= . Calcula el diferencial de una suma y de un producto, para luego presentar de

manera implícita una de las propiedades de los logaritmos pues considera que, en el

artículo 159, si quisiéramos comparar la diferencial de una funcion con la misma funcion,

dividiríamos los dos miembros de la ecuacion d.ut = ud.t + td.u por la funcion primitiva ut y

tendríamos: d d. d.ut u t= +ut u t

. , para luego generalizar a cualquier número de factores.

(ibídem, p. 82, art. 159).

Es interesante observar cómo presenta la diferencial de la función z = ,

basándose en el resultado anterior y considerando n como entero positivo, z

será entonces el producto de n veces x por lo cual

nx

178


d d d d d d dn

n

.z .x .xxxxx... .x .x .x .x= = = + + + ...= nz x xxxxx... x x x x

d dn-1.z = nx

por ser n en número de factores.

Luego, quitando el denominador queda: . Pasa en seguida a tratar los

casos de exponentes fraccionarios y negativos, omitiendo el caso particular de n = -1 el

cual nos interesa en este trabajo por ser su primitiva, justamente, el logaritmo. (ibídem,

p. 84, art. 161).

.x

2 3x 2 k+ x

2 1 2 3× × ×

d d.x xloga a xloge

En el artículo 175 presenta el cálculo de las diferenciales de funciones

trascendentales, comenzando con la exponencial ax. Para desarrollarlo utiliza el binomio

de Newton y la sustitución a = 1 + c, encontrando que dd

x.z = ka.x

, donde

( ) ( )2 3a -1 a -1a -1k = - + - ...etc1 2 3

. Luego establece que el desarrollo en serie de potencias

de la función exponencial es:

k ka =1+ x + x + ... etc1 1

3

define el número e y ex utilizando los logaritmos, ya presentados en el tomo I, para

obtener el valor de k, es decir, partiendo de que ek = a ⇒ k log e = log a ⇒ logak =loge

con

lo cual concluye que:

.a =

Denota a los logaritmos de base e como l en lugar de ln como los conocemos

actualmente, aclarando que se trata del sistema de logaritmos neperianos y que son los

más utilizados en los cálculos, por lo que, en general, es conveniente que los sistemas

con otras bases se refieran a ellos. (ibídem, p. 97, art. 177).

179


En el parágrafo 178 (p. 97), se calcula, “fácilmente” según el autor, el diferencial de

la función logaritmo. Llama a la base a, al número z y al logaritmo x (en notación actual

x = logaz), y procede a hallar la diferencial de los dos miembros de z = ax

d d dd. d. d. dxx

.z .z .zz = ka x x = = log.z = logekz ka z

⇒ ⇒

por tanto, . . (actualmente (ln ))dzz d zz

=d l . Concluye, así, que: la diferencial del logaritmo

de un número es igual al producto del módulo4 por el cociente de la diferencial del número partida por el

mismo número, y si es en el sistema de Neper en que log.e=1, la diferencial del logaritmo de un número

es igual á la diferencial del número partida por el mismo número.

En el parágrafo 180 (p. 98) muestra la imposibilidad de desarrollar x en z, o del

logaritmo en potencias del número, estableciendo como alternativa la sustitución de z por 1+

u. En el parágrafo 182 (p. 99) expresa que la consideración de los logaritmos facilita mucho la

diferenciación de las funciones exponenciales, cuando son complicadas, presentando en el mismo el

método conocido hoy por derivación logarítmica.

Es en la página 131 que presenta el Cálculo Integral como aquel cuyo objeto es

determinar la función primitiva, dado el límite de la relación entre el incremento de la función y el de la

variable. Considera que hallar la primitiva consiste en determinar la función cuya

diferencial se conoce. Establece así, que: dm+1

m Ax.Ax x = +Cm+1∫ expresión que se

convierte en la indeterminación 00

cuando m = -1 por lo que se requiere utilizar la regla

196 que establece: para obtener el verdadero valor de una fracción que se convierte en 00

, cuando se

da á x un valor particular, es necesario diferenciar separadamente su numerador y su denominador,

180


hasta que se encuentre para uno ú otro un resultado que no se desvanezca; la funcion propuesta será

infinita en el primer caso, nula en el segundo, y tendrá un valor finito, si se hallan á un mismo tiempo

dos resultados que no se aniquilan. La cual no es otra que la conocida regla de L´Hospital.

Así, x xa - bx

se reducirá a l.a - l.b (en notación actual ln a – ln b) cuando x = 0. Luego

cuando m = -1, d.d A x.z = z = A(l.x - l.a)= Al.x +Cx

⇒ estableciendo finalmente que

siempre que el numerador de una fracción sea la diferencial del denominador, esta fracción tiene por

integral al logaritmo del denominador. (p. 137)

Concluye su presentación de los logaritmos explicando la utilización de la

integración por partes en forma reiterada cuando éstos figuran como integrandos.

Otro libro utilizado en la enseñanza de este siglo es Traité élémentaire de calcul

differential et de calcul integral Lacroix (1837), quien aclara que se encontrarán en él,

reflexiones sobre la manera de enseñar matemáticas. El desarrollo de temas es muy

similar al presentado en el de Vallejo por lo que sólo comentaremos algunos parágrafos

en los que el enfoque difiere. Una diferencia notable es que Lacroix utiliza ejemplos

numéricos para aclarar su discurso, herramienta ausente en el de Vallejo. Otro aspecto,

en que el primer autor se detiene, es en la construcción de curvas y en algunos

argumentos de tipo geométrico que no encontramos en el otro. Así, en el parágrafo 112

titulado: Exemple de l’Analyse dúne courbe. De courbes trascendantes, de la logarithmique (pp.

168-170) define la curva logarítmica como aquella cuyas ordenadas son los logaritmos

de las abscisas. Considera que la manera más fácil de construir esta curva es dividiendo

el eje de las abscisas en partes iguales para representar los números y tomar de las tablas

de logaritmos los valores correspondientes y llevarlos como ordenadas. Observamos en

esta propuesta del autor una marcada similitud con el discurso matemático escolar de

4 Llama módulo al valor de log e

181


nuestros días en cuanto al trazado de este tipo de curvas, pues enseñamos a determinar

en el plano algunos puntos extraídos de tablas de valores, unirlos para generar la curva.

Sin embargo el autor continua desarrollando ideas en torno a la gráfica de esta

curva pues considera que siguiendo este proceso, la curva graficada será y = lx .

Observa que ella, cuando x = 1 deviene en y = 0 que se traduce en el gráfico con el eje

AB y el punto E, por lo tanto AE es la unidad. La rama EX, que responde a abscisas

positivas más grandes que la unidad, es infinita ya que los logaritmos de estas abscisas

crecen siempre. En la parte AE, donde las abscisas son fracciones, las ordenadas son

negativas y aumentan a medida que estas fracciones disminuyen de tal suerte que la

rama EX tiene como asíntota, para la parte negativa, el eje de ordenadas AC, así la

curva logarítmica no se extiende a puntos de abscisas negativos porque sus logaritmos

son imaginarios.

Precisa después que dándole un cuarto de revolución a la figura, las abscisas

devienen en ordenadas o a x = ly donde a designa la base del sistema, resulta entonces

la ecuación y = ax en la cual los logaritmos son las abscisas. Considera luego que,

182


mediante las medias proporcionales se pueden tirar círculos para encontrar otros

puntos de la curva logarítmica cuyas abscisas:

1 3; ; 2 2

x x x= = =14

etc.

corresponden a las ordenadas:

11 342 2 .1 1.1; ; ;

1 1a a ay a a y a y a= = = = = = etc.

De esta manera se tendrá un procedimiento gráfico muy simple para trazar los puntos

de una curva logarítmica sin auxilio de las tablas.

A manera de recapitulación de este punto, podemos mencionar que en el segundo

tomo del Compendio de Vallejo, los logaritmos se presentan desde el desarrollo en serie

de potencias y como el resultado de una integral. En este Compendio las gráficas, que se

adosan al final de cada tomo, no representan a la función logaritmo, al igual que no se

menciona la relación existente entre las progresiones aritmética y geométrica. Al

término de esta investigación no pudimos acceder al primer tomo de este Compendio,

pero en el discurso del autor, percibimos que su presencia en él es similar a la que

actualmente presentan los libros de álgebra, esto es, como el exponente al que se debe

elevar cierto número para obtener otro especificado y sus propiedades. El libro de

Lacroix sigue el mismo lineamiento que este último, pero en su discurso incorpora

elementos para construir la curva logarítmica utilizando argumentos muy similares a los

que encontramos en lo libros de textos actuales.

