Fundac ¸ ˜ ao Centro de Ci ˆ encias e Ed ucac ¸˜ ao Superior a Dist ˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac ¸ ˜ ao Superior a Dist ˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Geometria Plana – AD2 – Gabarito – 2012.1 Quest˜ao 1 [1, 0 pt] : AB,BC,CD e DEs˜ao quatro lados conse cutivos de um icos´agono regular. Os prolongamentos dos lados AB e DEcortam-se emI. Calcule o ˆ ang ulo B I D. Solu¸ c˜ ao: Considere AB,BC,CD e D Elados consecutivos de um icos´ agono regular. Os prolonga- mentos de AB e DEcortam-se emI: O ˆ an gu lo ce ntral ´ e 360 ◦ 20 = 18 ◦ e os ˆ angulo s interno s do pol´ ıgono regular tem medida A i = 180 ◦ (20 − 2) 20 = 9 ◦ · 18 = 162 ◦ Temos no qua dril ´ ate ro BIDC, IDC= 180 ◦ − 162 ◦ = 18 ◦ = IBC. D C B = 162 ◦ , ent˜ ao a = 360 ◦ − 162 ◦ = 198 ◦ . Ent˜ ao 18 ◦ + 18 ◦ + D I B + 198 ◦ = 360 ◦ ⇒ D IB= 360 ◦ − 234 ◦ = 126 ◦ . Que st˜ ao 2 [1,0 pt]: Considere 80 ◦ , 70 ◦ e 150 ◦ trˆ es ˆ angulo s de um quad ril´at er oABCD. Encontre os ˆ ang ulos do qua dril ´ atero formado pelas bis set riz es dos ˆ ang ulo do quad ril´ ate roABCD. Solu¸c˜ ao: Cons iderando o quadril´atero ABCD, co m ˆ angulos A = 80 ◦ , B = 70 ◦ e C= 150 ◦ . Temos que D= 360 ◦ − (80 ◦ + 70 ◦ + 150 ◦ ) = 360 ◦ − 300 ◦ = 60 ◦ . Pro curando os ˆ angulos do quadril´atero formado pela s biss etriz es temos: E= 180 ◦ − 30 ◦ − 40 ◦ = 110 ◦ . F= 180 ◦ − 30 ◦ − 75 ◦ = 75 ◦ . G = 180 ◦ − 75 ◦ − 35 ◦ = 70 ◦ . H= 180 ◦ − 40 ◦ − 35 ◦ = 105 ◦ . Logo os ˆ angulos s˜ ao 110 ◦ , 75 ◦ , 70 ◦ e 105 ◦ , se A = 80 ◦ , B= 70 ◦ e C= 150 ◦ .
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Fundacao Centro de Ciencias e E ducacao Superior a Distancia do Estado do Rio de JaneiroCentro de E ducacao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AD2 – Gabarito – 2012.1
Questao 1 [1,0 pt]: AB,BC,CD e DE sao quatro lados consecutivos de um icosagono regular.
Os prolongamentos dos lados AB e DE cortam-se em I . Calcule o angulo B ID.Solucao: Considere AB,BC,CD e DE lados consecutivos de um icosagono regular. Os prolonga-mentos de AB e DE cortam-se em I :
A
B CD
I
E
a
162º
162º
O angulo central e360◦
20= 18◦ e os angulos internos do polıgono regular tem medida
Ai =180◦(20− 2)
20= 9◦
·18 = 162◦
Temos no quadrilatero BIDC , I DC = 180◦ − 162◦ = 18◦ = I BC.D CB = 162◦, entao a = 360◦ − 162◦ = 198◦.Entao 18◦ + 18◦ + D IB + 198◦ = 360◦ ⇒ D IB = 360◦ − 234◦ = 126◦.
Questao 2 [1,0 pt]: Considere 80◦, 70◦ e 150◦ tres angulos de um quadrilatero ABCD. Encontreos angulos do quadrilatero formado pelas bissetrizes dos angulo do quadrilatero ABCD.Solucao: Considerando o quadrilatero ABCD, com angulos A = 80◦, B = 70◦ e C = 150◦.
A
B
C
D
F
G
H
E
80º
70º
150º
60º
105º
110º
75º
70º
30º
40º
40º
35º
30º
75º
Temos que D = 360◦
−(80◦ + 70◦ + 150◦) = 360◦
−300◦ = 60◦.
Procurando os angulos do quadrilatero formado pelas bissetrizes temos:
E = 180◦ − 30◦ − 40◦ = 110◦.
F = 180◦ − 30◦ − 75◦ = 75◦.
G = 180◦ − 75◦ − 35◦ = 70◦.
H = 180◦ − 40◦ − 35◦ = 105◦.
Logo os angulos sao 110◦, 75◦, 70◦ e 105◦, se A = 80◦, B = 70◦ e C = 150◦.
