Acciones Chern-Simons de Supergravedad para ´ algebras de Maxwell y ( A)dS-Lorentz en D = 3 Octavio Fierro Mondaca Departamento de Ciencias F´ ısicas Facultad de Ciencias Exactas Universidad Andr´ es Bello. IV COSMOCONCE Octavio Fierro Mondaca Departamento de Ciencias F´ ısicas Facultad de Ciencias Exactas es Bello. IV COSMOCONCE Acciones Chern-Simons de Supergravedad para ´ algebras de Maxwell y 1 / 42
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Acciones Chern-Simons de Supergravedad para álgebras de ...
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Acciones Chern-Simons de Supergravedad para algebras de Maxwell y(A)dS-Lorentz en D = 3
Octavio Fierro Mondaca
Departamento de Ciencias Fısicas
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Andres Bello.
IV COSMOCONCE
Octavio Fierro Mondaca Departamento de Ciencias Fısicas Facultad de Ciencias Exactas Universidad Andres Bello. IV COSMOCONCEAcciones Chern-Simons de Supergravedad para algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz en D = 3 1 / 42
Contenidos
Contenidos
1. Introduccion
2. Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz a traves de la S-expansion.
3. Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz vıa S-expansion.
4. Conclusiones.
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Contenidos
Contenidos
1. Introduccion
2. Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz a traves de la S-expansion.
3. Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz vıa S-expansion.
4. Conclusiones.
Octavio Fierro Mondaca Departamento de Ciencias Fısicas Facultad de Ciencias Exactas Universidad Andres Bello. IV COSMOCONCEAcciones Chern-Simons de Supergravedad para algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz en D = 3 2 / 42
Contenidos
Contenidos
1. Introduccion
2. Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz a traves de la S-expansion.
3. Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz vıa S-expansion.
4. Conclusiones.
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Contenidos
Contenidos
1. Introduccion
2. Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz a traves de la S-expansion.
3. Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz vıa S-expansion.
4. Conclusiones.
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Introduccion Motivacion de las algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz
La constante cosmologica y la expansion del universo.
Las ecuaciones de campo de Einstein con constante cosmologica vienen dadas por
Rµν −12
Rgµν + Λgµν = κTµν .
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Introduccion Motivacion de las algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz
La constante cosmologica y la expansion del universo.
Las ecuaciones de campo de Einstein con constante cosmologica vienen dadas por
Rµν −12
Rgµν = κTµν −Λgµν .
Las cuales en el lımite de campo debil para una masa esferica M se obtiene
~g = −~∇φ = −GMr2 r +
Λc2r3
r
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Introduccion Motivacion de las algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz
La constante cosmologica y la expansion del universo.
Las ecuaciones de campo de Einstein con constante cosmologica vienen dadas por
Rµν −12
Rgµν = κTµν −Λgµν .
Las cuales en el lımite de campo debil para una masa esferica M se obtiene
~g = −~∇φ = −GMr2 r +
Λc2r3
r
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Introduccion Motivacion de las algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz
La constante cosmologica y la expansion del universo.
Por otro lado se tiene que al considerar para un fluido perfecto
Tµν =(
ρ + p/c2)
uµuν − pgµν ,
presion negativa de la forma p = −ρc2 (w = −1)
se obtieneTµν = −pgµν = ρc2gµν ,
el cual al depender solamente de la metrica se puede considerar como una propiedadnetamente del vacıo.
Resulta natural relacionar esta densidad de energıa con la constante cosmologica
ρc2 =Λκ
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Introduccion Motivacion de las algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz
La constante cosmologica y la expansion del universo.
Por otro lado se tiene que al considerar para un fluido perfecto
Tµν =(
ρ + p/c2)
uµuν − pgµν ,
presion negativa de la forma p = −ρc2 (w = −1)
se obtieneTµν = −pgµν = ρc2gµν ,
el cual al depender solamente de la metrica se puede considerar como una propiedadnetamente del vacıo.
Resulta natural relacionar esta densidad de energıa con la constante cosmologica
ρc2 =Λκ
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Introduccion Motivacion de las algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz
La constante cosmologica y la expansion del universo.
Por otro lado se tiene que al considerar para un fluido perfecto
Tµν =(
ρ + p/c2)
uµuν − pgµν ,
presion negativa de la forma p = −ρc2 (w = −1)
se obtieneTµν = −pgµν = ρc2gµν ,
el cual al depender solamente de la metrica se puede considerar como una propiedadnetamente del vacıo.
Resulta natural relacionar esta densidad de energıa con la constante cosmologica
ρc2 =Λκ
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Introduccion Motivacion de las algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz
La constante cosmologica y la expansion del universo.
Por otro lado se tiene que al considerar para un fluido perfecto
Tµν =(
ρ + p/c2)
uµuν − pgµν ,
presion negativa de la forma p = −ρc2 (w = −1) se obtiene
Tµν = −pgµν = ρc2gµν ,
el cual al depender solamente de la metrica se puede considerar como una propiedadnetamente del vacıo.
Resulta natural relacionar esta densidad de energıa con la constante cosmologica
ρvacioc2 =Λκ
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Introduccion Motivacion de las algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz
La constante cosmologica y la expansion del universo.
La constante cosmologica aparece como el candidato mas simple para representar laenergıa oscura. Sin embargo teorıa y las mediciones cosmologicas poseen unaenorme diferencia de ordenes de magnitud para su valor.
En el esquema geometrico que conduce a gravitacion el termino de la constantecosmologica aparece al gaugear el algebra (A)dS. El termino es consecuencia de larelacion no conmutativa de los generadores Pa
[Pa, Pb] = Jab
Una relacion similar entre los generadores Pa conforma parte de las algebras deMaxwell y (A)dS-Lorentz. Estas algebras ofrecen un esquema geometrico alternativopara abordar el problema de la constante cosmologica.
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Introduccion Motivacion de las algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz
La constante cosmologica y la expansion del universo.
La constante cosmologica aparece como el candidato mas simple para representar laenergıa oscura. Sin embargo teorıa y las mediciones cosmologicas poseen unaenorme diferencia de ordenes de magnitud para su valor.
En el esquema geometrico que conduce a gravitacion el termino de la constantecosmologica aparece al gaugear el algebra (A)dS. El termino es consecuencia de larelacion no conmutativa de los generadores Pa
[Pa, Pb] = Jab
Una relacion similar entre los generadores Pa conforma parte de las algebras deMaxwell y (A)dS-Lorentz. Estas algebras ofrecen un esquema geometrico alternativopara abordar el problema de la constante cosmologica.
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Introduccion Motivacion de las algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz
La constante cosmologica y la expansion del universo.
La constante cosmologica aparece como el candidato mas simple para representar laenergıa oscura. Sin embargo teorıa y las mediciones cosmologicas poseen unaenorme diferencia de ordenes de magnitud para su valor.
En el esquema geometrico que conduce a gravitacion el termino de la constantecosmologica aparece al gaugear el algebra (A)dS. El termino es consecuencia de larelacion no conmutativa de los generadores Pa
[Pa, Pb] = Jab
Una relacion similar entre los generadores Pa conforma parte de las algebras deMaxwell y (A)dS-Lorentz. Estas algebras ofrecen un esquema geometrico alternativopara abordar el problema de la constante cosmologica.
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Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz Algebra de Maxwell
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Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz Algebra AdS-Lorentz
Algebra de Poincare → Algebra de Maxwell → Algebra AdS-Lorentz
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Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz Algebra AdS-Lorentz
El algebra AdS-Lorentz es una extension semisimple del algebra de Poincare (SSEP) vıael generador tensorial Zab. El nombre de esta algebra adquiere mayor sentido bajo elsiguiente cambio de base:
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Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz Algebra de Maxwell
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Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz Algebra de Maxwell
Algebra de Maxwell vıa S-expansion de AdS
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Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz Algebra de Maxwell
Lagrangeano para el algebra de Maxwell en D = 3
Conexion para el algebra de Maxwell en D = 3
A =1l
eaPa +12
ωab Jab +12
kabZab
Lagrangeano CS para el algebra de Maxwell en D = 3
L2+1CS =
β0l
εabcRabec + α0
(ka
bRba +
1l2 eaTa
)+
α12
(ωa
bdωba +
23
ωabωb
cωca
)donde
Rab = dωab + ωadωdb ,
Ta = dea + ω ba eb .
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Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz Algebra AdS-Lorentz
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Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz Algebra AdS-Lorentz
Conexiones por S-expansion
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Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz Algebra AdS-Lorentz
Contraccion I-W del algebra AdS-Lorentz a la de Maxwell
Jab → Jab .
Zab → λ2Zab ,
Pa → λPa ,
λ−1 → 0
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Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz Algebra AdS-Lorentz
Relacion entre las algebras
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Algebras de Maxwell y AdS-Lorentz Algebra AdS-Lorentz
Lagrangeano para AdS-Lorentz en D = 3
Conexion para el algebra de Maxwell en D = 3
A =1l
eaPa +12
ωab Jab +12
kabZab
Lagrangeano CS para el algebra de AdS-Lorentz en D = 3
L(2+1)CS =
β0l
εabc
(Rab + Fab +
13l2 eaeb
)ec +
α12
(ωa
bdωba +
23
ωabωb
cωca
)+ α0
[ka
b
(Rb
a + ωbckc
a
)+
1l2 ea
(Ta + k b
a eb
)+
12
(ka
bdkba +
23
kabkb
ckca
)]donde
Fab ≡ dkab + kadkdb + 2ωa
dkdb .
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra de Maxwell
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra de Maxwell
Contraccion I-W para la superalgebra de Maxwell
Jab → Jab .
Zab → λ2Zab ,
Pa → λPa ,
Qα → λQα .
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra de Maxwell
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra de Maxwell
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra de Maxwell
Superalgebra de Maxwell
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra AdS-Lorentz
Semigrupo ({0, 1},∧)
Semigrupo ({0, 1},∧)
N = 1 λ0 λ1λ0 λ0 λ0λ1 λ0 λ1
Trivial
N = 0 λ0 λ1λ0 λ0 λ0λ1 λ0 λ0
No abeliano
N = 2 λ0 λ1λ0 λ0 λ0λ1 λ1 λ1
Z2
N = 3 λ0 λ1λ0 λ0 λ0λ1 λ0 λ1
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra AdS-Lorentz
Semigrupo ({0, 1},∧)
Semigrupo ({0, 1},∧)
N = 1 λ0 λ1λ0 λ0 λ0λ1 λ0 λ1
Trivial
N = 0 λ0 λ1λ0 λ0 λ0λ1 λ0 λ0
No abeliano
N = 2 λ0 λ1λ0 λ0 λ0λ1 λ1 λ1
Z2
N = 3 λ0 λ1λ0 λ0 λ0λ1 λ0 λ1
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra AdS-Lorentz
∧-expansion de la superalgebra AdS N= 1
Particion de g = SAdS
V0 ={
Jab}
,
V1 ={
Qα
},
V2 ={
Pa}
.
Particion del semigrupo ({0, 1},∧)
S0 = {λ0, λ1} ,
S1 = {λ0} ,
S2 = {λ0} .
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra AdS-Lorentz
Superalgebra de Maxwell
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra AdS-Lorentz
Tensores invariantes de la superalgebra AdS-Lorentz
⟨Jab Jcd
⟩= α (ηadηbc − ηacηbd) ,⟨
JabPc⟩= βεabc ,⟨
PaPb⟩= αηab ,⟨
QαQβ
⟩= (α− β)Cαβ .
⇓
〈Jab Jcd〉 = α1 (ηadηbc − ηacηbd) ,
〈ZabZcd〉 = α0 (ηadηbc − ηacηbd) ,
〈JabZcd〉 = α0 (ηadηbc − ηacηbd) ,
〈JabPc〉 = β0εabc ,
〈ZabPc〉 = β0εabc ,
〈PaPb〉 = α0ηab ,⟨QαQβ
⟩= (α0 − β0)Cαβ .
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra AdS-Lorentz
Primer reescalamiento de los tensores invariantes
〈Jab Jcd〉 = α1 (ηadηbc − ηacηbd) ,
〈ZabZcd〉 = λ−4α0 (ηadηbc − ηacηbd) ,
〈JabZcd〉 = λ−2α0 (ηadηbc − ηacηbd) ,
〈JabPc〉 = λ−1β0εabc ,
〈ZabPc〉 = λ−3β0εabc ,
〈PaPb〉 = λ−2α0ηab ,⟨QαQβ
⟩= λ−2(α0 − β0)Cαβ .
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra de Maxwell
Tensores invariantes de SMaxwell
〈Jab Jcd〉 = α1 (ηadηbc − ηacηbd) ,
〈ZabZcd〉 = 0 ,
〈JabZcd〉 = 0 ,
〈JabPc〉 = 0 ,
〈ZabPc〉 = 0 ,
〈PaPb〉 = 0 ,⟨QαQβ
⟩= 0 .
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz Superalgebra de Maxwell
Superalgebra de Maxwell
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz S-expansion + contraccion
Solucion
Reescalamiento de las constantes.
La unica manera de evitar que el proceso de contraccion de IW trivialice la accionChern-Simons para la superalgebra de Maxwell es que en conjunto con elreescalamiento de los generadores sean reescaladas las constantes presentes en lostensores invariantes.
El reescalamiento en las constantes, que permite la obtencion de un lagrangeanovalido, es unico.
α0 → λ2α0 ,
β0 → λβ0 .
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz S-expansion + contraccion
Segundo reescalamiento
Con este reescalamiento los tensores invariantes son
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz S-expansion + contraccion
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz S-expansion + contraccion
Superalgebra de Maxwell
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz S-expansion + contraccion
Lagrangeano general para SAdS− Lorentz(λ)
Conexion
A =1l
eaPa +12
ωab Jab +12
kabZab + ψαQα
Lagrangeano generalizado en D = 3
L(2+1)CS =
β0
lεabc
[(Rab +
λ−2
3l2 eaeb)
ec + λ−2(
dkab + λ−2kadkdb + 2ωa
dkdb)
ec]
+ α0
[ka
b
(Rb
a + λ−2ωbckc
a
)+
1l2 ea
(Ta + λ−2k b
a eb)
+λ−2
2
(ka
bdkba +
2λ−2
3ka
bkbckc
a
)]+
α1
2
(ωa
bdωba +
23
ωabωb
cωca
)+(
λ−1β0 − α0
)ψα(
dψα +14
ωab (Γab)β
α ψβ +λ−2
4kab (Γab)
βα ψβ
+λ−1
2lea (Γa)
βα ψβ
).
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz S-expansion + contraccion
Lagrangeano para la superalgebra AdS-Lorentz en D = 3
λ = 1
L2+1CS =
β0
lεabc
(Rab + Fab +
13l2 eaeb
)ec
+ α0
[ka
b
(Rb
a + ωbckc
a
)+
1l2 ea
(Ta + k b
a eb)+
12
(ka
bdkba +
23
kabkb
ckca
)]+ (β0 − α0)ψαDψα +
α1
2
(ωa
bdωba +
23
ωabωb
cωca
)− 1
2d(
α0ωabkb
a +β0
lεabcωabec +
β0
lεabckabec
).
donde
Fab ≡ dkab + kadkdb + 2ωa
dkdb
D ≡ d +14
ωabΓab +14
kabΓab +12l
eaΓa .
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Superalgebras de Maxwell y AdS-Lorentz S-expansion + contraccion
Lagrangeano para la superalgebra de Maxwell en D = 3
λ−1 → 0
L2+1CS =
β0l
εabcRabec + α0
(ka
bRba +
1l2 eaTa − ψαDωψα
)+
α12
(ωa
bdωba +
23
ωabωb
cωca
).
donde
Dω = d +14
ωabΓab .
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Conclusiones
Conclusiones y proyecciones
El proceso de S-expansion regular permitio obtener el algebra de Maxwell, ası como lasalgebras y superalgebras de Maxwell, no fue posible obtener de manera directa lasuperalgebra de Maxwell.
Se construyeron acciones Chern-Simons para gravedad y supergravedad utilizando lasalgebras AdS-Lorentz.
Se presento una extension en la contraccion de IW con utilidad en la construccion delagrangeanos Chern-Simons, la cual genera nuevas alternativas para la construccion delagrangeanos.
El metodo generalizado de contraccion de IW fue utilizado exitosamente en laconstruccion de acciones para gravedad y supergravedad N= 1 con simetrıa de gauge lasalgebras de Maxwell en D = 3.
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Conclusiones
Conclusiones y proyecciones
El proceso de S-expansion regular permitio obtener el algebra de Maxwell, ası como lasalgebras y superalgebras de Maxwell, no fue posible obtener de manera directa lasuperalgebra de Maxwell.
Se construyeron acciones Chern-Simons para gravedad y supergravedad utilizando lasalgebras AdS-Lorentz.
Se presento una extension en la contraccion de IW con utilidad en la construccion delagrangeanos Chern-Simons, la cual genera nuevas alternativas para la construccion delagrangeanos.
El metodo generalizado de contraccion de IW fue utilizado exitosamente en laconstruccion de acciones para gravedad y supergravedad N= 1 con simetrıa de gauge lasalgebras de Maxwell en D = 3.
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Conclusiones
Conclusiones y proyecciones
El proceso de S-expansion regular permitio obtener el algebra de Maxwell, ası como lasalgebras y superalgebras de Maxwell, no fue posible obtener de manera directa lasuperalgebra de Maxwell.
Se construyeron acciones Chern-Simons para gravedad y supergravedad utilizando lasalgebras AdS-Lorentz.
Se presento una extension en la contraccion de IW con utilidad en la construccion delagrangeanos Chern-Simons, la cual genera nuevas alternativas para la construccion delagrangeanos.
El metodo generalizado de contraccion de IW fue utilizado exitosamente en laconstruccion de acciones para gravedad y supergravedad N= 1 con simetrıa de gauge lasalgebras de Maxwell en D = 3.
Octavio Fierro Mondaca Departamento de Ciencias Fısicas Facultad de Ciencias Exactas Universidad Andres Bello. IV COSMOCONCEAcciones Chern-Simons de Supergravedad para algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz en D = 3 39 / 42
Conclusiones
Conclusiones y proyecciones
El proceso de S-expansion regular permitio obtener el algebra de Maxwell, ası como lasalgebras y superalgebras de Maxwell, no fue posible obtener de manera directa lasuperalgebra de Maxwell.
Se construyeron acciones Chern-Simons para gravedad y supergravedad utilizando lasalgebras AdS-Lorentz.
Se presento una extension en la contraccion de IW con utilidad en la construccion delagrangeanos Chern-Simons, la cual genera nuevas alternativas para la construccion delagrangeanos.
El metodo generalizado de contraccion de IW fue utilizado exitosamente en laconstruccion de acciones para gravedad y supergravedad N= 1 con simetrıa de gauge lasalgebras de Maxwell en D = 3.
Octavio Fierro Mondaca Departamento de Ciencias Fısicas Facultad de Ciencias Exactas Universidad Andres Bello. IV COSMOCONCEAcciones Chern-Simons de Supergravedad para algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz en D = 3 39 / 42
Conclusiones
Conclusiones y proyecciones
Serıa de gran interes extender estas construcciones a mayores dimensiones y buscarsoluciones a las ecuaciones, particularmente de tipo cosmologico.
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Conclusiones
Gracias
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Conclusiones
Octavio Fierro Mondaca Departamento de Ciencias Fısicas Facultad de Ciencias Exactas Universidad Andres Bello. IV COSMOCONCEAcciones Chern-Simons de Supergravedad para algebras de Maxwell y (A)dS-Lorentz en D = 3 42 / 42