Aditivna kombinatorika - mi.sanu.ac.rsluka.milicevic/beleske-aditivna-kombinatorika.pdf · Aditivna kombinatorika Luka Mili cevi c [email protected] Datum: 3. jun

Aditivna kombinatorika

Luka Milicevic

[email protected]

Datum: 3. jun 2019.

Kratak opis. Ovaj kurs predstavlja uvod u aditivnu kombinatoriku. Kurs ima dvostruki cilj, prvi je

da se obrade neki od vaznih rezultata ove oblasti, a drugi, podjednako vazan, je da se objasne metode

rada, kao i njihove veze sa drugim delovima kombinatorike.

Potrebno predznanje. Iskljucivo matematicka zrelost.

Program kursa

(1) Uvod. Van der Verdenova teorema.

(2) Diskretna Furijeova analiza. Rotova teorema, ideja Bogoljubova, aproksimacije konvolucija,

teorema Cang o spektru.

(3) Frajmanova teorema. Ruzina nejednakost, dokaz Frajmanove teoreme.

(4) Regularnost i kvazislucajnost. Semeredijeva lema o regularnosti, dokaz teoreme Semeredija

i Trotera, lema o uklanjanju trouglova, drugi dokaz Rotove teoreme, kvazislucajni grafovi, pri-

mena u Ramzijevoj teoriji.

(5) Metod zavisnog slucajnog izbora. Balog-Semeredi-Gauersova teorema, lema Kruta i Sisaska,

treci dokaz Rotove teoreme, Sandersove ocene u Frajmanovoj teoremi.

(6) Semeredijeva teorema. Gauersove norme, Gauersov dokaz Semeredijeve teoreme o arit-

metickim progresijama duzine 4.

(7) Metod polinoma. Cetvrti dokaz Rotove teoreme, drugi dokaz teoreme Semeredija i Trotera, i

druge primene.

(8) Fenomen suma i proizvoda. Dokazi fenomena suma i proizvoda u R i u konacnim poljima.

(9) Distribucije vrednosti multilinearnih formi. Dokaz teoreme o strukturi multilinearnih

formi koje imaju neujednacenu raspodelu vrednosti.

§1 Uvod

Kao sto sam naziv oblasti implicira, aditivna kombinatorika se bavi prebrojavanjem aditivnih struk-

tura. Na primer, interesuje nas koliko ima aritmetickih progresija duzine tri ima u datom skupu celih

brojeva A, ili koliko je razlicitih suma parova elemenata u A. Prvo pitanje je vec netrivijalno, dok

za drugo pitanje, ukoliko je |A|= n, imamo jednostavan odgovor: broj razlicitih suma je najmanje

2n − 1, a najvise(n2

)(ako svi parovi daju razlicit zbir). Razmisljajuci dalje o ovom pitanju, vidimo

da ne mozemo mnogo reci o skupu A za koji se postize maksimalan broj suma, dok, s druge strane,

A ima najmanje suma ako i samo ako je A aritmeticka progresija duzine n. Dakle, drugo pitanje

postaje interesantno ako se zapitamo kako izgledaju skupovi koji imaju najvise, recimo, 100n ra-

zlicitih suma. To nas dovodi i do drugacije interpretacije aditivne kombinatorike. Naime, to je oblast

koja se bavi proucavanjem pribliznih algebarskih struktura. Da bismo ovo motivisali, premestimo se

iz celih brojeva u vektorski prostor Fnp i primetimo sledece.

Lema 1. Ako je A ⊂ Fnp , pisemo A+ A = a+ b: a, b ∈ A. Onda je |A+ A|≥ |A|, a jednakost vazi

ako i samo ako je A koset (nekog vektorskog potprostora).

Dokaz. Buduci da je preslikavanje x 7→ a+x za a ∈ A injektivno, odmah zakljucujemo da je |A+A|≥|A|. Pretpostavimo sada da je |A + A|= |A|, i uzmimo proizvoljan element a0 ∈ A. Tvrdimo da je

A − a0 = x ∈ Fnp :x + a0 ∈ A potprostor. Iz prve recenice, vidimo da je |A + a0|= |A|= |A + A|,a kako je A + a0 ⊂ A + A, zakljucujemo da je A + a0 = A + A. Ako su x, y ∈ A − a0 proizvoljni,

onda je x + a0, y + a0 ∈ A, pa x + y + a0 + a0 ∈ A + A = A + a0, odakle sledi x + y + a0 ∈ A, pa je

x+ y ∈ A− a0. Dakle, A− a0 je potprostor.

Nase drugo pitanje je bilo – kako izgleda skup A takav da je |A + A|≤ 100|A|? Imajuci u vidu

Lemu 1, ovaj uslov je priblizna verzija uslova da je skup podgrupa, pa takvo A mozemo nazvati i

pribliznom podgrupom.

Radi dalje motivacije, sada cemo dokazati prvi rezultat o aritmetickim progresijama, koji pripada

Ramzijevoj teoriji.

Teorema 2 (Van der Verdenova teorema). Za sve prirodne brojeve k i d postoji dovoljno veliko N

takvo da, kada god je [N ] = 1, 2, . . . , N obojeno u k boja, onda postoji jednobojna aritmeticka

progresija duzine d.

Najmanje N koje zadovoljava tvrdenje za date k i d obelezavacemo sa VdV(k, d).

Dokaz. Tvrdenje pokazujemo indukcijom po d. Slucaj kada je d = 1 je trivijalan, a slucaj d = 2 sledi

iz Dirihleovog principa.

Iako bismo sada mogli da dokazemo induktivnu hipotezu, ipak cemo prvo da uradimo slucaj d = 3

odvojeno, kako bi kljucni koraci u opstem slucaju bili jasniji. Dakle, za sada znamo da, kada god je

[k + 1] obojeno u k boja, imamo dva broja iste boje. To dalje znaci da kada god je [2k + 1] obojeno

1

u k boja, imamo brojeve x, x + d, x + 2d ∈ [2k + 1] takvi da su x i x + d iste boje. Zamislimo sada

da nam je dato bojenje β: [N ] → [k], i da

imamo x, y, d sa svojstvom da β(x) = β(y) = β(x+ d) = β(y + d) = b1, β(x+ 2d) = β(y + 2d) = b2.

(1)

Mozemo da pretpostavimo da je b1 = b2, inace smo vec pronasli jednobojnu aritmeticku progresiju.

Dalje, vidimo da su x, y+d, 2y+2d−x i x+2d, y+2d, 2y+2d−x dve aritmeticke progresije, takve da

su u prvoj x i y + d boje b1, a u drugoj x+ 2d, y + 2d boje b2. Drugim recima, dobili smo dve ,,skoro

jednobojne” aritmeticke progresije, u razlicitim bojama, koje se poklapaju u poslednjem elementu.

Kako da pronademo elemente koji zadovoljavaju (1)? Za pocetak, posmatrajmo N = (2k + 1)M ,

i podelimo [N ] u M ,,blokova” koji se sastoje od po 2k + 1 uzastopnih brojeva. Najlaksi nacin da

nademo trazenu strukturu je da imamo dva bloka koji imaju potpuno isto bojenje, sto mozemo da

uradimo na osnovu Dirihleovog principa, ukoliko je M ≥ k2k+1 + 1.

Ovo je kljucna ideja za dokaz. Da bismo zavrsili dokaz za d = 3, dokazacemo sledeci stav. Da

bismo skratili pisanje, pisemo d-AP umesto ,,aritmeticke progresije duzine d”.

Stav 3. Za svako l ∈ [k], postoji N takvo da, kada god je [N ] obojeno u k boja, mozemo pronaci

ili jednobojnu 3-AP ili l 3-AP A1, . . . , Al, takvih da se poklapaju u poslednjem elementu a, i l boja

b1, . . . , bl, sa svojstvom da su svi elementi Ai \ a obojeni bojom bi.

Dokaz Stava 3. Dokazujemo stav indukcijom po l. Za l = 1, mozemo uzeti N = 2k + 1, kao sto

smo vec spomenuli. Pretpostavimo da tvrdenje vazi za neko l < k, i neka je N kao u stavu za dato

l. Izaberimo N ′ = NM , gde cemo M izabrati kasnije, uzmimo proizvoljno bojenje β: [N ′] → [k] i

podelimo N ′ na M blokova duzine N . Dakle, u svakom bloku imamo trazenu strukturu. Kao u skici

ideje od ranije, na osnovu Dirihleovog principa, ako bismo uzeli M = 2kN + 1, onda mozemo naci tri

bloka, oblika x+ [N ], x+ d+ [N ] i x+ 2d+ [N ], takvih da β(x+ a) = β(x+ d+ a) za svako a ∈ [N ].

Na osnovu induktivne hipoteze primenjene na x + [N ], ili postoji jednobojna 3-AP, cime je dokaz

zavrsen, ili mozemo naci l 3-AP A1, . . . , Al ⊂ [N ], takvih da se poklapaju u poslednjem elementu a,

i l boja b1, . . . , bl, sa svojstvom da su svi elementi x+ (Ai \ a) obojeni bojom bi. Ali, buduci da je

bojenje na x+ [N ] i x+ d+ [N ] isto, imamo da su i svi elementi x+ d+ (Ai \ a) obojeni bojom bi,

kao i β(x+ a) = β(x+ d+ a). Napisimo Ai = ui + vi, ui + 2vi, ui + 3vi. Onda imamo sledece 3-AP

unutar [N ′]:

• x + ui + vi, x + d + ui + 2vi, x + 2d + ui + 3vi = x + 2d + a, za svako i ∈ [l], gde su prva dva

elementa obojena bojom bi,

• x + a, x + d + a, x + 2d + a, gde su prva dva elementa obojena istom bojom b ∈ [k], koja je

razlicita od boja bi.

Ovo je upravo struktura koju smo trazili, cime je dokaz zavrsen.

2

Sada cemo dokazati Van der Verdenovu teoremu u celosti. Pretpostavimo da teorema vazi za neko

d, i za svaki broj boja. U opstem slucaju Stav 3 postaje

Stav 4. Za svako l ∈ [k], postoji N takvo da, kada god je [N ] obojeno u k boja, mozemo pronaci ili

jednobojnu (d+ 1)-AP ili l (d+ 1)-AP A1, . . . , Al, takvih da se poklapaju u poslednjem elementu a, i

l boja b1, . . . , bl, sa svojstvom da su svi elementi Ai \ a obojeni bojom bi.

Dokaz. Za l = 1, neka je N takvo da kada god obojimo [N ] u k boja, postoji jednobojna d-AP. Onda

2N ima trazeno svojstvo.

Pretpostavimo sada da stav vazi za dato l < k, i da je N takvo da vazi stav za l. Uzmimo

N ′ = NM , gde cemo kasnije izabrati M , i podelimo kao i ranije [N ′] u M blokova duzine N . Neka

je β: [N ′] → [k] proizvoljno bojenje. Da bismo sada pronasli nove aritmeticke progresije, potrebno

je da pronademo d + 1 blokova koji formiraju aritmeticku progresiju, takvih da je β isto na prvih d

blokova. Dakle, posmatracemo pomocno bojenje β′: [M ] → [k]N , zadato sa

x 7→(β((x− 1)N + 1), β((x− 1)N + 2), . . . , β(xN)

).

Na osnovu Van der Verdenove teoreme, ukoliko je M = 2VdV(kN , d), onda mozemo naci aritmeticku

progresiju x, x+ e, . . . , x+ de ∈ [M ] takvu da β′(x) = β′(x+ e) = · · · = β′(x+ (d− 1)e).

Na osnovu induktivne hipoteze za blok (x − 1)N + 1, . . . , xN, unutar njega mozemo naci ili

jednobojnu (d + 1)-AP, cime je dokaz zavrsen, ili l (d + 1)-AP A1, . . . , Al, takvih da se poklapaju u

poslednjem elementu a, i l boja b1, . . . , bl, sa svojstvom da su svi elementi Ai \ a obojeni bojom bi.

Neka je Ai = ui, ui + vi, . . . , ui + dvi. Buduci da je β′(x) = β′(x + e) = · · · = β′(x + (d − 1)e), za

svako j ∈ [0, d− 1], aritmeticke progresije Ai + j · eN imaju ista svojstva.

Da bismo zavrsili dokaz, posmatrajmo aritmeticke progresije ui+ j(eN + vi): j ∈ [0, d] za i ∈ [l]

i, dodatno, u1 + dv1 + jeN : j ∈ [0, d]. Kao i ranije, lako se proverava da ovih l + 1 aritmetickih

progresija imaju trazena svojstva.

Van der Verdenova teorema sada sledi iz Stava 4, primenjenog za l = k.

Ocene u Van der Verdenovoj teoremi. Primetimo i da, osim sto pokazuje da je VdV(k, d)

konacan broj za sve izbore k i d, ovaj dokaz moze da da eksplicitne ocene za taj broj. Medutim, ako

se vratimo na Stav 4 iz dokaza, vidimo da se N iz tog stava menja po pravilu

N 7→ 2N VdV(kN , d),

sto ponavljamo k puta. Zanemarimo clan 2N radi jednostavnijeg racuna. Dakle, dobijamo pribilizno

ocenu

VdV(k, d+ 1) ≤ f (k)(1),

gde je f(x) = VdV(kx, d), sto raste ekstremno brzo - ovakva ocena nije ni primitivno rekurzivna.

Npr. imamo VdV(k, 2) ≤ k + 1, ali je vec VdV(k, 3) ≤ kk...k︸ ︷︷ ︸k

. Upravo motivisani problemom boljih

ocena, Erdos i Turan su 1936. postavili sledecu hipotezu, sada poznatu kao Semeredijeva teorema.

3

Teorema 5 (Semeredijeva teorema). Za svako d ∈ N, δ > 0, postoji dovoljno veliko N takvo da, kada

god je A ⊂ [N ] velicine |A|≥ δN , onda A sadrzi d-AP.

Zavrsicemo ovaj uvodni deo kursa dokazom jedne druge teoreme, cija je posledica da je VdV(k, d)

primitivno-rekurzivna funkcija. Potrebna nam je sledeca definicija. Neka je X konacan skup. Za

izabrani neprazan skup I ⊂ [k] i izabrane elemente (xi: i /∈ I), definisemo kombinatornu liniju u Xk

kao skup k-torki a ∈ Xk oblika ai = xi za i /∈ I, a ai = u za i ∈ I, gde u prolazi kroz ceo skup X.

Ovakvu k-torku za date I, x i u oznacavamo sa x⊕I u. Skup I nazivamo skupom aktivnih koordinata.

Teorema 6 (Hejls-Dzuet). Za dato k i d, postoji dovoljno veliko n takvo da, kad god su elementi [d]n

obojeni u k boja, postoji jednobojna kombinatorna linija.

Dokaz da Hejls-Dzuet teorema implicira Van der Verdenovu je jednostavan i ostavljamo ga citaocu.

U nastavku, pisemo HDz(k, d) za najmanje n za koje teorema vazi.

Selahov dokaz Hejls-Dzuet teoreme. Kljucni problem u dokazu Van der Verdenove teoreme je bio taj

sto smo u induktivnom koraku Van der Verdenovu teoremu za krace aritmeticke progresije primenjivali

mnogo puta, i sto je i sam broj boja rastao jako brzo. Kako bismo izbegli lose ocene u ovom dokazu,

prvenstveni cilj ce biti da primenimo induktivnu hipotezu samo jednom, i to za isti broj boja. Kako

bismo to uradili, unutar [d]n, zelimo da nademo strukturu izomorfnu sa [d]m, gde je m = HDz(k, d−1)

i gde je pritom boja tacke (x1, . . . , xm) ista kao boja tacke u kojoj su sva pojavljivanja d u x zamenjena

sa d− 1. Sada prelazimo na detalje.

Neka je kao, kao i gore, m = HDz(k, d− 1), i neka su n1, . . . , nm ∈ N, koji ce biti kasnije izabrani.Niz ce imati svojstvo da je svaki element mnogo veci od svih prethodnih. Stavimo n =

∑i∈[m] ni

i posmatrajmo [d]n kao [d]n1 × . . . × [d]nm . Neka je β: [d]n → [k] proizvoljno bojenje. Unutar [d]nm

posmatrajmo sve tacke oblika (d − 1, . . . , d − 1, d, . . . , d), kojih ima nm + 1. Posmatrajmo sledece

pomocno bojenje β′m na [d]nm (boje jos nismo odredili). Za svako x ∈ [d]nm , neka je β′

m(x) bojenje

[d]n1 × . . . × [d]nm−1 → [k] indukovano sa x u β, dakle β′m(x): y 7→ β(y, x). Dakle, β′

m je bojenje sa

kdn1+···+nm−1

boja. Ukoliko je

nm + 1 > kdn1+···+nm−1

, (2)

na osnovu Dirihleovog principa, postoje dve tacke x1 i x2 oblika (d − 1, . . . , d − 1, d, . . . , d) takve

da β′m(x1) = β′

m(x2). Neka je Lm kombinatorna linija u [d]nm koja sadrzi x1 i x2, sa elementima

vm ⊕Im u:u ∈ [d], za neko ∅ = Im ⊂ [nm] i vm ∈ [d][nm]\Im . Od sada, posmatramo samo tacke 2.

preda–

vanje

u [d]n1 × . . . × [d]nm−1 × Lm. Ove korake cemo ponoviti ukupno m puta, i rezultat formulisemo kao

sledeci stav. Ocena u stavu je vrlo slicna (2).

Stav 7. Neka je vazi ni > kdm+

∑j∈[i−1] nj

za svako i ∈ [m]. Za svako i ∈ [m], mozemo naci kom-

binatorne linije Li = vi ⊕Ii u:u ∈ [d] ⊂ [d]ni , Li+1 = vi+1 ⊕Ii+1u:u ∈ [d] ⊂ [d]ni+1 , . . . , Lm =

vm ⊕Im u:u ∈ [d] ⊂ [d]nm takve da za svako x ∈ [d]n1 × . . .× [d]ni−1, za svako y, z ∈ [d][i,m] takve da

4

ako je yj = zj onda yj, zj ∈ d− 1, d, vazi

β(x, vi ⊕Ii yi, . . . , vm ⊕Im ym) = β(x, vi ⊕Ii zi, . . . , vm ⊕Im zm).

Dokaz. Indukcijom po m − i, bazni slucaj smo vec uradili. Pretpostavimo da tvrdenje vazi za neko

i+1. Kao u delu dokaza pre ovog stava, posmatrajmo pomocno bojenje β′i na [d]ni . Za svako x ∈ [d]ni

boja ce biti indukovano bojenje na [d]n1+···+ni−1 × [d][i+1,m]

β′i(x): (w, yi+1, . . . , ym) 7→ β(w, x, vi ⊕Ii yi, . . . , vm ⊕Im ym),

gde je w ∈ [d]n1+···+ni−1 , yi+1, . . . , ym ∈ [d]. Posto je ni > kdm+

∑j∈[i−1] nj

, na osnovu Dirihleovog

principa, postoje dve tacke x1, x2 ∈ [d]ni oblika (d − 1, . . . , d − 1, d, . . . , d) takve da β′i(x1) = β′

i(x2).

Neka je Li = vi ⊕Ii u:u ∈ [d] kombinatorna linija u [d]ni koja prolazi kroz x1 i x2. Sada preostaje

da proverimo da Li, . . . , Lm imaju trazena svojstva.

Neka su dati w ∈ [d]n1 × . . .× [d]ni−1 , y, z ∈ [d][i,m] takvi da ako je yj = zj onda yj, zj ∈ d− 1, d.Na osnovu svojstava linija Li+1, . . . , Lm imamo

β(w, vi ⊕Ii yi, vi+1 ⊕Ii+1yi+1, . . . , vm ⊕Im ym) = β(w, vi ⊕Ii yi, vi+1 ⊕Ii+1

zi+1, . . . , vm ⊕Im zm).

Ako je yi = zi, onda je dokaz zavrsen. U suprotnom, vazi yi, zi = d−1, d. Onda su, bez umanjenja

opstosti, vi ⊕Ii yi = x1 i vi ⊕Ii zi = x2. Kako je β′i(x1) = β′

i(x2), imamo i

β(w, vi ⊕Ii yi, vi+1 ⊕Ii+1zi+1, . . . , vm ⊕Im zm) = β(w, vi ⊕Ii zi, vi+1 ⊕Ii+1

zi+1, . . . , vm ⊕Im zm),

cime je dokaz stava zavrsen.

Na osnovu Stava 7 za i = 1 imamo kombinatorne linije Lj = vj ⊕Ij u:u ∈ [d] ⊂ [d]nj za j ∈ [m]

sa svojstvom da se za svako y ∈ [d]m boja

β(v1 ⊕I1 y1, . . . , vm ⊕Im ym)

ne menja prilikom promene nekog yi iz d − 1 u d i obratno. Primenimo induktivnu hipotezu na

β′: [d− 1]m → [k] definisano sa

β′(y) = β(v1 ⊕I1 y1, . . . , vm ⊕Im ym)

za y ∈ [d−1]m. Na osnovu induktivne hipoteze, imamo kombinatornu linijuM = w⊕J u:u ∈ [d−1],∅ = J ⊂ [m] koja je jednobojna u odnosu na β′. Time je kombinatorna linija v1 ⊕I1 y1, . . . , vm ⊕Im

ym: (∀i ∈ [m] \ J)yi = wi, (∃u ∈ [d])(∀i ∈ J)yi = u jednobojna u odnosu na β, cime je dokaz

zavrsen.

Ovaj dokaz daje ocenu HDz(k, d) ≤ kdkd...k

dm

︸ ︷︷ ︸HDz(k,d−1)

, sto je daje primitivno rekurzivnu funkciju i mnogo

je bolje od ocena iz dokaza Van der Verdenove teoreme. U nastavku kursa cemo se baviti time kako

da poboljsamo ocene za srodne probleme. Kao sto cemo videti, trazenje boljih ocena moze cesto da

nas natera da bolje razumemo problem i da nas potencijalno dovede do novih matematickih ideja.

5

§2 Diskretna Furijeova analiza

Prvi rezultat u smeru hipoteze Erdosa i Turana, koja ce kasnije postati poznata kao Semeredijeva

teorema, dao je Rot 1953.

Teorema 8 (Rot). Za svako δ > 0, postoji N takvo da, kad god A ⊂ [N ] ima velicinu |A|≥ δN , onda

A sadrzi 3-AP. Zapravo, postoje konstante c1, c2 > 0 takve da je dovoljno da vazi δ ≥ c1(log logN)−c2.

U dokazu cemo imati analiticki pristup. Pre svega, hajde da direktno izbrojimo koliko 3-AP ima

u A. Taj broj je ∑x,y,z∈[N ]

A(x)A(y)A(z)1(x+ z = 2y). (3)

Kako da napisemo drugacije izraz 1(m = 0)? Setimo se Ojlerovog identiteta: e2πi = 1. Koristeci

Ojlerov identitet, mozemo da identifikujemo nulu u Z/NZ na sledeci nacin.∑x∈[N ]

e2πiNmx = N1(N |m).

Naime, ako N |m, onda su svi e2πiNmx = 1. S druge strane, ako N - m, onda

∑x∈[0,N−1] e

2πiNmx =

e2πim−1

e2πiN

m−1= 0.

U ostatku kursa, sa ZN oznacavamo Z/NZ. Ako bismo sada posmatrali A po modulu N , imamo

problem da 3-AP po modulu N nije nuzno i 3-AP u Z. Ali, lako mozemo otkloniti ovaj problem, ako

uzmemo podskup A′ ⊂ A, oblika A′ = A ∩ (jN/3, (j + 1)N/3], za neko j, takav da |A′|≥ δ3N . Sada

su 3-AP u A′ po modulu N isto sto i 3-AP u Z. Dakle, pisuci ω = e2πiN , broj 3-AP u A′ je∑

x,y,z∈ZN

A′(x)A′(y)A′(z)1(x+ z = 2y) =∑

x,y,z∈ZN

A′(x)A′(y)A′(z)N−1∑r∈ZN

ωr(2y−x−z)

=N−1∑r∈ZN

( ∑x∈ZN

A′(x)ω−xr)( ∑

y∈ZN

A′(y)ω2yr)( ∑

z∈ZN

A′(z)ω−zr).

Dakle, prirodno dolazimo do sledece definicije, pre koje usvajamo jos jednu notaciju. Za konacan

skup X, Ex∈X je skracenica od |X|−1∑

x∈X .

Definicija 9 (Furijeova transformacija). Neka je f :ZN → C funkcija. Furijeova transformacija je

funkcija f :ZN → C definisana sa

f(r) = Ex∈ZN

f(x)ω−rx.

Broj f(r) se naziva Furijeovim koeficijentom f u r.

Kao sto smo videli gore, koristeci Ojlerov identitet, imamo izraz koji sadrzi clanove oblika A′(x) i

koji je jednak izrazu koji sadrzi A′. Samim tim, ocekujemo vezu izmedu date funkcije i njene Furijeove

transformacije, koja se bazira na Ojlerovom identitetu. Sledeci stav potvrduje ovu intuiciju.

6

Stav 10. Neka su f, g:ZN → C funkcije. Vazi sledece.

(i) (Inverzna Furijeova transformacija) f(x) =∑

r∈ZNf(r)ωrx.

(ii) (Parsevalov identitet) Ex∈ZNf(x)g(x) =

∑r∈ZN

f(r)g(r).

Dokaz. (i): Algebarskom manipulacijom dobijamo∑r∈ZN

f(r)ωrx =∑r∈ZN

Ey∈ZN

f(y)ω−ryωrx

= Ey∈ZN

f(y)∑r∈ZN

ω−r(y−x)

= Ey∈ZN

f(y)N1(x = y)

=f(x).

(ii): Slicno kao u prethodnom delu∑r∈ZN

f(r)g(r) =∑r∈ZN

Ex,y∈ZN

f(x)g(y)ωr(y−x)

= Ex,y∈ZN

f(x)g(y)∑r∈ZN

ωr(y−x)

= Ex,y∈ZN

f(x)g(y)N1(x = y)

= Ex∈ZN

f(x)g(x).

Vratimo se sada na izraz (3). Iako nam to nije vazno za trenutni dokaz, primetimo da se izraz

moze napisati i kao ∑x,y∈[N ]

A(x)A(y)A(2y − x) =∑y∈[N ]

A(y)( ∑x∈[N ]

A(X)A(2y − x)).

Izrazi poput ovog u velikim zagradama su cesti u matematici, i nazivaju se konvolucijama, koje sada

definisemo.

Definicija 11. Neka su f, g:ZN → C funkcije. Konvolucija funkcija f i g je funkcija f ∗ g:ZN → Cdefinisana kao

f ∗ g(x) = Ey∈ZN

f(y)g(x− y).

Furijeova transformacija i konvolucija se lepo slazu, kao sto cemo videti iz sledeceg stava.

Stav 12. Neka su f, g:ZN → C funkcije. Onda je

f ∗ g(r) = f(r)g(r).

7

Dokaz. Slicno kao i u prethodnom dokazu,

f ∗ g(r) = Ex∈ZN

f ∗ g(x)ω−rx = Ex,y∈ZN

f(y)g(x− y)ω−rx

= Ex,y∈ZN

f(y)ω−ryg(x− y)ω−r(x−y)

=(

Ey∈ZN

f(y)ω−ry)(

Ex∈ZN

g(x)ω−rx)

=f(r)g(r)

sto je i trebalo pokazati.

Sada kada smo se upoznali sa osnovnim svojstvima Furijeovih transformacija, primetimo sledece.

Neka je A ⊂ ZN skup gustine δ, dakle |A|= δN . Onda je A(0) = Ex∈ZNA(x) = δ. S druge

strane, iz Parsevalovog identiteta, znamo da je∑

r∈ZN|A(r)|2= Ex∈ZN

|A(x)|2= δ. Dakle, za dato

c > 0, mozemo imati najvise δc−2 Furijeovih koeficijenata takvih da |A(r)|≥ c. Drugim recima, veliki

Furijeovi koeficijenti su retki. Dalje, primetimo jos i da ako je A slucajno izabrani podskup od ZNtako sto svaki element iz ZN nezavisno biramo u A sa verovatnocom δ, onda imamo sledece ocene:

EA|A|= δN

i, za r = 0,

EA|A(r)|2=E

A

(N−2

∑x,y∈ZN

A(x)A(y)ω−r(x−y))

=N−2∑

x,y∈ZN

ω−r(x−y)P(x, y ∈ A)

=N−2(δN + δ2

∑x,y∈ZNx =y

ω−r(x−y))

=N−2(δN + δ2

((∑

x,y∈ZN

ω−r(x−y))−N))

=N−1(δ − δ2).

