-
( x ) Acta Latinoamericana de Matemática Educativa ( t )( + d p
x ( T ) x f ( ( + h ) f ( )pp ((( xx +++ dddxx)) -- ppp (( xxx ))
TT ((( xx ++ ddxx)) -- TTT (( xx ))) ff (( xx ++ ddxxx )) -- fff
((( xxx )) ff ((( xx +++ hhh ))) -- fff ((( xx ))) hh xx
s ( t ) - s ( t + h ) s ( + C h /3 + h )
( 0 ) = y ( 0 ) F Volumen 18 v ' ( 0 ) r v "
v ( r ) p r = ( p - p ) = r v ( r ) = v ( r ) = v ( 0 ) + v ( 0
) r v
t ) - s ( t + h ) s ( t ) + s ( t ) t f ( a + h ) = f
s ( t ) - + s " ( t )
h ) = f( a ) +
f ' ( x ) h + f " ( x + h p + h Q
p ( x + d x ) f ( x ) h x
s ( t ) a + h )
f ' ( a ...
f ( h /
s
p
f
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)
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( p ) = y ( 0 ) F = p r - p r v " ( 0 )
s ( t ) - s ( t + h ) s ( t ) + t f ( a + h ) = f x + d f ( a +
h )
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xx )) hhªª ff ((( xx )) == aa ...... ii === fff (( xx ++ hhh )) ===
fff (( xx )) ++ hh PP === fff (( xx ))) ++ hh pp +++ hhh QQQ
20052005
-
ACTA LATINOAMERICANA DEMATEMÁTICA EDUCATIVA
VOLUMEN 18
-
ii
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa CLAME
Consejo Directivo
Gustavo Martínez Sierra (Presidente)
[email protected]án Beitía Secretario
[email protected]ín Padovani Tesorero
[email protected] Montiel Espinosa Vocal Norteamérica
[email protected] Raúl Delgado Rubí Vocal Caribe
[email protected] Crespo Vocal Sudamérica
[email protected]
Consejo Consultivo
Egberto Agard [email protected] Cantoral
[email protected] Cajas [email protected] de
Castillo [email protected] Matías
[email protected] Peralta
[email protected]
Comisión de Admisión
Francisco Cordero [email protected] Analida Ardila
[email protected]íctor Martínez [email protected]
Comisión de Promoción Académica
Javier Lezama [email protected] de Faria
[email protected] Serres [email protected] Díaz
[email protected] Castillo [email protected]
Malaspina [email protected]
-
ACTA LATINOAMERICANA DEMATEMÁTICA EDUCATIVA
VOLUMEN 18
Editores
Javier Lezama Cicata-IPN Mario Sánchez Cicata-IPN Juan Gabriel
Molina Cicata-IPN
Editores Asociados Apolo Castañeda, Cecilia Crespo, Lorenzo
Contreras, Mario García, Elizabeth Mariscal, Gustavo Martínez,
Gisela Montiel, Alejandro Rosas.
Colaboración TécnicaJanet Ramírez, Allan de la Cruz.
Diseño Patricia Sánchez
Derechos Reservados ® COMITÉ LATINOAMERICANO DE MATEMÁTICA
EDUCATIVA A.C.CMM-040505-IC7Se autoriza la reproducción total o
parcial, previa cita a la fuente.
ISBN: 970-9971-00-X
Digitalizado en México/Junio de 2005
-
iv
COMITÉ CIENTÍFICO DE EVALUACIÓN
Armando Albert Gustavo Martínez
Gustavo E. Bermúdez Otilio B. Mederos
Gabriela Buendía Eduardo Miranda
Guadalupe Cabañas Juan Gabriel Molina
Ricardo Cantoral Gisela Montiel
Alberto Camacho Luis Roberto Moreno
Patricia Camarena Germán Muñoz
Luis Campistrous Hugo Parra
Apolo Castañeda Juan Carlos Piceno
Francisco Cordero Christiane Ponteville
Cecilia R. Crespo Evelia Reséndiz
Juan Raúl Delgado Celia Rizo
Crisólogo Dolores Carlos Rondero
Ed Dubinsky Blanca Ruiz
Rosa María Farfán David Warren Ruiz
Marcela Ferrari Mario Sánchez
Rosa Cecilia Gaita Eduardo San Martín
Agustín Grijalva Yolanda Serres
Juan Guadarrama Mayra Solana
Silvia Elena Ibarra Liliana Suárez
Javier Lezama María del Socorro Valero
Uldarico Malaspina
-
Tabla de Contenidos
v
Presentación Comisión Académica del Acta Latinoamericana de
Matemática Educativa 2005 xvii
CATEGORÍA 1: ANÁLISIS DEL CURRÍCULUM Y PROPUESTAS PARA LA
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS 1
Introducción 3
Tránsito entre Representaciones en Matemáticas ¿Pensamiento
Global o Local? 5Juan Alberto Acosta
Preconceptos en el Aprendizaje del Cálculo 11Martha Alvarado y
Carlos García
Papel de la Teoría de Conjuntos en la Construcción de losNúmeros
Naturales 19Mario J. Arrieche
Significados de la Probabilidad en la Educación Secundaria
27Carmen Batanero
Sistemas Sintéticos. Lo Inteligible en los Manuales parala
Enseñanza 35Alberto Camacho
La Metodología de la Verosimilitud Empírica 43Gonzalo
Delgado
Educación de Adultos ¿Saberes Matemáticos Previos o Saberes
Previos a los Matemáticos? 51María Fernanda Delprato
Propuesta Didáctica para la Enseñanza de las Matemáticas 57Edith
Dubon
Qué Ideas Tienen los Estudiantes Acerca de su Comprensión: Un
Estudio Transversal 63Inés Elichiribehety y María Rita Otero
-
Tabla de Contenidos
vi
Enseñanza y Comprensión del Enfoque Frecuencial de
laProbabilidad en Segundo Grado de Secundaria 71Saúl
Elizarraras
Un Marco para la Evaluación de la Estadística en Ingeniería
79Daniel Fernández y Mónica Guitart
La Resolución de Problemas como Herramienta de Diagnóstico del
Proceso de Enseñanza y Aprendizaje de la Matemática en Educación
Diversificada y Profesional 87Thairo Figueroa y Mario Arrieche
Ecuación Cuadrática: Una Ingeniería Didáctica para su Enseñanza
93María Rey Genicio, Graciela Lazarte, Silvia Porcinitoy Clarisa
Hernández
Fractal: Ideas y Percepciones de Estudiantes entre 15 y 17 Años
101Sabrina Harbin y Miriam Mireles
Métodos Participativos, Un Arma Poderosa para el Aprendizaje
109Yolanda Hernández y Armando de Pedro Lugo
Concepciones que los Alumnos de Nivel Medio SuperiorTienen sobre
los Ángulos Negativos y Mayores de 360° 115
Rosario Lluck, Graciela Valdés, Santiago R. Velázquezy Gustavo
Martínez
Dificultades de Comprensión de Estocásticos en la Educación
Secundaria 123José Manuel López
La Habilidad Ubicación Espacial Matemática, como Habilidad
Esencial, en la Visualización Matemática 131Lilia López, Alfredo
Alanís y Olga L. Pérez
Convención Didáctica sobre la Demostración Geométrica 139Efrén
Marmolejo y María del Carmen Solano
Significados Personales de la Derivada en Estudiantes de
Ingeniería 147Albéniz A. Meléndez y Mario J. Arrieche
-
Tabla de Contenidos
vii
Una Propuesta para la Enseñanza de la Geometría en la Educación
Primaria 155Hermes Nolasco
Uso del Conocimiento Estadístico en Egresados de
PsicologíaEducativa de la Universidad Pedagógica Nacional 161
Arcelia Palacios, Cuauhtémoc G. Pérez, Yanelly Arellano, Nancy
Hernández,Sonia Villaseñor y Angelina González
Plan Estratégico para Mejorar la Eficiencia Terminal en Cursos
de Matemáticas 169Carlos Daniel Prado
La Prensa como Medio y Recurso Didáctico en la Resolución
deProblemas Matemáticos 177Ana Guadalupe Quiroga y Olga Lidia
Pérez
Didáctica de la Probabilidad y Estadística. El Caso de
laVariable Aleatoria 185Blanca R. Ruiz Hernández y José Armando
Albert Huerta
Algunas Dificultades en la Conversión Gráfico-Algebraica de
Situaciones de Vectores 193José Luis Soto
La Mediación…un Factor Fundamental en la Construcción de
Aprendizajes Significativos 201Gloria Suhit y Marta Baunaly
Razonamiento Probabilístico en Estudiantes del Nivel Superior
207Manuel Alfredo Urrea
El Desarrollo Intelectual y la Resolución de Problemas 215María
del Valle y Eduardo Mardones
Enseñanza y Comprensión del Enfoque Clásico de laProbabilidad en
Primer Grado de Secundaria 223Orlando Vázquez
-
Tabla de Contenidos
viii
El Papel de las Representaciones en el Éxito de la Resolución de
Problemas 231José Luis Villegas, J. Roberto García y Enrique
Castro
CATEGORÍA 2: EL PENSAMIENTO DEL PROFESOR, SUS PRÁCTICAS Y
ELEMENTOS PARA SU FORMACIÓN PROFESIONAL 239
Introducción 241
Pensamiento Complejo y Educación Matemática Crítica 245Martín
Andonegui
Incremento, Diferencial y Aproximación Lineal 253José Ismael
Arcos
Sistema Para la Gestión, Evaluación y Seguimiento de Sistemasde
Enseñanza de las Matemáticas mediante e-Learning 259Juan Baltazar
Cruz
Construyendo una Estrategia Metodológica Participativa en el
Curso de Geometría del Currículo de Formación del DocenteIntegrador
265Rosa Becerra
Geometría en Bachillerato 273Gustavo Bermúdez
La Resolución de Problemas como un Medio para la Formación del
Concepto de Media Numérica. Primera Parte 281Otilio Bienvenido
Mederos y José Enrique Martínez
Razones y Proporciones en la Dinámica Cotidiana 289
Anabelle Castro, Rommel Alvarado, Omar Gätgensy Francisco
Rodríguez
Comparación de la Enseñanza de la Geometría en losSistemas
Escolares Chileno y Francés 295Corine Castela e Ismenia Guzmán
-
Tabla de Contenidos
ix
Relación de Futuros Profesores de Matemáticas con la Geometría y
sus Tareas 303Corine Castela e Ismenia Guzmán
Las Funciones de la Demostración en el Aula de Matemática
307Cecilia R. Crespo y Christiane C. Ponteville
La Geometría en el Arte: Los Vitrales de las Catedrales Góticas
313Cecilia R. Crespo
Geometría para Armar 321Cristina Ferraris
Geometría Dinámica en las Clases de Matemáticas 327Claudia
Flores y Betsabé Adalia Contreras
Prácticas Ostensivas en la Enseñanza de la Matemática 335Dilma
Fregona
Desarrollos Matemáticos en Arquitectura 341María Dolores García
y José Armando Albert
Conflictos Epistémicos en un Proceso de Estudio de laNoción de
Función. Implicaciones para la Formación de Profesores 349Juan D.