183


Consideramos que, tanto en el libro de Vallejo como en el de Lacroix, se percibe

una gran influencia del estilo euleriano en la presentación, confiriéndole un enfoque

analítico-algebraico privado de ideas geométricas. Al igual que Agnesi, introducen los

logaritmos problematizando sobre el patrón que siguen las integrales de expresiones

del tipo xn cuando n = -1 pero respondiéndolo desde el análisis, utilizando las ideas

sobre indeterminadas trabajadas por L´Hospital.

Presencia de “logaritmos” en libros de Álgebra entre 1950-1970

Trujillo, analiza varios libros de texto que son utilizados en el nivel medio superior.

Entre ellos, “Álgebra elemental” de Baldor; “Álgebra (intermedia)” de Lovaglia; “Álgebra y

trigonometría” de Barnett, “Aritmética y álgebra”, “Cálculo diferencial” ambos de Garza

Olvera; y “Álgebra” de Rees Spark. Luego de su revisión, comenta que ninguno de estos

libros aborda el aspecto numérico, es decir, ninguno da cuenta de cómo, a partir de

ciertos elementos matemáticos, se construye la función logaritmo. En general, la

presentan como la inversa de la función exponencial, justificándola a partir de una tabla,

producto de la tabulación de la función exponencial, para luego ser utilizada como un

concepto axiomático en aplicaciones como puede observarse en los libros que

contienen problemas de población de bacterias, interés compuesto, etc.

Por nuestra parte consideramos que en los libros de Álgebra para bachillerato

consultados y que pertenecen al período 1950-1970, tales como el de Res & Sparks

(1959), el Simmons (1948), el Baldor (1967) la noción de logaritmo aparece, en general,

luego de haberse presentado, a manera de repaso, las definiciones y propiedades de las

potencias con exponentes enteros. Se dedica un capítulo a “exponentes y radicales” donde

se extiende el tratamiento de potencias a exponentes enteros negativos y fraccionarios.

184


En el enfoque dado a los temas se percibe la concepción de los autores respecto al

aprendizaje como un proceso en el cual se deben evitar los obstáculos incrementando

las dificultades de manera gradual. Cada subtema se presenta con varios ejemplos y

ejercicios resueltos, además de gran cantidad de ejercicios aritméticos para ser resueltos

por el lector. Podríamos considerar que adhiere a las concepciones empiristas, donde el

trabajo del alumno consiste en seguir los pasos propuestos por los autores y en

ejercitarse con una profusión de ejercicios similares para apropiarse de la noción

planteada la cual debe ser descubierta mediante tales acciones.

Llama la atención que el capítulo destinado a logaritmos se encuentre antes de la

presentación de las nociones de progresiones aritmética y geométrica, excepto en

Baldor (1967) que si bien las presenta en el capítulo inmediato anterior, no las retoma ni

relaciona con los logaritmos. Se desconoce en ellos el importante papel que la relación

entre ambas progresiones tuvieron en la génesis del concepto de logaritmo.

Se lo presenta, en cambio, como la relación existente entre el exponente, la base y el

resultado de la operación. Así, encontramos como primera definición, por ejemplo:

“El logaritmo, para una base dada, de un número es el exponente que indica la

potencia a la que debe elevarse la base para obtener el número”. (Res & Sparks, 1959,

p. 299)

Simbólicamente, lo presentan como:

log Lb N L b N= ⇒ =

185


En estos libros se prioriza el estudio de los logaritmos de base 10, llamados “comunes

o de Briggs”. Aparecen entonces, términos como “característica” y “mantisa” los cuales van

desapareciendo del lenguaje escolar pues la incursión de las calculadoras científicas en el

aula, vuelve obsoleto el uso de las tablas y por ende los algoritmos inherentes a su uso,

tales como la interpolación y la suma de una unidad a la característica del logaritmo

cada vez que se desplaza el punto decimal un lugar hacia la derecha. Por ejemplo:

log3.271 0.5146

log32.71 1.5146

log0.03271 2 0.5146

=

=

= − +

De la lectura de estos libros de texto, surge la idea de la utilidad de los logaritmos en

el campo de las operaciones numéricas, presentándolas únicamente como potentes

herramientas facilitadoras de cálculos, ideas muy ligadas a la situación problemática que

les dio origen. Así, el tratamiento del tema está inmerso en el contexto aritmético

aunque se evade un poco del mismo al presentar gráficas de estas funciones trazadas a

partir de tablas desde las cuales se deducen varias propiedades de la que, de un párrafo

al siguiente, pasó a llamarse “función logaritmo”, entre ellas:

No definida para < 0x

Negativa si 0< y positiva si <1x 1x >

igual a 0 si 1x =

creciente

a mayor base, mayor proximidad al eje x

186


Las ideas de modelar fenómenos de la naturaleza con estas funciones está

totalmente ausente del discurso de los autores, los ejemplos y ejercicios o problemas

discutidos y presentados en ellos, son de tipo calculatorio, de aplicación directa de los

logaritmos como herramientas para facilitar cálculos engorrosos que con las actuales

calculadoras pierden sentido.

Es cuestionable entonces el uso de este material bibliográfico en la escuela actual,

sin embargo aun tienen vigencia, son varios los profesores que, habiéndose formado

con ellos, los siguen utilizando un sus clases desconociendo nuevas propuestas que

intentan incorporar otros elementos al discurso escolar, como respuesta a cambios de

estructura de los sistemas educativos y por ende, en el curriculum. La gran proliferación

de libros de texto aparecidos en los últimos cinco años, tanto en México como en

Argentina, da cuenta de ello, fundamentalmente en los niveles medio y medio superior.

Es pertinente entonces analizar algunas de estas propuestas.

Presencia de “logaritmos” en libros de bachillerato de última

generación

Dedicamos este apartado al análisis de uno de los libros de texto más utilizado

en el sistema educativo argentino en el cual se intenta responder a la nueva propuesta

curricular. Está destinado a alumnos de primer año de polimodal y en él se presenta por

vez primera la noción de logaritmos y exponenciales.

Se percibe de su lectura que intenta responder al enfoque propuesto para la

enseñanza de las matemáticas, pues la presenta como una ciencia para explorar y

“hacer”, para construir y razonar. Introduce los temas desde actividades de desafío,

187


problematizando a los alumnos e incentivándolos a profundizar sus conocimientos y a

descubrir otros, antes de desarrollar el tema en sí mismo.

El contenido se estructura en bloques temáticos, cuya ordenación (sistema

numérico, funciones, complejos, funciones lineales, polinómicas, trascendentes, temas

de geometría analítica y probabilidades) coincide en la mayoría de los libros propuestos

para este nivel.

El módulo siete se destina a las funciones trascendentes presentándose allí el

desarrollo de exponenciales, logaritmos y trigonométricas. Se introduce la función

exponencial en el módulo tres, cuando se presenta la noción de función, para retomarlo

y profundizarlo en este módulo.

Parte de tres actividades donde plantea la posibilidad de descubrir cómo modelizar

fenómenos tales como: el vuelo de una polilla que se acerca a la luz; el crecimiento de

un capital colocado a interés compuesto y las notas producidas por un instrumento

musical, esto es las ondas sonoras. En sus páginas encontramos un fluido pasaje entre

representaciones de distinta índole, pues utiliza el lenguaje coloquial para llegar al

analítico pasando por el icónico, el gráfico y el tabular.

El tratamiento de los logaritmos se presenta luego del desarrollo de la función

exponencial y el análisis de sus gráficas. Se encuentra dividido en dos secciones, en la

primera presentados desde un enfoque aritmético, la segunda desde uno funcional.