(Ovde je ocekivanje uzeto u odnosu na distribuciju A.) Dakle, vidimo da za slucajno izabrani skup

ocekujemo da zapravo ima male Furijeove koeficijente, osim A(0), koji je neizbezno jednak |A|/N .

Malo kasnije u kursu cemo videti kako da dokazemo da su sa velikom verovatnocom svi A(r) istovre-

meno mali za r = 0, ali je ovo dovoljno za potrebe dalje motivacije.

Iz svega ovog zakljucujemo da su veliki Furijeovi koeficijenti retki, i da su posledica odredene struk-

ture u skupu.

Sada smo spremni da zapocnemo dokaz Rotove teoreme. Prvi zadatak nam je da pokazemo da 3.

preda–

vanje

gust skup bez 3-AP ima veliki Furijeov koeficijent kada ga vidimo kao podskup od ZN .

8

Dokaz Teoreme 8. Neka je A ⊂ ZN gustine δ. Pretpostavimo da A nema netrivijalnih 3-AP. U toku

dokaza cemo posmatrati A i kao podskup celih brojeva, i kao podskup ZN , bez dodatnih komentara.

Stav 13. Pretpostavimo da je N neparno. Postoji r ∈ ZN \ 0 takav da |A(r)|≥ δ2

3− 1

N.

Dokaz. Neka je B ⊂ A oblika A ∩ [iN/3, (i + 1)N/3) takav da |B|≥ δN/3. Onda je aritmeticka

progresija x, y, z u ZN takva da x ∈ A, y, z ∈ B, takode aritmeticka progresija u Z. Koristeci svojstva

Furijeovih transformacija i pisuci 2 ·B = 2b: b ∈ B, vidimo da je broj takvih aritmetickih progresija

jednak

3-AP(A,B,B) =∑

x,y∈ZN

A(x)B(y)B(2y − x) =∑

x,y∈ZN

A(x)(2 ·B)(y)B(y − x)

=N2 Ex∈ZN

A(x)(2 ·B) ∗ (−B)(x)

=N2∑r∈ZN

A(r)((2 ·B) ∗ (−B)

)∧(r)

=N2∑r∈ZN

A(r)2 ·B(r)(−B)(r).

Dakle, odvajajuci nulti Furijeov koeficijent,∣∣∣ 3-AP(A,B,B)− A(0)2 ·B(0)(−B)(0)N2∣∣∣ ≤N2

∑r∈ZN\0

A(r)2 ·B(r)(−B)(r)

≤N2(

maxr∈ZN\0

|A(r)|) ∑r∈ZN

∣∣∣2 ·B(r)∣∣∣∣∣∣(−B)(r)

∣∣∣(na osnovu nejednakosti Kosi-Svarca)

≤N2(

maxr∈ZN\0

|A(r)|)( ∑

r∈ZN

∣∣∣2 ·B(r)∣∣∣2) 1

2( ∑r∈ZN

∣∣∣(−B)(r)∣∣∣2) 1

2

(koristeci Parsevalov identitet)

≤N2(

maxr∈ZN\0

|A(r)|)(

Ex∈ZN

|(2 ·B)(x)∣∣∣) 1

2(

Ex∈ZN

|(−B)(x)|2) 1

2

≤|B|N(

maxr∈ZN\0

|A(r)|).

(4)

Prema pretpostavci, 3-AP(A,B,B) ≤ |B|, pa imamo

maxr∈ZN\0

|A(r)|≥ δ|B|2−|B||B|N

≥ δ2

3− 1

N,

cime je dokaz zavrsen.

U ostatku dokaza, cilj nam je da iskoristimo veliki Furijeov koeficijent kako bismo dobili dodatnu

strukturu u datom skupu A. Pokazacemo da postoji relativno dugacka aritmeticka progresija na kojoj

9

A ima znacajno vecu gustinu od δ.1 Kako bismo zavrsili dokaz, ponavljacemo ovaj postupak sve dok

ne dobijemo skup gustine 1, koji mora sadrzati netrivijalnu 3-AP, sto ce biti kontradikcija. Ovakva

strategija se naziva strategija povecavanja gustine.2

Neka je r ∈ ZN \ 0 takvo da je |A(r)|≥ δ2

3− 1

N. Pretpostavimo da je N > 100δ−2, pa je

δ2

3− 1

N≥ δ2

10. Dakle, |

∑x∈ZN

A(x)ω−rx|≥ δ2

10N . Nama je cilj da nademo aritmeticku progresiju P ⊂ Z

takvu da∑

x∈P A(x) = |P ∩A|≥ (δ+ ε)|P |, pa cemo zbog toga da podelimo ZN u skupove na kojima

je x 7→ ω−rx priblizno konstantno. Izaberimo tacke na jedinicnoj kruznici αj = e2πitj, za j ∈ [t], gde

je t = ⌈100πδ−2⌉, i definisimo skupove

Sj =x ∈ [N ]: min

j′∈[t]|ω−rx − αj′ |= |ω−rx − αj|

.

Stav 14. Ukoliko je 24104δ−4 ≤ N , onda postoji j ∈ [t] takvo da

|Sj|≥δ4N

2 · 104

i

|Sj ∩ A|≥(δ +

δ4

2 · 104)|Sj|.

Dokaz. Neka je f : [N ] → −δ, 1−δ funkcija definisana sa f(x) = A(x)−δ. Koristeci ovako definisane

skupove Sj i funkciju f , imamo∣∣∣ ∑x∈[N ]

f(x)ω−xr −∑i∈[t]

∑x∈Si

f(x)αj

∣∣∣ ≤ (∑i∈[t]

∑x∈Si

|ω−rx − αi|)+ t ≤ 2π

t(N + t) + t ≤ δ2

50N + 2t,

gde smo dodali i clan t, buduci da je moguce da x pripada u dva skupa Si, ali takvih slucajeva ima

najvise t. Ali,∑

x∈[N ] f(x)ω−xr =

∑x∈[N ](A(x)− δ)ω−xr = NA(r), pa imamo∣∣∣NA(r)−∑

j∈[t]

∑x∈Sj

f(x)αj

∣∣∣ ≤ δ2

50N + 2t

odakle, na osnovu nejednakosti trougla, sledi da∑j∈[t]

∣∣∣∑x∈Sj

f(x)αj

∣∣∣ ≥ N |A(r)|− δ2

50N − 2t ≥ δ2N

20− 3t.

Neka je J+ = j ∈ [t]:∑

x∈Sjf(x) ≥ 0 i J− = j ∈ [t]:

∑x∈Sj

f(x) < 0. Onda vazi

∑j∈J+

∣∣∣∑x∈Sj

f(x)∣∣∣+ ∑

j∈J−

∣∣∣∑x∈Sj

f(x)∣∣∣ ≥ δ2N

20− 3t

1Iako mozda ovo na prvi pogled deluje kao netrivijalan korak, u pitanju je analogon matematicke indukcije po δ.2Na engleskom density increment strategy.

10

i ∣∣∣∣ ∑j∈J+

∣∣∣∑x∈Sj

f(x)∣∣∣− ∑

j∈J−

∣∣∣∑x∈Sj

f(x)∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∑

j∈[t]

∑x∈Sj

f(x)∣∣∣ ≤ t.

Dakle, ∑j∈J+

∣∣∣∑x∈Sj

f(x)∣∣∣ ≥ δ2N

40− 2t,

te postoji j ∈ J+ takvo da∣∣∣∑x∈Sj

f(x)∣∣∣ ≥ δ2N

40t− 2 i

∑x∈Sj

f(x) ≥ 0. Odatle sledi da je

|Sj ∩ A|−δ|Sj|=∑x∈Sj

f(x) ≥ δ2N

40t− 2,

sto daje |Sj|≥ δ4N2·104 i |Sj∩A|≥

(δ+ δ4

2·104

)|Sj|, buduci da je N ≥ 24104δ−4, sto je i trebalo pokazati.

Sada kada smo dobili povecanje gustine na nekom skupu Sj, preostaje da pronademo dugacku

aritmeticku progresiju u Z na kojoj takode imamo povecanje gustine. Primetimo da zapravo Sj

mozemo da podelimo u aritmeticke progresije.

Stav 15. Neka je πN :Z → ZN prirodna projekcija i neka je N ≥ 100t2. Postoji m ≤ 4t√N i

disjunktne aritmeticke progresije P1, . . . , Pm ⊂ [N ] takve da je πN(P1) ∪ . . . ∪ πN(Pm) = Sj.

Dokaz. Primetimo da mozemo da pronademo malo v takvo da je i rv malo. Posmatrajmo (x, rx) ∈ Z2N

za sve x ∈ ZN . Podelimo Z2N u kvadrate stranice duzine q = ⌈2

√N⌉ – skupove oblika iq, iq +

1, . . . ,min(i+1)q−1, N−1×jq, jq+1, . . . ,min(j+1)q−1, N−1, i, j ≥ 0. Posto imamo manje

od N kvadrata, postoje x1 = x2 takvi da (x1, rx1), (x2, rx2) pripadaju istom kvadratu. Napisimo

v = x1 − x2 i primetimo da vazi v, rv ∈ −⌈2√N⌉,−⌈2

√N⌉+ 1, . . . , ⌈2

√N⌉ ⊂ ZN . Bez umanjenja

opstosti v ∈ [⌈2√N⌉], (u suprotnom posmatrajmo −v).

Neka je ι:ZN → [N ] ⊂ Z preslikavanje takvo da πN(ι(x)) = x. Podsetimo se sada da je Sj =

x ∈ ZN : |ω−rx − e2πitj|≤ d, gde je d = |e 2πi

tj − e

2πit (j+

12)|. Dakle, Sj = x ∈ ZN : rx ∈ [a, b], gde su

a, b ∈ ZN , a [a, b] = a, a+ 1, . . . , b.Neka je v = ι(v). Podelimo [N ] u aritmeticke progresije koraka v. Za svaku aritmeticku progresiju

u0, u0+v, . . . , medu njima, gde je u0 ∈ [v], prolazimo redom po svim elementima u0+iv i proveravamo

da li πN(u0+iv) pripada Sj. Primetimo da rπN(u0+(i+1)v)−rπN(u0+iv) = rv ∈ [−⌈2√N⌉, ⌈2

√N⌉].

Dakle, rπN(u0 + iv) se svaki put promeni za najvise ⌈2√N⌉, a buduci da je interval [a, b] u definiciji

Sj duzine bar N/t, zakljucujemo da ako πN(u0 + iv) /∈ Sj, πN(u0 + (i + 1)v) ∈ Sj, onda i narednih

bar Nt⌈2

√N⌉ − 2 elementa u aritmetickoj progresiji pripada Sj. Dakle, ι(Sj)∩ u0, u0 + v, . . . moze da

se podeli u aritmeticke progresije u [N ] od kojih sve osim najvise dve imaju duzinu bar Nt⌈2

√N⌉ − 1.

Prolazeci po svim u0 ∈ [v], vidimo da Sj moze da se podeli u disjunktne aritmeticke progresije u [N ]

od kojih sve osim njih najvise 2⌈2√N⌉ imaju duzinu bar N

t⌈2√N⌉ − 1. Samim tim je broj aritmetickih

progresija najvise 4t√N , cime je dokaz zavrsen.

11

Kombinujuci sve uradeno do sada, zakljucujemo sledece.

Stav 16. Neka je N ≥ 24106δ−4, δ ∈ (0, 1], i neka je A ⊂ [N ] velicine |A|= δN . Ako A nema

netrivijalnih 3-AP, onda postoji aritmeticka progresija P ⊂ [N ] duzine bar δ10

271010

√N takva da je

|A ∩ P |≥(δ + δ4

4·104

)|P |.

Dokaz. Na osnovu Stavova 13, 14 i 15 imamo disjunktne aritmeticke progresije P1, . . . , Pm ⊂ [N ],

takve da je m ≤ 4t√N , |P1|+ · · ·+ |Pm|≥ δ4N

2·104 i∑

i∈[m]|A∩Pi|≥(δ+ δ4

2·104

)∑i∈[m]|Pi|. Setimo se da

je t = ⌈100πδ−2⌉. Neka je

I =i ∈ [m]: |Pi|≤

δ8

8 · 108mN

(skup indeksa svih kratkih aritmetickih progresija). Onda je∑i∈[m]\I

|A ∩ Pi|≥(δ +

δ4

2 · 104)( ∑

i∈[m]

|Pi|)−(∑

i∈I

|Pi|)≥(δ +

δ4

2 · 104)( ∑

i∈[m]

|Pi|)− δ8

8 · 108N

≥(δ +

δ4

4 · 104)( ∑

i∈[m]

|Pi|).

Dakle, postoji izbor i ∈ [m] \ I takav da |A ∩ Pi|≥(δ + δ4

4·104

)|Pi|, cime je dokaz zavrsen.

Ukoliko je N ≥ 2421060δ−60, onda je duzina aritmeticke progresije P u Stavu 16 bar N1/3. Da

bismo zavrsili dokaz Rotove teoreme, primenimo ovaj stav 4 ·104δ−3 puta, da bismo dobili aritmeticku

progresiju P duzine barN3−4·104δ−3

na kojoj je gustina skupa A bar 2δ. Da bismo ovo mogli da uradimo,

mora da vazi da je N3−4·104δ−3

≥ 2421060δ−60.

Sada primenimo sve ovo jos log2 δ−1 puta. Nakon i-tog koraka, dobijamo gustinu bar 2iδ na

aritmetickoj progresiji velicine

N3−4·104δ−3

(1+8−1+···+8−(i−1)

),

i mora da vazi da je ovaj broj bar 2−60(i−1)2421060δ−60. Dakle, ukoliko je δ ≥ c1(log logN)−c2 , za neke

pozitivne konstante c1, c2 > 0, zavrsicemo sa aritmetickom progresijom P duzine bar 3 na kojoj A

ima gustinu 1, sto je kontradikcija.

2.1. Neprekidnost konvolucija

Vratimo se sada na pocetak dokaza Rotove teoreme, tacnije na nejednakost (4). Ta nejednakost

nam govori da izraz koji ukljucuje konvolucije, kao sto je 3-AP(A,B,B), mozemo da aproksimiramo

koristeci samo velike Furijeove koeficijente. Ako razmisljamo dalje u tom pravcu, posmatrajmo kon-

voluciju date funkcije f :ZN → [0, 1] sa samom sobom. Imamo da je

f ∗ f ∗ . . . ∗ f︸ ︷︷ ︸k

(r) = f(r)k. (5)

Od ranije vec znamo da je distribucija Furijeovih koeficijenata jako neravnomerna, tj. da postoji

jako malo velikih Furijeovih koeficijenata, i mnogo malih koji imaju ograniceni doprinos. Iz ovoga i

12

izraza (5) vidimo da za konvolucije funkcija ocekujemo da je ova pojava jos izrazenija. U ekstremnom

slucaju, ako bi g:ZN → C bila funkcija kojoj su svi Furijeovi koeficijenti nula, osim za r1, . . . , rl, na

osnovu inverzne Furijeove transformacije, vazilo bi

g(x) =∑i∈[l]

g(ri)ω−rix,

na osnovu cega ocekujemo da se konvolucije funkcija mogu precizno aproksimirati kratkim sumama

oblika∑

i∈[l] ciω−rix. Ovakve sume se nazivaju eksponencijalnim sumama.

Pre nego sto dokazemo prvi rezultat o aproksimacijama konvolucija, iz ZN cemo preci u Fnp kao

okruzenje (ambijentalnu grupu). Kao sto cemo videti, u slucaju Fnp mnogi tehnicki detalji postaju

mnogo jednostavniji, i preostaju samo kljucne ideje za dokaz. Imali smo naznaku toga vec u uvodnom

poglavlju u Lemi 1. Trenutno cemo posmatrati samo Fp = Zp, za prost broj p, dok cemo se kasnije

osvrnuti i na opsta konacna polja. Za Furijeovu analizu su nam potrebne sledece definicije.

Definicija 17. Neka je G Fp-vektorski prostor konacne dimenzije. Bilinearna forma β:G×G→ Fp jenedegenerisana ako je preslikavanje y 7→ β(x, y) 0-preslikavanje ako i samo je x = 0, i ako isto vazi za

drugu koordinatu. Bilinearna forma β je simetricna ako je β(x, y) = β(y, x) za sve x, y ∈ G. Skalarni

proizvod je nedegenerisana bilinearna forma.

Neka je · skalarni proizvod na G, i neka je f :G→ C funkcija. Furijeova transformacija funkcije f je

funkcija f :G→ C, definisana sa

f(r) = Exf(x)ω−r·x,

gde je ω = e2πip .

Primetimo da izraz oblika ωx za x ∈ Fp = Zp dobro definisan, jer je ωp = 1. Stavovi 10 i 12 vaze

u nepromenjenom obliku.

Neka je G Fp-vektorski prostor konacne dimenzije sa skalarnim proizvodom ·. Sada mozemo da

dokazemo prvi rezultat o aproksimacijama konvolucija. Za datu funkciju f :G → C, i realan broj

c > 0, definisimo c-spektar od f kao

Specc(f) =r ∈ G: |f(r)|≥ c

.

Setimo se od ranije da imamo jednostavnu ocenu velicine c-spektra.

Lema 18. Ako je f :G → D = z ∈ C: |z|≤ 1 funkcija i c > 0, onda je |Specc(f)|≤ c−2 Ex|f(x)|2≤c−2.

Dokaz. Koristeci svojstva Furijeove transformacije

c2|Specc(f)|≤∑r

|f(r)|2= Ex|f(x)|2≤ 1,

odakle tvrdenje sledi.

13

Teorema 19 (Argument Bogoljubova). Neka je f :G→ [−1, 1]. Neka je ε > 0. Neka je Spec√ε(f) =

r1, . . . , rm. Neka je −f(x) = f(−x). Onda postoje konstante c1, . . . , cm ∈ D takve da∣∣∣(f ∗ (−f))∗(f ∗ (−f)

)(x)−

∑i∈[m]

ciωrix∣∣∣ ≤ ε

(Ey|f(y)|2

)≤ ε,

za svako x ∈ Fnp .

Dokaz. Koristeci inverznu Furijeovu transformaciju imamo(f ∗ (−f)

)∗(f ∗ (−f)

)(x) =

∑r

((f ∗ (−f)

)∗(f ∗ (−f)

))∧

(r)ωrx

=∑r

∣∣∣f(r)∣∣∣4ωrx.Prebacujuci velike Furijeove koeficijente na levu stranu, imamo∣∣∣∣(f ∗ (−f)

)∗(f ∗ (−f)

)(x)−

∑i∈[m]

∣∣∣f(ri)∣∣∣4ωri·x∣∣∣∣ ≤ ∑r:|f(r)|<

√ε

∣∣∣f(r)∣∣∣4≤ε

∑r:|f(r)|≤

√ε

∣∣∣f(r)∣∣∣2≤εE

y|f(y)|2,

kao sto smo i tvrdili.

Tradicionalno se argument Bogoljubova iskazuje na sledeci nacin.

Posledica 20. Neka je A ⊂ G takav da je |A|= δ|G|. Onda 2A − 2A sadrzi potprostor kodimenzije

najvise 2δ−2, gde je 2A skracenica za A+ A.

Dokaz. Primenimo Teoremu 19 za funkciju f = A, i ε = δ3

2. Neka su r1, . . . , rm kao u toj teoremi.

Neka je V = v ∈ G: (∀i ∈ [m])v · ri = 0, sto je potprostor kodimenzije m ≤ 2δ−2, na osnovu

Leme 18. Onda za svako x ∈ V vazi∣∣∣∣(f ∗ (−f))∗(f ∗ (−f)

)(x)−

∑i∈[m]

∣∣∣f(ri)∣∣∣4∣∣∣∣ ≤ δ3

2Ey|f(y)|2= δ4

2.

Medutim, posto 0 ∈ r1, . . . , rm i f(0) = δ, imamo∑

i∈[m]

∣∣∣f(ri)∣∣∣4 ≥ δ4, odakle sledi da je za svako

x ∈ V (f ∗ (−f)

)∗(f ∗ (−f)

)(x) ≥ δ4

2> 0,

pa je x ∈ 2A− 2A.

14

Zbog ove posledice smo sada uveli Furijeovu analizu na vektorskim prostorima konacne dimenzije 4.

preda–

vanje

nad konacnim poljima, iako bi dokaz Teoreme 19 bio nepromenjen u slucaju ZN . U sledecem poglavlju,

kada budemo govorili o Frajmanovoj teoremi, moracemo drugacije da formulisemo ovu posledicu.

Za sada smo uspeli da nademo zeljenu aproksimaciju za konvolucije oblika(f ∗ (−f)

)∗(f ∗

(−f)). Nase sledece pitanje je sta se desava sa konvolucijama dve funkcije. U tom slucaju ovako jaka

aproksimacija nije moguca. Primer za ambijentalnu grupu ZN je dao Ruza, a mi ovde predstavljamo

taj primer prilagoden za Fnp .

Teorema 21 (Ruza). Za svako d, postoji dovoljno veliko n i funkcija f :Fn2 → 0, 1 takva da u svakom

potprostoru V ≤ Fn2 kodimenzije d postoje tacke u, v ∈ V takve da je f ∗ f(u) ≥ 1/3 i f ∗ f(v) = 0.

Dokaz. Neka je n parno, i posmatrajmo f(x) = 1 ako x ima najvise n2− d jedinica, i f(x) = 0 inace.

Neka je V dati potprostor kodimenzije d. U V onda postoji v koje ima najvise d nula. Odmah vidimo

da je f ∗ f(v) = 0. S druge strane, 0 ∈ V i f ∗ f(0) = E f(x) ≥ 1/3, ukoliko je n dovoljno veliko.

Kad je rec o aproksimacijama konvolucija, imamo sledeci rezultat.

Teorema 22 (Burgan). Neka je f :G→ [−1, 1] funkcija. Za ε > 0 postojem ≤ O((213ε−8 log p)256ε

−2 log p),

c1, . . . , cm ∈ D i r1, . . . , rm ∈ G takvi da je∑

i∈[m]|ci|≤ 1 i

Ex

∣∣∣f ∗ (−f)(x)−∑i∈[m]

ciωri·x∣∣∣ ≤ ε.

Ovaj rezultat vazi u slicnoj formi za konvolucije dve funkcije, ali je dokaz nesto manje tehnicki u

ovom slucaju.

Dokaz. Kao i u teoremi Bogoljubova, zapocecemo dokaz inverznom Furijeovom transformacijom.

Dakle,

f ∗ (−f)(x) =∑r

f ∗ (−f)(r)ωr·x =∑r

∣∣∣f(r)∣∣∣2ωr·x,i cilj nam je da dokazemo da svi clanovi u ovom izrazu, osim njih nekoliko, imaju mali doprinos.

Medutim, za razliku od prethodnog rezultata, ovde moramo da imamo vise kontrole nad ovakvom

eksponencijalnom sumom, i da dokazemo da dolazi do mnogo skracivanja. Glavni alat nam je sledeca

lema.

Lema 23. Neka su s1, . . . , sk ∈ G nezavisni elementi. Onda je

Px∈G(∣∣∣∑

i∈[k]

ωsi·x∣∣∣ ≥ tk

)≤ 4 exp

(− t2k

4

).

Da bismo dokazali ovu lemu, koristimo sledecu teoremu iz teorije verovatnoce.

15

Teorema 24 (Hoefdingova nejednakost (Hoeffding’s inequality)). Neka su X1, . . . , Xn nezavisne

slucajne promenljive takve da Xi uzima vrednosti u [ai, bi]. Onda X = 1n

∑i∈[n]Xi zadovoljava

P(∣∣∣X − EX

∣∣∣ ≥ t)≤ 2 exp

(− 2n2t2∑

i∈[n](bi − ai)2

).

Dokaz Leme 23. Neka je Xi = Reωsi·x za svako i. Tada su X1, . . . , Xk nezavisne slucajne promenljive

sa istom raspodelom, koje uzimaju vrednosti u [−1, 1] i EXi = 0, pa je na osnovu Teoreme 24

Px∈Fnp

(∣∣∣1k

∑i∈[k]

Xi

∣∣∣ ≥ t√2

)≤ 2 exp

(− kt2

4

).

Slicno, definisimo Yi = Imωsi·x. Ove promenljive zadovoljavaju

Px∈Fnp

(∣∣∣1k

∑i∈[k]

Yi

∣∣∣ ≥ t√2

)≤ 2 exp

(− kt2

4

).

Kako je∣∣∣∑i∈[k] ω

si·x∣∣∣2 ≤ ∣∣∣∑i∈[k]Xi

∣∣∣2 + ∣∣∣∑i∈[k] Yi

∣∣∣2, tvrdenje sledi.

Pisimo N = pn = |G|. Posmatrajmo

f ∗ (−f)(x) =∑r

|f(r)|2ωr·x =∞∑i=0

∑r∈Si

|f(r)|2ωr·x,

gde je Si =r: (1 − ε)

i+12 < |f(r)|≤ (1 − ε)

i2

. Skup Si cemo nazivati i-tim slojem. Slojeve smo

definisali na ovaj nacin, kako bi deo sume na svakom sloju mogao da je aproksimira jednostavnijom

eksponencijalnom sumom∣∣∣∑r∈Si

|f(r)|2ωr·x − (1− ε)i∑r∈Si

ωr·x∣∣∣ ≤∑

r∈Si

((1− ε)i − (1− ε)i+1

)≤ ε

1− ε

∑r∈Si

|f(r)|2.

Posto je∑

r|f(r)|2≤ 1, izmedu ostalog vazi i

∣∣∣f ∗ (−f)(x)−i0∑i=0

(1− ε)i∑r∈Si

ωr·x∣∣∣ ≤ 3ε,

ukoliko je ε < 1/2, gde je i0 najmanja moguca vrednost sa svojstvom√

εN

≥ (1− ε)i0/2.

Za svaki sloj Si, definisemo los skup Li =x:∣∣∣∑r∈Si

ωr·x∣∣∣ > ε|Si|

. Sada delimo Si u nezavisne

skupove I1, . . . , Im velicine k =⌈logp

(ε2|Si|)⌉

, sve dok nam ne preostane najvise ε2|Si| elemenata. Za

svaki nezavisan skup I vazi

Px∈Fnp

(∣∣∣∑r∈I

ωr·x∣∣∣ ≥ ε

4|I|)≤ 4 exp

(− ε2k

64

).

16

Ako je∣∣∣∑r∈I1∪...∪Im ω

r·x∣∣∣ ≥ ε

2

∑j∈[m]|Ij|, onda

∣∣∣∑r∈Ij ωr·x∣∣∣ ≥ ε

4|Ij| vazi za bar ε

4m skupova Ij.

Dvostrukim prebrojavanjem zakljucujemo Ako je∣∣∣∑r∈I1∪...∪Im ω

r·x∣∣∣ ≥ ε

2

∑j∈[m]|Ij|, onda

∣∣∣∑r∈Ij ωr·x∣∣∣ ≥

ε4|Ij| vazi za bar ε

4m skupova Ij. Dvostrukim prebrojavanjem zakljucujemo

|Li|≤ 16ε−1 exp(− ε2k

64

)N ≤ 16ε−1

(ε2|Si|)− ε2

64 log pN.

Prema tome, ukoliko je sloj dovoljno velik, onda je odgovarajuca suma retko dovoljno velika da bi

znacajno doprinela sumi u Furijeovom razvoju.

Kazemo da je sloj Si mali ukoliko

|Si|≤ ε2(1− ε)−12i.

U suprotnom, sloj Si je veliki. Neka je I skup svih i ∈ [i0] takvih da je Si mali sloj. Imamo∣∣∣∑i∈I

∑r∈Si

|f(r)|2ωr·x∣∣∣ ≤ ∞∑

i=0

ε2(1− ε)12i ≤ ε2

1−√1− ε

≤ 3ε.