Godino, Miguel R. Wilhelmi y Delisa Bencomo
Significados Institucionales y Personales de las Fraccionesen
Educación Básica 357Juviry González y Mario Arrieche
Análisis del Desarrollo de la Puesta en Escena de unaSituación
Didáctica “La Función Exponencial 2x ” conEstudiantes de
Bachillerato 363Jorge López y Javier Lezama
-
Tabla de Contenidos
x
La Educación Matemática: Una Aproximación a su Comprensióndesde
una Visión Interdisciplinar 369Andrés Moya
El uso Inadecuado de Conceptos Matemáticos en las Escuelas de
Ingeniería 377Alejandro Muñoz
Concepciones Dominantes en la Enseñanza del Concepto deNúmero
Entero en Estudiantes de Formación Inicial 385Hugo Parra
Transferencia de Resultados: Taller con Docentes de Escuela
Media 391
Josefina Royo, Celia Torres, Edna Agostini, Ana Lasserrey
Mercedes Naraskevicins
Una Propuesta para Reconstruir el Saber Didáctico y Matemático
en un Curso de Actualización Docente 399Yolanda Serres
Diseño de Gráficas a partir de Actividades de Modelación
405Liliana Suárez, Carolina Carrillo y José Iván López
Desarrollo de Habilidades del Pensamiento en Formade Conceptos
411Tania Toledo y Violeta Fernández
El Desarrollo de Habilidades Matemáticas y
ActividadesMatemáticas Universales. Sus Implicaciones en
laFormación de Profesores 417Santiago Ramiro Velázquez
Concepciones de los Docentes sobre la Matemática. Su Incidencia
en la Enseñanza y el Aprendizaje 425
Silvia Vilanova, M. Cristina Rocerau, Perla Medina, Mercedes
Astiz, María Oliver, Susana Vecino y Guillermo Valdez
-
Tabla de Contenidos
xi
CATEGORÍA 3: CONSIDERACIÓN DE ASPECTOS SOCIOEPISTEMOLÓGICOS EN
EL ANÁLISIS Y EL REDISEÑO DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR 431
Introducción 433
Un Estudio del Teorema Fundamental del Cálculo en el Contexto
Área Bajo la Curva 437María Antonieta Aguilar
Una Alternativa para la Construcción Aritmética-Algebraica de
lasConvenciones Matemáticas Presentes en los Exponentes 445Rocío
Antonio y Gustavo Martínez
Prácticas Sociales y Argumentos: El Caso de lo Periódico
451Gabriela Buendía
La Noción de Conservación en el Estudio del Área 457Ma.
Guadalupe Cabañas
Socioepistemología de la Predicción 463Ricardo Cantoral, Juan
Gabriel Molina y Mario Sánchez
Mecanismos para la Difusión del Discurso Matemático Escolar
469Apolo Castañeda
La Socioepistemología en la Graficación del DiscursoMatemático
Escolar 477Francisco Cordero
La Significación Física de la Integral a Partir de la
Modelaciónde Fenómenos 483Gildardo Cortés
El Concepto de Función: Un Breve Recorrido Epistemológico
489Rosa María Farfán y Mario A. García
El Uso de las Gráficas en los Libros de Texto 495Rebeca Flores y
Francisco Cordero
-
Tabla de Contenidos
xii
Modelación de la Evolución de la Levadura: Un Estudio de
lasPrácticas Sociales del Ingeniero Bioquímico 503Adriana Galicia y
Jaime Arrieta
¿Son las Prácticas Sociales Fundamento para la Democratización
de la Matemática? 511Carlos García
La Construcción Social de la Noción de Variable 517Enrique
Javier Gómez, Crisólogo Dolores y Gustavo Martínez
Contrastes Epistemológicos del Binomio de Newton y la Seriede
Taylor en Dos Variables en los Fenómenos Físicos 523Hipólito
Hernández
Los Logaritmos a Partir de la Covariación de Sucesiones
531Marisol Hernández y Marcela Ferrari
Las Prácticas Sociales de Modelación y la Emergencia de lo
Exponencial 537Miguel Ángel Hernández y Jaime Arrieta
Entorno Sociocultural y Cultura Matemática en Profesores del
Nivel Superior de Educación: Estudio de Caso: El
InstitutoTecnológico de Oaxaca. Una Aproximación
Socioepistemológica 543Javier Lezama y Luz María Mingüer
La Función Logaritmo bajo la Perspectiva de la Construcción dada
por Agnesi (1748) 551Renata Ivonne López y Marcela Ferrari
Continuidad y Ruptura de Significados en el TratamientoEscolar
de los Exponentes 559Gustavo Martínez
Los Procesos de Convención Matemática como Constituyentes en la
Construcción Social de la Matemática de la Variacióny el Cambio
567Gustavo Martínez
-
Tabla de Contenidos
xiii
Las Prácticas Sociales de Modelación Multilineal de Fenómenosen
el Aula 575Maria Esther Magali Mendez y Jaime L. Arrieta
Simulación de la Evolución: Una Práctica Social Bajo el Marco
Cooperativo 583
Esther Moreno, Jaime Arrieta, Efrén Marmolejo, Leonora Díazy
Joaquín Padovani
Naturaleza de un Campo Conceptual del Cálculo Infinitesimal: Una
Visión Epistemológica 589Germán Muñoz
Dialéctica Entre lo Conceptual y lo Algorítmico Relativa a
PrácticasSociales con Cálculo Integral 597Germán Muñoz
¿Cómo Trabajar los Límites Especiales 1sen
lim0 x
xx
y
0cos1
lim0 x
xx
?605
Catalina Navarro y Ricardo Cantoral
A Través de lo Periódico, el Sol y las Estrellas son mi Reloj
613Hipólita Patricio, Carlos A. García y Jaime L. Arrieta
Las Prácticas de Hacer Semejanzas en los Triángulos y
laEmergencia de las Razones Trigonométricas 619Hipólita Patricio,
Carlos A. García y Jaime L. Arrieta
El Tratamiento de Fenómenos Físicos para Aprender Matemáticas
625Pericles Ramírez y Gildardo Cortés
Análisis Socioepistemológico de los Procesos de Matematización
de la Predicción en la Economía 631Saúl Ezequiel Ramos
Modelación en Matemática Educativa 639Liliana Suárez y Francisco
Cordero
-
Tabla de Contenidos
xiv
La Modelación y las Gráficas en Situaciones de Movimiento con
Tecnología 645Araceli Torres y Liliana Suárez
CATEGORÍA 4: EDUCACIÓN A DISTANCIA Y EMPLEO DE LAS TECNOLOGÍAS
DE LA INFORMACIÓN Y LA COMUNICACIÓN EN EL APRENDIZAJE DE LAS
MATEMÁTICAS 651
Introducción 653
Educación a Distancia: Una Experiencia para el Ingreso en la
FRBB 655
Mónica García, Gustavo Escobar, Gloria Suhit, Marta Vidal,
Martín De Lucca, Carlos Frank y Eduardo Bambill
Visión Estudiantil de la Recta y Continuidad 659Carlos García y
Martha Alvarado
Una Caracterización del Contrato Didáctico en un Escenario
Virtual 667Gisela Montiel
Ambiente Virtual con Soporte en la Multimedia y el Software
Mathcad para el Aprendizaje de la Teoría de Polinomios 673Rafael
Pantoja y Ricardo Ulloa
La Enseñanza del Concepto de Número Real en Ambientes Virtuales
Interactivos 681Nazly E. Salas y Harold Castillo
Un Estudio sobre Interacciones y Comunicación en Educación
Matemática a Distancia 687Mario Sánchez y Rosa María Farfán
El Uso de las Nuevas Tecnologías de la Información en la
Enseñanza de las Matemáticas 693Dario Santiago y Lourdes
Quezada
Tendencias Actuales en la Enseñanza-Aprendizaje de las
Matemáticas y la Utilización de las Nuevas Tecnologías de la
Información y las Comunicaciones en la Educación 701Yanet
Villanueva
-
Tabla de Contenidos
xv
CATEGORÍA 5: USO DE LA TECNOLOGÍA EN EL PROCESO DE APRENDIZAJE
DE LAS MATEMÁTICAS 707
Introducción 709
Un Proceso de Actualización Integral de Profesores de
Matemáticas en el Uso Didáctico de los Sistemas de Cómputo
Simbólico: Resultados Preliminares y Reflexiones 711
Ana Guadalupe del Castillo, José Ramón Jiménez, Enrique Hugues y
Lucía Guadalupe Dórame
Determinación de Raíces de Ecuaciones utilizando la Calculadora
Gráfica como Medio de Enseñanza y Aprendizaje 717Esther Ansola y
Eugenio Carlos
El Uso de la Calculadora Graficadora en la Enseñanza y
Aprendizaje de las Matemáticas en Educación Secundaria 723Eugenia
Apreza y Santiago Ramiro Velázquez
El Computador en la Clase de Matemáticas: Desde lo Dinámico y lo
Semiótico 727Walter F. Castro y Hugo F. Pardo
Algunos Usos de la Computadora en el Aula 733Armando Cuevas y
Magally Martínez
Un Acercamiento Alternativo al Cálculo Diferencial 741Carlos
Armando Cuevas y Hugo Rogelio Mejía
Matemáticas y Nuevas Tecnologías en Costa Rica 749Edison De
Faria
Uso de Hojas Electrónicas en la Enseñanza de la Distribución
Normal 757Enrique Hugues
La Construcción de la Prueba Geométrica en un Ambiente de
Geometría Dinámica en Secundaria 765Víctor Larios
Enseñanza del Cálculo con Animaciones 771José Roberto
Mandujano
Aplicabilidad Pedagógica de las Macros (Cabri II) en la
Enseñanza de la Geometría 779Eduardo Mardones y Andrés Ortiz
-
Tabla de Contenidos
Laboratorio Virtual de Matemáticas 785Emir Martínez, Jaime L.
