Derivada de una función 473 10 ACTIVIDADES [ ] ( ) (3 . ) . (2) 9 5 4 3 2 1 . 2,3 T f VM f − − = = − = [ ] ( ) (6) (2) 33 5 .. . 2, 6 4 6 7 2 f f TVM − − = = = − [ ] ( ) (4) (2) 15 5 .. . 2, 4 2 4 5 2 f f TVM − − = = = − [ ] ( ) (5) (3) 23 9 .. . 3, 5 2 5 7 3 f f TVM − − = = = − [ ] ( ) (5) (2) 23 5 .. . 2, 5 3 5 6 2 f f TVM − − = = = − [ ] ( ) (6) (3) 33 9 .. . 3, 6 3 6 8 3 f f TVM − − = = = − a) [ ] ( ) 2 2 (2 ) (2) (2 ) (2 ) 3 (4 2 3) 3 3 2 .. . 2,2 2 f h f h h h h h h h TVM h h + − + − + + − − + + = = = + − = + + b) [ ] ( ) 2 2 (3 ) (3) (3 ) (3 ) 3 (9 3 3) 5 5 3 .. . 3,3 3 f h f h h h h h h h TVM h h + − + − + + − − + + = = = + − = + + a) 0 0 0 1 1 (2 ) (2) 1 2 3 2 3 ´(2) 1 2 2 1 h h h f h f h f lim lim lim h h h → → → − + − + − − = = = =− + − −+ ( ) 0 0 0 1 1 ( 1 ) ( 1) 4 4 1 1 3 1 3 ´( 1) 1 ( 1) 4 4 16 h h h f h f h h f lim lim lim h h hh → → → − −+ − − − + −+ − −− − = = = =− −+ −− − + b) 2 2 0 0 (2 ) (2) 2(2 ) (2 ) (2 2 2) ´(2) 2 2 h h f h f h h f lim lim h h → → + − + + + − ⋅ + = = = + − 2 2 0 0 0 2(4 4) 2 10 2 9 (2 9) 9 h h h h h h h h lim lim lim h h h → → → + + + + − + = = = + = 2 2 0 0 2( 1 ) ( 1 ) 2( 1) ( 1) ( 1 ) ( 1) ´( 1) 1 ( 1) h h h h f h f f lim lim h h → → −+ +−+ − ⋅− +− −+ − − − = = = −+ −− 2 2 0 0 0 2(1 2) 1 1 2 3 (2 3) 3 h h h h h h h h lim lim lim h h h → → → + − −+ − − = = = − =− c) 2 2 2 2 0 0 0 1 1 (2 ) (2) 4 (2 ) (2 ) 2 ´(2) 2 2 4 (2 ) h h h f h f h h f lim lim lim h h h h → → → − + − − + + = = = = + − + 2 2 2 3 2 2 0 0 0 4 (4 4) 4 4 1 4 (4 4) 16 4 16 16 4 16 4 h h h h h h h h lim lim lim h h h h h h h h → → → − + + − − −− = = = =− + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 ( 1 ) ( 1) 1 (1 2 ) 2 2 ( 1 ) ( 1) ´( 1) 2 1 ( 1) ( 1 ) (1 2 ) 1 2 h h h h h f h f h h h h h h f lim lim lim lim lim h h h h h h h h h → → → → → − −+ − − − − + − − −+ − − = = = = = = −+ −− −+ − + − +
44
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ACTIVIDADES - Solucionarios10 · ACTIVIDADES ( )[ ] (3.). (2) 9 5 4 3 2 1 T . 2,3 f VM f − ... 1 3 3 32 2 22 2 5 3 3 3 3 x f x x x x x x
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Derivada de una función
473
10
ACTIVIDADES
[ ]( )(3
.)
