add-m3-2-finished

คณตศาสตรเพ�มเตม ช�นมธยมศกษาปท� 3

เลม 2

สารบญ หนา คานา คาชแจง คาชแจงการใชคมอคร ก กาหนดเวลาสอนโดยประมาณ ง บทท 1 การใหเหตผลเกยวกบรปสามเหลยมและรปสเหลยม 1 ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 3 แนวทางในการจดการเรยนร 4 1.1 ความรพนฐานเกยวกบการใหเหตผลทางเรขาคณต 4

จดประสงค 4 ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 4

1.2 ทฤษฎบทเกยวกบรปสามเหลยมและรปสเหลยม 7 จดประสงค 7

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 7 1.3 การสราง 8


คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 11 บทท 2 ระบบสมการ 37 ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 37 แนวทางในการจดการเรยนร 38 2.1 ระบบสมการทประกอบดวยสมการเชงเสนและสมการดกรสอง 38


2.2 ระบบสมการทประกอบดวยสมการดกรสองทงสองสมการ 39 จดประสงค 39

เอกสารแนะนาการจดกจกรรม 39 ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 39

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 41 แบบฝกหดเพมเตมและคาตอบ 43

บทท 3 วงกลม 45 ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 45 แนวทางในการจดการเรยนร 46 3.1 วงกลม 46


3.2 มมทจดศนยกลางและมมในสวนโคงของวงกลม 47 จดประสงค 47

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 47 3.3 คอรด 49


3.4 เสนสมผสวงกลม 50 จดประสงค 50

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 50 คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 52 บทท 4 เศษสวนของพหนาม 88 ผลการเรยนรทคาดหวงรายป 88 แนวทางในการจดการเรยนร 88 4.1 การดาเนนการของเศษสวนของพหนาม 89


4.2 การแกสมการเศษสวนของพหนาม 90 จดประสงค 90

ขอเสนอแนะในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 90 4.3 โจทยปญหาเกยวกบเศษสวนของพหนาม 91


คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม 92 คณะกรรมการจดทาสอการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนตน 101

11

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม คาตอบกจกรรม “ยงทาไดไหม”

1. 1) ถารปสามเหลยมรปหนงเปนรปสามเหลยมดานเทา แลวรปสามเหลยมนนมสวนสงทง สามเสนยาวเทากน 2) ถาเสนทแยงมมทงสองเสนของ ABCD ตดกนเปนมมฉากและแบงครงซงกนและกน แลว ABCD เปนรปสเหลยมทมดานทงสยาวเทากน 2. 1) รปสามเหลยมรปหนงมสวนสงทงสามเสนยาวเทากน กตอเมอ รปสามเหลยมนนเปน รปสามเหลยมดานเทา 2) ABCD เปนรปสเหลยมทมดานทงสยาวเทากน กตอเมอ เสนทแยงมมทงสองเสนของ ABCD ตดกนเปนมมฉากและแบงครงซงกนและกน 3. 1) “ถารปสเหลยมรปหนงเปนรปสเหลยมดานขนาน แลวดานตรงขามของรปสเหลยมนน ยาวเทากนสองค” และ “ถารปสเหลยมรปหนงมดานตรงขามยาวเทากนสองค แลว รปสเหลยมนนเปนรปสเหลยมดานขนาน” 2) “ถารปสามเหลยมรปหนงมขนาดของมมเทากนสองมม แลวรปสามเหลยมนนเปน รปสามเหลยมหนาจว” และ “ถารปสามเหลยมรปหนงเปนรปสามเหลยมหนาจว แลว รปสามเหลยมนนมขนาดของมมเทากนสองมม”

คาตอบแบบฝกหด 1.1 1. แนวคดในการพสจน เนองจาก 1

∧ = 4

∧ (กาหนดให)

1∧

= 2∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขามมขนาดเทากน)

2 1 4 3

12

จะได 4∧

= 2∧

(สมบตของการเทากน) เนองจาก 3

∧+ 4∧

= 180o (ขนาดของมมตรง) ดงนน 3

∧+ 2∧

= 180o (สมบตของการเทากน โดยแทน 4∧

ดวย 2∧

) 2. แนวคดในการพสจน เนองจาก A E X

∧ = D F Y


A E X∧

= BE F∧

และ D F Y∧

= CF E∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขาม มขนาดเทากน) ดงนน BE F

∧ = CF E

∧ (สมบตของการเทากน)

นนคอ AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหมมแยง มขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน) 3. แนวคดในการพสจน

1) เนองจาก G E A∧

= CF E∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลวมมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบน ขางเดยวกนของเสนตดมขนาดเทากน)

A B

C D

E

F Y

X

A B

C D

G

H F

E

13

และ CF E∧

= D F H∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขามมขนาด เทากน) ดงนน G E A

∧ = D F H


2) เนองจาก G E B∧

+ G E A∧

= 180o (ขนาดของมมตรง) ดงนน G E B

∧ + CF E

∧ = 180o (สมบตของการเทากน โดยแทน G E A

∧ ดวย CF E

∧)

4. แนวคดในการพสจน

เนองจาก A BE∧

= DCB∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลวมมแยง มขนาดเทากน) และ BE D

∧ = DCB

∧ + E DC

∧ (ถาตอดานใดดานหนงของรปสามเหลยมออกไป

มมภายนอกทเกดขนจะมขนาดเทากบผลบวกของขนาด ของมมภายในทไมใชมมประชดของมมภายนอกนน) ดงนน BE D

∧ = A BE

∧ + E DC

∧ (สมบตของการเทากน โดยแทน DCB

∧ ดวย A BE

∧)


1) เนองจาก BM N∧

= C N M∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลวมมแยง มขนาดเทากน)

A B

E

C D

N

L

C D

M A B

O E FP

14

และ C N M∧

= E O N∧

(ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลว มมภายนอกและมมภายในทอยตรงขามบนขางเดยวกน ของเสนตดมขนาดเทากน) ดงนน E O N

∧ = BM N


2) เนองจาก A M N∧

+ BM N∧

= 180o (ขนาดของมมตรง) จะได A M N

∧+ E O N

∧ = 180o (สมบตของการเทากน โดยแทน BM N

∧ ดวย E O N

∧)

3) ดงนน AB // EF (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหขนาด ของมมภายในทอยบนขางเดยวกนของเสนตด รวมกนเทากบ 180 องศา แลวเสนตรงคนน ขนานกน)

คาตอบแบบฝกหด 1.2 ก

1. แนวคดในการพสจน เนองจาก ∆ AMB ≅ ∆ CMD (ด.ม.ด.) จะได A BM

∧ = CDM

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ

จะมขนาดเทากน) ดงนน AB // DC (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหมมแยงม ขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน)

A B

D C

M

15

2. แนวคดในการพสจน เนองจาก AB = AC และ DB = DC (กาหนดให) และ AD = AD ( AD เปนดานรวม) ดงนน ∆ ABD ≅ ∆ ACD (ด.ด.ด.) 3. แนวคดในการพสจน เนองจาก ∆ AEB ≅ ∆ ADC (ม.ม.ด.) ดงนน AE = AD และ BE = CD (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน)

A

B C

D E

A

B C

D

16

4. แนวคดในการพสจน เนองจาก A

∧ = B

∧ และ B

∧ = C


จะได BC = AC และ AC = AB (ถารปสามเหลยมรปหนงมมมทมขนาดเทากนสองมม แลวดานทอยตรงขามกบมมคทมขนาดเทากน จะยาว เทากน) ดงนน AB = AC = BC (สมบตของการเทากน) นนคอ ∆ ABC เปนรปสามเหลยมดานเทา

5. แนวคดในการพสจน กาหนดให ∆ ABC เปนรปสามเหลยมดานเทา ม AD , BE และ CF เปนเสนมธยฐาน ตองการพสจนวา AD = BE = CF พสจน เนองจาก ∆ ABD ≅ ∆ CBF (ด.ม.ด.) ดงนน AD = CF (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) เนองจาก ∆ ACD ≅ ∆ BCE (ด.ม.ด.)

A

B C

A

B C D

E F

17

ดงนน AD = BE (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) นนคอ AD = BE = CF (สมบตของการเทากน) 6. แนวคดในการพสจน

ลาก EM และ CM เนองจาก ∆ EAM ≅ ∆ CBM (ด.ม.ด.) ดงนน EM = CM (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) จะได ∆ DEM ≅ ∆ DCM (ด.ด.ด.) ดงนน E DM

∧ = CDM


จะมขนาดเทากน)

คาตอบแบบฝกหด 1.2 ข 1. แนวคดในการพสจน กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมดานขนานม BD และAC เปนเสนทแยงมมตดกน ทจด E ตองการพสจนวา DE = BE และ AE = CE พสจน เนองจาก ∆ DAE ≅ ∆ BCE (ม.ด.ม.)

A M B

C

D

E

A

D

B

C

E

18

ดงนน DE = BE และ AE = CE (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 2. แนวคดในการพสจน

เนองจาก ∆ DOA ≅ ∆ COB (ด.ม.ด.) จะได AD = BC (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) และ A DC

∧ = BCD


จะมขนาดเทากน) ดงนน AD // BC (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหมมแยง มขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน)

นนคอ ACBD เปนรปสเหลยมดานขนาน (รปสเหลยมทมดานทอยตรงขามกนคหนง ขนานกนและยาวเทากน เปนรปสเหลยม ดานขนาน) 3. แนวคดในการพสจน กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมมมฉาก ตองการพสจนวา ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน

A C

B D

O

A B

C D

19

พสจน เนองจาก A

∧= B∧

= C∧

= D∧

= 90o (มมภายในของรปสเหลยมมมฉากแตละมมม ขนาดเทากบ 90 องศา) จะได A

∧ + D

∧ = 180o และ A

∧ + B

∧ = 180o (สมบตของการเทากน)

ดงนน AB // CD และ BC // AD (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหขนาดของมมภายในทอยบนขางเดยวกน ของเสนตด รวมกนเทากบ 180 องศา แลวเสนตรงคนนขนานกน) นนคอ ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน (รปสเหลยมดานขนาน คอ รปสเหลยม ทมดานตรงขามขนานกนสองค) 4. แนวคดในการพสจน เนองจาก ED // BF (ตางกเปนสวนหนงของดานตรงขามทขนานกนของ รปสเหลยมดานขนาน) และ ED = BF (จด E และจด F เปนจดกงกลางของ AD และ BC ซงมความยาวเทากน) ดงนน DFBE เปนรปสเหลยมดานขนาน (รปสเหลยมทมดานทอยตรงขามกนคหนง ขนานกนและยาวเทากน เปนรปสเหลยม ดานขนาน)

D C

B A

E F

20


กาหนดให ∆ ABC มจด X เปนจดกงกลางของ AB และ XY // BC ตองการพสจนวา จด Y เปนจดกงกลางของ AC พสจน เนองจาก ∆ AXY ∼ ∆ ABC (ถารปสามเหลยมสองรปมขนาดของมมเทากนเปนค ๆ สามค แลวรปสามเหลยมสองรปนนเปนรปสามเหลยม ทคลายกน) จะได AX

AB = AYAC (สมบตของรปสามเหลยมคลาย)

เนองจาก AXAB = 1

2 (จด X เปนจดกงกลางของ AB )