Questao 4 [1,0 pt]: Considere A BC = 50◦ e A CB = 70◦ dois angulos de um triangulo ABC .Uma circunferencia exinscrita (leia-se ex - inscrita) a este triangulo tangencia o lado BC em P e os
prolongamentos dos lados AB e AC em Q e R, nesta ordem. Calcule a medida do angulo Q P R.Solucao: Sejam A BC = 50◦ e A CB = 70◦, angulos de ∆ABC . A circunferencia, de centro O,exinscrita a este triangulo tangencia o lado BC em P e os prolongamentos dos lados AB e AC emQ e R, nesta ordem.
A
B
C
P
Q
R
50º
70º
55º
65º
O
Temos que R
CO = B
CO = 55◦ e Q
BO = O
BC = 65◦, circunferencia exinscrita.
∆OQB e retangulo em Q, entao B OQ = 90◦ − 65◦ = 25◦.
∆OP B e retangulo em P , entao P OB = 90◦ − 65◦ = 25◦.
∆OCP e retangulo em P , entao P OC = 90◦ − 55◦ = 35◦.
∆OCR e retangulo em R, entao C OR = 90◦ − 55◦ = 35◦.
Logo
Q P R = 360◦
− (25◦
+ 25◦
+ 35◦
+ 35◦
)2
= 360◦
− 120◦
2= 120◦.
Questao 5 [1,0 pt]: AB e AC sao, respectivamente, lados de um hexagono regular e de umoctogono regular, inscritos em um mesmo circulo. Calcule os angulos do triangulo ABC .Solucao: Temos duas solucoes:
Nao e possıvel B entre A e C , pois sendo A vertice de ambos, AB > AC.
Questao 6 [1,0 pt]: Os lados de um triangulo sao AB = 16 dm, AC = 20 dm, e BC = 25 dm.Pelo ponto D de intersecao da bissetriz do angulo A com o lado BC traca-se a paralela ao lado AC .Calcule as medidas dos segmentos que esta paralela determina ao lado AB.Solucao:Seja o triangulo conforme dados do enunciado.
A B
C
E
D0
16 -
a
2 5 - a
x x
Seja a = BD, entao DC = 25− a.
Temos pelo T.B.I. que
a
16
=25− a
20 ⇒5a = 100
−4a
⇒a =
100
9
.
Como DE//AC , pelo teorema de Tales, temos que
a
x=
25− a
16− x⇒ x
(25− 100
9
)=
100
9· (16− x)
⇒ x
(125
9
)=
100(16 − x)
9⇒ 125x = 1600− 100x
⇒ 225x = 1600 ⇒ x = 649
.
Daı as medidas pedidas sao: x =64
9dm e 16− x = 16− 64
9=
80
9dm.
Questao 7 [1,0 pt]: ABCD e um paralelogramo e P e um ponto do lado AB tal que a razaoP A
P B=
4
3. A reta
←→DP intercepta a diagonal AC em M o prolongamento do lado CB em N . Calcule
as razoesBN
CN e
CM
MA.
Solucao:Seja ABCD um paralelogramo conforme enunciado.
Questao 8 [1,0 pt]: AB = 2 cm, AC = 3 cm sao os catetos de um triangulo retangulo ABC .
Calcule o raio da circunferencia que passa pelo vertice C e e tangente ao cateto AB em B.Solucao: Seja ∆ABC retangulo com catetos AB = 2 cm, AC = 3 cm, a circunferencia de raio Rque passa por C e e tangente ao cateto AB em B.
Questao 9 [1,0 pt]: Mostre que os extremos de um segmento sao equidistantes de qualquer retaque passa pelo ponto medio desse segmento.Solucao: Seja o segmento AB, considere M o ponto medio de AB.
r
BM
A'
B'
A
Considere r uma reta que passsa por M , A′ e B′ os
pes das perpendiculares a r que passa por A e B, respectivamente.
∆AA′M ≡ ∆BB ′M , pois AM = MB e A′ MA = B′ MB,
angulos opostos pelo vertice. (Caso particular de congruencia
no triangulo retangulo).
Como A′
MA = B′
MB, entao AA′ = BB ′. Daı os extremos do segmento AB sao equidistantes de r.
Questao 10 [1,0 pt]: Um quadrado tem 2 cm de lado, com centro em dois vertices opostos e raioigual a metade da diagonal descrevem-se os arcos AB e CD. Calcule a area da superfıcie sombreada.
A
B
D
C
Solucao: Temos que a area da superfıcie do quadrado e 22 = 4 cm2.
A
B
D
C
S1
S2
S3
S4
2
22 -
A metade da diagonal do quadrado e:2√
2
2=√
2 cm.
Considere as areas S 1, S 2, S 3 e S 4. A area pedida e:
A p = 4− (S 1 + S 2 + S 3 + S 4) (1)
S 1 = S 2, que e a quarta parte da area de uma circulo, logo
S 1 + S 2 =π(√
2)2
2=
π · 2
2= π cm2.
S 3 = S 4, area de triangulo retangulo isosceles.
Logo S 3 + S 4 = 2 ·
(2−√
2) · (2−√
2)
2
= 4− 4
√2 + 2 = 6 − 4
√2 cm2.
Entao a area pedida e: A p = 4− π − 6 + 4√2 = −2− π + 4√2 cm2.