.(2) 9 5
43 2 1
. 2, 3Tf
V Mf − −
= =−
=
[ ]( )(6) (2) 33 5
. . . 2,6 4
6 72
f fT V M
− −= = =
−
[ ]( )(4) (2) 15 5
. . . 2,4 2
4 52
f fT V M
− −= = =
− [ ]( )
(5) (3) 23 9. . . 3,
5 25 7
3
f fT V M
− −= = =
−
[ ]( )(5) (2) 23 5
. . . 2,5 3
5 62
f fT V M
− −= = =
− [ ]( )
(6) (3) 33 9. . . 3,
6 36 8
3
f fT V M
− −= = =
−
a) [ ]( )2 2(2 ) (2) (2 ) (2 ) 3 (4 2 3) 3
32
. . . 2, 2 2
f h f h h h hh
h hT V M h
h
+ − + − + + − − + += = =
+ −= ++
b) [ ]( )2 2(3 ) (3) (3 ) (3 ) 3 (9 3 3) 5
53
. . . 3, 3 3
f h f h h h hh
h hT V M h
h
+ − + − + + − − + += = =
+ −= ++
a) 0 0 0
1 1(2 ) (2) 12 3 2 3´(2) 12 2 1h h h
f h f hf lim lim limh h h→ → →
−+ − + − −= = = =−+ − − +
( )0 0 0
1 1( 1 ) ( 1) 4 4 11 3 1 3´( 1)
1 ( 1) 4 4 16h h h
f h f hhf lim lim limh h h h→ → →
−− + − − − +− + − − −− = = = =−− + − − − +
b) 2 2
0 0
(2 ) (2) 2(2 ) (2 ) (2 2 2)´(2)
2 2h h
f h f h hf lim lim
h h→ →
+ − + + + − ⋅ += = =
+ −
2 2
0 0 0
2(4 4 ) 2 10 2 9(2 9) 9
h h h
h h h h hlim lim lim h
h h→ → →
+ + + + − += = = + =
2 2
0 0
2( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1) ( 1)( 1 ) ( 1)´( 1)
1 ( 1)h h
h hf h ff lim lim
h h→ →
− + + − + − ⋅ − + −− + − − − = = =− + − −
2 2
0 0 0
2(1 2 ) 1 1 2 3(2 3) 3
h h h
h h h h hlim lim lim h
h h→ → →
+ − − + − −= = = − =−
c) 22 2
20 0 0
1 1(2 ) (2) 4 (2 )(2 ) 2
´(2)2 2 4 (2 )h h h
f h f hhf lim lim limh h h h→ → →
−+ − − ++
= = = =+ − +
2 2
2 3 2 20 0 0
4 (4 4 ) 4 4 1
4 (4 4 ) 16 4 16 16 4 16 4h h h
h h h h hlim lim lim
h h h h h h h h→ → →
− + + − − − −= = = =−
+ + + + + +
2 22 2
2 2 20 0 0 0 0
1 1( 1 ) ( 1) 1 (1 2 ) 2 2( 1 ) ( 1)
´( 1) 21 ( 1) ( 1 ) (1 2 ) 1 2h h h h h
f h f h h h h hhf lim lim lim lim limh h h h h h h h h→ → → → →
−− + − − − − + − −− + −
− = = = = = =− + − − − + − + − +
Derivada de una función
474
10
a) 3 3 2 3
2
0 0 0
(1 ) 4 (1 4) 3 3´(1) (3 3 ) 3
h h h
h h h hf lim lim lim h h
h h→ → →
+ + − + + += = = + + =
b) 3 3 3 2
0 0
( 4 ) 4 ( 4) 4 ( 12 48 64) 4 ( 64 4)´( 4)
h h
h h h hf lim lim
h h→ →
− + + − − + − + − + − − + − = = =
2
0( 12 48) 48
hlim h h→
= − + =
c) 3 3 3 2
2
0 0 0
(2 ) 4 (2 4) 8 6 12 4 12´(2) ( 6 12) 12
h h h
h h h hf lim lim lim h h
h h→ → →
+ + − + + + + + −= = = + + =
d) 3 3 3 2
2
0 0 0
( 3 ) 4 ( 3) 4 27 9 27 4 ( 27 4)´( 3) ( 9 27) 27
h h h
h h h hf lim lim lim h h
h h→ → →
− + + − − + − + − + + − − + − = = = − + =
2 2 2 2
0 0 0
2 (2 ) (2 2 ) 2 (4 4 ) 2 4 3´(2) 3
h h h
h h h h h h hf lim lim lim
h h h→ → →
+ − + − − + − + + − + − − = = = =−
f(2) = 2 − 22 = −2
La ecuación de la recta tangente en el punto P(2, −2) es:
y − (−2) = f´(2) ⋅ (x − 2) → y + 2 = −3(x − 2) → y = −3x + 4
2 2 2 2
0 0 0
( 3 ) ( 3 ) 3 ( 3) 3 (9 6 ) 12 7´( 3) 7
h h h
h h h h h h hf lim lim lim
h h h→ → →
− + − − + − − − − − + − + − + − + − = = = =
f(−3) = −3 − (−3) 2 = −12
La ecuación de la recta tangente en el punto P(−3, −12) es:
y − (− 12) = f´(−3) ⋅ (x − (−3))
y + 12 = 7(x + 3)
y = 7x + 9
Cortes con el eje X: (−1, 0), (−3, 0)
La derivada f´(a) es la pendiente de la recta tangente en el punto P(a, f(a)).