Encontramos que en la primera sección se los presenta mediante actividades de

búsqueda del exponente al cual se debe elevar cierto número para hallar otro. Utiliza,

para ello, ejemplos sencillos para concluir con la definición expresada en lenguaje

coloquial y simbólico. Propone luego actividades con la calculadora y someramente

establece el cambio de base como una operación factible de realizar con la misma. Han

188


desaparecido completamente actividades inherentes a interpolación, así como también

las palabras mantisa y característica con todas las propiedades que les son asignadas. Se

los reemplaza con exploraciones utilizando la calculadora en las cuales se pide

aproximar números que sobrepasan el rango de la misma.

En la segunda sección, bajo el título Función logarítmica se propone la construcción

de tablas, gráficas y su comparación. Se la define como inversa de la función

exponencial, aunque de manera implícita, proponiéndose asimismo discutir ambas

funciones comparando sus comportamientos.

No se percibe un pasaje claro y gradual entre una sección y la otra, sino más bien

un giro brusco sin mayores explicaciones. El quiebre entre ambos enfoques es evidente

y la utilización de la calculadora no pareciera aportar elementos para suavizarlo. Pese a

su introducción como modelizadora de fenómenos, en estos apartados su tratamiento

es netamente axiomático, donde se imponen varios resultados.

Observamos entonces un quiebre al modelo teoría práctica tan patente en los

libros de álgebra analizados anteriormente. Tampoco se percibe una relación directa

con elementos y nociones que fueron primordiales en su gestación, tales como las

progresiones geométricas y aritméticas. Las ideas desarrolladas en torno al carácter de

función son más intuitivas apoyándose en gráficas y tablas pues su presentación como

el área bajo la hipérbola equilátera amerita el conocimiento de procesos de integración

los cuales se escapan de este nivel.

189


Presencia de “logaritmos” en libros clásicos de Cálculo, en la

primera mitad del siglo XX

Realizamos, también, una revisión de los libros de texto que son utilizados con

mayor regularidad en matemática superior, para observar en éstos la argumentación con

la que fundamentan la construcción de las funciones logaritmo y exponencial. Dos de

los libros más difundidos en el ámbito universitario, en los primeros años del siglo XX,

fueron el Cálculo diferencial de Granville (1990) y Elementos de cálculo infinitesimal de

Phillips (1945).

Comenzaremos por uno de los que más tiempo ha permanecido en vigencia, el

Cálculo diferencial de Granville. El tema que nos interesa se encuentra presente a lo largo

de todo el texto. Es trabajado de manera más detallada en la página 108, artículo 62,

bajo el título Funciones exponenciales y logarítmicas, pese a haber sido sometido a varios

procesos, tales como, el de derivación.

En su primer capítulo, Resumen de Fórmulas, el autor presenta las propiedades de los

logaritmos suponiéndolas ya conocidas por el lector. Los utiliza luego, en ejemplos de

funciones inversas y en la derivación de funciones trascendentes. Se define a e como

uno de los límites más importantes, demostrándolo de forma intuitiva a través de la

gráfica de 1

)xx+(1 y de la construcción de tablas. Inmediatamente después pasa a

definir los logaritmos naturales o neperianos como:

El logaritmo natural de un número N es el exponente x en la ecuación e , x = lnN x N=

estableciendo la relación entre los logaritmos naturales y los vulgares o de base 10 a la

vez que explicita la importancia de este tema.

190


Llegamos así, al apartado 62 en el que, luego de presentarse la función exponencial,

se define a los logaritmos como la función inversa de la misma, es decir, se establece

que si , entonces de donde, permutando x & y se obtiene

. Muestra, a continuación, la gráfica típica de la función logaritmo y algunas de

las propiedades de la misma, tales como:

...718.2 ; == eey x

x

yx ln=

y ln=

La función no está definida para valores negativos de x ni para . Es una

función creciente para todos los valores de , y es continua en todas sus partes ... El

eje de las y es una asíntota de la curva. (Granville, 1990)

0=x

0>x

Somete luego a la función logaritmo al proceso de derivación y luego enseña la

derivada logarítmica como forma de simplificar trabajo. Retoma su tratamiento formal

en la página 232 en la cual aparecen como el resultado de una integral inmediata, es

decir,

ln ln ln lndv v C v c cvv= + = + =∫

Sigue utilizándolos a lo largo de sus página en los ejemplos de los distintos temas

que va abordando, hasta llegar a su tratamiento como series en la página 442 en el

capítulo destinado a Desarrollo de funciones en series de potencias.

El tratamiento de los logaritmos que encontramos en Phillips (1945) es similar al

anterior. En su prefacio establece que se presentan los principios de mayor utilidad en las

aplicaciones a la Ciencia y a la Ingeniería limitándose por tanto a reunir aquellos temas

naturalmente asociados en los problemas. Comienza introduciendo el concepto de función

(como una relación entre variables) y de límite, continuando con temas relativos a

derivadas (aceleración, máximos y mínimos, funciones trascendentes, diferenciales, etc.)

para pasar luego al tratamiento de integrales, series y ecuaciones diferenciales.

191


Después de trabajar con derivadas de funciones algebraicas y trigonométricas

introduce (en el parágrafo 41, p. 62) funciones exponenciales y logarítmicas dándole visos

algebraicos, es decir, estableciendo que:

... si a es una constante positiva, au se llama una función exponencial. Si u es

una fracción se sobreentiende que au es la raíz positiva.

Si y = au , entonces u se llama el logaritmo de y de base a...

(Phillips, 1945, p. 62)

Presenta luego, las fórmulas de derivadas de la función logaritmo utilizando sus

propiedades para demostrarlas. Retoma, en el capítulo X de Integración, la noción de

logaritmo para establecer que Úu-1du = Ú duu

=lnu+c (párrafo 70, p. 115) sin mayores

explicaciones. A partir de allí, aparece como herramienta útil en la resolución de

distintos problemas, tales como separación de variables, integración de fracciones

racionales, etc. Por otro lado, no aparece de manera explícita en el capítulo destinado a

integrales definidas, sólo en algunos ejercicios en los cuales no problematiza sobre la

discontinuidad en cero ni su significado para números negativos.

Luego de explorar varios ítems sobre integración se aboca a presentar series y

desarrollo en serie (Cap. XIX, pp. 295-320). En este capítulo los logaritmos son utilizados

para ejemplificar el desarrollo en serie de Maclaurin y de Taylor, así como también,

aunque someramente, para determinar el intervalo de convergencia de este tipo de

desarrollos y el error cometido al calcularlos.

Observamos que el desarrollo de las ideas en estos libros sigue un ordenamiento

lineal y secuencial, va de lo más fácil a lo más difícil, estando lo logaritmos presentes a

lo largo de todo su discurso. La presentación de los temas sigue el clásico esquema teoría

práctica. Podemos afirmar entonces, que el trato que estos libros le confieren a la

función logaritmo es axiomático y que la definen por medio de la función exponencial

192


sin dar cuenta de la construcción de ésta. En ambos libros, la falta de relación entre el

enfoque algebraico, con el que se los define por un lado, y del carácter de función

inversa de la exponencial por otro, con su profusa utilización para resolver problemas

tiene visos axiomáticos. No se percibe en ellos el uso de elementos gráficos o

geométricos que pudieran aportar mayor sentido a su definición, ni la relación entre

progresiones geométricas y aritméticas, típico de un enfoque post-euleriano y

enmarcados en un paradigma analítico-estructural. Se ha perdido también de vista que

su definición como integral es la curvatura de una hipérbola equilátera cuya fórmula se

escapa del patrón seguido por las funciones f(x)=x n al tratarse de n = -1.

Vemos entonces, que en este tipo de libro existe un empobrecimiento en el

tratamiento de las funciones logarítmicas pues en ellos se limita su presentación a una

definición axiomática y a su utilización sin mayores profundizaciones. Se opera con

ellos y sobre ellos, pudiéndose sólo percibir su potencialidad como herramienta de

cálculo en los problemas a los que permite solucionar.

Presencia de “logaritmos” en libros de Cálculo, en la segunda

mitad del siglo XX

Aunque, el Granville mantiene su vigencia en el ámbito de la educación superior,

los libros analizados en el parágrafo anterior paulatinamente se han visto reemplazados

por autores como Swokoswki, Purcell, Edward o Stewart. Éstos últimos presentan

varias reediciones y en ellas se percibe una paulatina incorporación de herramientas

tecnológicas. Un ejemplo de ello lo constituyen la tercera edición del Cálculo de Stewart

(1994), donde aparece un tímido uso de calculadoras, respecto a su última edición

Cálculo: Conceptos y contextos (1999), en donde se las incorpora con mayor energía.

