Add m5-2-chapter1

บทที่ 1จํานวนเชิงซอน

(22 ชั่วโมง)

วิวัฒนาการของจํานวนในระบบจํานวนจริง แสดงใหเห็นวา จํานวนตาง ๆ เกิดขึ้นจากความจําเปนของมนุษยในการที่จะแกปญหาตาง ๆ จํานวนใหม ๆ ที่เกิดขึ้น นอกจากจะทําใหแกปญหาตามตองการไดแลว ยังกอใหเกิดความรูและทฤษฎีใหม ๆ อีกดวย บทนี้จะกลาวถึงการสรางจํานวนเชิงซอน สมบัติเชิงพีชคณิตของจํานวนเชิงซอน รากที่สองของจํานวนเชิงซอน กราฟและคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน จํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว รากที่ n ของจํานวนเชิงซอน และสมการพหุนาม

ผลการเรียนรูที่คาดหวัง1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับจํานวนเชิงซอน เขียนกราฟและหาคาสัมบูรณของจํานวน

เชิงซอนได2. หารากที่ n ของจํานวนเชิงซอน เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก3. แกสมการพหุนามตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มและมีดีกรีไมเกินสาม

ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผลการสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน และการคิดริเริ่มสรางสรรค นอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริมใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตรตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยางเปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบมีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง

2

ขอเสนอแนะ1. ในหนังสือเรียน ไดแสดงการพิสูจนเกี่ยวกับสมบัติของสังยุคของจํานวนเชิงซอน

ไวเพียงขอ 1, 3, 4, 7 สําหรับขอที่เหลือละไวใหผูเรียนที่สนใจไดลองพิสูจนดวยตนเอง แตถาผูเรียนมีปญหาในการพิสูจนผูสอนอาจแสดงการพิสูจนไดดังนี้

2) ให z = a + bi จะได z = a – bi

และ ( )z = a + bi = z z = z

ให z1 , z2 เปนจํานวนเชิงซอน โดยที่ z1 = a + bi และ z2 = c + di จะได

5) z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

นั่นคือ ( )1 2z z− = (a – c) – (b – d)iและ 1 2z z− = (a – bi) – (c – di)

= (a – c) – (b – d)iดังนั้น ( )1 2z z− = 1 2z z−

6) z1 • z2 = (ac – bd) + (ad + bc)iนั่นคือ 1 2z z⋅ = (ac – bd) – (ad + bc)iและ 1 2z z⋅ = (a – bi)(c – di)

= (ac – bd) – (ad + bc)iดังนั้น 1 2z z⋅ = 1 2z z⋅

2. ในหนังสือเรียนไดแสดงการพิสูจนสมบัติของคาสัมบูรณไวเพียงขอ 1 และ 2เทานั้น สําหรับขอที่เหลือละไวใหผูเรียนที่สนใจไดลองพิสูจนดวยตนเอง แตถาผูเรียนมีปญหาในการพิสูจน ผูสอนอาจแสดงการพิสูจนไดดังนี้

3) ให z = a + bi และ z ≠ 0 1

z = 2 2

1a b+

=2 2

1a b+

3

= 1z

4) จาก 21 2z z⋅ = (z1 • z2)( 1 2z z⋅ )

= (z1 • z2)( 1 2z z⋅ ) = ( 1 1z z⋅ )( 2 2z z⋅ ) = 2 2

1 2z z⋅

= ( )21 2z z

ดังนั้น 1 2z z⋅ = 1 2z z

กอนที่จะพิสูจนสมบัติของคาสัมบูรณ ขอ 5 1 2 1 2z z z z+ ≤ + และ ขอ 61 2 1 2z z z z− ≥ − จะแสดงการพิสูจนทฤษฎีบทนํา เพื่อจะนําไปใชในการพิสูจนสมบัติ

ของคาสัมบูรณดังกลาว

ทฤษฎีบทนํา 1 ถา z เปนจํานวนเชิงซอน โดยที่ z = a + bi เมื่อ a, b เปนจํานวนจริงแลว a ≤ z

พิสูจน ให z = a + biเนื่องจาก a ≤ 2a

≤ 2 2a b+ = z

ดังนั้น a ≤ z

ทฤษฎีบทนํา 2 ถา z1 , z2 เปนจํานวนเชิงซอน โดยที่ z1 = a + bi และ z2 = c + di แลว1 2z z + 2 1z z ≤ 1 22 z z

พิสูจน พิจารณา 1 2z z + 2 1z z = (a + bi)(c – di) + (c + di)(a – bi)= ac – adi + bci + bd + ac – bci + adi + bd= 2ac + 2bd= 2(ac + bd)≤ ( ) ( )2 22 ac bd bc ad+ + − (ทฤษฎีบทนํา 1)= 1 22 z z

ดังนั้น 1 2z z + 2 1z z ≤ 1 22 z z

4

ตอไปนี้เปนการพิสูจนสมบัติของคาสัมบูรณขอ 5 และขอ 6

5) 1 2 1 2z z z z+ ≤ +

พิสูจน จาก 21 2z z+ = (z1 + z2) ( )1 2z z+

= (z1 + z2) ( )1 2z z+

= 1 1 1 2 2 1 2 2z z z z z z z z+ + +

= 2 21 1 2 2 1 2z z z z z z+ + +

≤ 2 21 1 2 2z 2 z z z+ + (ทฤษฎีบทนํา 2)

= 2 21 1 2 2z 2 z z z+ +

= 2 21 1 2 2z 2 z z z+ +

= ( )21 2z z+

1 2z z+ ≤ 1 2z z+

ดังนั้น 1 2z z+ ≤ 1 2z z+

6) 1 2 1 2z z z z− ≥ −

พิสูจน จาก 21 2z z− = (z1 – z2)( 1 2z z− )

= 2 21 2 2 1 1 2z z z z z z+ − −

= ( )2 21 2 2 1 1 2z z z z z z+ − +

≥ 2 21 2 1 2z z 2 z z+ − (ทฤษฎีบทนํา 2)

= 2 21 1 2 2z 2 z z z− +

= 2 21 1 2 2z 2 z z z− +

= ( )21 2z z−

ดังนั้น 1 2 1 2z z z z− ≥ −

3. การหาผลบวกและผลตางของจํานวนเชิงซอน 2 จํานวน อาจอาศัยกราฟไดเชนเดียวกับการหาผลบวกและผลตางของเวกเตอร เพราะจํานวนเชิงซอน a + bi อาจแทนดวยเวกเตอรที่มีจุด (0, 0) เปนจุดเริ่มตน และจุด (a, b) เปนจุดสิ้นสุด เชน

(1) การหาผลบวกของ 3 + 2i และ –2 + 3i หาผลบวกโดยอาศัยกราฟ จะได

5

ผลบวกคือ เวกเตอรที่มีจุด (0, 0) เปนจุดเริ่มตน และมีจุด (1, 5) เปนจุดสิ้นสุดซึ่งก็คือจํานวนเชิงซอน (1, 5) หรือ 1 + 5i นั่นเอง

(2) การหาผลตางของจํานวนเชิงซอน (4, 2) และ (1, –3) โดยอาศัยกราฟ จะได

ผลตางก็คือ เวกเตอรที่มีจุด (0, 0) เปนจุดเริ่มตน และมีจุด (3, 5) เปนจุดสิ้นสุดซึ่งก็คือจํานวนเชิงซอน (3, 5) หรือ 3 + 5i

4. การแสดงการพิสูจนทฤษฎีบทและขอสรุปตาง ๆ ของจํานวนเชิงซอน บางครั้งเรายังไมสามารถแสดงการพิสูจนโดยตรงได จึงใชวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร (Principle ofMathematical Induction) ซึ่งวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตรนั้นมีใจความดังนี้“ถา P(n) เปนประพจนที่เกี่ยวของกับจํานวนนับ n โดยที่ P(n) มีสมบัติดังนี้

1. P(1) เปนจริง

642

0 2 4–4 –2 X

Y

(3, 2)

(1, 5)(–2, 3)

–4

4

6

2

–2–4 –2 2 4 X

Y

(4, 2)

(3, 5)

(–1, 3)

0

(1, –3)

6

และ 2. ถา P(k) เปนจริงแลว P(k + 1) เปนจริงสําหรับทุก ๆ จํานวนนับ kแลวประพจน P(n) จะเปนจริงสําหรับทุก ๆ จํานวนนับ n”

ในหนังสือเรียนไมไดแสดงการพิสูจนทฤษฎีบทของเดอมัวร ซึ่งการพิสูจนตองอาศัยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร ถาผูเรียนสงสัยผูสอนอาจอธิบายการพิสูจนไดดังนี้

ทฤษฎีบทของเดอมัวรถา z = r(cos θ + i sin θ) และ n เปนจํานวนเต็มบวกจะได zn = rn(cos n θ + i sin n θ)

พิสูจน ให P(n) แทนขอความ “ถา z = r(cos θ + i sin θ) แลวzn = rn(cos n θ + i sin n θ)”

ดังนั้น P(1) เปนจริง เพราะถา z = r(cos θ + i sin θ) แลวz1 = r1(cos 1 θ + i sin 1 θ)

ให P(k) เปนจริง นั่นคือ ถา z = r(cos θ + i sin θ) แลว zk = rk(cos k θ + i sin k θ)สําหรับทุก k ∈ I+ ตองแสดงวา P(k + 1) เปนจริง

พิจารณา zk + 1 = zk ⋅ z= [rk(cos k θ + i sin k θ)][r(cos θ + i sin θ)]= (rk ⋅ r)[cos(k θ + θ) + i sin (k θ + θ)]= rk + 1[cos(k + 1) θ + i sin(k + 1) θ]

ดังนั้น P(k + 1) เปนจริงโดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร จะได P(n) เปนจริง สําหรับทุกคาของ n ที่เปน

จํานวนเต็มบวกนั่นคือ ถา z = r(cos θ + i sin θ) แลว zn = rn(cos n θ + i sin n θ) โดยที่ n ∈ I+

5. ประโยชนของทฤษฎีบทของเดอมัวรนอกจากใชในการหาคาของจํานวนเชิงซอนในรูปเลขยกกําลัง และการหารากที่ n ของจํานวนเชิงซอน แลวยังสามารถนําไปใชพิสูจนทฤษฎีบทตรีโกณมิติได เชน

1) จงพิสูจนวา sin 2 θ = 2 sin θ cos θcos 2 θ = cos2 θ – sin2 θ

จากทฤษฎีบทของเดอมัวรกลาววา z = r(cos θ + i sin θ) และ n ∈ I+ จะได

7

zn = rn(cos n θ + i sin n θ) จาก (cos θ + i sin θ)2 = (cos θ + i sin θ)(cos θ + i sin θ)

= cos2 θ – sin2θ + i (2 sin θ cos θ) และจากทฤษฎีบทของเดอมัวร จะได (cos θ + i sin θ)2 = cos 2 θ + i sin 2 θ ดังนั้น sin 2 θ = 2 sin θ cos θ และ cos 2 θ = cos2 θ – sin2θ

2) จงพิสูจนวา sin 3 θ = 3 sin θ – 4 sin3 θ

cos 3 θ = 4 cos3 θ – 3 cos θ

จาก (cos θ + i sin θ)3 = (cos θ + i sin θ)(cos2 θ – sin2 θ + 2 i sin θ cos θ) = cos3 θ + 3 i sin θ cos2θ – 3 sin2θ cos θ – i sin3θ) = cos3 θ – 3 sin2θ cos θ + i (3 sin θ cos2θ – sin3θ) = cos3θ – 3(1 – cos2θ)cos θ + i[3 sin θ(1 – sin2θ) – sin3θ] = cos3θ – 3 cos θ + 3 cos3θ + i(3 sin θ – 3 sin3θ – sin3θ) = 4 cos3θ – 3 cos θ + i(3 sin θ – 4 sin3θ)

และจากทฤษฎีบทของเดอมัวร จะได (cos θ + i sin θ)3 = cos 3θ + i sin 3θดังนั้น sin 3θ = 3 sinθ – 4 sin3θ

