U U U U U U U U U N N N N N N N N N I I I I I I I I I V V V V V V V V V E E E E E E E E E R R R R R R R R R S S S S S S S S S I I I I I I I I I D D D D D D D D D A A A A A A A A A D D D D D D D D D C C C C C C C C C E E E E E E E E E N N N N N N N N N T T T T T T T T T R R R R R R R R R A A A A A A A A A L L L L L L L L L D D D D D D D D D E E E E E E E E E L L L L L L L L L E E E E E E E E E C C C C C C C C C U U U U U U U U U A A A A A A A A A D D D D D D D D D O O O O O O O O O R R R R R R R R R F F F F F F F F F A A A A A A A A A C C C C C C C C C U U U U U U U U U L L L L L L L L L T T T T T T T T T A A A A A A A A A D D D D D D D D D D D D D D D D D D E E E E E E E E E C C C C C C C C C I I I I I I I I I E E E E E E E E E N N N N N N N N N C C C C C C C C C I I I I I I I I I A A A A A A A A A S S S S S S S S S A A A A A A A A A D D D D D D D D D M M M M M M M M M I I I I I I I I I N N N N N N N N N I I I I I I I I I S S S S S S S S S T T T T T T T T T R R R R R R R R R A A A A A A A A A T T T T T T T T T I I I I I I I I I V V V V V V V V V A A A A A A A A A S S S S S S S S S I I I S S S E E E D D D SOLUCIONARIO SEGUNDO TRABAJO: MATEMÁTICA FINANCIERA II Elaborado por: Ing. Alfred Dieter Kolb Alvarado M.B.A. 1 Periodo: Octubre 2009 – Marzo 2010 Materia: Matemática Financiera II Tarea para entregar 1 de 2 EJERCICIOS VAN, TIR, TASA REAL 1.- Indique los conceptos: - Proyectos convencionales: Es el que comienza con un flujo de efectivo negativo que representa la inversión inicial y posteriormente siguen una serie de flujos positivos hasta el final de la vida útil. Ejemplo de esto es la compra de una acción o bono. Los criterios de aceptación TIR y VAN coinciden. - Proyectos mutuamente excluyentes: Cuando de un conjunto de proyectos se elige un proyecto que compite por los limitados recursos que tiene una empresa, por lo que se deja de lado los otros proyectos, se decide por el que genere un mayor rendimiento. Puede generar decisiones contrarias del TIR y VAN. - Costo de oportunidad: Es la tasa o valor que se deja de percibir al no tomar esa opción de inversión y colocarla en otra. Generalmente se utiliza cuando el dinero es propio. - Costo de capital: Es la tasa o valor que se debe cancelar por la utilización del dinero que fue tomado como un crédito para financiar una inversión en un proyecto. - VAN (Valor Actual Neto ó Valor presente neto): Es la suma de los flujos netos de caja actualizados, menos la inversión inicial. El proyecto de inversión, según este criterio, se acepta cuando el valor presente neto es positivo, dado que agrega capital a la empresa. - TIR (Tasa Interna de Rentabilidad ó Tasa Interna de Retorno): Es la tasa que hace que el valor presente neto sea igual a cero, o tasa que iguala la inversión inicial con la suma de los flujos netos actualizados. Según la TIR, el proyecto es rentable cuando la TIR es mayor que la tasa de costo de capital, dado que la empresa ganará más ejecutando el proyecto, que efectuando otro tipo de inversión. - Payback (Periodo de recuperación de la inversión): Es el tiempo necesario para recuperar la inversión inicial. Según este criterio, el proyecto es conveniente cuando el período de recupero es menor que el horizonte económico de la inversión, dado que se recupera la inversión inicial antes de finalizado el plazo total. Existen dos métodos: Payback contable y Payback Discount ó Periodo de Recuperación Descontado.
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SOLUCIONARIO SEGUNDO TRABAJO: MATEMÁTICA FINANCIERA II Elaborado por: Ing. Alfred Dieter Kolb Alvarado M.B.A.