193


Así, en el prólogo de la tercera edición, Stewart establece que se pretende “ayudar

a los estudiantes a descubrir el Cálculo”, transmitir la utilidad del mismo y desarrollar su

habilidad técnica poniéndose énfasis en la comprensión de los temas. Explícitamente

menciona que se sigue una reformulación, para el Cálculo, de las ideas sobre resolución

de problemas de Polya, al formular estrategias y por medio de ilustraciones y ejemplos.

En este libro, se inicia el desarrollo de temas con un repaso de conceptos

básicos (números reales, funciones, etc.) y luego de trabajar sobre límites, derivadas e

integrales sin utilizar en ningún momento los logaritmos, se llega al capítulo 4 (pag.

279) donde en el subtema “integrales definidas” se utiliza, a modo de ilustración, la

cuadratura de la hipérbola equilátera calculando su valor aproximado por rectángulos y

sin mencionar a los logaritmos. El uso de los mismos comienza a aparecer en los

ejercicios al final de cada tema especificando que podrán resolverlos aquellos que hayan

cubierto el capítulo 6.

Efectivamente en este capítulo, Funciones inversas: función exponencial, función

logaritmo, funciones trigonométricas inversas, se desarrollan los conceptos inherentes a ellas,

explicitando que se trata de dos de las funciones más importantes de la matemática. Se

define la función logaritmo como inversa de la exponencial, luego de establecer que

y presentar las propiedades, gráficas, y derivadas de las

exponenciales. Por tanto, luego de definir función inversa y dar algunas propiedades,

aparecen las funciones logarítmicas (sección 6-4, p. 364) como “ ” . Se

presenta posteriormente, la gráfica de curvas logarítmicas de distintas bases y también

una en la que se relacionan las funciones exponenciales y logarítmicas como simétricas

respecto a la recta y = x. Se establecen las propiedades y comportamientos en cero e

infinito, y los logaritmos naturales explorando varios ejemplos.

lim ; x r

r xa a r

→= Q∈

xlog ya x y a= ⇔ =

194


Los ejercicios de esta sección son de corte aritmético ya que de 62, sólo en 3 se pide

demostrar propiedades y en 7 el uso de calculadoras, siendo 2 de ellos, problemas

extraídos de la física. En el parágrafo 6-5, derivadas de funciones logarítmicas se relacionan

los logaritmos con la hipérbola equilátera, estableciéndose que 1(ln )d xdx x

= y luego de

varios ejemplos se define que:

... si 1 1(ln ) lnd x dxdx x x

= ⇒ = +∫ x C lo cual completa la regla de integración para

funciones potencia 1

si 11

nn xx dx C n

n

+

= + ≠+∫ − ...

(Stewart, 1996)

Posteriormente, se generaliza este resultado para todo y se pasa a definir el

número e como un límite. Se cierra la sección con ejercicios netamente algorítmicos

donde se solicita calcular derivadas, rectas tangentes, trazar curvas, evaluar integrales,

etc.

1a ≠

En la sección 6-6 el logaritmo como una integral se establece que la función logaritmo

natural se define mediante 1

1ln ; 0x

x dt xt

= ∫ > aclarando que si x>1 se puede interpretar

como el área bajo la hipérbola 1x

. Se retoma la definición de función exponencial

presentándola ahora como la inversa de los logaritmos, para culminar el desarrollo de

estos temas con la sección 6-7 crecimiento y decrecimiento exponenciales donde se estudian

varios fenómenos naturales y económicos.

195


A partir de aquí, tanto los logaritmos como las exponenciales comienzan a ser

utilizadas en ejemplos y ejercicios propuestos para otros temas, incluso en el de

sucesiones y series (capítulo 10) donde se ejemplifica el desarrollo en series de

Maclaurin y de Taylor, así como también el cálculo de errores al evaluar funciones con

ellos.

Vemos en este libro, un primer acercamiento al uso de calculadoras,

fundamentalmente en las secciones de ejercicios, las que aparecen al final de cada

sección. Sin embargo, la incorporación de herramientas tecnológicas se torna más

evidente en la última edición del libro de Stewart, en la cual explicita que se enfocará en la

comprensión conceptual haciendo eco a la llamada reforma del cálculo.

En esta última edición (1999) se observa un importante cambio en el

ordenamiento de los contenidos, el cual no se percibe tanto en su enfoque. Destina el

capítulo 1 para funciones y modelos reforzando desde el principio las múltiples

representaciones de las funciones (verbal, numérica, visual y algebraica) y repasando

funciones estándares incluyendo la exponencial y la logaritmo. En la sección 1-7, se

presenta un análisis general de modelado, para introducir los modelos que a lo largo de

todo el libro se utilizarán.

Las funciones exponencial y logarítmicas son introducidas en este primer capítulo y

a partir de él, son utilizadas para ejemplificar distintos temas tales como derivadas y límites

(capítulo 2), integrales (capítulo 5), ecuaciones diferenciales (capítulo 7), secuencias finitas y series

(capítulo 8), etc.

196


El tratamiento de las funciones logaritmo y exponencial es similar al realizado en la

versión anterior, lo que difiere considerablemente es el tipo de ejemplos y ejercicios

propuestos. El uso de calculadoras gráficas o paquetes para PC como el Mathematica,

Maple o Derive, se enfoca a explorar y conjeturar, a trabajar con modelos separándose

del mero tratamiento algorítmico de otras ediciones.

En esta versión, y en la anterior, aparecen definidos tanto como funciones

inversa de la exponencial como cuadratura de la hipérbola, la diferencia estriba en que

la nueva versión los presenta en las primeras páginas y los utiliza para ejemplificar los

distintos temas para recién, en el capítulo 5 (p. 375), aparecer definidos dentro de una

tabla de integrales indefinidas como 1 lndx x Cx

= +∫ , lo cual se considera

consecuencia natural de la definición de la derivada de funciones logarítmicas (sección 3-7, p.

247), en donde se demuestra que 1(log )lna

d xdx x a

= .

Por otro lado, en libros como Purcell, Swokoswky, Finney, entre otros,

encontramos un enfoque distinto para la presentación de los logaritmos, ya que en ellos

se los define como la curvatura de la hipérbola y a la función exponencial como la

función inversa de la logarítmica. Pasamos a analizar ahora, el libro Cálculo: con geometría

analítica de Purcell (1987), tomándolo como representante de este enfoque.

En este libro los logaritmos no aparecen en el discurso sino hasta el capítulo 7,

funciones trascendentales, como sección 7-1: función logaritmo natural, y esto, luego de haber

trabajado con temas como: funciones y límites (capítulo 2), derivadas (capítulos 3 y 4) e

integrales (capítulos 5 y 6). Se presenta en esta sección, una gráfica de la hipérbola

equilátera y en un recuadro, luego de haber aclarado la necesidad de extender la clase de

funciones con las que se puede trabajar, la siguiente definición:

197


La función logaritmo natural, designada mediante ln, se define como :

1

1ln ; 0x

x dt xt

= >∫

Su dominio es el conjunto de los números reales positivos

(Purcell, 1987, p. 309)

Inmediatamente después, se define la derivada de logaritmo natural y las propiedades

de los logaritmos para cuya demostración utiliza la definición y las derivadas, para terminar

el parágrafo con derivación logarítmica.

Los ejercicios que presenta al final de esta sección son de corte algorítmico, a

excepción de unos pocos problemas que requieren un mayor análisis. Esta edición

presenta un gran uso del registro gráfico, sin embargo, el mismo es abandonado en el

tratamiento de los logaritmos. Los modelos, en cambio, tienen un lugar en la sección 7-

5, donde son abordados temas como crecimientos exponenciales, interés compuesto,

decaimiento radioactivo, entre otros. A partir de esta unidad, los logaritmos pasan a

formar parte del discurso matemático apareciendo en varios ejemplos de otros temas,

tales como, técnicas de integración (capítulo 8), series infinitas, (capítulo 11), etc.