Neka je J > 0, koje cemo kasnije precizirati. Definisimo T = i ≥ J :Si je veliki sloj. Imamo

∑i∈T

|Li|≤∑i∈T

16ε−1(ε2|Si|)− ε2

64 log pN

≤∑i≥J

16ε−1

(ε3

2(1− ε)−

12i

)− ε2

64 log p

N

≤ 16ε−1(ε32

)− ε2

64 log p (1− ε)ε2

128 log pJ

1− (1− ε)ε2

128 log p

N

≤ 32ε−4(1− ε)ε2

128 log pJ · 256ε−3 log(p)N

≤ 213ε−7(1− ε)ε2

128 log pJ log(p)N

gde je u pretposlednjoj liniji iskoriscena nejednakost 1− (1− ε)c ≥ cε2. Uzmimo J takvo da ovaj izraz

manji od εN . Dakle, za svako ε > 0, mozemo izabrati σ = O((213ε−8 log p)128ε

−2 log p)−1

takvo da∣∣∣f ∗ (−f)(x)−∑

|f(r)|≥σ

|f(r)|2ωx·r∣∣∣ ≤ 10ε

vazi za sve osim najvise 10εN vrednosti x. Furijeovih koeficijenata apsolutne vrednosti ne manje od

σ je najvise σ−2, cime je dokaz zavrsen.

Kao sto vidimo, izvor aproksimacija konvolucija su nam veliki Furijeovi koeficijenti. Primetimo

s druge strane da, ako su r1, . . . , rk veliki Furijeovi koeficijenti, onda ocekujemo da oni ne mogu biti

17

nezavisni u G, zbog Leme 23, jer bi onda odgovarajuca eksponencijalna suma∑

i∈[k] f(ri)2ωri·x retko

imala velike vrednosti, pa samim tim ne bi mogla da aproksimira f ∗ f . Dakle, ocekujemo da medu

velikim Furijeovim koeficijentima ima dosta linearne zavisnosti, ili drugim recima, aditivne strukture.

Ovo je sadrzina sledece teoreme.

Teorema 25 (Cang). Neka je f :G→ D takva Ex|f(x)|= δ. Onda je rkr∈G: |f |≥ εδ ≤ O(ε−2 log δ−1).

(Sa rk oznacavamo rang skupa, tj. maksimalnu velicinu linearno nezavisnog podskupa.)

Dokaz. Neka je r1, . . . , rk maksimalan nezavisan podskup u r ∈ G: |f |≥ εδ. Neka je g:G → Cfunkcija takva da su Furijeovi koeficijenti of g nula, osim g(ri) = cf(ri). Na osnovu inverzne Furijeove

transformacije, znamo da je g(x) = c∑

i∈[k] f(ri)ωrix. Izaberimo i c tako da je Ex|g(x)|2= 1, dakle,

g(x) =(∑i∈[k]

∣∣∣f(ri)∣∣∣2)− 12∑i∈[k]

f(ri)ωrix.

Onda vazi

Exf(x)g(x) =

∑r

f(r)g(r) =(∑i∈[k]

∣∣∣f(ri)∣∣∣2)− 12∑i∈[k]

∣∣∣f(ri)∣∣∣2 = (∑i∈[k]

∣∣∣f(ri)∣∣∣2) 12 ≥

√kεδ.

S druge strane, koristeci Holderovu nejednakost, za 1l+ 1

m= 1 imamo∣∣∣E

xf(x)g(x)

∣∣∣ ≤ (Ex|f(x)|l

)1/l(Ex|g(x)|m

)1/m≤ δ1/l

(Ex|g(x)|m

)1/m.

Dakle,√k ≤ ε−1δ−

1m

(Ex|g(x)|m

)1/m.

Ostaje nam da nademo ocenu za(Ex|g(x)|m

)1/m. Buduci da su r1, . . . , rk nezavisni, postupamo kao

u dokazu Leme 23. Buduci da je ovo norma, imamo(Ex|g(x)|m

)1/m≤(Ex|Re g(x)|m

)1/m+(Ex|Im g(x)|m

)1/m.

Na osnovu nejednakosti Heofdinga (Teorema 24) imamo

Px∈G(|Re g(x)|≥ t

)≤ 2 exp

(− t2

2

).

Dakle,

Ex|Re g(x)|m≤

∫ ∞

t=0

tm−12 exp(− t2

2

)dt = O(m)m/2+O(1),

odakle zakljucujemo

k ≤ O(ε−2δ−2mm).

Da bismo zavrsili dokaz, izaberimo m = log δ−1.

18

§3 Frajmanova teorema

Na samom pocetku kursa smo postavili sledece pitanje – kako izgleda skup celih brojeva A sa

svojstvom |A + A|≤100|A|? Frajman je 1962. opisao takve skupove. Setimo se da su aritmeticke

progresije zadovoljavale ovo svojstvo. Opstije, ako su P1, . . . , Pk aritmeticke progresije, nije tesko

videti da skup oblika Q = P1+ · · ·+Pk zadovoljava |Q+Q|≤ 2k|Q|. Ovakav skup se naziva uopstenom

aritmetickom progresijom, a broj k nazivamo dimenzijom. Dodatno, ako je A gust podskup od Q,

recimo |A|≥ δ|Q|, onda |A+A|≤ |Q+Q|≤ 2k|Q|≤ δ−12k|A|. Frajmanova teorema nam govori da su

ovo jedini primeri skupova koji imaju malo razlicitih suma parova elemenata.

Teorema 26 (Frajman). Neka je A ⊂ Z takav da vazi |A + A|≤ K|A|. Onda postoji uopstena

aritmeticka progresija Q dimenzije OK(1) takva da je A ⊂ Q i |Q|≤ OK(|A|).

Ruza je 1994. dao novi dokaz Frajmanove teoreme, koji je potom imao veliki uticaj na aditivnu

kombinatoriku. Njegov dokaz se prirodno deli u nekoliko koraka.

Korak 1. (Plunekeova i Ruzina nejednakost.) Skupovi koji zadovoljavaju |A + A|≤K|A| sporo rastu –

|kA− lA|≤ Kk+l|A|.

Korak 2. (Gust model.) Ako je |A + A|≤ K|A| onda postoji N takvo da je A moze da se predstavi kao

gust podskup od ZN .

Korak 3. (Argument Bogoljubova.) Ako je B gust podskup od ZN onda 2B − 2B ima gust podskup koji

je uopstena aritmeticka progresija ogranicene dimenzije.

Korak 4. (Pokrivanje.) Koristimo uopstenu aritmeticku progresiju koja ima gust presek sa A da naprav-

imo trazenu (koja sadrzi A).

3.1. Plunekeova i Ruzina nejednakost

Teorema 27 (Pluneke-Ruza). Neka su A,B ⊂ Z takvi da je |A + B|≤ K|A|. Onda je |kB −lB|≤Kk+l|A|.

Dokaz (Petridis). Izaberimo ∅ = X ⊂ A takav da je K0 = |X + B|/|X| najmanji, dakle |B + X ′|≥K0|X ′| za sve X ′ ⊂ A. Takode, vazi i K0 ≤ K. Tvrdimo da je za sve konacne Y ⊂ Z

|B +X + Y |≤ K0|X + Y |.

Ovo dokazujemo indukcijom po |Y |. Za |Y |= 1 je ocigledno.

Pretpostavimo da tvrdenje vazi za manje velicine skupa Y . Neka je Y = Y ′ ∪ y. Onda je 5.

preda–

vanjeB +X + Y = (B +X + Y ′) ∪ (B +X + y).

19

Neka je X ′ skup svih x ∈ X takvih da je B + x+ y ⊂ B +X + Y ′. Onda je zapravo

B +X + Y = (B +X + Y ′) ∪(((B +X) \ (B +X ′)) + y

),

pa vazi

|B +X + Y |≤ |B +X + Y ′|+|B +X|−|B +X ′|≤ K0(|X + Y ′|+|X|−|X ′|).

S druge strane,

X + Y = (X + Y ′) ∪ (X + y) = (X + Y ′) ∪ ((X \X ′′) + y)

gde je X ′′ skup svih x takvih da x+ y ∈ X + Y ′, i pritom (X + Y ′) ∩ ((X \X ′′) + y) = ∅. Ali, ondaje X ′′ ⊂ X ′ i |X + Y |= |X + Y ′|+|X|−|X ′′|, pa je

|B +X + Y |≤ K0(|X + Y ′|+|X|−|X ′|) ≤ K0(|X + Y ′|+|X|−|X ′′|) = K0|X + Y |.

Izmedu ostalog imamo da je |kB +X|≤ Kk0 |X|. Sada primetimo

Lema 28 (Ruzina nejednakost trougla). Za skupove U, V,W ⊂ Z vazi |U +V ||V +W |≥ |U −W ||V |.

Dokaz. Za element x ∈ U −W , neka su u(x) ∈ U,w(x) ∈ W takvi da u(x) − w(x) = x. Primetimo

da je preslikavanje (x, v) 7→ (u(x) + v, w(x) + v) injektivno. Naime, pretpostavimo da se parovi (x, v)

i (x′, v′) slikaju u isti par. Onda je

x = (u(x) + v)− (w(x) + v) = (u(x′) + v′)− (w(x′) + v′) = x′,

a potom je i u(x) + v = u(x′) + v′ = u(x) + v′, pa je i v = v′.

Primenimo ovu nejednakost na kB+X, lB+X. ImamoKk+l0 |X|2≥ |kB+X||lB+X|≥ |kB−lB||X|,

odakle sledi teorema.

Ovu teoremu smo dali za slucaj potencijalno razlicitih skupova A i B, iako nam je ovde dovoljna

verzija u kojoj su A = B. Asimetricna verzija ce biti potrebna kasnije u kursu.

Zanimljivo je da iz leme sledi |A+A|2≥|A−A||A|, pa je |A+A|4≥|A−A|2|A|2≥|A−A|3, i imamo

|A−A|≤|A+A|4/3. Ovo je najbolja poznata ocena razlike preko sume, i nije se promenila 40 godina,

cak ni asimptotski.

3.2. Gust model

Kao sto smo vec videli u kratkom pregledu dokaza, cilj ce biti da primenimo argument Bogoljubova,

zbog cega zelimo da imamo gust podskup od ZN . Takode bice potrebno i da taj podskup mozemo

da vratimo u pocetni. Dakle, zelimo preslikavanje π:A′ → ZN za veliki podskup A′ ⊂ A takav da je

π injektivno, ali i da uopstena aritmeticka progresija Q ⊂ 2π(A′) − 2π(A′) ima istu strukturu kada

primenimo π−1. Linearno preslikavanje bi bilo dovoljno, ali nemamo takva preslikavanja. Ispostavlja

20

se da je dovoljno da imamo pribliznu linearnost – da za sve a1, . . . , a8, b1, . . . , b8 vazi∑

i∈[8] π(ai) =∑i∈[8] π(bi) ako i samo ako

∑i∈[8] ai =

∑i∈[8] bi. Ovakvo preslikavanje nazivamo 8-izomorfizam. (Ovde

je potreban 8-izomorfizam jer zelimo da sacuvamo strukturu uopstene aritmeticke progresije koju smo

pronasli u 2π(A′)− 2π(A′).)

Stav 29 (Postojanje gustog modela). Neka je A ⊂ Z i neka je N prost broj N > 16|8A− 8A|. Ondapostoje A′ ⊂ A velicine |A′|≥ |A|/8, i 8-izomorfizam π:A′ → π(A′) ⊂ ZN .

Dokaz. Uzmimo neki prost broj p > 16max|x|:x ∈ A, 16N . Posmatrajmo sledecu kompoziciju

preslikavanja:

Z πp→ Zpµa−→ Zp

ι→ Z πN→ ZN ,

gde su πp i πN prirodne projekcije, a ∈ Zp (koje cemo tek izabrati), µa:x 7→ ax, i ι:Zp → [0, p−1] ⊂ Zje takvo da πp(ι(x)) = x.

Sva preslikavanja su homomorfizmi osim treceg. Ali, ι je 8-izomorfizam na skupu Ij =x: jp

8≤

x < (j+1)p8

. Za dato a, mozemo izabrati A′ kao inverznu sliku π−1

p (µ−1a (Ij)) ∩ A koji daje naj–veci

skup. Treba da proverimo da li je dato preslikavanje 8-izomorfizam na A′. Neka je π = πN ιµA πp.Za sada znamo da ako je

∑8i=1 ai =

∑8i=1 bi za elemente ai, bi ∈ A′, onda µa(πp(ai)), µa(πp(bi)) ∈ Ij,

i∑8

i=1 µa(πp(ai)) =∑8

i=1 µa(πp(bi)), pa je i∑8

i=1 ι(µa(πp(ai))) =∑8

i=1 ι(µa(πp(bi))), i samim tim i∑8i=1 π(ai) =

∑8i=1 π(bi).

S druge strane, ako je∑8

i=1 π(ai) =∑8

i=1 π(bi), onda N |∑8

i=1 ι(µa(πp(ai))) −∑8

i=1 ι(µa(πp(bi))).

Sada cemo pokazati da ako slucajno biramo a, ovaj dogadaj ima malu verovatnocu ako∑8

i=1 ai =∑8i=1 bi.

Naime, za svaki izbor vrednosti v =∑8

i=1 ai −∑8

i=1 bi = 0 za neke a1, . . . , b8 ∈ A, brojacemo za

koliko a vazi da je odgovarajuca suma slika nula. Vidimo i da

8∑i=1

ι(µa(πp(ai)))−8∑i=1

ι(µa(πp(bi))) ∈ ι( 8∑i=1

µa(πp(ai))−8∑i=1

µa(πp(bi)))+ −7p,−6p, . . . , 7p.

Neka je S skup svih x ∈ Zp takvih da N |ι(x) + jp za neko j ∈ [−7, 7]. Dakle, problem nastaje kada

aπp(v) = a( 8∑i=1

πp(ai)−8∑i=1

πp(bi))=

8∑i=1

µa(πp(ai))−8∑i=1

µa(πp(bi)) ∈ S.

Zbog nacina izbora p vazi πp(v) =∑8

i=1 πp(ai) −∑8

i=1 πp(bi) = 0, pa imamo najvise |S| mogucnosti

za a koje pravi problem, a znamo da je |S|≤ 15(p/N + 1). Imamo ukupno |8A − 8A| vrednostiizraza oblika

∑8i=1 ai −

∑8i=1 bi, pa ako slucajno biramo a sa uniformnom raspodelom, ocekivani broj

vrednosti v za koje imamo gresku je |8A− 8A| |S|p< 1.

3.3. Argument Bogoljubova

21

Teorema 30. Neka je B ⊂ ZN gustine δ. Onda 2B − 2B sadrzi uopstenu aritmeticku progresiju

dimenzije najvise δ−2 i velicine bar(δ2

8

)2δ−2

N .

Ranije smo vec videli argument Bogoljubova (Teorema 19) za slucaj konacnih vektorskih prostora.

U slucaju ZN taj dokaz nam daje sledeci stav. Pisemo ∥x∥Z za rastojanje od realnog broja x do njemu

najblizeg celog broja.

Stav 31 (Argument Bogoljubova). Neka je B ⊂ ZN gustine δ. Onda 2B − 2B sadrzi skup oblikax ∈ ZN :

(∀i ∈ [k]

)∥∥∥rixN

∥∥∥Z≤ 1

4

za neke r1, . . . , rk ∈ ZN \ 0, gde je k ≤ 2δ−2.

Ovakav skup se naziva Borovim skupom. Ovakav skup se vec pojavio u dokazu Rotove teoreme,

samo smo tamo imali k = 1.

Dokaz. Koristeci inverznu Furijeovu transformaciju imamo(B ∗ (−B)

)∗(B ∗ (−B)

)(x) =

∑r

|B(r)|4ωrx.

Neka je Specδ3/2/√2(B) = r1, . . . , rk. Na osnovu Leme 18, k ≤ 2δ−2. Onda je∣∣∣∣(B ∗ (−B)

)∗(B ∗ (−B)

)(x)−

∑i∈[k]

|B(ri)|4ωrix∣∣∣∣ ≤ ∑

r/∈Specδ3/2/

√2(B)

|B(r)|4≤ δ3

2

∑r

|B(r)|2= δ4

2.

Neka je S = x ∈ ZN : (∀i ∈ [k])∥rix/N∥Z≤ 1/4. Onda je

Re(∑i∈[k]

|B(ri)|4ωrix)= δ4 +

∑i∈[k]:ri =0

|B(ri)|4cos(2πrix

N

)≥ δ4.

Samim tim je(B ∗ (−B)

)∗(B ∗ (−B)

)(x) ≥ δ4/2 za svako x ∈ S, odakle tvrdenje sledi.

Preostaje nam da u Borovom skupu S (za date r1, . . . , rk) pronademo uopstenu aritmeticku progre-

siju. Primetimo da x ∈ S akko ∥(r1x, . . . , rkx)− (a1, . . . , ak)∥∞≤ N4, gde su a1, . . . , ak neki celobrojni

umnosci broja N . To je dalje ekvivalentno sa time da (r1x, . . . , rkx) +N · Zk ima netrivijalan presek

sa [−N/4, N/4]k.Da bismo razumeli preseke ovakvih skupova, u nastavku dokaza nam je potrebna teorema Minkov-

skog, i definicije koje idu uz nju. Resetka u Rk je podgrupa generisana sa k linearno nezavisnih vektora.

Baza resetke je skup od k vektora koji je generisu kao grupu.

Neka je Λ resetka u Rk sa Z-bazom x1, . . . , xk. Fundamentalni paralelopiped u odnosu na x1, . . . , xk

je P = a1x1 + · · · + akxk: a1, . . . , ak ∈ [0, 1). Determinanta resetke Λ je zapremina P , koju

obelezavamo sa det Λ. Nije tesko videti da je det Λ = |det(x1 . . . xk)|.Neka je K centralno-simetrican konveksan otvoren skup. Definisimo λ1, . . . , λk kao λi = infλ >

0:λK ∩ Λ sadrzi i linearno nezavisnih elemenata. Ovi brojevi se nazivaju uzastopnim minimumima

K u odnosu na Λ. Neka je µ Lebegova mera na Rk.

22

Teorema 32 (Druga teorema Minkovskog). Neka je Λ resetka, a K centralno-simetrican konveksan

otvoren skup u Rk. Neka su λ1, . . . , λk uzastopni minimumi K u odnosu na Λ. Onda je

λ1 · · ·λkµ(K) ≤ 2k detΛ.

Stav 33. Neka su r1, . . . , rk ∈ ZN \ 0 i neka je S =x ∈ ZN :

(∀i ∈ [k]

)∥∥∥ rixN ∥∥∥Z ≤ 14

. Onda S

sadrzi uopstenu aritmeticku progresiju Q dimenzije najvise k i velicine |Q|≥ (4k)−kN .

Dokaz. Neka je K = (−1/4, 1/4)k i neka je Λ podgrupa generisana sa NZk i (r1, . . . , rk). Nije tesko

uveriti se da je ovo resetka i da je det Λ = Nk−1. Neka su λ1, . . . , λk uzastopni minimumi i neka

je za svako i ∈ [k], vi novi element u λiK ∩ Λ koji je linearno nezavistan u odnosu na prethodne.

Dakle, ∥vi∥∞= λi/4. Na osnovu Teoreme 32, imamo λ1 · · ·λk ≤ 4kNk−1. Takode, vi je oblika

si · (r1, . . . , rk) + Nui, za neke si ∈ Z i ui ∈ Zk. Ako je ai ∈ Z, |ai|≤ Nλik

, onda imamo aivi =

aisi · (r1, . . . , rk) + aiNui, i ∥aivi∥∞≤ N4k. Dakle, x = a1s1 + a2s2 + · · ·+ aksk zadovoljava

∥x · (r1, . . . , rk) +Nw∥∞≤ N

4

za neko w ∈ Zk, pa je x ∈ S. Dakle, Q = s1 · [−M1,M1]+ · · ·+sk · [−Mk,Mk] ⊂ S, gde suMi =⌊Nλik

⌋.

Primetimo i da nikoja dva elementa oblika∑

i∈[k] siai nisu jednaka po modulu N . U suprotnom,

imamo∑

i∈[k] siai ≡∑

i∈[k] sia′i (mod N), pa je za neki w ∈ Zk∥∥∥N(w +

∑i∈[k]

(ai − a′i)ui

)∥∥∥∞

=∥∥∥∑i∈[k]

(ai − a′i)vi

∥∥∥∞

≤∥∥∥∑i∈[k]

aivi

∥∥∥∞+∥∥∥∑i∈[k]

a′ivi

∥∥∥∞

≤ N

2,

odakle sledi∑

i∈[k](ai − a′i)vi = 0, pa je zbog nezavisnosti v1, . . . , vk, ai = a′i za svako i ∈ [k]. Na

kraju, koristeci ocenu 2Mi + 1 ≥ Nλik

, imamo da je |Q|≥ Nk/(kk∏

i∈[k] λi) ≥ (4k)−kN .

Teorema 30 sledi iz Stavova 31 i 33.

3.4. Pokrivanje

Stav 34 (Ruzina lema o pokrivanju). Neka su A,Q ⊂ Z skupovi takvi da Q ⊂ 2A− 2A, |Q|≥ c|A|, i 6.

preda–

vanje

|A+ A|≤ K|A|. Onda postoji skup X velicine |X|≤ c−1K5 takav da A ⊂ X +Q−Q.

Dokaz. Neka je X najveci podskup od A takav da su skupovi x +Q disjunktni za sve x ∈ X. Onda

za svako a ∈ A imamo x ∈ X takvo da a + Q ∩ x + Q = ∅, pa je a ∈ x + Q − Q. Posto je

|X||Q|= |X +Q|≤ |3A− 2A|≤ K5|A|, gde smo iskoristili Teoremu 27, imamo |X|≤ c−1K5.

3.5. Dokaz Frajmanove teoreme

23

Dokaz Teoreme 26. Neka je A konacan skup celih brojeva takav da vazi |A + A|≤ K|A|. Na osnovu

Teoreme 27, imamo da je |8A − 8A|≤ K16|A|. Koristeci Stav 29 i Bertranov postulat, mozemo

naci prost broj N ≤ 32K16|A|, podskup A′ ⊂ A velicine |A′|≥ |A|/8 i 8-izomorfizam π:A′ → B =

π(A′) ⊂ ZN . Dakle, B ima gustinu bar 128K16 u ZN . Prema Teoremi 30, mozemo naci uopstenu

aritmeticku progresiju Q ⊂ 2B − 2B velicine |Q|≥ (219K32)−217K32N i dimenzije najvise 217K32.

Posto imamo 8-izomorfizam izmedu B i A′, to znaci i da 2A′ − 2A′ (pa samim tim i 2A− 2A) sadrzi

uopstenu aritmeticku progresiju Q′ iste velicine i dimenzije kao i Q, sto radi potpunosti formulisemo

kao sledecu lemu.

Lema 35. Neka je π:A′ → B 8-izomorfizam, i neka je Q ⊂ 2B− 2B uopstena aritmeticka progresija

dimenzije k. Onda postoji uopstena aritmeticka progresija Q′ ⊂ 2A′ − 2A′ dimenzije k i velicine

|Q′|= |Q|.

Dokaz. Primetimo da je π: 2A′−2A′ → 2B−2B zadat sa π(a1+a2−a3−a4) = π(a1)+π(a2)−π(a3)−π(a4) dobro definisano preslikavanje i 2-izomorfizam, dakle x+ y = z +w akko π(x) + π(y) = π(z) +

π(w). Neka je Q = a+d1 · [0, l1−1]+ · · ·+dk · [0, lk−1]. Neka su b = π−1(a) i ei = π−1(a+di)− π−1(a).

Koristeci cinjenicu da je π−1 2-izomorfizam vidimo da je π−1(a+λ1d1+· · ·+λkek) = b+λ1e1+· · ·+λkek.Odatle sledi da je

Q′ = b+ e1 · [0, l1 − 1] + · · ·+ ek · [0, lk − 1] ⊂ 2A′ − 2A′

i |Q′|= |Q|.

Primenom Stava 34, dokaz je zavrsen.

Krajnje ocene koje dobijamo su oblika |Q|≤ exp(exp(KO(1)))|A| i dimQ ≤ exp(KO(1)).

§4 Regularnost i kvazislucajnost

Radi motivacije, setimo se sledece teoreme.

Teorema 36 (Ramzi). Neka su k, l ∈ N. Postoji N takvo da, kada god su grane kompletnog grafa

KN obojene u plavu ili crvenu boju, imamo ili plavi Kk ili crveni Kl.

Jedan od uobicajenih dokaza ove teoreme je sledeci. Na pocetku izaberimo proizvoljan cvor v1. Po

Dirihleovom principu, mozemo izabrati boju b1 tako da v1 ima bar (N − 1)/2 grana boje b1. Neka je

S1 skup svih cvorova u takvih da je uv1 boje b1. Zatim, izaberimo proizvoljan cvor v2 u S1. Ponovo,

na osnovu Dirihleovog principa imamo boju b2 takvu da v2 ima bar (|S1|−1)/2 grana boje b2 ka S1.

Stavimo S2 = u ∈ S1: β(uv2) = b2, gde je β dato bojenje grana. Ponovimo ovo k + l puta, kako

bismo dobili niz v1, . . . , vk+l. Primetimo da za svako i < j vazi β(vivj) = bi. Onda imamo bar k

cvorova vi za koje je boja bi plava, i oni formiraju plavi Kk, ili imamo bar l cvorova vi za koje je boja

bi crvena i oni formiraju crveni Kl, cime je dokaz zavrsen.

24

Ovaj dokaz daje ocenu R(k, k) ≤ 22k, gde je R(k, l) najmanje N u Ramzijeovoj teoremi. Bitno

pitanje u kombinatorici jeste da se odredi da li postoji c < 4 takvo da je R(k, k) < ck za dovoljno

veliko k. Zapitrajmo se sada kakvo bojenje grafa treba da bude kako ne bismo mogli da popravimo

ocenu R(k, k) ≤ 22k. Ako bismo u svakom koraku mogli da izaberemo cvor takav da zapravo ima dve

trecine suseda jedne boje, onda bismo dobili ocenu(

32

)2k, sto bi bilo dramaticno bolje. Vidimo dakle

da nakon nekoliko koraka moramo da dobijemo uravnotezen graf; tj. da za svaki cvor broj plavih i

crvenih grana mora biti otprilike isti. Stavise, ako posmatramo dva koraka od jednom, i pisemo G za

graf indukovan plavim granama, imamo da za dovoljno veliko i mora da vazi da je

|Si ∩N(v1) ∩N(v2)|, |Si ∩N(v1)c ∩N(v2)|, |Si ∩N(v1) ∩N(v2)

c|, |Si ∩N(v1)c ∩N(v2)

c|≈ 1

4|Si| (6)

gde je N(v) susedstvo cvora v u G. Ispostavlja se da vec prva od ove cetiri priblizne jednakost

implicira preostale tri.

Lema 37. Neka je G graf reda n i gustine δ = 2e(G)/n2. Neka vazi da je∣∣∣|N(v1)∩N(v2)|−δ2n

∣∣∣ ≤ εn

za bar (1− ε)n2 izbora v1 i v2. Onda za bar (1− 2√ε)n cvorova v vazi |d(v)− δn|≤ 4

√εn.

Dokaz. Algebarskom manipulacijom dobijamo∑v∈V (G)

(d(v)− δn)2 =∑

v∈V (G)

d(v)2 − 2δn∑

v∈V (G)

d(v) + δ2n3

=∑

v∈V (G)

d(v)2 − δ2n3

=∑

v,u,w∈V (G)

1(uv, wv ∈ E(G))− δ2n3

=∑

u,w∈V (G)

|N(u) ∩N(w)|−δ2n3

≤ (δ2 + ε)n3 + εn3 − δ2n3 = 2εn3.

Odavde tvrdenje lako sledi.

Vracajuci se u gornji primer i (6), posto je za veliku vecinu cvorova v stepen dv u indukovanom

grafu G[Si] priblizno dv ≈ 12|Si|, sledi da preostale tri priblizne jednakost moraju da vaze.