ดงนน AYAC = 1

2 (สมบตของการเทากน)

AY = 12 AC (สมบตการคณไขวของอตราสวน)

นนคอ จด Y เปนจดกงกลางของ AC 6. แนวคดในการพสจน

เนองจาก ∆ AED ≅ ∆ CFB (ม.ด.ม.) จะได A E D

∧ = C F B


จะมขนาดเทากน)

A

C

B

D

E

F

X Y

A

B C

21

เนองจาก A E D∧

+ D E B∧

= C F B∧

+ B F D∧

= 180o (ขนาดของมมตรง) จะได D E B

∧ = B F D


เนองจาก A D E∧

+ E D F∧

= CBF∧

+ F BE∧

(มมตรงขามของรปสเหลยมดานขนานมขนาดเทากน) จะได E D F

∧ = F BE


ดงนน BEDF เปนรปสเหลยมดานขนาน (ถารปสเหลยมรปหนงมมมตรงขามทมขนาด เทากนสองค แลวรปสเหลยมรปนนเปน รปสเหลยมดานขนาน) 7. แนวคดในการพสจน

กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมขนมเปยกปนทม AC และ BD เปนเสนทแยงมม ตดกนทจด O ตองการพสจนวา AC BD⊥ พสจน เนองจาก ∆ AOD ≅ ∆ COB (ม.ม.ด.) จะได AO = OC (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) จะได ∆ AOB ≅ ∆ COB (ด.ด.ด.) A O B

∧ = CO B


จะมขนาดเทากน) A O B

∧+ CO B

∧ = 180o (ขนาดของมมตรง)

จะได A O B∧

= CO B∧

= 1802 = 90 o (สมบตของการเทากน)

ดงนน AC BD⊥

C D

A B

O

22

8. แนวคดในการพสจน ลาก AC จะได PQ // AC และ PQ = 1

2 AC (สวนของเสนตรงทลากเชอมจดกงกลางของดานสอง ดานของรปสามเหลยมใด ๆ จะขนานกบดานทสามและ ยาวเปนครงหนงของดานทสาม) ในทานองเดยวกน จะได SR // AC และ SR = 1

2 AC ดงนน PQ // SR และ PQ = SR (สมบตของเสนขนานและสมบตของการเทากน) นนคอ PQRS เปนรปสเหลยมดานขนาน (รปสเหลยมทมดานทอยตรงขามกนคหนง ขนานกนและยาวเทากน เปนรปสเหลยม ดานขนาน)

C

P A B

D

Q

R

S

23

คาตอบกจกรรม “พสจนไดหรอไม”

1. แนวคดในการพสจน กรณทมเสนตรงสามเสนขนานซงกนและกน

กาหนดให เสนตรง 1 , 2 และ 3 ขนานซงกนและกน PQ เปนเสนตด เสนตรง 1 , 2 และ 3 ทจด A , B และ C ตามลาดบ ทาให AB = BC และ RS เปนเสนตดเสนตรง 1 , 2 และ 3 ทจด D , E และ F ตามลาดบ ตองการพสจนวา DE = EF พสจน ลาก XY ผานจด E และใหขนานกบ PQ โดย XY ตดเสนตรง 1 ทจด L และตดเสนตรง 3 ทจด F เนองจาก ABEL เปนรปสเหลยมดานขนาน (รปสเหลยมดานขนาน คอ รปสเหลยมทม ดานตรงขามขนานกนสองค) ดงนน AB = LE (ดานตรงขามของรปสเหลยมดานขนานยาวเทากน) ในทานองเดยวกนจะไดวา BC = EK เนองจาก AB = BC (กาหนดให) ดงนน LE = EK (สมบตของการเทากน) 1

∧ = 2

∧ (ถาเสนตรงสองเสนขนานกนและมเสนตด แลวมมแยงมขนาด

เทากน) 3

∧ = 4

∧ (มเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขามมขนาดเทากน)

จะได ∆ DEL ≅ ∆ FEK (ม.ด.ม.) นนคอ DE = EF (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) กรณทมเสนตรงมากกวาสามเสนขนานซงกนและกน จะพสจนไดในทานองเดยวกน

F

D 1 A

C

P

Q

3

B 2

Y S

24

2. แนวการสราง

1. สราง BA X∧

และ A BY∧

ใหเปนมมแยงและมขนาดเทากน 2. ใชรศมทยาวเทากนตด AX และ BY ใหได AC = CD = DE = BS = ST = TU 3. ลาก EB, DS, CT และ AU ให DS และ CT ตด AB ทจด Q และจด P ตามลาดบ จะได AP = PQ = QB

A B

C

D

E

P Q

X

Y U

T

S

25

พสจน เนองจาก BA X

∧ = A BY

∧ (จากการสราง)

จะได AX // BY (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาใหมมแยง มขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน) เนองจาก AC // TU และ AC = TU (จากการสราง) จะได AU // CT (สวนของเสนตรงทปดหวทายของสวนของเสนตรงท ขนานกนและยาวเทากน จะขนานกน) ในทานองเดยวกนสามารถพสจนไดวา CT // DS และ DS // EB ดงนน AU, CT, DS และ EB ขนานซงกนและกน (สมบตของเสนขนาน) จะได AP = PQ = QB (ถาเสนตรงตงแตสามเสนขนไปขนานซงกนและกน และมเสนตรงเสนหนงตด ทาใหไดสวนตดยาว เทากน แลวเสนทขนานกนเหลานจะตดเสนตดอน ๆ ออกเปนสวน ๆ ไดยาวเทากนดวย)

คาตอบกจกรรม “มไดรปเดยว”


1. สราง AB ยาว a หนวย 2. สราง QA B

∧ ใหมขนาดเทากบขนาดของ X Y Z

∧

3. สราง AR แบงครง QA B∧

4. บน AR สราง AC ยาว b หนวย 5. ลาก BC จะได ∆ ABC เปนรปสามเหลยมตามตองการ

b

a A B

C Q R

26

2. แนวการสราง 1. สราง BA ยาว b หนวย 2. สราง A BD

∧ ใหมขนาดเทากบขนาดของ X Y Z

∧

3. สราง BR แบงครง A BC∧

4. บน BR สราง BE ยาว a หนวย 5. ลาก AE ตด BD ทจด C จะได ∆ ABC เปนรปสามเหลยมตามตองการ 3. แนวการสราง

1. สราง XY ใหยาวเทากบ AB + AC 2. สราง X Y P

∧ ใหมขนาดเทากบสองเทาของขนาดของ A BC

∧

3. บน YP สราง YZ ใหยาวเทากบ BC 4. ลาก XZ จะได ∆ XYZ เปนรปสามเหลยมตามตองการ

a b A B

C R E

D

X Y

Z

P

27

4. แนวการสราง 1. สราง RQ 2. บน RQ สราง QA ใหยาวเทากบ QR 3. ลาก AP จะได ∆ PAR เปนรปสามเหลยมหนาจวตามตองการ 5. ตวอยางการสราง 1. ลาก XY และกาหนดจด C บน XY 2. สราง XCS

∧ และ YCZ

∧ ใหมขนาดเทากบ q และ p ตามลาดบ

3. บน CS สราง CA ยาว a หนวย 4. สราง CA R

∧ ใหมขนาดเทากบขนาดของ ACZ

∧ โดยให AR ตด XY ทจด B

จะได ∆ ABC เปนรปสามเหลยมตามตองการ

R Q

P

A

X B

A

q p

Z

Y C

a

S

R

28


1. ลาก XY และกาหนดจด A บน XY 2. สราง AZ ตงฉากกบ XY ทจด A 3. บน AZ สราง AR ยาว b หนวย 4. สราง RP ตงฉากกบ AZ ทจด R 5. สราง Y A D

∧ ใหมขนาดเทากบ k และ AD ตด RP ทจด C

(จะไดจด C มระยะหางจาก AY เทากบ b หนวย) 6. ใชจด C เปนจดศนยกลางรศมเทากบ a หนวย เขยนสวนโคงตด AY ทจด E 7. ใชจด E เปนจดศนยกลางรศมเทากบ AE เขยนสวนโคงตด AY ทจด B 8. ลาก BC จะได ∆ ABC เปนรปสามเหลยมตามตองการ

b

R

Z

A E B Y

P C

D

a k

X

29

คาตอบกจกรรม “มไดหลายรป”

1. สรางรปตามเงอนไขขอ 1) ถงขอ 3) ไดดงน

4) เทากบพนทของ ∆ ABC เพราะมความสงเทากน และมฐาน AB รวมกน 5) หลายรปนบไมถวน และรปสามเหลยมเหลานนมจดยอดอยบน XY ทขนานกบฐาน AB 2. ตวอยางการสราง 1) สรางเพอแบงครง QR ทจด A ลาก PA จะได ∆ PQA และ ∆ PRA แตละรปมพนทเปนครงหนงของพนทของ ∆ PQR แนวคดในการใหเหตผล เนองจาก ∆ PQA และ ∆ PRA แตละรปมฐานยาวเทากบครงหนงของความยาวของฐาน ของ ∆ PQR และมความสงเทากน ดงนน พนทของ ∆ PQA = พนทของ ∆ PRA = 1

2 พนทของ ∆ PQR

2) วธท 1 แบงครงฐาน แลวลากเสนมธยฐาน ดงตวอยางขอ 1) วธท 2 แบงครงสวนสง แลวลากสวนของเสนตรงจากจดแบงครงทไดนนไปยงจดปลาย ทงสองขางของฐาน

A Q

P

R

C D E F

A B

X Y

30

คาตอบกจกรรม “สรางไดไมยาก” 1. ตวอยางการสราง 1)

1. สราง AC ยาวนอยกวา 2a หนวย (เนองจากผลบวกของความยาวของดาน สองดานของรปสามเหลยมมากกวาความยาวของดานทสาม) 2. ใชจด A และจด C เปนจดศนยกลางรศมเทากบ a หนวยเขยนสวนโคงตดกนท จด B ลาก AB และ CB 3. ใชจด A และจด C เปนจดศนยกลางรศมเทากบ b หนวย เขยนสวนโคงตดกนท จด D ซงอยอกดานหนงของ AC 4. ลาก AD และ CD จะได ABCD เปนรปสเหลยมรปวาวตามตองการ 2) หลายรปนบไมถวน เพราะสามารถสราง AC ยาวนอยกวา 2a หนวย ไดมากมาย นบไมถวน

A

B

C

D

31

2. ตวอยางการสราง 1. สราง AC ยาว c หนวย 2. ใชจด A เปนจดศนยกลางรศมเทากบ b หนวย เขยนสวนโคง 3. ใชจด C เปนจดศนยกลางรศมเทากบ a หนวย เขยนสวนโคงตดสวนโคงในขอ 2 ทจด B และจด D 4. ลาก AB , BC , AD และ DC จะได ABCD เปนรปสเหลยมรปวาวตามตองการ 3. ตวอยางการสราง 1. สราง AB ใหยาวเทากบ PQ 2. สราง A BX