และ cos 3θ = 4 cos3θ – 3 cos θ

6. การหารากที่ n ของ 1เนื่องจาก 1 = cos 0° + i sin 0°

ดังนั้นรากที่ n ของ 1 คือ 0 360 k 0 360 kcos i sinn n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ++⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

o o o o

หรือเทากับ 360 k 360 kcos i sinn n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

o o

เมื่อ k ∈ { }0, 1, 2, ..., n 1−

ถาให a = 360 360cos isinn n

+o o

จะไดรากที่ n ของ 1 คือ 1, a, a2, …, an – 1

ซึ่ง a, a2, …, an – 1 จะเปนรากของสมการ xn – 1 + xn – 2 + … + x + 1 = 0 ดวย

8

7. ขอสังเกต a b a b⋅ ≠ ⋅ เมื่อ a และ b เปนจํานวนลบทั้งคูตัวอยางเชน 4 9− ⋅ − = ( )( )2 1 3 1− −

= (2i)(3i) = 6i2

= 6(–1) = –6

แต ( 4)( 9)− − = 36

= 6

กิจกรรมเสนอแนะจํานวนเชิงซอน

1. ผูสอนอาจนําเขาสูบทเรียนตามหนังสือเรียน หรืออาจยกตัวอยางการหาคาในระบบจํานวนจริงมากอน เชน x2 = 1 พบวา x มีคาเปน –1 หรือ 1 ก็ได (ผูเรียนเคยเรียนมาแลว) หลังจากนั้นผูสอนยกตัวอยางการหาคาของ x เมื่อกําหนด x2 = –1 ถามผูเรียนวาในระบบจํานวนจริงมีจํานวนใดหรือไมที่ยกกําลังสองแลวมีคาเปนลบ ผูเรียนจะตอบไดวาไมมีจํานวนจริงใดเลยที่ยกกําลังสองแลวเปนจํานวนลบ เพื่อใหคาของ x จากสมการx2 = –1 ได จําเปนตองสรางจํานวนขึ้นใหม เรียกจํานวนที่สรางใหมนี้วา จํานวนเชิงซอน

2. ผูสอนใหบทนิยามจํานวนเชิงซอน การเทากัน การบวก และการคูณ จํานวนเชิงซอนในรูป (a, b) แลวยกตัวอยางหรือกําหนดจํานวนเชิงซอนใหเพื่อหาคําตอบที่ตองการ เชน

(1) กําหนดให (3a, –b) = (3, 1) จงหาคาของ a และ bจากบทนิยาม (3a, –b) = (3, 1)จะได 3a = 3

a = 1และ –b = 1

b = –1(2) จงหาผลบวกและผลคูณของจํานวนเชิงซอน (–1, 5) และ (2, –3)

(–1, 5) + (2, –3) = (–1 + 2, 5 – 3)= (1, 2)

9

และ (–1, 5) ⋅ (2, –3) = ((–1)2 – 5(–3), (–1)(–3) + 5(2))= (–2 + 15, 3 + 10)= (13, 13)

(3) จงหาคาของ a, b เมื่อกําหนด ก. (a, –3b) + (–4b, 2a) = (–2, 1)

จะได a – 4b = –22a – 3b = 1

แกสมการ จะได a = 2 และ b = 1

ข. (a, b)(3, –4) = (5, 2)3a + 4b = 5–4a + 3b = 2

แกสมการ จะได a = 725

และ b = 2625

3. ผูสอนอธิบายวาจํานวนเชิงซอนในรูป (a, b) อาจเขียนใหอยูในรูป a + bi ตามข้ันตอนในหนังสือเรียน หลังจากนั้นผูสอนอาจกําหนดจํานวนเชิงซอนในรูป (a, b) ใหผูเรียนเขียนใหอยูในรูป a + bi

4. ผูสอนบอกผูเรียนวา โดยทั่วไปจํานวนเชิงซอนประกอบดวยสวนจริงและสวนจินตภาพ กลาวคือสําหรับจํานวนเชิงซอนในรูป (a, b) หรือในรูป a + bi เรียก a วาสวนจริงและเรียก b วาสวนจินตภาพ

ผูสอนยกตัวอยางจํานวนเชิงซอน (–2, 3) ใหผูเรียนบอกสวนจริงและสวนจินตภาพ ผูเรียนควรบอกไดวาสวนจริงคือ –2 สวนจินตภาพคือ 3

ผูสอนอาจยกตัวอยางจํานวนเชิงซอนอื่น ๆ เชน 3 – 5i, i(1 – i), i(1 – i)(2 + i)แลวใหผูเรียนบอกสวนจริงและสวนจินตภาพ

ผูสอนบอกใหผูเรียนทราบวา จํานวนเชิงซอน (a, b) เมื่อ b = 0 เรียกวาจํานวนจริง เชน (3, 0), (–7, 0) ซึ่งก็คือ 3, –7

และจํานวนเชิงซอน (0, b) เมื่อ b ≠ 0 เรียกวา จํานวนจินตภาพแท จากตัวอยางจํานวนจินตภาพที่ผูเรียนบอกขางตนจะเห็นวา 3i เปนจํานวนจินตภาพแท ใหผูเรียนยกตัวอยาง

10

จํานวนจินตภาพแทอีก 2 หรือ 3 จํานวนผูสอนยกตัวอยางจํานวนตาง ๆ เมื่อเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนเชิงซอน

แลวถามวาเปนจํานวนชนิดใดบางตามตารางขางลางนี้

จํานวนเชิงซอน

จํานวนจินตภาพแท

จํานวนจริง

จํานวนตรรกยะ

จํานวนอตรรกยะ

จํานวนเต็ม

–1 – i5

–7i3

2 + i

5. ผูสอนอาจใหผูเรียนหาคาของ in เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก เชน ใหหาคาของ i112 และ i27 ซึ่งผูเรียนควรหาไดดังนี้

(1) i112 = (i2)56

= (–1)56

= 1

(2) i27 = i26 i= (i2)13i= (–1)13 i= –i

เอกลักษณและตัวผกผันการบวก1. ผูสอนทบทวนสมบัติของระบบจํานวนจริงเกี่ยวกับการบวก2. ผูสอนถามวา ในระบบจํานวนเชิงซอน เอกลักษณการบวกคือจํานวนใด

ถาผูเรียนยังตอบไมได ผูสอนใหผูเรียนหาผลบวกของจํานวนเชิงซอนตอไปนี้(2, –3) + (0, 0) , (0, 0) + (2, –3)(–4, 5) + (0, 0) , (0, 0) + (–4, 5)(0, 0) + (1, 4) , (1, 4) + (0, 0)(0, 0) + (–5, –2) , (–5, –2) + (0, 0)

11

ซึ่งผูเรียนควรจะไดขอสรุปวา (0, 0) เปน “เอกลักษณการบวก” ของจํานวนเชิงซอน

3. ผูสอนถามความหมายของ “ตัวผกผันการบวก” ของจํานวนเชิงซอน (a, b) ซึ่งผูเรียนควรตอบไดวา หมายถึง จํานวนเชิงซอนที่บวกกับ (a, b) แลวไดจํานวนเชิงซอน (0, 0)

ผูสอนยกจํานวนเชิงซอนหลาย ๆ จํานวน เชน (–1, 3) , (2, –5) , (–2, –1)ใหผูเรียนหาตัวผกผันการบวกของจํานวนเชิงซอนดังกลาว

ผูสอนใหผูเรียนสังเกตวา จํานวนเชิงซอนที่กําหนดใหกับตัวผกผันการบวกที่หาไดมีอะไรที่แตกตางกันบาง ผูเรียนควรตอบไดวาสวนจริงและสวนจินตภาพของจํานวนเชิงซอนที่เปนตัวผกผันการบวกนั้นเปนจํานวนตรงขามกับสวนจริงและสวนจินตภาพของจํานวนเชิงซอนที่กําหนดใหตามลําดับ กลาวคือ ถากําหนดจํานวนเชิงซอน (a, b) ให ตัวผกผันการบวกของจํานวนเชิงซอน (a, b) คือ (–a, –b)

4. ผูสอนแสดงการหาเอกลักษณและตัวผกผันการบวกของจํานวนเชิงซอนตามข้ันตอนในหนังสือเรียน

เอกลักษณและตัวผกผันการคูณ1. ผูสอนทบทวนสมบัติของระบบจํานวนจริงเกี่ยวกับการคูณ

2. ผูสอนถามวา ในระบบจํานวนเชิงซอน เอกลักษณการคูณคือจํานวนใด ถาผูเรียนยังตอบไมได ผูสอนใหผูเรียนหาผลคูณของจํานวนเชิงซอนตอไปนี้

(1, 3)(1, 0) , (1, 0)(1, 3)(–1, –2)(1, 0) , (1, 0)(–1, –2)(2, –3)(1, 0) , (1, 0)(2, –3)(–2, 3)(1, 0) , (1, 0)(–2, 3)

ซึ่งผูเรียนควรไดขอสรุปวา (1, 0) เปน “เอกลักษณการคูณ” ของจํานวนเชิงซอน

3. ผูสอนถามความหมายของตัวผกผันการคูณในระบบจํานวนเชิงซอน ซึ่งผูเรียนควรจะตอบไดวา “ตัวผกผันการคูณ” ของจํานวนเชิงซอนหมายถึงจํานวนเชิงซอนที่คูณกับจํานวนเชิงซอนที่กําหนดใหแลวไดเอกลักษณการคูณ คือ จํานวนเชิงซอน (1, 0)

ผูสอนและผูเรียนชวยกันหาตัวผกผันการคูณตามวิธีการในหนังสือเรียนผูสอนใหผูเรียนฝกหาตัวผกผันการคูณของจํานวนเชิงซอนตอไปนี้

(3, 2) , (–4, 3) , –1 – 5i , 4 – 2i

12

ผูเรียนควรหาไดวาตัวผกผันการคูณของ (3, 2) คือ 3 2,

13 13−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

ตัวผกผันการคูณของ (–4, 3) คือ 4 3,25 25− −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

ตัวผกผันการคูณของ –1 – 5i คือ 1 5 i26 26−

+

ตัวผกผันการคูณของ 4 – 2i คือ 4 2 i20 20

+

ผูสอนถามผูเรียนวาทําอยางไรจึงจะทราบวาตัวผกผันการคูณที่หาไดนั้นถูกตองผูเรียนควรตอบไดวา เมื่อนําจํานวนเชิงซอนที่กําหนดใหคูณกับตัวผกผันการคูณ

ของจํานวนเชิงซอนนั้น จะไดจํานวนเชิงซอน (1, 0)ผูสอนใหผูเรียนตรวจสอบจํานวนที่หาไดเหลานั้นตามวิธีที่ผูเรียนตอบมา

การลบและการหารจํานวนเชิงซอน1. ผูสอนใหบทนิยามการลบและการหารตามหนังสือเรียน

2. ผูสอนใหผูเรียนฝกหาผลลบและผลหารของ 5 + 3i และ 4 – 2i(1) (5 + 3i) – (4 – 2i) = 1 + 5i(2) 5 3i

4 2i+−

= (5 + 3i) 4 2 i20 20

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 7 11 i10 10

+

3. ผูสอนอาจใหผูเรียนหาผลบวก ผลลบ ผลคูณและผลหารของจํานวนเชิงซอนหลาย ๆ จํานวน เชน

จงหาคาของ (3, 5) [(2, 1) + (4, –2)]วิธีทํา (3, 5)[(2, 1) + (4, –2)] = (3, 5)(6, –1)

= (23, 27)หรือ (3, 5)[(2, 1) + (4, –2)] = (3, 5)(2, 1) + (3, 5)(4, –2)

= (1, 13) + (22, 14) = (23, 27)

13

4. ผูสอนใหบทนิยามสังยุคของจํานวนเชิงซอนตามหนังสือเรียน แลวใหผูเรียนหาสังยุคของจํานวนเชิงซอนที่ครูกําหนดให เชน 4 + 3i , 2 – i , (–3, 1) , (–5, –3)

เมื่อผูเรียนหาสังยุคของจํานวนเหลานั้นไดแลว ใหผูเรียนหาผลคูณของจํานวนเชิงซอนที่กําหนดใหกับสังยุคของจํานวนเชิงซอนนั้น