1
Periodo: Octubre 2009 – Marzo 2010 Materia: Matemática Financiera II
Tarea para entregar 1 de 2
EJERCICIOS VAN, TIR, TASA REAL
1.- Indique los conceptos:
- Proyectos convencionales: Es el que comienza con un flujo de efectivo negativo
que representa la inversión inicial y posteriormente siguen una serie de flujos
positivos hasta el final de la vida útil. Ejemplo de esto es la compra de una acción o
bono. Los criterios de aceptación TIR y VAN coinciden.
- Proyectos mutuamente excluyentes: Cuando de un conjunto de proyectos se
elige un proyecto que compite por los limitados recursos que tiene una empresa,
por lo que se deja de lado los otros proyectos, se decide por el que genere un
mayor rendimiento. Puede generar decisiones contrarias del TIR y VAN. - Costo de oportunidad: Es la tasa o valor que se deja de percibir al no tomar esa
opción de inversión y colocarla en otra. Generalmente se utiliza cuando el dinero es
propio. - Costo de capital: Es la tasa o valor que se debe cancelar por la utilización del
dinero que fue tomado como un crédito para financiar una inversión en un
proyecto. - VAN (Valor Actual Neto ó Valor presente neto): Es la suma de los flujos netos
de caja actualizados, menos la inversión inicial. El proyecto de inversión, según
este criterio, se acepta cuando el valor presente neto es positivo, dado que agrega
capital a la empresa. - TIR (Tasa Interna de Rentabilidad ó Tasa Interna de Retorno): Es la tasa que
hace que el valor presente neto sea igual a cero, o tasa que iguala la inversión
inicial con la suma de los flujos netos actualizados. Según la TIR, el proyecto es
rentable cuando la TIR es mayor que la tasa de costo de capital, dado que la
empresa ganará más ejecutando el proyecto, que efectuando otro tipo de inversión. - Payback (Periodo de recuperación de la inversión): Es el tiempo necesario para
recuperar la inversión inicial. Según este criterio, el proyecto es conveniente
cuando el período de recupero es menor que el horizonte económico de la
inversión, dado que se recupera la inversión inicial antes de finalizado el plazo
total. Existen dos métodos: Payback contable y Payback Discount ó Periodo de
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- Payback Contable: Considera los flujos contables para el cálculo del tiempo de
recuperación de la inversión.
- Payback Descontado: Considera los flujos actualizados para el cálculo del
tiempo de recuperación de la inversión.
- IR: Este indicador nos da el número de unidades monetarias que el proyecto
genera por cada unidad monetaria invertida.
- Relación Beneficio – Costo: Este indicador es utilizado en proyectos de carácter
social.
- Tasa real: Cuando existe inflación, la tasa efectiva, no expresa el verdadero
rendimiento de una operación financiera, entonces se convierte en una tasa
aparente, pues parte del rendimiento es consumido por la inflación. La tasa real es
la que expresa el poder adquisitivo de la tasa de interés.
Por lo expuesto anteriormente, las tasas de interés real influyen significativamente
en las economías de mercado, tanto en el ahorro como en los endeudamientos, y en
las decisiones de inversión para poder calcular su rentabilidad.
El economista Irving Fisher estudió la relación entre la tasa efectiva aparente, la
tasa de inflación y la tasa real, llegando a obtener la siguiente fórmula para
encontrar la tasa de interés real.
r = Tasa efectiva - Tasa de inflación x 100
1 + Tasa de inflación
i – d
r = 100 1+ d Fórmula de Irving Fisher (La respuesta da en %)
2.- WARNER S.A. está analizando un proyecto de inversión con un costo de capital del 9.76% a.c.s y el siguiente patrón de flujos de efectivo esperados.
Año 0 1 2 3 4 5 Flujo de efectivo (en miles de $)
-100 25 50 50 25 10
a. Calcule el VAN. Debe aceptar el proyecto? b. Calcule el TIR. Debe aceptar el proyecto? c. Calcule el PAYBACK descontado. Debe aceptar el proyecto? d. Calcule el IR e interprete?
