AFD-AFN

Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales 1

TEMA 4: AUTÓMATAS FINITOS(Parte A)

María Llanos Alonso Díaz-MartaAntonio Fernández Caballero

Departamento de Sistemas InformáticosUniversidad de Castilla-la Mancha


TEMA 4: AUTÓMATAS FINITOS

INDICE

Sistemas de estados finitosAutómatas finitos deterministasAutómatas finitos no deterministasAutómatas finitos con transiciones nulas AFND-εAutómatas finitos y lenguajes regulares


SISTEMAS DE ESTADOS FINITOS (1)Un Sistema de Estados Finitos es un dispositivo físico o lógico caracterizado porque, en un momento dado, puede encontrarse en un estado de entre un conjunto finito de ellos y éstos resumen el comportamiento del sistema hasta este instante dado.Ejemplos:

Semáforo: (rojo, amarillo, verde).Ascensor: (parado-piso-i, en-marcha).Máquina expendedora: (espera, coge-dinero, sirve ...).

Para caracterizar estos sistemas se usan modelos lógicos que simulan el comportamiento de un sistema de estados finitos.




SISTEMAS DE ESTADOS FINITOS (2)Un Autómata Finito es, en particular, un sistema de estados finitos que reconoce palabras, y, en general, un modelo matemático para describir sistemas de estados finitos.

Ejemplo de Sistema de Estados Finitos (SEF). Control de un ascensor

Estados: (parado-piso-i, en-marcha-hasta-i)Acciones: (pulsar-boton-piso-i, stop)























AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (1)DESCRIPCIÓN INFORMAL

Un Autómata Finito Determinista es un SEF que “reconoce palabras de un determinado lenguaje”. Se denomina determinista porque su comportamiento queda determinado conocida la entrada.Se compone de:

Una Cinta de entrada dividida en celdas, la cual contiene la “palabra” de entrada (un símbolo por cada celda y desde la izquierda).Una Cabeza lectora, la cual apunta a una celda de la cinta determinada.Un Control finito; es como una “caja negra” que contiene el mecanismo de “transición” entre los estados en donde puede “permanecer”.



AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (2)

a a a b b

Cabeza lectora

Control

Autómata finito

Estado: Inicial




a a a b b

Cabeza lectora

Control

Autómata finito

Estado: Tras leer a




a a a b b

Cabeza lectora

Control

Autómata finito

Estado: Siguiente a




a a a b b

Cabeza lectora

Control

Autómata finito

Estado: Aceptado




Funcionamiento: Cada lenguaje tiene asociado (al menos) un Autómata Finito.

Lee los símbolos de entrada de izquierda a derecha.Cambia de estado con cada símbolo.Según el tipo de estado en donde quede tras el último símbolo leído, se decide si la palabra se acepta o no.Para leer una palabra de n símbolos, el AF realiza n transiciones, visitando (el control) n+1 estados.




a1, a2, …, an

q0

a1, a2, …, an

qi1⇒ ⇒

a1, a2, …, an

qin- 1qF⇒

…….



AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (5)DESCRIPCIÓN FORMAL

Un AFD es una quíntupla M = (Q, Σ, δ, q0, F) donde:Q: Conjunto finito y no vacío de estados {q0, q1, …, qn-1}.Σ: Alfabeto de entrada: conjunto finito y no vacío de símbolos.q0 ∈ Q: Estado inicial.F ⊆ Q: Subconjunto de estados finales.δ: Función de transición: reglas de cambio de estados.

δ: Q x Σ → Q (totalmente definida)donde, si δ(p, a) = q, significa que el AFD pasa del estado p al estado q cuando lee la entrada a.



AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (6)El término determinista hace referencia a que desde un estado p ∈ Q y una entrada a ∈ Σ, el AFD cambia de forma única y determinista a uno y solo uno de los estados de Q.La simplicidad del AFD radica en que, para cambiar de estado, basta conocer el estado actual y el símbolo de entrada correspondiente, sin necesidad de conocer qué ha pasado hasta este momento (no hace falta memoria adicional).



AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (7)REPRESENTACIÓN (1)

Un AFD M = (Q, Σ, δ, q0, F) puede representarse:a): Como un grafo dirigido: Los nodos son los estados Q y las aristas son ternas (p,q,a) ⇔ δ(p, a) = q, donde p,q ∈Q y a ∈ Σ.