∧ และ BA Y

∧ ใหมขนาดเทากบขนาดของ PQR

∧ และขนาดของ Q PS

∧

ตามลาดบ 3. บน BX สราง BC ใหยาวเทากบ QR และบน AY สราง AD ใหยาวเทากบ PS 4. ลาก DC จะได ABCD เปนรปสเหลยมทเทากนทกประการกบ PQRS

a D

b

B

A C b a

c

D

C

A B

Y

X

32

แนวคดในการใหเหตผล ลาก QS และ BD จากการสราง AB = PQ, BC = QR, AD = PS A BC

∧ = PQR

∧ และ BA D

∧ = Q PS

∧

เนองจาก ∆ ABD ≅ ∆ PQS (ด.ม.ด.) จะได ∆ BDC ≅ ∆ QSR (ด.ม.ด.) ดงนน CD = RS, BCD

∧ = QRS

∧ และ A DC

∧ = P S R

∧

นนคอ ABCD ≅ PQRS (รปหลายเหลยมสองรปเทากนทกประการ กตอเมอ ดานคทสมนยกน และมมคทสมนยกนของ รปสามเหลยมทงสองนน มขนาดเทากนเปนค ๆ ) 4. สรางตามเงอนไขขอ 1) ถงขอ 4) จะไดรปการสรางดงน 5) เทากน เพราะ มฐาน BD รวมกนและมสวนสงยาวเทากน คอ จดยอด C และจดยอด E อยบน CE ทขนานกบฐาน BD

D

C

A B E

X

Y

S

R

P Q

D

C

A B

Y X

33

6) เทากน เพราะ เนองจาก พนทของ ABCD = พนทของ ∆ ABD + พนทของ ∆ DBC และ พนทของ ∆ ADE = พนทของ ∆ ABD + พนทของ ∆ DBE = พนทของ ∆ ABD + พนทของ ∆ DBC (จากขอ 5)) ดงนน พนทของ ∆ ADE = พนทของ ABCD (สมบตของการเทากน) 5. แนวการสราง 1. สราง DE ยาว b หนวย 2. สราง EX ใหตงฉากกบ DE ทจด E และบน EX สราง EC ยาว a หนวย 3. ลาก DC 4. สราง DY ใหตงฉากกบ DC ทจด D และบน DY สราง DP ยาวเทากบ DC 5. สราง CZ ใหตงฉากกบ DC ทจด C และบน CZ สราง CQ ยาวเทากบ DC 6. ลาก PQ จะได DCQP เปนรปสเหลยมจตรสตามตองการ

Z

C

a

b E D

P

Q

Y X

34

แนวคดในการใหเหตผล เนองจาก ∆ DEC เปนรปสามเหลยมทม DEC

∧ เปนมมฉาก DE = b หนวย

และ EC = a หนวย (จากการสราง) จะได DC2 = a2 + b2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) จากการสราง จะได DCQP เปนรปสเหลยมจตรสทแตละดานยาวเทากบ DC ดงนน DCPQ มพนทเทากบ DC2 = a2 + b2 ตารางหนวย 6. แนวการสราง 1. สราง AB ยาว b หนวย 2. สราง BX ใหตงฉากกบ AB ทจด B และบน BX สราง BC ยาว a หนวย 3. ลาก AC 4. สราง AY ใหตงฉากกบ AC ทจด A และบน AY สราง AP ยาว c หนวย 5. ลาก PC 6. สราง PM และ CN ตงฉากกบ PC ทจด P และจด C ตามลาดบ 7. บน PM และ CN สราง PQ และ CR ตามลาดบ ใหแตละสวนของเสนตรงยาว เทากบ PC

P

A B

a

b

c C

R Q

M N

X Y

35

8. ลาก QR จะได PCRQ เปนรปสเหลยมจตรสตามตองการ แนวคดในการใหเหตผล เนองจาก ∆ ABC เปนรปสามเหลยมทม A BC

∧ เปนมมฉาก AB = b หนวย

และ BC = a หนวย (จากการสราง) จะได AC2 = a2 + b2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) เนองจาก ∆ PAC เปนรปสามเหลยมทม PAC

∧ เปนมมฉาก และ PA = c หนวย

(จากการสราง) จะได PC2 = AC2 + PA2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) นนคอ PC2 = a2 + b2 + c2 (สมบตของการเทากน) จากการสราง จะได PCRQ เปนรปสเหลยมจตรสทแตละดานยาวเทากบ PC ดงนน PCRQ เปนรปสเหลยมจตรสทมพนทเทากบ PC2 = a2 + b2 + c2 ตารางหนวย

คาตอบกจกรรม “แบงครงมม”

แนวคดในการพสจน ∆ PYF ≅ ∆ QYE (ด.ม.ด.) Y F P

∧ = Y E Q

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน

ทกประการ จะมขนาดเทากน) QOF

∧ = POE

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขาม

มขนาดเทากน) QF = PE (สมบตของการเทากน)

Z F Q

P

E X

O

Y

36

จะได ∆ QOF ≅ ∆ POE (ม.ม.ด.) OQ = OP (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) เนองจาก YO = YO ( YO เปนดานรวม) จะได ∆ YQO ≅ ∆ YPO (ด.ด.ด.) ดงนน P Y O

∧ = Q Y O

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน

ทกประการ จะมขนาดเทากน) นนคอ YO แบงครงมม X Y Z

∧

41

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม คาตอบแบบฝกหด 2.1

1. 1) (4, 3), (-4, -3) 2) ( − 2

9 , − 229 ), (2, 2)

3) (-5, -3), (5, 3) 4) (5, 2) 5) (1, 1) 6) (4, -2), (1, 1) 7) (-10, -4), (2, 2) 8) (-3, 1), ( 40

13 , − 2752 )

9) (-3, 4), (4, -3) 10) ไมมคาตอบ 2. 7

2 และ 52

3. 12 × 18 ตารางเซนตเมตร 4. 7 เซนตเมตร และ 5 เซนตเมตร

คาตอบกจกรรม “มเพยงคาตอบเดยว” 174

คาตอบกจกรรม “ใชกราฟหาคาตอบ”

1. (-3, 4), (0, 1) 2. (1, 0) 3. (-2, 0), (0, 2) 4. (0, 1) 5. (2, -1), (5, 2) 6. (-1, -1), (0, 0), (1, 1)

42

คาตอบแบบฝกหด 2.2 1. 1) (0, 2), (0, -2) 2) ( 2 , 3), ( 2 , -3), (- 2 , 3), (- 2 , -3) 3) ( 1

5 , − 115 ), ( − 1

5 , − 115 )

4) (-2, 3), (2, -3) 5) (2, 5 ), (2, – 5 ) 6) ( 2

3 , 32 )

7) (2, 152 ), (2, − 15

2 )

8) (1, 3), (1, -3), (-1, 3), (-1, -3) 9) ไมมคาตอบ

10) ( a , − a2 ), ( a , a

2 ), (– a , − a2 ), (– a , a

2 ) 2. 8 และ 12 3. 6 และ 5

3 4. 9 เซนตเมตร และ 12 เซนตเมตร

คาตอบกจกรรม “คดหนอยนะ” 1. 2ax + ah + b 2. ความยาวเปน 7 เซนตเมตร และความกวางเปน 2 เซนตเมตร

คาตอบกจกรรม “คาตอบจากกราฟ”

1. (1, 1), (-1, 1) 2. (1, 0), (-1, 0) 3 (0, 2), (0, -2) 4 (3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2) 5 (1, 1), (-1, -1) 6 (1, 1), (0, 1), (-1, 1)

คาตอบกจกรรม “คดดหนอย” 4 กบ 3 และ -3 กบ -4

43

แบบฝกหดเพมเตมและคาตอบ

44

แบบฝกหดเพมเตม 2.2

แบบฝกหดนจดไวเปนแบบฝกหดระคน เพอใชทบทวนความรเรองการแกระบบสมการและการนาไปใช แกโจทยปญหา

1. จงหาคาตอบของระบบสมการตอไปน 1) x + 2y = 1 x2 + xy = 28 [(7, -3) และ (-8, 9

2 )]

2) 3x – y = -9 3x2 – y2 = -33 [(-1, 6) และ (-8, -15)] 3) x2 – 3x – y = 6 2x – y = 0 [(6, 12) และ (-1, -2)] 4) 2xy – x2 = -95 3xy + x2 = -80 [(5, -7) และ (-5, 7)] 5) 4x2 – 5y2 = 1 5x2 + 4y2 = 61

16 [( 34 , 1

2 ), ( 34 , − 1

2 ), ( − 34 , 1

2 ) และ ( − 34 , − 1

2 ) ] 2. ผลบวกของจานวนสองจานวนเทากบ 208 และกาลงสองของผลตางของจานวนทงสองเทากบ 16,384 จงหาจานวนทงสองนน [40 และ 168] 3. ∆ABC เปนรปสามเหลยมมมฉากมความยาวรอบรป 70 เซนตเมตร ดานประกอบมมฉากดานหนง ยาว 20 เซนตเมตร ผลตางของกาลงสองของอกสองดานทเหลอเทากบ 400 จงหาพนทของ ∆ABC [210 ตารางเซนตเมตร] 4. จากรป ABCD เปนรปสเหลยมมมฉาก จด E และ จด F เปนจดกงกลางของ AB และ BC ตามลาดบ AC = 17 หนวย และความยาวรอบรปของ BEOF เทากบ 23 หนวย จงหาความยาวของ AB และ BC [15 และ 8 หนวย] 5. จากรป ABCD และ CEFG เปนรปสเหลยมจตรส พนท ของ ABCD มากกวาพนทของ CEFG เทากบ 458 ตารางหนวย อยากทราบวาความยาวของดานของ ABCD มากกวาความยาวของดานของ CEFG เทาไร [4 เซนตเมตร] A B

C D E

F G

A B

C D

F

E

O

52

6) ถาสรางเฉพาะเสนแบงครงมม A BC∧

มมเดยวจะหาจดศนยกลางของวงกลมไดหรอไม [ไมได] 7) นกเรยนตองสรางเสนแบงครงมมของรปสามเหลยมกมม จงจะไดตาแหนงของ จดศนยกลางของวงกลม [2 มม] 8) จาเปนตองสรางเสนแบงครงมมของมมทสามอกหรอไม เพราะเหตใด [ไมจาเปน เพราะจากการสรางเสนแบงครงมม 2 มมกสามารถพสจนไดแลววา DO = EO = FO และ DO , EO , FO แตละเสนจะตงฉากกบดานทงสามของ รปสามเหลยม ทาใหสรปไดวาจด E, F และ G เปนจดสมผสของวงกลม] 6. ทฤษฎบทในกจกรรม “เสนสมผสและคอรด” เปนอกทฤษฏบทหนงทมการนาไปใชมาก หลงจากนกเรยนตอบคาถามขอ 1 แลว ครควรใหนกเรยนพสจนเปนทฤษฎบทโดยทากจกรรมขอ 2 ดวย 7. สาหรบกจกรรม “ไกลแคไหน” มเจตนาใหเหนการนาความรเรองเสนสมผสไปใชเพอเชอมโยงกบความรทางภมศาสตรอกกจกรรมหนง ครอาจใหนกเรยนศกษาและทาเปนการบานกได แตควรไดมการอภปรายกนถงสถานการณปญหาทตองการใหเหนแนวคดในการหาสตรการคานวณ เพอใชในการคานวณระยะทางในทางภมศาสตรโดยประมาณ ครไมควรนาเรองนไปวดผล 8. สาหรบกจกรรม “ระยะรอบโลก” เปนอกกจกรรมหนงทตองการใหนกเรยนเหนการเชอมโยงความรทางคณตศาสตรกบภมศาสตร ตองการจดประกายใหนกเรยนเหนความสามารถของนกคณตศาสตร ในอดตทมความคดสรางสรรค เปนคนชางสงเกต ใฝร และมความพยายามในการแกปญหา นวนยายเรอง 80 วนรอบโลกเสนอไวในกจกรรมนเพอเสรมกจกรรมใหนาสนใจ ภาพยนตรเรองนสนก ตนเตน ครอาจหาภาพยนตรเรองนมาใหนกเรยนชมกได