Sus gráficas no son tangentes en ningún punto. Sus gráficas son tangentes en el punto x = 0.
La de la recta es 5, por tanto ( )´ 2 5f = .
Como la recta es tangente a f en x = 2 ( )2 5 2 7 3f→ = ⋅ − =
62, 4
8 2
a ba b
a b
= + → = == +
La ecuación de la recta es y = 2x + 4.
( ) ( )0 0 4g y= = ( ) ( )´ 0 ´ 0 2g y= =
Derivada de una función
510
10
( )1
1´
2 5f x
x=−
− ( )2 ´f x a=
a) ( )1
1´ 1
4f =− ( )1 1 2f =
( )1 1 9
2 14 4 4
y x y x− =− − → =− + → 1 1
44
aa
− =− → =
b) ( )1
1´ 4
6f − =− ( )1 4 3f − =
( )1 1 7
3 46 6 3
y x y x− =− + → =− + → 1
6a=−
Derivada de una función
511
10
Consideramos la raíz positiva: 220y x= −
( )2
´20
xy x
x
−=
− ( )4 2y = ( )´ 4 2y =−
( )2 2 4 2 10y x y x− =− − → =− +
a) ( )´ 2 4f x x= −
La bisectriz del primer y tercer cuadrantes es y = x y tiene pendiente 1.
52 4 1
2x x− = → =
5 9
2 4f =
Llamando r a la recta paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes:
9 5 1:
4 2 4r y x y x− = − → = −
La bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes es y = −x y tiene pendiente −1.
32 4 1
2x x− =− → =
3 9
2 4f =
Llamando s a la recta paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes:
9 3 15:
4 2 4s y x y x
− =− − → =− +
b) El punto de corte entre las dos rectas, r y s, es:
1
7 742, 2,
15 4 4
4
y xx y P
y x
= − → = = → =− +
El punto de corte de la recta r con el eje X es: 1 1 1
0 , 04 4 4
y x x P = = − → = →
El punto de corte de la recta s con el eje X es: 15 15 15
0 , 04 4 4
y x x P = =− + → = →
c) La base mide 15 1 7
4 4 2− = y la altura mide 2. 27
u2 2
T
b hÁrea
⋅= =
Derivada de una función
512
10
a) ( ) 21 2´ 3 6 0 0, 2f x x x x x= + = → = =−
( )0 4f = ( )2 8f − =
Los puntos son (0, 4) y (−2, 8).