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Transformamos la tasa nominal a efectiva anual j = 9,76% a.c.s. (1+ 0,0976/2)2 = (1+i) i = 10% anual a) VAN VANr = -100 + 25 + 50 + 50 + 25 + 10 . (1+r) (1+r)2 (1+r)3 (1+r)4 (1+r)5
VAN10% = -100 + 22,73 + 41,32 + 37,57 + 17,08 + 6,21 VAN10% = 24,90 VAN10% > 0, entonces conviene realizar la inversión b) TIR Interpolo
R VANr 0,10 24,90 0,20 0,566 P2(0,566 ; 0,20)
0,21 -1,446 P1(-1,446 ; 0,21) P (0 ; y)
y = y1 + (x – x1) y2 – y1
x2 – x1
y = 0,21 + (0 + 1,446) (0,20 - 0,21) = 0,2028 TIR = 20,28% (0,566+1,446) TIR > Cc ; 20,28% > 10% Conviene la inversión.
c) PAYBACK DESCONTADO Sumo los flujos descontados al costo del capital de los años hasta antes que supere el valor de la inversión de $100, entonces los 2 primeros años que suman 64,05; saco la diferencia que falta para llegar a 100, lo que da 35,95 que es lo que debo obtener el próximo año, entonces con regla de tres veo el tiempo en el que tengo ese valor dentro del lapso del segundo al tercer año. 37,57 12 meses 35,95 x x = 11,48 meses PAYBACK = 2 AÑOS 11 MESES. d) IR IR = (22,73+41,32+37,57+17,08+6,21)/100 = 124,91/100 = 1,25 El proyecto genera $1,25 por cada dólar invertido, es conveniente IR >1.
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3.- A un inversionista se le presentan dos proyectos alternativos, A y B, con los siguientes flujos de efectivo al final de cada año. Cada proyecto requiere una inversión de $200.000. Cuál proyecto se escogería si: a) La tasa es del 6% anual b) La tasa es del 8,75% anual Calcular
Año 1 2 3 4
Proyecto A $80.000 $70.000 $60.000 $35.000Proyecto B $30.000 $40.000 $40.000 $150.000
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PAYBACK 4 Años -> 199,75 En el tiempo de vida del proyecto no se recupera la inversión IR (27,59+ 33,82+31,10+107,24)/200 = 199,75/200 IR = 0,999 TIR y=i x=Vani%
0,08 4,07 P2 y = y1+(x-x1)(y2-y1)/(x2-x1) 0,10 -7,16 P1 P (0,TIR) y = 0,10+(0+7,16)(0,08-0,10)/(4,08+7,16) TIR = 8,73% TIR < 8,73 No conviene
Decisión: Por tratarse de proyectos mutuamente excluyentes elijo por rentabilidad y a las dos tasas en más conveniente el proyecto A. TIR A > TIR B 4.- Panasa S.A. está considerando dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes, con un costo de capital del 14% y los siguientes flujos de fondos esperados.
Año 0 1 2 3 4 5 Proyecto A
Flujo de efectivo (en miles de $)
-100 30 40 50 40 30
Proyecto B Flujo de efectivo (en miles de $)
-150 45 60 75 60 60
Cuál proyecto debe emprender, si es que hay alguno? Justifique su respuesta. Cc = 14%
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TIR = 25,68% TIR > Cc ; 25,68% > 14% Conviene la inversión.
Conviene la inversión.
Calculo del PAYBACK DESCONTADO Sumo los flujos descontados al Cc de los 3 primeros años = 90,844 resto de la inversión inicial de 100 = 9,156, entonces con regla de tres veo el tiempo en el que tengo ese valor dentro del lapso del tercer al cuarto año. 23,683 12 meses 9,156 x x = 4,64 meses PAYBACK = 3 AÑOS 4 MESES
Calculo del PAYBACK DESCONTADO Sumo los flujos descontados al Cc de los 3 primeros años = 136,265 resto de la inversión inicial de 150 = 13,735, entonces con regla de tres veo el tiempo en el que tengo ese valor dentro del lapso del tercer al cuarto año. 35,525 12 meses 13,735 x x = 4,64 meses PAYBACK = 3 AÑOS 4 MESES
Como son proyectos excluyentes ejecuto el que me da más rentabilidad que para el ejercicio es el proyecto b.
