1 Agata Boraty´ nska ZADANIA NA ´ CWICZENIA ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ (II rok ekonomii) UWAGA: Je´ sli w zadaniu nie podano innej definicji, to przyja , ´ c: ¯ X = 1 n Σ n i=1 X i , S 2 = 1 n-1 Σ n i=1 (X i - ¯ X ) 2 , n oznacza liczno´ s´ c pr´oby losowej. 1. STATYSTYKA OPISOWA, WSTE , PNA ANALIZA DANYCH. 1.1. W grupie 25 student´ ow zbadano oceny pracy kontrolnej ze statystyki. Otrzymano wyniki: 3.5; 4; 3; 3.5; 4.5; 3; 3; 3; 2.5; 4; 2; 3.5; 2; 2.5; 3.5; 4; 5; 2.5; 3; 2; 5; 4; 2; 3; 3. Przedstaw dane w szeregu rozdzielczym. Podaj cze , sto´ sci dla poszczeg´ olnych ocen. Wyznacz i narysuj dystrybuante , empiryczna , oraz wykres s lupkowy cze , sto´ sci. Wyznacz podstawowe miary po lo˙ zenia i rozproszenia (warto´ s´ c´ srednia , , mediane , , mode , , wariancje , pr´ obkowa , ). 1.2. W pewnym instytucie zbadano liczbe , wyjazd´ ow pracownik´ow do kraj´ow UE. Otrzymano wyniki: liczbawyjazd´ow 0 1 2 3 4 5 6 liczba pracownik´ ow 50 80 38 15 10 5 2 Jaki odsetek pracownik´ ow wyje˙ zd˙ za l rzadziej ni˙ z raz w roku a jaki cze , ´ sciej ni˙ z raz w roku? Ile razy pracownicy la , cznie wyje˙ zd˙ zali do kraj´ ow UE? Ile razy pracownik przecie , tnie wyje˙ zd˙ za l do UE? Jaka jest moda, a jaka mediana (zinterpretuj wyniki)? Wyznacz wykres s lupkowy. 1.3. W grupie 25 os´ob pisza , cych prace , kontrolna , ze statystyki zbadano czas pisania tej pracy. Otrzymano wyniki w minutach: 83; 85; 89; 63; 75; 82; 88; 81; 65; 88; 83; 74; 52; 85; 71; 60; 87; 81; 88; 59; 82; 78; 86; 78; 89. Przedstaw dane w szeregu rozdzielczym przyjmuja , c liczbe , 4 klas r´ ownej szeroko´ sci. Wyznacz dystrybuante , empiryczna , i histogram cze , sto´ sci. Wyznacz ´ srednia , , mediane , , wariancje , pr´ obkowa , , odchylenie przecie , tne, rozste , p mie , dzykwartylowy.
30
Embed
Agata Boratynsk a - SGH Warsaw School of Economicsweb.sgh.waw.pl/~aborata/ekonomia/Zadsek2.pdf · nieznane, podaj model statystyczny eksperymentu pole-gaja, cego na zmierzeniu wielko
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
Agata Boratynska
ZADANIA NA CWICZENIA ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
(II rok ekonomii)
UWAGA: Jesli w zadaniu nie podano innej definicji, to przyja↪c: X = 1
nΣni=1Xi, S
2 =1
n−1Σni=1(Xi − X)2, n oznacza licznosc proby losowej.
1. STATYSTYKA OPISOWA, WSTE↪PNA ANALIZA DANYCH.
1.1. W grupie 25 studentow zbadano oceny pracy kontrolnej ze statystyki. Otrzymanowyniki: 3.5; 4; 3; 3.5; 4.5; 3; 3; 3; 2.5; 4; 2; 3.5; 2; 2.5; 3.5; 4; 5; 2.5; 3; 2; 5; 4; 2; 3;3. Przedstaw dane w szeregu rozdzielczym. Podaj cze
↪stosci dla poszczegolnych ocen.
Wyznacz i narysuj dystrybuante↪
empiryczna↪
oraz wykres s lupkowy cze↪stosci. Wyznacz
podstawowe miary po lozenia i rozproszenia (wartosc srednia↪, mediane
↪, mode
↪, wariancje
↪
probkowa↪).
1.2. W pewnym instytucie zbadano liczbe↪
wyjazdow pracownikow do krajow UE.Otrzymano wyniki:
Zbadaj dynamike↪wartosci obrotow tych trzech towarow la
↪cznie, obliczaja
↪c indeksy agre-
gatowe wartosci. Okresl w jakim stopniu dynamika cen a w jakim dynamika ilosci wp lyne↪ la
na dynamike↪wartosci obrotow. Zastosuj znane indeksy ilosci, cen, wartosci.
2.5. W ponizszej tabeli podane sa↪
lancuchowe indeksy cen za okres luty, marzec ikwiecien oraz wartosci sprzedazy dwoch artyku low w miesia
↪cach luty i kwiecien.
Wartosc sprzedazy lancuchowe indeksy cenartyku ly II IV II III IV
A 100 150 1,2 0,9 0,9B 200 220 1,0 1,1 1,2
Oblicz agregatowe indeksy wartosci, cen i ilosci dla porownania sprzedazy artyku low wkwietniu i lutym. Zinterpretuj wyniki. Okresl wp lyw zmiany cen na dynamike
↪wartosci
sprzedazy w miesia↪cu lutym w stosunku do stycznia.
2.6. Pewien inwestor posiada akcje trzech firm. Ich la↪czna wartosc po kursie z dnia
1.09.08 wynosi la 95 tys. PLN, a po kursie z 1.12.08 80 tys. PLN. Obliczyc agregatowyindeks cen i zinterpretowac wynik.
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 6
2.7. Dynamike↪wielkosci nak ladow inwestycyjnych w pewnym zak ladzie w latach 2000
- 2004 podaje tabela indeksow jednopodstawowych, za podstawe↪przyjto rok 2002.
Wyznacz srednie tempo zmian nak ladow inwestycyjnych w okresie 2000-2004. Wktorym roku by ly najmniejsze a w ktorym najwie
↪ksze nak lady inwestycyjne. W ktorym
roku (z lat 2001-2004) w stosunku do roku poprzedniego by l najwie↪kszy przyrost nak ladow
inwestycyjnych. Jesli w roku 2000 nak lady wynosi ly 50000 z, to ile wynosi ly w 2004 roku.
2.8. Na pewnym targowisku ustalono, e wartosc sprzedazy jaj wzros la z 25 tys. z l. w2000 r. do 50 tys. z l. w 2002 r., sera bia lego z 8 tys. z l. do 12 tys. z l., natomiast wartoscsprzedazy smietany zmala la z 6 tys. z l. do 3 tys. z l. Wiadomo, ze ilosciowo sprzedaz jajwzros la o 30%, sera o 10% a smietany zmala la dwukrotnie. Uzupe lnij tabele
↪.
Wartosc sprzedazy indeks zmian indeks zmianTowar w tys PLN ilosci cen
2000 2002
jaja
ser bia ly
smietana
Wyznacz indeksy: Laspeyresa cen i Paaschego ilosci oraz podaj ich interpretacje↪.
2.9. Pewien sklep internetowy mia l naste↪puja
↪ce dane dotyczce obrotow trzema pro-
duktami:
produkt wartosc obrotow w tys. z l zmiany cen w 2008 r.w 2008 r w stosunku do 2007 r. (w %)
A 500 spadek o 10B 800 wzrost o 5C 300 bez zmian
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 7
Ponadto wiadomo, ze la↪czne obroty w 2007 r. wynosi ly 2 mln z l.