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม

คาตอบกจกรรม “บอกไดไหม” 1. 1) หลายเสนนบไมถวน 2) ไมเปน เพราะรศมของวงกลมตดวงกลมทจดจดเดยว 3) หลายเสนนบไมถวน 4) ได 5) หลายเสนนบไมถวน 6) ไมได

53

2. 1) AC 2) AO, BO และ CO 3) AC, BC , CD และ DH 4) AC 5) EF 6) CF 7) ABC และ ADC

คาตอบกจกรรม “ยงบอกไดไหม” 1. A OB, BOC, A OC,

∧ ∧ ∧ มมกลบ AOB และมมกลบ BOC

2. A DC∧

3. BAC, BA D, CA D, A DB, A DC, BDC, ACD

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ และ A BD

∧

4. AB, BC, ABC , ADC , ADB หรอ ACB , BAC หรอ BDC 5. ABC 6. BC, BD, CD, AB, AC และ AD

คาตอบกจกรรม “มมในครงวงกลม” คาตอบในกจกรรม 4. 90o 5. ใช คาตอบแบบฝกหด 1. 25o 2. 55o 3. 37o

54

คาตอบแบบฝกหด 3.2 ก 1. 54o แนวคดในการใหเหตผล 1. A BC

∧ = 180 – 90 – 18 = 72o

2. A OD∧

= A BC∧

= 72o (ถาเสนตรงสองเสนขนานกน และมเสนตด แลวมมภายนอกและมมภายในทอยบน ขางเดยวกนของเสนตด มขนาดเทากน) 3. ∆ ADO เปนรปสามเหลยมหนาจว 4. A DO

∧ = DA O

∧ = 180 72

2− = 54o

2. แนวคดในการพสจน 1. A BC

∧ = BA D

∧ = CDA

∧ = DCB

∧ = 90o

(มมในครงวงกลมมขนาด 90 องศา) 2. ABCD เปนรปสเหลยมมมฉาก 3. แนวคดในการพสจน 1. ∆ ABC ≈ ∆ ADC (ม.ม.ด.) 2. AB = AD (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

คาตอบกจกรรม “มมทจดศนยกลาง” คาตอบในกจกรรม 3. ได 4. ขนาดของมมทจดศนยกลางเปนสองเทาของขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวย สวนโคงเดยวกน

18o O B

C D

A

A

B

D

C

B

D C

A

55

6. ได 7. ไดเชนเดยวกน 8. จากรป ข ได A OB

∧ = 2( ACB

∧)

จากรป ค ได มมกลบ AOB = 2( ACB∧

) 9. ใช คาตอบแบบฝกหด 1. 45o 2. 55o 3. แตละมมมขนาด 40o 4. 1) 200o 2) 160o 3) 80 o 4) 180o 5) 180 o

คาตอบแบบฝกหด 3.2 ข 1. 122.5o แนวคดในการใหเหตผล 1. มมกลบ AOB = 360 – 115 = 245o 2. มมกลบ AOB = 2( ACB

∧) = 245o

(มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 3. ACB

∧ = 245

2 = 122.5o (สมบตของการเทากน)

B 115o

C A

O

56

2. แนวคดในการพสจน ลาก DO และ BO 1. D O B

∧ = 2( DA B

∧) และมมกลบ DOB = 2( DCB

∧)

(มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 2. 2( DA B

∧) + 2( DCB

∧) = DOB

∧ + มมกลบ DOB = 360o

3. DA B∧

+ DCB∧

= 180o (สมบตของการเทากน) ในทานองเดยวกนสามารถพสจนไดวา A BC

∧ + A DC

∧ = 180o

3. แนวคดในการพสจน 1. BA D

∧ + DCB

∧ = 180o (ผลบวกของขนาดของมม

ตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา) 2. DCB

∧ + BCE


3. BCE∧

= BA D∧

(สมบตของการเทากน)

คาตอบกจกรรม “มมในสวนโคงของวงกลม” คาตอบในกจกรรม 1. A OC

∧ = 2( A BC

∧)

2. A OC∧

= 2( A DC∧

) 3. A BC

∧ = A DC

∧

4. มมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะมขนาดเทากน 5. ใช คาตอบแบบฝกหด 1. 62o 2. 75o 3. 29o 4. 53o

A

O B

D C

A B

D

C E

57

คาตอบแบบฝกหด 3.2 ค 1. แนวคดในการพสจน ลาก AO และ CO 1. A OC

∧ = 2( A BC

∧) และ A OC

∧ = 2( A DC

∧)

(มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 2. 2( A BC

∧) = 2( A DC

∧) (สมบตของการเทากน)

3. A BC∧

= A DC∧

(สมบตของการเทากน) 2. 76o แนวคดในการใหเหตผล 1. BCD

∧ = A BC

∧ = 50o (ถาเสนตรงสองเสนขนานกน

และมเสนตด แลวมมแยงมขนาดเทากน) 2. BA D

∧ = BCD

∧ = 50o (มมในสวนโคงของวงกลมท

รองรบดวยสวนโคงเดยวกนจะมขนาดเทากน) 3. BAC

∧ = 50 + 26 = 76o

3. 36o 4. แนวคดในการพสจน พจารณา ∆ ABX และ ∆ CDX 1. A B X

∧ = C D X

∧ และ BA X

∧ = D C X

∧

(มมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะมขนาดเทากน) 2. A X B

∧ = C X D

∧ (ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลว

มมตรงขามมขนาดเทากน)

A

B D

C

O

X

B D

C A

C

50 °

26 ° A

D

B

58

3. ∆ ABX ∼ ∆ CDX ----- ขอ 1 (ถารปสามเหลยมสองรปมขนาดของมมเทากนเปนค ๆ สามค แลวรปสามเหลยมสองรปนนเปนรปสามเหลยมท คลายกน) 4. BX

DX = AXCX (สมบตของรปสามเหลยมคลาย) ----- ขอ 2

5. BX CX⋅ = DX AX⋅ (สมบตการคณไขวของอตราสวน) ----- ขอ 3

คาตอบกจกรรม “มมและสวนโคงทรองรบมม” 1. 2) ทบกนไดสนท 3) เทากน 4) ถามมทจดศนยกลางของวงกลมมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทงสองนนจะ ยาวเทากน 5) ใช 2. 2) ทบกนไดสนท 3) เทากน 4) ถามมทจดศนยกลางของวงกลมมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทงสองนนจะ ยาวเทากน 5) ใช 3. 1) (1) เทากน (2) เทากน (3) ถามมในสวนโคงของวงกลมมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทงสองนนจะ ยาวเทากน (4) ใช (5) แนวคดในการพสจน

59

A

B O

C

D

พจารณา วงกลม O และวงกลม R ทเทากนทกประการ 1. A CB

∧ = E DF


2. A OB∧

= 2( ACB∧

) และ E R F∧

= 2( E DF∧

) (มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 3. A OB

∧ = E R F


4. m(AB) = m(EF) (ในวงกลมทเทากนทกประการ ถามมทจดศนยกลางมขนาด เทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางนนจะยาว เทากน)

2) แนวคดในการพสจน ลาก AO , BO และ DO 1. A CB

∧ = ACD


2. A OB∧

= 2( ACB∧

) และ A OD∧

= 2( ACD∧

) (มมทจดศนยกลางของวงกลม จะมขนาดเปนสองเทาของ ขนาดของมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคง เดยวกน) 3. A OB

∧ = A OD


4. m(AB) = m(AD) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมท จดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมท จดศนยกลางนนจะยาวเทากน)

คาตอบกจกรรม “มมและสวนโคงทรองรบมม (ตอ)” 1. 2) ทบกนไดสนท 3) เทากน 4) ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงนนจะมขนาด เทากน

A B

O

C

E F

R

D

60

5) ใช 2. 2) ทบกนไดสนท 3) เทากน 4) ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงนนจะมขนาด เทากน 5) ใช

3. 1) แนวคดในการพสจน พจารณาวงกลม O และวงกลม R ทเทากนทกประการ ลาก AO , BO , DR และ FR 1. m(AB) = m(DF) (กาหนดให) 2. A OB

∧ = DR F

∧ (ในวงกลมทเทากนทกประการ

ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 3. 2( ACB

∧) = 2( DE F

∧) (มมทจดศนยกลางของวงกลม

จะมขนาดเปนสองเทาของขนาดของมมในสวนโคงของ วงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน) 4. ACB

∧ = DE F


2) แนวคดในการพสจน ลาก AO , BO และ CO 1. m(AB) = m(AC) (กาหนดให) 2. A OB

∧ = A OC

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคง

ยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางทรองรบดวยสวนโคงนน จะมขนาดเทากน) 3. 2( ACB

∧) = 2( A BC

∧) (มมทจดศนยกลางของวงกลม

จะมขนาดเปนสองเทาของขนาดของมมในสวนโคงของ วงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน) 4. ACB

∧ = A BC


A

B O

C

A

B

O

C

D

F

R

E

61

คาตอบแบบฝกหด 3.2 ง 1. A BC

∧ = 95o และ BCD

∧ = 82o

แนวคดในการใหเหตผล 1. A DC

∧ + A BC

∧ = 180o (ผลบวกของขนาดของ

มมตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา) 2. A BC

∧ = 180 – 85 = 95o

3. BA D∧

+ BCD∧

= 180o (ผลบวกของขนาดของ มมตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา) 4. BCD

∧ = 180 – 98 = 82o

2. A DB

∧ = 25o และ A E B

∧ = 25o

แนวคดในการใหเหตผล 1. A DB

∧ = ACB

∧ = 25o (ในวงกลมวงเดยวกน มมใน

สวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะม ขนาดเทากน) 2. A E B

∧ = ACB

∧ = 25o (ในวงกลมวงเดยวกน มมใน

สวนโคงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะม ขนาดเทากน) 3. m(DE) แนวคดในการใหเหตผล 1. BAC

∧ = E A D


2. m(BC) = m(DE) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมใน สวนโคงของวงกลมมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบ มมทงสองนนจะยาวเทากน)

B

C

A D 98o

85o

A

D B

E

25o

C

D B

E

C

A

62

4. BDC∧

= 60o และ CA D∧

= 50o 5. A DC

∧ = 43o และ BCD

∧ = 43o

6. A OC∧

= 70o และ BOD∧

= 70o 7. แนวคดในการพสจน 1. m(AD) = m(BC) (กาหนดให) 2. A BD

∧ = CDB

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคงยาว

เทากน แลวมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 3. AB // CD (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาให มมแยงมขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน) 8. แนวคดในการพสจน 1. m(BD) = m(BC) (กาหนดให) 2. m(ADB) = m(ACB) (สวนโคงครงวงกลมของวงกลม วงเดยวกน ยาวเทากน) 3. m(ADB) – m(BD) = m(ACB) – m(BC) หรอ m(AD) = m(AC) (สมบตของการเทากน) 4. ACD