b) Si la ecuación de la recta es de la forma y = mx + n, tenemos:
4
2, 48 2
nm n
m n
= → =− ==− +
La ecuación de la recta es: y = −2x + 4
c) La pendiente de la recta es −2: ( ) 21 2
3 3´ 3 6 2 1 , 1
3 3f x x x x x= + =− → =− + =− −
( )( )
2
3´
3f x
x=
−
a) Corte con el eje X: 2 9 9
03 2
xx
x
−= → =
− Corte con el eje Y:
2 0 93
0 3
⋅ −=
−
b) 9 4
´2 3
f =
4
63
y x= − ( )1
´ 03
f = 1
33
y x= +
c) Calculamos los puntos de corte con los ejes de la recta 4
63
y x= − :
Corte con el eje Y: 0 6x y= → =− Corte con el eje X: 9
02
y x= → =
Área del triángulo que forman: 2T
9 6 27u
2 4 2
b hA
⋅ ⋅= = =
Calculamos los puntos de corte con los ejes de la recta 1
33
y x= + :
Corte con el eje Y: 0 3x y= → = Corte con el eje X: 0 9y x= → =−
Área del triángulo que forman: 2T
3 9 27u
2 2 2
b hA
⋅ ⋅= = =
Derivada de una función
513
10
a) ( ) ( )1 0 83,1 39
44,1 m/s1 0 1
h h− −= =
− b)
( ) ( )6 4 156,6 156,60 m/s
6 4 2
h h− −= =
− c)
( ) ( )13 11 0 00 m/s
13 11 2
h h− −= =
−
En el primer intervalo la pelota está subiendo, y por tanto la velocidad media es positiva; en el segundo intervalo la pelota recorre el mismo tramo hacia arriba y hacia abajo; en el último intervalo la pelota ya está en el suelo y no se mueve, por lo que la velocidad media es cero.
PARA PROFUNDIZAR
□ ( )´f x cos x= Toma valores entre −1 y 1, por tanto la mayor inclinación de la función es 1.
□ ( ) 2´ 3 4f x x x= − ( )´ 1 1f =− La recta tangente es: ( )1 1y x x=− − =− +
3 2 3 21 2 32 1 1 2 0 0, 1x x x x x x x x x− + =− + → − + = → = = = Corta también en el (0, 1).
□ ( )´ 2 3 3 3 1f x x x y= − = → = → = ( )1 3 3 3 8y x y x− = − → = −
La recta tangente es y = 3x − 8.
□ ( )2
1´f x
x=− ( )
3
2´´f x
x= ( )
4
6´´´f x
x=− ( )
5
24ivf xx
=
Por tanto: 1
!( ) ( 1)n n
n
nf x
x += − ⋅
Derivada de una función
514
10
Derivada de una función
515
10
Sea una función f(x) que no es continua en x = x0. ( ) ( )0
0x xlim f x f x→
→ ≠
Si la función es derivable en x = x0, entonces existe el límite:
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
0h h h h h h
f x h f xlim l lim f x h f x l lim h lim f x h f x lim f x h lim f x
h→ → → → → →
+ −= → + − = ⋅ → + − = → + =
Esto no es cierto porque la función no es continua en x = x0, y la función no puede ser derivable en ese punto.
a) 2 2 2 33 ´ 2 2 2 ´ 9 3 ´y y y x yy x y x y− − = + b) 23 3 ´ 3 ´ 2y xy y y+ + =
( )2 3 2 2´ 3 4 3 9 2y y xy x x y y− − = +
( )2´ 3 3 2 3y x y y+ = −
2 2
2 3
9 2´
3 4 3
x y yy
y xy x
+=
− − 2
2 3´
3 3
yy
x y
−=
+
Derivamos implícitamente:
1 1 1´ 0 ´ 2
2 2 2y y y
x y x+ = → =− ⋅ ( ) 0
0
0
´y
y xx
=−
Calculamos la recta tangente que pasa por el punto P(x0, y0) :
( )0 0 0 0 00 0 1 1
0 0 0 0 02 2
0y y y x x x y y x
y y x xx y x y x
x y
− −− =− − → + = → + = +
Derivada de una función
516
10
Comprobamos que 1
0 0 2
0 0
y xa
y x+ = :
( ) 10 0 0 0 0 00 0 0 00 0 2
0 0
0 00 0 0 0
y x x y x yy x x yy xx y a
x yy x x y
+++ = = = + =
MATEMÁTICAS EN TU VIDA
El costo marginal es la derivada del costo total de producción con respecto a la producción.
Los insumos son todos los elementos necesarios para producir un bien.
Porque mide la tasa de variación del coste entre la variación de la producción.
Positivo.
Función costo: f(x) = 3ax2 + 2bx
Es una función cuadrática cuya representación es una parábola cóncava; en el eje de abscisas se representa la producción y en el eje de ordenadas los costes.