Pisimo G:V (G)× V (G) → 0, 1 za indikatorsku funkciju grafa G. Uslov iz Leme 37 je u sustini

isti kao (uz malu promenu ε)

εn4 ≥∑v1,v2

∣∣∣|N(v1) ∩N(v2)|−δ2n∣∣∣2

=∑v1,v2

|N(v1) ∩N(v2)|2−2δ2n∑v1,v2

|N(v1) ∩N(v2)|+δ4n4

=∑v1,v2

(∑u

G(u, v1)G(u, v2))2

− 2δ2n∑v1,v2

∑u

G(u, v1)G(u, v2) + δ4n4.

25

Posto svakako vec znamo da je∑

v1,v2

∑uG(u, v1)G(u, v2) =

∑u d

2u ≈ δ2n3, dobijamo uobicajen nacin

da se izrazi uslov iz leme∑u1,u2,v1,v2

G(u1, v1)G(u1, v2)G(u2, v1)G(u2, v2) ≤ (δ4 + ε)n4,

sto govori da je broj homomorfizama iz C4 u G najvise (δ4 + ε)n4. Inace, za svaki graf znamo da je

broj homomorfizama iz C4 nuzno veliki.

Lema 38. Neka je G graf gustine δ. Onda je

|hom(C4, G)|=∑

u1,u2,v1,v2

G(u1, v1)G(u1, v2)G(u2, v1)G(u2, v2) ≥ δ4n4.

Dokaz. Ovo sledi iz nejednakosti Kosija i Svarca.

|hom(C4, G)|=∑

u1,u2,v1,v2

G(u1, v1)G(u1, v2)G(u2, v1)G(u2, v2) =∑u1,u2

(∑v

G(u1, v)G(u2, v))2

≥n−2(∑u1,u2

∑v

G(u1, v)G(u2, v))2

= n−2(∑

v

(∑u

G(u, v))2)2

≥n−2(n−1(

∑v

∑u

G(u, v))2)2

= n−4(δn2)4 = δ4n4.

Dakle, u nasem razmatranju poboljsanja dokaza Ramzijeve teoreme, prirodno smo dobili graf G sa

sledecim svojstvom: broj homomorfizama iz C4 u G je malo veci od minimalnog garantovanog broja

takvih homorfizama. Takvi grafovi se nazivaju kvazislucajnim (ili pseudoslucajnim).

Definicija 39 (Kvazislucajni graf). Graf G na n cvorova i gustine δ je ε-kvazislucajan ako vazi

|hom(C4, G)|≤ (δ4 + ε)n4.

Ovakve grafove nazivamo kvazislucajnim jer se ponasaju kao slucajno izabrani grafovi iste gustine.

Za pocetak, u slucajno izabranom grafu gustine δ sa velikom verovatnocom imamo δ4n4 homomor-

fizama iz C4. Ali, takode sledi i da imamo otprilike isti broj homomorfizama za svaki fiksni graf kao

sto ocekujemo od slucajno izabranog grafa. Na primer, ako posmatramo trougao C3, imamo da je

|hom(C3, G)|=∑

u,v|N(u)∩N(v)|G(u, v). Ali izraz |N(u)∩N(v)| je otprilike δ2n za skoro sve parove

uv, a parova (u, v) takvih da je uv grana je δn2, pa je |hom(C3, G)|≈ δ3n3, kao sto bismo dobili i u

slucajno izabranom grafu gustine δ.

Kvazislucajne grafove su uveli Tomason 1985, i nezavisno, Cung, Grejem, i Vilson 1989. Ideje za

bolje gornje ocene u Ramzijevoj teoremi koje smo videli na pocetku poglavlja su Tomasonove u radu

iz 1988, koje je potom dalje razvio Konlon, i dao najbolje poznate ocene u Ramzijevoj teoremi 2009.

26

4.1. Semeredijeva lema o regularnosti

Videli smo dakle da postoje eksplicitni uslovi koji impliciraju da se konkretan graf ponasa kao

slucajno izabrani. U ovom delu poglavlja cilj ce nam biti da podelimo proizvoljan graf u delove

koji se ponasaju kao slucajni grafovi. Medutim, mnogo je prirodnije da podela u podgrafove bude

indukovana podelom skupa cvorova, pa cemo za razliku od prethodnog razmatranja ovde posmatrati

,,kvazislucajne” bipartitne grafove. Za disjunktne skupove cvorova X i Y u datom grafu pisemo

e(X,Y ) za broj grana sa jednim krajem u X, a drugim u Y , i d(X,Y ) = e(X,Y )|X||Y | za gustinu. Definicija

,,kvazislucajnog” bipartitnog grafa je sledeca.

Definicija 40 (ε-regularnost). Neka je G bipartitni graf sa delovima X i Y . Kazemo da je G ε-

regularan ako za svaki par podskupova X ′ ⊂ X i Y ′ ⊂ Y takvih da je |X ′|≥ ε|X| i |Y ′|≥ ε|Y | vazida

|d(X,Y )− d(X ′, Y ′)|≤ ε.

Elegantniji nacin da se ovo izrazi je |Ex∈X,y∈Y X ′(x)Y ′(y)(G(x, y)− δ)|≤ ε za sve X ′ ⊂ X,Y ′ ⊂ Y

(dakle bez pretpostavke o gustini podskupova), ali je verzija iz definicije uobicajena. Postoji jaka

slicnost sa ε-kvazislucajnim grafovima, sto pokazuje sledeca lema. U njoj koristimo sledecu konvenciju

za malo o: za funkciju f(x; y1, y2, . . . ) pisemo f = ox→0;y1,y2,...(1) ako za svaki izbor y1, y2, . . . vazi

f(x; y1, y2, . . . ) → 0 kad x→ 0.

Lema 41. Neka je ε > 0. Neka je G bipartitni graf sa delovima X,Y gustine δ = d(X,Y ). Ako vazi∣∣∣|N(x1) ∩N(x2)|−δ2|Y |∣∣∣ ≤ ε|Y | za (1− ε)|X|2 parova (x1, x2) ∈ X2, (7)

onda je G oε→0;δ(1)-regularan. S druge strane, ako je G ε20-regularan, onda vazi (7).

Dokaz. (7) =⇒ regularnost. Neka su X ′ ⊂ X i Y ′ ⊂ Y skupovi takvi da |X ′|≥ η|X| i |Y ′|≥ η|Y |,gde cemo η kasnije izabrati. Onda je e(X ′, Y ′) =

∑x∈X′ |N(x) ∩ Y ′|, pa je

δ′: = d(X ′, Y ′) =1

|X ′|∑x∈X′

|N(x) ∩ Y ′||Y ′|

.

Neka je δ′′: = d(X ′, Y \ Y ′). Onda je δ′|Y ′|+δ′′|Y \ Y ′|= d(X ′, Y )|Y |. Imamo

e(X \X ′, Y ) =∑

x∈X\X′

dx =∑

x∈X\X′,y∈Y

G(x, y) ≤√|Y |∑y∈Y

( ∑x∈X\X′

G(x, y))2

=

√|Y |∑y∈Y

∑x,x′∈X\X′

G(x, y)G(x′, y) =

√|Y |

∑x,x′∈X\X′

|N(x) ∩N(x′)|

≤√(δ2 + ε)|X \X ′|2|Y |2+ε|X|2|Y |2 =

√δ2 + 2ε

|X|2|X \X ′|2

|X \X ′||Y |.

27

Ako je |X \X ′|≥ η|X|, koristeci ovo, dobijamo

d(X ′, Y ) =e(X,Y )− e(X \X ′, Y )

|X ′||Y |≥ δ − oη→0;δ(1)− oε→0;δ,η(1).

U suprotnom, ako je |X \X ′|≤ η|X|, onda imamo trivijalnu ocenu d(X ′, Y ) ≥ δ−η. U svakom slucaju

d(X ′, Y ) ≥ δ − oη→0;δ(1)− oε→0;δ,η(1). Slicno pokazujemo i da je

d(X ′, Y ) = δ + oη→0;δ(1) + oε→0;δ,η(1). (8)

S druge strane,

(δ2 + ε+ εη−2)|Y |≥ 1

|X ′|2∑

x1,x2∈X′

|N(x1) ∩N(x2)|

=1

|X ′|2∑

x1,x2∈X′

|N(x1) ∩N(x2) ∩ Y ′|+ 1

|X ′|2∑

x1,x2∈X′

|N(x1) ∩N(x2) ∩ (Y \ Y ′)|

=1

|X ′|2(∑y∈Y ′

|N(y) ∩X ′|2+∑

y∈Y \Y ′

|N(y) ∩X ′|2)

≥ 1

|X ′|2( 1

|Y ′|(∑y∈Y ′

|N(y) ∩X ′|)2 + 1

|Y \ Y ′|(∑

y∈Y \Y ′

|N(y) ∩X ′|)2)

=δ′2|Y ′|+δ′′2|Y \ Y ′|.

Dakle δ′ i δ′′ zadovoljavaju

|Y ′||Y |

δ′+|Y \ Y ′||Y |

δ′′ = d(X ′, Y ) ≥ δ−oη→0;δ(1)−oε→0;δ,η(1) i|Y ′||Y |

δ′2+|Y \ Y ′||Y |

δ′′2 ≤ δ2+2εη−2.

(9)

Algebarskom manipulacijom dalje dobijamo

δ2 + 2εη−2 − (δ − oη→0;δ(1)− oε→0;δ,η(1))2 ≥|Y ′|

|Y |δ′

2+

|Y \ Y ′||Y |

δ′′2 −

( |Y ′||Y |

δ′ +|Y \ Y ′||Y |

δ′′)2

=|Y ′||Y \ Y ′|

|Y |2(δ′ − δ′′)2.

Neka je ξ > 0, i neka je |Y ′|≥ ξ|Y |. Ukoliko je i |Y \ Y ′|≥ ξ|Y | (u suprotnom smo gotovi), dobijamo

|δ′ − δ′′|≤ oη→0;δ,ξ(1) + oε→0;δ,ξ,η(1).

Kombinujuci ovo sa (8), dobijamo |δ′ − δ|≤ oη→0;δ,ξ(1) + oε→0;δ,ξ,η(1). Izaberimo dovoljno veliko η, i

potom dovoljno veliko ε tako da je ocena sa desne strane manja od ξ, cime smo pokazali da je par

ξ-regularan, i cime je dokaz zavrsen.

Regularnost =⇒ (7). U suprotnom smeru, pretpostavimo da je G ε20-regularan. Prvo cemo

pokazati da su skoro svi stepenovi cvorova blizu δ. Neka je X+ =x ∈ X: dx ≥

(δ + ε

10

)|Y |. Ako

ovaj skup ima gustinu bar ε/10 onda je na osnovu regularnosti

δ +ε

10≤ d(X+, Y ) ≤ d(X,Y ) + ε/20,

28

sto je kontradikcija. Slicno vidimo i da skup X− =x ∈ X: dx ≤

(δ− ε

10

)|Y |ima manje od ε|X|/10

elemenata.

Neka je x1 ∈ X proizvoljan cvor takav da je∣∣∣d(x1) − δ|Y |

∣∣∣ ≤ ε10|Y |. Neka je X ′ = x2 ∈

X: |N(x1) ∩N(x2)|≥ (δ2 + ε)|Y |. Onda je

e(X ′, N(x1)) =∑x2∈X′

|N(x1) ∩N(x2)|≥ (δ2 + ε)|X ′||Y |≥ δ2 + ε

δ + ε/10|X ′||N(x1)|.

Ako je |X ′|≥ ε|X|, na osnovu ε20-regularnosti imamo kontradikciju. Dakle, |X ′|≤ ε

20|X| i slicno

pokazujemo da je malo parova gde je |N(x1) ∩N(x2)|≤ (δ2 − ε)|Y |.

Sada cemo pokazati da se svaki graf moze podeliti u konacno mnogo ε-regularnih delova. To je

rezultat Semeredija iz 1975. (dakle pre ideja o kvazislucajnim grafovima, koji su ovde, radi motivacije,

predstavljeni pre Semeredijeve teoreme).

Teorema 42 (Semeredijeva lema o regularnosti). Neka je ε > 0 i neka je m0 ∈ N. Onda postoji M

takvo da za svaki graf G = (V,E) postoji podela V = V0 ∪ V1 ∪ . . . ∪ Vn, gde je

(i) m0 ≤ n ≤M ,

(ii) |V1|= · · · = |Vn|,

(iii) |V0|≤ ε|V |, i

(iv) bar (1− ε)(n2

)parova (Vi, Vj) indukuje ε-regularan par.

Glavna ideja u dokazu je da posmatramo sledecu meru neravnomernosti raspodele grana u podeli.

Za datu podelu V1, . . . , Vm skupa cvorova V1 ∪ . . . ∪ Vm = V ⊂ V (G) definisemo srednju kvadratnu

gustinu

d2(V1, . . . , Vm) =∑

1≤i<j≤m

|Vi||Vj||V |2

d(Vi, Vj)2.

Dakle, sto je neravnomernija raspodela gustina delova d(Vi, Vj), to je d2 vece. Nasa strategija u dokazu

je da u svakom koraku pronademo novu podelu koja povecava srednju kvadratnu gustinu – to znaci

da smo uspeli da pronademo jos neravnomernosti u datom grafu. Buduci da Semeredijeva lema kaze

da mozemo da pronademo podelu koja hvata skoro sve neravnomernosti, vidimo da je ovo korak u

pravom smeru. Sada cemo pokazati osnovna svojstva srednje kvadratne gustine.

Lema 43. Funkcija d2 zadovoljava:

(i) d2(V1, . . . , Vm) ∈ [0, 1],

29

(ii) ako je U1, . . . , Un finija3 podela u odnosu na V1, . . . , Vm (dakle svako Ui je sadrzano u nekom

Vj), onda vazi d2(U1, . . . , Un) ≥ d2(V1, . . . , Vm).

Dokaz. Deo (i) je ocigledan. Za deo (ii), preimenujmo U1, . . . , Un tako da vazi Vi = Ui,1 ∪ . . . ∪ Ui,ni.

Dovoljno je pokazati da je za svako i, j ∈ [m]

|Vi||Vj|d(Vi, Vj)2 ≤∑

a∈[ni],b∈[nj ]

|Ui,a||Uj,b|d(Ui,a, Uj,b)2.

Na osnovu Jensenove nejednakosti dobijamo∑a∈[ni],b∈[nj ]

|Ui,a||Uj,b|d(Ui,a, Uj,b)2 =|Vi||Vj|∑

a∈[ni],b∈[nj ]

|Ui,a||Uj,b||Vi||Vj|

d(Ui,a, Uj,b)2

≥|Vi||Vj|( ∑a∈[ni],b∈[nj ]

|Ui,a||Uj,b||Vi||Vj|

d(Ui,a, Uj,b))2

=|Vi||Vj|( 1

|Vi||Vj|∑

a∈[ni],b∈[nj ]

e(Ui,a, Uj,b))2

=1

|Vi||Vj|e(Vi, Vj)

2 = |Vi||Vj|d(Vi, Vj)2,

sto smo i zeleli.

U svakom koraku cemo dakle traziti sve finiju i finiju podelu, sve dok imamo dosta parova delova

koji nisu ε-regularni. Sada posmatramo kako delovi koji nisu ε-regularni doprinose srednjoj kvadratnoj

gustini. Ovo je vrlo slicno Lemi 41, stavise u (9) vec vidimo da se srednja kvadratna gustina prirodno

pojavljuje.

Lema 44. Pretpostavimo da su X,Y disjunktni skupovi cvorova sa podskupovima X ′ ⊂ X i Y ′ ⊂ Y .

Neka je |X ′|≥ ε|X|, |Y ′|≥ ε|Y | i |d(X ′, Y ′)− d(X,Y )|≥ ε. Onda vazi

|X ′||Y ′|d(X ′, Y ′)2 + |X \X ′||Y ′|d(X \X ′, Y ′)2

+ |X ′||Y \ Y ′|d(X ′, Y \ Y ′)2 + |X \X ′||Y \ Y ′|d(X \X ′, Y \ Y ′)2

≥ |X||Y |(d(X,Y )2 + ε4).

Dokaz. Pisimo X0 = X \X ′ i X1 = X ′, i slicno definisimo Y0 i Y1. Primetimo da je

ε4|X||Y | ≤∑

i,j∈0,1

|Xi||Yj|(d(Xi, Yj)− d(X,Y ))2

=( ∑i,j∈0,1

|Xi||Yj|d(Xi, Yj)2)− 2d(X,Y )

( ∑i,j∈0,1

|Xi||Yj|d(Xi, Yj))+ d(X,Y )2

( ∑i,j∈0,1

|Xi||Yj|)

=∑

i,j∈0,1

|Xi||Yj|d(Xi, Yj)2 − |X||Y |d(X,Y )2.

3Finija podela znaci da je svako Vi podeljeno u dalje delove koristeci neke Uj , iliti da je svako Uj sadrzano u nekom Vi.

30

Dalje, kazemo da je podela V1∪ . . . Vm ε-regularna ako je bar (1−ε)(m2

)parova (Vi, Vj) ε-regularno.

Korsiteci prethodnu lemu, dobijamo:

Lema 45. Ako U = V1 ∪ . . . ∪ Vm nije ε-regularna podela skupa cvorova U , i svi Vi su iste velicine,

onda postoji finija podela U = V ′1 ∪ . . . V ′

M takva da je

d2(V′1 , . . . , V

′M) ≥ d2(V1, . . . , VM) + ε5

i M ≤ m2m. (Skupovi V ′i nisu nuzno iste velicine.)

Dokaz. Imamo dakle bar ε(m2

)≥ εm

2

4parova koji nisu ε-regularni. Primenimo prethodnu lemu na

svaki takav par. Onda svaki Vi, dobijamo po jednu podelu Xj1 ∪X

j2 = Vi, za svaki Vj takav da (Vi, Vj)

nije ε-regularan. Podelimo Vi koristeci sve moguce preseka Xj1 , X

j2 , dakle dobijamo najvise 2m delova

za svako Vi, i time dobijamo finiju podelu V ′1 , . . . , V

′M , gde je M ≤ m2m. Sada tvrdimo da je

d2(V′1 , . . . , V

′M) ≥ d2(V1, . . . , Vm) +

1

4ε5.

Neka je (Vi, Vj) neki par koji nije ε-regularan, i neka je Vi dalje podeljen u U1, . . . , Ua, a Vj u

W1, . . . ,Wb. Neka su i Vi = X1 ∪ X2, Vj = Y1 ∪ Y2 podele koje smo izabrali kao kontraprimer za

ε-regularnost para (Vi, Vj). Onda je na osnovu Leme 43 (ii) i Leme 44∑k∈[a],l∈[b]

|Uk||Wl|d(Uk,Wl)2 ≥

∑k∈1,2,l∈1,2

|Xk||Yl|d(Xk, Yl)2 ≥ |Vi||Vj|

(d(Vi, Vj)

2 + ε4).

S druge strane, ako je par (Vi, Vj) ε-regularan, onda iz Leme 43 (ii) bar znamo∑k∈[a],l∈[b]

|Uk||Wl|d(Uk,Wl)2 ≥ |Vi||Vj|d(Vi, Vj)2.

Sumirajuci po svim parovima (Vi, Vj), dobijamo

d2(V′1 , . . . , V

′M)

∑1≤i<j≤M

|V ′i ||V ′

j ||V |2

d(V ′i , V

′j )

2 ≥∑

1≤i<j≤m

|Vi||Vj||V |2

d(Vi, Vj)2+

∑1≤i<jleqm

i,j los par

|Vi||Vj||V |2

ε4 ≥ d2(V1, . . . , Vm)+ϵ5.

Sada smo spremni da dokazemo Semeredijevu lemu o regularnosti. 7.

preda–

vanjeDokaz Teoreme 42. U dokazu cemo vrsiti sledeci postupak. U svakom koraku cemo imati podelu

skupa cvorova V (G) = V0 ∪ V1 ∪ . . . ∪ Vm, takvu da je |V1|= · · · = |Vm|, a da V0 je malo. Ako

V1 ∪ . . . ∪ Vm nije ε-regularna podela, primenicemo prethodnu lemu da dobijemo povecanje vrednosti

d2. Uz to, moracemo malo da modifikujemo novodobijenu podelu tako da i ona ima skupove iste

velicine. Ovaj potez dovodi do povecanja skupa V0, ali to nece biti problem.

31

Preciznije, u i-tom koraku, podela zadovoljava |V0|≤ iε6

2n, |V1|= · · · = |Vm| i d2(V1, . . . , Vm) ≥ iε5

2.

Na pocetku, za i = 0, mozemo uzeti proizvoljnu podelu V0∪V1∪. . .∪Vm0−1, gde je |V1|= · · · = |Vm0−1|,a |V0|≤ m0 − 1. Pretpostavimo da nam je na pocetku i-tog koraka data podela V0 ∪ V1 ∪ . . . ∪ Vm

sa opisanim svojstvima. Ako V1 ∪ . . . ∪ Vm je ε-regularna podela, onda smo gotovi. U suprotnom,

primenimo Lemu 45 kako bismo dobili finiju podelu V ′1 ∪ . . .∪V ′

M = V1∪ . . .∪Vm sa d2(V′1 , . . . , V

′M) ≥

d2(V1, . . . , Vm) + ε5. Izaberimo sada k = ⌊ ε6

2Mn⌋, i svaki V ′

i podelimo u dalje skupove velicine k, uz

jedan koji je velicine manje od k, koji dodajemo u V0. Na ovaj nacin dobijamo novu finiju podelu

U1 ∪ . . . Us ∪W1 ∪ . . . ∪WM , gde su |U1|= · · · = |Us|= k, a |W1|, . . . , |WM |< k. Na osnovu Leme 43

(ii) vazi

d2(U1, . . . , Us,W1, . . . ,WM) ≥ d2(V1, . . . , Vm) + ε5 ≥ (i/2 + 1)ε5,

a imamo i s ≤ (2ε−6 + 1)M . Na kraju, vidimo da je

d2(U1, . . . , Us) ≥ d2(U1, . . . , Us,W1, . . . ,WM)− ε5

2≥ iε5

2,

kao sto smo i tvrdili. Kako je d2 ∈ [0, 1], ovaj postupak se zavrsava nakon 2ε−5 koraka, cime je dokaz

zavrsen.

Jedna od najpoznatijih primena leme o regularnosti je sledeca teorema.

Teorema 46 (Lema o uklanjanju trouglova (Ruza i Semeredi)). Za svako δ > 0 postoji ε > 0 takvo

da kad god graf na n cvorova ima najvise εn3 trouglova, onda se iz njega moze izbrisati najvise δn2

grana tako da graf vise nema trouglove.

Proof. Primenimo Semeredijevu lemu o regularnosti (Teorema 42) za δ100

tako da imamo bar 100δ−1

delova. Dobijamo podelu V0 ∪V1 ∪ . . .∪Vm, gde je 100δ−1 ≤ m = Oδ(1) sa svojstvima opisanim u toj

teoremi. Izmedu ostalog, za i ≥ 1, |Vi|≤ δ100n. Izbrisimo sledece grane.

(1.) Izbrisimo sve grane koje imaju bar jedan kraj u V0, to je najvise n|V0|≤ δ100n2 grana.

(2.) Izbrisimo sve grane izmedu Vi, Vj, i, j ≥ 1, koji nisu δ100

-regularni. Ovakvih parova je najviseδ

100m2, i svi Vi su iste velicine, pa smo u ovom koraku izbrisali najvise δ

100n2 grana.

(3.) Izbrisimo sve grane izmedu Vi, Vj, i, j ≥ 1, takvih da d(Vi, Vj) ≤ δ10. Na ovaj nacin brisemo

najvise δ10n2 grana.

(4.) Izbrisimo sve grane koje su unutar jednog od delova Vi, i ≥ 1. Ovako brisemo najvise δ100n2

grana.

Dakle, ukupno smo izbrisali najvise δn2 grana. Sada tvrdimo da u ostatku nema vise trouglova.

Pretpostavimo suprotno, tj. da i dalje postoji neki trougao sa temenima u, v, w. Na osnovu koraka (1.)

i (4.), znamo da svako od ovih temena lezi u razlicitom delu podele, neka su to u ∈ Vi, v ∈ Vj, w ∈ Vk,

i, j, k ≥ 1 su razliciti. Na osnovu koraka (2.) i (3.) znamo da parovi su (Vi, Vj), (Vj, Vk) i (Vk, Vi)δ

100-regularni i gustine bar δ

10. Ali to implicira da imamo mnogo trouglova u Vi × Vj × Vk.

32

Stav 47. Broj trouglova abc takvih da a ∈ Vi, b ∈ Vj, c ∈ Vk je bar δ3

104m3n3.

Proof. Neka je X =x ∈ Vi: |N(x) ∩ Vj|≥ δ

20|Vj|. Ako je |Vi \ X|≥ δ

100|Vi|, onda na osnovu δ

100-

regularnosti para (Vi, Vj) imamo da je

δ

20< d(Vi, Vj)−

δ

100≤ d(Vi \X,Vj) =

e(Vi \X,Vj)|Vi \X||Vj|

≤ δ

20,

sto je nemoguce. Dakle, |X|≥(1− δ

100

)|Vi|. Slicno definisemo Y =

x ∈ Vi: |N(x) ∩ Vk|≥ δ

20|Vk|, i

imamo kao malopre |Y |≥(1− δ

100

)|Vi|.

Uzmimo sada bilo koje x ∈ X ∩ Y . Onda je broj trouglova u Vi × Vj × Vk koji sadrze x kao teme

jednak e(N(x) ∩ Vj, N(x) ∩ Vk). Na osnovu δ100

-regularnosti para (Vj, Vk), imamo

e(N(x) ∩ Vj, N(x) ∩ Vk) = d(N(x) ∩ Vj, N(x) ∩ Vk)|N(x) ∩ Vj||N(x) ∩ Vk|≥( δ20

)3|Vj||Vk|.

Primetimo da je |X ∩ Y |≥(1− δ

50

)|Vi|, odakle sledi tvrdenje.

Ali, ako je ε < δ3

104m3 , onda imamo kontradikciju, cime je dokaz zavrsen.

Sada cemo iz leme o uklanjanju trouglova zakljuciti Rotovu teoremu.

Drugi dokaz Rotove teoreme. Pretpostavimo da je A ⊂ [N ] gustine δ bez netrivijalnih 3-AP. Neka je

G tripartitni graf na delovima X = Y = Z = [3N ]. Za x ∈ X, y ∈ Y, z ∈ Z stavljamo granu xy

ako je y − x ∈ A, granu yz ako je yz ∈ A i granu xz ako je z−x2

∈ A. Ako je xyz trougao onda

brojevi a = y − x, b = z−x2, c = z − y pripadaju A i zadovoljavaju a − 2b + c = 0, pa je a = b = c.

Dakle, broj trouglova u G je najvise 9N2. Neka je ε takvo vazi Teorema 46 sa dozvoljenjim brisanjemδ

100|V (G)|2 grana. Ako je N ≥ ε−1, onda u grafu G ima najvise ε|V (G)|3 trouglova, pa se oni mogu

ukloniti brisanjem najvise δ100

|V (G)|2 grana. Medutim, primetimo i da imamo N |A| trouglova koji su

granski-disjunktni. Naime, za svako a ∈ A i x ∈ [N ], posmatrajmo trougao (x, x+a, x+2a). Kako je

N |A|> δ100

|V (G)|2, ostaje nam neki trougao nakon brisanja izabranih grana, sto je kontradikcija.

§5 Metod slucajnog izbora

5.1. Balog-Semeredi-Gauers teorema

Setimo se jos jednom Frajmanove teoreme (Teorema 26) koja opisuje skupove celih brojeva koji

imaju malo razlicitih suma parova elemenata. Buduci da imamo potpunu klasifikaciju takvih skupova,

olaksajmo sada pretpostavku |A + A|≤ K|A|. Jedan nacin da se to ucini je umesto da A ima malo

suma, A zapravo ima mali broj suma koje pokrivaju veliki broj parova elemenata. Tj. imamo skup

S takav da je |S|≤ K|A|, i |(a, b) ∈ A× A: a + b ∈ S|≥ c|A|2. Uobicajen nacin da se ovo svojstvo

izrazi jeste koristeci sledeci pojam. Kazemo da je cetvorka elemenata a, b, c, d ∈ A aditivna cetvorka

ako vazi a+ b = c+ d.

33

Lema 48. Neka je A skup celih brojeva. Onda su sledeca svojstva ekvivalentna (u smislu da jedno

implicira drugo sa odgovarajucom konstantom).