Existen estados no finales a donde va cualquier salida no indicada, denominados estados sumideros



EJEMPLO

Consideremos el AFD M = ({q0,q1,q2,q3}, {a,b}, δ, q0, {q2}), donde δ viene dada por:

δ(q0,a) = q1 δ(q0,b) = q3

δ(q1,a) = q2 δ(q1,b) = q1

δ(q2,a) = q3 δ(q2,b) = q3

δ(q3,a) = q3 δ(q3,b) = q3

Representar este AFD mediante un grafo dirigido.



AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (8)REPRESENTACIÓN (2)

Un AFD M = (Q, Σ, δ, q0, F) puede representarse:b): Como una tabla de transiciones de la función de transición δ, en donde:

Las columnas están etiquetas por los símbolos de Σ.Las filas están etiquetadas por los estados de Q.El estado inicial se simboliza anteponiendo al símbolo la marca >.Los estados finales con la marca *.Una casilla [p,a], contendrá q si y solo si δ(p, a) = qcon p,q ∈ Q y a ∈ Σ.



EJEMPLO

M1 = ({q0,q1,q2}, {a,b}, δ, q0, {q0,q1})



AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (9)LENGUAJE ACEPTADO POR UN AFD (1)

Sea un AFD M = (Q, Σ, δ, q0, F).Una descripción instantánea (DI) es un par (q,α) que define la situación de M en un instante dado en el reconocimiento de una palabra ω ∈ Σ, en donde q es el estado actual y α es el sufijo de ω que falta por leer.Se denomina transición válida a la relación ├M entre dos DI’s definida como: (q,aα) ├M (p,α) ⇔ δ(q, a) = p.A partir de ├M se define, de forma natural, el cierre reflexivo y transitivo, ├*

M: Si I1, I2 son dos DI’s, entonces I1├*

M I2 ⇔ ∃J1, J2,…, Jn DI’s | I1 = J1├M J2…├M Jn = I2, con n ≥ 0.



EJEMPLO

Si tenemos el siguiente AFD:

tenemos que (q0,aabb)├ (q0,abb)├ (q0,bb)├ (q1,b)



AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (10)LENGUAJE ACEPTADO POR UN AFD (2)

Veremos ahora otra forma equivalente de definir el Lenguaje aceptado por un AFD.Definiremos Función de transición extendida a palabrasde δ y lo notaremos como δ∗ a una función:

δ∗: Q x Σ∗ → Q como 1. δ∗(q, ε) = q2. δ∗(q, αa) = δ(δ∗(q,α),a), ∀q ∈ Q, α ∈ Σ∗, a ∈ Σ3. Equivalentemente:

δ∗(q,aα) = δ∗(δ(q,a),α), ∀q ∈ Q, α ∈ Σ∗, a ∈ Σ



EJEMPLO

δ∗(q0,abb) = δ(δ∗(q0,ab),b) = δ(δ(δ(δ∗(q0,ε),a),b),b) = q1




LENGUAJE ACEPTADO POR UN AFD (3)Segunda definición de Lenguaje aceptado por un AFD a partir de la definición de δ∗.Una palabra ω ∈ Σ∗ es aceptada por un AFD M si δ∗(q0,ω) ∈ F.Se define el Lenguaje aceptado por M al conjunto:

L(M) = { ω ∈ Σ∗ | δ∗(q0,ω) ∈ F }



EJEMPLO (1)Construir un AFD para reconocer las cadenas binarias que tengan un número impar de unos.

Alfabeto de entrada será: Σ = {0,1}Los estados tienen que representar las posibles situaciones:

La subcadena leída hasta ahora tiene número par de unos q0

La subcadena leída hasta ahora tiene número impar de unos q1

q0 q1

0

1

0 1



EJEMPLO (1)Construir un AFD para reconocer las cadenas binarias que tengan un número impar de unos.