∧ = A DC


ยาวเทากน แลวมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 5. AD = AC (ถามมสองมมของรปสามเหลยมรปหนง มขนาดเทากน แลวดานทอยตรงขามมมทงสองนนจะยาว เทากน) 6. ∆ ADC เปนรปสามเหลยมหนาจว 9. แนวคดในการพสจน 1. m(AX) = m(DX) (กาหนดให) 2. A O X

∧ = DO X


ยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางทรองรบดวยสวนโคงนน จะมขนาดเทากน)

C

A

B

D

B

C

A

D

B C

A D

O

X

63

3. A OC∧

= BOD∧

(ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลว มมตรงขามมขนาดเทากน) 4. A OC

∧ + A O X

∧ = BOD

∧ + DO X

∧

(สมบตของการเทากน) 5. ∆ COX ≅ ∆ BOX (ด.ม.ด.) 10. แนวคดในการพสจน ลาก AO, BO, CO, DO และ EO 1. A OB

∧ + BOC

∧ + COD

∧ + DOE

∧ + E OA

∧ = 360o

(มมรอบจดจดหนงมขนาดเทากบ 360 องศา) 2. 2( A DB

∧) + 2( BEC

∧) + 2( CA D

∧) + 2( DBE

∧) + 2(

∧ECA )

= 360o (สมบตของการเทากน) 3. A DB

∧ + BEC

∧ + CA D

∧ + DBE

∧ + ACE

∧ = 180o

(สมบตของการเทากน) 4. A

∧ + B

∧ + C∧

+ D∧

+ E∧

= 180o

คาตอบกจกรรม “คอรดและสวนโคงของวงกลม” 1. 1) เทากนทกประการ เพราะ AO = CO, BO = DO และ AB = CD ดงนน ∆ AOB ≅ ∆ COD (ด.ด.ด.) 2) เทากน เพราะ มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน 3) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงท รองรบมมทจดศนยกลางนนจะยาวเทากน 4) เทากน เพราะ ความยาวของแตละสวนโคงเกดจากความยาวของเสนรอบวงของวงกลม ลบดวยความยาวทเทากนของสวนโคงของวงกลม 5) ใช 6) ใช

B

C

A

D

E O

64

7) แนวคดในการพสจน กาหนดให วงกลม O และวงกลม R เทากนทกประการ คอรด AB และคอรด DE ยาวเทากน ลาก AO, BO, DR และ ER 1. ∆ AOB ≅ ∆ DRE (ด.ด.ด.) 2. A OB

∧ = DR E

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยม

ทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน) 3. m(AB) = m(DE) (ในวงกลมทเทากนทกประการ ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบ มมทจดศนยกลางนนจะยาวเทากน) 4. m(AB) + m(ACB) = m(DE) + m(DFE) (ตางกมความยาวเทากบความยาวของเสนรอบวงของวงกลม ทเทากนทกประการ) 5. m(ACB) = m(DFE) (สมบตของการเทากน) 2. 1) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางท รองรบดวยสวนโคงนนจะมขนาดเทากน 2) เทากนทกประการ เพราะ AO = CO, BO = DO และ A OB

∧ = COD

∧ (ด.ม.ด.)

3) AB = CD เพราะ ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน 4) ใช 5) ใช 6) แนวคดในการพสจน กาหนดใหวงกลม O และวงกลม R เทากนทกประการ และ m(AB) = m(DE) ลาก AO, BO, DR และ ER 1. m(AB) = m(DE) (กาหนดให) 2. A OB

∧ = DR E

∧ (ในวงกลมทเทากนทกประการ

ถาสวนโคงยาวเทากน แลวมมทจดศนยกลางทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 3. ∆ AOB ≅ ∆ DRE (ด.ม.ด.)

B A

C

O

E D

F R

B A

C

O

E D

F R

65

4. AB = DE (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

คาตอบกจกรรม “รปหลายเหลยมดานเทามมเทาแนบในวงกลม” คาตอบแบบฝกหด 1. 1) ยาวเทากน 2) ตงฉากกนและแบงครงซงกนและกน 3) แนวการสราง 1. สรางวงกลม O ใหมรศมยาวเทากบ 10

2 = 5 เซนตเมตร 2. ลาก AB เปนเสนผานศนยกลาง 3. สราง XY ตงฉากกบ AB ทจด O ตดวงกลมทจด C และจด D 4. ลาก AC, BC, BD และ AD จะได ADBC เปนรปสเหลยมจตรสทมเสนทแยงมม AB ยาว 10 เซนตเมตร

A B

C

D

O 5 ซม.

Y

X

66

2. 2) เปน 3) (1) เปน เพราะ ความยาวของแตละดานเทากบรศมของวงกลม (2) 60o เพราะ เปนขนาดของมมภายในแตละมมของรปสามเหลยมดานเทา (3) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางนนจะยาวเทากน (4) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตดวงกลมทาใหได สวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนนจะยาวเทากน (5) 60o เพราะ F O A

∧ มขนาดเทากบขนาดของมมรอบจด O ลบดวยผลบวก

ของขนาดของมมในขอ (2) FOA∧

= 360 – (5 × 60) (6) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางนนจะยาวเทากน (7) เทากน เพราะ ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตดวงกลมทาใหได สวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนนจะยาวเทากน (8) เปน เพราะ ทกดานมความยาวเทากน (9) 120o เพราะ แตละมมมขนาดเทากบผลบวกของขนาดของมมภายในสองมม ของรปสามเหลยมดานเทาทเรยงตอกน (10) เปน 4) (1) 120 o (2) 720 o คาตอบแบบฝกหด 1) 3 มม แตละมมมขนาด 120 o 2) 8 มม แตละมมมขนาด 45 o 3) 12 มม แตละมมมขนาด 30 o 4) 16 มม แตละมมมขนาด 22.5 o

67

คาตอบแบบฝกหด 3.3 ก 1. แนวคดในการพสจน 1. m(AB) = m(AC) (กาหนดให) 2. AB = AC (ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตด วงกลม ทาใหไดสวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสอง นนจะยาวเทากน) 3. ∆ ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว (มดานประกอบมมยอดยาวเทากน) 2. แนวคดในการพสจน 1. m(AB) = m(BC) (กาหนดให) 2. AB = BC (ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตด วงกลม ทาใหไดสวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนน จะยาวเทากน) 3. A DB

∧ =

∧CE B (ในวงกลมวงเดยวกน ถาสวนโคงยาว

เทากน แลวมมในสวนโคงของวงกลมทรองรบดวย สวนโคงนนจะมขนาดเทากน) 4. ∆ ABD ≅ ∆ CBE (ม.ม.ด.) 5. BD = BE (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 3. แนวการสราง 1. สรางวงกลม O โดยใชรศมยาวพอสมควร 2. สราง A OB

∧ และ BOC

∧ ใหแตละมมมขนาด 120o

3. ลาก AB, BC และ AC จะได ∆ ABC เปนรปสามเหลยมดานเทา

C

A

B

A C

D E

O

B

O A

B

C

68

แนวคดในการพสจน 1. A OB

∧ = BOC

∧ = 120o (จากการสราง)

2. จะได A OC∧

= 120o (ขนาดของมมรอบจดจดหนงเทากบ 360 องศา) 3. m(AB) = m(BC) = m(CA) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาด เทากน แลวสวนโคงทรองรบมมทจดศนยกลางนนจะ ยาวเทากน) 4. AB = BC = CA (ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตดวงกลมทาใหได สวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนนจะยาวเทากน) 5. ∆ ABC เปนรปสามเหลยมดานเทา 4. แนวการสราง 1. สรางวงกลม O โดยใชรศมยาวพอสมควร 2. ลากเสนผานศนยกลาง AE 3. สราง PQ แบงครง A OE

∧ ตดวงกลมทจด C และจด G

จะได A OC∧

= 90o 4. สราง XY แบงครง A OC

∧ ตดวงกลมทจด B และจด F

จะได A OB∧

= 45o 5. สราง MN แบงครง COE

∧ ตดวงกลมทจด D และจด H

จะได COD∧

= 45o 6. ลาก AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH และ HA จะไดรป ABCDEFGH เปนรปแปดเหลยมดานเทามมเทา

แนวคดในการพสจน 1. A OB

∧ = BOC

∧ = COD

∧ = DOE

∧ = E OF

∧ = FOG

∧ = G OH

∧ = H OA

∧ = 45o

(จากการสราง และถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวมมตรงขามจะมขนาดเทากน) 2. m(AB) = m(BC) = m(CD) = m(DE) = m(EF) = m(FG) = m(GH) = m(HA) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมทจดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมท จดศนยกลางนนจะยาวเทากน)

C P

D

E

F G

H

A

B X

N

Q

Y

M

O

69

3. AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH = HA (ในวงกลมวงเดยวกน ถาคอรดสองคอรดตดวงกลมทาใหไดสวนโคงยาวเทากน แลวคอรด ทงสองนนจะยาวเทากน) 4. รป ABCDEFGH เปนรปแปดเหลยมดานเทา (มดานยาวเทากนทกดาน) 5. ∆ AOB, ∆ BOC, ∆ COD, ∆ DOE, ∆ EOF, ∆ FOG, ∆ GOH และ ∆ HOA แตละรปเปนรปสามเหลยมหนาจวทมมมยอดขนาด 45 องศา 6. มมทฐานของรปสามเหลยมหนาจวแตละรปมขนาดเทากบ 180 45

2− = 67.5 องศา

(ขนาดของมมภายในทงสามมมของรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา) 7. A BC

∧ = BCD

∧ = CDE

∧ = DE F

∧ = E F G

∧ = FG H

∧ = G H A

∧ = H A B

∧ = 67.5 × 2 = 135o

8. จะไดรป ABCDEFGH เปนรปแปดเหลยมดานเทามมเทา (จากขอ 4 และขอ 7) 5. แนวการสรางและพสจนทาไดในทานองเดยวกบขอ 3 จากรปการสรางขางลางน จะได รป ABCDEFGHIJKL เปนรปสบสองเหลยมดานเทามมเทา

คาตอบกจกรรม “คอรดกบจดศนยกลางของวงกลม” 1. แนวคดในการพสจน 1. ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ฉ.ด.ด.) 2. AX = BX (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน)

B A

O

X

30o O A

B C D E

F

G

H

I J K

L

70

2. แนวคดในการพสจน 1. ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ด.ด.ด.) 2. A X O

∧ = B X O

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมท

เทากนทกประการ จะมขนาดเทากน) 3. A X B

∧ = A X O

∧ + B X O


4. A X O∧

= B X O∧

= 90o (จากขอ 2 และขอ 3) คาตอบแบบฝกหด 1. 16 เซนตเมตร 2. 13 เซนตเมตร 3. 3.9 เซนตเมตร 4. 1) 21 เซนตเมตร 2) มลกษณะเปนวงกลม