(i) Skup A ima bar δ|A|3 aditivnih cetvorki.

(ii) Postoji skup S, velicine |S|≥ η|A| takav da za svako s ∈ S vazi |(a, b) ∈ A2: a+ b = s|≥ η|A|.

Dokaz. Neka je za dati broj s, n(s) broj parova (a, b) ∈ A2 takvih da s = a+ b.

(i) =⇒ (ii). Primetimo da je broj aditivnih cetvorki u skupu A tacno∑

s∈A+A n(s)2 ≥ δ|A|3.

Takode∑

s∈A+A n(s) = |A|2. Neka je S = s ∈ A+ A:n(s) ≥ δ2|A|. Onda je∑

s∈A+A\S

n(s)2 ≤ δ

2|A|∑s∈S

n(s) =δ

2|A|3,

pa je timeδ

2|A|3≤

∑s∈S

n(s)2 ≤ |S||A|2,

pa je |S|≥ δ2|A|. Dakle, mozemo uzeti η = δ

2.

(ii) =⇒ (i). Imamo da je broj aditivnih cetvorki u skupu A∑s∈A+A

n(s)2 ≥∑s∈S

n(s)2 ≥ η3|A|3,

pa mozemo uzeti δ = η3.

Dakle, konstante medusobno imaju polinomnu zavisnost. Zbirovi s za koje je n(s) veliko se nazi-

vaju popularnim sumama.

Nas prvi cilj u ovom poglavlju jeste da opisemo sve skupove koji zadovoljavaju (bilo koji) uslov

iz ove leme. Primetimo da je, za razliku od Frajmanove teoreme, za ove uslove dovoljno da samo

deo skupa ima aditivnu strukturu: naime ako posmatramo skup oblika A = [n] ∪ X, gde je X bilo

koji skup velicine n, imamo svakako bar Ω(n3) aditivnih cetvorki. Kao i u Frajmanovoj teoremi,

ispostavlja se da su to svi primeri ovakvih skupova.

Teorema 49 (Balog i Semeredi; Gauers). Neka je A skup takav da ima bar δ|A|3 aditivnih cetvorki.

Onda postoji podskup B ⊂ A takav da je |B|≥ Ω(δO(1)|A|) i |B −B|≤ O(δ−O(1))|B|.

Razlog za ovaj raspored imena u teoremi je taj sto su je prvo dokazali Balog i Semeredi koristeci

Semeredijevu lemu o regularnosti, a potom je Gauers nasao drugaciji dokaz i samim tim dobio ocene

koje zavise kao polinomi u ovoj teoremi.

34

Proof. Slicno lemi 48, imamo skup S velicine bar δ2|A| takav da je za svako s ∈ S, n(s) = |(a, b) ∈

A: a − b = s|≥ δ2|A|. (Posmatramo razlike jer malo pojednostavljuju detalje u dokazu.) Kljucni

korak je sledeca lema.

Lema 50 (Zavisni slucajni izbor u bipartitnim grafovima). Neka je G bipartitni graf na delovima X

i Y , gustine ρ. Onda postoji podskup cvorova U ⊂ X, takav da je |U |≥ ρk

2|X| i za bar (1 − ε)|U |2

izbora u1, u2 ∈ U vazi |N(u1) ∩N(u2)|≥ (1− ε)ρ2|Y |, gde je k = ⌈(2ε−1) log(2ε−1)⌉.

Dokaz. Birajmo slucajno i nezavisno elemente y1, . . . , yk ∈ Y , gde je k kao u tvrdenju, i definisimo

slucajnu promenljivu U = N(y1) ∩ . . . ∩ N(yk). Neka je dalje L = (x1, x2) ∈ X2: |N(x1) ∩ N(x2)|≤(1− ε)ρ2|Y | (skup losih parova cvorova u X). Za cvorove x1, x2 ∈ X, primetimo da je

P(x1, x2 ∈ U) = P(y1, . . . , yk ∈ N(x1) ∩N(x2)

)=( |N(x1) ∩N(x2)|

|Y |

)k.

Zbog linearnosti ocekivanja

E(|U |2−ε−1|L ∩ U2|

)=

∑x1,x2∈X

( |N(x1) ∩N(x2)||Y |

)k− ε−1

∑(x1,x2)∈L

( |N(x1) ∩N(x2)||Y |

)kna osnovu Jensenove nejednakosti

≥|X|2−2k( ∑x1,x2∈X

|N(x1) ∩N(x2)||Y |

)k− ε−1(1− ε)kρ2k|X|2

na osnovu nejednakosti Kosija i Svarca

≥|X|2−2k(ρ2|X|2

)k− ε−1(1− ε)kρ2k|X|2

=(1− ε−1(1− ε)k

)ρ2k|X|2.

Na osnovu definicije k, vazi 1− ε−1(1− ε)k ≥ 12, pa onda postoji izbor y1, . . . , yk takav da je

|U |2≥ 1

2ρ2k|X|2 i |L ∩ U2|≤ ε|U2|,

cime je dokaz zavrsen.

Posmatrajmo bipartitni graf na delovima X i Y koji su kopije A, sa granama xy ako x − y ∈ S

(primetimo da je S simetrican skup, tj. S = −S). Gustina ovog grafa je ρ ≥ δ2

4. Primenimo Lemu 50

na ovaj graf sa ε = 110

tako da dobijemo skup U ⊂ X, velicine bar |U |≥ ρ100

2|X| u kome je za bar

910|U |2 parova (u, v) ∈ U2, |N(u) ∩ N(v)|≥ 9

10ρ2|Y |. Nazovimo ovakve parove dobrim. Neka je na

kraju

B =u ∈ U : |v ∈ U : (u, v) je dobar|≥ 4

5|U |.

Tvrdimo da B zadovoljava trazena svojstva. Primetimo da je

1

10|U |2≥ (u, v) ∈ U2: (u, v) nije dobar ≥

∑b∈U\B

|v ∈ U : b, v) nije dobar|≥ 1

5|U ||U \B|,

35

pa je |B|≥ 12|U |.

Dalje, neka su a, b ∈ B. Onda imamo bar 35|U | izbora v ∈ U takvih da su (a, v) i (b, v) dobri

parovi. To dalje implicira da imamo

|N(a) ∩N(v)|≥ 9

10ρ2|Y | i |N(b) ∩N(v)|≥ 9

10ρ2|Y |.

Na osnovu definicije bipartitnog grafa, to znaci da imamo bar 81100ρ4|Y |2 izbora y, z ∈ Y takvih da

a− y, y − v, v − z, z − b ∈ S.

Ali, za svako s ∈ S, n(s) ≥ δ2|A|, pa za date v, y, z kao do sad mozemo naci bar δ4

24|A|4 izbora

a11, a12, a21, a22, a31, a32, a41, a42 ∈ A takvih da

a− y = a11 − a12, y − v = a21 − a22, v − z = a31 − a32, z − b = a41 − a42.

Kombinujuci sve ovo, zakljucujemo da za svaki par a, b ∈ B, imamo bar

δ4

24|A|4·3

5|U |· 81

100ρ4|A|2≥ Ω(δO(1))|A|7

izbora a11, . . . , a42 ∈ A takvih da je∑

i∈[4],j∈[2](−1)j−1aij = a− b. Samim tim je

|B −B|≤ |A|8/(Ω(δO(1))|A|7) ≤ O(δ−O(1))|B|,

sto je i trebalo pokazati.

Na osnovu Plunekeove i Ruzine nejednakosti (Teorema 27), takode vidimo i da je |B + B|≤O(δ−O(1))|B|.

5.2. Lema Kruta i Sisaska

Nasi dosadasnji rezultati o aproksimacijama konvolucija su koristili Furijeovu analizu. Sada cemo 8.

preda–

vanje

videti kako se slicni rezultati mogu dokazati koristeci samo kombinatorne argumente.

Neka je G Abelova grupa koja nije nuzno konacna. U ovom delu poglavlja privremeno koristimo

sledecu definiciju konvolucije: f ∗ g(x) =∑

y∈G f(y)g(x − y) (dakle bez deljenja sa velicinom ambi-

jentalne grupe G). Buduci da je trenutno dozvoljeno da G bude beskonacna, srednja vrednost nema

smisla. Takode, za element d ∈ G definisemo i operator translacije τd na funkcijama iz G u C, zadatsa τd(f)(x) = f(x+ d). Za funkciju f :G→ C takode definisemo i njenu l2 normu na uobicajen nacin

∥f∥l2=(∑

x|f(x)|2)1/2

.

36

Teorema 51 (Lema Kruta i Sisaska). Neka je G Abelova grupa4, neka su A,B ⊂ G konacni pod-

skupovi i neka je ε ∈ (0, 1). Pretpostavimo da je S ⊂ G konacan skup takav da |A+S|≤ K|A|. Onda

postoji skup T ⊂ S velicine

|T |≥ |S|(2K)9ε−2

takav da, za svako d ∈ T − T ,

∥τd(A ∗B)− A ∗B∥2l2≤ ε2|A|2|B|.

Dakle, lema Kruta i Sisaska nam daje veliki skup skoro-perioda konvolucije A ∗B.

Dokaz. Neka je k ∈ N ceo broj koji cemo kasnije precizirati. Neka je C ⊂ A slucajno izabrani podskup

velicine k, gde svaki takav skup ima istu verovatnocu. Kljucna ideja u dokazu je da ce |A|kC ∗B onda

dobro aproksimirati A ∗ B, a kako je |A + S|≤ K|A|, moci cemo da nademo mnogo parova skupova

C,C ′ koji su translati, tj. C = C ′+t. Od ovakvih t cemo posle dobiti elemente sa trazenim svojstvom.

Definisimo za svaki x ∈ A + B slucajnu promenljivu NC(x) = |A|kC ∗ B(x). Primetimo da vazi

sledece. Za svako x ∈ A+B,

ECNC(x) =

|A|k

∑a∈A

P(a ∈ C)B(x− a) =|A|k

(|A|−1k−1

)(|A|k

) A ∗B(x) = A ∗B(x),

(zbog cega je i dodat faktor |A|k

u izraz NC(x)). Zatim, mozemo i da pokazemo da je NC(x) sa velikom

verovatnocom blizu svoje ocekivane vrednosti, za sta koristimo metod drugog momenta. Za svako

x ∈ A+B imamo dakle

EC(NC(x)

2) =|A|2

k21(|A|k

) ∑C⊂A|C|=k

C ∗B(x)2

=|A|

k(|A|−1k−1

) ∑C⊂A|C|=k

∑b1,b2∈B

C(x− b1)C(x− b2)

=|A|

k(|A|−1k−1

) ∑b1,b2∈B

∑C⊂A|C|=k

C(x− b1)C(x− b2)

=|A|

k(|A|−1k−1

) ∑b1,b2∈B

(1(b1 = b2)

∑C⊂A|C|=k

C(x− b1) + 1(b1 = b2)∑C⊂A|C|=k

C(x− b1)C(x− b2))

=|A|

k(|A|−1k−1

) ∑a1,a2∈A∩(x−B)

(1(a1 = a2)

∑C⊂A|C|=k

C(a1) + 1(a1 = a2)∑C⊂A|C|=k

C(a1)C(a2))

=|A|

k(|A|−1k−1

)(A ∗B(x)

(|A|−1

k − 1

)+ (A ∗B(x)2 − A ∗B(x))

(|A|−2

k − 2

))≤|A|kA ∗B(x) +

|A|(k − 1)

(|A|−1)kA ∗B(x)2.

4Zapravo isti dokaz vazi i za grupe koje nisu Abelove, ali bi opstiji slucaj napravio pometnju sa notacijom.

37

Izabracemo k ≤ |A|, tako da zakljucujemo EC(NC(x)−A ∗B(x))2 ≤ |A|kA ∗B(x). Ako prosumiramo

ovo po svim x ∈ A+B, zakljucujemo

EC

∥∥∥ |A|kC ∗B − A ∗B

∥∥∥2l2≤

∑x∈A+B

|A|kA ∗B(x) =

|A|2|B|k

.

Kazemo da skup C ⊂ G velicine k dobro aproksimira A ako vazi∥∥∥ |A|kC ∗B − A ∗B

∥∥∥2l2≤ 2

|A|2|B|k

.

Onda na osnovu Markovljeve nejednakosti vazi

PC(C dobro aproksimira A

)≥ 1

2.

Neka je X = A+ S. Sada posmatrajmo parove (D, s) takve da je D ⊂ X velicine k, a s ∈ S, i D− s

dobro aproksimira A. Takvih parova ima bar 12

(|A|k

)|S|. Dakle, mozemo pronaci skup D ⊂ X, |D|= k

za koji skup T = s ∈ S:D − s dobro aproksimira A ima velicinu bar

|T |≥ 1

2

(|A|k

)|S|/

(|A+ S|

k

)≥ |S|

(2K)k.

Za svako t ∈ T , imamo da∥∥∥ |A|kD ∗B − τt(A ∗B)

∥∥∥2l2=∥∥∥ |A|k

(D − t) ∗B − A ∗B∥∥∥2l2≤ 2

|A|2|B|k

.

Na osnovu nejednakosti trougla za t1, t2 ∈ T vazi∥∥∥τt1−t2(A ∗B)− (A ∗B)∥∥∥l2=∥∥∥τt1(A ∗B)− τt2(A ∗B)

∥∥∥l2

≤∥∥∥ |A|kD ∗B − τt1(A ∗B)

∥∥∥l2+∥∥∥ |A|kD ∗B − τt2(A ∗B)

∥∥∥l2

≤ 2√2

√|A|2|B|k

.

Izaberimo k = ⌈8/ε2⌉ (primetimo i da je tvrdenje trivijalno za k > |A|), cime je dokaz zavrsen.

Lema Kruta i Sisaska se moze primeniti u nekoliko problema aditivne kombinatorike, a mi cemo

videti kako se moze iskoristiti za dokaz Rotove teoreme.

5.3. Dodatna struktura u skupu skoro-perioda

Za dokaz Rotove teoreme, bice nam potrebna dodatna struktura u skupu T − T skoro-perioda

date konvolucije. Primetimo da ako su d1, d2 skoro-periodi konvolucije, onda je i d1 + d2 (sa nesto

losijom konstantom). Ovo nam omogucuje da dobijemo dodatnu strukturu, naime umesto T − T

posmatracemo kT − kT za dovoljno veliko k. Sledeca lema pronalazi dugacke aritmeticke progresije

u skupu ovakvog oblika.

38

Lema 52. Neka je S ⊂ Z takav da je |S − S|≤ K|S| i neka je A ⊂ S podskup velicine |A|= δ|S|.Ako vazi

δ > K3k/2/|S|1/(k+1)

onda kA−kA sadrzi simetricnu aritmeticku progresiju koja prolazi kroz 0, duzine bar 2k+1, sa korakom

d ∈ A− A \ 0.

Dokaz. Dovoljno je pronaci razlicite elemente a, b ∈ A takve da 2j(a − b) ∈ A − A za sve j =

0, 1, . . . , k− 1. Onda posmatrajuci binarni zapis brojeva [0, 2k− 1] vidimo da kA− kA sadrzi trazenu

aritmeticku progresiju. Dakle, treba da pronademo a, b, x0, . . . , xk−1, y0, . . . yk−1 ∈ A, a = b tako da

vazi 2j(a− b) = xj − bj za svako j ∈ [0, k − 1]. To je istovetno sa

2ja− xj = 2jb− yj

za svako j ∈ [0, k − 1]. Primetimo i da su A− 2j · A takode nuzno male velicine.

Lema 53. Neka je S ⊂ Z takav da |S − S|≤ K|S|. Onda je |S − 2j · S|≤ K3j|S|.

Dokaz. Dokazujemo lemu indukcijom po j. Za j = 1 vidimo da je S−2·S ⊂ S−2S, a |S−2S|≤ K3|S|na osnovu Teoreme 27. Neka tvrdenje vazi za neko j ≥ 1. Onda je na osnovu Leme 28

|S − 2j+1S||2 · S|≤ |S − 2 · S||2 · S − 2j+1 · S|= |S − 2 · S||S − 2j · S|≤ K3(j+1)|S|2,

cime je dokaz zavrsen.

Sada posmatrajmo preslikavanje ϕ:Ak+1 → (S − S)× (S − 2 · S)× . . .× (S − 2k−1 · S) zadato sa

(a, x0, . . . , xk−1) 7→ (a− x0, a− 2x1, . . . , a− 2k−1xk−1).

Na osnovu pretpostavki i leme imamo da je |Ak+1|> |S−S|· · · |S−2k−1 ·S|, pa mozemo naci razlicite

(k+1)-torke (a, x0, . . . , xk−1), (b, y0, . . . , yk−1) sa istom slikom pri presliakvanju ϕ. Ali, ako je xi = yi,

iz a− 2ixi = b− 2iyi zakljucujemo a = b, pa su a i b razliciti, kao sto smo i zeleli.

Posledica 54. Neka je ε ∈ (0, 1) i neka je A ⊂ [N ] velicine |A|= δN . Ukoliko je δ ≥ 4N−ε2/36, onda

mozemo pronaci simetricnu aritmeticku progresiju P ⊂ [−N/2, N/2] duzine

|P |≥ exp

(1

14

( ε2 logN

log(4δ−1)

)1/3)takvu da 0 ∈ P i za svako t ∈ P

∥τt(A ∗ A)− A ∗ A∥2l2≤ ε2|A|3.

39

Dokaz. Neka je k ∈ N broj koji cemo kasnije izabrati, i neka je ε′ = ε/k. Primenimo Teoremu 51 na

A ∗ A. Dobijamo skup skoro-perioda T ⊂ A velicine

|T |≥ |A|(4δ−1)9ε′

−2 .

Primenimo Lemu 52 na A i T , cime dobijamo aritmeticku progresiju P ⊂ kT − kT duzine |P |≥ 2k+1,

ukoliko vazi (δ4

)9ε′−2

≥ (2δ−1)3k/2/|A|1/(k+1).

Zbog ovoga biramo

k =⌊( ε2 logN

36 log(4δ−1)

)1/3⌋.

Na osnovu nejednakosti trougla, imamo da je za svako t ∈ P

∥τt(A ∗ A)− A ∗ A∥2l2≤ ε2|A|3.

Primetimo i da je P sadrzana u [−kN, kN ], pa postoji podpogresija P ′ = P ∩[−N/2, N/2] sa trazenimsvojstvom. Uslov po δ iz tvrdenja je posledica toga sto zelimo da je k ≥ 1.

5.4. Dokaz Rotove teoreme koristeci Lemu Kruta i Sisaska

Od ranije znamo da je broj 3-AP u datom skupu A blisko povezan sa konvolucijama:

3-AP(A) = |(x, y, z) ∈ A3:x+ z = 2y|=∑x

A(x)A ∗ A(2x).

Uopsticemo ovaj izraz na funkcije f :Z → [0, 1] sa konacnom podrskom

3-AP(f) =∑x

f(x)f ∗ f(2x).

Posledica 54 primenjena u ovom kontekstu daje

Posledica 55. Postoji c > 0 sa sledecim svojstvom. Neka je ε > 0 i neka je A ⊂ [N ] velicine

|A|= δN . Onda postoji simetricna aritmeticka progresija P ⊂ [−N/8, N/8] duzine bar

|P |≥ c exp

(c( ε2 logN

log(4δ−1)

)1/3),

takva da funkcija µP (x) = P (x)/|P | zadovoljava

|3-AP(A ∗ µP )− 3-AP(A)|≤ ε|A|2.

40

Dokaz. Primenimo Posledicu 54 za ε/4 da bismo dobili dugacku aritmeticku progresijuQ ⊂ [−N/2, N/2]ciji su elementi skoro-periodi za A ∗ A. Neka je P ⊂ Q takva da je |P |≥ |Q|/8 i 4P ⊂ Q. Izmedu

ostalog P ⊂ [−N/8, N/8]. Tvrdimo da P ima trazena svojstva. Imamo

3-AP(A ∗ µP ) = E(y,z,w)∈P 3

∑x

A(x)A ∗ A(2x+ 2y − z − w)

pa je

|3-AP(A ∗ µP )− 3-AP(A)|=| E(y,z,w)∈P 3

∑x

A(x)(A ∗ A(2x+ 2y − z − w)− A ∗ A(2x))|

na osnovu nejednakosti Kosija i Svarca

≤|A|1/2 E(y,z,w)∈P 3

∥τ2y−z−wA ∗ A− A ∗ A∥l2

≤ε|A|2,

sto je i trebalo pokazati.

Treci dokaz Rotove teoreme. Neka je A ⊂ [N ] takav da je |A|= δN . Primenimo Posledicu 55 na A

cime dobijamo dugacku aritmeticku progresiju P ⊂ [−N/1000, N/1000] takvu da

|3-AP(A ∗ µP )− 3-AP(A)|≤ ε|A|2.

Neka f funkcija definisana sa f = A ∗ µP . Dakle, supp f ⊂ [−N/1000, N + N/1000] i f(x) =

|A ∩ (x− P )|/|P |. Takode, ukoliko je ε > 1/|A|, imamo

3-AP(f) ≤ 2ε|A|2

i ∑x∈[−N/1000,N+N/1000]

f(x) = |A|= δN.

Pisimo I = [−N/1000, N + N/1000]. Dodatno, ako bi neka vrednost f(x) > 10011000

δ, onda imamo

znacajno povecanje gustine na dugackoj aritmetickoj progresiji, pa pretpostavimo da ovo ne vazi ni

za jedno x ∈ I. Neka je S =x ∈ I: f(x) ≥ 1

2δ. Onda vazi

|S|10011000

δ + |I \ S|12δ ≥ 1000

1002δ|I|,

odakle sledi da je |S|≥ |I|− 99100N . Medutim, tada dobijamo

2ε|A|2≥ 3-AP(f) ≥∑

d∈[N/3]

∑x∈[N−2d]

f(x)f(x+ d)f(x+ 2d) ≥ δ3

8

∑d∈[N/3]

∑x∈[N−2d]

S(x)S(x+ d)S(x+ 2d).

Medutim, za svako d ∈ [N/3], |S ∩ [N − 2d]|≥ 97100

(N − 2d), pa je∑

x∈[N−2d] S(x)S(x+ d)S(x+2d) ≥12(N − d), i time je

2ε|A|2≥ 3-AP(f) ≥ δ3

200N2.

41

Izaberimo ε = δ3

500, cime dobijamo kontradikciju, pa mozemo naci aritmeticku progresiju P duzine

|P |≥ c exp

(c( δ6 logNlog(4δ−1)

)1/3),

gde je c > 0 konstanta, takvu da je |A∩P |≥ 10011000

δ|P |. Sada ponavljamo ovaj korak kao u prvobitnom

dokazu Rotove teoreme, uz uslov |A|≥ ε−1 ≥ 500δ−3 u svakom koraku.

Pazljivijim postupkom u ovom dokazu se mogu dobiti i bolje ocene nego u Teoremi 8. Naime,

dobija se da za svako c > 0 vazi r3(N) ≤ O(

N(log logN)c

).

5.5. Sandersove ocene u argumentu Bogoljubova

Mi smo Lemu Kruta i Sisaska dokazali za l2 normu, ali sa konceptualno vrlo slicnim dokazom vazi

i za vise norme.

Teorema 56. Neka je G Abelova grupa, neka su A,B ⊂ G konacni podskupovi i neka je ε ∈ (0, 1),m >

1. Pretpostavimo da je S ⊂ G konacan skup takav da |A + S|≤ K|A|. Onda postoji skup T ⊂ S

velicine

|T |≥ |S|(2K)25mε−2

takav da, za svako d ∈ T − T ,

∥τd(A ∗B)− A ∗B∥mlm≤ εm/2|A+B||B|m.

U ovom delu cemo ponovo za konvolucije koristiti usrednjene sume, dakle f∗g(x) = Ey f(x−y)g(y).Prelazimo takode na Lm norme, definisane sa ∥f∥Lm= (Ex|f(x)|m)1/m.

Teorema 57 (Sanders). Neka G vektorski prostor konacne dimenzije nad Fp i neka je A ⊂ G podskup

gustine δ. Onda postoji vektorski potprostor U ≤ G kodimenzije O(log6 δ−1) takav da je za neko x ∈ G,

|(A− A) ∩ (x+ U)|> 12|U |.

Posledica 58 (Sanders). Neka G vektorski prostor konacne dimenzije nad Fp i neka je A ⊂ G podskup

gustine δ. Onda postoji vektorski potprostor U ≤ G kodimenzije O(log6 δ−1) takav da je U ⊂ 2A−2A.

Dokaz Posledice 58. Neka je x + U iz Teoreme 57 i neka je S =((A − A) ∩ (x + U)

)− x. Onda je

S ⊂ U , |S|> 12|U | i S−S ⊂ 2A−2A. Neka je u ∈ U proizvoljno. Onda zbog |S|+|u+S|> |U | postoji

element s ∈ S ∩ (u+ S). Dakle, u ∈ S − S. Kako je u bilo proizvoljno, sledi da je S − S = U , pa je

U ⊂ 2A− 2A.

Dokaz Teoreme 57. Za vektorski potprostor V ≤ G, definisemo funkciju µV :G→ C µV (x) =|G||V |V (x).

Primetimo da vazi sledece. Za dati skup S ⊂ G, S∗µV (x) = |G||V | Ey∈G S(y)V (x−y) = 1

|V |∑

y∈x−V S(y) =|S∩(x−V )|

|V | . Nas cilj je dakle da pronademo U takvo da je (A− A) ∗ µU(x) > 1/2 za neko x.

42

Primetimo da je Ex(A − A) ∗ A(x)A(x) = δ2. Primenimo Teoremu 51 na (A − A) ∗ A za normu

Lm, gde je m vrednost koju cemo kasnije izabrati i preciznost aproksimacije ε. Time dobijamo skup

T ⊂ G velicine |T |≥ (δ/2)O(mε−2)|G| takav da je za svako t ∈ T

∥τt((A− A) ∗ A)− (A− A) ∗ A∥mLm≤ εm/2δm.

Dakle, za svaki izbor t1, . . . , tk ∈ T

∥τt1+···+tk((A− A) ∗ A)− (A− A) ∗ A∥lm≤ k√εδ.

Uzmimo ε = 1100k2

, cime ocena za |T | postaje |T |≥ (δ/2)O(mk4)|G|. Ako definisemo µT = |G||T |T , onda

dobijamo

∥(A− A) ∗ A ∗ µ(k)T − (A− A) ∗ A∥Lm≤ δ

100.

Koristeci Holderovu nejednakost za m i q = mm−1

, dobijamo 9.

preda–

vanjeEx

((A−A)∗A∗µ(k)

T (x)−(A−A)∗A(x))A(x) ≤ ∥(A−A)∗A∗µ(k)

T −(A−A)∗A∥Lm∥A∥Lq≤ δ

100·δ1−1/m,

zbog cega biramo m = 1 + log δ−1, cime desna strana postaje manja od δ2

10. Zbog Ex(A − A) ∗

A(x)A(x) = δ2, imamo da je

Ex(A− A) ∗ A ∗ µ(k)

T (x) > 3δ2/4.

Sada posmatrajmo veliki spektar skupa T

Spec(T ) =r ∈ G: |T (r)|≥ 1

2

|T ||G|

.

Na osnovu Teoreme 25 imamo da potprostor U = Spec(T )⊥ zadovoljava

codimU ≤ O(log

|G||T |

)= O(k4 log2 δ−1).

Furijeova transformacija indikatorske funkcije vektorskog potprostoraW ima veoma jednostavan oblik:

W (r) =|W ||G|

W⊥(r),

cime dobijamo da je

Ex(A−A)∗A∗µ(k)

T ∗µU(x)A(x) =∑r

(A− A)(r)A(r)µT (r)kµU(r)A(r) =

∑r∈U⊥

(A− A)(r)A(r)µT (r)kA(r),

cime dobijamo da je∣∣∣Ex

((A− A) ∗ A ∗ µ(k)

T ∗ µU(x)A(x)− (A− A) ∗ A ∗ µ(k)T (x)A(x)

)∣∣∣=∣∣∣ ∑r/∈U⊥

(A− A)(r)A(r)µT (r)kA(r)

∣∣∣ ≤ 2−k∑r

|A(r)|2= 2−kδ.