Wyznacz indeksy wartosci, ilosci i cen i podaj ich interpretacje↪. Wiadomo, ze w roku
2006 cena towaru A by la nizsza o 15% niz w roku 2007. Wyznacz indeks jednopodstawowydla ceny towaru A w 2008 roku, przy przyje
↪ciu roku 2006 za rok bazowy.
3. MODEL STATYSTYCZNY.
3.1. Wykonujemy n doswiadczen losowych z ktorych kazde konczy sie↪
sukcesem zprawdopodobienstwem θ. Wiadomo, ze θ ∈ [θ1, θ2], gdzie θ1, θ2 ∈ (0, 1) sa
↪ustalone.
Sformu luj model statystyczny tego eksperymentu.
3.2. Z populacji N elementow wsrod ktorych jest nieznana liczba D elementow wadli-wych losujemy n elementow i poddajemy je kontroli. NiechX oznacza liczbe
↪wylosowanych
elementow wadliwych. Podaj model statystyczny doswiadczenia.
3.3. Zak ladaja↪c, ze plon kukurydzy z poletka ma rozk lad normalny z wartoscia
↪oczeki-
wana↪µ i wariancja
↪σ2, µ i σ2 sa
↪nieznane, podaj model statystyczny eksperymentu pole-
gaja↪cego na zmierzeniu wielkosci plonow z 10 takich samych poletek.
3.4. Pewne urza↪dzenie techniczne pracuje dopoki nie uszkodzi sie
↪ktorys z k elementow
typu A lub ktorys z l elementow typu B. Czas zycia elementow typu A jest zmienna↪
losowa↪
o rozk ladzie wyk ladniczym z ge↪stoscia
↪fa(x) = ae−ax dla x > 0, a czas zycia
elementow typu B jest zmienna↪
losowa↪
o rozk ladzie wyk ladniczym z ge↪stoscia
↪fb(x) =
be−bx dla x > 0, i wszystkie elementy pracuja↪
niezaleznie. Parametry a i b sa↪
nieznaneoraz a, b > 0. Obserwuje sie
↪czas zycia T ca lego urza
↪dzenia. Sformu luj model statystyczny
tej obserwacji.
3.5. Z urny, w ktorej jest 50 losow (w tym pewna liczba losow wygranych), losujemy 5razy po jednym losie. Po kazdym losowaniu sprawdzamy czy los jest wygrany i z powrotemwk ladamy go do urny. Z jakim rodzajem losowania mamy do czynienia. Podaj modelstatystyczny tego dowiadczenia. Podaj model statystyczny doswiadczenia przy za lozeniu,ze dokonujemy losowania losow bez zwracania.
3.6. Obserwuje sie↪
liczbe↪
roszczen dla kazdego z n niezaleznych jednorodnych kon-traktow ubezpieczeniowych. Za lozmy, ze liczba roszczen dla pojedynczego kontraktu jestzmienna
↪losowa
↪o rozk ladzie Poissona z nieznanym parametrem. Podaj model statysty-
czny tej obserwacji.
3.7. W jeziorze p lywa pewna liczba N nieznana ryb. Od lowiono z jeziora m ryb,oznakowano je i z powrotem wpuszczono do jeziora. Po wymieszaniu sie
↪ryb oznakowanych
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 8
z pozosta lymi wy lowiono n ryb i zliczono ile wsrod ryb wy lowionych jest oznakowanych.Podaj model statystyczny tego eksperymentu.
3.8. Z populacji pracownikow pewnego zak ladu losujemy 50 osob: 25 kobiet i 25me
↪zczyzn, ktore maja
↪utworzyc probke
↪do zbadania odsetka pala
↪cych kobiet i me
↪zczyzn.
Co jest cecha↪w tym doswiadczeniu?
3.9. Samoloty bombowe przedzieraja↪
sie↪
przez dwie linie obrony przeciwlotniczej.Kazdy samolot, niezaleznie od pozosta lych, z prawdopodobiestwem θ1 jest stra
↪cony przez
pierwsza↪linie
↪obrony, a z prawdopodobiestwem θ2 przechodzi przez pierwsza
↪linie
↪i zostaje
stra↪cony przez druga
↪linie
↪. Obserwujemy liczbe
↪samolotow stra
↪conych przez pierwsza
↪linie
obrony X i liczbe↪
samolotow stra↪conych przez druga
↪linie
↪obrony Y sposrod n leca
↪cych.
Sformu luj model statystyczny.
3.10. Sposrod duzej liczby wyborcow 100p% g losuje na partie↪
A, a 100q% na partie↪
B, pozostali nie g losuja↪. Wybrano losowo niezaleznie 1000 wyborcow i zanotowano liczby
X - wyborcow g losuja↪cych na partie
↪A i Y - wyborcow g losuja
↪cych na B. Sformu luj model
statystyczny.
3.11. Obserwujemy la↪czny czas swiecenia 5 zarowek. Czas swiecenia pojedynczej
zarowki jest zmienna↪o rozk ladzie wyk ladniczym. Sformu luj model statystyczny.
3.12. Obserwuje sie↪ la↪czna
↪liczbe
↪roszczen z n niezaleznych jednorodnych kontraktow
ubezpieczeniowych. Za lozmy, ze liczba roszczen dla pojedynczego kontraktu jest zmienna↪
losowa↪
a)o rozk ladzie Poissona z nieznanym parametrem λ ;b) o rozk ladzie geometrycznym z nieznanym parametrem p.Podaj model statystyczny tej obserwacji w obu przypadkach.
3.13. W pomieszczeniu zapalono n zarowek i obserwowano czas do chwili przepaleniawszystkich. Czas swiecenia pojedynczej zarowki jest zmienna
↪o rozk ladzie wyk ladniczym.
Sformu luj model statystyczny tej obserwacji.
4. PODSTAWOWE ROZK LADY PRAWDOPODOBIENSTWA
4.1. Automat tokarski produkuje nity, ktorych srednica ma rozk lad normalny z od-chyleniem standardowym rownym 0, 04mm. Wartosc oczekiwana tej zmiennej losowejmoze byc dowolnie regulowana przez odpowiednie ustawienie automatu. Nit uwaza sie
↪za
dobry, gdy jego srednica miesci sie↪w przedziale (2,9mm,3,1mm).
a) Jakie jest prawdopodobienstwo wyprodukowania braku, gdy automat nastawiony jestna wartosc srednia
↪3,05.
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 9
b) Przy jakiej wartosci sredniej prawdopodobienstwo wyprodukowania braku be↪dzie na-
one po 9 sztuk, przy czym dobor sztuk ma cechy doboru losowego. Okreslic rozk ladsredniej arytmetycznej wagi jaj w pojedynczym opakowaniu. Jakie jest prawdopodobien-stwo zdarzenia, ze srednia waga jaj w opakowaniu be
↪dzie wie
↪ksza niz 52?
4.3. Tygodniowa wartosc sprzedazy pewnego produktu ma rozk lad normalnyN(2450, 4002).a) Jakie jest prawdopodobienstwo zdarzenia, ze sprzedaz tego produktu w cia
↪gu tygodnia
be↪dzie w granicach (2050,3100)?
b) Zbadano wartosc sprzedazy w cia↪gu 16 tygodni. Jaki jest rozk lad sredniej arytmety-
cznej wartosci sprzedazy? Jakie jest prawdopodobienstwo zdarzenia, ze srednia wartoscsprzedazy z 16 tygodni waha sie
↪w przedziale (2200,2700)?