คาตอบกจกรรม “หาจดศนยกลาง”

1. แนวคด 1. สรางเสนตรง 1 ตงฉากและแบงครง AB 2. สรางเสนตรง 2 ตงฉากและแบงครง BC 3. ใหเสนตรง 1 ตดกบเสนตรง 2 ทจด O จะไดจด O เปนจดศนยกลางของวงกลม

B A

O

X

O

1

2 A B

C

71

2. ถาคอรด AB และคอรด CD ขนานกน เสนตรง 1 และ 2 ทเปนเสนตงฉากและแบงครงคอรดทงสอง จะทบกนเปนเสนตรงเดยวกน จงไมสามารถหาจดตด ทเปนจดศนยกลางของวงกลม

คาตอบกจกรรม “วงกลมผานจดทกาหนด” 1. สรางวงกลมผานจด A ไดจานวนวงกลมนบไมถวน และจดศนยกลางของวงกลมเหลานนเปนจดตาง ๆ บนระนาบ 2. สรางวงกลมผานจด A และจด B ไดจานวนวงกลม นบไมถวน และจดศนยกลางของวงกลมเหลานนจะเรยง อยบนเสนตรงทตงฉากและแบงครง AB 3. ตวอยางการสราง สรางวงกลมผานจด A, B และ C ไดวงเดยวและ จดศนยกลางของวงกลมอยทจดตดของเสนตรงสองเสน ซงเปนเสนตรงทตงฉากและแบงครงสวนของเสนตรง สองเสนทเชอมสองจดใด ๆ ของจด A, B และ C

A B

O1 O2

O3

A B

C

B A

D C

1

2

72

4. สรางไมได 5. สรางไมได

คาตอบกจกรรม “รปสเหลยมแนบในวงกลม” 1. 180o เพราะ กาหนดให 2. 180o เพราะ ผลบวกของขนาดของมมภายในทงสมมของรปสเหลยมใด ๆ เทากบ 360 องศา 3. 180o เพราะ ผลบวกของขนาดของมมตรงขามของรปสเหลยมทแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา 4. เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 5. ได เพราะ สมบตของการเทากน

คาตอบแบบฝกหด 3.3 ข 1. แนวการสรางและแนวการพสจน ทาไดในทานอง เดยวกนกบกจกรรม “จดศนยกลางวงลอม” ในหนงสอเรยนหนา 121 – 122 2. ใหจด A, B และ C เปนตาแหนงของโรงเรยน โรงพยาบาล และทารถประจาทาง ตามลาดบ เมอใชแนวการสราง และแนวการพสจนในทานอง เดยวกนกบกจกรรม “จดศนยกลางวงลอม” ใน หนงสอเรยน หนา 121 – 122 จะไดตาแหนงทสรางตลาดสดอยทจดศนยกลางของ วงกลม ทผานจด A, B และ C

A

B

C

O F

E 1

2

A

B

C

E

F O

2

1

73

3. กาหนดจด A, B และ C บนขอบจานทจดเหลานไมอยใน แนวเสนตรงเดยวกน เมอใชแนวการสราง และแนวการพสจนในทานองเดยวกนกบ กจกรรม “จดศนยกลางวงลอม” ในหนงสอเรยนหนา 121 – 122 จะไดจดศนยกลางของจานซงทาใหหาความยาวของรศมของ จานได ตอจากนนจงใชความยาวของรศมหาความยาวของ เสนรอบจาน 4. แนวคดในการพสจน 1. ODC

∧ = OEC

∧ = 90o (กาหนดให)

2. ODC∧

+ OEC∧

= 180o (จากขอ 1) 3. ODCE แนบในวงกลมได (ถารปสเหลยมใด ๆ ม ผลบวกของขนาดของมมตรงขามเทากบสองมมฉาก แลว รปสเหลยมนนแนบในวงกลมวงหนงได) 5. แนวคดในการพสจน 1. ให A BD

∧ มขนาดเปน xo

2. จะได DBC∧

= 2xo (กาหนดให) 3. A BD

∧ = A DB

∧ = xo (มมทฐานของรปสามเหลยม

หนาจวมขนาดเทากน) 4. DBC

∧ = DCB

∧ = 2xo (มมทฐานของรปสามเหลยม

หนาจวมขนาดเทากน) 5. จะได DA B

∧+ BCD

∧ = (180 – 2x) + 2x = 180o

6. ABCD แนบในวงกลมได (ถารปสเหลยมใด ๆ ม ผลบวกของขนาดของมมตรงขามเทากบสองมมฉาก แลว รปสเหลยมนนแนบในวงกลมวงหนงได)

B

C

D O E A

A (180 – 2x)o

xo 2xo C

D

B xo 2xo

A B

C O

74

คาตอบกจกรรม “คอรดทยาวเทากน” 1. 1) เทากน เพราะ สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของวงกลมและตงฉากกบคอรด ทไมใชเสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด 2) เทากน 3) เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 4) เทากนทกประการ เพราะ OE B

∧ = O FC

∧ = 90o, OB = OC และ BE = CF (ฉ.ด.ด.)

5) เทากน เพราะ ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน 6) เทากน 7) ใช 2. 1) เทากนทกประการ เพราะ OE B

∧ = O FC

∧ = 90o, OB = OC และ OE = OF

(ฉ.ด.ด.) 2) เทากน เพราะ ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากนทกประการ จะยาวเทากน 3) เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 4) เทากน เพราะ สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของวงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใช เสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด 5) เทากน เพราะ สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของวงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใช เสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด 6) เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 7) ใช

คาตอบแบบฝกหด 3.3 ค 1. 5 เซนตเมตร 2. แนวคดในการพสจน 1. AD = BD (สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของ วงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใชเสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด) 2. ∆ ACD ≅ ∆ BCD (ด.ม.ด.)

D B A

C

O

75

D B

A C

O

F E P

3. AC = BC (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 4. AC และ BC อยหางจากจด O เทากน (ในวงกลมวงหนง ถาคอรดสองเสนยาวเทากน แลวคอรด ทงสองนนจะอยหางจากจดศนยกลางของวงกลมเปนระยะ เทากน) 3. แนวคดในการพสจน ลาก OP 1. OE = OF (ในวงกลมวงหนง ถาคอรดสองเสนยาว เทากน แลวคอรดทงสองนนจะอยหางจากจดศนยกลางของ วงกลมเปนระยะเทากน) 2. ∆ OEP ≅ ∆ OFP (ฉ.ด.ด.) 3. EP = FP (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 4. BE = DF (ตางกยาวเปนครงหนงของคอรดทยาวเทากน) 5. BE + EP = DF + FP (สมบตของการเทากน) 6. BP = DP (สมบตของการเทากน) 4. แนวคดในการพสจน ให O เปนจดศนยกลางของวงกลม ลาก OE และ OF ตงฉาก กบ AB และ CD ทจด E และจด F ตามลาดบ ลาก OP 1. OE = OF (ในวงกลมวงหนง ถาคอรดสองเสนยาว เทากน แลวคอรดทงสองนนจะอยหางจากจดศนยกลางของ วงกลมเปนระยะเทากน) 2. ∆ OEP ≅ ∆ OFP (ฉ.ด.ด.) 3. EP = FP (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยมทเทากน ทกประการ จะยาวเทากน) 4. BE = DF (ตางกยาวเปนครงหนงของคอรดทยาวเทากน) 5. EP – BE = FP – DF (สมบตของการเทากน) 6. BP = DP (สมบตของการเทากน)

B A

C D

P

E

F

O

76

5. แนวคดในการพสจน ลาก OE และ OF ตงฉากกบ AB และ CD ทจด E และจด F ตามลาดบ ลาก OB และ OD 1. จาก ∆ OEB จะได OB2 = OE2+EB2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) 2. จาก ∆ OFD จะ ได OD2 = OF2+FD2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) 3. OB = OD (รศมของวงกลมเดยวกนยาวเทากน) 4. OB2 = OD2 (สมบตของการเทากน) 5. OE2 + EB2 = OF2 + FD2 (สมบตของการไมเทากน) 6. AB > CD (กาหนดให) 7. AB

2 > CD2 (สมบตของการไมเทากน)

8. EB = AB2 และ FD = CD

2 (สวนของเสนตรงซงผาน จดศนยกลางของวงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใช เสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด) 9. EB > FD (จากขอ 7 และขอ 8) 10. EB2 > FD2 (EB และ FD เปนจานวนบวก) 11. OE2 < OF2 (จากขอ 5 และขอ 10) 12. OE < OF (OE และ OF เปนจานวนบวก) 13. AB อยใกลจดศนยกลางของวงกลมมากกวา CD 6. แนวคดในการพสจน สาหรบกรณวงกลมวงหนง ให O เปนจดศนยกลางของวงกลม AB เปนคอรดทอยใกล จด O มากกวาคอรด CD ลาก OE และ OF ตงฉากกบ AB และ CD ทจด E และจด F ตามลาดบ ลาก OB และ OD 1. จาก ∆ OEB จะได OB2 = OE2+EB2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) 2. จาก ∆ OFD จะ ได OD2 = OF2+FD2 (ทฤษฎบทพทาโกรส) 3. OB = OD (รศมของวงกลมเดยวกนยาวเทากน) 4. OB2 = OD2 (สมบตของการเทากน) 5. OE2 + EB2 = OF2 + FD2 (สมบตของการเทากน) 6. OE < OF (กาหนดให) 7. OE2 < OF2 (OE และ OF เปนจานวนบวก)

D

B A

C

O

E

F

D

B A

C

O

E

F

77

8. EB2 > FD2 (จากขอ 5 และขอ 7) 9. EB > FD (EB และ FD เปนจานวนบวก) 10. 2(EB) > 2(FD) (สมบตของการไมเทากน) 11. AB > CD (สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของ วงกลมและตงฉากกบคอรดทไมใชเสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรด)

สาหรบกรณวงกลมทเทากนทกประการ จะใชแนวคดในการพสจนทานองเดยวกน

คาตอบกจกรรม “เสนสมผสวงกลมและรศม” 1. เปน 3. ตงฉาก 4. ตงฉาก 5. ใช

คาตอบในกจกรรม 1) PC 2) เปน

คาตอบกจกรรม “เสนสมผสวงกลมและรศม (ตอ)”

คาตอบในกจกรรม 1. (1) ตงฉาก เพราะ ไดสรางให XY ตงฉากกบ OB ทจด A (2) เปน เพราะ เสนตรงทตงฉากกบรศมของวงกลมทจดจดหนงบนวงกลม จะเปนเสนสมผสวงกลมทจดนน

C B

O D X

Y A

78

2. (1) เปน (2) 90o เพราะ แตละมมเปนมมในครงวงกลม R ซงมมในครงวงกลม มขนาด 90 องศา (3) ตงฉาก เพราะ OA X

∧ = 90o และ OBX

∧ = 90o

(4) สมผสวงกลม O เพราะ เสนตรงทตงฉากกบรศมของวงกลมทจดจดหนงบน วงกลม จะเปนเสนสมผสวงกลมทจดนน (5) สองจด (6) เทากน เพราะ OA X

∧ =

∧OBX = 90o (จากขอ (2))

