Abstract Studies about collaboration scripts have provided positive effects to university freshmen’s mathematical argumentation skills in cooperative learning settings. (cf. see Vogel et al., 2016; , Fischer et al, 2013, 2014; Hron, 2008). Many people have demanded more autonomous learning processes. Thus, it has been explored in this master theses study how learners work with the possibility to adapt their treatment and whether they can improve their skills thereby. Therefore, this master thesis has been designed to answer certain questions about cooperative solving of proof duties with the adaptable cooperation script. It has been tested how this learning aid has affected the skills of the subjects and if patterns of this adaptation have been occurred. A part of the study on the support of argumentation skills by heuristic worked examples and cooperation scripts has been analyzed in relation to the question how students have worked with an adaptable collaboration script. In this case subjects have to solve a mathematical problem and to create a proof on three following days. 54 math students have taken part in this study. The results have proved the positive effects of the adaptation of collaboration scripts on the argumentation skills and the specialist knowledge of the subjects. It has been shown that the self-assessment of the subjects has matched more with the real level of knowledge than with the ability to value the achievement of the group. The support 1
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Abstract - Akademisches Lektorat€¦ · Web viewZusätzlich wird den Schülerinnen und Schülern vermittelt, dass die Mathematik auch in anderen Lebenslagen zum Erwerb neuer Fertigkeiten,
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Abstract
Studies about collaboration scripts have provided positive effects to university freshmen’s
mathematical argumentation skills in cooperative learning settings. (cf. see Vogel et al.,
2016;, Fischer et al, 2013, 2014; Hron, 2008). Many people have demanded more autono-
mous learning processes. Thus, it has been explored in this master theses study how learn-
ers work with the possibility to adapt their treatment and whether they can improve their
skills thereby. Therefore, this master thesis has been designed to answer certain questions
about cooperative solving of proof duties with the adaptable cooperation script. It has been
tested how this learning aid has affected the skills of the subjects and if patterns of this
adaptation have been occurred. A part of the study on the support of argumentation skills
by heuristic worked examples and cooperation scripts has been analyzed in relation to the
question how students have worked with an adaptable collaboration script. In this case sub-
jects have to solve a mathematical problem and to create a proof on three following days.
54 math students have taken part in this study. The results have proved the positive effects
of the adaptation of collaboration scripts on the argumentation skills and the specialist
knowledge of the subjects. It has been shown that the self-assessment of the subjects has
matched more with the real level of knowledge than with the ability to value the achieve-
ment of the group. The support intensity during the adaptation phase has been chosen suit-
ably for the level of knowledge. Over all three treatment phases six different learner's pro-
files can be ascertained. Furthermore, it has been discovered that the application of an
adaptable colla-boration script have to be seen critical in the context of cooperative learn-
ing settings dealing with mathematical proofs with a computer program. Some university
freshmen have problems with the self-declaration prompts or do not understand the func-
tionality of the scripts. Future research should answer the question, if a conventional work-
ing method with pencil and paper in combination with the adaptation of collaboration
scripts can deliver better results than working with apps. To put it into a nutshell it can be
marked that a positive trend for the development of skills has arisen from using an adapt-
able collaboration script while dealing with a mathematical proof in cooperative learning
Wissenschaften wie Mathematik und Physik bilden eine Basis der modernen Gesellschaft
und schon die Kleinsten kommen mit ihnen in Kontakt, ob spielerisch, familiär oder
experimentell. In der schulischen und universitären Ausbildung sind sie allgegenwärtig.
Die Mathematik unterliegt zusätzlich festen Regeln in der Anwendung.
Mathematik beschreibt Phänomene oder liefert Formeln für die technischen Grundlagen.
Sachverhalte werden verifiziert und als allgemein gültig befunden. Im Bereich der Hoch-
schulmathematik und der Forschung ist das Belegen der eigenen Ideen von besonderer
Bedeutung und wird mit Hilfe formaler Beweise umgesetzt. Die Technik des
Beweisführens wird bereits in der schulischen Ausbildung thematisiert und eingeübt.
Zusätzlich werden in der Schule auch das Argumentieren und der nicht formale Beweis
trainiert.