4.4. Czas przeznaczony w cia↪gu tygodnia na czytanie ksia
↪zek i prasy przez ogo l
mieszkancow pewnego rejonu ma rozk lad normalny z odchyleniem standardowym rownym1,5 godz. Jakie jest prawdopodobienstwo zdarzenia, ze odchylenie standardowe czasuprzeznaczonego na czytanie ksia
↪zek i prasy wyliczone na podstawie 20 losowo wybranych
osob nie przekroczy 2 godz.?
4.5. Zmienna losowa ma rozk lad normalny. Z populacji o tym rozk ladzie pobrano400-elementowa
↪probe
↪losowa
↪. Znalezc odchylenie standardowe w rozk ladzie tej zmien-
nej, jesli wiadomo, ze srednia z proby rozni sie↪
od sredniej w populacji o mniej niz 1 zprawdopodobienstwem rownym 0,6826.
4.6. Wadliwosc procesu produkcyjnego wynosi 10%. Oblicz prawdopodobienstwo, zena 8 wylosowanych sztuk be
↪da
↪co najwyzej 2 wadliwe. Wyznacz oczekiwana
↪wartosc sztuk
wadliwych.
4.7. W pojedynczej grze w ruletke↪wygrywamy 1 z prawdopodobienstwem 18
38a prze-
grywamy 1 z prawdopodobienstwem 2038
. Oszacuj prawdopodobienstwo, ze po 361 grachmamy wie
↪cej pienie
↪dzy niz na pocza
↪tku?
4.8. Pewien uniwersytet stanowy wysy la co roku swoich pracownikow do szko l srednichaby zache
↪cic uczniow do studiowania na tym uniwersytecie. Z dokumentow wynika, ze
25% osob sposrod zache↪canych sk lada rzeczywiscie dokumenty na ten uniwersytet. Pra-
cownicy w danym roku przeprowadzili 1889 rozmow. Oszacuj prawdopodobienstwo, zena uniwersytet zg losi sie
↪ponad 500 kandydatow z tej grupy.
4.9. Pewne towarzystwo ubezpieczeniowe ma 625 klientow w pewnej grupie ryzyka, oktorej (z przesz losci) wiadomo, ze srednie roczne roszczenie jednego klienta wynosi 1000
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 10
przy odchyleniu standardowym 300. Oszacuj jaka↪kwote
↪na wyp lacanie roszczen powinno
przewidziec towarzystwo, aby prawdopodobienstwo, ze zostanie ona przekroczona by lonie wie
↪ksze niz 0,05 (zastosowac aproksymacje
↪rozk ladem normalnym).
4.10. Zmienne losowe X, Y , Z sa↪niezalezne, przy czym X ∼ N(0, 1), Y ∼ N(2, 1) i
Z ∼ χ29. Obliczyc prawdopodobienstwa: P (X−Y < 1), P (X+Y > 3), P (X2+(Y −2)2 >
6), P (43X <
√Z), P (Y > 2 + 7
15
√Z).
4.11.. Zmienne losowe X, Y , Z sa↪niezalezne, przy czym X ∼ N(0, 1), Y ∼ N(1, 1),
gdzie θ > 0. Wyznacz estymator najwie↪kszej wiarogodnosci parametru θ.
5.14. Niech (X1, . . . , Xn) be↪dzie proba
↪losowa
↪z rozk ladu normalnego N(m,σ2). Wyz-
nacz a tak, aby estymator T (X1, X2, . . . , Xn) = aΣni=1|Xi − X| by l estymatorem nieob-
cia↪zonym parametru σ.
5.15. Niech X1, X2, . . . , Xn, n > 1, be↪da
↪niezaleznymi zmiennymi losowymi o tym
samym rozk ladzie wyk ladniczym o ge↪stosci
pλ(x) =1
λe−
1λx1[0,∞)(x),
λ > 0. Rozpatrz estymator parametru λ postaci
T (x1, x2, . . . , xn) = n ·min(x1, x2, . . . , xn).
Sprawdz, czy jest to estymator nieobcia↪zony i czy jest to estymator zgodny.
5.16. Obserwujemy czas zycia, x1, x2, . . . , xn, n elementow pierwszego rodzaju i czaszycia, y1, y2, . . . , ym, m elementow drugiego rodzaju. Obserwacje sa
↪realizacjami niezalez-
nych zmiennych losowych o rozk ladach wyk ladniczych. Wiadomo, ze sredni czas zyciaelementow pierwszego rodzaju jest 2 razy d luzszy niz sredni czas zycia elementow drugiegorodzaju. Wyznacz model statystyczny w tym doswiadczeniu i estymator najwie
↪kszej
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 14
wiarogodnosci parametru rownego wartosci oczekiwanej czasu zycia elementu pierwszegorodzaju.
5.17. Niech X1, X2, . . . , Xn, n > 1, be↪da
↪niezaleznymi zmiennymi losowymi o tym
samym rozk ladzie wyk ladniczym o wartosci oczekiwanej θ. Rozwazmy estymatory parametruθ postaci
θ = aS, gdzie S = Σni=1Xi.
Znajdz a, dla ktorej b la↪d sredniokwadratowy estymatora jest najmniejszy. Wskazowka:
EXi = θ, V ar Xi = θ2.
5.18 Zmienne losowe X1, . . . , Xn opisuja↪ceny (w z l.) pewnego artyku lu w n roznych
sklepach. Zak ladamy, ze sa↪
to zmienne niezalezne, o jednakowym rozk ladzie normal-nym N(µ, σ2). Interesuje nas estymacja sredniej ceny µ. Wyniki wczesniejszych badansugeruja
↪, ze nieznana wielkosc µ powinna byc bliska 300 z l. Wobec tego uzywamy
naste↪puja
↪cego estymatora:
µ =300 + X
2,
gdzie X = 1n
∑Xi. Obliczyc obcia
↪zenie tego estymatora. Obliczyc b la
↪d sredniokwadratowy
tego estymatora.
5.19 Niech X1, X2, . . . , Xn be↪da
↪niezaleznymi zmiennymi losowymi z tego samego
rozk ladu o ge↪stosci
fθ(x) =
1
24θ5x4e−
xθ dla x > 0
0 w przeciwnym przypadku,
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Wiadomo, ze EθXi = 5θ i V arθXi = 5θ2.Dobrac sta la
↪c tak, aby statystyka T = cX by la estymatorem nieobcia
↪zonym parametru
θ i obliczyc jego wariancje↪. Porownac wariancje
↪estymatora z dolnym ograniczeniem na
wariancje↪w nierownosci informacyjnej.
5.20 Niech X1, . . . , Xn be↪dzie probka
↪z rozk ladu o ge
↪stosci
fθ(x) =
{θx−2e−θ/x dla x > 0;0 w przeciwnym przypadku,
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Podac wzor na estymator najwie↪kszej wiaro-
godnosci (ENW) parametru θ. Wyznaczyc parametry rozk ladu normalnego, ktory przy-bliza rozk lad ENW θ, jesli n = 400 i parametr θ jest rowny 2.
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 15
5.21. Niech X1, . . . , Xn be↪dzie proba
↪losowa
↪prosta
↪z rozk ladu jednostajnego U(0, θ).