ผูสอนถามผูเรียนวาผลลัพธที่ไดเปนจํานวนชนิดใดซึ่งผูเรียนควรสรุปไดวาเปนจํานวนจริง

5. ผูสอนใหผูเรียนหาผลคูณของ a + bi และ a – bi แลวสรุปใหไดวาผลคูณของจํานวนเชิงซอนกับสังยุคของจํานวนเชิงซอนนั้นเปนจํานวนจริง ผูสอนแนะนําวาจากขอสรุปนี้นําไปใชในการหาผลหารของจํานวนเชิงซอนไดดังตัวอยางตอไปนี้

5 3i4 2i+−

= 5 3i 4 2i4 2i 4 2i+ +

⋅− +

= 7 11 i10 10

+

6. ผูสอนใหผูเรียนหาผลหารของจํานวนเชิงซอน เชน 3 2i2 5i++

และ 4 3i2 i+−

โดยใช

สังยุคของจํานวนเชิงซอน

รากที่สองของจํานวนเชิงซอน1. ผูสอนทบทวนการหารากที่สองของจํานวนจริงบวกใดๆ ที่มีคาตั้งแต 0 ข้ึนไป

เชน จงหารากที่สองของ 1, 2, 9, 16ผูสอนอาจถามผูเรียนวา เราสามารถหารากที่สองของจํานวนเชิงซอนใด ๆ ได

หรือไม ผูเรียนควรบอกวาได ผูสอนแสดงการหารากที่สองของจํานวนเชิงซอนใดๆ ตามแบบเรยีนในหนงัสอืเรยีน แลวใหผูเรยีนชวยกนัสรปุการหารากทีส่องของจาํนวนเชงิซอนใด ๆดังที่กลาวมา ผูสอนใหทฤษฎีบท ซึ่งทฤษฎีบทดังกลาวผูสอนอาจใหขอสังเกตวา ในกรณีที่y = 0 แต x ≠ 0 แลวคารากที่สองของ z คือ x± เมื่อ x > 0 นั่นคือ คารากที่สองของ z เปนจํานวนจริงสองคา หรือ x i± − เมื่อ x < 0 นั่นคือ คารากที่สองของ z เปนจํานวนจินตภาพสองคา

14

ผูสอนอาจยกตัวอยางการหารากที่สองของจํานวนเชิงซอนใด ๆ โดยอาศัยทฤษฎีบทดังกลาว ตัวอยางเชน

จงหารากที่สองของ 5 + 12iวิธีทํา ให z = 5 + 12i จะได x = 5 และ y = 12

r = 2 25 12 13+ =

เนื่องจาก y > 0 ดังนั้นรากที่สองของ 5 + 12i คือ13 5 13 5 18 8i i (3 2i)

2 2 2 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ −

± + = ± + = ± +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ดังนั้นรากที่สองของ 5 + 12i คือ 3 + 2i และ –3 – 2i

2. ผูสอนยกตัวอยางที่ 2 ในหนังสือเรียน แลวผูสอนตรวจสอบความเขาใจของผูเรยีนโดยผูสอนอาจถามวา สมการพหนุามกาํลงัสองในรปู ax2 + bx + c = 0 เมือ่ a, b และ c เปนจํานวนจริงใด ๆ โดยที่ a ≠ 0 จะมีคําตอบของสมการเปนจํานวนจริงเมื่อใด และเปนจํานวนเชิงซอนเมื่อใดผูเรียนควรบอกไดวา คําตอบของสมการจะเปนจํานวนจริงเมื่อ b2 – 4ac ≥ 0 และคําตอบของสมการจะเปนจํานวนเชิงซอนเมื่อ b2 – 4ac < 0 ผูสอนควรเนนวา การหาคําตอบของสมการพหุนามกําลังสองในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปนจํานวนจริงโดยที่ a ≠ 0

โดยใชสูตร x = 2b b 4ac

2a− ± − หรือ x =

2b b 4ac i

2a

− ± −

ผูเรียนจะใชสูตรนี้ได เมื่อ a, b และ c เปนจํานวนจริงเทานั้น เชนในการหาคําตอบของสมการพหนุาม x2 + 2 + 3i จะไมสามารถใชสตูรดงักลาวในการหาคาํตอบของสมการพหนุามไดเพราะ 2 + 3i เปนจํานวนเชิงซอน

3. ผูสอนนําสนทนากับผูเรียนวา วิธีการหารากที่สองของจํานวนเชิงซอนนอกจากเราสามารถหาไดโดยอาศัยทฤษฎีบท หรือการหาคําตอบของสมการพหุนามโดยใชสูตรขางตนแลว เรายังสามารถใชวิธีการแยกตัวประกอบได ดังเชน

จงหารากที่สองของ –4วิธีทํา ให z2 = -4

z2 + 4 = 0

15

z2 – (2i)2 = 0(z – 2i)(z + 2i) = 0

จะได z - 2i = 0 z = 2iหรือ z + 2i = 0

z = – 2iดังนั้น รากที่สองของ – 4 คือ – 2i และ 2i

กราฟและคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน1. ผูสอนใหผูเรียนแทนจํานวนเชิงซอนดวยจุดและเวกเตอรบนระนาบเชิงซอน

เชนเดียวกับในหนังสือเรียน2. ผูสอนใหบทนิยามคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน3. ผูสอนถามผูเรียนวาการหาคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน 2 + 3i เปนการหา

ระยะทางจากจุดใดไปจุดใด ซึ่งผูเรียนควรตอบไดวา เปนการหาระยะทางจากจุด (0, 0) ถึงจุด (2, 3)

4. ผูสอนยกตัวอยางที่สอดคลองกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับสมบัติของคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน เชน

1) กําหนดให z = 3 + 4i จงแสดงวา z z z= − =

จาก z = 3 + 4i ดังนั้น z = 2 23 4+ = 5 – z = –3 – 4i ดังนั้น z− = 2 2( 3) ( 4)− + − = 5 z = 3 – 4i ดังนั้น z = 2 23 ( 4)+ − = 5 ดังนั้น z = z− = z

2) กําหนดให z1 = – 1 – 2i และ z2 = 3 + 2i จงแสดงวา 1 2z z− ≥ 1 2z z−

ดังนั้น 1 2z z− = ( ) ( )- 1 - 2i - 3 + 2i

= - 4 - 4i

= 2 2( 4) ( 4)− + −

= 32

1 2z z− = 2 2 2 2( 1) ( 2) 3 2− + − − +

16

= 5 13−

เพราะวา 32 ≥ 5 13− ดังนั้น 1 2z z− ≥ 1 2z z−

จากนั้นผูสอนและผูเรียนชวยกันพิสูจนสมบัติบางขอของทฤษฎีบทดังกลาว

จํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว1. ผูสอนทบทวนฟงกชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และคาของ

ฟงกชันโคไซน ไซน และแทนเจนตของมุมตางๆ2. ผูสอนแสดงการเขียนจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว

โดยเริ่มตนจากการเขียน z = x + yi ≠ 0 ดวยเวกเตอรบนระนาบ ดังนี้

เมื่อกําหนดให θ เปนมุมบวกที่เล็กที่สุด ซึ่งวัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน X ทางดานบวกไปยัง oz

uur และ r = |ozuur| แทนระยะหางระหวางจุดกําเนิด o กับ z

ผูสอนควรอธิบายวา θ เปนมุมบวกที่เล็กที่สุด แลว 0° ≤ θ < 360°

ผูสอนใหผูเรียนพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก OAZ เมื่อ |ozuur| = r วา OA

OZ หรือ x

r

คือ ฟงกชันตรีโกณมิติใดของมุม θ เพื่อใหไดขอสรุปวา x = r cos θ และพิจารณาวา AZOZ

หรือ yr

คือ ฟงกชันตรีโกณมิติใดของ r เมื่อ r = 2 2x y z+ = และ ytanθ = x

เมื่อ x ≠ 0 แลวผูสอนอาจถามผูเรียนวาจากความสัมพันธดังกลาว เราสามารถเขียน z = x + yiในรูปตรีโกณมิติไดหรือไม ซึ่งผูเรียนควรบอกวา ได คือ z = r (cos θ + i sin θ)

z = x + yi

x X

Y

o

yθ

z = (x, y)

A X

Y

o

yθx

17

การเขียนจํานวนเชิงซอนในรูป z = r (cos θ + i sin θ) เปนการเขียนจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้วของ z และเรียก θ วาอารกิวเมนตของ z ผูสอนถามผูเรียนวา เมื่อ n เปนจาํนวนเตม็ใดๆ cos (θ + 2nπ) มคีาเทาใด ผูเรยีนควรตอบวา cos (θ + 2nπ) มคีาเทากบั cos θ และ sin(θ + 2nπ) มีคาเทาใด ผูเรียนควรตอบวา sin (θ + 2nπ) มีคาเทากับ sin θ แลวผูเรียนควรสรุปใหไดวา cos (θ + 2nπ) + isin (θ + 2nπ) = cos θ + i sin θ

3. ผูสอนอาจถามผูเรียน ดังนี้กําหนด z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2) ตางเปนรูป

เชิงขั้ว ซึ่ง z1, z2 ≠ 0 และ z1 = z2 เมื่อใด ผูเรียนควรตอบไดวา z1 = z2 ก็ตอเมื่อ r1 = r2

และ θ1 – θ2 = 2nπ เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม แลวผูสอนอาจถามผูเรียนวา ถามีจํานวนเต็ม nและ r1 = r2 ≠ 0 ที่ทําให θ1 – θ2 ≠ 2nπ แลว z1 = z2 หรือไม ผูเรียนควรตอบไดวาz1 ≠ z2

ผูสอนยกตัวอยางเพื่อใหผูเรียนเขียนจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้วในกรณีที่ z ≠ 0 ไดเชน จงเขียน z = –3 – 3i ในรูปเชิงขั้ว

วิธีทํา ให r (cos θ + i sin θ) เปนรูปเชิงขั้วของ -3 –3i จะได r = 2 2( 3) ( 3) 9 9 18 3 2− + − = + = =

และ θ ที่ทําให tan θ = 33−−

= 1 คือ θ = π4

หรือ 5π4

เวกเตอรที่แทน z อยูในควอดรันตที่ 3 ดังนั้น θ = 4π5 หรือ 2250

ดังนั้นรูปเชิงขั้วของ –3 –3i คือ 2 [ cos ( 5π4

+ 2nπ) + i sin ( 5π4

+ 2nπ) ]เมื่อ n ∈ I ดังรูป

X

Y

-2-1

-3

-1-2-3225°

(-3, -3)

18

ผูสอนถามผูเรียนวา สําหรับกรณีที่ z = 0 เราสามารถเขียน z ในรูปเชิงขั้วไดหรือไมผูเรียนควรตอบวาได ซึ่ง z = 0 เขียนในรูปเชิงขั้วได คือ 0(cos θ + i sin θ) และผูเรียนควรบอกไดวา θ เปนมุมที่มีขนาดใดก็ได

4. ผูสอนทบทวนสูตรการหาโคไซน และไซนของผลบวกและผลตางของมุม ดังนี้cos (α- β) = cos α cos β + sin α sin β

cos (α+ β) = cos α cos β - sin α sin β

sin (α- β) = sin α cos β - cos α sin β

sin (α+ β) = sin α cos β + cos α sin β

5. ผูสอนอาจแสดงการพิสูจนทฤษฎีบทของเดอมัวรโดยใชอุปนัยเชิงคณิตศาสตรตามขอเสนอแนะ

6. ผูสอนยกตัวอยางการหา zn เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกโดยใชทฤษฎีบทของเดอมัวร เชน

จงเขียน 5( 3 i)− ในรูป x + yi เมื่อ x, y ∈ Rวิธีทํา เนื่องจาก 3 i− เขียนไดในรูป 2(cos 11π

6 + isin 11π

6)

ดังนั้น โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร จะไดวา5( 3 i)− = 25 [ cos (5(11π

6)) + isin(5(11π

6)) ]

= 32 [ cos ( 55π6

) + isin( 55π6

) ]