Dejando de lado el análisis de textos utilizados para desarrollar la mayoría de los

programas de cálculo en carreras ingenieriles, consultamos el libro Cálculo Infinitesimal de

Michael Spivak (1992), que presenta un enfoque distinto del tema, para observar el

tratamiento de este tema en libros destinados a la formación de matemáticos. En este

texto, se introduce la función 10 con natural de la manera usual. Posteriormente, se

la extiende para racional, proponiendo varias definiciones con el objeto de preservar

la propiedad 10 . Sin embargo no se sugiere ninguna manera algebraica de

definir con irracional, y parafraseando al autor ‘esto se suele ignorar por

completo en álgebra elemental’.

x x

xx10 yxy +=10

xx10

198


Así mismo se proponen procedimientos más elaborados para hallar una función

que cumpla con la propiedad . Se introduce entonces, la

función logaritmo mediante la integral definida

)(xf )()()( yfxfyxf =+

1

lgx

x = ∫

x

dtt

para , y luego, la

función como la inversa de lgx. Aparece después, como definición,

para luego introducir para todo , y finalmente en donde

. (Spivak, 1992, p. 465)

0>x

lg(ae x

)exp(x )1exp(=e

xex =)exp( )a x =

0>a

Por otro lado (Bugrov, 1984, p. 99) define ax (a >0 y a π1) de la manera usual

cuando x es racional, en tanto que, cuando x es irracional utiliza una noción propia del

análisis matemático: la del supremo de un conjunto, y esto lo hace de la siguiente

manera:

racional y , sup ααα xaa x <¬= , siendo x irracional.

Así mismo, (Kudriávtsev, 1981, pp. 151-156), al extender la definición de la función

exponencial a todos los números reales, utiliza el concepto de límite de la siguiente

manera:

“Sea a>0 y x es un número real arbitrario, entonces

[ ]r

xr

x alima→

= donde r es cualquier racional.”

(Kudriávtsev, 1981, p. 152)

199


Este autor, luego de analizar algunas propiedades, establece que, gracias a la

matemática elemental se conoce que la operación inversa a la elevación a una potencia y

que pone en correspondencia al número dado x>0 el número y tal que ay = x (a>0) se llama

determinación por logaritmo con base a.

Así, por definición alogx = x (a>0, a π 1) ; pasando luego a enunciar:

Definición 3: La función que pone en correspondencia a cada número x su

logaritmo logax con base a (a>0, a π1) si este logaritmo existe, se llama

función logarítmica y = logax

Teorema 4: La función y = logax, a>0, a π1, está definida para todo x >0

y sobre este conjunto es una función estrictamente monótona y continua. Ella

tiene las siguientes propiedades:

1.- loga x1x2 = loga x1 + logax2 , x1>0, x2>0

2.- loga xq = qloga x, x>0 , qŒ¬. (Kudriávtsev, 1981, p. 156)

En nuestra opinión, estas maneras de definir a las funciones logaritmo y

exponencial no proporcionan una idea concreta de las mismas. En conclusión, estas

definiciones corresponden a necesidades teóricas y no a necesidades de carácter

numérico o geométrico. Es evidente que este material didáctico, utilizado profusamente

en carreras ligadas a la ingeniería y a las físico-matemáticas presenta un enfoque

analítico, rayando en lo axiomático, pues no construye ninguna de las funciones de

interés en este trabajo. Consideramos que no se dan argumentos que puedan conferir

significado geométrico e incluso gráfico suficientes para dotar de mayor sentido a estas

nociones, sino que más bien se impone su uso debido a la bonanza de las características

de estas funciones. Se las utiliza en la ejemplificación de distintos temas como

200


derivadas, integrales, series, pero no se las construye, sólo se enseña a manipularlas

algorítmicamente.


Hasta aquí, hemos mencionado, a grandes rasgos, la problemática de la enseñanza

de los logaritmos y exponenciales en distintos niveles escolares. Observamos que a

medida que se avanza en el sistema educativo, las nociones van adquiriendo mayor

complejidad, relacionándose y respondiendo a la programabilidad de los saberes

establecida por Chevallard, es decir, siguen una ordenación lineal y secuenciada. En una

primera instancia los logaritmos aparecen en la currícula del bachillerato enfocados a

problemas aritméticos sin dar cuenta de los elementos que permiten la construcción de

la función logaritmo, esto luego de haber sido trabajadas, en forma paulatina, nociones

que pueden ser utilizadas para tal fin. Por otro lado, en cursos más avanzados, se le

necesita como una función de la cual sólo se conoce su gráfica y no se repara en su

construcción, por tanto, los alumnos logran derivar sin conocer dicha función y aunque

deriven muchas veces y varias funciones logarítmicas, el concepto de esta función no

permanece ni se construye.

La noción de logaritmo aparece escindida de su significado original, de las

controversias y consensos que suscitó. Pareciera ser sólo una notación oscura carente

de sentido, que permite a los alumnos realizar cálculos y operar sin tener consciencia ni

significación sobre lo que se está haciendo. A su vez, consideramos que el tratamiento

de la función logarítmica en los libros de texto, no soluciona esta problemática, es decir,

no zanja la brecha entre el aspecto aritmético con que se la presenta, desde el inicio de

su enseñanza, y su uso como función. Se la presenta como una herramienta para

facilitar cálculos, inmersa en un enfoque absolutamente aritmético, que en la actualidad,

201


con el uso de las calculadoras en el aula y el tipo de ejercicios que se proponen,

pareciera carecer de sentido, haber perdido la razón de ser que le hiciera ver la luz en

pleno siglo XVII. Al ser retomado su estudio en materias más avanzadas dentro de la

estructura curricular del sistema superior, pierde su carácter instrumental para

convertirse en un objeto de estudio en sí mismo. Su presentación como inversa de la

función exponencial, a su vez, opaca su autonomía funcional y la introducción de la

definición formal como primitiva de la hipérbola equilátera la aleja de ser pensada como

una herramienta útil a la hora de, por ejemplo, modelar es decir, hallar un expresión que

describa fenómenos de crecimiento en una representación gráfica a escala logarítmica.

Vemos entonces que, la etapa en su desarrollo, que denomináramos logaritmos como

modelizadores y en la cual se cultivaran tantas representaciones y significados de los

mismos, no se explota en la escuela prevaleciendo en ella una presentación axiomática

de estos conceptos. La forma de tratar a las funciones logaritmo y exponencial que se

baraja en el aula de nuestros días, halla su sustento en la etapa de los logaritmos como

objetos teóricos, en la cual se la ha escindido completamente de sus orígenes.

La evolución de este concepto hacia el que conocemos actualmente estuvo plagado

de controversias y consensos, el enfoque y los conceptos que se priorizan en cada

momento, respondiendo al paradigma imperante, se hacen notorios en el análisis

presentado en esta sección y a los que presentamos someramente, a modo de

puntuario, en la siguiente Tabla.

202

ÉPOCA AUTOR CONCEPTO ENFOQUEPrimera Mitad del siglo XVII Napier Tablas de logaritmos Numérico Segunda Mitad del siglo XVII L´Hospital Subtangente constante

Áreas iguales bajo una hipérbola

Geométrico

Primera Mitad del siglo XVIII

Agnesi Falla del modelo para la cuadratura de funciones potencia

Progresiones aritméticas y geométricas. Subtangente Constante.

Geométrico

Inicio de analítico

Segunda Mitad del siglo XVIII

Euler Estatus de función.

Función inversa. Desarrollo en series

Analítico.

Primera Mitad del siglo XIX

Cauchy Vallejo

( * ) ( )f x y f x f= + ( y )

Primitiva de dxx

Desarrollo en serie

Analítico

Segunda Mitad del siglo XIX

Lacroix Primitiva de

dxx

Desarrollo en serie. Construir la gráfica desde la tabla.