Zdefiniowano dwa estymatory parametru θ:
T1 =n+ 1
nXn:n T2 =
n
n− 1Xn:n,
gdzie Xn:n jest ostatnia↪statystyka
↪pozycyjna
↪. Wyznacz obcia
↪zenia poszczegolnych esty-
matorow.
5.22. Niech X1, X2, . . . , Xn be↪da
↪niezaleznymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozk ladzie jednostajnym na przedziale [0, 1]. Niech Fn(t) oznacza dystrybuante↪
em-piryczna
↪w punkcie t (wyznaczona
↪na podstawie zaobserwowanych wartosciX1, X2, . . . , Xn).
• Podaj wartosc oczekiwana↪i wariancje
↪zmiennej losowej Fn(1/2).
• Wyznacz rozk lad asymptotyczny zmiennej√n(Fn(1/2)− F (1/2))
5.23. Samoloty bombowe przedzieraja↪
sie↪
przez dwie linie obrony przeciwlotniczej.Kazdy samolot, niezaleznie od pozosta lych, z prawdopodobienstwem θ jest stra
↪cony przez
pierwsza↪linie
↪obrony, z prawdopodobienstwem θ(1− θ) przechodzi przez pierwsza
↪linie
↪i
zostaje stra↪cony przez druga
↪linie
↪, wreszcie a prawdopodobienstwem (1 − θ)2 przechodzi
przez obie linie. Parametr θ jest nieznany. Sposrod n = 100 samolotow, K1 = 40 zosta lostra
↪conych przez pierwsza
↪linie
↪, a dalszych K2 = 20 zosta lo stra
↪conych przez druga
↪linie
↪.
• Oblicz wiarogodnosc dla zaobserwowanych wartosci K1 i K2.
rozkad normalny N(bxi, 1), gdzie b jest nieznanym parametrem a x1, x2, . . . , xn ustalonymiznanymi liczbami. Wyznacz ENW (b). Jaki rozk lad ma otrzymany estymator? Wyznaczprzedzia l ufnosci dla parametru b w oparciu o otrzymany estymator na poziomie ufnosci0,95.
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 16
6. PRZEDZIA LY UFNOSCI
6.1. Firma telekomunikacyjna chce oszacowac srednia↪d lugosc rozmow zamiejscowych
w soboty i niedziele na podstawie 20 elementowej proby losowej, dla ktorej srednia wynosi14,5 i odchylenie standardowe 5,6. Zak ladaja
↪c, ze czas rozmowy ma rozk lad normalny
wyznaczyc realizacj przedzia lu ufnosci dla wartosci oczekiwanej czasu rozmowy na poziomieufnosci 95%. Jak zmieni sie
↪d lugosc przedzia lu ufnosci gdy poziom ufnosci wzrosnie.
6.2. Firma zajmuja↪ca sie
↪badaniem rynku chce przyblizyc przecie
↪tna
↪kwote
↪wydawana
↪
przez osoby odwiedzaja↪ce popularny kurort. Firma chce okreslic te
↪kwote
↪za pomoca
↪
przedzia lu o szerokosci nie przekraczaja↪cej 200 na poziomie ufnosci 95%. Z przesz losci
wiadomo, ze odchylenie standardowe wynosi 400. Jaka jest minimalna wielkosc probylosowej potrzebna do uzyskania takiego oszacowania przy za lozeniu, ze kwota wydawanapodlega rozk ladowi normalnemu.
Od jakich czynnikow i jak zalezy d lugosc przedzia lu ufnosci dla wartosci oczekiwanejµ cechy o rozk ladzie normalnym. Czy prowadza
↪cy doswiadczenia moze miec wp lyw na
d lugosc przedzia lu ufnosci?
6.3. W lasciciel kantoru wymiany walut na lotnisku chce wyestymowac srednia↪wielkosc
gotowki potrzebna↪do wymiany noca
↪frankow na dolary. Z doswiadczenia w lasciciel wie,
ze wielkosc popytu na dolary ma rozk lad normalny z odchyleniem standardowym 4. Ob-serwuja
↪c popyt przez 10 dni w lasciciel otrzyma l wyniki: X = 24, 4.
a) Podac realizacje↪przedzia lu ufnosci dla wartosci oczekiwanej popytu na poziomie ufnosci
0,9.b) Oszacowac (korzystaja
↪c z otrzymanego przedzia lu ufnosci) prawdopodobienstwo zdarzenia,
ze w lasciciel be↪dzie potrzebowa l gotowki ponad 30.
c) Oszacowac wartosc a tak, ze prawdopodobienstwo zdarzenia, ze w lasciciel be↪dzie potrze-
bowa l gotowki o wartosci wie↪kszej niz a nie przekroczy 0,1.
6.4. Pewien automat w fabryce czekolady wytwarza tabliczki czekolady. W celuoszacowania precyzji w wytwarzaniu tabliczek przez automat kontrola techniczna pobra laprobe
↪losowa
↪16 tabliczek i otrzyma la ich odchylenie standardowe rowne 5.
a) Podac realizacje↪przedzia lu ufnosci dla wariancji na poziomie ufnosci 0,95, wiedza
↪c ze
waga wytwarzanych tabliczek jest zmienna↪losowa
↪o rozk ladzie normalnym.
b) Wiedza↪c, ze nominalna waga produkowanych tabliczek wynosi 250 oszacowac prawdo-
podobienstwo zdarzenia, ze automat wyprodukuje tabliczki czekolady o wadze wie↪kszej
niz 260.
6.5. Na podstawie informacji o srednim czasie przepisywania na komputerze jednejstrony tekstu przez 25 losowo wybranych maszynistek oszacowano przedzia l dla sredniego
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 17
czasu pisania jednej strony tekstu przez maszynistki wynosza↪cy (5, 588; 6, 412). Wiedza
↪c
dodatkowo, ze rozk lad czasu pisania jednej strony jest zblizony do normalnego i ze odchyle-nie w wylosowanej probie wynosi 1, ustalic jaki poziom ufnosci przyje
↪to przy szacowaniu
powyzszego przedzia lu?
6.6. Procent gospodarstw rolnych, ktorych w lasciciele przekroczyli 60 lat oznaczmyprzez 100θ%. W celu oszacowania parametru θ, pobrano sposrod gospodarstw 400 ele-mentowa
↪probke
↪losowa
↪i okaza lo sie
↪, ze 144 w lascicieli przekroczy lo 60 lat. Zbudowac
przedzia l ufnosci dla parametru θ na poziomie ufnosci 0,95.
6.7. Analityk chce oszacowac procent rynku mikrokomputerow opanowany przezIBM. Proba losowa z lozona z 590 spo lek uzywaja
↪cych mikrokomputery da la rezultat,
ze 500 spo lek mia lo komputery IBM. Podac 95% przedzia l ufnosci dla procentu rynkuopanowanego przez IBM.
6.8. Wykonuje sie↪pomiary wytrzyma losci pewnego materia lu budowlanego (w kG/cm2).
Wiadomo, ze pomiary sa↪niezaleznymi zmiennymi losowymi o rozk ladzie N(µ, 1) (z niez-
nana↪
srednia↪µ i wariancja
↪rowna
↪1). Ile pomiarow nalezy wykonac, zeby zbudowac
przedzia l ufnosci dla µ, o d lugosci 0.4, na poziomie ufnosci 1− α = 0.99?