= 32 [ cos ( 7π6

) + isin( 7π6

) ]

= 32 [ i21

23 −+− ]

= 16 3 16i− −

7. ผูสอนและผูเรยีนชวยกนัพจิารณาทฤษฎบีทของเดอมวัร โดยขยายจาก n เปนจํานวนเตม็บวก เปน n เปนจํานวนเต็ม ซึ่งผูสอนควรใหผูเรียนสรุปใหไดวา ทฤษฎีบทของเดอมัวรเปนจริงสําหรับทุกจํานวนเต็ม ดังนี้ถา z = r (cos θ + i sin θ) ≠ 0 และ n เปนจํานวนเต็มแลว zn = rn [cos (nθ) + i sin (nθ)]ผูสอนอาจยกตัวอยาง การหา zn เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม เชน

19

จงเขียน 5( 3 i)−+ ในรูป x + yi เมื่อ x, y ∈ Rวิธีทํา เนื่องจาก 3 i+ เขียนไดในรูป 2(cos

6π + i sin

6π )

จะไดวา 5( 3 i)−+ = 2-5 [cos (-5(6π )) + i sin(-5(

6π ))]

= 132

[cos (– 56π ) + i sin(– 5

6π )]

= 132

[cos ( 56π ) – i sin( 5

6π )]

= 132

( 3 1 i2 2

− − )

= 3 1 i64 64

− −

รากที่ n ของจํานวนเชิงซอน1. ผูสอนทบทวนทฤษฎบีทของเดอมวัร และนาํสนทนากบัผูเรยีนถงึประโยชนของ

ทฤษฎบีทของเดอมัวร2. ผูสอนยกตัวอยางที่ 1, 2 และ 3 ในหนังสือเรียน ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุป

ทฤษฎีบท ถา w = r (cos θ + i sin θ) แลวรากที่ n ของ w มีทั้งหมด n รากที่แตกตางกัน คือz = n θ+ 2kπ θ+ 2kπr cos + isin

n n⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ เมื่อ k ∈ {0, 1, …, n–1}

3. ผูสอนอาจยกตัวอยางเพื่อใหผูเรียนสามารถหารากที่ n ของ z ไดรวดเร็ว ดังนี้

จงหารากที่ 4 ทั้งหมด –8 + 8 3i

วิธีทํา ให z = r (cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 4 ของ –8 + 8 i3

ดังนั้น z4 = –8 + 8 i3 = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

+π 16 )

32(sini)

32(cos

โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร จะได r 4 (cos 4θ + i sin 4θ) = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ π

+π 16 )

32(sini)

32(cos

ดังนั้น r4 = 16 และ 24 2k3π

θ = + π เมื่อ Ik∈

จึงไดวา r = 2 และ k 6 2π π

θ = + เมื่อ Ik∈

ฉะนั้น z = 2 k kcos ( ) i sin ( )6 2 6 2π π π π⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ Ik∈

20

เมื่อ k = 0 จะได z1 = 2 cos ( ) i sin ( )6 6π π⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ k = 1 จะได z2 = 2 2 2cos ( ) i sin ( )3 3π π⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦



เขียนแผนภาพของรากที่ 4 ของ –8 + 8 i3 ไดดังนี้

ผูสอนควรถามผูเรียน ดังนี้1) คาสัมบูรณของแตละรากมีคาเทาใด2) คารากแตละรากจะอยูบนวงกลมที่มีรัศมีเทาใด3) วงกลมในขอ 2) มีจุดศูนยกลางอยูที่จุดใด4) ผลตางระหวางอารกิวเมนตของสองคารากที่อยูติดกันมีคาเทาใดผูเรียนควรตอบคําถามขางตน ไดวา1) คาสัมบูรณของแตละคารากมีคาเทากับ 22) คารากแตละรากจะอยูบนวงกลมที่มีรัศมี เทากับ 23) วงกลมมีจุดศูนยกลางที่จุดกําเนิด4) ผลตางระหวางคาอารกิวเมนตของสองคารากที่อยูติดกัน

มีคาเทากับ 2nπ = 2

4π =

2π หรือ 90o

4. ผูสอนและผูเรียนชวยกันพิจารณาวา เราสามารถหารากที่ n ของ w ทั้งหมดที่แตกตางกันไดรวดเร็วโดยมีข้ันตอน ดังนี้

ข้ันที่ 1 หา z1

ข้ันที่ 2 หาผลตางของอารกิวเมนตของราก เทากับ n

2π

X

Y

z1

z2

z3 z4

2

21

ข้ันที ่3 หา z2, z3, … , zn โดยนาํผลตางทีห่าไดจากขัน้ที ่2 บวกกบัอารกวิเมนตของรากกอนหนา ไปเรื่อยๆ จนครบ n ราก

สมการพหุนาม1. ผูสอนทบทวนสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนจริง และทบทวนการ

หาคําตอบของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนจริงที่คําตอบของสมการอาจไมเปนจํานวนจริง เชน x2 + 1 = 0 , x2 + x + 1 = 0 จากนั้นผูสอนใหทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิตเพื่อยืนยันวาสมการพหุนามจะมีคําตอบเปนจํานวนเชิงซอนเสมอ แลวผูสอนยกตัวอยางที่ 1ในหนังสือเรียน โดยผูสอนควรใหผูเรียนสังเกตคําตอบของสมการ x4 + 2x2 – 8 = 0 ซึ่งเปนสมการพหุนามที่มีดีกรี 4 จะมีคําตอบทั้งหมด 4 คําตอบ แลวผูสอนจึงใหทฤษฎีบท

ถา p(x) เปนพหุนามดีกรี n≥ 1 แลวสมการ p(x) = 0 จะมีคําตอบทั้งหมด nคําตอบ (นับคําตอบที่ซ้ํากันดวย) จากนั้นผูสอนและผูเรียนชวยกันพิสูจนทฤษฎีบทดังกลาว

2. ผูสอนทบทวนทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะแลวผูสอนยกตัวอยางที่ 2 ในหนังสือเรียน ซึ่งผูสอนอาจใชวิธีการหารสังเคราะหชวยในการแยกตัวประกอบ ดังนี้

จงหารากของสมการ 2x4 + x3 – 2x – 1 = 0วิธีทํา ให P(x) = 2x4 + x3 – 2x – 1

เนื่องจากจํานวนเต็มที่หาร –1 ลงตัว คือ 1±

และจํานวนเต็มที่หาร 2 ลงตัว คือ 1± , 2±

ดังนั้น จํานวนตรรกยะ km

ที่ทําให kp 0m

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

จะเปนจํานวนที่อยูในกลุมของ

จํานวนตอไปนี้ คือ 12

± , 1±

พิจารณา p(1) = 2(1)4 + (1)3 – 2(1) – 1= 2 + 1 – 2 – 1= 0

และ p(21− ) = 2(

21− )4 + (

21− )3 – 2(

21− ) –

21−

= 2 (161 ) –

81 + 2(

21 ) – 1

22

= 81 –

81 + 1 – 1

= 0แสดงวา x – 1 และ x +

21 ตางเปนตัวประกอบของ P(x)

1 2 1 0 -2 -12 3 3 1

-21 2 3 3 1 0

-1 -1 -1 2 2 2 0

ดังนั้น P(x) = (x +21 )(x – 1)(2x2 + 2x + 2) = 0

จะไดวา (x +21 )(x – 1)(2x2 + 2x + 2) = 0

ฉะนั้น x = –21 หรือ x = 1 หรือ 2x2 + 2x + 2 = 0

พิจารณา 2x2 + 2x + 2 = 0

ฉะนั้น x = )2(2

)2)(2(42)2(2 −±−

= 2 4 164

− ± −

= 4

122 −±−

= 4

i322±−

= 2

i31±−

ดังนั้น คําตอบของสมการพหุนามที่กําหนด คือ –21 , 1,

2i31+− ,

2i31−−

3. ผูสอนใหผูเรียนสังเกตคําตอบของสมการพหุนาม 2x4 + x3 – 2x – 1 = 0จะเห็นวาคําตอบของสมการพหุนามที่มีสวนจินตภาพไมเทากับศูนยเปนสังยุคซึ่งกันและกันคือ

2i31+− ,

2i31−− แลวผูสอนใหทฤษฎีบท ถาจํานวนเชิงซอน z เปนคําตอบของ

สมการพหุนาม P(x) = xn + a1 xn-1 + … + an-1 x + an ที่มีสัมประสิทธิ์ a1, …, an เปนจํานวนจริงแลว สังยุค z จะเปนคําตอบของสมการพหนุามนีด้วย กอนทีผู่สอนและผูเรยีนจะชวยกนัพสิจูนทฤษฎบีทนีผู้สอนควรทบทวนสมบัติของสังยุคของจํานวนเชิงซอน

23

ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท

1. จงหาคาของ 1 3 2 1( i) ( i)2 4 3 5+ + +

2. จงหาคาของ 5 3 4 1( i) ( i)9 5 3 6

− + − −

3. จงหาคาของ (–3 –2i)(5 + 6i)4. จงหาคาของ 1 3i

2 10i− −− −

5. จงหาคาของ a และ b เมื่อกําหนดให 3a + 4bi = (1 + i)2

6. จงหาคาของ (i8 + 4)(i6 + 2)(i4 + 1)(i2 – 1)(i–3 – 2)(i–1 – 2)7. จงหาคาของ x จากสมการ (x – 3)2 = –108. จงหาคาของ x จากสมการ x2 + 4x + 7 = 09. จงหาคาของ x จากสมการ 6x2 + x + 2 = 010. จงเขียน 1 3i+ ใหอยูในรูปเชิงขั้ว11. จงหาคาของ 53 1( i)

2 2−

12. จงหาคาของ 3 8i

13. จงหาเซตคําตอบของสมการ x5 – 32 = 0

เฉลยตัวอยางแบบทดสอบ

1. 7 19 i6 20+

2. 17 23 i9 30

− +

3. –3 – 28i4. 4 1 i

13 26−

5. 3a + 4bi = (1 + i)2

= 1 + 2i + i2

= 1 + 2i – 1= 2i

243a = 0a = 04b = 2b = 2

4= 1

2

ดังนั้น a = 0 และ b = 12

6. (i8 + 4)(i6 + 2)(i4 + 1)(i2 – 1)(i–3 – 2)(i-1 – 2)= ((i2)4 + 4)((i2)3 + 2)((i2)2 + 1) 2

3

1 1(i 1)( 2)( 2)i i

− − −

= ((-1)4 + 4)((-1)3 + 2)((-1)2 + 1)(-1 – 1) 1 12 2i i

⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= (1 + 4)(-1 + 2)(1 + 1)(-2) 2

1 2 2 4i i i

⎛ ⎞− − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 5 × 1 × 2 × (-2)(1 + 4)= -100

7. x = 3 i 10±

8. x = 2 i 3− ±

9. x = 1 i 4712

− ±

10. r = 21 ( 3)+ = 1 3+ = 4 = 2tan θ = 3 = tan

3π

นั่นคือ θ = 3π

แต 1 3i+ อยูในควอดรันตที่ 1 ดังนั้น θ = 3π ทําใหได

1 3i+ = 2 (cos i sin )3 3π π+

11. เขียน 3 1 i2 2− ในรูปเชิงขั้ว ซึ่ง 3 1

2 2− อยูในควอดรันตที่ 4

r =2 23 1

2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= 3 14 4+ = 1 = 1

tan θ = 1232

−= 3

3− = tan( )

6π

−

25

นั่นคือ θ =6π

− ทําใหได3 1 i2 2− = 1[cos( ) i sin( )]

6 6π π

− + −

โดยทฤษฎีบทของเดอมัวร53 1( i)

2 2− = 5[1(cos( ) i sin( ))]

6 6π π

− + −

= 51 [cos5( ) i sin 5( )]6 6π π

− + −

= 5 51(cos i sin )6 6π π

− + −

= 3 1 i2 2

− −

12. 3 8i =13(0 8i)+

r = 2 20 8+ = 8θ =

2π

3 8i =13[8(cos i sin )]

2 2π π+

=13 1 18 [cos( )( ) i sin( )( )]