43

Dakle, ako izaberemo k = log2(2δ−1), dobijamo

δ2/2 < Ex(A− A) ∗ A ∗ µ(k)

T ∗ µU(x)A(x) = Ex,y(A− A) ∗ µU(y)A ∗ µ(k)

T (x− y)A(x)

≤ ∥(A− A) ∗ µU∥l∞ Ex,yA ∗ µ(k)

T (y)A(x) = δ2∥(A− A) ∗ µU∥l∞ ,

odakle sledi da je ∥(A− A) ∗ µU∥l∞> 12sto smo i zeleli.

§6 Semeredijeva teorema o aritmetickim progresijama i Gauersove

norme ujednacenosti

Vratimo se na kvazislucajne bipartitne grafove. Neka je G bipartitni graf na delovima X i Y . Mi

smo zainteresovani za broj homomorfizama iz C4 u G

Ex1,x2∈X,y1,y2∈Y

G(x1, y1)G(x1, y2)G(x2, y1)G(x2, y2).

Setimo se Leme 38 koja nam je rekla da je ovaj izraz bar

δ4|X|2|Y |2= Ex1,x2∈X,y1,y2∈Y

δ1(x1, y1)δ1(x1, y2)δ1(x2, y1)δ1(x2, y2),

gde je δ gustina datog grafa a 1 konstantna funkcija svuda jednaka 1. Ako je G kvazislucajan, dakle

ponasa se kao slucajno izabrani graf gustine δ, odnosno G− δ1 bi trebalo da se ponasa kao slucajno

izabrana funkcija. Na primer, ako je δ = 1/2, onda bi G − δ1 trebalo da se ponasa kao funkcija

kojoj su vrednosti slucajno izabrene u± 1

2

sa podjednakom verovatnocom. Zato bi imalo smisla

posmatrati izraz

Ex1,x2∈X,y1,y2∈Y

(G(x1, y1)− δ)(G(x1, y2)− δ)(G(x2, y1)− δ)(G(x2, y2)− δ).

Kada sve izmnozimo dobijamo 16 izraza u kojima su neka pojavljivanja G zamenjena sa −δ1, npr.

Ex1,x2∈X,y1,y2∈Y

(−δ)1(x1, y1)G(x1, y2)G(x2, y1)(−δ)1(x2, y2).

Ovo nas dovodi do uopstenja skalarnog proizvoda. Za date funkcije f11, f12, f21, f22:X × Y → Cdefinisemo

⟨f11, f12, f21, f22⟩(X,Y ) = Ex1,x2∈X,y1,y2∈Y

f11(x1, y1)f12(x1, y2)f21(x2, y1)f22(x2, y2).

Stav 59 (Kosi-Svarc-Gauers nejednakost). Za date funkcije vazi

⟨f11, f12, f21, f22⟩4(X,Y ) ≤∏

i∈[2],j∈[2]

⟨fij, fij, fij, fij⟩(X,Y ).

44

Dokaz. Kao i Lemu 38, ovaj stav cemo dokazati koristeci nejednakost Kosija i Svarca.

|⟨f11, f12, f21, f22⟩(X,Y )|2=∣∣∣ Ex1,x2∈X,y1,y2∈Y

f11(x1, y1)f12(x1, y2)f21(x2, y1)f22(x2, y2)∣∣∣2

=∣∣∣ Ey1,y2∈Y

( Ex1∈X

f11(x1, y1)f12(x1, y2))( Ex2∈X

f21(x2, y1)f22(x2, y2))∣∣∣2

=(

Ey1,y2∈Y

∣∣∣ Ex1∈X

f11(x1, y1)f12(x1, y2)∣∣∣2)( E

y′1,y′2∈Y

∣∣∣ Ex2∈X

f21(x2, y1)f22(x2, y2)∣∣∣2)

=⟨f11, f12, f11, f12⟩(X,Y )⟨f21, f22, f21, f22⟩(X,Y ).

Ako primenimo ovo ponovo,

|⟨f11, f12, f11, f12⟩(X,Y )|2= |⟨f11, f11, f12, f12⟩(X,Y )|2≤ ⟨f11, f11, f11, f11⟩(X,Y )⟨f12, f12, f12, f12⟩(X,Y ).

Uradimo ovo i za f21 i f22, cime je dokaz zavrsen.

Primetimo da Lema 38 sledi iz ovog stava primenjenog na ⟨δ1, δ1, δ1, G⟩(X,X). Pisimo i

∥f∥(X,Y )= ⟨f, f, f, f⟩1/4(X,Y ).

Posledica 60. ∥·∥(X,Y ) je norma.

Dokaz. Neka su f0 i f1 date funkcije. Primenimo Stav 59 na ⟨f0 + f1, f0 + f1, f0 + f1, f0 + f1⟩(X,Y ).

Dobijamo sledece.

∥f0 + f1∥4(X,Y )=⟨f0 + f1, f0 + f1, f0 + f1, f0 + f1⟩(X,Y )

=∑

ε:[4]→0,1

⟨fε(1), fε(2), fε(3), fε(4)⟩(X,Y )

≤∑

ε:[4]→0,1

∥fε(1)∥(X,Y )∥fε(2)∥(X,Y )∥fε(3)∥(X,Y )∥fε(4)∥(X,Y )

=(∥f0∥(X,Y )+∥f1∥(X,Y )

)4.

Posledica 61. Za funkcije f :X × Y → D, u:X → D, v:Y → D vazi∣∣∣ Ex∈X,y∈Y

f(x, y)u(x)v(y)∣∣∣ ≤ ∥f∥(X,Y ).

Dokaz. Primenimo Stav 59 na funkcije 1, (x, y) 7→ u(x), (x, y) 7→ v(y) i f . Buduci da je ∥·∥(X,Y )≤∥·∥l∞ , tvrdenje sledi.

Sada se vratimo na slucaj A ⊂ ZN . Slicno onome sto smo videli ranije, (u dokazu Rotove teoreme

koristeci Lemu o uklanjanju trouglova) skupu A mozemo pripisati graf G na ZN u kome je xy ako je

45

x+ y ∈ A.5 Onda je

∥G∥4= Ea,b,c,d

A(a+ c)A(b+ d)A(a+ d)A(b+ d) = N Ex,y,z,w

A(x)A(y)A(z)A(w)1(x+ w = y + z)

=∑r

Ex,y,z,w

ω−r(x−y−z+w)A(x)A(y)A(z)A(w) =∑r

|A(r)|4.

Dakle, ovaj izraz postaje broj aditivnih cetvorki u A podeljen sa |G|3, i on je jednak sumi izrazenoj

preko Furijeovih koeficijenata. Dakle, dobijamo da je skup A kvazislucajan ako i samo ako ima male

Furijeove koeficijente (osim nultog), a setimo se da je u prvom dokazu Rotove teoreme upravo ovo

bio jedan od kljucnih koraka. Tada smo pokazali da mali Furijeovi koeficijenti impliciraju postojanje

3-AP, sto cemo sada preformulisati koristeci normu ∥·∥. Dakle, ako je ∥G − δ∥ dovoljno malo za

skup A ⊂ ZN gustine δ, gde je G odgovarajuci graf, onda A sadrzi aritmeticke progresije duzine 3:

|3-AP(A)− δ3N2|=|∑x,d

A(x)A(x+ d)A(x+ 2d)− δ3N2|

=|∑x,y

A(x)A(y)A(2y − x)− δ3N2|= |∑x,y

A(x)A(y)(G(x, 2y)− δ)|≤ N2∥G∥,

gde je u poslednjem koraku iskoriscena nejednakost iz Posledice 61.

Mi smo prakticno pokazali da, ukoliko A zadovoljava odredene uslove, onda mozemo da pokazemo

postojanje 3-AP koristeci samo nejednakost Kosija i Svarca. Sada cemo dalje uopstiti ∥·∥, sa tim

da imamo na umu da se nova norma takode slaze sa nejednakoscu Kosija i Svarca, i potom cemo to

primeniti na brojanje 4-AP.

Najopstiji izraz koji mozemo da dobijemo na ovaj nacin je sledeci.

Definicija 62. Kockasti skalarni proizvod reda k na skupovima X1 × . . .×Xk je preslikavanje

⟨·⟩(X1,...,Xk):∏

ε:[k]→0,1

(C(X1×...×Xk)

)→ C

definisano sa

⟨fε: ε ∈ 0, 1[k]⟩(X1,...,Xk) = Ex10,x

11∈X1,...,xk0 ,x

k1∈Xk

∏ε:[k]→0,1

Conj|ε| fε(x1ε(1), . . . , x

kε(k)),

gde su fε:X1 × . . . × Xk → C funkcije, Conj je operator konjugacije, a |ε|=∑

i∈[k] ε(i). Takode,

definisemo kockastu normu reda k kao

∥f∥(X1,...,Xk)= ⟨f, . . . , f⟩2−k

(X1,...,Xk).

Za kockasti skalarni proizvod ponovo vazi

5U tom dokazu smo koristili uslov x− y ∈ A, ali je ovo ekvivalentno i ima prednost zbog simetrije.

46

Stav 63 (Opsta Kosi-Svarc-Gauers nejednakost). Za date funkcije vazi

⟨fε: ε ∈ 0, 1[k]⟩(X1,...,Xk) ≤∏

ε∈0,1[k]∥fε∥(X1,...,Xk).

Sada mozemo da definisemo i Gauersove norme ujednacenosti koje ce nam omoguciti da prebrojimo

aritmetmicke progresije date duzine.

Definicija 64 (Gauersove norme ujednacenosti). Neka je f :G→ C. Gauersove norme ujednacenosti

reda k je definisana sa

∥f∥Uk= ∥f∥(G,...,G),

gde je f :Gk → C zadata jednakoscu f(x1, . . . , xk) = f(x1 + · · ·+ xk).

Eksplicitnije

∥f∥2kUk= Ex,a1,...,ak

∏ε:[k]→0,1

Conj|ε|(x+

∑i∈[k]

εiai

).

Neka je A ⊂ ZN gustine δ. Dokazimo da mala vrednost ∥A − δ∥Uk implicira da A sadrzi mnogo

(k + 1)-AP.

Stav 65. Neka je A ⊂ ZN gustine δ takav da je ∥A− δ∥Uk≤ ε. Onda A sadrzi bar (δk+1 − 2k+1ε)N2

(k + 1)-AP.

Dokaz. Neka je nk+1 broj (k + 1)-AP u skupu A. Onda vazi

N−2nk+1 = Ex,dA(x)A(x+ d) · · ·A(x+ kd) =

∑I⊂[0,k]

δk+1−|I| Ex,d

(∏i∈I

(A− δ)(x+ id)).

Primetimo da je jedan od sabiraka δk+1, dok su ostali oblika

Ex,df0(x)f1(x+ d) . . . fk(x+ kd),

gde je svaki fi ili A− δ ili δ, i bar jedan je A− δ. Tvrdimo da se apsolutna vrednost svakog takvog

izraza moze ograniciti sa ∥A − δ∥Uk≤ ε. U dokazu koji sledi vidimo i drugi nacin na koji prirodno

nastaje norma Uk. (Prvi je bio koristeci kockasti skalarni proizvod.)

Stav 66. Neka su f0, . . . , fk:ZN → D funkcije. Onda je 10.

preda–

vanje

∣∣∣ Ex,df0(x)f1(x+ d) . . . fk(x+ kd)

∣∣∣ ≤ ∥fk∥Uk .

Dokaz. Kao sto smo videli i ranije, problem sa ovakvim izrazom jeste taj sto su funkcije previse

povezane kroz promenljive. Ponovo, nas cilj je da ,,raspetljamo” funkcije tako sto cemo odvojiti

47

promenljive koristeci nejednakost Kosija i Svarca. Imamo sledece:

|Ex,df0(x)f1(x+ d) · · · fk(x+ kd)|2k=∣∣∣Exf0(x)(Edf1(x+ d) · · · fk(x+ kd)

)∣∣∣2k≤(Ex|f0(x)|

∣∣∣Edf1(x+ d) · · · fk(x+ kd)∣∣∣)2k

≤(Ex∣∣∣Edf1(x+ d) · · · fk(x+ kd)

∣∣∣)2k≤(Ex∣∣∣Edf1(x+ d) · · · fk(x+ kd)

∣∣∣2)2k−1

=(Ex,d1,d2f1(x+ d1)f1(x+ d2) · · · fk(x+ kd1)fk(x+ kd2)

)2k−1

.

Ovo sugerise sledecu notaciju: ∆df(x): = f(x)f(x− d). Dakle, dalje dobijamo:

|Ex,df0(x)f1(x+ d) · · · fk(x+ kd)|2k

≤(Ex,d1,d2f1(x+ d1)f1(x+ d2) · · · fk(x+ kd1)fk(x+ kd2)

)2k−1

=(Ex,d1,d2∆d1−d2f1(x+ d1) · · ·∆k(d1−d2)fk(x+ kd1)

)2k−1

smena promenljivih x = x− d1, d = d1, u = d1 − d2

=(Ex,d,u∆uf1(x) · · ·∆kufk(x+ (k − 1)d)

)2k−1

≤(Ex,u|∆uf1(x)|

∣∣∣Ed∆2uf2(x+ d) · · ·∆kufk(x+ (k − 1)d)∣∣∣)2k−1

≤(Ex,u

∣∣∣Ed∆2uf2(x+ d) · · ·∆kufk(x+ (k − 1)d)∣∣∣)2k−1

≤(Ex,u

∣∣∣Ed∆2uf2(x+ d) · · ·∆kufk(x+ (k − 1)d)∣∣∣2)2k−2

=(Ex,uEd1,d2∆2uf2(x+ d1)∆2uf2(x+ d2) · · ·∆kufk(x+ (k − 1)d1)∆kufk(x+ (k − 1)d2)

)2k−2

=(Ex,u1,u2,d∆2u1,u2f2(x) · · ·∆ku1,(k−1)u2fk(x+ (k − 2)d)

)2k−2

...

≤ Ex,u1,u2,u3,...,uk,d∆ku1,(k−1)u2,...,ukfk(x) = ∥fk∥2k

Uk ,

cime je dokaz zavrsen.

Primenimo Stav 66 na sve sabirke osim δk+1.

Nas glavni cilj u ostatku ovog poglavlja je da pokazemo sledecu teoremu.

Teorema 67 (Gauers, Slaba inverzna teorema za U3 normu). Neka je N prost broj i neka f :ZN → Dfunkcija takva da je ∥f∥U3≥ c. Onda mozemo naci aritmeticku progresiju P ⊂ ZN , duzine |P |≥Ωc(N

Ωc(1)) i kvadratne funkcije ψs:ZN → ZN za svako s ∈ ZN , takve da je

Es

∣∣∣ ∑x∈s+P

f(x)ωψs(x)∣∣∣ ≥ Ωc(|P |).

48

Neformalno govoreci, ako vidimo linearne polinome kao prepreku za malu vrednost norme ∥·∥U2 ,

za normu ∥·∥U3 su glavna prepreka kvadratni polinomi.

Na kraju poglavlja cemo videti kako iz Teoreme 67 i Stava 65 sledi Semeredijeva teorema za 4-AP.

6.1. Slaba inverzna teorema za U3normu

Zamislimo na tren da je data funkcija f oblika ωax2. Nemamo nacin da identifikujemo a ako

je u eksponentu kvadratni polinom, ali ako bismo imali funkciju oblika g(x) = ωax, onda Furijeova

transformacija g(r) = 1r = a otkriva a. S druge strane, za ovakvo f , ∆xf(y) = ω2yx−x2 , cime

linearizujemo eksponent. Sledeci stav kombinuje ove dve ideje.

Stav 68. Neka je f :ZN → D takva da je ∥f∥U3≥ c. Onda postoji skup B ⊂ ZN , gustine bar c8/2, i

funkcija ϕ:B → ZN takva da je za svako x ∈ B, |∆xf(ϕ(x))|≥ c4/2.

Dokaz. Algebarskom manipulacijom dobijamo

c8 ≤∥f∥8U3= Ex,a,b,c

∆af(x)∆af(x− b)∆af(x− c)∆af(x− b− c)

=Ea

Ex1,x2,x3,x4

∆af(x1)∆af(x2)∆af(x3)∆af(x4)∑r

ω−r(x1−x2−x3+x4)

=Ea

∑r

∣∣∣∆af(r)∣∣∣4

≤Ea

(maxr

∣∣∣∆af(r)∣∣∣2)∑

r

∣∣∣∆af(r)∣∣∣2

=Ea

(maxr

∣∣∣∆af(r)∣∣∣2)E

x

∣∣∣∆af(x)∣∣∣2

≤Ea

(maxr

∣∣∣∆af(r)∣∣∣2).

Onda za bar c8

2N izbora a ∈ ZN mora da bude maxr

∣∣∣∆af(r)∣∣∣ ≥ c4

2. Neka je B skup ovakvih a, a ϕ(a)

odgovarajuce r gde se postize maksimum.

Na osnovu motivacije pre Stava 68, ako se ponovo vratimo na specijalni slucaj f(x) = ωax2,

ocekujemo da ϕ bude oblika v 7→ 2av. Sada cemo pokazati da ϕ nuzno ima dosta aditivne strukture.

Stav 69. Neka je B ⊂ ZN skup gustine c, neka je f :ZN → D funkcija i neka je ϕ:B → ZNpreslikavanje takvo da je za svako x ∈ B, |∆xf(ϕ(x))|≥ c. Onda postoji bar c12N3 cetvorki elemenata

(x1, x2, x3, x4) ∈ B4 takvih da x1 + x2 = x3 + x4 i ϕ(x1) + ϕ(x2) = ϕ(x3) + ϕ(x4).

49

Dokaz. Iz pretpostavke sledi

c3 ≤ExB(x)

∣∣∣∆xf(ϕ(x))∣∣∣2 = E

x,y,zB(x)∆xf(y)∆xf(z)ω

(z−y)ϕ(x)

= Ex,y,u

B(x)∆xf(y)∆xf(y − u)ω−uϕ(x)

≤ Ey,u

∣∣∣ExB(x)ω−uϕ(x)∆uf(y − x)

∣∣∣.Neka je gu(x) = B(x)ω−uϕ(x). Na osnovu nejednakosti Kosija i Svarca i Parsevalovog identiteta,

dobijamo

c6 ≤ Ey,u

∣∣∣ExB(x)ω−uϕ(x)∆uf(y − x)

∣∣∣2 = EuEy

∣∣∣Exgu(x)∆uf(y − x)

∣∣∣2=E

uEy

∣∣∣gu ∗∆uf(y)∣∣∣2 = E

u

∑r

∣∣∣ gu ∗∆uf(r)∣∣∣2

=Eu

∑r

∣∣∣gu(r)∣∣∣2∣∣∣∆uf(r)∣∣∣2 ≤ E

u

(∑r

∣∣∣gu(r)∣∣∣4)1/2(∑r

∣∣∣∆uf(r)∣∣∣4)1/2

≤Eu

(∑r

∣∣∣gu(r)∣∣∣4)1/2(∑r

∣∣∣∆uf(r)∣∣∣2)1/2 ≤ E

u

(∑r

∣∣∣gu(r)∣∣∣4)1/2.Ponovo primenivsi nejednakost Kosija i Svarca, dobijamo

c12 ≤Eu

∑r

∣∣∣gu(r)∣∣∣4≤E

uEx,y,z

gu(x)gu(x− y)gu(z)gu(z − y)

= Ex,y,z,u

B(x)B(x− y)B(z)B(z − y)ω−u(ϕ(x)−ϕ(x−y)−ϕ(z)−ϕ(z−y))

= Ex,y,z

B(x)B(x− y)B(z)B(z − y)1(ϕ(x)− ϕ(x− y)− ϕ(z)− ϕ(z − y) = 0

).

Kao i ranije, imamo nacin da mnostvo aditivnih cetvorki pretvorimo u algebarsku strukturu.

Stav 70. Neka je B ⊂ ZN skup gustine c1 i neka je ϕ:B → ZN preslikavanje takvo da postoji bar

c2N3 cetvorki elemenata (a, b, c, d) ∈ B4 takvih da a + b = c + d i ϕ(a) + ϕ(b) = ϕ(c) + ϕ(d). Onda

postoje aritmeticka progresija P = x+[0, l−1] ·d duzine l ≥ Ωc1,c2(NΩc1,c2 (1)), skup S ⊂ B∩P velicine

bar |S|≥ Ωc1,c2(|P |), i preslikavanje ψ:P → ZN oblika (x + yd) 7→ (u + yv) takvi da je ϕ(x) = ψ(x)

za sve x ∈ S.

Dokaz. Posmatrajmo skup B ⊂ Z2N zadat sa B = (b, ϕ(b)): b ∈ B. Onda skup B ima bar c2c

31|B|3

aditivnih cetvorki. Na osnovu Teoreme 49, imamo B′ ⊂ B, velicine bar Ωc1,c2(|B|) takav da je

|B′ + B′|≤ Oc1,c2(|B′|). Sada cemo primeniti Frajmanovu teoremu, ali moramo da imamo kratku

pripremu. Neka je ι:ZN → [N ] ⊂ Z zadato sa πN(ι(x)) = x, gde je πN :Z → ZN prirodna projekcija.

50

Definisimo skup A ⊂ Z sa A = Kι(b1) + ι(b2): (b1, b2) ∈ B′, gde je K veliki prirodan broj. Onda je

|A|= |B′| i |A+A|≤ 4|B′ + B′|≤ Oc1,c2(|A|). Na osnovu (dokaza) Frajmanove teoreme, mozemo naci

uopstenu aritmeticku progresiju Q ⊂ 2A−2A dimenzije r = Oc1,c2(1) i velicine |Q|= Ωc1,c2(|A|), takvuda je dodatno za svako q ∈ Q, A ∗ (−A) ∗A ∗ (−A)(q) ≥ Ωc1,c2(1).

6 Neka je Q = Q1 +Q2 + · · ·+Qr,

gde su Q1, . . . , Qr aritmeticke progresije. Bez umanjenja opstosti, mozemo da pretpostavimo da

je |Q1|≥ |Q|1/r. Dakle, postoji q ∈ ZN , takvo da svako x ∈ q + Q1 moze da se napise u obliku

a1+a2−a3−a4, za a1, . . . , a4 ∈ A, na bar Ωc1,c2(|A|3) nacina. Na osnovu Dirihleovog principa, imamo

a1, a2, a3 ∈ A, i skup S ⊂ A velicine |S|≥ Ωc1,c2(|Q1|), takve da za svako s ∈ S, a1+a2−a3−s−q ∈ Q1,

tj. S ⊂ q + a3 − a1 − a2 + Q1 = R. Medutim, aritmeticku progresiju R mozemo da zapisemo kao

R = x0 + [0, l − 1] · d ⊂ 3A − 4A. Kako je svaki element u A oblika Kx + y, za x, y ∈ [N ], onda je

svaki element u R oblika Kx+ y za x, y ∈ [−8N, 8N ]. Ako je K > 100N , onda je R ⊂ Z2N , data sa

R =(πN(x), πN(y)):Kx+ y ∈ R, x, y ∈ [−8N, 8N ]

dobro definisana aritmeticka progresija u ZN × ZN . Neka je R = (x, u) + [0, l− 1] · (d, v). Definisimo

aritmeticku progresiju P = x+ [0, l− 1] · d i preslikavanje ψ:P → ZN sa (x+ yd) 7→ (u+ yv). Ovime

je dokaz zavrsen.

Poslednji korak je da se funkcija ∆xf vratimo na funkciju f , sto ce sa sobom nositi i promenu iz

korelacije sa linearnim polinomima u korelaciju sa kvadratnim.

Stav 71. Neka su f :ZN → D funkcija, P ⊂ ZN aritmeticka progresija, λ, µ ∈ ZN , takvi da je∑x∈P

∣∣∣∆xf(λx+ µ)∣∣∣ ≥ c|P |.

Onda postoje kvadratni polinomi ψs za s ∈ ZN takvi da

Es∈ZN

∣∣∣ ∑x∈P+s

f(x)ω−ψs(x)∣∣∣ ≥ c|P |/

√2.

Dokaz. Na osnovu pretpostavki imamo

c2|P |≤∑x∈P

∣∣∣∆xf(λx+ µ)∣∣∣2 =∑

x∈PEy,z

∆xf(y)∆xf(z)ω−(λx+µ)(y−z)

=∑x∈P

Ey,u

∆xf(y)∆xf(y − u)ω−(λx+µ)u

=∑x∈P

Ey,uf(y)f(y − x)f(y − u)f(y − x− u)ω−(λx+µ)u

=∑x∈P

Ey,uf(y)ω−2−1λy2−µyf(y − x)ω2−1λ(y−x)2f(y − u)ω2−1λ(y−u)2+µ(y−u)f(y − x− u)ω−2−1λ(y−x−u)2

≤Ey

∣∣∣∑a∈P

Euf(y − a)ω2−1λ(y−a)2f(y − u)ω2−1λ(y−u)2+µ(y−u)f(y − a− u)ω−2−1λ(y−a−u)2

∣∣∣.6Ovo nismo dokazali, ali se ovaj malo jaci zakljucak moze izvuci pazljivijem razmatranjem argumenta Bogoljubova.

51

Neka su

g1(y) = g3(y) = f(y)ω−2−1λy2 , g2(y) = f(y)ω−2−1λy2−µy.

Sada pisimo u = b+ z, za b ∈ P , z ∈ ZN . Dobijamo

c2|P |2≤ Ey,z

∣∣∣ ∑a,b∈P

g1(y − a)g2(y − z − b)g3(y − z − a− b)∣∣∣

=N−1 Ey,z

∣∣∣ ∑a,b∈P

∑c∈2P

g1(y − a)g2(y − z − b)g3(y − z − c)∑r

ω−r(a+b−c)∣∣∣

=N−1 Ey,z

∣∣∣∑r

(∑a∈P

g1(y − a)ω−ra)(∑

b∈P

g2(y − z − b)ω−rb)(∑

c∈2P

g3(y − z − c)ωrc)∣∣∣.

Neka su dalje za fiksno y, z

h1;y(r) =∑a∈y−P

g1(a)ω−r(y−a), h2;y,z(r) =

∑b∈y−z−P

g2(b)ω−r(y−z−b), h3;y,z(r) =

∑c∈y−z−2P

g3(c)ωr(y−z−c).

Time izraz postaje

c2|P |2N ≤ Ey,z

∣∣∣∑r

h1;y(r)h2;y,z(r)h3;y,z(r)∣∣∣

≤ Ey,z

maxr

∣∣∣h1;y(r)∣∣∣(∑r

|h2;y,z(r)|2)1/2(∑

r

|h3;y,z(r)|2)1/2

.

Lako se proverava da je∑

r|h2;y,z(r)|2≤ |P |N i∑

r|h3;y,z(r)|2≤ |P +P |N ≤ 2|P |N , gde smo iskoristili

da je P aritmeticka progresija, cime dobijamo

c2|P |≤ Eymaxr

∣∣∣h1;y(r)∣∣∣.Neka je za svako y ∈ ZN , r(y) vrednost r ∈ ZN za koje se postize ovaj maksimum. Time napokon

dobijamo

c2|P |≤ Ey

∣∣∣ ∑a∈y−P

f(a)ω−2−1λa2+r(y)y−r(y)a∣∣∣,

cime je dokaz zavrsen.

Dokaz Teoreme 67. Primenimo redom Stavove 68, 69, 70 i 71.

6.2. Dokaz Semeredijeve teoreme o 4-AP

Da bismo primenili Teoremu 67, potrebna nam je kontrola nad vrednostima polinoma u ZN . Za 11.

preda–

vanje

ove potrebe nam sluzi cuvena Vejlovu teorema.

Teorema 72 (Vejl). Neka je ε > 0 i neka je d ∈ N. Neka je α realan broj, a a, q ∈ N uzajamno prosti

brojevi takvi da je ∣∣∣α− a

q

∣∣∣ ≤ 1

q2.

52

Onda vazi ∣∣∣∑x∈[t]

exp(2πiαxd)∣∣∣ ≤ Oε

(t1+ε(q−1 + t−1 + qt−d)2

1−k).

Setimo se i standardne leme o racionalnim aproksimacijama realnih brojeva koju je dokazao Dirihle.

Lema 73. Neka je α ∈ R, t ∈ N. Onda postoje b, q ∈ Z, q ∈ [t] takvi da je∣∣∣α− b

q

∣∣∣ ≤ 1tq.