6.10. Badano wydatki studentow warszawskich na rozrywke↪. Wylosowano 20 stu-
dentow i zanotowano ich wydatki otrzymuja↪c srednia
↪152,95 i odchylenie standardowe
s = 58, 95 (s2 = 1n−1Σn
i=1(xi − x)2). Podac realizacje↪
przedzia lu ufnosci dla srednichwydatkow studenta zak ladaja
losowymi z tego samego rozk ladu normalnego N(µ, 1). Kazdy z dwoch statystykowniezaleznie buduje przedzia l ufnosci dla parametru µ na poziomie ufnosci 0, 8, ale jedenstatystyk ma do dyspozycji probke
↪X-ow zas drugi – probke
↪Y -ow.
• Podac prawdopodobienstwo tego, ze przynajmniej jeden ze statystykow zbudujeprzedzia l, do ktorego nalezy wartosc µ.
• Podac prawdopodobienstwo tego, ze obaj statystycy zbuduja↪przedzia ly, do ktorych
nalezy wartosc µ.
• Obliczy prawdopodobienstwo, ze otrzymane przedzia ly ufnosci nie be↪da
↪mia ly cze
↪sci
wspolnej.
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 19
7. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
7.1. Niech X1, . . . , Xn be↪dzie proba
↪losowa
↪z rozk ladu normalnego N(m, 22). Wery-
fikuje sie↪hipoteze
↪, ze m = 0 za pomoca
↪testu z obszarem krytycznym{
(x1, x2, . . . , xn) : | 1√n
Σni=1xi| > 4
}.
Oblicz rozmiar testu.
7.2. W celu zweryfikowania hipotezy, ze nieznane prawdopodobienstwo sukcesu w po-jedynczej probie jest mniejsze od 0,5 wykonuje sie
↪20 niezaleznych prob i hipoteze
↪odrzuca
sie↪, gdy liczba sukcesow jest wie
↪ksza lub rowna 12. Wyznacz funkcje
↪prawdopodobienstwa
b le↪du pierwszego rodzaju i funkcje
↪prawdopodobienstwa b le
↪du drugiego rodzaju.
7.3. Z populacji N elementow wsrod ktorych jest nieznana liczba D elementow wadli-wych losujemy n elementow i poddajemy je kontroli. Niech x oznacza liczbe
↪wylosowanych
elementow wadliwych. Podaj model statystyczny doswiadczenia. Weryfikacje↪
hipotezyH : D = D0 przeciwko hipotezie K : D > D0, gdzie D0 jest ustalona
↪liczba
↪naturalna
↪
mniejsza↪od N przeprowadzamy za pomoca
↪naste
↪puja
↪cego testu: jezeli x > k, to hipoteze
↪
odrzucamy, w przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy. Wyz-nacz sta la
↪k dla testu na poziomie istotnosci α = 0, 1 przy danych: D0 = 3, N = 10,
n = 3. Jaka jest moc testu przy alternatywie D = 6?
7.4. Niech X1, . . . , Xn be↪dzie proba
↪losowa
↪z rozk ladu normalnego N(m, 22). Hipoteze
↪
H0 : m = 1 przy alternatywie H1 : m = 3 weryfikuje sie↪
za pomoca↪
testu o zbiorzekrytycznym postaci: {(x1, x2, . . . , xn) : Σn
i=1xi > kα}.a) Wyznacz kα, aby otrzymac test o rozmiarze 0,05. Jak duza
↪probe
↪losowa
↪nalezy pobrac,
aby uzyskac test o mocy nie mniejszej niz 0,95?b) Jak zmieni sie
↪kα jesli przyjmiemy α = 0, 01. Jak duza
↪probe
↪losowa
↪nalezy pobrac,
aby przy α = 0, 01 uzyskac test o mocy nie mniejszej niz 0,95?
7.5. Niech x1, x2, . . . , xn be↪da
↪wynikami n-elementowej proby losowej pobranej z
populacji, w ktorej cecha X ma rozk lad jednostajny na przedziale (0, θ). Do wery-fikacji hipotezy H : θ = θ0 przy alternatywie K : θ > θ0 zaproponowano test: gdymax(x1, x2, . . . , xn) = xn:n < c, gdzie c jest pewna
↪sta la
↪, nie mamy podstaw do odrzuce-
nia hipotezy H, gdy max(x1, x2, . . . , xn) = xn:n ≥ c hipoteze↪H odrzucamy na korzysc
hipotezy K. Wykorzystuja↪c fakt, ze statystyka Xn:n ma rozk lad o ge
↪stosci
f(z) ={ nθnzn−1 gdy z ∈ (0, θ)
0 w pozosta lych przypadkach,
a) wyznacz sta la↪c tak, aby rozmiar testu by l rowny 0,1,
b) wyznacz funkcje↪mocy testu,
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 20
c) wyznacz liczebnosc proby aby prawdopodobienstwo pope lnienia b le↪du drugiego rodzaju
dla alternatywy θ = 1, 2θ0 by lo mniejsze niz 0,09.
7.6. Dysponuja↪c jedna
↪obserwacja
↪x o rozk ladzie prawdopodobienstwa o ge
↪stosci
pθ(x) =
{1θe−
xθ gdy x > 0
0 w pozosta lych przypadkach.
weryfikujemy hipoteze↪
H: θ = 10 przy alternatywie K: θ > 10 na podstawie testu oobszarze krytycznym K = {x : x > kα}. Wyznacz kα, aby otrzymany test by l testem napoziomie istotnosci 0,01. Wyznacz moc testu dla wartosci alternatywy rownej 20.
8. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH - TESTY OPARTE NA ILORA-ZIE WIAROGODNOSCI
8.1. Przeprowadzamy n = 10 niezaleznych doswiadczen z nieznanym, jednakowymprawdopodobienstwem sukcesu θ. Niech X oznacza liczbe
↪sukcesow. Podac test najmoc-
niejszy dla weryfikacji hipotezy H0 : θ = 12
przy alternatywie H1 : θ = 34
na poziomieistotnosci 0,05.
8.2. Niech X1, . . . , Xn be↪dzie proba
↪losowa
↪z rozk ladu normalnego N(m, 32). Podac
test najmocniejszy dla weryfikowania hipotezy H0 : m = 2 przy alternatywie H1 : m = 0na poziomie istotnosci 0,1. Jak duza powinna byc licznosc proby, aby b la
↪d drugiego
rodzaju by l nie wie↪kszy niz 0,1.
8.3. Niech X1, . . . , Xn be↪dzie proba
↪losowa
↪z rozk ladu wyk ladniczego Ex(θ) o ge
↪stosci
pθ(x) = θe−θx i x > 0, gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Wyznaczyc test naj-mocniejszy dla testowania hipotezy H0 : θ = θ0 przy alternatywie H1 : θ = θ1, θ0 < θ1ustalone, na poziomie istotnosci 0,05. Podac dok ladna
↪postac testu, gdy θ0 = 1 i n = 10.
Czy otrzymany test jest testem jednostajnie najmocniejszym dla testowania hipotezyH0 : θ = θ0 przy alternatywie H1 : θ > θ0. Wskazowka: Jezeli X ∼ Ex(θ), to2θX ∼ χ2
2.
8.4. Obserwujemy dodatnia↪
zmienna↪
losowa↪X i weryfikujemy hipoteze
↪H0 : X ma
rozk lad o ge↪stosci f(x) = e−x przy alternatywie H1 : X ma rozk lad o ge
↪stosci g(x) = xe−x.
Zbudowac test najmocniejszy na poziomie istotnosci 0,05.