Arrieta y Antonio Canul
Un Software Asistente de Geometría y Una Visualización Dinámica
del Teorema Fundamental del Cálculo 791Rafael A. Meza
La Calculadora Gráfica Como Recurso Didáctico en el Aprendizaje
del Cálculo de Integrales Dobles 799Eugenio Carlos y Leonor
Fernández
ADENDA 806
Importancia del Análisis del Discurso en el Aula para la
Investigación Educativa 807Antonia Candela
Los Usos Sociales de la Matemática en las Ciencias Prácticas de
la Cultura Maya: Un Estudio Socioepistemológico 813Ricardo Cantoral
y Olda Covián
Tecnologías de Información y Comunicación en el Postgrado de
Enseñanza de la Matemática. Caso UNEG. 819Sandra L. Castillo
Importancia en Matemática Educativa, de la Interrelación entre
la Teoría Matemática, Técnicas Modernas de Cómputo y Problemas del
Contexto Empresarial para Motivar a Docentes y Estudiantes
825
De las Mercedes Cribeiro Josefina
Incoherencias y Pensamiento Matemático: La Influencia de los
Lenguajes Matemáticos y Representaciones sobre el Razonamiento en
el Dominio del Infinito
833
Sabrina Harbin
Ingeniería Didáctica en Física-Matemática 841Marta J.
Marcolini
Perspectivas Curriculares y Uso Didáctico de la Modelación en
Educación Matemática
847
Víctor Martínez y José Ortiz
¿Se pueden crear Matemáticas desde la Didáctica de la
Matemática? 853Tomás Ortega
Sobre la Enseñanza de Límites Usando Calculadoras Gráficas
859Antonio R. Quezada
xvi
-
Tabla de Contenidos
Resignificación del ph por Medio de la Covariación de
Progresiones Geométricas y Progresiones Aritméticas
867
Miguel Romero y Marcela Ferrari
Análisis Gráfico de funciones 873María del Socorro Valero
xvii
-
Tabla de Contenidos
xviii
-
Presentación
xix
Presentación
El Comité Latinoamericano de Matemática Educativa, CLAME, tiene
entre sus propósitos, posibilitar el intercambio entre colegas -
profesores e investigadores – creando espacios académicos que
favorezcan el contraste periódico de experiencias de docencia e
investigación en castellano, orientando sus acciones en beneficio
de los sistemas escolares de nuestra América Latina.
CLAME, ante el aumento en la participación de colegas de los
distintos países latinoamericanos, así como la creciente
profesionalización de la comunidad que año con año participa
activamente en sus reuniones, ha ido configurando proyectos
académicos que perfilan y consolidan el proceso de fortalecimiento
de la disciplina en América Latina, bajo la premisa de conservar la
pluralidad de los acercamientos existentes y el respeto a las
tradiciones educativas propias de cada uno de los países
miembros.
Es en este contexto de ideas y en cumplimiento además de uno de
los propósitos específicos del CLAME, promover la creación,
organización, acumulación y difusión del conocimiento referidos a
la matemática educativa, se publica año con año el Acta
latinoamericana de Matemática Educativa.
Los artículos publicados el Acta 2005, debieron cumplir con dos
requisitos básicos, haber sido expuestos en alguna de las
actividades de Relme 18 y su posterior presentación en forma de
artículo, sujetándose a una evaluación rigurosa de pares
especialistas en el campo. La publicación en el Acta de un trabajo
presentado en Relme no es automática. Con esto, lo que se persigue
es hacer del Acta un instrumento de calidad que difunda del estado
del arte que en materia de docencia e investigación en nuestro
campo, se realiza por amplio número de profesores en investigadores
en Latinoamérica.
En el Acta 2005, el comité académico ha trabajado en tres
aspectos que ha considerado fundamentales y que esperamos
contribuyan a la calidad de la publicación. El primero, poner mayor
cuidado en el proceso de evaluación, segundo, vigilar el
cumplimiento del formato establecido, especialmente en el aspecto
de la presentación de las referencias bibliográficas, tanto
solicitándoles a los autores la corrección de la misma, como
interviniendo directamente en una revisión del total de la
bibliografía de los artículos aprobados. Por último, haciendo un
ejercicio de clasificación de los artículos en cinco categorías
temáticas que consideramos representan de manera sintética el
pensamiento global de los artículos propuestos para el Acta.
Las categorías que componen el Acta son:
Categoría 1: Análisis del Currículum y Propuestas para la
Enseñanza de las Matemáticas.
Categoría 2: El Pensamiento del Profesor, sus Prácticas y
Elementos para su Formación.
Categoría 3: Consideración de Aspectos Socioepistemológicos en
el Análisis y Rediseño del Discurso Matemático Escolar.
Categoría 4: Educación a Distancia y Empleo de las TIC’s en el
Aprendizaje de las Matemáticas.
Categoría 5: Uso de la Tecnología en el Proceso de Aprendizaje
de las Matemáticas.
-
Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol.18
xx
Cada una de estas categorías, va precedida de una breve
introducción donde se reflexiona sobre el tema y se comentan de
manera sucinta el contenido de los artículos que la componen.
La Comisión Académica del Acta, agradece a todos los profesores
e investigadores que enviaron sus artículos, pusimos nuestra mayor
atención en la constitución de este documento y nos sentimos
orgullosos de haber podido prestar este servicio académico.
Agradecemos a los árbitros por su contribución solidaria y
profesional, así mismo agradecemos de manera especial a todos los
colegas que de manera generosa y entusiasta nos regalaron su
tiempo, inteligencia y creatividad para la realización de este
proyecto.
Comisión Académica del Acta Latinoamericana de Matemática
Educativa 2005. Junio de 2005, México.
-
Categoría 1:
Análisis del Currículum y Propuestas para la Enseñanza de las
Matemáticas
1
-
Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 18
2
-
Análisis del Currículum y Propuestas para la Enseñanza de las
Matemáticas
Introducción
Los trabajos de los investigadores de matemática educativa,
desde un inicio han puesto de manifiesto el gran interés existente
en el análisis del curriculum y el diseño y desarrollo curricular.
Este interés, por supuesto no se ha mantenido estático, sino que ha
ido evolucionando y nutriéndose año tras año del intercambio de
ideas y propuestas que se produce en las reuniones en las que se
presentan y comparten temáticas y abordajes diversos y a través de
publicaciones que denotan cada vez más la madurez de nuestra
comunidad latinoamericana.
En este capítulo se presenta una serie de trabajos que muestran
el estado actual de algunas de las investigaciones que se están
realizando en la comunidad latinoamericana en relación al análisis
del curriculum y la formulación de propuestas para la enseñanza de
diversos contenidos de la matemática.
Las reflexiones acerca del pensamiento matemático y el
aprendizaje de los conceptos matemáticos permiten comprender algo
más acerca de los procesos que llevan a cabo los alumnos cuando se
enfrentan a nuevos conceptos matemáticos. El análisis del marco
institucional vigente y del desempeño de docentes y alumnos en
escenarios específicos, permite la identificación de dificultades
de unos y otros. Sobre la base de este análisis y tomando como
antecedente los problemas del aprendizaje, se logran propuestas de
estrategias innovadoras en la enseñanza de la matemática, apoyadas
en una concepción de aprendizaje constructivo y significativo. En
muchas oportunidades, las dificultades son ocasionadas por la
presentación de los conceptos matemáticos aislados de contexto
práctico, social y de aplicación.
En relación con los marcos teóricos presentes en estos trabajos,
podríamos decir que confluyen muchas veces marcos teóricos
eclécticos, mostrando una amplia gama de formaciones y de
investigaciones a las que nuestra comunidad se encuentra abierta, y
mediante las cuales se enriquece. En esta confluencia, es posible
reconocer una de las características de los investigadores en
matemática educativa siempre han manifestado, que consiste en
considerar que cada una de las aproximaciones tiene algo que
aportar al campo y que no es posible rechazar ninguna de ellas,
siendo necesario reconocer que las múltiples perspectivas de estas
aproximaciones diferentes pueden realizar aportes importantes para
el análisis integral de los objetos de estudio e investigación de
la matemática educativa.
Muchas veces el punto de partida para las investigaciones e
matemática educativa es la detección del bajo índice de aprobación
en los cursos de matemática en los distintos niveles, de las
dificultades en la comprensión de un tema por parte de los alumnos,
de la falta de vinculación de conceptos afines, o dicho en términos
más generales la existencia de aprendizajes matemáticos son
logrados satisfactoriamente. A partir de esto, surge inmediatamente
en los docentes e investigadores la necesidad de discutir la
pertinencia de los contenidos seleccionados, de las estrategias y
procedimientos utilizados y de la revisión de las formas de
evaluación utilizadas. Esta reflexión da origen a la mayoría de las
investigaciones que estamos presentando en este capítulo.
Sin lugar a dudas en estas reflexiones cobra singular
importancia el escenario en el que se desenvuelve la comunidad
educativa. Las distintas respuestas van dando origen a propuestas
de ingenierías didácticas para lograr una enseñanza aprendizaje más
eficiente. En estas propuestas aparecen como ideas centrales la
vinculación e integración permanente entre los conceptos, la
presentación de actividades de aprendizaje variadas que aprovechan
los recursos existentes, la valoración de las distintas
representaciones, la importancia del aprendizaje colaborativo y
el
3
-
Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol.18
rediseño de métodos de evaluación. Se pone de manifiesto en
estas investigaciones la presencia de equipos de investigadores a
veces interdisciplinarios que permiten tener una visión integral de
la problemática y a partir de ella la formulación de propuestas en
las que se ponen de manifiesto elementos teóricos epistemológicos y
cognitivos diversos.
4
-
Tránsito entre Representaciones en Matemáticas ¿Pensamiento
Global o Local?
Juan Alberto AcostaUniversidad Autónoma del Estado de
Hidalgo
México [email protected]
Pensamiento Matemático Avanzado – Nivel Medio
ResumenEste trabajo pretende dar a conocer el avance, que hasta
el momento se ha logrado, en la línea de investigación:
“Visualización y pensamiento global en Matemáticas”, la cual
persigue, a partir de la Teoría de Representaciones Semióticas de
Duval, la caracterización del estilo de pensamiento global y local,
de estudiantes de nivel medio superior y superior y de sus
profesores. En particular reporto los resultados preliminares
encontrados hasta el momento con estudiantes de primeros semestres
de licenciatura al abordar un problema de precálculo, contrastado
con desempeños en ajedrez para interpretar aspectos semejantes en
cuanto a la forma local o global de pensar un problema viendo sus
registros que lleven a resultados que pudieran servir en la mejora
de la enseñanza de algunos temas de matemáticas.