Da mathematisches Argumentieren und Beweisen über die ganze Ausbildungszeit einen
hohen Stellenwert besitzt, sind Studien durchgeführt worden, welche die Argumentations-
fertigkeiten und die zugehörigen Lernprozesse analysieren. Beispiele sind hier , wie zum
Beispiel die Studien von Reiss im Jahr 2012 oder Vogel, Kollar, Fischer und, Ufer in den
Jahren 2014 und 2016. Speziell an Hochschulen sind viele Studenten zu Beginn ihres
Studiums durch den Stoff-umfang und die notwendigen genauen Vorgehens- und
Arbeitsweisen überfordert. Ein möglicher Grund besteht darin, dass die Studierenden durch
die Mathematik in der gymnasialen Oberstufe nicht optimal auf die Anforderungen der
Mathematik an der Hochschule vorbereitet worden sind. Dies führt bis heute häufig zu
Problemen, Versagen in den ersten Universitätsklausuren und somit zu einer schlechten
Motivation für die weitere universitäre Laufbahn (vgl. Nagel & Reiss, 2014). In
naturwissenschaftlichen Studiengängen ist deutschlandweit eine hohe Abbruchquote des
Studiums zu verzeichnen (vgl. Heublein et al., 2010). Für einen besseren Übergang von der
Schule zur Universität bieten die Hochschulen den angehenden Studenten vor dem Beginn
des Studiums unter anderem Brückenkurse oder Mentorenprogramme an.
3
Author, 03.01.-1,
Was meinen Sie damit genau? Sie sollten spezifizieren, worauf Sie sich beziehen.
Author, 03.01.-1,
Das ist zu unspezifisch. Sie sollten eine konkrete Zahl und Vergleichswerte aus anderen Fachbereichen nennen.
Author, 03.01.-1,
Hier sollten Sie unbedingt noch eine Quellenangabe machen. Ansonsten sind das unbelegte Behauptungen.
Author, 03.01.-1,
Wessen Grundlagen meinen Sie?
Author, 03.01.-1,
Hier sollten Sie unbedingt eine Quellenangabe machen. Ansonsten sind das unbelegte Behauptungen.
Wie mathematisches Argumentieren optimal unterstützt werden kann, wird unter anderem
am Lehrstuhl für Schulpädagogik der TUM in den Studien von Vogel, Kollar, Fischer und
Ufer in den Jahren 2014 und 2016 untersucht.
In den letzten Jahrzehnten hat man immer wieder über die Wichtigkeit, den Nutzen und die
Förderung des mathematischen Argumentierens debattiert (vgl. Reiss & Nagel, 2014;
Reichersdorfer et al., 2016)., Ddabei sind vor allem zwei Punkte diskutiert worden:zwei
folgenden Tatsachen zur Diskussion gestanden.
1. Die Kultusministerkonferenz hat das Argumentieren, zu dem Beweisen gehört, als
Kompetenz in den Bildungsstandards festgelegt, die den Schülern vermittelt werden
sollen. Weinert (1996) hat die Kompetenz in Bezug auf die Mathematik als kognitive
Fähig- und Fertigkeiten zur Lösung bestimmter Probleme, aber auch der damit
verbundenen Volition und die motivationale Bereitschaft, die zum Lösen erforderlich
sind, definiert (vgl. Wiater, 2015). Nach Wiater (2015) weisen zeichnen sich gute
Bildungsstandards durch folgende Eigenschaften aus: Fachlichkeit, Fokussierung,
Kumulativität, Differenzierung, Verbindlich-, Verständlich- und Realisierbarkeit.
In den Bildungsstandards für alle Schularten sind die wichtigsten Kenntnisse
aufgelistet, die während der Schullaufbahn erworben und verbessert werden sollen.
Der englischen Wortbedeutung nach beschreibt das Wort „standards“ den
tatsächlich erreichten Leistungsstand. Der Begriff ist im internationalen
Sprachgebrauch mit normativen Erwartungen verknüpft: „content standards“,
„performance standards“ und „opportunity-to-learn-standards“ (Wiater, 2015, S.
29).
Für das Fach Mathematik sind sechs Grundfähigkeiten iIn den Bildungsstandards
aufgeführt:
K1 Mathematisches Argumentieren
K2 Probleme mathematisch lösen
K3 modellieren
K4 mathematische Darstellungen verwenden
K5 symbolische Darstellungen verwenden
K6 mathematisch kommunizieren (vgl. KMK, 2012).
4
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt offensichtlich eine Quelle.
Author, 03.01.-1,
Dieser Satz ist sehr umständlich formuliert. Möglicherweise können Sie ihn in zwei Sätze aufteilen und mehr ihrem eigenen Sprachstil anpassen.
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt die Quelle der KMK.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wenn Sie eine Abkürzung das erste Mal nennen, müssen Sie diese ausschreiben, auch wenn jeder weiß, was damit gemeint ist.
Mathematisches Argumentieren ist als K1 fest verankert. Es besagt, dass zu „dieser
Kompetenz sowohl das Entwickeln eigenständiger, situationsangemessener mathe-
matischer Argumentationen und Vermutungen, als auch das Verstehen und Bewerten
gegebener mathematischer Aussagen gehören. Das Spektrum reicht […] von einfachen
Plausibilitätsargumenten über inhaltlich-anschauliche Begründungen bis zu formalen
Beweisen“ (KMK, 2012, S. 11). Daher soll diese Fähigkeit bestmöglich gefördert werden.