5.- Argus Cía. Ltda. proporciona los siguientes datos para analizar si su inversión es rentable: Inversión = $110.000 Ingreso anual promedio = $32.000 Costo anual de operación = $ 7.000 Depreciación anual = $ 22.000 a) Calcule su valor actual neto y la TIR, si se espera recuperar la operación en 5 años y se considera como costo de oportunidad el 9.57% a.c.m. b) Considere una tasa de impuestos del 8%, calcule su valor actual neto y la TIR con los flujos después de impuestos manteniendo el mismo costo de oportunidad a.
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6.- WAPAD Cía. Ltda. ha realizado una inversión por el valor de $ 2’600.000, los flujos netos de caja generados son:
Primer año Flujo neto de caja: Segundo año “ “ “ Tercer año “ “ “ Cuarto año “ “ “ Quinto año “ “ “ Sexto año “ “ “
300.000 600.000 900.000
1’000.000 1’200.000 1’300.000
a) Calcular el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno (TIR) e indicar si la inversión es rentable, considerando que el costo de oportunidad del dinero es del 14%. b) Calcular el VAN y la TIR si el costo del dinero se estima en el 12% anual, se presentan cambios o no, en los nuevos resultados, explique brevemente el por qué de cada uno de ellos. c) Calcule el Payback descontado en ambos casos
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Cálculo del Payback descontado: Considero los flujos de fondos descontados al 14%
y al 12% y veo en que tiempo se cubre la inversión inicial
Al 12%: A los 4 años se llega a 2,022,293.77 y la inversión inicial es 2,600,000.00, entonces determino en que tiempo tendré la diferencia de dinero que me falta 577,706.23; hago regla de tres con el flujo de fondos descontado del año 5. 680,912.227 12 meses 577,706.23 X X=10.17 meses Entonces el Periodo de recuperación descontado es 4 años 10 meses. Al 14%: A los 5 años se llega a 2,547,635,45 y la inversión inicial es 2,600,000.00, entonces determino en que tiempo tendré la diferencia de dinero que me falta 52,364.55; hago regla de tres con el flujo de fondos descontado del año 6. 592,262.512 12 meses 52,364.55 X X=1.06 meses Entonces el Periodo de recuperación descontado es 5 años 1 mes. 7.- Rosa Alvarado, 5 años atrás adquirió una casa, por la que pagó $ 45.000 de contado. Durante este tiempo arrendó su casa, los arriendos anuales ahorrados fueron: 4.800, 6.000, 7.200, 8.400 y 10.200 dólares. Además, al final del quinto año vende su casa, por el valor de $ 199.400.
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a) Cuál es la rentabilidad lograda por la Sra. Alvarado en la adquisición de la vivienda?.
CALCULO DE LOS VAN (Considero una tasa de referencia para partir con la
interpolación de la TIR)
(valores en miles)
VAN20%= $ 55,62
VAN40%= $ 5,27 P1
VAN45%= - $ 1,87 P2
TIR = y = y1 + (x - x1 ) y2 – y1 .
x2 - x1
Tir= 43,59%
La casa de la Sra. Alvarado le produce una rentabilidad del
43,59%.
8.- Un inversionista desea incursionar en un proyecto en el cual debe invertir USD. 125.000,00; además presenta el siguiente flujo de fondos para los próximos 5 años.
Año 1 2 3 4 5 Ventas 40.000 42.000 45.000 48.000 50.000 Costo de operación
8.250 8.500 8.600 8.700 8.800
Depreciación anual
20.000 20.000 20.000 20.000 20.000
a) Determine si les conviene o no invertir; aplique los métodos del VAN y el TIR en su análisis. Considere el costo de oportunidad del 12% efectivo. b) Determine el Payback Descontado
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TIR = y = y1 + (x - x1 ) y2 – y1 .
x2 - x1
TIR = 0,1332 ≈ 13,32%
Es rentable la inversión puesto que la TIR = 13,32% es mayor que la tasa de costo de
oportunidad del 12%.
Calculo del Payback descontado:
Al 12%: A los 4 años se llega a 105,938.87 sumando los flujos descontados y la inversión inicial es 125,000.00, entonces determino en que tiempo tendré la diferencia de dinero que me falta 19,061.13; hago regla de tres con el flujo de fondos descontado del año 5. 23,377.99 12 meses 19,061.13 X X=9.78 meses Entonces el Periodo de recuperación descontado es 4 años 9.78 meses.
