ADJOINT MATRIKS Merupakan transpose dari suatu matriks (Aij*). Dipunyai : Anxn A11 * A21 * ... An1 * A * A * ... A * 12 22 n2 Adjoint (A) = : : : A1n * A2 n * ... Ann * Dengan Aij* adalah kofaktor dari aij 1in 1jn Aij* = (-1)i+j.Mij1 C = 2 4 0 3 1 0 5 3
Maka kofaktor dari kesembilan elemen dari C adalah : C11* = (-1)1+1.M11 = 1. 3 1 2 4 5 =4 3 5 = 14 3 3 = -10 1 0 =0 3 0 =3 3
C12* = (-1)1+2.M12 = -1. C13* = (-1)1+3.M13 = 1.
2 4 0 1
C21* = (-1)2+1.M21 = -1. C22* = (-1)2+2.M22 = 1.
1 4
1 0 = -1 4 1 0 0 C31* = (-1)3+1.M31 = 1. =0 3 5
C23* = (-1)2+3.M23 = -1.
C32* = (-1)3+2.M32 = -1.
1 2
0 = -5 5
C33* = (-1)3+3.M33 = 1.
1 2
0 =3 3 0 3 1 0 5 3
4 Sehingga didapat Adj (C) = 14 10
INVERS MATRIKS Apabila A dan B matriks bujur sangkar berordo n, sedemikian sehingga AB = BA = I, maka B disebut invers dari A (B = A-1), dan A disebut invers dari B (A = B-1). I = merupakan matriks Identitas B= B-1 = 2 1 2 / 5 Bukti Inversnya benar B.B-1 = B-1.B = I Mencari Invers matriks dapat dengan cara : 1. Adjoint 2. Transformasi Elementer Baris 1. Cara Metode Adjoint a. menentukan nilai determinan dari matriks b. menentukan adjoint matriks. c. Mengalikan adjoint matrik dengan kebalikan determinan 1 A-1 = _____ . Adj (A)A
1
3
1 / 5
3 / 5 1 / 5
1 C = 2 4
0 3 1
0 5 3
4 Adj (C) = 14 10
0 3 1
0 5 3
C
=40 3 1-1
4 Jadi C = 14 10
0 1 5 = 7 / 2 5 / 2 3
0 3/ 4 1 / 4
5 / 4 3/ 4 0
2. Metode transformasi Elementer baris Anxn, nilai A 0hij [A I ] .(a )
[I
1 A
]
1 C = 2 4 1 2 4 1 0 0 0 3 1 0 1 1
0 3 1 0 5 3 0 1 3
0 5 3 1 0 0 0 1 0 1 6 4 0 1 0 0 1 1 1 7/2 5 / 2 0 2 0h 21.() 4 ) h 31.( 1 0 1 0 1 0 0 0 3 1 1 0 0 0 5 3 0 1 0 0 1 4 1 2 4 0 1 0 1 6 10 0 2 0 h 23.() 1 0 1 1 0 2 3
0 1 2 h 32.() 1 1 6 5 / 2 0 0 1 1 / 4 5 / 4 3/ 4 0
1 0 0 h 3.(1 / 4 )
0 .(1 2 h 23) 3 / 4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3/ 4 1 / 4
_____________
__________________________
I
C-1
Matriks Balikan (Invers)JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B 1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = Dengan Rumus =
dapat di-invers apabila ad - bc 0
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB) 1 = B 1A 1 Contoh 1: Matriks
A= AB = BA =
dan B = = = = I (matriks identitas) = I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa B = A 1 (B Merupakan invers dari A) Contoh 2: Matriks
A= AB = BA =
dan B = = =
Karena AB BA I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.
Contoh 3: Matriks
A= Tentukan Nilai dari A-1 Jawab:
Contoh 4: Matriks
A=
,B=
, AB =
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
, Maka
,
= Ini membuktikan bahwa (AB) 1 = B 1A 1
Adjoin Matriks 3 x 3 Bila ada sebuah matriks A3x3
A= Kofaktor dari matriks A adalah C11 = -12 C12 = 6 C13 = -8 C21 = -4 C22 = 2 C23 = -8 C31 = 12 C32 = -10 C33 = 8 maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) =
Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
A= kemudian hitung kofaktor dari matrix A C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16 C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16 C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadi
adj(A) =
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
det(A) = 64
Adjoin Matriks 3 x 3 Bila ada sebuah matriks A33
A= Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6 C13 = -16 C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16 C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16 maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) =
Matriks persegi A mempunyai invers, jika ada matriks B sedemikian hingga AB = BA = dengan I matriks identitas. Pada persamaan AB = BA = , A dan B disebut saling invers. Berikut adalah syarat suatu matriks A dikatakan mempunyai invers. 1. Jika | A | = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks singular. 2. Jika | A | 0, maka matriks A mempunyai invers. Oleh karena itu, dikatakan matriks A sebagai matriks nonsingular.
Untuk matriks A =
berordo 2 x 2 ini, kita dapat menentukan inversnya sebagai berikut:
Untuk menentukan invers suatu matriks dengan ordo 3 x 3, maka kita harus memahami tentang matriks minor, kofaktor, dan adjoint.
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan ditentukan dengan rumus
. Untuk menentukannya,
. Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah sebagai berikut:
1. Adjoint Misalkan suatu matriks A berordo n x n dengan kofaktor dari matriks A, maka:
Untuk matriks A berordo 3 x 3, maka:
Untuk menentukan determinan dari matriks berordo 3 x 3, selain dengan kaidah Sarrius, dapat juga digunakan matriks minor dan kofaktor.
Determinan matriks A (det A) dapat ditentukan menggunakan rumus:
MATRIKS INVERS Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1). Jika A = a b , maka A-1 = 1 = d -b Jika A = c d , maka A-1 = ad - bc ttt -c a Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A Matriks A mempunyai invers jika Determinan A 0 dan disebut matriks non singular. Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular. Sifat A . A-1 = A-1 . A = I
Perluasan A.B=I A = B-1 B = A-1 B-1 A . B = C A = C . B = A-1 . C Sifat-Sifat 1. 2. 3. 4. 5. 6. (At)t = A (A + B)t = At + Bt (A . B)t = Bt . At (A-t)-t = A (A . B)-1 = B-1 . A-1 A . B = C |A| . |B| = |C|
