. L Í M I T E S 1 ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS tha les trino grau fernández 1. x 2 x Ln x lím 3 x + ∞ → 2. sen x 1 0 x sen x 1 x tg 1 lím + + → 3. x x 1 x 2 3 x 2 lím − + ∞ → 4. ( ) [ ] x a x x lím x − + ⋅ ∞ → 5. − → x 1 sen x 1 lím 0 x 6. − → x 1 x cotg lím 0 x 7. 3 2 sen x 0 x x x 2 1 x e lím − − − → 8. sen x 0 x x lím → 9. − − − → 3 1 x x 1 3 x 1 1 lím 10. sen x e e lím x x 0 x − → − 11. x sen arcsen x x lím 3 0 x − → 12. x b a lím x x 0 x − → 13. 2x sen 2 3 x 3x sen lím 0 x ⋅ − → 14. − → x 1 x cotg lím 2 0 x 15. − − → x cos 1 1 x sen 1 lím 2 0 x 16. − → 2 2 0 x x 1 x sen 1 lím 17. 1 x 1 x lím n 1 x − − → 18. − − → 1 x e e Ln lím x 1 x 19. − − − → 1 x 1 e e e Ln lím x 1 x
12
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ACTIVIDADES FINALES · LÍMITES 1 ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS tha les trino grau fernández 1. Ln x 2x x lím x→∞ 3 + 2. sen x 1 x 0 1 sen x 1 tg x lím + + → 3. x x 2x 1
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Como se trata de una indeterminación de tipo L´Hopital, aplicamos dicha regla:
2
1
2x
xLn31lím
x2xLnxlím 2x3x
+∞∞
=
+
=+ ∞→∞→
Resolvemos aparte el límite
∞∞
=∞→ x
xLn3lím2
x INDETERMINACIÓN de tipo L´Hopital otra vez:
01x1·6
lím)Hopital´L(x
Lnx6lím1
x1·Lnx6
límx
xLn3límxxx
2
x=====
∞→∞→∞→∞→
Así, el límite original resulta:
21
201lím
2x
xLn31lím
x2xLnxlím
x2x3x=
+=
+
=+ ∞→∞→∞→
2. sen x1
0x sen x1 xtg1lím
++
→
SOLUCIÓN: Sustituyendo x por su valor obtenemos:
∞
→=
++
=
++ 1
0101
sen x1 xtg1lím
01
sen x1
0x INDETERMINACIÓN QUE SE RESUELVE APLICANDO LA
FÓRMULA:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xgxflímxg
ax
xg
axaxexflímxflím
·11
−
→
∞
→
→=⇒=
Así, sen x
1
0x·1
sen x1 xtg1límsen x
1
0xe
sen x1 xtg1lím
−++
→
→=
++
Hacemos aparte el límite del exponente:
senx1·
senx1
senxxcos
senx
límsenx
1·senx1
senxtgxlím
senx1·
senx1senx1tgx1lím)operando(
senx1·1
sen x1 xtg1lím
0x0x
0x0x
=
+
−=
+−
=
=
+
−−+==
−++
→→
→→
001
111
senx1
1xcos
1
lím0x
=+
−=
+
−=
→
Por tanto, el límite original,
1eesen x1
xtg1lím 0·1
sen x1 xtg1límsen x
1
0x
sen x1
0x ===
++
−++
→
→
L Í M I T E S
. 4 tha les
trino grau fernández
3. x
x 1x23x2lím
−+
∞→
SOLUCIÓN: Sustituyendo se trata de un límite de la forma:
Por un lado, la base tiende a 1, ya que ACIÓNINDETERMIN1x23x2lím
x ∞∞
=
−+
∞→
Pero Al tratarse de dos polinomios del mismo grado, el límite es el cociente de sus coeficientes principales, es decir, el cociente de los coeficientes asociados al los términos de mayor grado, que en este caso serían:
122=