8.5. Dysponuja↪c pojedyncza
↪obserwacja
↪X z rozk ladu o ge
↪stosci
pθ(x) =
{θ
xθ+1 gdy x > 1,0 gdy x ≤ 1,
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 21
gdzie θ > 0 rozwazyc test najmocniejszy na poziomie istotnosci 0,04 dla testowaniahipotezy H: θ = 1 przeciw alternatywie K: θ = 3. Wyznaczyc obszar krytyczny testui obliczyc prawdopodobienstwo b le
↪du drugiego rodzaju.
8.6. Zmienna losowa X ma rozk lad geometryczny o funkcji prawdopodobienstwapθ(x) = θ(1 − θ)x, dla x = 0, 1, 2, . . ., θ ∈ (0, 1) jest nieznanym parametrem. Z rozk laduwylosowano probe
asymptotyczny test oparty na ilorazie wiarogodnosci.
8.8. Niech X1, . . . , X20 be↪dzie proba
↪losowa
↪z rozk ladu normalnego N(0, σ2). Podac
test najmocniejszy dla weryfikowania hipotezy H0 : σ = 2 przy alternatywie H1 : σ = 1na poziomie istotnosci 0,05.
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 22
9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH - POROWNANIE Z NORMA↪
9.1. Dzienne zuzycie wody w pewnej fabryce podlega wahaniom losowym o rozk ladzienormalnym z odchyleniem standardowym rownym 50. Na podstawie 25 dni roku stwierd-zono, ze srednie dzienne zuzycie wody wynosi 1025. Zweryfikowac hipoteze
↪, ze wartosc
oczekiwana µ dziennego zuzycia wody wynosi 1000 przy alternatywie, ze µ > 1000 napoziomie istotnosci 0,02. Podac postac obszaru krytycznego dla odpowiedniego testu iwyznaczyc b la
↪d drugiego rodzaju dla alternatywy µ = 1040. Obliczyc p-wartosc.
9.2. Miesie↪czne wydatki na zywnosc w przeliczeniu na jedna
↪osobe
↪w gospodarst-
wie pracowniczym maja↪
rozk lad normalny. Na podstawie badania 25 losowo wybranychgospodarstw stwierdzono, ze srednie wydatki w tej grupie wynosza
↪250 i odchylenie stan-
dardowe wynosi 50. Czy na podstawie powyzszych danych na poziomie istotnosci 0,05mozna sa
↪dzic, ze wydatki na zywnosc ogo lu gospodarstw przekraczaja
↪230.
Przy jakim poziomie istotnosci decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie?
9.3. Maszyna jest nastawiona tak aby produkowa la kulki lozyskowe maja↪ce przecie
↪tna
↪
srednice↪rowna
↪1. Proba losowa 10 wyprodukowanych kulek przez te
↪maszyne
↪da la srednia
↪
srednice↪rowna
↪1,004 oraz odchylenie standardowe 0.003. Czy na poziomie istotnosci 0,05
jest powod do podejrzen, ze maszyna produkuje kulki niezgodne z norma↪? Zak ladamy, ze
srednica produkowanych kulek ma rozk lad normalny.
9.4. W celu sprawdzenia dok ladnosci wskazan pewnego przyrza↪du pomiarowego doko-
nano 6 pomiarow tej samej wielkosci i uzyskano wyniki:
1, 017 1, 021 1, 015 1, 019 1, 022 1, 019
Zak ladaja↪c, ze wyniki pomiarow maja
↪rozk lad normalny na poziomie istotnosci 0,01 zwe-
ryfikowac hipoteze↪, ze wariancja pomiarow wynosi 0,001.
9.5. Dokonano 12 pomiarow woltomierzem pewnego napie↪cia pra
↪du i otrzymano z tej
proby S2 = 0, 9. Na poziomie istotnosci 0,05 sprawdzic hipoteze↪, ze wariancja pomiarow
napie↪cia tym woltomierzem jest nie wie
↪ksza niz 0,6.
9.6. Czy mozna stwierdzic, ze w transporcie psuje sie↪
25% owocow, jezeli na 200przebadanych owocow by lo 60 zepsutych. Podac wartosc p-value.
9.7. Analityk chce zweryfikowac hipoteze↪, ze 70% inwestorow zagranicznych na
gie ldzie to Amerykanie. Wsrod 210 wylosowanych inwestorow 130 by lo z USA. Czyna podstawie tych danych analityk moze odrzucic hipoteze
↪na poziomie istotnosci 0,05.
Wyznaczyc wartosc p-value. Podac wartosc funkcji mocy testu dla alternatywy: 50%inwestorow zagranicznych to Amerykanie.
9.8. W sondazu na temat jakosci kawy A przeprowadzonym wsrod 90 losowo wybranych
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 23
Na podstawie powyzszych danych weryfikowano hipoteze↪, ze 40% ogo lu klientow stawia
kawie ocene↪wyzsza
↪niz 6 przy alternatywie, ze taka
↪ocene
↪stawia mniej niz 40%. Wyznacz
p-wartosc odpowiedniego testu.
9.9. W celu oszacowania sredniej powierzchni mieszkan wybudowanych w 2008 rokuw pewnym duzym miescie, wylosowano niezaleznie 150 wybudowanych w rozwazanymroku mieszkan i otrzymano dla nich naste
↪pujcy rozk lad powierzchni mieszkalnej (w m2)
powierzchnia w m2 liczba mieszkan(25,35] 20(35,45] 25(45,55] 45(55,65] 40(65,75] 20
Wyznacz przedzia l ufnosci dla sredniej powierzchni mieszkania, na poziomie ufnosci0,9.
Testujemy hipoteze↪zerowa
↪H, mowia
↪ca
↪, ze srednia powierzchnia mieszkania jest rowna
50 m2 przeciw alternatywie, ze jest ona rozna od 50 m2. Przy zaobserwowanych danychoblicz p-wartosc odpowiedniego testu. (Do obu polecen wykorzystaj rozk lady asympto-tyczne)
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 24
10. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH - POROWNANIE DWOCHI WIE
↪CEJ POPULACJI
10.1. Rozk lad tygodniowego czasu poswie↪canego na nauke
↪poza uczelnia
↪studentow
I roku studiow dziennych na SGH jest rozk ladem normalnym N(m, 52), natomiast wrozk ladzie normalnym tygodniowego czasu nauki studentow II roku odchylenie standar-dowe wynosi 6. Pobrano niezaleznie 10-elementowa
↪probe
↪losowa
↪studentow I roku i
18-elementowa↪
probe↪
studentow II roku. Srednie w tych probach wynosi ly 20 i 15. Czyna poziomie istotnosci 0,1 mozna przyja
↪c, ze sredni czas nauki poza uczelnia
↪dla stu-
dentow obu lat jest taki sam? Do jakiego przedzia lu powinny nalezec wartosci odpowied-niej statystyki aby nie by lo podstaw do odrzucenia hipotezy? Jaka jest moc testu przyalternatywie, ze studenci II roku ucza
↪sie
↪o 3 godz. krocej?
10.2. W pewnym sklepie zwazono jaja dostarczane przez dwoch roznych dostawcow.Pobrano po 10 jaj od kazdego dostawcy i otrzymano wyniki:
dostawca I: Σ10i=1X1i = 645 Σ10
i=1X21i = 41715
dostawca II: Σ10i=1X2i = 680 s2 = 10
Na poziomie istotnosci 0,05 zweryfikowac hipoteze↪, ze srednie cie
↪zary jaj sa
↪takie same.