OX = OX ( OX เปนดานรวม) AO = BO (รศมของวงกลมเดยวกนยาวเทากน) จะได ∆ AOX ≅ ∆ BOX (ฉ.ด.ด.) ดงนน AX = BX (ดานคทสมนยกนของรปสามเหลยม ทเทากนทกประการ จะยาวเทากน) คาตอบแบบฝกหด (หนา 135)

1. แนวการสราง ทาไดในทานองเดยวกนกบในขอ 1 ของ กจกรรม “เสนสมผสวงกลมและรศม (ตอ)” ในหนงสอเรยน หนา 132 – 133 2. แนวการสราง ทาไดในทานองเดยวกนกบในขอ 2 ของ กจกรรม “เสนสมผสวงกลมและรศม (ตอ)” ในหนงสอเรยน หนา 132 – 133

P

Q

O R X

A

B

X O

A

P B

A

B

O X P

Q

R

79

3. 1) 63o 2) 117 o

คาตอบแบบฝกหด 3.4 ก

1. 17 เซนตเมตร 2. 104o 3. 130o 4. 55o 5. 40o 6. 40o 7. แนวคดในการพสจน 1. Y A O

∧ = PBO

∧ = 90o (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบ

รศมของวงกลมทจดสมผส) 2. XY // PQ (ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง ทาให มมแยงมขนาดเทากน แลวเสนตรงคนนขนานกน) 8. แนวคดในการพสจน ลาก CO และ DO 1. EX AB⊥ (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบรศมของ วงกลมทจดสมผส) 2. E X B

∧ = 90o (จากขอ 1)

3. C Y X∧

= E X B∧

= 90o (ถาเสนตรงสองเสนขนานกน และมเสนตด แลวมมแยงมขนาดเทากน) 4. ∆ CYO ≅ ∆ DYO (ฉ.ด.ด.) 5. CO Y

∧ = DO Y

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยม

ทเทากนทกประการ จะมขนาดเทากน)

A B O

P

Y Q

X

A B

O

C D Y E

X

80

6. m(CE) = m(DE) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมท จดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมท จดศนยกลางนนจะยาวเทากน) 9. แนวคดในการพสจน 1. BAC

∧ + CA Y


รศมของวงกลมทจดสมผส) 2. ACB

∧ = 90o (มมในครงวงกลมมขนาด 90 องศา)

3. CA Y∧

+ A Y B∧

= 90o (ขนาดของมมภายในทงสามมม ของรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา) 4. BAC

∧ + CA Y

∧ = CA Y

∧ + A Y B

∧ = 90o

(สมบตของการเทากน) 5. BAC

∧ = A Y B


10. แนวคดในการพสจน 1. A BO

∧ = ACO


รศมของวงกลมทจดสมผส) 2. OA = OA ( OA เปนดานรวม) 3. AB = AC (สวนของเสนตรงทลากมาจากจดจดหนง ภายนอกวงกลมมาสมผสวงกลมวงเดยวกน จะยาวเทากน) 4. ∆ ABO ≅ ∆ ACO (ฉ.ด.ด.) 5. A OB

∧ = A OC

∧ (มมคทสมนยกนของรปสามเหลยมท

เทากนทกประการ จะมขนาดเทากน) 11. แนวคดในการพสจน ลาก BO และ CO 1. A OB

∧ = A OC

∧ (จากการพสจนในขอ 10)

2. BOD∧

+ A OB∧

= COD∧

+ A OC∧

= 180o (ขนาดของมมตรง) 3. BOD

∧ = COD


A

B

O C

Y X

B

C

O

A

A

B

O D

C

81

4. m(BD) = m(CD) (ในวงกลมวงเดยวกน ถามมท จดศนยกลางมขนาดเทากน แลวสวนโคงทรองรบมมท จดศนยกลางนนจะยาวเทากน) 5. BD = CD (ในวงกลมวงหนง ถาคอรดสองคอรดตด วงกลมทาใหไดสวนโคงยาวเทากน แลวคอรดทงสองนน จะยาวเทากน) 12. แนวคดในการพสจน ลาก BO และ CO 1. ∆ BOC เปนรปสามเหลยมหนาจว (มดานประกอบมมยอดยาวเทากน) 2. A OB

∧ = A OC

∧ (จากการพสจนในขอ 10)

3. OD ทแบงครงมมยอดของ ∆ OBC จะตงฉากและแบงครง BC (สมบตของรปสามเหลยมหนาจว)

คาตอบกจกรรม “ลองคดด”

เครองหมายกาชาดมพนท r2 17 2−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ตารางหนวย

แนวคด ลาก DX ตด OA ทจด E จะได ODE เปนรปสามเหลยมมมฉาก ให DE = a จะได OE = a, DX = QX = 2a

จาก ∆ ODE จะได a2 + a2 = 2r

4

2a2 = 2r

4

A

B

O D

C

A

B C

O D

Y X Q P r a E

r2

a

82

a = r2 2

หนวย

ฉะนน DX = QX = 2a = r2

หนวย

พนทของรปกาชาด = (PY)(DX) + (PQ + XY)(DX) ตารางหนวย = (DX)(PY + PQ + XY) ตารางหนวย และจะไดวา PY = 2 22 r a− (สวนของเสนตรงซงผานจดศนยกลางของวงกลม และตงฉากกบคอรดทไมใชเสนผานศนยกลาง จะแบงครงคอรดนน) PQ + XY = 2 22 r a 2a− −

ดงนนพนทของรปกาชาด = 2a( )2 2 2 2+2 r a 2 r a 2a− − −

= 2a( )2 24 r a 2a− −

= r2

22 r r4 r 8 2

− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2 27r4r r 8 22

−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= 24 r r 7 r

22 2 2−

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 2 24 7 r r

4 2−

= r2 1

7 2−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ตารางหนวย

คาตอบกจกรรม “นาร”

14 องศา

83

คาตอบกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม” คาตอบแบบฝกหด 1. แนวการสราง ทาไดในทานองเดยวกนกบกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม” ในหนงสอเรยน หนา 141 2. แนวการสราง ทาไดในทานองเดยวกนกบกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม” ในหนงสอเรยน หนา 141

6

D

O

C B

A

10 8

O

Q R

P

C

D

84

จากรป ให CE = x หนวย และ BF = y หนวย y = 6 – x -------- 1 8 – y = 10 – x -------- 2 จะได 8 – (6 – x) = 10 – x 2 + x = 10 – x 2x = 8 x = 4 แทน x ใน 1 จะได y = 6 – 4 y = 2

เนองจากรศมของวงกลม O เทากบ y หนวย ( BEOF เปนรปสเหลยมจตรส) ดงนน รศมของวงกลม O เทากบ 2 หนวย

คาตอบกจกรรม “เสนสมผสและคอรด”

1. 1) 90o 2) 90o 3) 90o 4) เทากน 5) เทากน เพราะ สมบตของการเทากน 6) เทากน เพราะ A DB

∧ = ACB

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน มมในสวนโคงของวงกลมท

รองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะมขนาดเทากน) 2. แนวคดในการพสจน ลากเสนผานศนยกลาง AD และลาก CD 1. A CD

∧ = 90o (มมในครงวงกลมมขนาด 90 องศา)

2. A DC∧

+ CA D∧

= 90o (ขนาดของมมภายในทงสามมม ของรปสามเหลยมรวมกนเทากบ 180 องศา)

B C

X Y A

D

10 – x

B C

A

D

F

E

O x y

x 6 – x

8 – y

85

3. CA D∧

+ CA Y∧

= 90o (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบ รศมของวงกลมทจดสมผส) 4. A DC

∧ + CA D

∧ = CA D

∧ + CA Y


5. A DC∧

= CA Y∧

(สมบตของการเทากน) 6. A DC

∧ = A BC

∧ (ในวงกลมวงเดยวกน มมในสวนโคง

ของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงเดยวกน จะมขนาด เทากน) 7. CA Y

∧ = A BC


8. ในทานองเดยวกน เมอลาก BD จะพสจนไดวา BA X

∧ = ACB

∧

คาตอบแบบฝกหด 3.4 ข

1. BAC

∧ = 65o และ ACB

∧ = 80o

2. 44o 3. A DC

∧ = 55o, A BC

∧ = 125o และ DCB

∧ = 38o

4. 6 หนวย (แนวคดของการหาคาตอบทานองเดยวกนกบแนวคดของการหาคาตอบขอ 2 ของกจกรรม “วงกลมแนบในรปสามเหลยม”) 5. 17 เซนตเมตร แนวคด x = 5 – y จะได y = 5 – x เนองจาก BC = 14 – x + 8 – y จะได BC = 14 – x + 8 – (5 – x) BC = 17 เซนตเมตร

B O

C

D

A x y

y (14 – x)

(14 – x) 8 – y

8 – y

(5 – y)

86

คาตอบกจกรรม “คดหนอย”

รศมของวงกลมยาว 2 2 หนวย แนวคด ลาก AE BC⊥ เนองจาก ∆ ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว จะได AE แบงครง BC (สมบตของรปสามเหลยมหนาจว) และ AE ผานจดศนยกลาง O (เสนสมผสวงกลม จะตงฉากกบรศมของวงกลมทจดสมผส) AE2 = 122 – 42 = 144 – 16 = 128 ใหรศมของวงกลมยาว x หนวย จะได AO2 = x2 + 82 AO = 2x 64+ AO + x = 128 2x 64 x+ + = 128 2x 64+ = 128 – x x2 + 64 = ( 128 – x)2 x2 + 64 = 128 – 2 128 x + x2 64 = 128 – 2 128 x 2 128 x = 128 – 64 128 x = 32 x = 32

2 32

= 3232 2 32 32

⋅

= 322 = 4 2

2 = 2 2 หนวย

B C

O

A

8 12

4 F

4 E

x

87

คาตอบกจกรรม “ไกลแคไหน”

1. ประมาณ 6,271.5 กโลเมตร

คานวณจาก r = 2112 12−

2. มากกวา เพราะ ระยะ 112 กโลเมตร เปนระยะทวดในแนวสวนของเสนตรง แต สวนโคงของโลก ( CB ) ยาวกวา 112 กโลเมตร 3. 1) ประมาณ 35.78 กโลเมตร คานวณจาก d2 ≈ (2 × 6,400 × 0.1) + (0.1)2 2) ประมาณ 339.5 กโลเมตร คานวณจาก d2 ≈ (2 × 6,400 × 9) + 92 3) มองไดไกลมากขน เพราะ d2 = 2rh + h2 เมอ h มากขน จะทาให d2 มากขนดวย ดงนน จานวนทแทน d จะเปนจานวนทมากขน

คาตอบกจกรรม “ระยะรอบโลก”

ประมาณ 21 กโลเมตรตอชวโมง คานวณจาก 40,076

80 24× ≈ 21 กโลเมตรตอชวโมง

92

5. กจกรรม “คดไดไหม” เปนการเชอมโยงเรองสมการเศษสวนของพหนามกบความคลาย ในการหาพนทของรปสามเหลยม