2. Auf der anderen Seite soll Studierenden die Möglichkeit gegeben werden, sich
autonom in neue Thematiken einzuarbeiten und die Intensität der Unterstützung
selbst festzulegen. Auf diesem Weg können die Lernenden ihr Potential selbst
entdecken und ihre Fertigkeiten verbessern (vgl. Finkbeiner & Schnaitmann, 2001;
Reiss & Hammer, 2013). Die Förderung - und Ermöglichung des selbstständigen und
eigenverantwortlichen Lernens bestimmt einen bedeutenden Bereich der Lehre.
Selbstreguliertes Lernen und kooperatives Lernen sind ein Lernkonzepte, welches
den Lernenden motivierent, sich eigene Ziele zu setzen und die dazu passende
Lernstrategie auszuwählen (vgl. Götz & Nett, 2011). Vom Lernenden werden
verschiedenste Fähigkeiten und Kenntnisse aus den Bereichen Planung-, Handlung
und Reflexion gefordert.
Jedoch sind durch Lernende gesteuerte Lernprozesse zeitintensiver und benötigen
mehr an Vorarbeit.; Mit Hhilfe der beiden Lernkonzepte können neu gelernte Inhalte
anders verknüpft und länger behalten werden (vgl. Finkbeiner & Schnaitmann, 2001;
Reiss & Hammer, 2013). Diese Selbststeuerung während des Lernprozesses könnte
auf das Berufsleben oder den Alltag übertragen werden und sehr hilfreich sein.
Deshalb ist es wichtig, dass das selbstreguliertes Lernen gefördert und optimal
unterstützt wird.
Aus diesem Grund wird in der nachfolgendendieser Arbeit eine Studie bezüglich der
Förderung von Argumentationsfähigkeiten durch heuristische Lösungsbeispiele und
Kooperations-skripte , (abgekürzt ELK-Math- Studie), in Bezug auf das Lernen mit
5
adaptierbaren Koopera-tionsskripten untersuchtdurchgeführt. Studienanfänger, die sich für
einen Studiengang mit Lehramt Mathematik oder Mathematik in Haupt- oder Nebenfach
entschieden haben, sind während eines zweiwöchigen Vorkurses aufgefordert worden, mit
wechselnden Lernpartnern unter-schiedliche mathematische Probleme zu lösen. Der
Bearbeitungsprozess ist in Bild und Ton aufgezeichnet worden.
In der vorliegenden Arbeit ist analysiert, wie Lernende mit dem adaptierbaren
Kooperationsskript umgehen und wie das Skript den Lernprozess unterstützen kann.
6
Author, 03.01.-1,
Dieser Satz wirkt etwas verloren. Sie sollten vielleicht noch erläutern, wie die Arbeit aufgebaut ist und welches Vorgehen Sie gewählt haben.
2. Theorie
[3.]
2.1[3.1] Argumentieren in der Mathematik
Nachfolgendes Dieses Unterkapitel beschreibt und definiert das Argumentieren in der
Mathe-matik. Es wird erläutert, welche Fähigkeiten benötigt bzw. erlernt werden müssen
und wie die Argumentationsfähigkeit im Lernprozess zum Einsatz kommt.
Die Mathematik ist eine sich stetig weiterentwickelnde Wissenschaft und unterliegt nicht
nur der Axiomatik, sondern auch dem Grundsatz der Verifizierung.
Die hierfür notwendige Argumentationsfähigkeit bildet eine der wichtigsten Grundlagen
der Mathematik. In der Hochschul- sowie der Schulmathematik wird deshalb darauf
geachtet, dass diese Fähigkeit erlernt, verbessert und gefördert wird. In diesem
Zusammenhang wird kurz die geschichtliche Entwicklung des Argumentierens in den
letzten fünfzig Jahren erläutert.
Während der letzten Jahrzehnte ist es immer wieder zu Debatten und Änderungen
bezüglich des Argumentierens in der Lehre gekommen. Verschiedene Wissenschaftler sind
der Ansicht, dass die Argumentationsfähigkeit für den Lernvorgang und Wissenserwerb in
der Mathematik entweder mehr oder weniger Bedeutung besitze besitzt (vgl. Reiss &
Hammer, 2013).
Für manche gehört diese Fertigkeit zur Allgemeinbildung und nutzt dem tieferen Wissens-
verständnis. , Aandere sehen darin einen Aufwand, der für spätere Tätigkeiten nicht
notwendig ist. Wegen solcher und anderer Debatten haben die führenden Bildungsexperten
in den siebziger und achtziger1970er und 1980er Jahren eine zu starke Akzentuierung der
Formalismen mit einem Verlust der inhaltlichen Komponente in Verbindung gebracht (vgl.
Reiss und Hammer, 2013).