Antecedentes
En las últimas décadas, la matrícula del nivel medio superior en
México, ha crecido en gran medida. En 1940, la población era de
10,000 estudiantes, mientras que en 1997 fue de 2,438,676. Este
aumento impresionante, ha originado serios problemas en el sector
educativo nacional, entre los cuales resalta el bajo nivel de
aprovechamiento de los estudiantes de bachillerato. Entre las
posibles causas del bajo nivel de aprovechamiento de los
estudiantes se cuenta la improvisación de muchos de los profesores
que atienden la creciente demanda de jóvenes que ingresan a ese
nivel (Acosta J. A, Ávila O., Barrera F., Castillo O., Palazuelos
S., Roldán O. & Rondero C, 2004).
No obstante la puesta en marcha de algunos programas de
formación y actualización docente, impulsados por la Secretaría de
Educación Pública en el nivel básico (primaria y secundaria), los
resultados de los estudiantes mexicanos que participaron en el
examen que aplicó la Organización para la Cooperación y el
Desarrollo Económico 1 (OCDE), fueron poco satisfactorios, al
ubicarse nuestro país en penúltimo lugar, obteniendo 387 puntos,
siendo el promedio de 500 puntos (Acosta, 2003).
Sobresale la correlación de los datos anteriores con los
resultados obtenidos al aplicar un examen diagnóstico a 753
estudiantes de semestres iniciales del ICBI de la UAEH, del año
2000 al 2003, que consistió en diez preguntas: un problema de
razones y proporciones; otro de suma de fracciones; tres de
trigonometría (funciones trigonométricas, triángulo isósceles y
teorema de Pitágoras); y dos de graficación. Del total de alumnos,
solamente 35, o sea el 4.5 %, obtuvieron más del 70 % de aciertos
(Acosta, 2003).
1 Periódico Reforma del 4 de diciembre de 2001
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 18
Asimismo, el examen diagnóstico referido en el párrafo anterior,
se aplicó a 21 profesores de primaria y secundaria que tomaron el
curso corto: “Pensamiento Global en Matemáticas” impartido en el I
Coloquio de Matemática Educativa para profesores en abril de 2002.
Resultando que de los 14 docentes de secundaria, dos obtuvieron más
del 70 % de aciertos, cinco en el intervalo del 50 % a 70 % y los
otros siete menos del 50 %. De los siete de primaria, tres
obtuvieron menos del 25 % de aciertos; y los otros cuatro en el
intervalo de 25 % a 70 % aciertos. En total, solamente dos
profesores, o sea menos del 10 %, obtuvieron más del 70 % de
aciertos (Acosta, 2003).
Marco teórico
La percepción que tiene un estudiante promedio acerca de los
conceptos matemáticos es en ocasiones local, de acuerdo al curso
que esté llevando o los que ya haya tomado. Enfatiza algún aspecto
en particular (algebraico, numérico, gráfico, oral, dinámico o
estático); esto se debe a que en ocasiones, el profesor prioriza el
aspecto algorítmico de la matemática, y casi de manera general no
transita a alguna otra representación, lo cual repercute
desfavorablemente en la cognición de los estudiantes. El desarrollo
del pensamiento matemático en el estudiante debe promoverse
mediante actividades que, como lo señala Duval (1999), propicien la
diversificación tal de las representaciones de un mismo objeto, que
aumente las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto sus
representaciones mentales. El estudiante de cursos iniciales de
matemáticas, generalmente tiene percepciones y representaciones
limitadas de saberes y procesos de la matemática, un pensamiento nó
holístico un tanto local de los saberes.
Cualquier persona tiene representaciones mentales, es decir, un
conjunto de imágenes y de concepciones que puede tener, sobre un
objeto, sobre una situación y sobre aquello que les está asociado.
Las representaciones semióticas, es decir aquellos productos
constituidos por el empleo de signos (enunciado en lenguaje
natural, fórmula algebraica, gráfica, figura geométrica) no parecen
ser más que el medio del cual dispone un individuo para
exteriorizar sus representaciones mentales; es decir para hacerlas
visibles o accesibles a otros. Aunque como los dice Duval (1999),
esto va más allá, Las representaciones semióticas no solo son
indispensables para fines de comunicación, sino que son necesarias
para el desarrollo de la actividad matemática misma.
El pasar de un sistema de representación a otro o la
movilización simultanea de varios sistemas de representación en el
transcurso de un mismo recorrido intelectual, fenómenos tan
familiares y tan frecuentes en la actividad matemática, para nada
son evidentes o espontáneos para la mayoría de los alumnos. El
encerramiento persiste incluso después de que en la enseñanza se
hayan utilizado ampliamente diferentes sistemas semióticos de
representación (Duval, 1999). Este encerramiento resulta del
fenómenos de no congruencia entre las representaciones de un mismo
objeto que proviene de sistemas semióticos diferentes.
Las consideraciones visuales, como lo señala Hitt (1997), son
importantes en la resolución de problemas, esto tiene que ver con
una visión global, integradora, holística, que articule, libre de
contradicciones. Pero no basta tener varias representaciones, es
necesario desarrollar la habilidad de pasar de una a otra cuando
sea necesario. Duval (1997) presenta un ejemplo, “la expresión y la
representación gráfica cartesiana de dos cuadrantes determinados
respectivamente por semi-ejes y y x x positivos, x y y negativos,
son congruentes si se pasa de
0xy
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Tránsito entre Representaciones en Matemáticas ¿Pensamiento
Global o Local?
la escritura algebraica a la gráfica, pero no lo son a la
inversa”. Algunos profesores, también se presentan incongruencia al
transitar de una representación a otra, tal es el caso reportado
por Acosta (1999), donde se realizaron entrevistas video-grabadas a
cuatro profesores preguntándoles el valor de la derivada y de la
función, en x = a, en referencia a las gráficas de f(x) y su
tangente en x = a. Dos de los maestros de licenciatura que no son
profesores de Cálculo, encontraron el valor de la función, teniendo
dificultad para encontrar el de la derivada; los otros dos
profesores, uno de bachillerato y el otro de licenciatura
encontraron f(a) viendo el esquema. f’(a) lo encontraron
analíticamente, no siendo relevante la representación gráfica para
la solución. En el mismo proyecto se entrevistaron a tres
profesores, dos de bachillerato y uno
de licenciatura, preguntándoles si la solución algorítmica de
una integral impropia 321
14x
dx
era correcta. Los dos primeros se encapsularon en una sola
representación: la algebraica – algorítmica. El tercer profesor, de
manera espontánea e inmediata comentó sobre la discontinuidad de la
función a integrar y por consecuencia la contestación esperada
(Acosta, 1999).
Por lo anterior, suponemos que el estilo de pensamiento, un
“estilo global de pensar”, que emplean expertos en ámbitos
diferentes, puede tener en común los procesos avanzados de
pensamiento, en el sentido que comenta Cantoral (1997), el proceso
avanzado de pensamiento matemático. Así un buen jugador de ajedrez,
inserta pensamiento, en un ambiente de competencia, sobre tópicos
de ajedrez y por otro, procesos avanzados del pensamiento. Nuestro
interés es investigar desde el punto de vista cognitivo, los
elementos empíricos, como el lenguaje, las representaciones, el
razonamiento, que proporcionen información acerca de los procesos
mentales de pensamiento que permitan comprender, en un segundo
momento como una persona aprende matemáticas. Además de
preguntarnos si el pensamiento global es característico de un
experto en su ámbito, y en particular en la enseñanza de la
matemática, y en que grado un dispositivo físico lúdicamente
manipulable sería una representación semiótica, que forme parte de
un sistema de representaciones de un objeto matemático.
Experimentación
La parte experimental, consistió en dos etapas, la primera en el
análisis de un video de una partida de ajedrez entre un novato y un
experto; y la segunda en dos entrevistas video-grabadas, una a un
estudiante no aventajado y otra a uno aventajado.
Tanto el novato, como el experto en ajedrez son estudiantes de
segundo semestre de la licenciatura en Sistemas Computacionales de
la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, e integrantes del
“Club Universitario de ajedrez”. Los alumnos, “aventajado” y “no
aventajado” son estudiantes de primer semestre de la misma
licenciatura.
El propósito de analizar los comentarios de los contendientes en
la partida de ajedrez, es caracterizar el tipo de pensamiento, a
través de lo expresado por ellos, en cada jugada.
La partida de ajedrez se llevó a cabo en aproximadamente 15
minutos, jugó con blancas el novato y con negras el experto; ganó
el experto.
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 18
En cuanto a las entrevistas sobre matemáticas, se pidió por
separado que dijeran y escribieran todo lo que se le ocurriera para
obtener la solución de la desigualdad:
022 xx
El propósito de esta entrevista es caracterizar el estilo de
pensamiento que tiene el estudiante, a través del lenguaje, las
representaciones, analíticas y gráficas, y su tránsito entre ellas,
que se manifiestan durante el desarrollo hacia la solución.
Análisis preliminar de los resultados de la experimentación
Comentarios de las primeras jugadas de la partida de ajedrez
Primera jugada Novato (blancas) Experto (negras)
e3 e5Muevo peón de rey, para sacar alfil Dominio de espacio
Comentario: La perspectiva del novato es mover un peón,
posteriormente involucrar al alfil; en cambio el experto espera
iniciar el dominio del centro del tablero con un movimiento más
agresivo.
Segunda jugada Novato (blancas) Experto (negras)
Ac4 d5Muevo alfil para tomar más piezas afuera de más valor
Desarrollo y dominio de centro con ataque al alfil blanco
Comentario: Mientras que el novato mueve el alfil para poner en
juego otras piezas, el experto domina el centro y ataca al mismo
tiempo al alfil.
Tercera jugada Novato (blancas) Experto (negras)
Ab5+ c6Ahora el me presiona con comer mi alfil y entonces avanza
1 casilla y lo pongo en Haque
Jugada de desarrollo, fortificación del centro y quita el
jaque
Comentario: El novato dá jaque, sin perspectiva de que cause
algún daño considerable. En cambio el experto se cubre del jaque y
al mismo tiempo fortalece el centro del tablero.
Cuarta jugada Novato (blancas) Experto (negras)
Aa4 Cf6Me veo obligado a retroceder alfil para que no me
coma
Desarrollar caballo de rey para enroque y posterior ataque al
rey blanco
Comentario: El novato tiene que retroceder, para no perder el
alfil. El experto mueve el caballo para apoyar al centro y además
le proporciona perspectiva para posteriormente proteger al rey
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Tránsito entre Representaciones en Matemáticas ¿Pensamiento
Global o Local?
Comentarios de la entrevista de matemáticas con el estudiante
aventajado (15 minutos)
En su primera respuesta dice que el signo del término cuadrático
dará información de cómo se dibujan las ramas de la parábola;
calcula las raíces, factorizando la expresión y las ubica en la
recta numérica, manifestando el intervalo solución y dando
información sobre la notación de intervalos cerrados (al decir que
se llena el círculo cuando el valor extremo se incluye en el
intervalo)
En su segunda intervención el estudiante aventajado, expresa
verbalmente y con representaciones en el pizarrón la solución (
),1()2,( )
Comentarios de la entrevista de matemáticas con el estudiante no
aventajado
En su primera respuesta se enfoca a obtener las raíces de la
función cuadrática, factorizándola y después se refiere a la
desigualdad y manifiesta despejar x.
