Agencement déquipements 1 Problème de placement : agencement d'équipements dans une usine de montage automobile (facility layout)

Agencement d’équipements 1

Problème de placement : agencement d'équipements dans une usine de montage automobile (facility layout)


Plan

• Présentation du contexte industriel : le montage automobile

• Etat de l'art sur le problème d'agencement d'équipements

• Description du modèle PPC (Programmation Par Contraintes)

• Premiers résultats et constatations • … la suite


Contexte industriel / Fabrication d'un véhicule

• 4 étapes: – emboutissage – tôlerie – Peinture – assemblage


Contexte industriel / Assemblage

• graphe de montage

moteur 1

moteur 3

sellerie 2 sellerie 4

Sous caisse

mécanique 3sellerie 6mécanique 1

poste de conduite

mécanique 4sellerie 8

porte


Contexte industriel / Description d'un atelier

• Contient les tronçons de fabrication et les magasins

• On retrouve :– des flux de productions (principal : trajet de la caisse

et secondaire : trajet des module de préparation )– des flux d'approvisionnement dans notre atelier

Magasin

MagasinTronçon

Tronçon

T

T


Contexte industriel / Assemblage / Tronçon de montage

• défini par : – un temps de cycle – nombre et caractéristiques de pas de chaîne – nombre et caractéristiques des postes de travail – les pièces montées sur le véhicule

Bords de chaîne (stocks)

Postes de travailPas de chaîne

Véhicule


Contexte industriel / Assemblage / Approvisionnement

• pièces stockées dans des magasins • approvisionnement par car à fourche ( + base

roulantes)• magasins peuvent stocker des pièces pour

plusieurs tronçons différents besoin d'un réseau d'allées pour le

réapprovisionnement


Problématique

• Plusieurs cas possibles d'atelier: – à construire – atelier existant vide – atelier existant avec des zones fixées

• Placer dans un atelier les zones de fabrications (tronçons) et les zones de logistiques (magasins) de façon à minimiser les coûts – liés au graphe de montage (investissement)– liés aux flux (approvisionnement, manutention,

temps de production…)


Etat de l'art

• Problématique générale du facility layout :

Positionner des zones dans un espace défini de manière à minimiser les flux, les encombrements, …

Exemple : aéroports, hôpitaux, …


Etat de l'art / Evaluation

• Evaluation d'un agencement, 2 points de vue de modélisation: – « relationship chart »

rij : score d'adjacence entre la zone i et la zone j xij : binaire 1 si i et j adjacents 0 sinon Max z = somme somme rij*xij

– « from-to chart »fij : flux entre la zone i et j dij : distance entre i et j cij : coût en unité de flux et de distance entre i et j Min z = somme somme fij*cij*dij


Etat de l'art / Représentation graphique

Représentation discrète Représentation continue


Etat de l'art / Optimisation

• Représentation topologique • Représentation par graphes d'adjacences • Représentation par arbre de découpe • Problème d'affectation quadratique • Programme Linéaire en Nombres Entiers


Etat de l'art / Optimisation /Représentation topologique

• adaptées aux approches constructives et recherche locale

• constructive: – exemple SHAPE : glouton qui place le zones en

commençant par le centre

• recherche locale (améliorations de la solution trouvée par algorithme constructif): – exemple CRAFT : échange de zones adjacentes ou de

zones de même taille (en supposant surface fixe et forme libre)


Etat de l'art / Optimisation /Graphes d'adjacences

• approche relationship chart, représentation continue

• graphe dont les nœuds représentent une zone et les arêtes les relations d'adjacences entre les zones

• pas de prise en compte de forme, surface, non-superposition

• nécessité d'arriver à un graphe planaire • algo de construction gloutonnes partir de

triangle voire hexagone


Etat de l'art / Optimisation /Arbre de découpe (slicing tree)