10.3. Pewnej grupie 12 pacjentow leczonych na nadcisnienie podano odpowiedni lek.Wyniki pomiaru cisnienia krwi w tej grupie by ly naste
Zak ladaja↪c, ze rozk lad cisnienia jest normalny zweryfikowac hipoteze
↪o nieskutecznosci
podanego leku, przy czym lek uwazamy za nieskuteczny jesli przecie↪tny spadek cisnienia
jest nie wie↪kszy niz 20 jednostek.
10.4. Wazna↪
miara↪
ryzyka zwia↪zana
↪z zakupem akcji jest wariancja wahania ceny
akcji. Sa↪dzono, ze wariancje wahan cen akcji A i B sa
↪rowne. Analityk chce sprawdzic
przypuszczenie, ze wariancja wahan ceny akcji A jest wie↪ksza niz wariancja ceny B. Proba
losowa z lozona z 26 dziennych cen akcji A da la odchylenie standardowe rowne 2,55 aproba losowa z lozona z 21 dziennych cen akcji B da la odchylenie standardowe rowne 1,86.Zak ladaja
↪c, ze wahania cen maja
↪rozk lad normalny i pomiary cen by ly niezalezne zwery-
fikowac w lasciwa↪hipoteze
↪na poziomie istotnosci 0,01. Podac postac obszaru krytycznego
w lasciwego testu. Co to jest b la↪d pierwszego rodzaju i b la
↪d drugiegu rodzaju? Co to jest
funkcja mocy testu?
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 25
10.5. Dla sprawdzenia stabilnosci pracy maszyny pobrano dwie probki d lugosciwykonywanych produktow, pierwsza
↪w pocza
↪tkowej fazie eksploatacji a druga
↪po mie-
sie↪cznej pracy. Otrzymano wyniki:
dla pierwszej proby losowej: n1 = 23, S21 = 0, 1446,
dla drugiej proby losowej: n2 = 18, S22 = 0, 1521.
Zweryfikowac hipoteze↪
o rownosci wariancji wymiarow wykonywanych produktow wbadanym czasie.
10.6. Wsrod 200 po la↪czen centrali A by lo 20 omy lkowych , natomiast na 150 po la
↪czen
centrali B z lych by lo 18. Zweryfikowac hipoteze↪, ze procent z lych po la
↪czen jest jednakowy
w obu centralach.
10.7. Sprawdzono ceny jednego kwiatu rozy ogrodowej w trzech miastach M, W, P.Stosuja
↪c test analizy wariancji zbadac czy ponizsze dane udowadniaja
↪zaleznosc ceny od
miasta. Podac za lozenia przy ktorych mozna zastosowac ten test.
miasto srednia cena (z 10 powtorzen)M 10,5W 9,1P 8,3
3∑i=1
10∑j=1
(xi,j − xi)2 = 2, 7.
10.8. W czterech ulach zmierzono srednice plastrow zbudowanych przez pszczo ly. Wkazdym ulu wykonano po 10 pomiarow. Otrzymano naste
↪puja
↪ce wyniki:
ul sredni cie↪zar plastra
I 5,6II 5,4III 5,1IV 5,5
4∑i=1
10∑j=1
x2i,j = 1170.
Stosuja↪c test analizy wariancji zbadac czy powyzsze dane udowadniaja
↪zaleznosc cie
↪zaru
plastra od ula. Podac za lozenia przy ktorych mozna zastosowac ten test.
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 26
10.9. Zanotowano ceny pewnego produktu w trzech miastachX1, X2, . . . , X10 ceny w pierwszym miescie,Y1, Y2, . . . , Y15 ceny w drugim miescie,Z1, Z2, . . . , Z5 ceny w trzecim miescie.Zak ladamy, ze zmienne losowe Xi stanowia
↪probe losowa
↪z rozk ladu N(m1, σ
2), zmienneYi stanowia
↪probe losowa
↪z rozk ladu N(m2, σ
2), zmienne Zi stanowia↪
probe losowa↪
zrozk ladu N(m3, σ
2). Zmienne sa↪niezalezne. Wiadomo, ze
X = 10 Y = 12 Z = 8
S2X = 3 S2
Y = 2 S2Z = 4
gdzie S2 = 1nΣni=1(xi − x)2. Zweryfikowac hipoteze
↪o rownosci przecie
↪tnych cen w trzech
miastach na poziomie istotnosci 0,01.
10.10. Sondaz opinii publicznej na temat frekwencji oczekiwanej na wyborach samo-rza
↪dowych wykaza l, ze na dwa tygodnie przed wyborami w losowo wybranej grupie
1000 osob 620 zamierza uczestniczyc w g losowaniu, a po tygodniu w grupie 990 osobw g losowaniu zamierza uczestniczyc 680 osob. Probki by ly niezalezne. Czy na podstawietych wynikow na poziomie istotnosci 0.02 mozna sa
↪dzic, ze procent osob maja
↪cych za-
miar uczestniczyc w g losowaniu wzros l? Przy jakim poziomie istotnosci twoj osa↪d ulegnie
zmianie?
11. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH - TESTY ZGODNOSCI I NIE-ZALEZNOSCI.
11.1. Za lozmy, ze naste↪puja
↪ce liczby sa
↪prosta
↪proba
↪losowa
↪z pewnego rozk ladu
cia↪g lego:
−1.5; 0.3; 0.8; 2.0;−2.0;−0.8; 0.6;−0.6; 1.5;−0.3
Rozwazmy zagadnienie weryfikacji hipotezy zerowej “H0 : proba pochodzi z rozk laduN(0, 1)”; przeciw hipotezie alternatywnej “H1 : proba pochodzi z rozk ladu innego, nizN(0, 1)”. Przeprowadzic test Ko lmogorowa na poziomie istotnosci 0.10.
11.2. W celu zbadania zaleznosci pomie↪dzy p lcia
↪klientow i ich preferencjami, wylosowano
probe↪200 kobiet i me
↪zczyzn i zadano im pytanie: czy uwazasz za lepszy produkt firmy A
czy B? Wyniki by ly naste↪puja
↪ce:
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 27
Wybrany produkt kobiety me↪zczyzni
wole↪A 20 45
wole↪B 60 15
nie widze↪roznicy 40 20
Zweryfikowac hipoteze↪
mowia↪ca
↪, ze preferencje klientow nie zaleza
↪od p lci, na poziomie
istotnosci 0,10.
11.3. Producent zegarkow chce dowiedziec sie↪
czy klienci maja↪
preferencje co dokoloru blatu zegarka. Proba 80 losowo wybranych klientow da la naste
↪puja
↪ce wyniki co do
wyboru koloru:
bia ly bra↪zowy ecru czarny
12 40 8 20
Zweryfikuj hipoteze↪o braku preferencji na poziomie istotnosci 0,1.
11.4. Na przebadanych 200 szczurow u 60 stwierdzono objawy obnizonego refleksu.Wsrod szczurow z obnizonym refleksem tylko 20 dostawa lo pewien preparat P, a wszys-tkich szczurow karmionych tym preparatem by lo 80. Czy mozna uznac, ze karmieniepreparatem P wp lywa na obnizenie refleksu u szczurow?