Posledica 74. Neka je p(X) = axd i neka je t ∈ [N ]. Onda postoji x ∈ [t] takvo da je

p(x) ∈−Od(t

− 1

d2d+2N), . . . , Od(t− 1

d2d+2N)+NZ.

Dokaz. Neka je za svako x ∈ ZN , n(x) = |y ∈ [t]: p(y) = x|. Primetimo da je

n(r) = Exn(x)ω−rx = N−1

∑y∈[t]

ω−rp(y) = N−1∑y∈[t]

exp(2πi(raNyd)).

Neka je I interval [−k, k], za neko k. Ukoliko p ne uzima vrednosti u intervalu [2k,−2k], onda vazi

Exn(x)I ∗ I(x) = 0.

Kao sto je i uobicajeno, primenicemo Parsevalov identitet, ali pre toga nam treba informacija o

Furijeovim koeficijentima I.

Stav 75. Za svako r ∈ [N/2], vazi N |I(r)|≤ min2k + 1, N/2r.

Dokaz. Ocena 2k + 1 je trivijalna. S druge strane NI(r) =∑k

x=−k ω−rx = ω−kr ω(2k+1)r−1

ωr−1, sto je u

apsolutnoj vrednosti najvise 22 sin 2πr

N

, odakle tvrdenje sledi.

Neka je M ∈ N. Na osnovu Parsevalovog identiteta i cinjenice da I(r) ∈ R, imamo da je

0 =∑r

n(r)I(r)2 = n(0)I(0)2 +∑

r∈[−M,M ]\0,0

n(r)I(r)2 +∑

r/∈[−M,M ]

n(r)I(r)2.

Na osnovu Stava 75, imamo

maxr∈[−M,M ]\0

|n(r)|≥ N2

(2k + 1)22M

(N−3tk2 −O

( t

NM

)).

Neka je r ∈ [−M,M ] \ 0 argument u kojem se postize ovaj maksimum. Mozemo da izaberemo

M ∈ [Ω(N2/k2), O(N2/k2)] tako da je |n(r)|≥ Ω(t/NM) = Ω(tk2/N3).

Sada stavimo α = raN. Primenimo Dirihleovu aproksimaciju da bismo dobili uzajamno proste

q ∈ [t], b ∈ N takve da∣∣∣α− b

q

∣∣∣ ≤ 1qt. Na osnovu Teoreme 72 sa ε = 1

d2d+1 vazi

Ω(tk2N2

)≤ N |n(r)|=

∣∣∣∑y∈[t]

exp(2πiαyd

)∣∣∣ ≤ O(t1+

1

d2d+1 q−21−d).

53

pa je q ≤ t14d

(Nk

)2d. Mozemo izabrati k = t−

1

d2d+1N tako je onda q ≤ t1/2d. Ali onda je p(rq) nuzno

malo:∣∣∣a(rq)d − brd−1qd−1N∣∣∣ ≤ |r|d−1|q|dN

∣∣∣raN

− b

q

∣∣∣ ≤Md−1|q|d 1qtN ≤ Od

(t

d−1

d2d+1 td−14d t−1N

)≤ Od(t

−1/2N),

cime je dokaz zavrsen.

Posledica 76. Neka je r ∈ [N ], i neka je ψ:ZN → ZN kvadratni polinom. Onda postoji m ≤O(r1−2−8

) i podela [r] u aritmeticke progresije P1, . . . , Pm, cije se duzine razlikuju za najvise O(1), a

za svako i ∈ [m], vrednosti ψ na Pi variraju za najvise O(r−2−8N).

Dokaz. Neka je ψ(x) = ax2+ bx+ c. Na osnovu Posledice 74 mozemo pronaci neko 1 ≤ s ≤√r takvo

da je |as2|≤ O(r−1/32N). Primetimo da

ψ(x+ ys) = ψ(x) + (as2)y2 + (2asx+ bs)y.

Podelimo prvo [r] u aritmeticke progresije Q1, . . . , Ql koraka s i duzine bar Ω(r1/128). Izaberimo

xi ∈ Qi. Onda je za svako xi + ys ∈ Qi

|ψ(xi + ys)− ψ(xi)|≤ O(r−1/64N) + |(2asxi + bs)y|.

Slicno kao u dokazu Rotove teoreme, mozemo dalje da podelimo svaku Qi u aritmeticke progresije

istog koraka i duzina Ω(|Qi|1/2) koje se razlikuju za najvise 1, tako da vrednosti y 7→ (2asxi + bs)y

variraju za najvise O(|Qi|−1/2N). Ovime je dokaz zavrsen.

Dokaz Semeredijeve teoreme o aritmetickim progresijama duzine 4. Postupamo vrlo slicno kao u dokazu

Rotove teoreme. Neka je A ⊂ [N ] gustine δ. Na osnovu Bertranovog postulata, postoji prost broj

M ∈ [N/2, N ]. Na osnovu Dirihleovog principa, postoji translat t + A koji ima gustinu bar δ u [M ].

Neka je B ⊂ A′ = (t + A) ∩ [M ] oblika B = A′ ∩ [i, i + 1]M4, za neko i, tako da je |B|≥ δ

4M . Onda

su aritmeticke progresije oblika x ∈ A′, x+ d ∈ B, x+ 2d ∈ B, x+ 3d ∈ A′ 4-AP u Z akko su 4-AP u

ZM . Broj takvih 4-AP je

Ex,d∈ZM

A′(x)B(x+ d)B(x+ 2d)A′(x+ 3d).

Ako je ∥f∥U3≤ δ4

100, gde je f(x) = A′(x)− |A′|/M , onda koristeci Stav 66 pronalazimo trazenu 4-AP

u A′.

Pretpostavimo sada da vazi ∥f∥U3≥ δ4

100. Na osnovu Teoreme 67 mozemo naci aritmeticku progre-

siju P ⊂ ZM , duzine |P |≥ Ωδ(MΩδ(1)) i kvadratne funkcije ψs:ZM → ZM za svako s ∈ ZM , takve da

je

Es

∣∣∣ ∑x∈s+P

f(x)ωψs(x)∣∣∣ ≥ Ωδ(|P |).

54

Izaberimo s takvo da je∣∣∣∑x∈s+P f(x)ω

ψs(x)∣∣∣ ≥ Ωδ(|P |). Primenimo Posledicu 76 na ψs i s + P , da

nademo dalje aritmeticke progresije Q1, . . . , Qm, duzina razlicitih za najvise O(1) i koje su duzine bar

≥ Ωδ(MΩδ(1)) takve da je ∑

i∈[m]

∣∣∣ ∑x∈Qi

f(x)∣∣∣ ≥ Ωδ(

∑i∈[m]

|Qi|).

Mozemo naci Qi medu njima takvu da∣∣∣∑x∈Qi

f(x)∣∣∣ ≥ Ωδ(|Qi|). Ali onda mozemo naci Qj takvu da

je∑

x∈Qjf(x) ≥ Ωδ(|Qj|). Ovime je povecana gustina skupa A′ na Qj za Ωδ(1), i onda mozemo da

nastavimo strategiju povecavanja gustine na uobicajeni nacin.

Jaka inverzna teorema. Teorema 67 nam govori da ako funkcija f ima veliku U3 normu, onda

ima veliku korelaciju sa faznim funkcijama kvadratnih polinoma na relativno velikim delovima am-

bijentalnog prostora. Razlog zasto se ova teorema naziva slabom inverznom teoremom jeste taj sto

je korelacija samo lokalna. Jaka inverzna teorema Grina, Taa i Cigler nam govori da za funkciju

f :ZN → D sa ∥f∥Uk≥ c postoji druga funkcija sa jakom algebarskom strukturom g:ZN → D takva

da je |Ex f(x)g(x)|≥ Ωc(1). Medutim, u slucaju ZN , nisu dovoljni samo fazni polinomi, vec je struk-

tura nesto komplikovanija. U Fnp situacija ponovo postaje prijatnija, gde su fazne funkcije polinoma

dovoljne za globalnu korelaciju, kao sto su pokazali Bergelson, Tao i Cigler.

§7 Metod polinoma

U ovom delu kursa cemo se baviti problemima aditivne kombinatorike, ali ce metod rada biti

znacajno drugaciji. Naime, koristicemo metod polinoma. Kao sto ime sugerise, u dokazima koji slede,

pronaci cemo polinom koji se slaze sa postavkom problema, i kontrola nad strukturom nula ce biti

dovoljna da se dokaz zavrsi.

7.1. Kakejin problem

Prvi problem koji cemo razmotriti je Kakejin problem. Prvobitno, Kakejin problem je bio formulisan

u Euklidskoj ravni i glasi: koja je najmanja mera regiona S u R2 sa svojstvom da se igla duzine 1 moze

neprekidno rotirati tako da opise ugao od 2π? Nas ovde zanima verzija istog problema u vektorskim

prostorima konacne dimenzije nad konacnim poljima.

Teorema 77 (Dvir, 2008.). Neka je S ⊂ Fnp skup takav da za svako v ∈ Fnp \ 0, postoji prava u

pravcu v unutar S, tj. postoji x0 ∈ Fnp takvo da x0 + λv:λ ∈ Fp ⊂ S. Onda je

|S|≥(p+ n− 1

n

).

Dakle, imamo da je za fiksno n, |S|≥ pn/n!, sto znaci da je S nuzno gust u Fnp kako p→ ∞.

55

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, |S|<(p+n−1n

). Posmatrajmo polinome po n promenljivih sa ko-

eficijentima u Fp. Primetimo da je broj monoma xd11 . . . xdnn takvih da je∑

i∈[n] di ≤ p − 1 tacno(p+n−1n

). Na osnovu elementarne linearne algebre, mozemo pronaci koeficijente cd za ovakve monome

tako da nisu svi 0 i za svako s ∈ S, vazi∑

d cdsd11 . . . sdnn = 0. Drugim recima, imamo polinom

0 = f ∈ Fp[X1, . . . , Xn] stepena najvise p− 1 koji je 0 u svakoj tacki s ∈ S. Sada cemo pokazati da

je f identicki 0, sto je kontradikcija.

Napisimo f =∑

i∈[0,p−1] fi, gde je fi homogeni deo stepena i. Neka je d ∈ [0, p− 1] najvece takvo

da je fd razlicit od 0. Posto je d < p, onda postoji v ∈ Fnp \ 0 takvo da fd(v) = 0. Neka je x0 ∈ Fnptacka takva da je prava kroz x0 u pravcu v sadrzana u S. Onda je za svako λ ∈ Fp, f(x0 + λv) = 0.

Koristeci homogene delove f , dobijamo

f(x0 + λv) = λdfd(v) + g(λ),

za neki polinom g po jednoj promenljivoj, stepena najvise d− 1. Medutim, polinom λ 7→ f(x0 + λv)

je stepena d i svuda nula, pa je fd(v) = 0, sto je kontradikcija.

7.2. Rotova teorema u Fnp 12.

preda–

vanje

Sada cemo pokazati dramaticno bolje ocene za Rotovu teoremu ako je ambijentalna grupa Fnp .

Teorema 78. Za dati prost broj p postoji konstanta cp ∈ (0, p) takva da svaki skup S ⊂ Fnp , velicine|S|≥ cnp , sadrzi aritmeticku progresiju duzine 3.

Ova teorema je dokazana 2016. godine. Prvobitno su verziju za Zn4 dokazali Krut, Lev i Pah, a

njihov dokaz su modifikovali Elenberg i Gijsvijt za Fnp . Verziju dokaza koju cemo ovde predstaviti je

artikulisao Tao.

Pocnimo sledecom definicijom. Neka su X1, . . . , Xm konacni skupovi, i neka je f :∏

i∈[m]Xi → Fpfunkcija. Deobni rang funkcije f je najmanje r takvo da se f moze napisati kao suma

f(x1, . . . , xm) =∑i∈[r]

gi(xIi)hi(x[m]\Ii),

(gde je xI skracenica za (xi)i∈I), za neke skupove ∅ = Ii ( [m], i preslikavanja gi:∏

j∈Ii Xj → Fp i

hi:∏

j∈[m]\Ii Xj → Fp. Deobni rang zadovoljava sledece svojstvo.

Stav 79. Neka je X konacan skup, A ⊂ X i neka je ca ∈ Fp\0 za svako a ∈ A. Onda preslikavanje

f :Xk → Fp zadato sa

(x1, . . . , xk) 7→∑a∈A

ca1(x1 = a) · · ·1(xk = a),

ima deobni rang tacno |A|.

Dokaz. Dokazujemo tvrdenje indukcijom po k. Primetimo da je slucaj k = 2 upravo tvrdenje o rangu

dijagonalne matrice. Pretpostavimo sada da tvrdenje vazi za k − 1, i neka je∑a∈A

ca1(x1 = a) · · ·1(xk = a) =∑

∅=I⊆[k−1]

∑i∈[nI ]

fI,i(xI)gI,i(x[k]\I), (10)

56

minimalna dekompozicija zadate sume. Neka je I0 najveci podskup od [k − 1] koji se pojavljuje sa

desne strane. Pretpostavimo prvo da I0 = [k − 1]. U tom slucaju, sumirajmo obe strane jednakosti

po svim xk ∈ X. Time dobijamo∑a∈A

ca1(x1 = a) · · ·1(xk−1 = a) =∑xk∈X

∑a∈A

ca1(x1 = a) · · ·1(xk = a) =∑

∅=I⊆[k−1]

∑i∈[nI ]

fI,i(xI)gI,i(x[k−1]\I),

gde smo definisali gI,i:X[k−1]\I → Fp kao

gI,i(x[k−1]\I) =∑xk∈G

gI,i(x[k]\I).

Kako nijedno I koje se pojavljuje u sumi nije [k− 1], imamo da [k− 1] \ I = ∅. Na osnovu induktivne

hipoteze vazi∑

I nI ≥ |A|, sto je i trebalo da pokazemo.

Sada mozemo da pretpostavimo da se [k − 1] pojavljuje medu skupovima I u sumi. Na osnovu

linearne algebre, mozemo da pronademo preslikavanje h:A→ Fp takvo da∑

xk∈A g[k−1],i(xk)h(xk) = 0

za svako i ∈ [n[k−1]], i h ima bar |A|−n[k−1] vrednosti razlicitih od 0.

Mnozeci jednakost (10) sa h(xk) is sumirajuci po xk dobijamo

cah(a)1(x1 = a) · · ·1(xk−1 = a) =∑xk∈A

h(xk)∑a∈A

ca1(x1 = a) · · ·1(xk = a)

=∑xk∈A

h(xk)∑

∅=I⊆[k−1]

∑i∈[nI ]

fI,i(xI)gI,i(x[k]\I)

=∑

∅=I([k−1]

∑i∈[nI ]

fI,i(xI)( ∑xk∈A

h(xk)gI,i(x[k]\I))

+∑

i∈[n[k−1]]

f[k−1],i(x[k−1])( ∑xk∈A

h(xk)g[k−1],i(xk))

=∑

∅=I([k−1]

∑i∈[nI ]

fI,i(xI)gI,i(x[k−1]\I),

gde je gI,i(x[k−1]\I) =∑

xk∈A h(xk)gI,i(x[k]\I). Time dobijamo dekompoziciju u Xk−1, koja je valjana

(u smislu da skupovi koordinata u argumentima funkcija nisu prazni). Buduci da je h(a) = 0 za bar

|A|−n[k−1] vrednosti a, dokaz je zavrsen na osnovu induktive hipoteze.

Dokaz Teoreme 78. Pretpostavimo da je A ⊂ G = Fnp skup bez netrivijalnih 3-AP. Primetimo da je

onda za x, y, z ∈ G

A(x)A(y)A(z)1(x− 2y + z = 0) = A(x)A(y)A(z)1(x = y = z) =∑a∈A

1(x = a)1(y = a)1(z = a).

Na osnovu Stava 79 preslikavanje f :G × G × G → Fp zadato ovim izrazom ima deobni rang |A|. S

druge strane, primetimo da je 1(x − 2y + z = 0) =∏

i∈[n](1 − (xi − 2yi + zi)p−1). Tvrdimo da ovaj

polinom ima mali deobni rang.

57

Lema 80. Deobni rang polinoma f(x, y, z) =∏

i∈[n](1 − (xi − 2yi + zi)p−1) je najvise 3N , gde je N

broj nizova (d1, . . . , dn) ∈ [0, p− 1]n takvih da∑

i∈[n] di ≤(p−1)n

3.

Dokaz leme. Ako napisemo

f(x, y, z) =∑a,b,c

λa,b,cxa11 . . . xann y

b11 . . . ybnn z

c11 . . . zcnn

onda je za svaki koeficijent koji ucestvuje u izrazu∑

i∈[n] ai+ bi+ ci ≤ (p−1)n. Podelimo ovu sumu u

tri f(x, y, z) = S1 + S2 + S3, tako da su u S1 samo λa,b,c kada je∑

i ai ≤(p−1)n

3, u S2 samo λa,b,c kada

je∑

i bi ≤(p−1)n

3, i u poslednjoj vazi

∑i ci ≤

(p−1)n3

. Onda prvu sumu mozemo da napisemo i kao∑a∑

ai≤ (p−1)n3

(xa11 . . . xann

)ga(y, z),

za neke polinome ga(y, z). Dakle, deobni rang sume S1 je najvise broj ovakvih izbora nizova a, a to

je N . Ista ocena vazi i za deobni rang S2 i S3, cime je dokaz zavrsen.

Na osnovu leme, dobijamo |A|≤ 3N . Ako koristimo jezik verovatnoce, mozemo N oceniti na

sledeci nacin. Neka su X1, . . . , Xn nezavisne slucajne promenljive koje sa verovatnocom 1puzimaju

svaku od vrednosti iz [0, p− 1]. Onda je

p−nN = P(∑i∈[n]

Xi ≤(p− 1)n

3

).

Na osnovu Hoefdingove nejednakosti (Teorema 24) dobijamo

p−nN =1

2P(∣∣∣∣∑

i∈[n]

Xi − E(∑i∈[n]

Xi

)∣∣∣∣ ≥ (p− 1)n

6

)≤ 2 exp

(− 2n2(p− 1)2/36

n(p− 1)2

)≤ 2 exp(−n/18),

cime je dokaz zavrsen.

7.3. Skupovi tacaka u skoro opstoj poziciji

Pocnimo sa sledecim pitanjem koje je postavio Erdos. Za skup tacaka u ravni kazemo da je u skoro-

opstoj poziciji ako nikoje cetiri tacke nisu na istoj pravoj. Da li postoji skup n tacaka u ravni u

skoro-opstoj poziciji, takav da su njegovi podskupovi, koji su opstoj poziciji, velicine najvise o(n)?

Posmatrajmo uopstenje ovog problema u Rk. Za skup S ⊂ Rk kazemo da je opstoj poziciji ako

nikojih k + 1 tacaka ne leze na istoj hiperravni.7 Slicno, kazemo da je S u skoro-opstoj poziciji ako

nikoje k + 2 tacke nisu na istoj hiperravni.

Teorema 81 (Milicevic, 2015.). Za dato ε > 0, k ∈ N, postoji skup S ⊂ Rk velicine n koji je u

skoro-opstoj poziciji, a svi njegovi podskupovi u opstoj poziciji su velicine najvise εn.

7Hiperravan je afin potprostor kodimenzije 1.

58

Dokaz ce biti baziran na gustinskoj verziji Hejls-Dzuet teoreme.

Teorema 82 (Furstenberg, Kacnelson, 1991.). Neka je ε > 0, d ∈ N. Onda postoji dovoljno veliko N

takvo da, kada god je A ⊂ [d]N skup velicine |A|≥ εdN , onda A sadrzi kombinatornu pravu.

Primetimo da koristeci Teoremu 82 mozemo da konstruisemo zeljeni skup u ravni. Naime, neka

je S slika pri generickom linearnom ulaganju skupa [3]N u R2. Odmah vidimo da je S u skoro-opstoj

poziciji. Neka je A ⊂ S bilo koji skup velicine bar ε|S|= ε3N . On odgovara podskupu [3]N gustine bar

ε, koji na osnovu Teoreme 82 sadrzi kombinatornu, a samim tim i geometrijsku pravu. Povratkom u

R2 pronalazimo tri tacke na istoj pravoj unutar A.

Primetimo da mozemo konstruisati slican primer u R3. Ako posmatramo genericko linearno ula-

ganje skupa [2]N u R3 sa slikom S, nije tesko videti da je S u skoro-opstoj poziciji, a da gusti

podskupovi skupa S nisu u opstoj poziciji, zahvaljujuci kombinatornim potprostorim dimenzije 2 u

[2]N koji imaju tacno 4 tacke. (Teorema 82 nam moze dati i kombinatorne potprostore umesto pravih.)

Ispostavlja da su ovo jedini primeri kada Teorema 82 moze direktno da se primeni, i da se pokaze

da slika hiperkocke pri generickom linearnom preslikavanju ima zeljeno svojstvo. Razlog je taj sto,

ako posmatramo hiperkocku [d]N i njenu sliku u Rk, onda moramo da koristimo inverzne slike hiper-

ravni, pa samim tim i (k − 1)-dimenzione kombinatorne potprostore u [k]N kako bismo pokazali da

gusti podskupovi nisu u opstoj poziciji. Dakle, (k − 1)-dimenzioni kombinatorni potprostori moraju

da imaju bar k + 1 tacku. S druge strane, posto trazeni skup mora da bude u skoro-opstoj poziciji,

(k− 1)-dimenzioni kombinatorni potprostori ne smeju da imaju vise od k+1 tacaka. Dakle, mora da

vazi dk−1 = k+1. Lako se proverava da su jedina resenja ove jednacine upravo (k, d) ∈ (2, 3), (3, 2).

Razmisljajuci dalje u ovom smeru, prirodno je da pokusamo da izbacimo neke tacke iz hiperkocke

kako bi se smanjio broj tacaka na hiperravnima u slici. Sada cemo videti da je takav pristup unapred

osuden na propast. Naime, to bi znacilo da treba da nademo podskup X ⊂ [d]N takav da svaki

kombinatorni potprostor dimenzije k− 1 ima tacno k+ 1 tacku u X. Ali, onda bi X bio podskup od

[d]N gustine (k + 1)/dk−1, pa bi na osnovu Teoreme 82 i sam sadrzao citav kombinatorni potprostor

dimenzije k − 1, sto je kontradikcija.

Kljucna ideja u dokazu Teoreme 81 jeste da umesto da modifikujemo skup tacaka koji preslikavamo,

mi zapravo posmatramo preslikavanja koja nisu nuzno linearna.

Za tacke x1, . . . , xs ∈ RN kazemo da su (m, k)-zavisne ako su za svaki polinom f :RN → Rk

stepena najvise m (dakle za svako i ∈ [k], fi(v1, . . . , vN) je polinom po v1, . . . , vN stepena najvise m)

59

tacke f(x1), . . . , f(xs) afino zavisne.8 Pocecemo dokaz time sto cemo pokazati postojanje generickog

preslikavanja.

Stav 83 (Razdvajajuca funkcija). Neka je X ⊂ RN konacan skup. Onda postoji polinom f :RN → Rk

stepena najvise m takav da je f injektivno na X i za sve x1, . . . , xs ∈ X, ako su f(x1), . . . , f(xs) afino-

zavisne tacke, onda su x1, . . . , xs (m, k)-zavisne.

Dokaz. Neka suD svi nizovi d = (d1, . . . , dN) ∈ NN0 cija je suma najvisem. Posmatrajmo sve polinome

f :RN → Rk stepena najvise m istovremeno i kao izbor koeficijenata c ∈ R[k]×D, tj. f(X1, . . . , XN)i =∑d∈D ci,dX

d11 · · ·XdN

N . Neka je S skup svih podskupova skupa X koji nisu (m, k)-zavisni. Za svako

S = x1, . . . , xs ∈ S posmatrajmo skup CS svih c ∈ R[k]×D takvih da su tacke f(x1), . . . , f(xs) afino

zavisne, gde je f polinom koji ima koeficijente c. Nas cilj je da pronademo polinom f koji ne pripada

CS ni za jedan izbor S ∈ S. Dovoljno je primetiti da svaki CS ima Lebegovu meru 0 u R[k]×D. Mi

cemo to ovde pokazati za slucaj kada je s = k + 1, (primetimo da je s ≤ k + 1 jer su skupovi velicine

bar k + 2 uvek (m, k)-zavisni), za manje skupove je dokaz slican.

Neka je dakle S = x1, . . . , xk+1 ⊂ X skup koji nije (m, k)-zavisan. Primetimo da c ∈ CS ako

i samo je det(f(x1) − f(xk+1) . . . f(xk) − f(xk+1)) = 0. Za fiksirane x1, . . . , xk+1, CS je skup nula

polinoma. Posto skup nije (m, k)-zavisan, onda CS = R[k]×D, pa ima meru 0.

Primetimo da su aritmeticke progresije (kao skupovi sa najvise algebarske strukture) posebno teske

za razdvajanje.

Lema 84 (Primeri (m, k)-zavisnih skupova). Neka su x, y ∈ RN . Onda su x, x+ y, . . . , x+ (m+ 1)y

(m, k)-zavisne tacke za svako k.

Dokaz. Posto monomi razapinju prostor polinoma, dovoljno je pronaci neke λ0, . . . , λm+1 koji nisu svi

0, takve da je∑

i∈[0,m+1] λi = 0 i za svaki monom f(v1, . . . , vN) = vd11 . . . vdNN stepena najvise m vazi∑i∈[0,m+1]

λif(x+ iy) = 0.

Ova jednakost je ekvivalentna sa∑i∈[0,m+1]

λi∏j∈[N ]

(xj + iyj)dj =

∑i∈[0,m+1]

λi∏j∈[N ]

( ∑kj∈[0,dj ]

(djkj

)xkjj (iyj)

dj−kj

)

=∑

(∀j∈[N ])kj∈[0,dj ]

( ∏j∈[N ]

(djkj

)xkjj (yj)

dj−kj)( ∑

i∈[0,m+1]

λii∑

j∈[N ] dj−kj).

Dakle, dovoljno je pronaci λ[0,m+1] takve da nisu svi 0, i za svako t ∈ [0,m]∑i∈[0,m+1]

λiit = 0,

sto mozemo na osnovu linearne algebre.

8Tacke y1, . . . , ys ∈ Rk su afino zavisne ako postoje λ1, . . . , λs ∈ R koji nisu svi 0, takvi da je∑

i∈[s] λi = 0 i∑i∈[s] λiyi = 0.

60

Na kraju, potrebno je da donekle razumemo strukturu (m, k)-zavisnih skupova. Pokazacemo da

mali (m, k)-zavisni skupovi moraju da leze na istoj pravoj. Prvo cemo pokazati sledecu lemu.

Lema 85. Neka su x1, . . . , xr ∈ RN razlicite tacke cije su sve koordinate razlicite od 0 i takve da je

rkx1, . . . , xr ≥ r −m+ 1.

Onda mozemo pronaci monome ϕ1, . . . , ϕr:RN → R stepena najvise m takve da je (ϕi(xj))i,j∈[r] in-

vertibilna matrica.

Dokaz. Dokazujemo lemu indukcijom po r. Slucaj r = 1 je trivijalan.

Neka su date razlicite tacke x1, . . . , xr+1 cije su sve koordinate razlicite od 0 takve da je rkx1, . . . ,xr+1 ≥ (r + 1) − m + 1. Razmatramo dva slucaja u zavisnosti od toga da li je xr+1 nezavisna u

odnosu na ostale x1, . . . , xr.

Slucaj 1. xr+1 /∈ spanx1, . . . , xr.Onda vazi da je rkx1, . . . , xr ≥ r − m + 1. Na osnovu induktive hipoteze imamo monome

ϕ1, . . . , ϕr:RN → R stepena najvise m takve da je (ϕi(xj))i,j∈[r] invertibilna matrica. Dakle, postoje

jedinstveni skalari λ1, . . . , λr ∈ R takvi da vazi(ϕi(xr+1)

)i∈[r]

=∑j∈[r]

λj

(ϕi(xj)

)i∈[r]

.

Medutim, kako xr+1 /∈ spanx1, . . . , xr, imamo da xr+1 =∑

j∈[r] λjxj, pa postoji koordinata c ∈ [N ]

takva da (xr+1)c =∑

j∈[r] λj(xj)c. Uzmimo ϕr+1(y) = yc.