3 2 3 2π π

+

= 2(cos i sin )6 6π π+

= 3 12( i)2 2+

= 3 i+

13. x5 - 32 = 0x5 = 3232 = 32 + 0i

= 32(cos 0 + i sin 0)1532 =

15[32(cos(0 2n ) i sin(0 2n ))]+ π + + π

=15 2n 2n(32) (cos i sin )

5 5π π+

= 2n 2n2(cos i sin )5 5π π+

26ให n = 0, 1, 2, 3 และ 4 เมื่อรากของสมการทั้ง 5 คือ x1, x2, x3, x4 และ x5

เมื่อ n = 0 , x1 = 2(cos 0 + i sin 0) = 2n = 1 , x2 = 2 22(cos i sin )

5 5π π+ ≈ 0.62 + 1.90i

n = 2 , x3 = 4 42(cos i sin )5 5π π+ ≈ –1.62 + 1.18i

n = 3 , x4 = 6 62(cos i sin )5 5π π+ ≈ –1.62 – 1.18i

n = 4 , x5 = 8 82(cos i sin )5 5π π+ ≈ 0.62 – 1.90i

ดังนั้น คําตอบของสมการ คือ 2, 0.62 ± 1.90i และ –1.62 ± 1.18iเซตคําตอบของสมการ คือ {2, 0.62 + 1.90i, 062 – 1.90i, –1.62 + 1.18i, –1.62 – 1.18i}

เฉลยแบบฝกหัด 1.1

1.Re (z) Im (z)

2 + 3i4 + 5i1 3 i2 2−

–43i

2 2 2i−

2412–402

3532

−

03

2 2−

2. (1) a = 2 , b = –2(2) a = 3 , b = 2 หรือ a = 2 , b = 3(3) a = 5 , b = 0(4) a = 2

3 , b = 1

3−

27

3. (1) 6 – 8i (2) –6 – 2i(3) 7 – 3 2i (4) 4 + 2i(5) 6 – 4i (6) –4 + 6i(7) –1 + 11i (8) –1(9) 1 + 2i (10) –3 + 4i(11) 2 2i− − (12) 6 3i− −

4. a = 129

, b = 1729

−


1. (1) 15 + 8i (2) –8i(3) –2 + 16i (4) 2i(5) 5 (6) –4 + 19i

2. (1) 2 + i (2) –3 – 2i(3) – 4 + 7i (4) – 4 – 7i(5) – 4 – 7i (6) –1 + i(7) –1 – i (8) –1 – i

3. (1) 2 + 4i (2) 20(3) 4 (4) 8 – 16i(5) –8i (6) 8(7) 1 (1 2i)

10+ (8) – 4 – 2i

4. (1) 7 6 i17 17

− (2) i

(3) 7 1 i2 2− (4) 1 1 i

2 2− −

(5) 2 3 i13 13

+ (6) 3 1 i20 20

+

28

5. (1) 6 8 i5 5+ (2) 5 3 i

2 2−

(3) 1 1 i2 2

− + (4) 4 1 i17 17

+

(5) 3 43 i65 130

+ (6) 2 – 2i(7) 1 – i

6. 1) ให z = a + biiz = i(a bi)+

= b ai− +

= –b – aiiz− = –i (a – bi)

= –ai + bi2

= –b – aiดังนั้น iz = iz−

2) ให z = a + biจะได iz = –b + aiนั่นคือ Im(iz) = a

Re(z) = aดังนั้น Im(iz) = Re(z)

3) ให z = a + biจะได iz = –b + aiนั่นคือ Re(iz) = –b

–Im(z) = –bดังนั้น Re(iz) = –Im(z)

7. ให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอน โดยที่ z1 = a + bi , z2 = c + diและ z1z2 = 0 เพียงพอที่จะพิสูจนวาถา z1 ≠ 0 จะแสดงวา z2 = 0

29

เพราะวา (a + bi)(c + di) = 0จะได ac – bd = 0 นั่นคือ ac = bd ---------- (1)เนื่องจาก z1 ≠ 0 จะได a ≠ 0 และ b ≠ 0 ---------- (2)จาก (1), (2) จะได c = 0 และ d = 0ดังนั้น z2 = 0จะไดวา ถา z1z2 = 0 แลว z1 = 0 หรือ z2 = 0


1. 16i−

ให z = –16i จะไดวา x = 0 และ y = -16และ r = 2 2x +y = 2( 16 )− = 16เนื่องจาก y < 0 ดังนั้นรากที่สองของ –16i คือ

16 16± i2 2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ = ( )± 8 8i−

= ( )± 2 2 2 2−

ดังนั้นรากที่สองของ –16i คือ 2 2 2 2i− และ 2 2 2 2i− +

5 12i+

ให z = 5 + 12i จะไดวา x = 5 และ y = 12และ r = 2 2x +y = 2 25 12+ = 13

เนื่องจาก y > 0 ดังนั้นรากที่สองของ 5 + 12i คือ13+5 13 5± i

2 2⎛ ⎞−

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= ( )± 3 2i+

ดังนั้นรากที่สองของ 5 + 12i คือ 3 2i+ และ 3 2i− −

3 4i+

ให z = 3 + 4i จะไดวา x = 3 และ y = 4และ r = 2 2x +y = 2 23 4+ = 5เนื่องจาก y > 0 ดังนั้นรากที่สองของ 3 + 4i คือ

30

5+3 5 3± i2 2

⎛ ⎞−+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ = ( )± 2 i+

ดังนั้นรากที่สองของ 3 + 4i คือ 2 i+ และ 2 i− −

8 6i−

ให z = 8 – 6i จะไดวา x = 8 และ y = 6−

และ r = 2 2x +y = 2 28 ( 6)+ − = 10เนื่องจาก y < 0 ดังนั้นรากที่สองของ 8 – 6i คือ

10+8 10 8± i2 2

⎛ ⎞−+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠= ( )± 3 i−

ดังนั้นรากที่สองของ 8 – 6i คือ 3 i− และ 3 i− +

1 2 2i−

ให z = 1 – 2 2i จะไดวา x = 1 และ y = 2 2−

และ r = 2 2x +y = 2 21 ( 2 2)+ − = 3เนื่องจาก y < 0 ดังนั้นรากที่สองของ 1 – 2 2i คือ

3+1 3 1± i2 2

⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ = ( )± 2 i−

ดังนั้นรากที่สองของ 1 – 2 2i คือ 2 i− และ 2 i− +

2. (1) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }2i,-2i

(2) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }4 3i, -4 3i

(3) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }1+ 39i,1- 39i

(4) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ -1 7 -1 7+ i, - i2 2 2 2

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭


⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭


⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭


⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(8) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ 1 2 1 2+ i, - i3 3 3 3

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

31

(9) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }1+ 7i,1- 7i

(10) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }1+ 2,1- 2

(11) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }2+i,2-i

(12) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }3,-2

(13) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ -5 217 -5 217+ , -6 6 6 6

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭


⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭


⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭


⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

(17) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }-1+7i,-1-7i

(18) เซตคําตอบของสมการที่กําหนดใหคือ { }-1+ 3i,-1- 3i


1. (1)

–6 –4 –2 0 2 4 6–2

–4

–6

2

4

6Y

X(–3, 1)

(2, 3)(4, 2)

(0, –1)(–2, –3)

(–2, 0)

36

(2)

2.

3. จํานวนเชิงซอนที่แทนจุด A คือ (3,1) หรือ 3 + iจํานวนเชิงซอนที่แทนจุด B คือ (0,2) หรือ 2iจํานวนเชิงซอนที่แทนจุด C คือ (- 3, - 4) หรือ - 3 – 4iจํานวนเชิงซอนที่แทนจุด D คือ (2, - 2) หรือ 2 – 2iจํานวนเชิงซอนที่แทนจุด E คือ (- 3,0) หรือ - 3จํานวนเชิงซอนที่แทนจุด F คือ (-1, -1) หรือ -1 - i

–6 –4 –2 0 2 4 6–2

–4

–6

2

4

6Y

X–4 + i

–34 + i

–5 – 2i –2i

3 – 4i

–6 –4 –2 0 2 4 6–2

–4

–6

2

4

6Y

X

i(4 + 6i)

4 + 6i

i2(4 + 6i)

i3(4 + 6i)

37

4. (1)

(2)

5.

–6 –4 –2 0 2 4 6–2

–4

–6

2

4

6Y

X

z1 + z2

z1

z2

–4 0 2 4 6–2–4–6

4

Y

X

– z2 z1

2

–2–6–8–10 8 10 12

–8–10 z1 – z2

1 1 3iz 10

−=

–6 –4 –2 0 2 4 6–2

–4

2

4

6Y

X

z

z

–8

– z

z2

38

6.

7. 1 3i− = 22 3i− = 11

4 3i+ = 55 12i− + = 135 2 3i+ = 17

3 i− − = 23 4i− − = 5

4i = 48. ให z1 = a + bi และ z2 = c + di

2 21 2 1 2z z z z− + + = 2 2(a bi) (c di) (a bi) (c di)+ − + + + + +

= 2 2(a c) (b d)i (a c) (b d)i− + − + + + +

= 2 2 2 2[(a c) (b d) ] [(a c) (b d) ]− + − + + + +

= 2a2 + 2c2 + 2b2 + 2d2

= 2(a2 + b2) + 2(c2 + d2)= 2 2

1 22 z 2 z+

9. ให z = a + biz = 2 2a b+

zz = (a bi)(a bi)+ −

–6 –4 –2 0 2 4 6–2

–4

–6

2

4

6Y

X–8 8

zi

zi3

zi2

z, zi4

39

= 2 2 2a b i−

= 2 2a b+

ดังนั้น z = zz

10. ให z = c + di และ a = e + fi2z a− = 2(c di) (e fi)+ − +

= 2(c e) (d f )i− + −

= (c – e)2 + (d – f)2

(z – a)( (z a)− = [(c + di) – (e + fi)][(c – di) – (e – fi)]= [(c – e) + (d – f)i][(c – e) – (d – f)i]= (c – e)2 – (d – f)2i2

= (c – e)2 + (d – f)2

ดังนั้น 2z a− = (z – a) (z a)−

11. ให z = a + bi , a, b ∈ Rจะได z = a – bi

zz = (a + bi)(a – bi)= a2 + b2 ∈ R

z z+ = (a + bi) + (a – bi)= (a + a) + (b – b)i= 2a ∈ R

ดังนั้น zz และ z z+ เปนจํานวนจริง เมื่อ z เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ

12. ให z = x + yi , a = u + viจะได z = x – yi , a = u – vi(z – a)( z – a ) = (x + yi – u – vi)(x – yi – u + vi)

= [(x – u) + (y – v)i][(x – u) – (y – v)i]= (x – u)2 – ((y – v)i)2

= (x – u)2 + (y – v)2 = k2

จากสูตร สมการรูปทั่วไปของวงกลม คือ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 โดยที่

40

จุดศูนยกลางของวงกลม คือ (h, k) , รัศมี คือ rจะได จุดศูนยกลางวงกลมอยูที่จุด (u, v) คือ จุด a นั่นเอง และรัศมีเทากับ k หนวย

13. 1 zi+ = 1 zi− ก็ตอเมื่อ z เปนจํานวนจริงจะแสดง (1) ถา 1 zi+ = 1 zi− แลว z เปนจํานวนจริงและ (2) ถา z เปนจํานวนจริง แลว 1 zi+ = 1 zi−

จะแสดงวา (1) โดยใชวิธีแยงสลับที่ (p → q สมมูลกับ ∼ q → ∼p)นั่นคือ จะแสดงวา ถา z ไมเปนจํานวนจริง แลว 1 zi+ ≠ 1 zi−

ให z ไมเปนจํานวนจริง และ z = a + bi เมื่อ b ≠ 0จะได 1 zi+ = ( )1 a bi i+ + = 1 b ai− + = ( )22a 1 b+ −