Auch andere Ansichten sind vertreten, aber erst in den neunziger 1990er Jahren haben sich
Gegen-bewegungen durchgesetzt, die einen Kompromiss der geltenden Meinungen
vertreten. Dies hat zu einer relevanteren Stellung des Argumentierens im
7
Author, 03.01.-1,
Sie müssen sich entscheiden, ob Sie „&“ oder „und“ verwenden und dies dann bei allen Quellenangaben einheitlich gestalten.
Author, 03.01.-1,
Auch dieser Begriff ist zu unspezifisch. Formulieren Sie besser, dass es eine dominierende Meinung in der Debatte war, diese Verbindung zu behaupten.
Author, 03.01.-1,
Andere Wissenschaftler?
Author, 03.01.-1,
Manche Wissenschaftler?
Author, 03.01.-1,
Wenn Sie „verschiedene Wissenschaftler“ schreiben, sollten Sie auch mehrere Quellen nennen. Zudem sollten Sie die Fachrichtungen dieser Wissenschaftler nennen.
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt eine Quellenangabe.
Mathematikunterricht geführt. Ein flexibler Rahmen für den mathematischen Formalismus
im Unterricht ist somit geschaffen worden (vgl. Reichersdorfer et al., 2016).
Reiss und Hammer (2013) verstehen unter Argumentieren das Stellen von Fragen,. die für
die Mathematik entwickelt und durch die Lösungswege beschrieben bzw. begründet
werden (vgl. Reiss & Hammer, 2013). Bezold (2012) formuliert es ein wenig
umfassenderdifferenzierter. Argumentieren umfasst bei ihr das Aufstellen von
„Vermutungen über mathematische Eigenschaften und Zusammenhänge [...] zu schildern,
diese zu hinterfragen, sowie zu begründen bzw. hierfür eine Begründungsidee zu liefern“
(Bezold, 2012, S. 76). Es wird zusätzlichZudem versteht sie das Beschreiben von
mathematischen Sachverhalten als Teil des Argumen-tierens verstanden, da bereits das
erfolgreiche sprachliche Erfassen einer Situation einerseits als Voraussetzung für
anspruchsvollere Argumentationen zu sehen ist. „Andererseits kann es für Schüler mit
sprachlichen Schwierigkeiten oder ausgeprägten Leistungsdefiziten einen Erfolg
darstellen“ (Bezold, 2012, S. 77).
Es muss zwischen dem schulischen und dem universitären Verständnis von Argumenta-
tionsführung in der Mathematik unterschieden werden. Bis zum Abitur benötigen die
Schülerinnen und Schüler hauptsächlich die Eigenschaften einer Figur oder mathematische
Fakten, um Aussagen zu folgern und zu belegen. An der Hochschule muss allerdings
genauer und differenzierter bewiesen und argumentiert werden. Die formalen Definitionen
gewinnen dort deutlich an Bedeutung. Dieser gravierende Unterschied des Argumentierens
liegt darin begründet, dass jede Institution unterschiedliche Normen vertritt und anwendet.
Eines der Ziele der schulischen Ausbildung stellt das grundlegende Verständnis der
fächerspezifischen Fakten und Arbeitsweisen dar. In der Mathematik sollen die
Absolventinnen und Absolventen nach den Regelstandards für die allgemeine
Hochschulreife alle Kompetenzen erworben haben und Leitideen auf aus den drei
Anforderungsbereichen eins, zwei und drei anwenden können. Die drei Oberthemen
Analysis, Stochastik und analytische Geometrie sind mit allen wichtigen Grundlagen
vorhanden und können angewendet werden. Zusätzlich wird den Schülerinnen und
Schülern vermittelt, dass die Mathematik auch in anderen Lebenslagen , zum Erwerb neuer
Fertigkeiten, sowie in der Gesellschaft und im späteren Berufsleben nützlich sein kann
(vgl. KMK, 2012).
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Author, 03.01.-1,
Worauf beziehen Sie sich hier? Meinen Sie die in der Einleitung erwähnten Grundfähigkeiten?
Author, 03.01.-1,
Das ist richtig, aber Sie sollten hier noch ausführen, welche das bei der Schule und der Universität jeweils sind.
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt eine Quellenangabe.
Author, 03.01.-1,
Hier sollten Sie präziser formulieren, denn Aussagen werden nicht in erster Linie gefolgert, sondern aus Aussagen werden Folgerungen abgeleitet und beides kann dann belegt werden.
Author, 03.01.-1,
Was meinen Sie damit? Das sollten Sie näher ausführen.
Author, 03.01.-1,
Warum muss? Wenn Sie so eine starke Formulierung verwenden, die für wissenschaftliche Arbeiten unüblich ist, sollten Sie das auch begründen. „Kann“ wäre hier besser.
Author, 03.01.-1,
Dieser Satz ist missverständlich formuliert. Fragen können keine Lösungen sein oder Lösungswege beschreiben.