Al preguntarle que tipo de función responde que es cuadrática y
hace referencia a y a su gráfica. Comenta que la involucrada en la
desigualdad tiene un defasamiento con respecto a la que escribió,
sin precisarlo.
2xy
Después de guiarla hacia la obtención de las raíces por la
fórmula general, aún no las relaciona con la solución de la
desigualdad.
Hacia el final de la entrevista dice: “.x puede tomar todos los
valores que estén antes de –2 o después de 1” y escribe en el
pizarrón: 12 x y pregunta “¿Seria así?”
Reflexiones finales
Existe evidencia por trabajos recientes de investigación que
estudiantes de Precálculo logran transitar de una representación a
otra, en los casos de problemas rutinarios, aunque generalmente de
la representación algebraica a la gráfica y verbal y nó a la
inversa. Pero en general muestran una carencia de vinculación
coherente de una representación a otra.
Por otra parte los estudiantes que logran vincular al menos dos
representaciones, y transitar en ambos sentidos entre ellas,
presentan elementos de un pensamiento global que le permite mejorar
la cognición de un objeto matemático, que el que tiene un
estudiante que se desenvuelve en una sola representación, ó en
varias pero sin la habilidad de pasar de una a otra cuando es
necesario, caracterizando esto como un pensamiento local.
El experto de ajedrez, por sus comentarios escritos acerca de
los movimientos efectuados, pudo ligar una secuencia de jugadas,
que le permitió dominar paulatinamente el juego. Las
representaciones manifestadas son diferentes a las de matemáticas,
pero el que se enlacen grupos de posiciones con otras, denota una
vinculación fluida entre las mismas, caracterizando en este sentido
un pensamiento global en este contexto del juego ciencia.
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 18
Una aproximación de la idea de lo que es pensamiento global, es
el conjunto de representaciones mentales, manifestadas por las
representaciones semióticas coherentemente vinculadas (tránsito
fluido en ambos sentidos), que son manifiestas de un objeto del
contexto que se trate. Por otra parte el pensamiento local es el
conjunto de representaciones mentales, manifestadas por las
representaciones semióticas sin vincularse entre sí; ó por el
tránsito dentro de una sola representación.
En seguida se proponen algunas preguntas, a las que se pretenden
contestar a mediano plazo: ¿Un dispositivo físico lúdicamente
manipulable sería una representación semiótica, que formara parte
de un sistema de representaciones de un objeto matemático (Acosta,
2000)? ¿El pensamiento global es característico de un experto en su
ámbito? ¿La manipulación lúdica de algún “Ingenio” del MIM puede
ser parte de un sistema semiótico de representaciones acerca de un
objeto matemático en particular? ¿La construcción ordenada y
orientada de algún “Ingenio matemático” puede ser un elemento
semiótico de un sistema que conlleve a un estilo de pensamiento
global de un objeto matemático en particular?
Creemos que la percepción global de conceptos y procesos, mejora
el rendimiento escolar, a través de la interacción de las
representaciones de los objetos matemáticos, permitiendo una mejor
cognición de los saberes matemáticos mediante una reestructuración
los mismos.
Referencias Bibliográficas
Acosta, J. A. (1999). Acerca de la resistencia a la
visualización en Cálculo. Un caso con profesores II, COMAT99, Cuba.
Acosta, J. A. (2000). Museo Interactivo de Matemáticas, II
Simposium Internacional “Las Humanidades en la Educación Técnica
ante el siglo XXI”, y V Simposium Nacional “La Educación Técnica en
México”, IPN – ESIQIE, México. Acosta, J. A. (2003).
Representaciones en Matemáticas y otro ámbito, ¿Pensamiento Global
o Local?Memoria del XXXVI Congreso Nacional, Sociedad Matemática
Mexicana, Pachuca, Hidalgo. Acosta J. A. Ávila O., Barrera F.,
Castillo O., Palazuelos S., Roldán O. y Rondero C.(2004) Rediseño
Curricular de la Maestría en Ciencias con Orientación en la
Enseñanza de la Matemática, UAEH, México.Cantoral, R. (1997). Hacia
una didáctica del cálculo basada en la cognición, México, Serie:
Antologías Número 1, Departamento de Matemática Educativa,
CINVESTAV. Eisenberg T. y Dreyfus T. (1990). On the Reluctance to
Visualize in mathematics, artículo del texto: “Visualization in
Teaching and Learning Mathematics”, Cunningham & S. Zimmermann.
M.A.A. Notes, Nº 19, Mathematical Association of America. Duval, R.
(1999). Semiosis y pensamiento humano, Universidad del Valle,
Instituto de educación y Pedagogía, Colombia. Hitt, F. (1997).
Sistemas semióticos de representación. Avance y perspectiva, 16.
Mayo-junio, CINVESTAV, México.
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Preconceptos en el Aprendizaje del Cálculo
Martha Alvarado y Carlos García Instituto Tecnológico de
Puebla
Mé[email protected], [email protected]
Educación a Distancia – Nivel Superior
ResumenTomando como antecedentes los problemas del aprendizaje
del Cálculo Diferencial e Integral de los estudiantes que ingresan
al nivel superior del Instituto Tecnológico de Puebla se estudia
como se puede mejorar el proceso de aprendizaje, conocidos los
preconceptos que los estudiantes han formado sobre los tres
conceptos básicos de un curso de Cálculo. El problema específico
es: “determinar los preconceptos que el estudiante posee sobre los
tres conceptos básicos del curso de Cálculo –límite, derivada e
integral– y catalogar su modificación mediante el desarrollo de
actividades individuales realizadas por medio de la educación
virtual no asesorada”. El proyecto permitió localizar y robustecer
estos preconceptos básicos mediante acciones didácticas de
autoestudio mediante materiales en línea y análisis de
contexto.
Introducción y planteamiento del problema
Los conceptos del Cálculo, específicamente los de límite,
derivada e integral, estás asociados a ideas eminentemente
contextuales que parecen no tener relación con las estructuras
matemáticas que los precisan –al menos ese es el supuesto básico
que consideran muchos estudiantes–, por tanto al estudiar dichos
conceptos su aprendizaje se ve limitado porque tratan de memorizar
las estructuras algebraicas que los definen ajenos a la realidad
del mundo que pueden presentar. De este hecho se desprende que les
resulta muy difícil el poder relacionar a esas estructuras con
diferentes conceptos de la vida diaria. Paralelamente, y tal vez de
una manera ingenua, es de esperar que el estudiante haya integrado
a sus estructuras cognitivas preconceptos asociados al límite,
derivada e integral, adquiridos como parte de su lenguaje
cotidiano; por tanto y con el afán de mejorar el aprendizaje de los
mismos resulta importante indagar en que consisten tales ideas
ingenuas, para que con base en los andamiajes propuestos en el
aprendizaje significativo de la teoría de Ausubel, proponer
estrategias didácticas que se fundamenten en esas ideas y construir
a partir de ellas al concepto formal matemático objeto del curso
del Cálculo.
Objetivo
Indagar sobre los preconceptos que un estudiante tiene sobre los
diferentes conceptos de un curso, haciendo eco a la frase de
Ausubel, “indaguemos lo que el estudiante sabe y actuemos en
consecuencia”. Bajo la posibilidad de construir estructuras
cognitivas débilmente fundamentadas y ajenas al contexto cotidiano
del estudiante, y no siendo esta la situación deseable, resulta
importante poder reconstruir esos preconceptos hacia “conceptos
fuertes”, construidos no sobre la formalización del lenguaje
matemático, si no por el contrario; con base en estrategias
didácticas traducidas en acciones individuales de aprendizaje
dentro de un “escenario de aprendizaje” prediseñado, lograr que el
estudiante observe situaciones contextuales de su vida
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 18
cotidiana y de ellas interiorice al concepto en acción, y así
abstraer de manera natural las características esenciales y las no
esenciales de cada concepto, del tal forma que antes de que se dé
el proceso de estudio formal, el alumno construya y “aprehenda” los
conceptos bajo un proceso ajeno a la memorización, pero sí dirigido
a su autoconstrucción. De manera concreta, se espera de la
investigación:
1. Determinar los preconceptos que el estudiante tiene sobre los
tres conceptos básicos del Cálculo: límite, derivada e
integral.
2. Reconstruir los preconceptos con base a acciones de
aprendizaje individuales. 3. Catalogar la modificación de los
preconceptos una vez realizadas las acciones de aprendizaje
individuales.
Hipótesis
La investigación se centra en un conjunto de supuestos
(creencias) que han sido analizados a lo largo de la experiencia de
los autores impartiendo cursos de matemáticas en el nivel superior,
y que se han dejado entrever a lo largo de los apartados
previos.
Dentro de esos supuestos básicos se pueden considerar, entre
otros:
1. El estudiante posee un bajo dominio algebraico y matemático
en general porque desconoce las aplicaciones contextuales de los
conceptos que estudia.
2. La manera tradicional en que el estudiante ha cursado las
matemáticas le han hecho creer que estas son áridas y carentes de
aplicaciones reales.
3. Las matemáticas se ven como un obstáculo a librar, más que
como un aprendizaje necesario.
4. El estudiante cree que “Aprender matemáticas” es poder
resolver cientos de ejercicios de manera rutinaria, aunque no sepa
para que se aplican esos resultados.
5. El aprendizaje significativo de las matemáticas se logra si
el estudiante construye los conceptos por medio del análisis de
situaciones contextuales de su vida cotidiana.
6. Es posible que el estudiante interiorice los conceptos
matemáticos si realiza actividades que le permitan observar a los
conceptos en acción y esa observación le invita a un análisis y
discusión de lo que observa.
7. Si el estudiante encuentra la motivación adecuada, realizará
las acciones necesarias para su aprendizaje; más aún, esa
motivación se puede lograr con los propios cuestionamientos sobre
las cosas que le rodean o le ocurren de manera cotidiana. Es decir
si el nuevo conocimiento –aunque sea no formal– le permite entender
y por tanto explicar los hechos que ocurren a su alrededor.
Con estos supuestos como antecedentes, la hipótesis de trabajo
considerada es:
Dado un conjunto de cuestionamientos y acciones pedagógicas
sobre hechos cotidianos, el estudiante exterioriza sus preconceptos
del cálculo, los cuestiona y modifica, de tal forma que construye
preconceptos más robustos fundamentados en la reconstrucción de los
previos.