1 zi− = ( )1 a bi i− + = 1 b ai+ − = ( )22a 1 b+ +

ดังนั้น 1 zi+ ≠ 1 zi−

นั่นคือ ถา z ไมเปนจํานวนจริงแลว 1 zi+ ≠ 1 zi−

หรือ ถา 1 zi+ = 1 zi− แลว z เปนจํานวนจริงจะแสดง (2) ให z เปนจํานวนจริงจะได 1 zi+ = 2 21 z+ = 21 z+

1 zi− = 2 21 ( z)+ − = 21 z+

ดังนั้น 1 zi+ = 1 zi−

นั่นคือ ถา z เปนจํานวนจริงแลว 1 zi+ = 1 zi−

จาก (1) และ (2) สรุปไดวา 1 zi+ = 1 zi− ก็ตอเมื่อ z เปนจํานวนจริง

14. (1) z 2 1− ≤

z 2− คือ ระยะทางจากจุด (2, 0) ไปยัง z ดังนั้น เซตของจุด z ทั้งหลายในระนาบเชิงซอน ซึ่งสอดคลองอสมการ z 2 1− ≤ ก็คือ เซตของจํานวนเชิงซอน หรือจุดที่อยูภายในวงกลม (รวมจุดบนเสนรอบวง) ที่มีจุดศูนยกลางที่ (2, 0) และรัศมี 1 หนวย _

_

- 1- 2

210 1 3 42 X

Y

41

(2) z 2 3i− + < 3z 2 3i− + คือ ระยะทางจากจุด (2, -3) ไปยัง z ดังนั้น เซตของจุด z ทั้งหลายในระนาบเชิงซอน ซึ่งสอดคลองอสมการ z 2 3i− + < 3 ก็คือ เซตของจํานวนเชิงซอน หรือจุดที่อยูภายในวงกลม (ไมรวมจุดบนเสนรอบวง) ที่มีจุดศูนยกลางที่ (2, -3) และรัศมี 3 หนวย

(3) z 3 2i+ − > 1z 3 2i+ − คือ ระยะทางจากจุด (- 3, 2) ไปยัง z ดังนั้น เซตของจุด z ทั้งหลายในระนาบเชิงซอน ซึ่งสอดคลองอสมการ z 3 2i+ − > 1 ก็คือ เซตของจํานวนเชิงซอน หรือจุดที่อยูภายในวงกลม (ไมรวมจุดบนเสนรอบวง) ที่มีจุดศูนยกลางที่ (- 3, 2) และรัศมี 1 หนวย

(4) Im z > 3

Y

X- 1- 2- 3 1 2 3 4 5 6012

- 2 - 1

- 3 - 4 - 5

X

Y

1 2123

0- 1- 2

- 1- 2- 3- 4- 5

X

Y

1 2 3 4

4321

- 1- 1- 2- 3- 4 0

42

(5) Im (i + z ) = 4

(6) z i z i+ + − = 2จากสมบัติของคาสัมบูรณจะไดวา z i z i+ + − ≤ z i z i+ + −

ดังนั้น z i z i+ + − ≤ 2 2z ≤ 2 z ≤ 1

z คือ ระยะทางจากจุด (0, 0) ไปยัง z ดังนั้น เซตของจุด z ทั้งหลายในระนาบเชิงซอน ซึ่งสอดคลองอสมการ z ≤ 1 ก็คือ เซตของจํานวนเชิงซอนหรือจุดที่อยูภายในวงกลม(รวมจุดบนเสนรอบวง) ที่มีจุดศูนยกลางที่ (0, 0) และรัศมี1 หนวย

(7) z i 1+ ≥

z i+ คือ ระยะทางจากจุด (0, -1) ไปยัง z ดังนั้น เซตของจุด z ทั้งหลายในระนาบเชิงซอน ซึ่งสอดคลองอสมการ z i 1+ ≥ ก็คือ เซตของจํานวนเชิงซอน หรือจุดที่อยูภายนอกวงกลม(รวมจุดบนเสนรอบวง) ที่มีจุดศูนยกลางที่ (0, -1) และรัศมี 1 หนวย

Y

X- 1 1012

2

3

3 4

45

- 1- 2- 3- 4

X

Y

112

2- 1 - 1- 2

- 2

43

(8) Re(z) < 2

(9) Re(z – i) > –5

(10) z 3 z− ≥

ให z = x + yi จากอสมการที่กําหนดจะได2 2(x 3) y− + ≥ 2 2x y+

(x – 3)2 + y2 ≥ x2 + y2

แกอสมการจะได x ≤ 32

X

Y

11

2 3

-3

-1 -2

-1 -2

23

_

_

_

X

Y

1 2123

- 3 -2- 1

- 1- 2- 3- 4- 5- 6 0

X

Y

11

2- 2 - 1- 1- 2

44

15. z i− คือ ระยะทางจากจุด (0, 1) ไปยัง z ดังนั้น เซตของจุด z ทั้งหลายในระนาบเชิงซอน ซึ่งสอดคลองอสมการ z i 2− = ก็คือ เซตของจํานวนเชิงซอน หรือจุดที่อยูบนวงกลมที่มีจุดศูนยกลางที่ (0, 1) และรัศมี 2 หนวย

จากกราฟ z ที่มี z มากที่สุดคือ z = 3i


1. 1 + 3i

r = 1 3+ = 2 θ ที่ทําให tan θ = 3

1 = 3 คือ θ =

3π

z = 2 cos i sin3 3π π⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

X

Y

12- 1- 2

2

1

34

- 1

- 2

- 3

X

Y

1 2

21

- 1- 2

- 1- 2

45

1 – ir = 1 1+ = 2

θ ที่ทําให tan θ = 11

− = –1 คือ θ = 74π

z = 7 72 cos isin4 4π π⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 3 2i− +

r = 12 4+ = 4θ ที่ทําให tan θ = 2

2 3− = 1

3− คือ θ = 5

6π

z = 5 54 cos i sin6 6π π⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

–4 – 4ir = 16 16+ = 4 2

θ ที่ทําให tan θ = 44−−

= 1 คือ θ = 54π

z = 5 54 2 cos i sin4 4π π⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

12 12 3i−

r = 144 432+ = 24θ ที่ทําให tan θ = 12 3

12− = 3− คือ θ = 5

3π

z = 5 524 cos i sin3 3π π⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 i2 2

− +

r = 1 14 4+ = 1

2 = 2

2

θ ที่ทําให tan θ = 1212

− = 1− คือ θ = 3

4π

z = 2 3 3cos isin2 4 4

π π⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

46

2. (1) 3 3 3 i4 4

− +

(2) 1 i6 6

− −

(3) 7( 3 i)−

เพราะวา 3 i− เขียนไดในรูป 11 112[cos i sin ]6 6π π+

จากทฤษฎีบทของเดอมัวร จะได7( 3 i)− = 7 77 772 [cos i sin ]

6 6π π+

= 5 5128[cos i sin ]6 6π π+

= 3 i128( )2 2

− +

= 64 3 64i− +

(4) 5( 2 2i)+

เพราะวา 2 2i+ เขียนไดในรูป 2[cos i sin ]4 4π π+

จากทฤษฎีบทของเดอมัวร จะได5( 2 2i)+ = 5 5 52 [cos i sin ]

4 4π π+

= 2 232[ i]2 2

− −

= 16 2 16 2i− −

(5)100

3 i2 2

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

เพราะวา 3 i2 2+ เขียนไดในรูป cos i sin

6 6π π+

จากทฤษฎีบทของเดอมัวร จะได1003 i( )

2 2+ = 100 100 1001 [cos i sin ]

6 6π π+

= 1 3 i2 2

− +

(6) (–i)7 = – i(7)

6

4(1 i)

( 1 i)−

− −

เพราะวา 1 – i เขียนไดในรูป 7 72(cos i sin )4 4π π+

47

และ –1 – i เขียนไดในรูป 5 52(cos i sin )4 4π π+

จากทฤษฎีของเดอมัวร จะได6

4(1 i)

( 1 i)−

− −=

6

4

42 422 (cos i sin )4 4

20 202 (cos i sin )4 4

π π+

π π+

= 8(0 i)4( 1 0)

+− +

= 8i4−

= –2i(8) 12 12 3i+

(9) –4 + 4i(10) 3 5( 3 i) (2 3 2i)− + +

เพราะวา 3 i− + เขียนไดในรูป 5 52(cos i sin )6 6π π+

และ 2 3 2i+ เขียนไดในรูป 4(cos i sin )6 6π π+

จากทฤษฎีของเดอมัวร จะได3 5( 3 i) (2 3 2i)− + + = 3 515 15 5 52 (cos i sin )4 (cos i sin )

6 6 6 6π π π π+ +

= 3 i8192(0 i)( )2 2

+ − +

= 4096 4096 3i− −

3. (1) เพราะวา 1 3i− เขียนไดในรูป 5 52(cos i sin )3 3π π+

และ r (cos θ + i sin θ) = 1 3i−

จะได r = 2 และ θ = 53π เมื่อ 0 2≤ θ ≤ π

แต 2 6π ≤ θ ≤ π ดังนั้น θ มีคา 113π และ 17

3π

(2) เพราะวา –1 – i เขียนไดในรูป 5 52(cos i sin )4 4π π+

และ r (cos θ + i sin θ) = –1 – iจะได r = 2 และ θ = 5

4π เมื่อ 0 2≤ θ ≤ π

แต 6 7π ≤ θ ≤ π ดังนั้น ไมมี θ ที่ 6 7π ≤ θ ≤ π ที่สอดคลองสมการนี้

48

(3) เพราะวา –1 – i เขียนไดในรูป 5 52(cos i sin )4 4π π+

และ r2(cos 2θ + i sin 2θ) = –1 – iจะได r2 = 2 ดังนั้น r = 4 2

และ 2θ = 54π ดังนั้น θ = 5

8π เมื่อ 0 2≤ θ ≤ π

4. (1) {z⏐arg(z) = 4π }

(2) {z⏐arg(z) = 2π

− }

3) {z⏐0 < arg(z) < π}

4π

Y

X0

2π

−

Y

X0

Y

X0

49

4) {z⏐2π

− < arg(z) < 0}

5. ให z = a + bi จะได z = a – biจาก z = a + bi จะได tan θ = b

aดังนั้น arg(z) = arctan b

aและ z = a – bi จะได tan θ = b

a−

ดังนั้น arg( z ) = arctan b( )a

−

arg(z) + arg( z ) = b barctan arctan( )a a+ −

=b b( )a aarctan b b1 ( )( )

a a

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

= arctan 0 = 0 = 0 + 2nπ , n เปนจํานวนเต็ม (มุมสมมูลกัน) = 2nπ


1. iให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ iดังนั้น z3 = i = π π1(cos +isin )

2 2โดยทฤษฏีบทของเดอมัวร

Y

X0

50

จะได r3 ( )cos3θ + isin3θ = π π(cos +isin )2 2

ดังนั้น r3 = 1 และ 3θ = 2k2π+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈

จึงไดวา r = 1 และ θ = 2k6 3π π+ เมื่อ { }k 0,1,2∈

ฉะนั้น 2k 2kz cos( ) i sin( )6 3 6 3π π π π⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ { }k 0,1,2∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = (cos i sin )6 6π π+ = 3 1 i

2 2+

เมื่อ k = 1 จะได z2 = 5 5(cos i sin )6 6π π+ = 3 1 i

2 2− +

เมื่อ k = 2 จะได z3 = 3 3(cos i sin )2 2π π+ = – i

8(cos i sin )3 3π π+

ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 8(cos i sin )3 3π π+

ดังนั้น z3 = 8(cos i sin )3 3π π+

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r3 ( )cos3θ + isin3θ = 8(cos i sin )

3 3π π+



ฉะนั้น 2k 2kz 2 cos( ) i sin( )9 3 9 3π π π π⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ { }k 0,1,2∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = 2(cos i sin )9 9π π+

เมื่อ k = 1 จะได z2 = 7 72(cos i sin )9 9π π+


Y

X1 Z1Z2

Z3

51

5 527(cos i sin )3 3π π+

ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 5 527(cos i sin )3 3π π+

ดังนั้น z3 = 5 527(cos i sin )3 3π π+

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r3 ( )cos3θ + isin3θ = 5 527(cos i sin )

3 3π π+

ดังนั้น r3 = 27 และ 3θ = 5 2k3π+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈

จึงไดวา r = 3 และ θ = 5 2k9 3π π+ เมื่อ { }k 0,1,2∈

ฉะนั้น 5 2k 5 2kz 3 cos( ) i sin( )9 3 9 3π π π π⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ { }k 0,1,2∈




–8iให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ –8i

Y

X3

Z1

Z2

Z3

2

Y

Z3

Z2Z2 Z1

X

52

ดังนั้น z3 = –8i = 3π 3π8(cos + isin )2 2

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r3 ( )cos3θ + isin3θ = 3π 3π8(cos + isin )

2 2ดังนั้น r3 = 8 และ 3θ = 3 2k

2π+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈



เมื่อ { }k 0,1,2∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = 2(cos i sin )2 2π π+ = 2i

เมื่อ k = 1 จะได z2 = 7 72(cos i sin )6 6π π+ = 3 i− −

เมื่อ k = 2 จะได z3 = 11 112(cos i sin )6 6π π+ = 3 i−

27iให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 27iดังนั้น z3 = 27i = π π27(cos + isin )

2 2โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r3 ( )cos3θ + isin3θ = π π27(cos + isin )

2 2ดังนั้น r3 = 27 และ 3θ = 2k

2π+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈



เมื่อ { }k 0,1,2∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = 3(cos i sin )6 6π π+ = 3 3 3+ i

2 2

เมื่อ k = 1 จะได z2 = 5 53(cos i sin )6 6π π+ = 3 3 3+ i

2 2−

Y

X2

Z1

Z2 Z3

53

เมื่อ k = 2 จะได z3 = 3 33(cos i sin )2 2π π+ = 3− i

–64ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ –64ดังนั้น z3 = –64 = 64(cosπ + isinπ)

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r3 ( )cos3θ + isin3θ = 64(cosπ + isinπ)

ดังนั้น r3 = 64 และ 3θ = 2kπ+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈



เมื่อ { }k 0,1,2∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = 4(cos i sin )3 3π π+ = 2 2 3i+

เมื่อ k = 1 จะได z2 = 4(cos i sin )π+ π = 4−

เมื่อ k = 2 จะได z3 = 5 54(cos i sin )3 3π π+ = 2 2 3i−

Y

X

4

Z1

Z2

Z3

3

Y

X

Z1Z2

Z3

54

1 3i+

ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 1 3i+

ดังนั้น z3 = 2(cos + isin )3 3π π

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r3 ( )cos3θ + isin3θ = 2(cos + isin )

3 3π π


จึงไดวา r = 3 2 และ θ = 2k9 3π π+ เมื่อ { }k 0,1,2∈

ฉะนั้น 3 2k 2kz 2 cos( ) i sin( )9 3 9 3π π π π⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ { }k 0,1,2∈


เมื่อ k = 1 จะได z2 = 3 7 72(cos i sin )9 9π π+


2 3 2i− +

ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 2 3 2i− +

ดังนั้น z3 = 5 54(cos + isin )6 6π π

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r3 ( )cos3θ + isin3θ = 5 54(cos + isin )

6 6π π


จึงไดวา r = 3 4 และ θ = 5 2k18 3π π+ เมื่อ { }k 0,1,2∈

ฉะนั้น 3 5 2k 5 2kz 4 cos( ) i sin( )18 3 18 3π π π π⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ { }k 0,1,2∈


Z3

3 2

Y

XZ1

Z2

55



2 2 3i−

ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 2 2 3i−

ดังนั้น z3 = 2 2 3i− = 5π 5π4(cos + isin )3 3

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r3 ( )cos3θ + isin3θ = 5 54(cos + isin )

6 6π π




เมื่อ { }k 0,1,2∈




Y

XZ3Z2

3 4

Z1

Y

Z3

Z1Z2

3 4 X

56

3 i−ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 3 ของ 3 i−

ดังนั้น z3 = 3 i− = 11π 11π2(cos + isin )6 6

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r3 ( )cos3θ + isin3θ = 11π 11π2(cos + isin )

6 6ดังนั้น r3 = 2 และ 3θ = 11 2k

6π+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈



เมื่อ { }k 0,1,2∈




2. รากที่ 2 ของ 1ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 2 ของ 1ดังนั้น z2 = 1 = 1 (cos0 + isin0)

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r2 ( )cos2θ + isin2θ = (cos0 + isin0)

ดังนั้น r1 = 1 และ 2θ = 0 2k+ π เมื่อ { }k 0,1,2∈

จึงไดวา r = 1 และ θ = 0 + kπ เมื่อ { }k 0,1,2∈

ฉะนั้น z 1 (cos kπ + isin kπ)= เมื่อ { }k = 0,1

เมื่อ k = 0 จะได z1 = (cos 0 + isin 0) = 1 เมื่อ k = 1 จะได z2 = (cos + isin )π π = -1แสดงแผนภาพไดดังนี้

Y

X

Z1

Z2

Z3

3 2

57

รากที่ 4 ของ 1ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 4 ของ 1ดังนั้น z4 = 1 = 1(cos0 + isin0)


ดังนั้น r4 = 1 และ 4θ = 0 2k+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3∈

จึงไดวา r = 1 และ θ = k0 + 2π เมื่อ { }k 0,1,2,3∈

ฉะนั้น k kz (cos + isin )2 2π π

= เมื่อ { }k 0,1,2,3∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = (cos 0 + isin 0) = 1 เมื่อ k = 1 จะได z2 = (cos + isin )

2 2π π = i

เมื่อ k = 2 จะได z3 = (cos + isin )π π = -1เมื่อ k = 3 จะได z4 = 3 3(cos + isin )

2 2π π = - i

แสดงแผนภาพไดดังนี้

รากที่ 5 ของ 1ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 5 ของ 1

X

Y

1 Z1Z3

Z4

Z2

Y

XZ2 Z11

58

ดังนั้น z5 = 1 = 1 (cos0 + isin0)


ดังนั้น r5 = 1 และ 5θ = 0 2k+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈

จึงไดวา r = 1 และ θ = 2k0 + 5π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈

ฉะนั้น 5k 5kz (cos + isin )2 2π π

= เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = (cos 0 + isin 0) = 1 เมื่อ k = 1 จะได z2 = 2 2(cos + isin )

5 5π π

เมื่อ k = 2 จะได z3 = 4 4(cos + isin )5 5π π




รากที่ 6 ของ 1 ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 6 ของ 1ดังนั้น z6 = 1 = 1(cos0 + isin0)


ดังนั้น r6 = 1 และ 6θ = 0 2k+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5∈

จึงไดวา r = 1 และ θ = k0 + 3π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5∈


= เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = (cos 0 + isin 0) = 1

1 X

Y

Z1

Z2Z3

Z4Z5

59

เมื่อ k = 1 จะได z2 = (cos + isin )3 3π π = 1 3 i

2 2+

เมื่อ k = 2 จะได z3 = 2 2(cos + isin )3 3π π = 1 3 i

2 2− +

เมื่อ k = 3 จะได z4 = (cos + isin )π π = -1เมื่อ k = 4 จะได z5 = 4 4(cos + isin )

3 3π π = 1 3 i

2 2− −


2 2−


รากที่ 8 ของ 1ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 8 ของ 1ดังนั้น z8 = 1 = 1 (cos0 + isin0)


ดังนั้น r8 = 1 และ 8θ = 0 2k+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈

จึงไดวา r = 1 และ θ = k0 + 4π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈


= เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = (cos 0 + isin 0) = 1เมื่อ k = 1 จะได z2 = (cos + isin )

4 4π π = 2 2 i

2 2+

เมื่อ k = 2 จะได z3 = (cos + isin )2 2π π = i


2 2− +

เมื่อ k = 4 จะได z5 = (cos + isin )π π = - 1

1 X

Y

Z1

Z2Z3

Z5 Z6

Z4

60


2 2− −

เมื่อ k = 6 จะได z7 = 3 3(cos + isin )2 2π π = - i


2 2−


รากที่ 2 ของ iให a + bi เปนจํานวนเชิงซอนซึ่งเปนรากที่ 2 ของ iดังนั้น i = (a + bi)2 = (a2 – b2) + 2abiจะได a2 – b2 = 0 กับ 2ab = 1

(a2 + b2)2 = (a2 – b2)2 + (2ab)2 = 0 + 1 = 1 หรือ a2 + b2 = 1จาก a2 – b2 = 0 และ a2 + b2 = 1จะได 2a2 = 1 และ 2b2 = 1

a = 22

และ b = 22

แตเพราะ 2ab = 1 ทําใหได i = 2 2i( )2 2

± +


1 X

Y

Z1

Z2

Z3Z4

Z5

Z6 Z7Z8

2 2 i2 2

− −

2 2 i2 2

+1

X

Y

61

รากที่ 4 ของ iให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 4 ของ iดังนั้น z4 = i = π π1(cos + isin )

2 2โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r4 ( )cos4θ + isin4θ = π πcos + isin


2π+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3∈

จึงไดวา r = 1 และ θ = k8 2π π+ เมื่อ { }k 0,1,2,3∈

ฉะนั้น k kz cos( ) i sin( )8 2 8 2π π π π⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ { }k 0,1,2,3∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = cos + isin 8 8π π

เมื่อ k = 1 จะได z2 = 5 5cos + isin 8 8π π




รากที่ 5 ของ iให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 5 ของ iดังนั้น z5 = i = π πcos + isin



2π+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈

Y

1 XZ1

Z2

Z3

Z4

62

จึงไดวา r = 1 และ θ = 2k10 5π π+ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈

ฉะนั้น 2k 2kz cos( ) i sin( )10 5 10 5π π π π⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈


เมื่อ k = 1 จะได z2 = π πcos + isin2 2

= iเมื่อ k = 2 จะได z3 = 9 9cos + isin

10 10π π






2 2

ดังนั้น r6 = 1 และ 6θ = 2k2π+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5∈

จึงไดวา r = 1 และ θ = k12 3π π+ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5∈


เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5∈


1 X

Y

Z1

Z2

Z3

Z4 Z5

63









2 2

ดังนั้น r8 = 1 และ 8θ = 2k2π+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈

จึงไดวา r = 1 และ θ = k16 4π π+ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈


เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈





1 X

Y

Z1

Z2Z3

Z4

Z5Z6

64






3.14(2 2 3i)+

ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 4 ของ 2 2 3i+

ดังนั้น z4 = 2 2 3i+ = π π4 (cos + isin )3 3

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r4 ( )cos4θ + isin4θ = π π4 (cos + isin )

3 3

ดังนั้น r4 = 4 และ 4θ = 2k3π+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3∈

จึงไดวา r = 2 และ θ = k12 2π π+ เมื่อ { }k 0,1,2,3∈

ฉะนั้น k kz 2 cos( ) i sin( )12 2 12 2π π π π⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ { }k 0,1,2,3∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = π π2 (cos + isin )12 12

เมื่อ k = 1 จะได z2 = 7π 7π2 (cos + isin )12 12



X

Y

1 Z1

Z2Z3

Z4

Z5

Z6 Z7

Z8

65

4. 5 2 2 3i−

ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 5 ของ 2 2 3i−

ดังนั้น z5 = 2 2 3i− = 5π 5π4 (cos + isin )3 3

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r5 ( )cos5θ + isin5θ = 5π 5π4 (cos + isin )

3 3

ดังนั้น r5 = 4 และ 5θ = 5 2k3π+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈

จึงไดวา r = 5 4 และ θ = 2k3 5π π+ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈

ฉะนั้น 5 2k 2kz 4 cos( ) i sin( )3 5 3 5π π π π⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = 5 π π4 (cos + isin )3 3

เมื่อ k = 1 จะได z2 = 5 11π 11π4 (cos + isin )15 15




5. (1) z4 = 1 3i+

z = 4 1 3i+

ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 4 ของ 1 3i+

ดังนั้น z4 = 1 3i+ = π π2 (cos + isin )3 3

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r4 ( )cos4θ + isin4θ = π π2 (cos + isin )

3 3

ดังนั้น r4 = 2 และ 4θ = 2k3π+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3∈