• représentation continue • création d'un "floorplan" c'est-à-dire une

partition du rectangle initial • on peut représenter alors cette solution par un

arbre (binaire) dont chaque nœud correspond a une coupe verticale ou horizontale

• améliorations se font en cherchant un nouvel arbre


Etat de l'art / Optimisation / Problème d'affectation quadratique

• approche from-to chart, représentation discrète • affecter à chaque zone une et une seule position fij : flux entre les zones i et jcij : coût entre les zones i et jdlk : distance entre la position l et k xik : 1 si la zone i est dans la position j, 0 sinon

Min z =Σ Σ Σ Σ fij.cij.dlk.xik.xjl M T T T

i=1 j=1 k=1 l=1


Etat de l'art / Optimisation /PLNE

• approche from-to chart• variables continues représentant:

– abscisse et ordonnée du centre des zones – distance en abscisse et distance en ordonnée entre

les zones – longueur et largeur des zones

• variables binaires : informations sur la localisation respective de zones 2 à 2

• difficile de trouver une solution exacte sauf pour des problèmes de petite taille


Etat de l'art / Synthèse

• Modèles présentés sont très génériques • On trouve une grande quantité de travaux

spécifiques à des problèmes très précis, donc :– il y a souvent beaucoup de variables et de

contraintes spécifiques – ils sont difficiles à réutiliser dans d'autres contextes

que celui spécifié


Définition du modèle PPC

• définition des zones • les relations entre les zones • les données du problème • les variables de décisions • la fonction objective • les contraintes


Modèle PPC / Définition des zones

• On considère que les zones sont entourées d'une 1/2 allée pour pouvoir créer un réseau d'allées dans l'atelier de façon à éviter des problèmes de congestions dans le trafic

• Différentes zones dans l’atelier :– tronçons de montage– magasins


Modèle PPC / Définition des zones /Tronçons

• Possède une entrée et une sortie • il peut avoir 4 orientations possibles (horizontale

droite-gauche / gauche-droite ou verticale haut-bas / bas-haut)

• chaque tronçon est approvisionné par un seul magasin


Modèle PPC / Définition des zones /Magasins

• Aucune entrées ou sorties spécifiées multitude d'accès

• pas d'orientations • un magasin peut approvisionner plusieurs

tronçons • le nombre total de magasins et la surface de

chacun des magasin sont connus


Modèle PPC / Coûts entre les zones

• modèle basé sur une approche from-to chart et une représentation discrète (continu possible aussi)

• tronçon-tronçon : production – coût de production en fonction du flux de production

et de la distance de convoyage (distance entre le premier tronçon et le deuxième tronçon)

• magasin-tronçon : manutention – coût de manutention en fonction du nombre d'engins

(en fonction du flux) et de leur temps de parcours (en fonction de la distance) distance de centre à centre de zone


Modèle PPC / Données du problème

• Toutes les données sont entières (sauf les flux et les coûts)– Bx, By : longueur et largeur du bâtiment – Li, li : longueur et largeur de chaque tronçon – M : nombre de magasins – T : nombre de tronçons – Ai : aire de chaque magasin – diinf et disup :la distance minimum et maximum (pour chaque

magasin) que peut prendre la longueur d'un magasin – aij : les positions d'arrivées sur la chaîne principale des

chaînes secondaires (entrées, centre ou sortie) – fij : flux entre 2 zones– cij : coût unitaire en unité de flux et de distance entre 2

zones


Modèle PPC / Variables de décisions

• Toutes les variables sont entières sauf les distances– xi, yi : (≥ 0) : abscisse et ordonnée du centre de chaque

zone – hi, vi : {Li, li} : taille du tronçon i en abscisse et ordonnée – hi, vi : [diinf, disup] : taille du magasin i en abscisse et

ordonnée – eih, eiv : {-1, 0, 1} : entrée du tronçon i en abscisse et

ordonnée (-1 si inférieure au centre, 0 si égale et 1 si supérieur)

– Distances : en fonction des autres variables mais différentes en fonction du flux (production ou manutention)


Modèle PPC / Calcul des distances

• distance de Manhattan pour le calcul (distance = somme des écarts des abscisses et des ordonnées)