Slucaj 2. xr+1 ∈ spanx1, . . . , xr.Onda vazi da je rkx1, . . . , xr ≥ r− (m− 1)+ 1. Na osnovu induktive hipoteze, mozemo pronaci

monome ϕ1, . . . , ϕr:RN → R stepena najvise m−1 takve da je (ϕi(xj))i,j∈[r] invertibilna matrica. Kao

i u prethodnom slucaju, postoje jedinstveni skalari λ1, . . . , λr ∈ R takvi da vazi(ϕi(xr+1)

)i∈[r]

=∑j∈[r]

λj

(ϕi(xj)

)i∈[r]

.

Pokusajmo da izaberemo ϕr+1(y) = ϕi(y)yc, za neko i ∈ [r] i c ∈ [N ]. Ako je novodobijena (r + 1)×(r + 1) matrica invertibilna, dokaz je zavrsen. Pretpostavimo suprotno. Onda mora da vazi da je

(∀i ∈ [r])(∀c ∈ [N ]) ϕi(xr+1)(xr+1)c = ϕr+1(xr+1) =∑j∈[r]

λjϕr+1(xj) =∑j∈[r]

λjϕi(xj)(xj)c.

Dakle, za sve c ∈ [N ],

(∀i ∈ [r]) ϕi(xr+1) =∑j∈[r]

λj(xj)c(xr+1)c

ϕi(xj).

Medutim, na osnovu jedinstvenosti λ1, . . . , λr, mora da vazi λj(xj)c

(xr+1)c= λj za sve j, c. Izaberimo

λj = 0. Mora postojati takvo λj, jer ϕi(xr+1) = 0. Onda vazi (xj)c = (xr+1)c za sve c, pa je

xj = xr+1, sto je kontradikcija.

61

13.

preda–

vanje

Posledica 86. Neka je S ⊂ RN (m,m + 1)-zavisan skup. Onda je |S|≥ m + 2 i ako je |S|= m + 2

onda sve tacke skupa S leze na istoj pravoj.

Dokaz. Pretpostavimo da vazi |S|≤ m+ 2. Neka su s0, . . . , sr elementi skupa S, r ≤ m+ 1. Mozemo

pronaci afini izomorfizam α:RN → RN takav da je α(s0) = 0, a yi = α(si) za i ∈ [r] imaju sve

koordinate razlicite od 0.

Ako je rky1, . . . , yr ≥ r −m + 1, onda na osnovu Leme 85 imamo monome ϕ1, . . . , ϕr stepena

najvisem takve da je matrica (ϕi(yj))i,j∈[r] invertibilna. Medutim, onda (ϕi(α(sj)))i∈[r] za j = 0, . . . , r,

nisu afino zavisne tacke u Rr. Kako je r ≤ m + 1, ovo je u kontradikciji sa pretpostavkom da je S

(m,m+ 1)-zavisan skup.

Dakle, 1 ≤ rky1, . . . , yr ≤ r − m. Odavde sledi da je r ≥ m + 1, pa je |S|≥ m + 2, i ako

vazi jednakost, onda mora biti i rky1, . . . , yr = 1, sto znaci da su y1, . . . , yr na istoj pravoj kroz 0.

Buduci da α−1 slika prave u prave, sve tacke skupa S leze na istoj pravoj.

Dokaz Teoreme 81. Neka je ε > 0. Posmatrajmo skup X = [k+ 1]N ⊂ RN za N dovoljno veliko tako

da vazi Teorema 82 za kombinatorne linije u X. Na osnovu Stava 83 postoji polinom f :RN → Rk

stepena najvise k − 1, takav da je f injektivan na X i za x1, . . . , xr ∈ X vazi da su f(x1), . . . , f(xr)

afino-zavisni akko x1, . . . , xr je (k−1, k)-zavisan skup. Tvrdimo da Y = f(X) ima trazena svojstva.

Y je u skoro-opstoj poziciji. Pretpostavimo da Y ima k+2 tacke y1, . . . , yk+2 koje leze na istoj hiper-

ravni. Posmatrajmo maksimalan afino nezavisni podskup, bez umanjenja opstosti, to je y1, . . . , yr.Kako je Y ⊂ Rk, i tacke y1, . . . , yk+2 leze na hiperravni, vazi da je r ≤ k. Dakle, S1 = y1, . . . , yr, yk+1je afino-zavisan skup, velicine najvise k + 1. Zbog svojstava polinoma f , imamo da je T1 = f−1(S1)

(k − 1, k)-zavisan skup. Na osnovu Posledice 86, zakljucujemo da je |T1|= k + 1 i T1 podskup prave.

Slicno, posmatrajmo skupove S2 = y1, . . . , yr, yk+2 i T2 = f−1(S2) i zakljucujemo da je |T2|= k + 1

i da je T2 podskup prave. Ali, onda vazi da je |T1 ∩ T2|≥ k ≥ 2, pa je T1 ∪ T2 podskup od X, velicine

k + 2, takav da su sve tacke na istoj pravoj. Medutim, X = [k + 1]N , pa nikoje k + 2 tacke ne leze

na istoj pravoj.

Gusti podskupovi od Y nisu u opstoj poziciji. Neka je B ⊂ Y bilo koji podskup velicine |B|≥ ε|Y |.Onda A = f−1(B) ima gustinu ε u X = [k + 1]N , pa na osnovu Teoreme 82 mozemo pronaci

kombinatornu liniju L unutar A. Medutim, L je (k − 1, k)-zavisan skup, pa je f(L) skup koji se

sastoji od k + 1 afino-zavisne tacke.

7.4. Teorema Semeredija i Trotera

Sada cemo dokazati cuvenu teoremu Semeredija i Trotera o broju incidencija izmedu pravih i

tacaka u ravni.

62

Teorema 87 (Semeredi, Troter). Neka je L skup pravih, a P skup tacaka u R2. Neka je I =

I(P ,L) = (p, l) ∈ P × L: p ∈ l skup incidencija. Onda vazi

|I|≤ O(|L|2/3|P|2/3+|L|+|P|

).

Za pocetak, dokazacemo trivijalnu ocenu.

Lema 88. Neka je L skup pravih, a P skup tacaka u R2. Onda vazi

|I|≤ O(|L|1/2|P|+|L|

).

Dokaz. Neka je na pravoj l ∈ L tacno nl tacaka iz P . Onda je |I|=∑

l∈L nl. S druge strane, dvostruko

prebrojavanje trojki (l, p, q) ∈ L × P2 takvih da p, q ∈ l i da su p i q razlicite nam govori da je∑l∈L

nl(nl − 1) ≤ |P|(|P|−1),

buduci da svaki par tacaka pripada najvise jednoj zajednickoj pravoj. Time dobijamo∑l∈L

n2l ≤ 2|P|2+|L|.

Na osnovu nejednakosti Kosija i Svarca, dobijamo

|I|=∑l∈L

nl ≤(|L|∑l∈L

n2l

)1/2≤ O

(|L|1/2|P|+|L|

),

sto je i trebalo da pokazemo.

Dokaz Teoreme 87 ce biti baziran na sledece dve ideje. Prva je da mozemo da podelimo skup

tacaka u podskupove slicne velicine na algebarski strukturiran nacin. Druga ideja je da se ta podela

organizuje tako da ocena u Lemi 88, iako trivijalna u opstem slucaju, postane efikasna na svakom od

podskupova. Sada cemo precizirati na sta mislimo pod podelom sa algebarskom strukturom.

Teorema 89 (Podela u celije). Neka je P skup tacaka u ravni, i neka je M ∈ N. Onda postoji

polinom 0 = f ∈ R[X,Y ] stepena najvise O(M1/2) takav da R2 \ f = 0 moze da se podeli u

disjunktne otvorene skupove U1, . . . , UM takve da im je granica sadrzana u f = 0 i za svako i ∈ [M ]

vazi |Ui ∩ P|≤ O(|P|/M).

Za dokaz cemo koristiti sledecu lemu koja omogucava da ravnomerno presecemo mnogo skupova

istovremeno.

Lema 90. Neka su P1, . . . ,Pm skupovi tacaka u ravni. Neka D zadovoljava 2m+2 ≤ D2. Onda postoji

polinom 0 = f ∈ R[X,Y ] stepena najvise D takav da je za svako i ∈ [m], |Pi ∩ f < 0|, |Pi ∩ f >0|≤ |Pi|/2.

63

Dokaz. Neka je M podskup monoma razlicitih od 1 i stepena najvise D sa promenljivama X i Y

takav da je |M|= m+ 1. Mozemo pronaci ovakav skup jer je m+ 2 ≤(D+22

). Neka je ε > 0 i neka je

Sm jedinicna sfera u RM ∼= Rm+1. Posmatrajmo preslikavanje Φε:Sm ⊂ RM → Rm zadato na sledeci

nacin. Za svaki izbor koeficijenata cd1,d2 , 1 ≤ d1 + d2 ≤ D, takav da je∑c2d1,d2 = 1, posmatrajmo

polinom f(X,Y ) =∑

d cd1,d2Xd1Y d2 . Onda definisemo

Φε(c) =

(µ((∪x∈Pi

Bε(x)) ∩ f > 0)− µ

((∪x∈Pi

Bε(x)) ∩ f < 0): i ∈ [m]

)∈ Rm.

(Ovde je µ Lebegova mera, Bε(x) lopta poluprecnika ε oko tacke x.) Kljucna su sledeca dva svojstva.

Pre svega, za svako ε > 0, Φε je neprekidna funkcija. Drugo svojstvo je da je Φε antipodalna, tj.

f(−c) = −f(c). Na osnovu teoreme Borsuka i Ulama, za svako ε > 0, postoji cε ∈ Sm takvo da

je Φε(cε) = 0. Na osnovu kompaktnosti, postoji konvergentan podniz od niza cεn , gde je εn = 1/n.

Neka je c granicna vrednost i neka je f = 0 odgovarajuci polinom (polinom f nije nula jer je suma

kvadrata koeficijenata 1). Lako je videti da f ima trazena svojstva.

Dokaz Teoreme 89. Dokazujemo tvrdenje za M oblika M = 2m indukcijom po m. Lako je videti da

je taj slucaj dovoljan. Kao bazu ukljucujemo trivijalni slucaj m = 0. Neka tvrdenje vazi za neko m i

neka je f odgovarajuci polinom i neka su U1, . . . , U2m odgovarajuci skupovi. Primenimo Lemu 90 na

ovde skupove. Neka je g polinom stepena najvise 2√2m koji polovi sve skupove P ∩Ui. Onda je f · g

trazeni polinom, a novi otvoreni skupovi su Ui ∩ g < 0 i Ui ∩ g > 0.

Sada smo spremni da dokazemo teoremu Semeredija i Trotera.

Dokaz Teoreme 87. Koristeci dualnost da zamenimo uloge tacaka i pravih, bez umanjenja opstosti

mozemo da pretpostavimo |P|≤ |L|. Primenimo Teoremu 89 na dati skup tacaka P . Neka je f

odgovarajuci polinom stepena d = O(√M), i neka su U1, . . . , UM otvoreni skupovi kao toj teoremi,

a M parametar koji cemo kasnije izabrati. Neka je Pi = P ∩ Ui, dakle |Pi|≤ O(|P|/M). Neka su

Q = P ∩ f = 0 preostale tacke. Odvojeno cemo brojati I(Pi,L) za svako i ∈ [M ], i I(Q,L). Nekaje Li skup svih l ∈ L koje su incidentne sa bar jednom tackom u Pi. Dakle,

|I(P ,L)|= |I(Q,L)|+∑i∈[M ]

|I(Pi,Li)|.

Za svako i ∈ [M ], primenimo Lemu 88 na par Pi,Li. Time dobijamo |I(Pi,Li)|≤ O(|Pi||Li|1/2+|Li|) =O(M−1|P||Li|1/2+|Li|).

Primetimo sada sledece. Neka je l ∈ L bilo koja prava medu datim, i neka je a broj skupova Likojima l pripada. Posmatrajuci preseke l ∩ Ui, vidimo onda l sece f = 0 bar a − 1 put. Ali, ili je

l ⊂ f = 0, i onda ne sece skupove Pi, ili l sece f = 0 najvise d puta, jer je f stepena d. Dakle,

64

a ≤ d+ 1, pa je∑

i∈[M ]|Li|≤ (d+ 1)|L|. Na osnovu ovoga i nejednakosti Kosija i Svarca, dobijamo∑i∈[M ]

|I(Pi,Li)|≤ O( ∑i∈[M ]

M−1|P||Li|1/2+|Li|)=O(|P|(M−1

∑i∈[M ]

|Li|)1/2

+∑i∈[M ]

|Li|)

=O(|P|(d|L|M

)1/2+ d|L|

)=O(M−1/4|P||L|1/2+M1/2|L|

).

Sto se tice preostalih incidencija I(Q,L), slicno kao i gore, primetimo da je ili l ∈ L sadrzana u

f = 0 ili l sadrzi najvise d tacaka iz Q. S druge strane, l ⊂ f = 0 znaci da polinom stepena 1 deli

f . Polinomi koji definisu prave l ∈ L su razliciti prosti elementi R[X,Y ], sto znaci da l ⊂ f = 0moze da bude slucaj za najvise d pravih l ∈ L. Time dobijamo

|I(Q,L)|≤ d|L|+d|Q|≤M1/2(|L|+|P|).

Na kraju, izaberimo M = |P|4/3|L|−2/3. Time dobijamo

|I(P ,L)|=|I(Q,L)|+∑i∈[M ]

|I(Pi,Li)|

=O(M−1/4|P||L|1/2+M1/2|L|+M1/2|P|

)=O(|P|2/3|L|2/3+|P|5/3|L|−1/3

)=O(|P|2/3|L|2/3

),

gde smo na kraju iskoristili |L|≥ |P|.

§8 Distribucije vrednosti multilinearnih formi

Do sada smo se bavili idejom kvazislucajnosti za grafove i podskupove grupa, sto su najopstiji

objekti u datim kontekstima. U ovom poglavlju ce u centru paznje biti objekti sa jakom algebarskom

strukturom. Nase glavno pitanje je: kada je multilinearna forma kvazislucajna?

Neka su G1, . . . , Gk vektorski prostori konacne dimenzije nad Fp. Pisemo GI za proizvod∏

i∈I Gi,

pa izmedu ostalog imamo skracenicu G[k] = G1 × . . .×Gk. Kazemo da je preslikavanje α:G[k] → Fpmultilinearna forma ako je α linearno po svakoj koordinati, tj. za dato d ∈ [k], xi ∈ Gi za i = d,

y, z ∈ Gd, λ, µ ∈ Fp, vazi

λα(x1, . . . , xd−1, y, xd+1, . . . , xk)+µα(x1, . . . , xd−1, z, xd+1, . . . , xk) = α(x1, . . . , xd−1, λy+µz, xd+1, . . . , xk).

Slicno kao za proizvod prostora Gi, pisemo xI za podniz (xi: i ∈ I) datog niza (x1, . . . , xk). Uslov

multilinearnosti se moze krace zapisati kao

λα(x[d−1], y, x[d+1,k]) + µα(x[d−1], z, x[d+1,k]) = α(x[d−1], λy + µz, x[d+1,k]).

Fiksirajmo skalarni proizvod (u smislu Definicije 17) · na Gk. Za svaku linearnu formu α:Gk → Fppostoji jedinstveni element u ∈ Gk takav da je α(x) = u · x. Kao posledicu, imamo sledecu cinjenicu.

65

Lema 91. Za svaku multilinearnu formu α:G[k] → Fp, postoji multilinearno preslikavanje A:G[k−1] →Gk takvo da je za sve x[k] ∈ G[k]

α(x[k]) = A(x[k−1]) · xk.

Dokaz. Za svako x[k−1] ∈ G[k−1], preslikavanje y 7→ α(x[k−1], y) je linearna forma na Gk, pa postoji

jedinstveno A(x[k−1]) ∈ Gk takvo da je za sve y ∈ Gk, α(x[k−1], y) = A(x[k−1]) · y. Neka je d ∈ [k − 1],

neka je x[k]\d ∈ G[k]\d, neka su y, z ∈ Gd i λ, µ ∈ Fp. Tvrdimo da je

λA(x[d−1], y, x[d+1,k−1]) + µA(x[d−1], z, x[d+1,k−1]) = A(x[d−1], λy + µz, x[d+1,k−1]),

cime ce dokaz biti zavrsen. Ali, za svako w ∈ Gk vazi

A(x[d−1], λy + µz, x[d+1,k−1]) · w =α(x[d−1], λy + µz, x[d+1,k−1], w)

=λα(x[d−1], y, x[d+1,k−1], w) + µα(x[d−1], z, x[d+1,k−1], w)

=(λA(x[d−1], y, x[d+1,k−1]) + µA(x[d−1], z, x[d+1,k−1])

)· w.

Tvrdenje sledi na osnovu jedinstvenosti A(x[d−1], λy + µz, x[d+1,k−1]).

Najjednostavniji nacin da kazemo da je multilinearna forma α kvazislucajna, tj. da je nalik slucajno

izabranoj multilinearnoj formi, jeste da zahtevamo da α ima ravnomernu raspodelu vrednosti u Fp.S tim na umu definisemo neuravnotezenost forme α kao

bias(α) = Ex[k]∈G[k]

ωα(x[k]),

gde je ω = e2πip . Da bismo videli da ovaj broj doista meri neravnomernost raspodele vrednosti α,

primetimo da za svako x[k−1], preslikavanje xk 7→ α(x[k]) ili uzima 0 za sve xk, ili uzima sve vrednosti

u Fp jednak broj puta. Dakle, zanima nas samo koliko puta se 0 pojavljuje kao vrednost, odnosno

za koliko x[k−1] imamo 0-preslikavanje. Ako je A:G[k−1] → Gk multilinearno preslikavanje takvo da je

α(x[k]) = A(x[k−1]) · xk, onda imamo

bias(α) = Ex[k]∈G[k]

ωα(x[k]) = Ex[k−1]∈G[k−1]

Exk∈Gk

ωA(x[k−1])·xk = Ex[k−1]∈G[k−1]

1(A(x[k−1]) = 0).

Dakle, multilinearna forma je uravnotezena ako i samo ako je odgovarajuci varijetet A = 0 male

gustine unutar G[k−1].

Takode, setimo se da za preslikavanja u D mozemo da koristimo kockastu normu u svrhe merenja

kvazislucajnosti. Ako posmatramo f(x[k]) = ωα(x[k]), onda je

∥f∥2k(G1,...,Gk)= E

x1,y1∈G1,...,xk,yk∈Gk

ω∑

I⊂[k](−1)k−|I|α(xI ,y[k]\I) = bias(α).

Malo drugaciji nacin da izrazimo neuravnotezenost je da definisemo analiticki rang od α kao arank =

− logp bias(α).

66

S druge strane, primetimo da imamo jednostavne primere preslikavanja koja su neuravnotezena.

Ako posmatramo α(x[k]) = β(xI)γ(x[k]\I) za bilo koje multilinearne forme β:GI → Fp i γ:G[k]\I → Fp,gde je ∅ ( I ( [k], onda je x[k−1] ∈ G[k−1]: β(xI) = 0 ⊂ A = 0, a levi varijetet nuzno ima veliku

gustinu. Slicnu dekompoziciju smo vec videli kada smo govorili o dokazu Rotove teoreme u Fnp koristecimetod polinoma, sto nas dovodi do sledece definicije.

Deobni rang multilinearne forme α:G[k] → Fp je najmanje r takvo da se α moze zapisati kao

α(x[k]) =∑i∈[r]

β(xIi)γ(x[k]\Ii)

gde su βi:GIi → Fp i γi:G[k]\Ii → Fp multilinearne forme, i ∅ ( Ii ( [k] za sve i ∈ [r].

Sada tvrdimo da multlinearne forme malog deobnog ranga imaju veliku neuravnotezenost. Do-

voljno je da pokazemo da je odgovarajuci verijetet gust.

Lema 92. Neka su βi:GIi → Fp multilinearne forme za svako i ∈ [r], ∅ = Ii ⊂ [k]. Onda je∣∣∣x[k] ∈ G[k]: (∀i ∈ [r])βi(xIi) = 0∣∣∣ ≥ p−kr|G[k]|.

Dokaz. Indukcijom po k. Neka su J = i ∈ [r]: k ∈ Ii,

X =x[k] ∈ G[k]: (∀i ∈ [r])βi(xIi) = 0

i

X ′ =x[k−1] ∈ G[k−1]: (∀i ∈ [r] \ J)βi(xIi) = 0

.

Na osnovu induktivne hipoteze, |X ′|≥ p−(k−1)r|G[k−1]|. Da bismo zavrsili dokaz, primetimo da za

svako x[k−1] ∈ X ′, imamo potprostor V ≤ Gk kodimenzije najvise r takav da je x[k−1]×V ⊂ X.

Dakle, ako je deobni rang r, onda je analiticki rang najvise kr. Ispostavlja se da su ovo jedini

primeri multilinearnih formi velike neuravnotezenosti.

Teorema 93. Za dato c > 0, k,Fp postoji r takvo da kada god je α:G[k] → Fp multlinearna forma sa

bias(α) ≥ c, onda je α deobnog ranga najvise r.

Ovu teoremu su prvo dokazali Lovet i Baumik 2015, koristeci ideje Grina i Taa iz 2009. koji su

posmatrali slican problem o polinomima jedne promenljive, i njihov pristup je baziran na lemama o

regularnosti i samim tim se ocena Loveta i Baumika za r(c, k, p) ponasa kao Akermanova funkcija.

Pocetkom 2019. smo nezavisno Jonzer i ja dokazali da su ovoj teoremi mogu uzeti znacajno bolje

ocene.

Teorema 94 (Jonzer; Milicevic 2019.). Neka je α:G[k] → Fp multlinearna forma sa bias(α) ≥ c.

Onda je α deobnog ranga najvise Ok

((logp c

−1 + 1)Ok(1))= Ok

((arank(α) + 1)Ok(1)

).

67

Ovaj rezultat moze biti koristan, jer moze da zameni primenu leme o regularnosti kada imamo jaku

algebarsku strukturu. Jonzerov dokaz je baziran na Sandersovim ocenama u Frajmanovoj teoremi,

dok dokaz koji cu ovde ukratko pretstaviti ne zavisi od drugih rezultata aditivne kombinatorike.

8.1. Kratak opis dokaza Teoreme 94

U okviru dokaza, dokazujemo nekoliko glavnih tvrdenja.

Teorema 95 (Slaba inverzna teorema za neuravnotezene forme - Slaba(k)). Za dato k, postoje

konstante C = Cslabak , D = Dslaba

k > 0 sa sledecim svojstvom. Neka je α:G[k] → Fp multilinearna

forma takva da je bias(α) ≥ c, za neko c > 0. Tada, postoji r ≤ C logDp (pc−1) i imamo multilinearne

forme βi:GIi → Fp, i ∈ [r], gde je ∅ = Ii ⊆ [k − 1] takve dax[k] ∈ G[k]: (∀i ∈ [r])βi(xIi) = 0

⊂x[k] ∈ G[k]:α(x[k]) = 0

.

Radi potpunosti u opisu celog dokaza, preformulisacemo Teoremu 94.

Teorema 96 (Jaka inverzna teorema za neuravnotezene forme - Jaka(k)). Za dato k, postoje kon-

stante C = Cjakak , D = Djaka

k > 0 sa sledecim svojstvom. Neka je α:G[k] → Fp multilinearna forma

takva da bias(α) ≥ c, za neko c > 0. Tada, postoji r ≤ C logDp (pc−1) i imamo multilinearne forme

βi:GIi → Fp i γi:G[k]\Ii → Fp, i ∈ [r], gde je ∅ = Ii ⊆ [k − 1] takve da(∀x[k] ∈ G[k]

)α(x[k]) =

∑i∈[r]

βi(xIi)γi(x[k]\Ii).

Neka je S ⊂ G[k] i neka je α:G[k] → H multiafino (afino po svakoj koorodinati) preslikavanje. Sloj

od α je skup oblika x[k] ∈ G[k]:α(x[k]) = λ, za λ ∈ H. Kazemo da slojevi α iznutra ϵ-aproksimiraju

S, ako postoje slojevi L1, . . . , Lm preslikavanja α takvi da S ⊃ Li i∣∣∣S \

(∪i∈[m]Li

)∣∣∣ ≤ ϵ|G[k]|. Slicno,kazemo da slojevi α spolja ϵ-aproksimiraju S, ako postoje slojevi L1, . . . , Lm preslikavanja α takvi da

S ⊂ ∪i∈[m]Li i∣∣∣( ∪i∈[m] Li

)\ S∣∣∣ ≤ ϵ|G[k]|.

Sledeca dva rezultata nam govore da odredene algebarske skupove mozemo da aproksimiramo

koristeci slojeve varijeteta male kodimenzije. U prvom slucaju aproksimiramo guste varijetete, a u

drugom skup gustih kolona varijeteta.

Teorema 97 (Istovremena aproksimacija varijeteta - Apr(k)). Za dato k, postoje konstante C =

Caprk , D = Dapr

k > 0 sa sledecim svojstvom. Neka je ϵ > 0 i neka su B1, . . . , Br:G[k] → H multiafina

preslikavanja. Za svako λ ∈ Frp, neka je

Zλ = x[k] ∈ G[k]:∑i∈[r]

λiBi(x[k]) = 0.

Onda imamo s ≤ C(r logp(pϵ

−1))D

, i multiafino preslikavanje β:G[k] → Fsp takvo da za svako λ ∈ Frp,slojevi β iznutra i spolja ϵ-aproksimiraju Zλ.

68

Teorema 98 (Struktura skupa gustih kolona varijeteta - Kolone(k)). Za dato k, postoje konstante

C = Ckolonek , D = Dkolone

k > 0 sa sledecim svojstvom. Neka je α:G[k] → Frp multiafino preslikavanje.

Neka je S ⊂ Frp i ϵ > 0. Skup ϵ-gustih kolona definisemo kao

X = x[k−1] ∈ G[k−1]: |y ∈ Gk:α(x[k−1], y) ∈ S|≥ ϵ|Gk|.

Tada, postoji s ≤ C(r logp(pϵ

−1))D

, multiafino preslikavanje β:G[k−1] → Fsp i slojevi β iznutra i spolja

ϵ-aproksimiraju X.

Za funkciju f :G[k] → C, definisemo njenu konvoluciju u smeru i, oznacenu sa Cif :G[k] → C kao

Cif(x[k]) = Eyi∈Gi

f(x[i−1], yi + xi, x[i+1,k])f(x[i−1], yi, x[i+1,k]).

Teorema 99 (Skoro L∞ aproksimacija konvolucija varijeteta ogranicene kodimenzije - Konv(k)).

Za dato k ≥ l, postoje konstante C = Ckonvk,l , D = Dkonv

k,l > 0 sa sledecim svojstvom. Neka je

α:G[k] → Frp multilinearno preslikavanje, Z = x[k] ∈ G[k]:α(x[k]) = 0 i neka je ϵ > 0. Tada

imamo s, t ≤ C(r logp(pϵ

−1))D

, multiafine forme βi:G[k] → Fp za i ∈ [s], multiafino preslikavanje

γ:G[k]\l → Ftp, preslikavanje c:Fs ∈ C i slojeve L1, . . . , Ln od γ takve da∣∣∣∣ClCl−1 · · ·C1Z(x[k])−∑u∈Fs

c(u)ω(u·β(x[k]))∣∣∣∣ ≤ ϵ

za sve x[k] ∈ G[k] \((∪i∈[n]Li)×Gl

), |∪i∈[n]Li|≤ ϵ|G[k]\l| i

∑u∈Fs

p|c(u)|≤ 1.

Dokaz se prirodno deli u pet delova, od kojih je svaki jedna od implikacija

Slaba(k) =⇒ Jaka(k) =⇒ Iznutra(k − 1) =⇒ Kolone(k)(Iznutra(k − 1) ∧Kolone(k − 1)

)=⇒ Konv(k) =⇒ Slaba(k + 1).

Da bi induktivni dokaz bio potpun, primetimo da Jaka(2) vazi, i da je ovo jednostavno tvrdenje iz

linearne algebre.

69