จึงไดวา r = 4 2 และ θ = k12 2π π+ เมื่อ { }k 0,1,2,3∈

ฉะนั้น 4 k kz 2 cos( ) i sin( )12 2 12 2π π π π⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ { }k 0,1,2,3∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = 4 π π2 (cos + isin )12 12


66



(2) z5 + i = 0 z5 = – i

ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 5 ของ - iดังนั้น z5 = - i = 3π 3π1(cos + isin )

2 2โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r5 ( )cos5θ + isin5θ = 3π 3πcos + isin

2 2

ดังนั้น r5 = 1 และ 5θ = 3 2k2π+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈

จึงไดวา r = 1 และ θ = 3 2k10 5π π+ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈

ฉะนั้น 3 2k 3 2kz cos( ) i sin( )10 5 10 5π π π π⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

เมื่อ { }k 0,1,2,3,4∈




เมื่อ k = 3 จะได z4 = 3 3cos + isin 2 2π π = i


(3) z7 – 1 = 0z7 = 1

ให z = r(cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 7 ของ 1ดังนั้น z7 = 1 = 1(cos 0 + isin 0)โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r7 ( )cos7θ + isin7θ = cos 0 + isin 0ดังนั้น r7 = 1 และ 7θ = 0 + 2kπ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6∈

67

จึงไดวา r = 1 และ θ = 2k7π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6∈

ฉะนั้น 2k 2kz cos i sin7 7π π

= + เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = cos 0 + i sin 0 = 1เมื่อ k = 1 จะได z2 = 2 2cos( ) i sin( )

7 7π π

+

เมื่อ k = 2 จะได z3 = 4 4cos( ) i sin( )7 7π π

+

เมื่อ k = 3 จะได z4 = 6 6cos( i sin )7 7π π+

เมื่อ k = 4 จะได z5 = 8 8cos( i sin )7 7π π+


+


+

(4) z8 + 4 + 4i = 0 z8 = –4 – 4iให z = r (cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 8 ของ –4 – 4iดังนั้น z8 = –4 – 4i = 1 14 2( i)

2 2− − = 5 54 2(cos i sin )

4 4π π+

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r8(cos 8θ + i sin 8θ) = 5 54 2(cos i sin )

4 4π π+

ดังนั้น r8 = 4 2 และ 8θ = 5 2k4π+ π เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈

จึงไดวา r = 8 32 และ θ = 5 k32 4π π+ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈

ฉะนั้น 8 5 k 5 kz 32 cos i sin32 4 32 4

⎡ π π π π ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈






68




5) z8 + 1 = 0 z8 = –1

ให z = r (cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 8 ของ –1ดังนั้น z 8 = –1 = 1(cos π + i sin π)โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r8(cos 8θ + i sin 8θ) = cos π + i sin πดังนั้น r8 = 1 และ 8θ = π + 2kπ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈

จึงไดวา r = 1 และ θ = k8 4π π+ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈

ฉะนั้น k kz cos i sin8 4 8 4π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7∈

เมื่อ k = 0 จะได z1 = cos( ) i sin( )8 8π π

+


+


+


+


+


+


+


+

6) z9 + 1 = 0z9 = –1

ให z = r (cos θ + i sin θ) เปนรากที่ 9 ของ –1ดังนั้น z9 = –1 = 1(cos π + i sin π)

69

โดยทฤษฏีบทของเดอมัวรจะได r9(cos 9θ + i sin 9θ) = cos π + i sin πดังนั้น r9 = 1 และ 9θ = π + 2kπ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7,8∈

จึงไดวา r = 1 และ θ = 2k9 9π π+ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7,8∈

ฉะนั้น 2k 2kz cos i sin9 9 9 9π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ เมื่อ { }k 0,1,2,3,4,5,6,7,8∈


+


+ = 1 3 i2 2+


+


+

เมื่อ k = 4 จะได z5 = cos( ) i sin( )π + π = –1เมื่อ k = 5 จะได z6 = 11 11cos( ) i sin( )

9 9π π

+


+


+ = 1 3 i2 2−


+


1. (1) เซตคําตอบของสมการ 2x3 + 2x2 + x + 1 = 0 คือ 2 2{ 1, i, i}2 2

− −

(2) เซตคําตอบของสมการ 2x3 – x + 1 = 0 คือ 1 1 1 1{ 1, i, i}2 2 2 2

− + −

(3) เซตคําตอบของสมการ x4 – x3 + 7x2 – 9x – 18 = 0 คือ {–1, 2, 3i, –3i}(4) เซตคําตอบของสมการ x4 – 6x3 + 15x2 – 22x + 12 = 0 คือ

{1, 3, 1 + 3i , 1 – 3i }(5) เซตคําตอบของสมการ { 10, 10, 2i, 2i}− −

(6) เซตคําตอบของสมการ {1, –2, –3, –2 + 3i , –2 – 3i }

70

2. ให f(x) = x5 + 9x3 – 8x2 – 72จะได f(–1 + 3i ) = (–1 + 3i )5 + 9(–1 + 3i )3 – 8(–1 + 3i )2 – 72

= –16 – 16 3i + 72 + 16 + 16 3i – 72= 0

แสดงวา –1 + 3i เปนคําตอบของ f(x) = 0จะได –1 – 3i เปนคําตอบของ f(x) = 0 ดวยแต [x – (–1 + 3i )][x – (–1 – 3i )] = x2 + 2x + 4และ x5 + 9x3 – 8x2 – 72 = 0 = (x2 + 2x + 4)(x3 – 2x2 + 9x – 18)

= (x2 + 2x + 4)(x2 + 9)(x – 2)นั่นคือ x2 + 2x + 4 = 0 หรือ x2 + 9 = 0 หรือ x – 2 = 0จาก x2 + 9 = 0จะได x = 3i หรือ x = –3iดังนั้น คําตอบที่เหลือทั้งหมดของสมการนี้คือ –1 3i− , 3i, –3i, 2

3. จากโจทย 3, –4, 3 + i เปนคําตอบของสมการ จะได 3 – i เปนคําตอบดวยดังนั้น จะได (x – 3)(x + 4)[x – (3 + i][x – (3 – i)] = 0

(x2 + x – 12)(x2 – 6x + 10) = 0 x4 – 5x3 – 8x2 + 82x – 120 = 0

k[x4 – 5x3 – 8x2 + 82x – 120] = 0 เมื่อ k ≠ 0ดังนั้น k[x4 – 5x3 – 8x2 + 82x – 120] = 0 เปนพหุนามดีกรี 4 ที่มีสัมประสิทธิ์เปนจํานวนเต็มและมี 3, –4, 3 + i และ 3 – i เปนคําตอบ

4. จากโจทย 2 2 3i− และ –4i เปนคําตอบของสมการจะได 2 2 3i+ และ 4i เปนคําตอบของสมการดวย

[x – ( 2 2 3i− )][(x – ( 2 2 3i+ )](x + 4i)(x – 4i) = 0(x2 – 4x + 16)(x2 + 16) = 0x4 – 4x3 + 32x2 – 64x + 256 = 0k(x4 – 4x3 + 32x2 – 64x + 256) = 0 เมื่อ k ≠ 0

71

ดังนั้น จะได k(x4 – 4x3 + 32x2 – 64x + 256) = 0 เปนสมการพหุนามดีกรี 4 ที่มี2 2 3i± และ 4i± เปนคําตอบ

5. จากโจทย 23

− , 1 i− + , 3 3i+ เปนคําตอบของสมการ จะได –1 – i , 3 3i− เปนคําตอบดวยดังนั้น จะได 2(x )[x ( 1 i)][x ( 1 i)][x (3 3i)][x (3 3i)]

3+ − − + − − − − + − − = 0

2 22(x )[x 2x 2][x 6x 12]3

+ + + − + = 05 4 3 23x 10x 2x 40x 96x 48 0− − + + + =

k[ 5 4 3 23x 10x 2x 40x 96x 48− − + + + ] = 0 เมื่อ k ≠ 0ดังนั้น จะได k[ 5 4 3 23x 10x 2x 40x 96x 48− − + + + ] = 0 เปนสมการพหุนามดีกรี 5 ที่มี 2

3− , 1 i− ± , 3 3i± เปนคําตอบ

6. ให f(x) = x2 – x + (i + 1)f(i) = i2 – i + i + 1 = 0

ดังนั้น i เปนคําตอบหนึ่งของ x2 – x + (i + i)f(–i) = (–i)2 – (–i) + i + 1 = –1 + i + i + 1 = 2i

ดังนั้น – i ไมเปนคําตอบหนึ่งของ x2 – x + (i + 1)สมการพหุนาม x2 – x + (i + 1) มี i เปนคําตอบ แต – i ไมใชคําตอบ ผลนี้ไมขัดกับทฤษฎีที่กลาวไว เพราะสมการพหุนาม x2 – x+ (i + 1) มีสัมประสิทธิ์ไมเปนจํานวนจริงทุกจํานวน เพราะ (i + 1) ไมใชจํานวนจริง

7. (1) จากโจทย –3, –1, 4 เปนคําตอบของ P(x)P(x) = (x + 3)(x + 1)(x – 4)

= x3 – 13x – 12จะได P(x) = a(x3 – 13x – 12) , a เปนคาคงที่ที่ไมเทากับศูนย P(2) = a(23 – 13(2) – 12) = 5

–30 a = 5

72

a = 16

−

ดังนั้น P(x) = – 31 (x 13x 12)6

− − สอดคลองกับเงื่อนไขขางตน

(2) จากโจทย 2, 5, –3 เปนคําตอบของ P(x)P(x) = (x – 2)(x – 5)(x + 3)

= x3 – 4x2 – 11x + 30จะได P(x) = a(x3 – 4x2 – 11x + 30) , a เปนคงคาที่ที่ไมเทากับศูนย P(1) = a(1 – 4 – 11 + 30) = –4

16 a = –4 a = 1

4−

ดังนั้น P(x) = 3 21 (x 4x 11x 30)4

− − − + สอดคลองกับเงื่อนไขขางตน

8. (1) ดีกรีต่ําสุด คือ 4(2) ดีกรีต่ําสุด คือ 2(3) ดีกรีต่ําสุด คือ 4(4) ดีกรีต่ําสุด คือ 6

9. ให P(x) = x4 – 2x3 – 7x2 + 28x + 52จาก (x + 2)2 = x2 + 4x + 4จะได P(x) = (x2 – 6x + 13)(x2 + 4x + 4)แสดงวา –2 เปนคําตอบซ้ํา 2 ครั้งของ P(x)ดังนั้น คําตอบที่เหลืออีก 2 คําตอบ คือ คําตอบของพหุนามดีกรีสอง x2 – 6x + 13โดยที่ x2 – 6x + 13 = [x – (3 + 2i)][x – (3 – 2i)]ดังนั้น คําตอบที่เหลือของ P(x) คือ 3 + 2i, 3 – 2i

10. ให P(x) = x5 + 9x4 + 33x3 + 55x2 + 42x + 12จาก (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1จะได P(x) = (x3 + 3x2 + 3x + 1)(x2 + 6x + 12)แสดงวา –1 เปนคําตอบซ้ํา 3 ครั้งของ P(x)

73

ดังนั้น คําตอบที่เหลืออีก 2 คําตอบ คือ คําตอบของพหุนามดีกรีสอง x2 + 6x + 12โดยที่ x2 + 6x + 12 = [x – (–3 + 3i )][x – (–3 – 3i )]ดังนั้น คําตอบที่เหลือของ P(x) คือ –3 + 3i , –3 – 3i

11. จากโจทย 1 + i เปนคําตอบของสมการ จะได 1 – i เปนคําตอบดวยแต (x – (1 + i))(x – (1 – i)) = x2 – 2x + 2และ x4 – 7x3 + 18x2 – 22x + 12 = (x2 – 2x + 2)(x2 – 5x + 6)ดังนั้น คําตอบที่เหลือคือคําตอบของพหุนามดีกรีสอง x2 – 5x + 6โดยที่ x2 – 5x + 6 = (x – 3)(x – 2)ดังนั้น คําตอบทั้งหมดของสมการพหุนามนี้ คือ 2, 3, 1 – i, 1 + i

Add m5-2-chapter1

Education