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Preconceptos en el Aprendizaje del Cálculo
Marco de referencia
Según Piaget (Ginsburg y Opper,1977) los estudiantes de este
nivel de la educación se encuentran en la etapa de las operaciones
formales, por lo que en esta etapa se está en capacidad de abstraer
y realizar las más complejas actividades de razonamiento. Por su
parte Ausubel (Ausubel, Novak y Hanessian, 1983) mediante el
enfoque constructivista de las teorías cognitivas, establece que
para lograr la interiorización satisfactoria de los conceptos, el
aprendizaje debe ser
significativo y con ello, se modificarán las estructuras
cognitivas, dando cabida a la construcción y asimilación de nuevos
conceptos, siempre que los cambios en las estructuras cognitivas se
fundamenten en un adecuado empleo de lo que el estudiante ya sabe.
Adicionalmente Lev S. Vygotsky (Schunk, 1997) en su teoría
sociocultural, establece que el cambio cognitivo es el resultado de
emplear los instrumentos culturales y las interrelaciones sociales
y de internalizarlas y transformarlas mentalmente, su postura es de
un constructivismo dialéctico porque recalca la interacción de los
individuos y su entorno, uno de sus conceptosque más impacta en las
acciones educativas es el de la Zona de Desarrollo Próximo, misma
que Onrubia (Coll y col., 1993) estudia como intervenir en ella y
propiciar el aprendizaje significativo. Integrando a estos enfoques
de la teoría cognitiva, García Aretio (2001) avanza hacia una
teorización de la educación a distancia y de manera específica,
sobre la educación virtual, en la cual se establece que un elemento
fundamental para el aprendizaje, es el diálogo didáctico mediado y
destaca las propuestas de Holmerg y Bååt que enfatizan la
importancia de la interacción y la comunicación, en dicho proceso.
Adicionalmente a estos aspectos teóricos formales, el experimento
supone una estructura de autoestudio centrada en el contexto que
emplea al propio ámbito del estudiante, pero también la posibilidad
de comunicación multidireccional entre sus compañeros y el
maestro-facilitador, el uso de la infraestructura de la propia
institución como soporte del curso, pero sobre todo a los elementos
propios del estudiante como son su motivación, sus conocimientos
previos y principalmente la flexibilidad y el autocontrol en el
aprendizaje. Todos estos factores confluyen en el proceso de
aprendizaje y dan soporte a la activación de los “escenarios de
aprendizaje”, cuyo actor central es el estudiante, ya que el modelo
educativo empleado en el proyecto es la “educación centrada en el
aprendizaje”.
Contenidos
Facilitador
Hardware
Software
Contexto WEB
Institución
Alumno
Motivación Conocimientosprevios
Flexibilidad yautocontrol
Otrosestudiantes
Percepción de larealidad
Fig. 1: Estructura del modelo de interrelación en la activación
de los escenarios de aprendizaje.
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 18
Metodología
El estudio realizado corresponde a una investigación cualitativa
de alcance exploratorio con una población bajo estudio compuesta de
40 estudiantes integrantes del “Curso cero” (aspirantes a ingresar
a la Licenciatura en Informática) en la asignatura de Matemáticas
dentro del Instituto Tecnológico de Puebla.
Para generar la información que requiere la investigación se
emplea el material del “Concepto 0” de ”Un libro de Cálculo
Diferencial e Integral para su empleo en las carreras del SNIT por
medio de Internet” (Alvarado, M. ,2002). Este material esta
disponible en Internet (http:// www.itpuebla.edu.mx) y de
manera
complementaria se les entrega a los estudiantes en un CD para
que se tenga disponibilidad total y evitar la problemática que
implica la posible comunicación por Internet al servidor y los
costos que implica a los estudiantes la comunicación por Internet
por largos periodos. Este material corresponde a archivos
hipermedia con la estructura mostrada en la figura 2, y para los
cuales no se prevé ningún tipo de evaluación ya que corresponde al
proceso introductorio del curso de Calculo Diferencial e
Integral:
Focalización: en nuestro proyecto corresponde con la guía del
autoaprendizaje y da estructura al escenario de aprendizaje
activado virtualmente. Específicamente permite que el estudiante
conozca en acción al objeto bajo estudio sin emplear lenguaje
formal y planteándole situaciones contextuales y una serie de
preguntas estructuradas bajo una estrategia mayéutica. Las acciones
forman parte de la focalización y corresponde a las actividades que
deberá de realizar el alumno para observar su contexto y “extraer”
de él la naturaleza de los concepto, una vez que se indica en “qué”
fijar la atención se plantean secuencias de preguntas a las cuales
se responde con más preguntas guía. Consideramos que estas acciones
son vitales y son las que permiten darle sentido al escenario de
aprendizaje y lo individualizan ya que cada estudiante tiene su
“ventana propia” a la realidad. Las aplicaciones presentan
situaciones típicas en las cuales se observa el concepto en acción
y aun sin pedir acciones específicas sobre ellas, complementan la
visión del concepto lograda por medio de las acciones.
El material completo en el CD, se entrega a los estudiantes en
la primera sesión y se realizó el siguiente proceso: 1. Sin
información previa, salvo el como iniciar el CD en su computadora,
se encargo
resolver todas las preguntas plateadas en las acciones del
concepto cero y entregar los reportes correspondientes por
internet, tiempo empleado 1 semana, de viernes a viernes.
2. Una vez recibidos los correos se descargaron del internet y
se analizó su contenido, clasificándolo.
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Preconceptos en el Aprendizaje del Cálculo
Resultados
Los resultados esperados se corresponde a una situación “piloto”
de un proceso de autoestudio, ya que el material no se presentó al
nivel de contenido, sino únicamente de manera física “en un CD”,
(en este caso se empleó opcionalmente la vía de internet para
acceder al material, pero sí obligatoria para la entrega de
reportes). Algunos datos interesantes detectados son:
1. De los 40 estudiantes del curso 33 correspondiente al 82.5%,
enviaron sus resultados por medio de internet, 9 lo entregaron
impreso, 3 en disquete y 1 en CD. El 100% entregó sus resultados al
menos 3 días después de la fecha prevista, se observa que dudaron
de la recepción de sus trabajos y 6 lo entregaron simultáneamente
por internet y otro medio. Dos estudiantes comentaron haber tenido
dificultades para enviar los archivos por internet y prefirieron
entregarlo impreso, ya que el tamaño era muy grande.
2. El 67.5% de los estudiantes no vive en la ciudad de Puebla,
sino en comunidades cercanas. 3. El 100% informó no haber cursado
Cálculo en bachillerato, pero haber escuchado de él. 4. El 100%
proviene de Bachilleratos generales y principalmente del área de
ciencias
económico-administrativas.5. De los 40 estudiantes 23 ya tenían
una dirección de correo (57.5%), el resto se lo generó
para cumplir sus actividades. En específico 4 estudiantes
enviaron sus resultados por medio del correo de otro compañero.
6. El 100% de los estudiantes nunca habían usado el correo
electrónico para enviar tareas a sus profesores, aunque los 23 que
ya tenían correo si lo usaban para buscar información en internet,
no se aclaró de qué tipo. De los 17 restantes, 12 si habían
empleado internet antes para bajar información, pero realmente no
lo habían usado de manera consistente y 5 nunca lo habían
usado.
En cuanto al objetivo planteado en la investigación se
obtuvieron los siguientes resultados:
1. En lo general los estudiantes no presentan un preconcepto de
lo que es el Cálculo, los que se atrevieron a dar una definición lo
hicieron desde dos aspectos: a. El cálculo como herramienta para
“calcular”, en un sentido aritmético, esta acepción la
planteo menos del 10% del grupo. b. Los estudiantes, no están
acostumbrados a plantear sus propios preconceptos, por lo
que se observó que estos fueron tomados de diferentes textos. 2.
El preconcepto de límite está asociado básicamente al de “una
barrera no rebasable”, que
en efecto corresponde con el concepto matemática de un límite
lateral cuando se analiza un extremo del dominio de las funciones,
y no lo relacionan de ninguna manera con la continuidad, de la cual
si presentan un preconcepto adecuado.
3. En cuanto a los conceptos de número y las acciones de contar
y medir, se notan debilidades ya que no diferencian a las variables
continuas y las discretas, por lo que existe confusión exacta de lo
que es “medir”.
4. Los conceptos de derivada e integral básicamente no existen,
aunque si se localizan los procesos de variación y acumulación. El
concepto de velocidad no se diferencia claramente del de
aceleración.
5. Una vez presentado el material de la acción 0.0.2,
consistente en una presentación con vídeos y las lecturas de las
aplicaciones, si se generaron preconceptos de derivada e
integral.
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 18
El concepto de límite se afinó y se acepta que el límite si
identifica situaciones que se pueden rebasar; en cuanto a la
integral el preconcepto si se afinó adecuadamente.
6. En la escritura de los reportes de las acciones se observa
dificultad de redacción de los conceptos presentados, considerando
que esto resulta natural ya que en ningún momento se estableció
lenguaje formal que los identificará.
7. Menos del 10% reconoció haber hecho modificaciones al
concepto de Cálculo, sin embargo al revisar sus redacciones se
observa que en realidad todos lo hicieron. Todos reconocieron haber
aprendido que el cálculo se aplica aún de manera inconsciente y que
lo encuentras en todas las situaciones que te rodean.
8. Al solicitar ejemplos de aplicación de los conceptos tratados
límite, derivada e integral, el 100% aportó situaciones en las
cuales los conceptos solicitados se encuentran en acción.
9. Los ejemplos de aplicación de “medir” presentan errores en
casi 50% de los casos, lo que refleja la falta de discusión
alrededor del concepto de cantidades continuas, en contraparte el
100% mostró un preconcepto aceptable de continuidad.
10. Cerca del 25% de los estudiantes respondieron por escrito a
las preguntas planteadas en las aplicaciones a pesar de no haber
sido solicitadas, no hay evidencias de que el 75% restante haya o
no revisado las aplicaciones.
11. No existe evidencia que muestre si hubo intercomunicación
entre los estudiantes, solamente se localizaron 2 trabajos que
muestran “definiciones similares” por lo que se infiere copia, a
pesar de ello estos trabajos de manera global son diferentes.
12. Sin que haya habido indicaciones al respecto, de los 40
estudiantes, menos del 10% solicitan al maestro les retroalimente
al respecto de sus resultados.
De este conjunto primario de resultados se desprenden las
conclusiones de la investigación por lo que podemos considerar al
respecto de las preguntas de investigación:
1. Determinar los preconceptos que el estudiante tiene: Debido
al área de bachillerato de que provienen solamente presenta un
preconcepto restrictivo del límite, lo que dificulta el concepto
matemático formal.