Die Mathematik wird als Grundkenntnis in der Schulbildung angesehen und aufgrund
dieser Tatsache, dass jeder sie erlernen muss, erfolgt das mathematische Argumentieren in
der Schule auf der inhaltlich-anschaulichen Ebene. Diese ist definiert als eine inhaltliche
Axio-matik (vgl. Heintz, 2000), welche Axiome nur als Eigenschaften von bekannten
Begriffen verwendet. Diese werden allgemein als korrekt angesehen und nicht bis in die
letzte Konsequenz bewiesen (vgl. Reichersdorfer et al., 2016).
Die geringeren oder fehlenden inhaltlichen und methodischen Grundlagen in der Schule
kommen erst zum Tragen, wenn sich die Absolventen dazu entschließen, Mathematik oder
eine mit dieser verwandten Wissenschaft zu studieren (vgl. Nagel & Reiss, 2014). An der
Universität wird ein tiefergehendes Verständnis benötigt und exaktes Arbeiten verlangt. In
der universitären Lehre wird deshalb der Ansatz der axiomatisch-deduktiven Ebene
vertreten. Definitionsgemäß wird hier die formale Axiomatik verwendet, die alle Aussagen
auf Axiome zurückführt und Eigenschaften aus Axiomen folgert (vgl. Heintz, 2000).
Der Nutzen der formalen Schreibweise wird aufgezeigt und besitzt großen Wert. David
Hilbert entwickelte 1899 diese die formale Axiomatik, die bis heute Gültigkeit besitzt.
Begriffe werden „durch die in Axiomen festgelegten Eigenschaften“ bestimmt
(Reichersdorfer et al., 2016, S. 3). Das bedeutet, dass zum Beispiel ein Kreis nicht durch
seine Eigenschaften (, runde Form, und besitzt einen Radius), definiert wird, sondern diese
aus der Definition abgeleitet werden. Ein Kreis beschreibt in der Mathematik die Menge
aller Punkte P, die von einem Punkt M denselben Abstand r haben. M wird dabei als
Mittelpunkt und r als Radius bezeichnet (vgl. Barth et al., 2008).
Diese Änderung in der Argumentationstechnik von anschaulich zu deduktiv sorgt aber
sowohl bei Schülerinnen und Schülern, als auch bei Studierenden für Probleme. Neu zu
erwerbende Begriffe können mit Hilfe von zwei verschiedenen Lernformen gelernt
werden: anschaulich über das „Concept Image“ oder deduktiv über die „Concept
Definition“ (Vinner, 1991). Bei Argumentationen liegt der Fokus der Beweisführung in
auf der Richtigkeit der Aussagen und konkreten Zurückführung auf Axiome und
Definitionen, weshalb die „Concept Definition“ (Vinner, 1991) benötigt wird.
9
Author, 03.01.-1,
Sie sollten noch kurz erläutern, was damit gemeint ist. Sonst wird nicht deutlich, warum diese benötigt wird.
Author, 03.01.-1,
Für Hervorhebungen sollten Sie sich entscheiden, ob Sie eine Kursivstellung nutzen oder „“. Prüfen Sie dies zur Sicherheit noch einmal in ihren Formatvorgaben.
Author, 03.01.-1,
Hier wird der Zusammenhang nicht deutlich. Sie sollten eine bessere Überleitung finden.
Oftmals werden aber neue Begriffe über Repräsentanten und ihre Eigenschaften gelernt.
Das entspricht der Vorstellung im Rahmen des „Concept Image“ (Vinner, 1991). Jene Art
von Begriffserwerb definiert „die mentale Repräsentation eines Begriffs […][, wie] z. B.
grafische oder erfahrungsgebundene Vorstellungen sowie prototypische Repräsentanten“
(Reichersdorfer et al, 2016, S. 3). Lernende, die dieses Lernverhalten verwenden, stellen
sich neue Inhalte auf der inhaltlich-anschaulichen Ebene vor und können die mögliche
Reichweite einer neuen Begrifflichkeit nicht erfassen. Sie stellen sich durch den
Repräsentanten nämlich nur einen Teil des Begriffes bildlich vor. Neue Axiome werden
nur als Eigenschaften von bekannten Begriffen genutzt oder als bereits bekannte Axiome
anerkannt. Aufgrund der Vernetzung der Repräsentanten mit bekannten Fakten ist dies eine
der einfacheren Formen des Begriffserwerbes. Eine deduktive Argumentationsführung
wird durch die Repräsentantenvorstellung bei steigenden Komplexitäten erschwert.