Analítico

Baldor

Res & Sparks

Exponente al que se debe elevar una bMantisa y característica

Interpolación

Aritmético

Primera Mitad del siglo XX

Granville Spivak

Primitiva de dxx

Función inversa. ( * ) ( )y f x= + (f x f y )

Analítico

Estructural

Textos para

Bachillerato

Exponente al que se debe elevar una bFunción inversa y comparación de compor

Aritmético funcional intuitivo

Purcell - Finney Primitiva de

dxx

Exponencial es la función inversa de la log

Analítico

Segunda Mitad del siglo XX

Stewart

Edwart

Primitiva de dxx

Logarítmica es la función inversa de la exp

Analítico

Tabla: Esquema comparativo de conceptos y enfoques dados a la fu aritmo

ase.

ase. tamientos

arítmica

onencial

nción log


Al leer los libros escogidos con un criterio un poco arbitrario, pues consultamos

aquellos que nos fue posible obtener para este trabajo, intentando que los mismos

fueran representativos de cada época abordada, surge como evidente la influencia de las

corrientes de pensamiento en cada una de ellas. La comunicación de saberes responde

pues, al paradigma imperante. De este modo, las nociones, pese a su

despersonalización, atemporalidad y descontextualización a las que son sometidas para

adquirir el status de socialmente admitidas, se ven teñidas de idiosincrasias e ideologías. Su

puesta en textos de saber las distancia de los avatares de su gestación. En la bibliografía

actual, nos encontramos con malas calcas de libros interesantes que hicieron escuela, tal

como los Elementos de Álgebra (1840) de Euler cuyo discurso se reproduce y llega hasta

nuestros días, o el de Cauchy, cuya rigurosidad aun influye en nuestra formación.

Se torna evidente entonces que, en el devenir de su enseñanza, han sido suprimidos

mecanismos y elementos matemáticos reduciéndose así, en general, el abordaje de este

tema a un conjunto de axiomas, lo que priva de elementos para la construcción de esta

noción al seno de la escuela.

En general, por ser el logaritmo y la exponencial, funciones inversas entre sí, sólo

se requiere definir una de las mismas, pues la definición de la otra surge de esta

relación. Esto trae aparejado que una de ellas adopte un papel intermediario. Adquiere

importancia entonces la construcción de una de las dos, es decir, generar estrategias que

establezcan la relación entre pares de números, su ubicación en el plano coordenado,

etc.

En nuestro análisis epistemológico, distinguimos etapas basándonos en una

analogía con la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau, las cuales adquieren

matices más ricos con el material discutido en este capítulo. Observamos que los

momentos que denomináramos exploración algorítmica y numéricos utilitarios ambos en la

204

Acercamiento a un análisis didáctico etapa de los logaritmos como transformación, se ha ido diluyendo del discurso matemático

escolar. Su carácter de “facilitadora” de otros procesos ya no es tan evidente con la

irrupción de las calculadoras y erróneamente ha provocado que, para muchos, sus

propiedades y ventajas hayan devenido obsoletas. Se pierden también las exploraciones

y el enfoque geométrico, características de la etapa que llamáramos gráfica-numérica,

tan importante en el hallazgo de la cuadratura de la hipérbola lo cual ayudó a dar

consistencia al nuevo cálculo que se estaba gestando. En el aula de hoy, la ausencia de

conceptos geométricos como subtangente constante, caracterizadora de esta noción, y

la relación entre la igualdad de las áreas de los sectores bajo la hipérbola equilátera

establecidas utilizando progresiones geométricas en las abscisas, anulan elementos que

posibilitarían un acercamiento geométrico para la construcción de la gráfica de esta

función empobreciendo así su visión. Consideramos que esto coincide con la pérdida

de status de la geometría en la matemática erudita, lo cual repercutió directamente en la

comunicación de la misma, ante la economía de argumentos y escritura del registro

algebraico, además de la facilidad que proporciona para evaluar los conocimientos que

pudieran haber adquirido los alumnos. Así, la etapa de los logaritmos como modelizadores no

se palpa en las prácticas de enseñanza de hoy.

Creemos que el discurso matemático escolar de nuestros días refleja las ideas y

enfoques barajados en los momentos de analiticidad, simbolización y formalismo es decir,

aquellos que englobáramos en la etapa de los logaritmos como objeto teórico. Las ideas de

Euler, en cuanto a algebrizar la presentación de los logaritmos, se distinguen con

facilidad en los libros de álgebra y en aquellos utilizados para la introducción de este

concepto al aula. Las ideas de Cauchy, en cambio, se permean en la mayoría de los

libros de cálculo, sobre todo en los destinados a la formación de matemáticos, tales

como el Spivak.

Concluimos entonces que, mediante la mirada a los logaritmos y su presencia en

la currícula y en los libros de texto, hemos evidenciado la importancia de un análisis

205

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo epistemológico que nos permita comprender con mayor profundidad el tema estudiado

y rescatar significados que hayan desaparecido del discurso escolar y que eventualmente

pudieran proporcionar elementos para enriquecer la presencia y tratamiento de los

saberes en el aula, los cuales inevitablemente se van empobreciendo y cambiando su

epistemología tanto en el pasaje a saberes a enseñar como para responder al paradigma

imperante.

206

A MANERA DE CONCLUSIÓN

CAPÍTULO 5

La intención de este trabajo ha sido profundizar en la problemática de la

enseñanza del concepto de función y, en particular, en la función logaritmo desde

una perspectiva encuadrada en el enfoque socioepistemológico de la enseñanza de

las matemáticas. Considerar que éstas son un producto cultural, e interesarnos en

mirar al individuo y a la sociedad haciendo matemáticas, construyéndolas, nos llevó a

un rastreo de la noción logaritmo en el desarrollo de esta ciencia, incluso antes de

que esta noción fuera formalmente definida en el siglo XVII. Nuestro propósito fue

identificar hitos en su desarrollo, momentos relevantes, significados y sentidos que

pudieran haberse diluido y que pudieran proporcionar bases o elementos para un

posterior diseño de una situación didáctica. También nos derivó hacia una

exploración de las currícula de escuelas del nivel medio, medio superior y superior

así como de los libros más utilizados en las mismas para determinar qué elementos

se proponen para acercar a los alumnos a la función logaritmo y cuales están

ausentes del discurso matemático de nuestros días.


Destinamos entonces este capítulo final de nuestra investigación a recapitular y

reflexionar sobre los elementos que han estado presentes a lo largo de la misma

intentando dar una visión integral de nuestros hallazgos y consideraciones.

Como estableciéramos desde nuestra introducción, la problemática que

abordamos en esta tesis fue la “dislexia” entre la presentación aritmética y funcional

de los logaritmos en el discurso matemático escolar, que reportara Trujillo (1995),

siendo nuestro interés sentar las bases para el diseño de una situación didáctica que

dote de significado a la función logaritmo en el ámbito escolar. Consideramos

necesario que este tipo de estudios aporte, entre otras cosas, conocimientos que

clarifiquen el significado de los objetos matemáticos abordados, su evolución y las

restricciones a las que hayan sido sometidos al pertenecer a un sistema didáctico

pues nuestro fin último es impactar en el sistema educativo y para ello se requiere

estudiar y comprender a profundidad uno de sus polos, el del saber que se pretende

enseñar, cómo se lo está abordando y qué consecuencias se están produciendo, sin

olvidar que se trata de una problemática compleja al ser una práctica humana.

Nuestra preocupación cobra sentido al observar el tratamiento escolar dado a

los mismos. Confrey (1996) y Lezama (1999) identifican, como un obstáculo

epistemológico, la enseñanza de estructuras multiplicativas desde las aditivas y el uso

de las primeras para introducir la potenciación a la hora de generalizar hacia el

carácter funcional de las exponenciales y de allí inferir relaciones con los logaritmos a

través de funciones inversas sin mayor detenimiento en ello. Así mismo, Sierpinska

(1992) cuestiona la presentación de las definiciones de los conceptos como su

esencia cuando debería ser el objeto el que determina la definición, observación que

consideramos muy vinculada con la problemática tratada en esta tesis pues el

abordaje de la funcionalidad de los logaritmos raya en lo axiomático, ya que a

208


nuestro entender no existen elementos en el discurso escolar que suavicen el pasaje

de lo aritmético a lo analítico en el tratamiento de este concepto.

Por otro lado, de la exploración que realizara Trujillo respecto a la interconexión

entre la relación de las progresiones aritmética y geométrica y las nociones de los

logaritmos y exponenciales como funciones, surge la absoluta deficiencia de los

entrevistados, estudiantes recién egresados del nivel medio superior, para intuir tal

cosa. Si bien todos reconocen las progresiones aritmética y geométrica y logran

determinar el patrón de comportamiento de cada una de ellas, ninguno logra

establecer una relación entre ambas. Las respuestas reportadas giran en torno a que:

ambas forman parte de los números reales; o ambas son progresiones; o no hay una operación que

las vincule pues en una se suma y en la otra se multiplica. Se observa además, que esta falta

de vinculación entre las progresiones les inhibe generar argumentos en el contexto

gráfico, lo cual confirma que ven a ambos objetos como entes aislados y por tanto,

no dan indicios de un pensamiento funcional respecto a la relación entre las mismas,

no reconocen sus características logarítmicas.

Por otro lado, se encontraron las mismas dificultades en los profesores de nivel

medio superior entrevistados, sólo uno de tres reconoció las funciones logaritmo y

exponencial como la relación entre las progresiones propuestas, distinguiendo

explícitamente la base y graficando ambas funciones, aunque de manera

convencional, es decir, recordando la forma de las curvas exponencial y logarítmica

sin construirlas desde las progresiones dadas.

Las dificultades propias del abordaje de este tema se suman a las ya reportadas

respecto a la apropiación del concepto de función. En nuestro trabajo presentamos

algunas de las investigaciones más relevantes en torno a esta problemática, la cual ha

sido encarada por varias escuelas de pensamiento que se preocupan y debaten para

209

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo dar explicación científica a los problemas de la enseñanza superior. Discutimos sobre

la importancia que escolarmente se le confiere al registro algebraico en detrimento de

otros, como por ejemplo el gráfico o el numérico, lo cual repercute en un

empobrecimiento de las herramientas utilizables a la hora de apropiarse de un nuevo

concepto o enriquecer uno ya conocido.

Las distintas concepciones que docentes y alumnos logran construir en torno a

relaciones funcionales y las diferentes representaciones de las mismas, reportadas

como elementos que dificultan la apropiación de este concepto, contrastan con la

absoluta carencia de argumentos y representaciones a la hora de trabajar con

logaritmos. A éstos, se los presenta como el número al que se debe elevar la base

para obtener cierto número, relacionándose luego con la función exponencial,

mediante la inversa y con su definición dada en términos de una integral indefinida.

Dreyfus & Eisenberg (1983), reportan que ante el requerimiento de: Hallar la

segunda derivada de la función 5x la respuesta de la mayoría de los entrevistados fue:

( ) ( ) ( ) ( )2

2

15 5 ln5 5 5 ln5 5 ln5 ln5 55

x x x x x xd d ddx dx dx

= ⇒ = = +

en donde se evidencia el desconocimiento de “ln5” como una constante ya que

aplican la regla para derivar un producto de funciones, lo cual nos lleva a pensar en

la ausencia de significado de los conceptos fundamentales implicados en esta

pregunta, aquello de qué es variable y qué constante directamente relacionado con la

idea de los logaritmos como función.

Dubinsky (1991) por su parte, considera que comprender las funciones definidas

mediante integrales indefinidas, como en el caso de los logaritmos, constituye un

210


buen ejemplo de encapsulación con internalización. Estimar el área bajo una curva

con sumas y pasaje al límite es, en su teoría APOE, un proceso. Los estudiantes que

parecen comprender esto, frecuentemente tienen dificultades con el próximo paso,

este es, entender que el producto encontrado es una función, algo que varía al

modificar el parámetro considerado. Por tanto, se requiere de procesos de “alto

nivel” para especificar una función dada por una integral indefinida lo cual puede

explicar la complejidad de este proceso y las dificultades que el mismo acarrea a los

estudiantes, conceptos éstos muy ligados a la comprensión y manejo del Teorema

Fundamental del Cálculo

La cuestión es entonces, ¿cómo generar significados o elementos que doten de

sentido a estas nociones?

Si pensamos que la matemática es una construcción humana, no exenta de ires y

venires, de nociones que se incorporan paulatinamente a una estructura formal,

luego de pasar por etapas de formulación y consenso, que son el resultado de

inquietudes socio-culturales dentro de un paradigma, y que la problemática planteada

surge específicamente en el ámbito de la matemática escolar, consideramos que la

ingeniería didáctica, como metodología de investigación, nos confirió los recursos

necesarios para intentar dar respuesta al interrogante que nos planteamos.

La ingeniería didáctica, como comentáramos con anterioridad en este texto, nos

invita a actuar como profesores ingenieros, es decir, a que una vez que identificamos

nuestro problema gestionemos su abordaje proponiendo alternativas didácticas

factibles de modificar hasta conseguir un producto que nos proporcione mayores

satisfacciones. Para tal fin requiere, como primera fase, indagar en los aspectos

propuestos para el análisis preliminar, objeto de nuestra tesis.

211


En el caso de los logaritmos, eje de este trabajo, consideramos que la

transposición didáctica, a la que inevitablemente todo concepto es sometido antes de

ser introducido al aula, ha destazado a los logaritmos, los ha convertido en objetos

útiles que deben ser manipulados con soltura sin necesidad de dotarlos de

significado. Como ya estableciéramos, toda transposición genera una nueva

epistemología del concepto, y en el caso de los logaritmos, ésta comienza a

producirse y reflejarse en los textos y en su tratamiento desde el siglo XVIII.

Podemos considerar un antes y un después de Euler y una reformulación de los

mismos con Cauchy tiempo después.

Efectivamente, en nuestra indagación epistemológica concluimos que se pueden

distinguir, bajo nuestra óptica, tres etapas en el desarrollo de los logaritmos si

tomamos como eje central la relación entre las progresiones aritmética y geométrica,

argumento utilizado por Napier para su primera definición.

Como primer momento, consideramos a los logaritmos como transformación, etapa

que se desarrolla antes de su definición formal y que se refleja en las distintas

exploraciones en torno a la formulación y extensión de las progresiones y en la

búsqueda de facilitar engorrosos cálculos producto de las necesidades sociales de la

navegación, artillería y astronomía. Se desarrollan fundamentalmente en el contexto

numérico comenzando con ideas intuitivas de transformar para facilitar operaciones

intentado regresar a la aritmética, es decir, utilizar sólo sumas y restas. Así, de la

confluencia de las primitivas formulaciones de las progresiones y de la relación entre

ambas surge la definición de los logaritmos. Los elementos matemáticos utilizados

son trabajados, en nuestras aulas, desde los niveles iniciales. La búsqueda de

patrones numéricos, la relación entre ellos, la economía de recursos para expresar

ideas matemáticas son abordados en las currícula y libros de texto actuales, pero no

relacionados y utilizados a la hora de introducir los logaritmos.

212


Su exploración en otros contextos, producida principalmente en el siglo XVII,

nos lleva a considerar como segundo momento el de los logaritmos como modelizadores

pues en esta etapa se determinan sus características geométricas y por tanto logran

pertenecer al discurso matemático de principios del siglo XVII; se les dota de una

gráfica al adecuarlos al nuevo registro “algebraico-geométrico” que se estaba

desarrollando; logran completar un modelo matemático de la cuadratura de curvas

representativas de funciones potencia encontrando otro lenguaje para ser descritos

ingresando así en los avatares de un cálculo en plena gestación; permiten describir

fenómenos físicos y se descubren nuevas formas para calcularlos a partir de su

desarrollo en serie de potencias lo cual les abre las puertas para acceder al discurso

matemático del siglo XVIII y adquirir el status de función.

Todos estos argumentos y exploraciones que giran en torno a descubrir las

características logarítmicas en distintos contextos mediante el uso explícito de la

relación entre progresiones está absolutamente fuera del discurso matemático de

nuestros días. Aparece en los libros de difusión de conocimiento del siglo XVII, para

desaparecer completamente a partir de las ideas eulerianas y de su vinculación

definitiva con las funciones exponenciales mediante el concepto de función inversa.

Comienza así, un tercer momento que nosotros identificamos como la etapa de

los logaritmos como objetos teóricos, conceptos trabajados en la enseñanza actual y que los

encuentra escindidos de las argumentaciones dadas anteriormente, las cuales pueden

contribuir a dotarlos de un mayor sentido, apartándolos de su tratamiento actual que

los reduce a una aplicación algorítmica de sus propiedades apareciendo en el aula sin

ningún antecedente analítico que pudieran haber adquirido los estudiantes hasta ese

momento.