2. Reconstruir los preconceptos: las acciones de aprendizaje
individuales, pero sobre todo el análisis de la presentación dada
en la acción 0.0.2 permitió crear preconceptos asociados a
contextos naturales.
3. Catalogar la modificación de los preconceptos: los
preconceptos se lograron a través de la metodología mayéutica y son
aceptables para iniciar su estudio dentro del curso formal de
Cálculo, desde nuestro punto de vista sí representan andamiajes
adecuados.
En cuanto a la hipótesis de trabajo, resulta válida; pero es
necesario clarificar que la exteriorización de los preconceptos no
resulta ser de manera verbalizada, lo cual consideramos dentro de
lo esperado, ya que no se estableció en ningún apartado o momento,
dentro de las acciones didácticas, el proponer alguna terminología
o sintaxis para expresarlas; nos damos cuenta de que la
exteriorización de los preconceptos se cumple al analizar que el
100% de los estudiantes propone ejemplos aceptables sobre
situaciones reales en las cuales el concepto se encuentra en
acción.
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Preconceptos en el Aprendizaje del Cálculo
Conclusiones y recomendaciones
Se debe de considerar el efecto de los preconceptos en el
aprendizaje del cálculo al igual que en cualquier área del
conocimiento como limitante o acelerador de los procesos formales
de aprendizaje, según se establece en las teorías cognitivas. En
particular se sugiere emplear como rescate de los preconceptos las
vivencias contextuales de los estudiantes y reconstruir con mayor
cuidado el preconcepto de límite.
Referencias Bibliográficas
Alvarado A. M. González M. E. (2002). Un libro electrónico de
Cálculo Diferencial e Integral para su empleo en las carreras del
SNIT por medio de Internet. Tesis de maestría no publicada, CIIDET,
México.
Ausubel, D., Novak, J. y Hanesian, H. (1983). Psicología
educativa. Un punto de vista cognoscitivo. (2a edición). Mexico:
Trillas.
Coll, C., Martín, E., Mauri, T., Miras, M., Onrubia, J., Solé,
I. y Zabala, A. (1993). Elconstructivismo en el aula. (1a edición)
España: Graó.
García A.L.(2001). La educación a distancia – De la teoría a la
práctica. España: Ariel Educación.
Ginsburg, H. y Opper, S. (1977). Piaget y la teoría del
desarrollo intelectual. México: Prentice/Hall Internacional.
Good, L. y Brophy, J. (1996). Psicología educativa
contemporánea. (5a edición). México: McGraw-Hill/Interamericana
editores.
Pérez, M. y López, E. (2000). Aprendizaje y currículo. Diseños
curriculares aplicados.Argentina: Ediciones Novedades
Educativas.
Schunk, D. H. (1997). Teorías del Aprendizaje. (2ª edición)
México: Prentice-Hall Hispanoamericana.
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 18
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Papel de la Teoría de Conjuntos en la Construcción de los
Números Naturales
Mario J. ArriecheUniversidad Pedagógica Libertador
Venezuela [email protected]
Epistemología — Nivel Superior
ResumenEsta investigación se centra en la caracterización del
papel de las nociones conjuntistas básicas en la construcción de
los números naturales. El problema está inmerso en un proyecto
macro sobre “el papel de la teoría de conjuntos en la formación de
maestros de educación primaria”.Como el currículo de los maestros
es muy amplio delimitamos el problema a las relaciones ecológicas
entre estas nociones y los números naturales. Para tal fin
caracterizamos el papel de los conjuntos en las construcciones de
los números naturales elaboradas por autores interesados en los
fundamentos de la Matemática (Frege, Dedekind y Peano) y las
realizadas desde un enfoque constructivista (Weyl y Lorenzen). Para
ello, usamos la noción de praxeología matemática descrita en el
modelo semiótico-antropológico para la investigación en Didáctica
de la Matemática (Godino y Batanero, 1994).
Introducción
El problema que se aborda en esta investigación se centra en la
caracterización del papel de las nociones conjuntistas básicas en
la construcción de los números naturales.
Para tal fin, se realizó un estudio de las construcciones de los
números elaboradas por autores interesados por los fundamentos de
la matemática Frege, Dedekind y Peano y las realizadas desde un
enfoque constructivista Weyl y Lorenzen. Para ello, abordamos los
siguientes estudios:
Descripción sucinta de los principales aspectos matemáticos
considerados en las construcciones de los números naturales
propuestas por los autores citados.
Descripción e interpretación del papel de las nociones
conjuntistas básicas en las construcciones en referencia, haciendo
uso de la noción de praxeología matemática.
Desarrollada en el modelo teórico propuesto por Godino y
Batanero (1994) y designado como semiótico-antropológico para la
Investigación en Didáctica de la Matemática.
Para lograr esta meta, consideraremos las dimensiones praxémica
(tipos de problemas, técnicas y los elementos notacionales o
lingüísticos) y discursiva (conceptos- definiciones, propiedades-
proposiciones, argumentaciones- justificaciones) de la praxeología
matemática, puestas en funcionamiento en la mencionada
construcción.
Cabe destacar que, por cuestiones de espacio, en este trabajo
solo describimos la construcción de los números elaborada por Frege
(1884). Se remite al lector, interesado en este tema, a
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol.18
Arrieche (2002) donde se hace una análisis profundo y detallado
de las construcciones elaboradas por los autores referidos.
Construcción de los Números Naturales Según Gottlob Frege
En este apartado, describimos el desarrollo de la construcción
de los números naturales realizado por Gottlob Frege, proveniente
de su trabajo denominado "Die Grundlagen der Aritmetik"
(Fundamentos de la Aritmética) publicado en el año 1884. Es de
hacer notar que toda la obra de Frege (inclusive toda su vida) la
dedicó a tratar de entender qué son los números naturales y de
dónde surge que los teoremas aritméticos sean tan seguros y
confiables, matemáticamente hablando. Todo este esfuerzo, se
tradujo en tratar de desarrollar su tesis logicista: Reducir toda
la aritmética a la lógica.
Primera Aproximación
Para definir el concepto de número, Frege sigue el siguiente
procedimiento: empieza diciendo lo que no son los números, y en
segundo lugar trata de responder a la pregunta, ¿qué son los
números?
Al describir lo que no son los números expresa que "los números
no son cosas materiales, ni conjuntos, montones o configuraciones
de cosas materiales; y no son propiedades de cosas materiales" 1.
Sigue diciendo que los números tampoco son algo subjetivo, no son
nada físico, no son una imagen, y no se confunden con los signos
que se refieren a ellos. Se señala que "el número no surge
añadiendo una cosa a otra. También es irrelevante para él que demos
una denominación a cada nuevo añadido" (Frege, 1884, p.72).
Frege expresa que los enunciados numéricos no se refieren a
objetos, sino a conceptos. En este sentido, Frege (1884) señala que
el soporte de los números es el concepto, resalta además que
podemos ver cómo llegamos a la idea de número por abstracción, pero
que esto no puede ser así, ya que lo que se obtiene de esta manera
es el concepto, en el cual se descubre el número.
Al asignar un número se afirma algo sobre un concepto, por
ejemplo: "Si decimos que la tierra tiene un satélite natural, o que
nuestro sistema solar tiene nueve planetas, o que en la biblioteca
municipal hay veinte mil libros, estamos diciendo algo de
conceptos: que bajo el concepto "satélite natural de la tierra" cae
un objeto, bajo el concepto "planeta de nuestro sistema solar" caen
nueve objetos, bajo el concepto "libros de la biblioteca municipal"
caen veinte mil objetos" (Mosterín, 2000, p. 48).
Frege se plantea definir recursiva y contextualmente los números
naturales, para lo cual, enuncia las siguientes proposiciones:
El número 0 corresponde al concepto P si ningún objeto cae bajo
P, y
1Mosterin, 1972, p.p 5-6, prólogo de la obra de Frege
Fundamentos de la Aritmética, 1884
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Papel de la Teoría de Conjuntos en la Construcción de los
Números Naturales
El número n +1, cae bajo el concepto P, si hay un objeto a; tal
que a cae bajo P, y el número n corresponde al concepto "cae bajo
P", pero es distinto de a.
Así, se habría definido cada número natural n "en enunciados del
tipo "el número n corresponde al concepto P", pero no en
ecuaciones, que constituye el tipo más frecuente de teorema
matemático" 2 . Frege argumenta que con este procedimiento, todavía
no ha definido el concepto de número en forma general. Por lo que
para presentar definitivamente el concepto de número, lo realiza en
dos etapas:
Define el concepto de número cardinal (en general) y; Se precisa
el concepto de número natural o finito.
Definición de Número Cardinal
Para describir el concepto de número cardinal Frege define una
relación de equivalencia R sobre una clase A. Introduce, de esta
manera, la definición de clase de equivalencia de un elemento b de
A, como la clase de todos los elementos de A que están con b en la
relación R. Continúa argumentando que una manera de definir
entidades matemáticas, consiste en definirlas como las clases de
equivalencia inducidas por una determinada relación de equivalencia
en una clase previamente dada de elementos. Para ilustrar esta
situación presenta un ejemplo, considerando las rectas del plano, y
la relación de paralelismo entre ellas, la cual es una relación de
equivalencia que genera una partición de la clase de las rectas del
plano, en clases de equivalencias, a las que se llama direcciones.
Se deduce que la dirección de una recta b, no es sino la clase de
equivalencia de b respecto a la relación de paralelismo, en otras
palabras, la clase de todas las rectas paralelas a b.
Frege aplicó este mismo proceso para definir número cardinal, el
cual desarrollamos a continuación. Para tal efecto, se exige contar
con un dominio previamente dado de elementos, y definir en él una
adecuada relación de equivalencia.
En el caso que nos ocupa, se elige como dominio la clase cuyos
elementos son conceptos, sobre el cual se define como relación de
equivalencia entre conceptos, la relación de biyectabilidad. El
concepto P es biyectable con el concepto Q sí y sólo sí hay una
biyección entre los objetos que caen bajo P y los objetos que caen
bajo Q. En otras palabras, P es biyectable con Q sí y sólo sí hay
una relación que relaciona cada objeto que cae bajo P con un (y
sólo un) objeto que cae bajo Q, y a la inversa.
Como la relación de biyectabilidad es de equivalencia, genera
una partición del dominio dado (clase de los conceptos) en clases
de equivalencia, a las que llama números cardinales. El número
cardinal de un concepto P es la clase de equivalencia de P respecto
a la relación de biyectabilidad, es decir, la clase de todos los
conceptos biyectables con P. Es lo que Frege expresa en su peculiar
terminología diciendo que "el número que corresponde a un concepto
Fes la extensión del concepto equinumérico del concepto F" (Frege,
1884, p.92).