คาตอบแบบฝกหดและคาตอบกจกรรม คาตอบแบบฝกหด 4.1 ก

1. 1) 2 (x 7)5 +

2) 1(2x 3)(3x 2)+ + หรอ 2

16x 13x 6+ +

3) x 1x 2−+

4) 3y(2y 3)(y 1)(1 2y)− −

+ หรอ 2

26y 9y

-2y 3y 1−++

5) y 1y 5−+

6) 23 (x + 1)(x + 5) หรอ

22x 12x 103

+ +

7) 2(2z 7)-z(3z 8)

−+ หรอ 2

4z 14-3z 8z

−

−

8) 2(x 2)(x 1)(x 2)− −+ หรอ

22x 6x 4x 2− ++

9) -(3z 4)(z 5)3

− + หรอ 2-3z 11z 20

3− +

10) y 1y 3−

−

2. 1) x 3

x 7−+

2) 2z2(z – 1) หรอ 2z3 – 2z2

3) (5a – 4)(a – 1) หรอ 5a2 – 9a + 4

4) 12(5y 4)−

หรอ 110y 8−

93

5) 3y 1 y 2

−

−

6) x 5x 4−−

7) 24z

z 4z 16− +

8) 24(x 3)(2x 9)− −

หรอ 224

2x 15x 27− +

3. 1) 2x 1

3x 1−+

2) 1

คาตอบแบบฝกหด 4.1 ข 1. x 11

2x 2−+

2. 23x 8x 6

(x 2)(x 3)(x 3)−+ +

+ + หรอ 2

3 23x 8x 6

x 2x 9x 18− −

+ ++

3. 22y 6y 362y 9

−++

4. -12(x 6)(x 6)−+ หรอ 2

-12x 36−

5. 7y(y 2)(y 5)(2y 3)− −+ หรอ 3 2

7y2y 9y 11y 30− − +

6. 2-8y 41y 14

y 5−+ +

7. 2

3 26x 4x

4x 4x x 1−

− − +

8. 2-6x 37x 10

(x 2)(x 2)−+ ++ หรอ

2

2-6x 37x 10

x 4−

+ +

9. 53(x 5)4(x 1)(5x 9)−

++ หรอ 2

53x 26520x 16x 36− −

+

10. 3x 6 x 3++

94

คาตอบแบบฝกหด 4.2 1. -1 2. 2 3. -5 และ 5 4. 1 และ 4 5. -4 6. ไมมคาตอบ 7. 3 8. ไมมคาตอบ 9. -6 10. 2 และ 5 11. 4 12. 1

5 13. 3 14. -3 และ 4 15. ไมมคาตอบ 16. -4 และ 3 17. 2 18. 2 และ 5

คาตอบแบบฝกหด 4.3 1. 20 บาท ตวอยางแนวคด ใหเดมหนงสอราคาเลมละ x บาท

จะไดสมการเปน 200

2x −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(x + 5) = 200

2. 60 กโลกรม ตวอยางแนวคด ใหพอคาซอสมมา x กโลกรม

จะไดสมการเปน (x + 20)540x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 12x

95

3. กระดาษทเยบเปนเลมชดแรกม 20 แผน กระดาษทเยบเปนเลมชดหลงม 25 แผน ตวอยางแนวคด ใหกระดาษทเยบเปนเลมชดแรกม x แผน จะไดสมการเปน 200 200

x x 5+ + = 18 4. 3 กโลเมตร ตวอยางแนวคด ใหเดมศจเดนไดชวโมงละ x กโลเมตร ถาศจเดนเรวขนอก 1 ชวโมง เดนทาง 9 กโลเมตร ใชเวลานอยลง 45 นาท = 3

4 ชวโมง

จะไดสมการเปน 9 9x x 1− + = 3

4 5. พงษพมพไดนาทละ 65 คา พนธพมพไดนาทละ 30 คา ตวอยางแนวคด ใหพงษพมพดดไดนาทละ x คา จะไดสมการเปน 325

x = 150x 35−

6. ศกดเดนดวยอตราเรว 4 กโลเมตรตอชวโมง สรรคเดนดวยอตราเรว 12 2 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหศกดเดนดวยอตราเรว x กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 10

1x 1 2− – 10

x = 11 2

7. 40 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหรถไฟแลนดวยอตราเรว x กโลเมตรตอชวโมง

จะไดสมการเปน 60 60 120x x 8 x−

−+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1 122 2 60×

8. 60 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของรถในระยะแรกเปน x กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 120 200

x x 40+ + = 4

96

9. 60 นาท ตวอยางแนวคด ใหโองทสามไดนาจากกอกทสองเพยงกอกเดยวและไดนาเตมโองในเวลา x นาท ในเวลา 1 นาทโองทสามไดนาจากกอกทสอง 1

x ของโอง

ในเวลา 1 นาทโองแรกไดนาจากกอกทหนง 130 ของโอง

ในเวลา 1 นาทโองทสองไดนาจากทงสองกอก 120 ของโอง

จะไดสมการเปน 1 1x 30+ = 1

20 10. 24 นาท ตวอยางแนวคด ใหเปดทอใหญทอเดยวใชเวลา x นาท นาจงจะเตมสระ จะไดสมการเปน 1 1

x x 16+ + = 115

11. 20 วน ตวอยางแนวคด ให ข ทางานคนเดยวเสรจในเวลา x วน ในเวลา 1 วน ข ทางานได 1

x ของงาน

ในเวลา 1 วน ก ทางานได 2 13 x× ของงาน

ในเวลา 1 วน ก และ ข ชวยกนทางานได 112 ของงาน

จะไดสมการเปน 2 13x x+ = 1

12 12. 22 ชวโมง ตวอยางแนวคด ใหผใหญ 1 คนทางานเสรจในเวลา x ชวโมง ผใหญ 1 คนทางาน 1 ชวโมงไดงาน 1

x ของงาน

ผใหญ 9 คนทางาน 2 ชวโมงไดงาน 18x ของงาน

ผใหญ 9 คน เดก 6 คน ทางานเสรจใน 2 ชวโมง ดงนน เดก 6 คน ทางาน 2 ชวโมงไดงาน 1 – 18

x = x 18x− ของงาน

เดก 1 คน ทางาน 1 ชวโมงไดงาน x 1812x− ของงาน

เดก 7 คน ทางาน 3 ชวโมงไดงาน 21(x 18)12x− ของงาน

97

ผใหญ 5 คน ทางาน 3 ชวโมงไดงาน 1x × 15 = 15

x ของงาน ตามเงอนไขโจทย ผใหญ 5 คน เดก 7 คน ทางาน 3 ชวโมง ไดงาน 1 งาน จะไดสมการเปน 21(x 18)

12x− + 15

x = 1

คาตอบกจกรรม “กระแสนา” 1. 5 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของเรอทพายทวนนาเปน x กโลเมตรตอชวโมง เนองจาก อตราเรวของกระแสนาเปน 5 กโลเมตรตอชวโมง จะได อตราเรวของเรอทพายในนานงเปน x + 5 กโลเมตรตอชวโมง อตราเรวของเรอทพายตามนาเปน (x+ 5) + 5 = x + 10 กโลเมตรตอชวโมง พายเรอทวนนาใชเวลามากกวาพายรอตามนา 40 นาท = 2

3 ชวโมง

จะไดสมการเปน 5x – 5

x 10+ = 23

2. 5 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหกระแสนามอตราเรว x กโลเมตรตอชวโมง เนองจาก ระยะทาง 5 กโลเมตร ใชเวลากรรเชยงเรอตามนา 12 นาท = 1

5 ชวโมง

จะได อตราเรวของเรอกรรเชยงตามนาเปน 515

= 25 กโลเมตรตอชวโมง

ดงนน อตราเรวของเรอในนานงเปน 25 – x กโลเมตรตอชวโมง นนคอ อตราเรวของเรอกรรเชยงทวนนาเปน 25 – 2x กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 5

25 2x− = 20

60 3. 19 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของเรอในนานงเปน x กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 48

x 5+ + 28x 5− = 4

98

4. 10 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหกระแสนามอตราเรว x กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 10

30 x− + 10

30 x+ = 4560

5. อตราเรวของกระแสนา 6 กโลเมตรตอชวโมง อตราเรวของเรอในนานง 20 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของกระแสนาเปน x กโลเมตรตอชวโมง จะไดอตราเรวของเรอในนานงเปน 3x + 2 กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 28

(3x 2) x−+ – 26(3x 2) x+ + = 1

คาตอบกจกรรม “รถไฟ”

1. 89 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของรถยนตเปน x กโลเมตรตอชวโมง รถยนตยาว 3 เมตร เทากบ 0.003 กโลเมตร รถไฟยาว 200 เมตร เทากบ 0.2 กโลเมตร จะไดสมการเปน 0.203

x 60− = 25.2

3,600 2. 75 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของรถไฟแตละขบวนเปน x กโลเมตรตอชวโมง จะไดสมการเปน 0.35 0.4

2x+ = 18

3,600 3. 60 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหรถไฟแลนดวยอตราเรว x กโลเมตรตอชวโมง เวลาทรถไฟวงผานสถานเทากบ 0.08 0.02

x+ ชวโมง

เวลาทรถไฟวงผานสมศกดเทากบ 0.08x ชวโมง

จะไดสมการเปน 0.08 0.02

x+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

– 0.08x = 1.2

3,600

99

4. 100 กโลเมตรตอชวโมง ตวอยางแนวคด ใหอตราเรวของรถไฟขบวน ก เปน x กโลเมตรตอชวโมง จะได อตราเรวของรถไฟขบวน ข เปน x – 20 กโลเมตรตอชวโมง เวลาทรถไฟขบวน ก และขบวน ข สวนทางกน เทากบ 0.08 0.065

x (x 20)−+

+ ชวโมง

เวลาทรถไฟขบวน ก แลนผานสมศร เทากบ 0.08x ชวโมง

จะไดสมการเปน 0.08 0.065x (x 20)−

++ – 0.08

x = 0.023,600

คาตอบกจกรรม “ลองคดด”

เพราะ n n 1n 1 n

−−+ = (n 1)(n 1)n n (n 1)n (n 1)n

−−

++ +×

= 2 2

n n 1 (n 1)n (n 1)n−−+ +

= 2 2n n 1(n 1)n− ++

= 1(n 1)n+

เมอ n แทนจานวนจรงทไมเทากบ -1 และ 0

คาตอบกจกรรม “คดไดไหม”

C

A

B D

h

h – 1 h + 43

100

แนวคด ให AD เทากบ h หนวย จะได BD = h – 1 หนวย และ CD = h + 4

3 หนวย

เนองจาก BA D∧

= ACD∧

และ A DB∧

= CDA∧

= 90o ดงนน ∆ ABD ∼ ∆ CAD จะได BD

AD = ADCD

นนคอ h 1h− = h

4h 3+

(h – 1)4

h 3+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= h2

h2 + 13 h – 4

3 = h2 h = 4 ดงนน AD = 4 หนวย BD = 4 – 1 = 3 หนวย CD = 4 + 4

3

= 163 หนวย

BC = BD + CD = 3 + 16

3

= 253 หนวย

นนคอ พนทของ ∆ ABC = 12 ×

253 × 4

= 503 หรอ 216 3 ตารางหนวย

add-m3-2-finished

Documents

e d d e b

d b c e

o d e b

b c d e f

c f b b f d

d e e d f

c b d o

b c ab