9.- John ha invertido USD. 7.200 a una tasa del 13,8 % a.c.m. Cuál es la tasa real que gana si la inflación promedio anual es 6,3%. Cuánto gana o pierde?
C = 7.200
i = 0,138/12=1,15% mensual. Entonces transformo a efectiva anual
(1+i1)p1 = (1+i2)
p2 reemplazo los datos (1+0,015)12 = (1+i2)1
i = 0,1471 anual o 14,71% anual
d = 6,3%
r = i - d . 100
(1 + d )
r = 0,1471 - 0,063 . 100 = 7,91% Tasa real
1 + 0,063
I = 7.200 (0,0791) = 569,63
John gana $ 569,63dólares durante ese año, por una inversión de $7.200 dólares.
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10.- Determine la tasa efectiva que se gana en un país donde la inflación es del 15% anual si la tasa real es 2%. Si se invirtió USD. 8.000. Cuánto gana o pierde?
C = 8.000 r = i - d . x 100
i =? (1 + d )
d = 15%
r = 2%
Cuánto gana o pierde?
2 = i - 0,15 . 100 Despejo i
1 + 0,15
i = 0,02 (1+ 0,15) + 0,15 = 0,1730 i = 17,30% anual
Gana = 8.000 (0.02) = 160 dólares durante ese año, por una inversión de $8.000 dólares.
Cantidad baja, debido al efecto de la inflación.
11.- Alfred al invertir $8.320 obtuvo una ganancia real de $580, si el país donde vive tiene una inflación del 8,6%. Determine la tasa efectiva anual que le ofrecieron. Inversión = 8.320 GR = Inv. r Gan.Real = 580 r = 580/8320 (100) = 6,97% anual d = 8,6% r = (i – d)/(1+d) * 100 i = ? anual 0,0697 (1,086) + 0.086 = i r = ? anual i = 16,17% anual 12.- Inversiones del Pacífico desea conocer la factibilidad de incursionar en un proyecto industrial para lo cual dispone de $ 2’400.000 para invertir, los flujos del proyecto estimados para los próximos 5 años serán:
AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4 AÑO 5 550 860 1.100 1.200 1.400 (en miles) Se considera que la inflación promedio en el país será del 18% a) Conviene o no, que realicen la inversión? b) Cuál es la tasa de rentabilidad real que gana la inversión, cuánto gana o pierde?
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Tarea para entregar 2 de 2
EJERCICIOS BONOS
1. Un bono de $1.000 que paga el 12%a.c.m., se redime a la par en 10 años. Calcule el precio de compra para que rinda el 10,25% anual.
F = 1.000
r = 12% a.c.s. = 0,12/2 = 6% semestral
C = 1.000 (redimible a la par)
j = 10,25% anual (1+0,1025)1/2 = (1+i)
i = 5% semestral
n = 10 x 2 = 20 cupones semestrales
P = C + (Fr – Ci) 1 – (1+i)-n
i
P = 1.000 + (1.000 x 0,06 + 1.000 x 0,05) (1-(1+0,05)-20)/0,05
P = 1.124,62
2. Un bono de $5.000 a 108%, que se vence el 1 de octubre del 2006, tiene cupones semestrales a 10,5% . Calcule el precio de compra el 1 de abril del 2005, para producir un 9,5% a.c.s..
F = 5.000 (Abril – Octubre)
r = 10,5% a.c.s. = 0,105/2 = 5,25% semestral
C = 5.000 x 1,08 = 5.400 (redimible al 108% o a la 108)
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O.
n = 3 cupones semestrales
P = C + (Fr – Ci) 1 – (1+i)-n
i
P = 5.400 + (5.000 x 0,0525 + 5.400 x 0,0475) (1-(1+0,0475)-3)/0,0475
P = 5.416,42 P > C Negociación con premio.
3. Un bono de $1.000, redimible a la par el 1 de diciembre del 2007, paga cupones semestrales al 9% a.c.s.. El bono fue adquirido el 1 de junio del 2005. El rendimiento deseado es el 8%a.c.s.. Calcule el precio de compra, y elabore la tabla que muestre el valor en libros del bono.