2 Mosterín, 1972, p.6, prólogo de la obra de Frege Fundamentos
de la Aritmética, 1884.
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol.18
Definición de Número Natural
Para definir número natural se requiere de las definiciones
previas siguientes:
El 0 se define como el número que corresponde al concepto
"distinto de sí mismo", es decir, es la clase de todos los
conceptos vacíos. De igual manera, se define el 1 como el número
que corresponde al concepto "igual a 0" . Es decir, el 1 es la
clase de los conceptos unitarios. Posteriormente, Frege enuncia
que: n es el siguiente de m si hay un concepto P y un objeto aque
cae bajo él, tales que n es el número de P y m es el número del
concepto "cae bajo P y es distinto de a". Una vez dadas, las
definiciones del 0 y de siguiente estamos en capacidad de dar la
definición de número natural.
La definición que propone de número natural es la que sigue: n
es un número natural si npertenece a la serie numérica que empieza
por 0. Es decir, que n es 0 o que n cae bajo cada concepto bajo el
que cae el 1, y bajo el que cae el siguiente de cada objeto que cae
bajo él.
En la definición de Frege, se observa que los números naturales
son los objetos que satisfacen el V axioma de Peano. En especial,
se muestra que todo "número natural tiene un siguiente indicando
que para cada número natural n, el número natural que corresponde
al concepto "pertenece a la serie numérica que termina con n" es el
siguiente de n" 3.
El Papel de las Nociones Básicas de la Teoría de Conjuntos en la
Construcción de los Números Naturales Realizada por Frege
Para caracterizar el papel de las nociones conjuntistas básicas
en la construcción de los números naturales realizada por Frege
(1884), consideraremos las dimensiones praxémica
(situaciones-problema, técnica, lenguaje) y discursiva (conceptos,
propiedades, argumentaciones) de una praxeología matemática.
Dimensión Praxémica
En esta dimensión, destacaremos los tipos de situación problema
abordados por Frege, las técnicas y los elementos notacionales o
lingüísticos usados en su construcción de los números. Con respecto
a los tipos de situación problema, Mosterín (2000) señala que Frege
se dedicó a dos tareas básicas: la fundamentación de la aritmética
y la aclaración de las nociones semánticas. En relación a las
técnicas, tomaremos en cuenta el procedimiento empleado, es decir,
el conjunto de pasos realizados para obtener el concepto de número
natural y la serie numérica 0, 1, 2, 3, . . . de los números
naturales. Dentro de este procedimiento, sólo enfatizaremos algunos
aspectos desarrollados, tales como la definición recursiva y
contextual de los números naturales (en el contexto de un enunciado
del tipo "el número n corresponde al concepto P), que consiste en
dar los enunciados:
3 Mosterín, 1972, p. 8, prólogo de la obra de Frege Fundamentos
de la Aritmética, 1884.
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Papel de la Teoría de Conjuntos en la Construcción de los
Números Naturales
El número 0 corresponde al concepto P si ningún objeto cae bajo
P, y El número n + 1, cae bajo el concepto P, si hay un objeto a;
tal que a cae bajo P, y el número n corresponde al concepto "cae
bajo P, pero es distinto de a".
Para presentar definitivamente el concepto de número, lo realiza
en dos etapas: define el concepto de número cardinal y precisa el
de número natural o finito. A su vez, para elaborar la definición
de número cardinal define una relación de equivalencia R sobre una
clase A.
Es notorio que desde el mismo planteamiento del procedimiento
analizado, se nos presenta de una forma implícita el uso de las
nociones básicas de la teoría de conjuntos. Más concretamente, para
definir una relación R que sea de equivalencia se requiere
obligatoriamente la existencia de un conjunto A, sobre el cual se
definirá la propiedad o regla matemática que cumpla con las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, que, en el contexto
desarrollado lo identificamos con la clase A. Además para demostrar
el cumplimiento de las mencionadas propiedades, se exige determinar
el conjunto de los pares ordenados del producto cartesiano AxA que
cumplen con la definición de la relación R definida sobre A.
Con respecto al uso de los elementos notacionales o
lingüísticos, señalamos los siguientes:
- n: denota un número cualquiera - P: se refiere a un concepto-
0: símbolo para denotar el cero- n + 1: un número cualquiera más 1-
a: denota un objeto cualquiera- R: denota una relación cualquiera-
A: denota una clase cualquiera.
En este aspecto de la praxeología numérica, identificamos las
notaciones de un objeto y de una clase cualquiera con las
notaciones de elemento de un conjunto y la de un conjunto
cualquiera, respectivamente.
Dimensión discursiva
En esta componente de la praxeología, mostraremos sólo aquellos
elementos (conceptos-definiciones, propiedades y argumentaciones)
que involucran implícita o explícitamente nociones conjuntistas en
su descripción. En este sentido, en la argumentación dada por
Frege, la relación de equivalencia definida sobre la clase A para
definir el número cardinal genera una partición de A en clases de
equivalencia, tiene implícitas nociones conjuntistas básicas, las
cuales especificamos a continuación. Para definir el concepto de
partición se requiere de las nociones de familia de conjuntos,
conjunto vacío, intersección de conjuntos y unión de conjuntos,
puesto que una partición sobre un conjunto A es una familia de
conjuntos no vacíos, disjuntos dos a dos, cuya unión es el conjunto
A.
Además en la definición de la noción de clase de equivalencia de
un elemento b de A como la clase de todos los elementos de A que
están con b en la relación R, se observa, prácticamente en forma
explícita, que la noción de clase corresponde a la noción de
conjunto. También se puede
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol.18
resaltar que las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva
que debe cumplir la relación R para ser de equivalencia involucran
las nociones de conjunto, elemento de un conjunto, subconjunto,
producto cartesiano, etc.
En los conceptos-definiciones se elige como dominio la clase
cuyos elementos son conceptos y se define la relación de
equivalencia entre conceptos, como relación de biyectabilidad, se
expresa de la manera siguiente: el concepto P es biyectable (o
están relacionados mediante la relación de biyectabilidad) con el
concepto Q sí y solo sí hay una biyección (aplicación biunívoca)
entre los objetos que caen bajo P y los objetos que caen bajo
Q.
Veamos el concepto-definición, el número cardinal de un concepto
P es la clase de equivalencia de P respecto a la relación de
biyectabilidad, es decir, la clase de todos los conceptos
biyectables con P. En esta definición se involucra la noción de
conjunto, resaltándose que un número cardinal es un conjunto, y que
a su vez, sus elementos son conjuntos.
Conclusiones
En este trabajo hemos complementado el análisis epistemológico
realizado por Arrieche (2002) ejemplificando el papel de la teoría
de conjuntos en la matemática, a través del análisis de las
construcciones de los números naturales dadas por Frege, Dedekind,
Peano, Weyl y Lorenzen. Este análisis nos ha permitido caracterizar
el papel de las nociones básicas de la teoría de conjuntos en las
construcciones numéricas estudiadas.
Hemos encontrado que las construcciones de los números naturales
realizadas por los matemáticos referidos, presentadas con diversos
enfoques (logicista, formal y constructivista), están conectadas
por el uso de nociones básicas de la teoría de conjuntos, debido a
que sus desarrollos utilizan implícita o explícitamente estas
nociones.
Nuestra indagación de las diversas aproximaciones filosóficas
sobre los números nos lleva a considerar los números naturales como
la estructura matemática común de los sistemas de objetos usados
para expresar las situaciones de cardinación y ordenación.
Es frecuente encontrar en los textos matemáticos y filosóficos
definiciones de números naturales tales como los números naturales
son:
“los cardinales finitos”,“las clases de equivalencia de los
conjuntos finitos equipotentes entre sí” “la propiedad común de los
conjuntos finitos que son equipotentes” (expresión inapropiada como
criticó Russell (1903)
En estos casos no se explicita que los números son los elementos
de cualquier conjunto con una estructura específica, de modo que
cada número en particular lo es en tanto que forma parte del
sistema correspondiente. Esas expresiones metafóricas ocultan la
verdadera realidad de los números, y además confunden un ejemplar
de los infinitos sistema numéricos posibles con el tipo estructural
correspondiente.
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Papel de la Teoría de Conjuntos en la Construcción de los
Números Naturales
Interesa concebir los cardinales finitos como cantidades,
mientras que los números son las medidas de los cardinales, esto
es, maneras de expresar las cantidades. Los cardinales de conjuntos
son la razón genética de los números, pero los números tienen una
realidad diferente de la numerosidad de los conjuntos. Sin embargo,
es cierto que cualquier sistema de cantidades discretas (una
colección de palotes o piedrecitas, por ejemplo) se puede
estructurar recursivamente y ser usado como sistema numérico.
El análisis realizado a las construcciones de los números
naturales consideradas, nos permite concluir que todos los enfoques
estudiados en esta investigación, excepto la definición por
abstracción que consideramos incorrecta al igual que Russell
(2003), nos conducen a concebir los números como una estructura
abstracta que tiene una secuencia recursiva, teniendo presente que
para efectos didácticos se utilice la definición que hemos
propuesto anteriormente.
Referencias Bibliográficas
Arrieche, M. (2002). Papel de la teoría de conjuntos en la
formación de maestros: Facetas y factores condicionantes del
estudio de una teoría matemática. Tesis doctoral no publicada.
Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de
Granada.
Frege, G. (1972). Fundamentos de la aritmética. [U. Moulines
(trad.), Barcelona: Laia]. Godino, J. D. y Batanero, C. (1994).
Significado institucional y personal de los objetos
matematicos. Recherches en Didactique des Mathématiques, 14(3),
325-355. Mosterín, J. (2000). Los lógicos. Madrid: España. Russell,
B. (1967). Los principios de la matemática. [ J. C. Grimberg
(trad.), Madrid: Espasa-Calpe].
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Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol. 18
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Significados de la Probabilidad en la Educación Secundaria
Carmen BataneroUniversidad de Granada
España [email protected]
Probabilidad, Estadística y Combinatoria – Nivel Medio
RESUMENEn este trabajo partimos de un modelo teórico sobre el
significado de los objetos matemáticos en que se consideran seis
elementos diferenciados y se distingue entre el significado dado al
objeto en una cierta institución de enseñanza y el personal
adquirido por un alumno dentro de la institución. Utilizamos estas
ideas para analizar los distintos significados históricos de la
probabilidad y cómo han sido tenidos en cuenta en la enseñanza
secundaria. Finalizamos con algunas recomendaciones para mejorar la
enseñanza de la probabilidad.
1. Introducción
La tendencia a renovar