Im Gegensatz dazu arbeiten Personen, die einem „Concept Definition“- Verständnis
(Vinner, 1991) folgen, mit der formalen Definition des Begriffes. Vinner (1991) stellt
zusätzlich fest, dass bei einem neu zu erlernenden Begriff spontan immer das Concept
Image abgerufen wird. Arbeiten mit der formalen Axiomatik ist nur möglich, wenn es zu
einer geeigneten Vernetzung von Image und Definition kommt (vgl. Reiss & Nagel, 2014;
Reichersdorfer et al, 2016). „Anschauungen ohne Begriffe sind leer, Begriffe ohne
Anschauungen sind blind“ (Freudental, 1973, S. 47). Er weist darauf hin, dass jeder
Mensch einen Weg finden muss, möglichst günstig zu vernetzen. Nur durch diesen Weg ist
ein Erfolg beim Begriffserwerb und späteren Argumentieren realisierbar. Die Verknüpfung
zwischen Anschauung und formaler Definition zeigt die Verwendung der axiomatisch-
deduktiven Ebene auf. Zu einer bildlichen Darstellung müssen für komplexere
Sachverhalte immer fachlich korrekte Aussagen zug Grunde liegen. Die Definition von
Begriffen in den richtigen Kontext zu bringen, entspricht dem Ziel von Concept Definition.
So bleibt zusätzlich die Axiomatik erhalten und Problemstellungen können argumentativ
bearbeitet werden.
Mathematik stellt eine beweisende Disziplin dar. Jede Aussage und Problemstellung
unterliegt einer Wahrheitsprüfung. Diese erfolgt über eine Argumentationskette, die in der
Hochschulmathematik meist als Beweis dargestellt wird. Dabei ist der vorgenannte
Nachweis definiert als „eine Behauptung, die in gültiger Weise Schritt für Schritt formal
deduktiv aus [...] Sätzen und Definitionen [, , die als bekannt vorausgesetzt werden
10
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt offensichtlich eine Quelle.
Author, 03.01.-1,
Was zu vernetzen?
Author, 03.01.-1,
Meinen Sie Freudental? Sie sollten das Zitat hier besser einbinden.
Author, 03.01.-1,
Auch hier müssen Sie sich entscheiden, ob Sie eine Hervorhebung einmalig machen und dann im Folgenden darauf verzichten oder den Begriff immer hervorheben. Dies sollten Sie in Ihrer gesamten Arbeit noch einmal überprüfen.
können,] gefolgert wird“ (Meyer, 2007, S. 21). Es beschreibt einen Prozess, der nicht auf
Erfahrung beruht, sondern der ausgehend vom Allgemeinen zum Speziellen hin streng
logischen Regeln folgt. Wenn ein mathematischer Satz aus anderen wahren Aussagen
gefolgert werden kann, wird dieser als wahr angesehen (vgl. Brunner, 2014).
In der Mathematik besteht ein Beweis grundsätzlich aus drei Schritten: Behauptung,
Voraussetzung und Beweisschritt. Für die vollständige Induktion wird die Voraussetzung
zusätzlich noch auf weitere Werte übertragen, um mit einer logischen Argumentationskette
den Übergang von zum Beispiel n nach n+1 zu begründen. Jede Folgerung und Aussage,
die auf einer anderen basiert, muss immer durch bereits bewiesene Aussagen oder Axiome
verifiziert werden. Das nachfolgende Beispiel zeigt einen typischen Beweisaufbau:
Behauptung:
Das Quadrat einer geraden Zahl n ist gerade, d.h. 2 ist ein Teiler von n2.
Voraussetzung:
Sei n eine gerade Zahl, d.h. es gilt n=2 k, dabei ist n ∊ Z und k ∊ Z.
Beweis:
Es gilt aufgrund der Voraussetzung:
❑❑()❑❑❑❑❑
Damit ist 2 ein Teiler von n2 und es folgt die Behauptung.
Dieses Beispiel zeigt den klassischen Aufbau eines Beweises. Die Definitionen von Bezold
(2012) und anderer Wissenschaftler zeigen übereinstimmend, dass die Argumentation den
Überbegriff von Beweisen darstellt. Die Disziplin des Beweisens stellt nur einen
Teilbereich der Mathematik dar und wird häufig unterschätzt. Allgemein werden in der
Mathematik der direkte, der indirekte oder der Widerspruchsbeweis genutzt (vgl. Reiss &
Hammer, 2013).
Harel und Sowder (1998) teilen in ihrem Konzept die Beweisschemata in drei Prototypen
ein, die miteinander kombinierbar sind: Beweisen durch externe Motivation und
Aufforderung, das empirische Beweisschema und das analytische Beweisschema (vgl.
Reichersdorfer et al., 2016). „Das Beweisschema einer Person beschreibt, welche
Argumentationen diese Person – in bestimmten Kontexten wie z. B. bei der Bearbeitung
11
Author, 03.01.-1,
Soll das ein direktes Zitat sein?
Author, 03.01.-1,
Hier wird nicht deutlich, worauf Sie sich beziehen.
eines Übungsblatts zu einer Mathematikvorlesung – als beweisend oder überzeugend
ansieht“ (Reichersdorfer et al., 2016, S. 4).