Alfabeto de entrada será: Σ = {0,1}Los estados tienen que representar las posibles situaciones:

La subcadena leída hasta ahora tiene número par de unos q0

La subcadena leída hasta ahora tiene número impar de unos q1

q0 q1

0

1

0 1



EJEMPLO (2)

Construir un AFD para reconocer las cadenas válidas de ADN.Una cadena de ADN está formada por dos cadenas.La información genética reside en el orden en que aparecen las cuatro bases Adenina, Timina, Guanina y Citosina. Además se conoce que por condicionante químicos la Adenina sólo puede emparejarse con la Timina y la Citosina con la Guanina. No permitimos la cadena ε.



EJEMPLO (2)



EJEMPLO (2)



EJEMPLO (2)



EJEMPLO (3)

Representar el autómata finito que genera el lenguajeL = {abna | n ≥ 0}.

q0 q1b

a,b

a,b

a

q2 q3

b a



PROBLEMAS

1.Dados los siguientes AFD AFD1 = ( {A,B}, {a,b,c}, δ1, A, {B} )AFD2 = ( {A,B}, {a,b,c}, δ2, A, {B} )

Determinar el lenguaje aceptado por cada uno de ellos.

BBBB

ABAA

cbaδ1

BBBBAABAcbaδ2



PROBLEMAS

2. Construir los AFD que acepten los siguientes lenguajes con el alfabeto {0,1}.a) El conjunto de todas las cadenas terminadas en 00.b) El conjunto de todas las cadenas con tres ceros

consecutivos.c) El conjunto de todas las cadenas en las que el número de

ceros sea divisible por 5 y el número de unos sea divisible por 3.

d) El conjunto de todas las cadenas que comiencen por 1 y que, si se interpretan como la representación binaria de un entero, sean múltiplos de 5 (Ejemplo: 101, 1010, 1111).




ESTADOS ACCESIBLES. AUTÓMATA CONEXO Sea un AFD M, entonces:

Un estado q ∈ Q es accesible desde otro estado p ∈ Q si existe una palabra ω ∈ Σ* tal que δ∗(p,ω) = q.Nota: Cualquier estado es siempre accesible desde él mismo a través de la palabra vacía ε.Un AFD es conexo si cualquiera de sus estados es accesible desde el estado inicial q0.



EJEMPLO




AFD CONEXO EQUIVALENTE (1)Sea un AFD M. Llamaremos Mc al subautómataconexo de M donde:

Qc = {q | q ∈ Q y q es accesible en M desde q0}Σc = Σq0c = q0Fc = F ∩ Qcδc será una restricción de δ a Qc x Σc → Qc




AFD CONEXO EQUIVALENTE (2)Propiedad: Dado un AFD M siempre existe un AFD conexo Mc equivalente a M.Demostraremos la doble inclusión:

⇒ Si x ∈ L(M) ⇒ δ* (q0, x) ∈ F⇒ δ* (q0, x) = p ∈ F, entonces p es accesible⇒ δ* (q0, x) ∈ F ∩ Qc⇒ δ* (q0, x) ∈ Fc⇒ x ∈ L(Mc)

⇐ Si x ∈ L(Mc) ⇒ δ* (q0, x) ∈ Fc ⊆ F⇒ δ* (q0, x) ∈ F⇒ x ∈ L(M)


TEMA 4: AUTÓMATAS FINITOSAUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (15)

ALGORITMO PARA AFD CONEXO EQUIVALENTEVeremos un algoritmo que, basado en la definición de AFD conexo, busca en “anchura” en el grafo desde q0 hasta completar todos los posibles caminos dirigidos desde este estado inicial.Dado un AFD M = (Q, Σ, δ, q0, F) calcular el AFD conexo Mc = (Qc, Σ, δc, q0, Fc).1. Qc = {q0} e i = 0, número de fila.2. Mientras hay estado qj ∈ Qc y qj no esté en la tabla, hacer:

a) Crear una fila i en la tabla para qjb) Rellenar fila i con los estados Ei = {q | δ(qj , a) = q, a ∈ Σ} c) Etiquetar nuevas filas con los estados Nuevos = Ei - Qcd) Qc = Qc∪ Nuevos e i = i + 1

3. Fc = F ∩ Qc



EJEMPLO

Construir el AFD conexo Mc para el siguiente AFD:




MINIMIZACIÓN DE AFDs (1)Dado un AFD M podemos intuir que varios estados se pueden “comportar” de similar manera ante una palabra o subpalabra ω ∈ Σ∗ de entrada.Informalmente, dos estados p y q serán equivalentes si, cuando estamos reconociendo una palabra ω, lo que ocurra tras leer ω desde p es lo mismo que leer ω desde q.