Por otro lado, como el exponente tiende a infinito tenemos:
∞
∞→=
−+ 1
1x23x2lím
x
x INDETERMINACIÓN que resolveremos como antes:
x·11x23x2límx
x
xe1x23x2lím
−
−+
∞→
∞→=
−+
Resolvemos el límite del exponente aparte:
224
1x2x4límx·
1x24límx·
1x21x23x2límx·1
1x23x2lím
xxxx==
−=
−=
−+−+
=
−
−+
∞→∞→∞→∞→
ya que se trata de un límite de la forma: cociente de polinomios, para el que aplicamos la regla de la máxima potencia del denominador, que en este caso coincide con la potencia del numerador, luego el valor del límite es el cociente de los coeficientes principales. Así, el límite dado es:
esta vez, en lugar de L´Hopital: 0x,xsenx →≅ . Así:
( ) ( ) ( ) 1xcos2
1xcosLím)ndosimplifica(xcossenx2
senxsenx·xcosLím
Hopital´L00
xsenxcosxcosLím
xsenxcosxsen1Lím
xxcosx1Lím
3/1
0x
3/1
0x
2
3 2
0x2
3 2
0x2
3 2
0x
−=+
−==−−
=
=
=
−=
−−=
−−
−
→
−
→
→→→
29. x
x x8tg51Lím
⋅+
∞→
SOLUCIÓN: ∞
∞→=
⋅+ 1
x8tg51Lím
x
x Indeterminado. Resolvemos aplicando la fórmula:
( )( )
( )( )
( ) ( )40
xx
xx
xx
x
x
ex/8cos
8·5Límexpx/1·x/8cos
x/8·5Límexp
)esequivalentinitésimos(infx/1·x/8cos
x/8sen·5Límexpx·x/8cosx/8sen·5Límexp
x8tanx5Límexpx1
x8tg51Límexp
x8tg51Lím
=
=
=
==
=
=
=
=
−
+=
⋅+
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→∞→
30. ( )( )
( )( )
( )00
H'L2x2x
00
H'L2
2
2x x2x2senlim
2x·2sen x x cos2lim
2x
xcos lim =π−
−=
π−−
=π− π→π→π→
1.2cos2
222cos2
2x2cos2lim
2x−=
π−=
π−=
−==
π→
L Í M I T E S
. 12 tha les
trino grau fernández
31. ( )
23Ln2Ln3Ln
12 ·ln23 ·ln3lim
x23lim
xx
0x
00
H'L
xx
0x=−=
−==
−→→
32. Calcular el ( )( ) m/1
n/1
3x 3x3xlím
−
−→
en los siguientes casos:
• Si m > n • Si m = n • Si m < n
Antes de hacer el límite hay que operar la expresión, ya que es un cociente de exponenciales con igual base.
( )( )
( ) ( ) mnnm
3xm1
n1
3xm/1
n/1
3x3xlím3xlím
3x
3xlím ⋅−
→
−
→→−=−=
−
−
• Si m > n
( ) { } 000Knm3xlím Kmnnm
3x==>=−=− ⋅
−
→
• Si m = n
( )( )
11lím3x
3xlím3xm/1
m/1
3x==
−
−→→
• Si m < n
( ) { } ∞====<−=−=− −⋅−
→ 01
0100Knm3xlímK
Kmnnm
3x
33. 3x tg5x²tg2
2x tgx²tg3lím
4x +−−−
π→
SOLUCIÓN: 00
3x tg5x²tg22x tgx²tg3lím
4x=
+−−−
π→ Indeterminado
( ) ( )( ) ( )
52
1054541616
5tgx4xtg5xtg41tgx6xtgxtg6lím
xtg15xtg1tgx4xtg1xtg1tgx6lím)Hopital´L(
3x tg5x²tg22x tgx²tg3lím
23
23
4x
22
22
4x4x
−=−
=−+−−+−
=−+−
−+−=
=+−+
+−+==
+−−−
π→
π→π→
34. ( )1x²xxx1xxlím
x ++−⋅
+++∞→
SOLUCIÓN: Estudiando las potencias máximas del numerador y del denominador se observa que el numerador es del orden de x1/2 mientras que el denominador es de la forma x3/2, luego el denominador tiende a infinito más deprisa que el numerador y por tanto: