AC Analyse
AC Analyse
2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Sprungantwort
)(th )(* tU out
dt
tduCti
)()(
+
)()( ssCs UI
)()( tCDuti
)()( isCi UI
)()(
)()( s
sQ
sPs inout
* UU
sthS /1)}({
3Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
DC
)(th )(* tU out
4Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC
)(th )(* tU out
5Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Sprungantwort
)(tf
)()(')(0
it
i tthttftf
0
*
0
* )()(')()(')( dtufttuttftu it
outiout
)(tuout)(th )(* tu out
6Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
T
AA
U
UA OLOL
in
outF
1
21
Signalgain am Eingang
RückkopplungAktive Verstärkung
)(1
)()(
DT
DADA OL
F
dt
tduCti
)()(
+
)()( ssCs UI
)()( tCDuti
7Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
h(t))(* tu out
)()1...()()1( 0*1
12
2 thDbAtuDaDa mmout
)()1...()()1...( 0*1
1 thDbAtuDaDa mmout
nn
8Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
)(* tu out
0)()1...( *11 tuDaDa out
nn
9Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
h(t))(* tu out
)()1...()()1( 0*1
12
2 thDbAtuDaDa mmout
)(~)( 0*2
2 thDbAtuDa mmout
)(~)( 2
20
* thDa
bAtu mm
out
2m
1m
0m
2x integrieren
10Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
)(1
1)(
11
22
10
* thDaDa
DbAtu out
0112
2 aa
011* 21)()( AeCeCthtu ttout
0/1
/1
* 21)()( AeCeCthtu ttout
22
1112
1,
1
))(()( 0/
1*
211 AeCthtu t
out 12211 /, aaa
h(t))(* tu out
)()1)(1(
1)(
12
10
* thDD
DbAtu out
Polynom in D
Charakteristische Gleichung
Partikulare Lösung
Wurzel sind Realzahlen
11Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
T
AA
U
UA OLOL
in
outF
1
21
Signaldämpfung am Eingang
RückkopplungAktive Verstärkung
)(1
)()(
DT
DADA OL
F
1
)1()(
212
21
*0
DD
DADA zOL
OL
1
)1()(
212
21
0
DD
DTDT z
Annahme: System zweiter Ordnung
12Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Testschaltungen für Feedbackanalyse
RKA
AAFFA
OL
OLOLF
2
21
1
AOL1 – Gain am Eingangsnetz AOL2 – aktive Verstärkung
RK FF
T - Schleifenverstärkung
Messpunkt - blau
Testquelle - rot
Kurzschluss
T
AAFFA OLOL
F
1
21
13Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
111
1
1)(
0
0212
0
21
*
0
0
D
T
TD
T
D
T
ADA
z
zOLF
)(1
)()(
DT
DADA OL
F
14Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Lösung der DG zweiter Ordnung
111
1
1)(
0
212
0
210
D
TD
TT
ADA OL
F
011
0
2
0
Q
2212112 41
22Q
11
1
1)(
0
2
0
0
D
QDT
ADA OL
F
21
00210 ,1
QT
2211 /1,/1
)14sin()14cos()()( 21
21
* tQCtQCethtu tout
Übertragungsfunktion (Differentialgleichung)
Kanonische Form, Eigenfrequenz, Güte
Das charakteristische Polynom
Die Lösung
15Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Stabilität
2212112 41
22Q
ttout eCeCtu 11
21* )(
21
0210 ,1
QT
5,0Q
UQ
Q
14
22
2
707,0Q
707,0Q
Für Q Faktor kleiner als 0,5 die Antwort des Verstärkest ist exponentiell und reell
Für Q Faktor kleiner als 0,707 die Antwort des Verstärkest hat keinen Überschwinger
Antwort mit RK ist schneller für Größere T
16Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Bedingungen für die schnelle und genaue Verstärkung
707.0)1(
21
21
T
Q
1212 5.0 T
12
5.0 T
2112 )(
5.0zT
T
17Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Verstärker 2ter Ordnung mit RK
ω1ω2
λ1, λ2
T0 steigt
Es ist möglich nur mit Kondensatoren, Widerständen und Verstärkern eine spulenähnliche Schaltung zu bauen
18Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Verstärker 1ter Ordnung mit RK
)(1
)()(
DT
DADA OL
F
1)(
1
0
D
ADA OL
OL
1)(
1
0
D
TDT
11
1
1)(
0
10
DT
T
ADA OL
F 01 T
AA OL
DCF
00
1
11 TTOL
F
Verstärkung wird um Faktor 1+T schlechter
Zeitkonstante verbessert sich um 1+T
Produkt der Bandbreite und Verstärkung ist konstant
19Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Verstärker 3ter Ordnung mit RK
)(1
)()(
DT
DADA OL
F
111)(
321
0
DDD
ADA OL
OL
111)(
321
0
DDD
TDT
ω1ω2
λ1, λ2
ω3
λ3
Die Schnellste Zeitkonstante bleibt reell,
wird kleiner
T steigt
Wir können die schnellste zeitkonstante vernachlässigen aber…
Das System kann bei großer T instabil werden
20Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uC1
uC2
uGNur R
21Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uC1
uC2
uG
+
+
C2
C‘2
uG
+
uG = uC2 + uC‘2
Abhängige Kondensatoren
Unabhängige Kondensatoren
22Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uC1
uC2
uG
Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi
Nur R
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
i
i
2
1
2
1
2221
1211
2
1
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212
+
+
Matrix Form
Lineare Form
23Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uC1
Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi
Nur R
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
i
i
2
1
2
1
2221
1211
2
1
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212
+
+
24Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uC2
Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi
Nur R
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
i
i
2
1
2
1
2221
1211
2
1
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212
+
+
25Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uG
Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi
Nur R
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
i
i
2
1
2
1
2221
1211
2
1
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212
+
+
26Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
DuC
DuC
2
1
2
1
2221
1211
22
11
GCCC uducucDuC 121211111
GCCC uducucDuC 222212122
Ersetzen wir die iCi durch Ci DuCi („D“ ist zeitliche Ableitung)System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung
uC1
uC2
uGNur R
dt
tduCti
)()(
+
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212 +
+
Ersetzen wir i durch CDu
27Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
DuC
DuC
2
1
2
1
2221
1211
22
11
GC
C ud
d
u
u
cDCc
ccDC
2
1
2
1
22221
12111
)(
)(
GC
C ud
d
cDCc
ccDC
cDCc
ccDCu
u
2
1
11121
12222
22221
121112
1
)(
)(
)(
)(1
GC DUUC
GC DUCU 1
2
22
dt
dD
dt
dD
t
dD0
1
10
1
t
ddt
dDD
10
1 t
dd
dDD
Gruppieren wir alle Koeffizienten und Ableitung-Operatoren (D) in eine Matrix
Lösen wir die Matrixgleichung nach Uc auf
inverse Matrix
28Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
GC uDaDa
DbAu
1
1
12
2
11
GC
C ud
d
cDCc
ccDC
cDCc
ccDCu
u
2
1
11121
12222
22221
121112
1
)(
)(
)(
)(1
GC uDaDa
DbAu
1
1''
12
2
12
Matrixform
ausgeschrieben
Determinante Polynom 1. Ordnung!!!
Polynom 2. Ordnung!!!
29Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
GC uDaDa
DbAu
1
1
12
2
1
)(1
1)(
12
2
1 thDaDa
DbAtuC
)()1()()1( 112
2 thDbAtuDaDa C
)(th )(tuC
))()(()()()( 112 ththbAtutuatua CCC
h(t)
δ(t)
)(t
uG durch h(t) ersetzen
Ableitung von h(t) ist δ(t)
Differentialgleichung als Übertragungsfunktion
Differentialgleichung in üblicher Schreibweise
(1)
30Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
)()()( tututu CPCHC
))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC
)()( tthuCP
)(th )(tuC
)(tuCP
)(t
)(th
)(tuCP)(tuCH
0
Die Lösung der DG hat die folgende Form:
Nur die partikulare Lösung ist interessant
31Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
))()()(()( 12 Attatath
))0()0(()( 112 baat
0)0()( 1 at
)0()()()()()()()())()(( ttthtthtthtthD
))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC
)()( tthuC
)0()()0()()()())0()()()(())()((2 tttthttthDtthD
Attata )()()( 12
112 )0()0( baa
0)0(1 a
Setzen wir uc in die DG ein
Ableitungen von h(t)φ(t):
(1)
DG (1) wird: alle Koeffizienten müssen 0 sein
(2)
(3)
(4)
32Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
Aecect to
to 21
21)(
0112
2 aa 0)(
)(
22221
12111 cCc
ccC
Attata )()()( 12
112 )0()0( baa
0)0(1 a
Differentialgleichung (Gl. 2 von der letzten Seite)
Lösung ist Exponentialfunktion (homogen) + Konstante (partikular)
Konstanten λ sind die Lösungen der Quadratischen Gleichung
Anfangsbedingungen (Gl. 3 und 4 von der letzten Seite)
33Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uC2
Koeffizienten a12 und a21 sind gleich
Nur R
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
i
i
2
1
2
1
2221
1211
2
1
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212
+
+
34Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
Nur R
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
i
i
2
1
2
1
2221
1211
2
1
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212
uC1+
+
Koeffizienten a12 und a21 sind gleich - deswegen…
35Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
Aecect to
to 21
21)(
Aecect to
to 21 /
2/
1)(
0112
2 aa
Aececthtu to
toC 21 /
2/
1)()(
Sind λ1 und λ2 real und kleiner als 0
Lösung
wird
)(1
1)(
12
2
1 thDaDa
DbAtuC
Gleichung (1) Seite 32:
Hat die Lösung:
21 /1,/1 sind die Wurzel des Polynoms:
0112
2 aa
36Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Zeitkonstanten
C1
C2
Ci
Gnn
nn u
DaDa
DbDbiu
1...
1...,
1
1
nnRCRCa 010
11 ...
CN
Ω
Zur Messung von R01
Wir haben N unabhängige Kondensatoren. Jede Spannung oder Strom ist Lösung einer Differentialgleichung N-ter Ordnung
Der Koeffizient a1 kann wie folgend berechnet werden
37Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Zeitkonstanten – die Formel für a2
C1
C2
Ci
Gnn
nn u
DaDaDa
DbDbiu
1...
1...,
12
2
1
nn
nnn RRCCRRCCa 11
012
110
212 ...
CN
Ω
Zur Messung von RN1
38Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
DC AC
Ohne RK
RK
inout VRR
RV
21
1
outVinV
1R
2R
)(1
)1()(
12
2
1 tAuDaDa
Dbtu Gout
)()( ssCUsI
Ω
RKA
AAFFA
OL
OLOLF
2
21
1
2112 )(
5.0zT
T
39Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung (Beispiel)
)(1
)1()(
12
2
12 tAu
DaDa
Dbtu GC
+
C1
R1
uG
C2
R2
+ +
Aececthtu to
toC 21 /
2/
12 )()(
)()( thtuG
Es gibt 2 unabhängige Kondensatoren
DG hat die Form (Nenner - Polynom 2. Ordnung, Zähler - Polynom 1. Ordnung) wie auf Seite 31
Wir suchen die Antwort auf Sprungfunktion
Die Lösung hat die Form (Seite 38)
40Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
+
C1
R1
uG
C2
R2
+ +
1A
)(1
)1()(
12
2
12 tAu
DaDa
Dbtu GC
1V
Finden wir A (DC Verstärkung)
Es fließen keine Ströme
durch C
VuC 1)(2 weil
41Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
GC AuDaDa
Dbu
1
)1(
12
2
12
R1R2
Ω
20
210
11 RCRCa 11
0 RR
Messung von R01
Formel
Ergebnis
Finden wir Konstante a1
42Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
GC AuDaDa
Dbu
1
)1(
12
2
12
R1R2
Ω
20
2111 RCRCa 212
0 RRR
Messung von R02
Formel
Ergebnis
)( 212111 RRCRCa
Finden wir Konstante a1
43Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
GC AuDaDa
Dbu
1
)1(
12
2
12
R1R2
Ω
21
10
212 RRCCa 11
0 RR
Messung von R01
Formel
Ergebnis
Finden wir Konstante a2
44Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
GC AuDaDa
Dbu
1
)1(
12
2
12
R1R2
Ω
21
1212 RRCCa 22
1 RR
Messung von R12
Formel
Ergebnis
21212 RRCCa
Finden wir Konstante a2
45Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
GC uDD
DbAu
)1)(1(
)1(
21
12
121221 , aa
1121 a 122 / aa
)( 212111 RRCRCa
21212 RRCCa
GC AuDaDa
Dbu
1
)1(
12
2
12
1A
(1)
(2)
Durch Vergleich von Nenner in (1) und (2)
Wenn… (τ1 – dominante Zeitkonstante)
46Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
1)()( 21 /2
/12 t
ot
oC ececthtu
+
C1
R1
uG
C2
R2
uC
t
11 a 212 / aa
Bis jetzt hatten wir
Co1 und Co2 = ?
)( 212111 RRCRCa
21212 RRCCa
47Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
+
C1
R1
uG
C2
R2
uC
t
dt
tduCti
)()(
+
0)0(2 Cu
0i0u
0t
0u
1)()( 21 /2
/12 t
ot
oC ececthtu
10 21 oo cc
Erste Anfangsbedingung:
48Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
C1
R1
C2
R2
uC
t
2211 //0 oo cc
dt
tduCti
)()(
+
0)0(1
)0( 22
2 CC i
Cu
+
uG
0t
0i
0u
1)()( 21 /2
/12 t
ot
oC ececthtu
Zweite Anfangsbedingung:
49Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
+
C1
R1
uG
C2
R2
uC
t
0t
So würde sich ein System 1. Ordnung verhalten
So verhält sich unsere Schaltung
50Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Beispiel (2)
R1
R2
C1
C2
U0h(t)
Nur ein unabhängiger Kondensator! – fügen wir zusätzlichen Widerstand Rx. Es gilt: Rx -> 0!!!
51Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Beispiel (2)
R1
R2
C1
C2
U0h(t)
Jetzt ist die Schaltung in Ordnung (zwei unabhängige Kondensatoren)
Rx
52Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Beispiel (2)
GC uDaDa
Dbu
1
1
12
2
12
220
110
1 CRCRa
2211211 )||()||( CRRCRRa
))(()( 2/
121 CoeCothtu at
C
Die Differentialgleichung hat die Form
Es gilt (nach der Formel von Folie 39 und 40):
R1
R2
C1
C2
U0h(t)Rx
wir benutzten Rx = 0!
02121
10
2 CCRRa
(1)
Lösung der Gleichung (1)
220
110
1 CRCRa
Finden wir Co1 und Co2…
53Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Anfangsbedingung (1)
R1
R2
C1
C2
U0h(t)
t = 0+
∞
∞
021
10
12
22 /1/1
/1)0( U
CC
CU
DCDC
DCuC
Großer Strom
54Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Endzustand
R1
R2
U0h(t)
t = ∞
021
22 )0( U
RR
RuC
uC
t
021
2 URR
R
021
1 UCC
C
))||)(/(( 2121 RRCCte