• distance de manutention (magasin i et tronçon j) dij = |xi - xj| + |yi - yj|

• distance de production dij = |(xi - eih.hi/2) - (xj - aj.ejh.hj/2)| +

|(yi - eiv.vi/2) - (yj - aj.ejv.vj/2)|


Modèle PPC / Fonction objective

• manutention : flux Magasins - Tronçons • production : flux Tronçons - Tronçons

Min z = Σ Σ fij.cij.dij + Σ Σ fij.cij.dij T T

i=1 j=1

M T

i=1 j=1


Modèle PPC / Contraintes

• Contraintes prises en compte par le modèle :– positionnement dans l'atelier – dimensions des magasins – dimensions et orientation des tronçons – non superposition des zones


Modèle PPC / Contraintes /Positionnement dans l'atelier

hi/2 ≤ xi ≤ Bx-hi/2 vi/2 ≤ yi ≤ By-vi/2

pour chaque zone i


Modèle PPC / Contraintes /Dimensions des magasins

hi*vi ≥ Ai pour chaque magasin i• contrainte pour garder des valeurs entières

aux dimensions du magasin i


Modèle PPC / Contraintes /Dimensions et orientation des

tronçons si longueur verticale alors largeur horizontale et

vice et versa hi + vi = Li + li

orientation verticale ou horizontale eih=0 <=> eiv!=0

entrée du coté de la largeur eih!=0 => hi=Li

entrée du coté de la largeur eiv!=0 => vi=Li

Pour chaque tronçon i


Modèle PPC / Contraintes /Non superposition des zones

si superposition horizontale alors non superposition verticale

|xi-xj| < (hi+hj)/2 |yi-yj| ≥ (vi+vj)/2si superposition verticale alors non superposition

horizontale |yi-yj| < (vi+vj)/2 |xi-xj| ≥ (hi+hj)/2

chaque zone i et j


Premiers tests

• Tests d’exemples de petite taille (5 tronçons et 2 magasins)

• Différentes tailles d’atelier et de longueurs maximum pour les magasins

Tronçon 1Tronçon 0

Tronçon 2

Tronçon 3 Tronçon 4

Magasin 0Magasin 1


10x50

temps de résolution = 519 s fonction objective = 99 620 en en 8 minutes

arrêté après 1 heure

Tronçon 0

Tronçon 1

Tronçon 2

Tronçon 3

Tronçon 4Magasin 0

Magasin 1

0 5 10

50

30

20

10

40


10x40

temps de résolution = 39 627 s, fonction objective = 159 212 en 14 heures

Tronçon 0

Tronçon 1

Tronçon 2

Tronçon 3

Tronçon 4

Magasin

0

Magasin 1

0 5 10

40

20

30

10


20x80

temps de résolution = 3 691 s, fonction objective = 153 354 (à diviser par 2 ≈ 75 000) en 2,5 jours

200 000 atteint en environ 27 secondesarrêté après presque 3 jours

Tronçon 0

Tronçon 1

Tronçon 2

Tronçon 3

Tronçon 4

Magasin 0

Magasin 1

0 10 20

80

40

60

20


15x50

temps de résolution = 121 736 s fonction objective = 73 894

100 000 atteint en environ 8 minutesarrêté après 2,5 jours

Tronçon 0

Tronçon 1

Tronçon 2

Tronçon 3

Tronçon 4

Magasi

n 0

Magasin 1

0 5 10 15

50

30

20

10

40


Perspectives et orientations

• considérer que 2 tronçons qui se succède dans le graphe de montage se touchent (évite les superposition de flux sur tronçon)

• fixer un tronçon au centre d'un atelier sans contrainte de taille (voir comment le modèle agence les zones sans contraintes d’espace)


Perspectives et orientations

• accoler les tronçons de la chaîne principale dans le sens de la longueur de l'atelier (pour essayer d’accélérer la résolution vers une bonne solution)

• accoler les tronçons de chaque chaîne (principale et secondaire) dans la même orientation

• coller les magasins sur un ou deux bords de l’atelier

Agencement déquipements 1 Problème de placement : agencement d'équipements dans une usine de montage automobile (facility layout)

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