11.5. Badano zwia↪zek pomie
↪dzy wykszta lceniem a zarobkami. Wykszta lcenie kazdej
z badanych osob sklasyfikowano jako podstawowe, srednie lub wyzsze. Zarobki zosta lysklasyfikowane na trzech poziomach. Wyniki przedstawia ponizsza tabela.
podstawowe srednie wyzsze< 1000 54 78 128
1000− 2000 75 122 73> 2000 71 40 49
Zweryfikowac hipoteze↪o niezaleznosci obu cech na poziomie istotnosci 0,025.
11.6. Pewien produkt mozna wytwarzac trzema metodami produkcji. Wysunie↪to
hipoteze↪, ze wadliwosc nie zalezy od metody produkcji. Wylosowano niezaleznie od
metody produkcji probe↪270 sztuk i otrzymano wyniki
Metoda produkcji jakosc dobra jakosc z lametoda I 40 10metoda II 80 60metoda III 60 20
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 28
Zweryfikowac w lasciwa↪
hipoteze↪
na poziomie istotnosci 0,05. Czy twoja decyzja ulegniezmianie przy przyje
↪ciu poziomu istotnosci 0,01?
11.7. W lasciciel podejrzewa, ze czarne szale sa↪
kupowane dwa razy cze↪sciej niz
bra↪zowe, a te z kolei dwa razy cze
↪sciej niz bia le. Czy mozna uznac przypuszczenie
sprzedawcy za uzasadnione, jesli na 350 sprzedanych szali 220 by lo czarnych i 90 bra↪zowych.
Przyja↪c poziom istotnosci 0,01.
11.8. Badano popyt na trzy rownorze↪dne produkty A, B, C. Zbadano 120 osob wsrod
ktorych produkt A wybra lo 45 osob, produkt B 50 osob i produkt C 25 osob. Zweryfikujhipoteze
↪, ze stosunek liczby osob kupuja
↪cych produkt A, B, C jest jak 5:5:2. Przyjmij
poziom istotnosci 0,05.
11.9. Kandydatow na kierowcow poddano badaniom sprawdzaja↪cym refleks. Kazdy
kandydat mia l wykonac okreslone czynnosci na trzech typach aparatow. Przebadano 1000osb otrzymuja
↪c wyniki
Liczba wykonanych zadan 0 1 2 3Liczba osob 300 200 200 300
Testem χ2, na poziomie istotnosci 0,01, zweryfikowac hipoteze↪, ze rozk lad ten jest rozk ladem
dwumianowym B(3, 12).
12. MODEL BAYESOWSKI
12.1. Produkuje sie↪
duze serie lamp elektrycznych. Czas zycia (trwa losc) lampyjest zmienna
↪losowa
↪o rozk ladzie wyk ladniczym z nieznanym parametrem θ > 0. Serie
↪
uwaza sie↪
za udana↪, gdy srednia trwa losc lamp w serii jest wie
↪ksza od t. Parametr θ w
poszczegolnych partiach lamp zmienia sie↪
zaleznie od jakosci wolframu, z ktorego pro-dukuje sie
↪w lokna zarzenia; zmiennosc tego parametru opisuje sie
↪za pomoca
↪rozk ladu
o ge↪stosci π(θ) = 1
(k−1)!θk−1e−θ1(0,∞)(θ). Z pewnej serii produkcyjnej wybrano losowo n
lamp i w wyniku zmierzenia ich trwa losci otrzymano (X1, X2, . . . , Xn). Obliczyc na tejpodstawie prawdopodobienstwo a posteriori, ze seria ta jest udana. Obliczyc estymatorbayesowski parametru θ przy kwadratowej funkcji straty.
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 29
12.2. Niech X be↪dzie liczb sukcesow w n niezaleznych probach Bernoulliego z praw-
dopodobienstwem sukcesu θ ∈ (0, 1) nieznanym. Zak ladamy ze parametr θ ma rozk lad apriori Beta o ge
↪stosci
π(θ) = θ(1− θ)1(0,1)(θ)
Wyznacz rozk lad a posteriori przy wartosci x zmiennej losowej X. Wyznacz bayesowskiestymator najwie
↪kszej wiarogodnosci parametru θ i estymator bayesowski przy kwadra-
towej funkcji straty.
12.3. W pewnej piekarni cie↪zar chleba w duzym wypieku jest zmienna
↪losowa
↪o
rozk ladzie N(1, 1/θ). Parametr θ zmienia sie↪
od wypieku do wypieku wed lug rozk laduchi-kwadrat o 6 stopniach swobody. Z pewnego wypieku wylosowano 10 bochenkow otrzy-muja
12.4. Wiadomo, ze liczby 0,38, 0,65, 0,72, 1,00 sa↪
niezaleznymi realizacjami zmien-nej losowej o rozk ladzie jednostajnym na przedziale (0, θ) gdzie θ > 0 jest nieznanymparametrem. Zak ladamy, ze parametr θ jest zmienna
↪losowa
↪o rozk ladzie jednostajnym
na przedziale [0, 5, 2]. Wyznacz mediane↪
rozk ladu a posteriori i wartosc bayesowskiegoestymatora parametru θ przy kwadratowej funkcji straty.
12.5. Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn sa↪niezalezne o tym samym rozk ladzie Poissona
Poiss(θ), θ > 0. Parametr θ ma rozk lad a priori Gamma(α, β). Wyznacz estymatorbayesowski parametru θ przy kwadratowej funkcji straty.
12.6. Niech X be↪dzie liczba
↪sukcsow w 3 probach Bernoulliego z nieznanym praw-
dopodobienstwem sukcesu θ ∈ (0, 1). O parametrze θ zak ladamy, ze ma rozk lad a priorijednostajny na przedziale (0,1). Przy X = 2 wyznacz estymator metoda
↪momentow
parametru θ i estymator bayesowski parametru θ przy kwadratowej funkcji straty.
Wskazowka: ∫ 1
0θk(1− θ)dθ =
1
(k + 1)(k + 2)
12.7. Niech X1, . . . , X4 be↪da
↪niezaleznymi zmiennymi losowymi z rozk ladu jednosta-
jnego na przedziale (0, θ], gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. W wyniku obserwacjiotrzymano probk:
2, 3, 2, 5, 1.
Za lozmy, ze parametr θ ma rozk lad a priori o ge↪stosci π(θ) = 1
24θ4e−θ dla θ > 0 i π(θ) =
0 w przeciwnym przypadku. Wyznacz wartosc bayesowskiego estymatora najwie↪kszej
wiarogodnosci dla tej probki.
Agata Boratynska Zadania ze statystyki matematycznej 30
12.8. Przypuscmy, ze czas remisji pewnej choroby (mierzony w latach) jest zmienna↪
losowa↪o rozk ladzie jednostajnym na przedziale [0, θ], gdzie θ jest nieznanym parametrem.
Badacz przyjmuje, ze rozk lad a priori parametru θ jest rozk ladem o ge↪stosci f(θ) =
(2θ
)3dla θ > 2 i 0 w p.p. W probce losowej n-elementowej najduzszy czas remisji wynios l 5 lat.Przy tej obserwacji wyznacz rozk lad a posteriori dla θ i bayesowski estymator parametruθ przy kwadratowej funkcji straty oraz bayesowski estymator najwie
↪kszej wiarygodnosci
dla θ.Wskazowka: Jesli X1, X2, . . . , Xn sa
↪i.i.d. z rozk ladu jednostajnego na przedziale (0, θ),
to rozkad zmiennej max{X1, X2, . . . , Xn} ma ge↪stosc f(x) = nxn−1