MINIMIZACIÓN DE AFDs (2)Formalmente: Hemos de definir la relación E. Dos estados son equivalentes y lo notamos por pEq si:∀x ∈ Σ∗, δ*(p, x) ∈ F ⇔ δ*(q, x) ∈ FDos estados son equivalentes en longitud n y lo notaremos como pEnq si:∀x ∈ Σ∗, |x| ≤ n, δ*(p, x) ∈ F ⇔ δ*(q, x) ∈ FA partir de las definiciones anteriores, se sigue que pEq⇒ pEnq, ∀n, y también que pEnq ⇒ pEkq, ∀k < n.



EJEMPLO

q0 q1

q2q3

>1

10

0

0

10,1


TEMA 4: AUTÓMATAS FINITOSAUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (18)

MINIMIZACIÓN DE AFDs (3)Dado un AFD M. Las relaciones E y Ei son relaciones de equivalencia. Por lo tanto existen los conjuntos cocientes Q´ = Q/E y Qi = Q/Ei .

Q/E0 = Q0 = {Q00, Q01, ...}Q/E1 = Q1 = {Q10, Q11, ...}...Q/Em, = Qm = {Qm0, Qm1, ...}

Se sabe que: Si pEi+1q ⇒ pEiq.Dado Qi = {Qi0, Qi1, ... , Qim} y p, q ∈ Qij , entonces se cumple:pEi+1q ⇔ ∀a ∈ Σ, ∃Qik ∈ Qi | δ(p, a), δ(q, a) ∈ QikEsto significa que podemos obtener Qi+1 a partir de Qi, empezando por Q0.




MINIMIZACIÓN DE AFDs (4)ALGORITMO DEL CALCULO DE LOS CONJUNTOS COCIENTES Qi

1. Q0 = { Q-F, F }, i = 02. Mientras haya cambios (Qi ≠ Qi+1)

a) Qi = { Qi0, Qi1, ・・・Qim }b) Para cada Qij ∈ Qi hacer subgrupos S1, S2, ..., Sh

tales que:p, q ∈ Sr ⇔ ∀a ∈ Σ, ∃Qik | δ (p, a) ∧ δ (q, a) ∈ Qik

c) i = i + 1



EJEMPLO (1)Calcular las clases de equivalencia Q/E del AFD:

q0 q1

q2q3

>1

10

0

0

10,1

Paso 1: Q0

Q00 = {q0, q1, q2} (no finales) ; Q01 = {q3} (finales)

Paso 2: Q1

Q10 = Q00 ; Q11 = Q01

Paso 3: Q1 = Q0 ⇒ FIN

Q01Q01q3Q01

Q00Q01q2

Q00Q01q1Q00

Q00Q01q0

10δ



EJEMPLO (2)Calcular las clases de equivalencia Q/E del AFD:

q0 q1

q3q2

>0

11

1

0

0,10

0

q4

0 1

q5

1



AUTÓMATAS FINITOS DETERMINISTAS (20)MINIMIZACIÓN DE AFDs (5)

Entrada: AFD M = (Q, Σ, δ, q0, F).Salida: AFD M’ = (Q’, Σ, δ’, q’0, F’) tal que L(M) = L(M’) y |Q’| ≤ |Q|.1. Eliminar de Q todos los estados inaccesibles desde q0. Es

decir, obtener Mc de M.2. Construir Q’ = Q/E de Mc.3. Construir el autómata M’ como sigue:

Q’ = Q/E = {Q’0, Q’1, ..., Q’n}q’0 = Q’i ∈ Q’ con q0 ∈ Q’iF’ = {Q’i ∈ Q’ con Q’i ⊆ F}δ’(Q’i,a) = Q’j ⇔ ∃p ∈ Q’i tal que δ(p,a) ∈ Q’j



EJEMPLOMinimizar el siguiente AFD:

q0 q1

q3q2

>0

11

1

0

0,10

0

q4

0 1

q5

1

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