F = 1.000 (Junio – Diciembre)
r = 9% a.c.s. = 0,09/2 = 4,5% semestral
C = 1.000 (redimible a la par)
i = 8% a.c.s. = 0,08/2 = 4% semestral
P = ?
Fecha de redención = 1/Dic./2007
Fecha de negociación = 1/Jun./2005
¡_______________¡………………… ¡_______________¡
1/jun/05 1/dic/05 1/jun/07 1/dic/07
+1
J. D. 2007 – 2005 = 2 x 2 = 4+ 1 = 5
D.
n = 5 cupones semestrales
P = C + (Fr – Ci) 1 – (1+i)-n
i
P = 1.000 + (1.000 x 0,045 + 1.000 x 0,04) (1-(1+0,04)-5)/0,04
4. El 30 de junio del 2.004, un bono de valor nominal de $1,000.00 es redimible
al 110, devengando intereses de 12% pagaderos a fin de cada mes. Calcule el precio que pagaría por el bono un inversionista el 27 de julio del 2.002, si el rendimiento esperado es de 1,30% mensual.
F = 1.000
r = 0,12/12 = 0,01
C = 1.000 x 1,10 = 1.100
i = 0,013
Fecha de redención: 30 de junio de 2004
Fecha de compra: 27 de julio de 2002
P = ?
Po = precio en fecha de pago de cupón
n = 12 x 2 = 24
I = F x r I = 1.000 x 0,01 = 10 mensuales (cupón)
Po = C + (Fr – Ci) 1 – (1+i)-n
i
Po = 1.100 + (10 - 1.100 x 0,013) (1 – 1,013-24) / 0,013
Po = 1.011,84
Calculo el precio del bono al 27 de junio P = Po (1 + it)
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5. Calcule el valor de redención, el número de cupones y el valor de cada cupón de un bono de $100.000, 12% (20 Enero – 20 Julio = E.J), suscrito el 20 de enero del 2002, redimible a la par el 20 de enero del 2009.
F = 100.000
Valor de Redención
C = 100.000 es a la par
Valor de redención x 100
Valor nominal
100.000 x 100 = 100 se dice que es redimible a la par al 100
100.000
Número de cupones EJ
E
De marzo del 2002 a marzo del 2009 hay 7 años x 2 semestres = 14 semestres o
cupones.
Valor del cupón:
I = Fr . = 100,000 ( 0.15 ) = 7,500
m 2
El valor de cada cupón es de $7,500 semestral.
6. Un bono de $ 15.000 al 10% Abril-Octubre (A.O)., redimible a la par el 15 de Octubre del año 2007, es negociado el 15 de Abril del año 2000 a una tasa del 7,8% anual capitalizable semestralmente. Calcular el precio del bono a la fecha de negociación.
F = 15.000 precio nominal
r = 0,10/2 =0,05 tasa de interés por periodo de pago del cupón
i = 0,078/2=0,039 tasa de interés sobre la inversión por periodo de cupón (TIR,
El bono a la fecha de su negociación es de $ 16.847,43. Se trata de una negociación con
premio.
7. Un bono de $ 10.000 al 8% Marzo-Septiembre (M.S), redimible a la par el 20 de septiembre del año 2007, se puede negociar el 15 de junio del 2000 a las siguientes tasas de: 1) 7,5% anual capitalizable semestralmente; 2) 8% anual capitalizable semestralmente; y, 3) 8,5% anual capitalizable semestralmente. Calcular el precio del bono limpio para cada alternativa y exprese para cada negociación si es con premio, a la par, o con castigo.
1)
F = 10.000 precio nominal
r = 0,08/2 =0,04 tasa de interés por periodo de pago del cupón
i = 0,075/2=0,0375 tasa de interés sobre la inversión por periodo de cupón (TIR,
rentabilidad)
C = 10.000 precio de redención a la par o al 100
n = 7 (2) = 14 semestres más 1 semestre = 15
P = Precio de compra para obtener un rendimiento.
Tiempo entre el 20 de marzo y el 15 de junio entonces:
10Mz +30Ab + 30My + 15Jn = 85 días.
P = C + ( Fr - Ci ) 1 - ( 1 + i )- n
i
P = 10.000 + ( 10.0000 x 0,04 ) - ( 10.000 x 0,0375 ) 1 - ( 1 +0,0375 )-15