213


Los libros de texto, en general, no rescatan argumentaciones geométricas

respondiendo quizás a la pérdida de status de esta rama de la matemática en el

discurso escolar. El argumento que prevalece en ellos es el de función inversa como

relación entre las funciones exponencial y logarítmica lo cual inhibe el verlas como

funciones por sí mismas, diluyendo un poco su autonomía funcional. La exacerbada

utilización de ejercicios en los que se propone explorar sus dotes como facilitadores

de operaciones, en su condición de transformación, y como la primitiva de una

integral, que nos deriva implícitamente a la comprensión del Teorema Fundamental

del Cálculo, refuerza el pensamiento algorítmico empobreciendo y fraccionando su

significado matemático.

Consideramos entonces, que la “dislexia” en el aprendizaje de la noción

logaritmo es producto de su enseñanza, de la priorización de una presentación

axiomática y de una exacerbada algoritmización en los dos momentos en que aparece

explícitamente en el discurso matemático escolar, esto es, en su primer acercamiento

como potente herramienta facilitadora de operaciones en los últimos semestres de

bachillerato; y en su reaparición, semestres después en la enseñanza superior, como

una función definida como la primitiva de la hipérbola equilátera, siendo requisito

para ello conocer el Teorema Fundamental del Cálculo. La ausencia en el discurso

matemático escolar de elementos que funjan como nexos entre ambos momentos da

pauta de la no construcción, en el ámbito escolar, de esta noción y por ende, de la

absoluta falta de significados en torno a ella que los alumnos pueden adquirir.

Para revertir esto, consideramos pertinente tomar en consideración las etapas,

que hemos propuesto, a la hora de pensar el diseño de una situación didáctica, que

como tal, presenta cuatro momentos: acción, formulación, validación e

institucionalización en busca de conferir un sentido amplio y de significación a las

nociones abordadas por la misma. Cabe reflexionar entonces, en la analogía

214


propuesta entre estas etapas y las establecidas por nosotros en el devenir histórico de

los logaritmos hasta convertirse en objeto a ser estudiado en nuestros colegios. No

queremos decir con ello que el diseño debe abordar las tres etapas identificadas en

nuestro análisis epistemológico ni que la solución a la problemática abordada en esta

tesis, si tal existe, sea la de llevar la historia al aula y reproducir los pasos seguidos en

la conformación de la noción logaritmo tal y como la conocemos hoy en día. Por el

contrario, creemos que el diseño debe rescatar hitos y significados que se han hecho

evidentes en este trabajo atendiendo al punto en el que se enfoque el mismo.

Consideramos así que, es competencia del diseñador, de su particular análisis,

perspectiva y visión de los recursos que le puede aportar este trabajo, el delimitar el

abordaje de la noción logaritmo, los registros que comprometerá, las ideas que

pondrá en juego, pues conocer los avances y retrocesos acaecidos en su desarrollo

permite generar argumentos respecto a las destrezas necesarias para la apropiación

de esta noción.

Nos resulta evidente, luego de nuestro análisis didáctico, que en el nivel superior

el tratamiento de los logaritmos responde al momento de los logaritmos como objetos

teóricos pues son presentados en la mayoría de los libros de texto y en los salones de

clase como la inversa de la función exponencial o como 1

1 ; 0x

x dt xt

= ∫ln para ser

utilizados en la resolución de integrales o ecuaciones diferenciales entre otros temas.

Ambas presentaciones se vinculan con conceptos de difícil abordaje y comprensión

para los alumnos, por un lado, el de “función inversa” con su correspondiente carga

de significados en torno a, entre otros: “función”, “biyección”, “dominio”; y con el

“Teorema Fundamental del Cálculo” por otro lado, en el cual subyace que el

resultado de una integral es una función y no un número; pudiéndose aprovechar

entonces el trabajo con la noción logaritmo para dotar a su vez de mayor sentido a

estos conceptos, encararlos desde otros ángulos y perspectivas en el camino

>

215

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo espiralado hacia la construcción de conocimiento matemático si retomamos las ideas

de Sierpinska (1992) o si los utilizamos como herramientas en la construcción del

objeto “logaritmo” en una dialéctica propia y sutil, si pensamos en la metáfora de

Douady (1995).

Nuestra visión del devenir de los logaritmos como objetos de saber nos lleva a

proponer como hipótesis epistemológica, de construcción de conocimiento, la

incorporación en el diseño de las nociones de progresión aritmética y geométrica y

su fuerte vinculación con los logaritmos. Creemos que son elementos que pueden

resultar útiles, al igual que en el desarrollo histórico de los logaritmos, para facilitar el

pasaje desde las características aritméticas de esta noción hasta las funcionales

permitiendo la exploración en distintos registros y su correspondiente vinculación.

La complejidad de esta propuesta radica en el tránsito de lo discreto a lo continuo, lo

cual ameritaría una reflexión especial por tratarse de los obstáculos ya reportados por

Confrey (1996) y Lezama (1999) en el tratamiento de los exponentes continuos,

problemática abordada por Wallis en el siglo XVIII y que requiere mayor

profundización en nuestro análisis epistemológico, el cual realizaremos en

investigaciones posteriores. A su vez, se deben tener presente las dificultades

reportadas por Sierpinska (1992) respecto a la vinculación entre “sucesión” y

“función” los cuales suelen generar confusiones así como también los procesos de

interpolación utilizados para hacer continua una tabla.

Consideramos que también resultaría interesante extender las ideas trabajadas en

la ingeniería didáctica reportada en Lezama (1999) cuyo diseño gira en torno a la

construcción geométrica de la función 2x y que permitiera romper con concepciones

acerca de la imposibilidad de trazar puntos de la exponencial donde la variable

independiente no sea entera. En esta instancia se podrían rescatar conceptos

trabajados ya en el siglo XVIII por Agnesi vinculando la construcción geométrica de

216


estos segmentos con las progresiones aritmética y geométrica. Así mismo, podría

pensarse como variable didáctica las limitaciones de las construcciones geométricas

las que podrían utilizarse para obligar al pasaje del registro gráfico-geométrico al

numérico, para regresar al gráfico y explorar la posibilidad de inducir el traslado al

algebraico, pensando que la vinculación entre registros y el tránsito entre ellos la dota

de mayor significado. Se involucraría aquí fuertemente la noción de “función

inversa”, lo cual requerirá de un tratamiento especial debido a la complejidad de tal

noción, así como también cuidar que los logaritmos no sean tomados como

subsidiarios de las exponenciales, como ciudadanos de segunda en el mundo

matemático, sin una identidad propia.

Otro elemento interesante y también ausente en las clases de matemática es el

quiebre en el patrón de cuadraturas para las funciones potencia y el desafío de

encontrar la cuadratura de la hipérbola equilátera, cuya exploración demandara que

varios de los más grandes matemáticos de todos los tiempos la encararan. Esta idea

admite el trabajo en varios registros, y también tomaría como eje la relación entre las

progresiones mencionadas. La complejidad radica en la vinculación entre áreas bajo

una curva y función además de los obstáculos mencionados con anterioridad.

Así, podríamos continuar reflexionando y proponiendo distintos elementos para

incorporar a un diseño explotando a conciencia nuestros resultados del análisis

preliminar. Sin embargo, desde nuestra perspectiva consideramos que son dos los

elementos fundamentales a tener en cuenta a la hora de realizar el diseño: la relación

entre las progresiones aritmética y geométrica, por un lado; y el quiebre en el patrón

de cuadraturas de las funciones potencia, por otro. Cabe señalar que, una ingeniería

didáctica se diseña bajo objetivos específicos que atienden a ciertas circunstancias

dadas, las que determinan las variable didácticas a elegir. Por tanto sólo hemos

217

Una visión socio-epistemológica. Estudio de la función logaritmo esbozado algunas posibles rutas a seguir con el ánimo de mostrar cómo utilizaríamos

nuestros resultados en un posterior diseño.

Queda entonces la tarea o quizás el desafío de realizar el diseño y su puesta en

escena para continuar con las fases de la ingeniería didáctica, que como metodología

hemos implementado en este trabajo, y para dar una respuesta científica a esta

problemática que aporte elementos robustos al discurso matemático escolar de

nuestros días.

218

Bibliografía

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Agradezco a Cinvestav su apoyo económico · 2020-02-22 · Agradezco a mi asesora, Dra. Rosa María Farfán Márquez por la guía, estímulo, apoyo y comprensión que supo brindarme

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