Das erste Beweisschema definiert sich durch externe Motivation und Aufforderung. Es
zeichnet sich dadurch aus, dass „Rituale, Forderungen oder typische Vorgehensweisen
einer Autoritätsperson oder aber formal-symbolische Notationen als wesentlich und
überzeugend für eine mathematische Argumentation gelten“ (Reichersdorfer et al., 2016,
S. 4).
Im Gegensatz dazu nutzt das empirische Beweisschema das Concept Image, d.h. auf Basis
von Beispielen oder sinnlich wahrnehmbaren Erfahrungen werden Aussagen konkretisiert
und als gültig angenommen (vgl. Reichersdorfer et al., 2016).
Das analytische Beweisschema beschreibt den komplexesten, da „deduktive Argumente in
einer kohärenten Folge geordnet [werden], um die Behauptung zu belegen“
(Reichersdorfer et al., 2016, S. 5).
In der schulischen Ausbildung wird hauptsächlich mit dem Beweisen durch externe
Motivation und Aufforderung oder dem empirischen Beweisschema gearbeitet, weil bei
diesen beiden Schemata ein niedriger Abstraktionsgrad vorliegt. Die Problematik besteht
darin, dass bei dieser anschaulichen Arbeitsweise unvollständige Begriffsdefinitionen oder
die reine Concept-Image-Vorstellung nicht zwingend auffallen müssen. Dadurch treten
über alle Altersstufen hinweg immer wieder Schwierigkeiten sowohl im Lern-, als auch im
Lehrprozess auf (vgl. Wiater, 2015).
Es wird nachfolgend eine Kombination aus Lehren und Lernen beschrieben, die dem Lehr-
Lern-Modell nach Josef Leisen (2014) folgen folgt (siehe Abbildung 1).
12
Author, 03.01.-1,
Komplexesten was?
Author, 03.01.-1,
Dieses Zitat sollten Sie besser in den Text einbauen.
Abbildung 1: Lehr-Lern-Modell nach Josef Leisen (2014, S. 1)
Das Modell besteht aus zwei Bereichen, demden beiden Bereichen Lehren und dem
Lernen. Beide Tätigkeiten wirken sich auf die Kompetenzen des Lernenden aus.
Die linke Seite der Abbildung stellt das Lehren dar. Lehren wird definiert als die Tätigkeit,
jemanden anderen anzuleiten, eine Tätigkeit auszuführen oder ihm Kenntnisse und
Fähigkeiten zu vermitteln, die von Lernenden im volkswirtschaftlichen Sinne als
Kapitalbildung angesehen werden (vgl. Deutsche Enzyklopädie, 2017).
Das Lernen bezeichnet nach Wiater (2015) „die abrufbare und relativ dauerhafte Änderung
der kognitiven, emotionalen, volitionalen und motorischen Strukturen und
Verhaltensweisen auf Grund subjektiv verarbeiteter Umwelterfahrungen“ (Wiater, 2015, S.
20).
Jede Seite des Modelles besteht aus verschiedenen Schritten, die in ihrer Komplexität
variieren. Da es sich somit nicht um einen einfachen Prozess handelt und man mehrere
Aktivitäten miteinander verknüpfen muss, kann es immer zu Schwierigkeiten oder
Problemen in den einzelnen Phasen kommen. Diese können von metakognitiver oder
kognitiver Natur sein. Ein falsches oder fehlerhaftes Verständnis fällt allerdings oft erst am
Übergang von der Schule zur Hochschule oder beim Einstieg ins Berufsleben auf (vgl.
Reichersdorfer, 2016).
13
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Studien haben Unterschiede und Defizite im Leistungsstand des Argumentierens
festgestellt, die mit verschiedenen Methoden behoben bzw. verbessert werden können (vgl.
Reiss, 2012, Vogel et al., 2016). Diese werden in Ausschnitten im Laufe dieser
Masterarbeit detaillierter dargestellt.
[3.2] Lernprozesse
Die nachfolgenden Abschnitte beschäftigen sich mit dem Lernprozess an sich und zwei
Konzepten, die das Lernen fördern sollen: das selbstregulierte Lernen und das kooperative
Lernen.
„Lernen erfasst in den Sozialwissenschaften die abrufbare und relativ dauerhafte Änderung
der kognitiven, emotionalen, volitionalen und motorischen Strukturen und
Verhaltensweisen auf Grund subjektiv verarbeiteter Umwelterfahrungen“ (Wiater, 2015, S.
20). Das Ziel jedes Lernvorganges besteht darin, Schlüsselqualifikationen zu erwerben
oder zu fördern. Wiater (2015) , S. 27) definiert jene als „vielfältig verwertbare
Kenntnisse, Fähigkeiten, Fertigkeiten und Werthaltungen, die zum Lösen von Aufgaben-
und Problemstellungen funktions- und fächerübergreifend nötig sind“ (S. 27).
Teamfähigkeit, Eigeninitiative und Veränderungsbereitschaft spiegeln beispielhaft
Verhaltensweisen wiederwider, die im Leben von Nutzen sein können (vgl. Wiater, 2015).
Um diese und weitere Fertigkeiten zu fördern, wurden basierend auf gesellschaftlichen und
sozialen Kontexten Konzepte zur optimalen Lernunterstützung entwickelt.
Zwei dieser lernförderlichen Maßnahmen, Ddas selbstregulierte Lernen und das
kooperatives Lernen, werden als zwei dieser lernfördernden Maßnahmen in den
nachfolgenden Unterpunkten genauer dargestellt. Beide legen den Fokus sowohl auf die
soziale, als auch auf die inhaltliche Komponente und wollen den Lernenden anleiten,
Problemstellungen methodisch zu lösen. Die Bearbeitung kann entweder mit Stift und
Papier oder am Computer erfolgen.
[3.2.1] Selbstreguliertes Lernen
14
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt offensichtlich eine Quellenangabe.
Zunächst wird das selbstregulierte Lernen vorgestellt. Die Entwicklung der Fähigkeit zum
selbstregulierten Lernen stellt neben der Vermittlung des klassischen Fachwissens eine
zentrale Rolle des Bildungssystems dar (vgl. Reinders, Ditton et al., 2011). Das
selbstregulierte Lernen ist definiert als „eine Form des Erwerbs von Wissen und
Kompetenzen, bei der Lerner sich selbständig und eigenmotiviert Ziele setzen sowie
eigenständig Strategien auswählen, die zur Erreichung dieser Ziele führen. […] [Durch]
das Bewertung von Erfolgen bezüglich der Reduzierung der Ist‐Soll‐Differenz [sollen]
Ziele und Aktivitäten im Hinblick auf die Erreichung des Sollzustandes prozessbegleitend
modifizieren und optimieren“ (Götz & Nett, 2011, S. 146). Es werden während des
Lernprozesses vom Lernenden verschiedenste Fähigkeiten und Kenntnisse aus den
Bereichen Planung, Handlung und Reflexion gefordert. Sie sollen selbst die Initiative
ergreifen, die eigenen Lernbedürfnisse diagnostizieren, eigene Lernziele formulieren, die
eigenen Ressourcen organisieren, passende Lernstrategien auswählen und den Lernprozess
selbst reflektieren (vgl. Schoppek, 2011).
Es geht dabei nicht nur um Selbstkontrolle, sondern auch um Selbstregulation. Baumeister
et al. (2007) beschreiben Selbstkontrolle als „bewusste und mit Anstrengung verbundene
Prozesse“. Die Selbstregulation hingegen umfasst die unbewussten autonomen Prozesse
(vgl. Baumeister et al., 2007).
Seit Jahrzehnten werden aber für das selbstregulierte Lernen verschiedene Begriffe als
Synonym verwendet und mit Ausdrücken wie selbstgesteuertes Lernen, selbstbestimmtes
Lernen, selbstorganisiertes Lernen, selbstkontrolliertes Lernen, selbsttätiges Lernen oder
autonomes Lernen gleichgesetzt (vgl. Otto, Perels & Schmitz, 2011). In der Fachliteratur
sind diese Begrifflichkeiten nicht völlig gleichbedeutend, aber sie legen den Fokus auf den
Lernenden. Er ist für das eigene Lernen verantwortlich, hat diesen Vorgang initiiert und ,
organisiert und überwacht diesen (vgl. Otto et al., 2011).
Verschiedene Theorien liegen diesem zielorientierten Prozess des aktiven und
konstruktiven Wissenserwerbes zu Grunde. Die sogenannten Komponentenmodelle
beschreiben nach Winne und Perry (2000) die „Kompetenzen eines Lernenden, die sich
positiv auf das selbstregulierte Lernen auswirken“. Diese werden als „relativ überdauernde
Attribute einer Person angesehen“ (Otto et al., 2011, S. 35). Hierzu zählen unter anderem
die Modelle von Boekaerts (1999) und von Leopold und Leutner (2004). Allerdings
15
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt ebenfalls die Seitenanagabe.
Author, 03.01.-1,
Bei direkten Zitaten sollten Sie auch die Seite angeben.
Author, 03.01.-1,
Die Lernenden?
Author, 03.01.-1,
Üblich ist die Nennung des ersten Autors vor et al.. Das sollten Sie aber noch einmal in den Formatvorgaben Ihrer Hochschule überprüfen und entsprechend anpassen.
spezifizieren sie nicht, „in welcher Phase des Lernprozesses die verschiedenen
Komponenten von besonderer Bedeutung sind“ (Otto et al., 2011, S. 35).
Boekaerts Drei-Schicht-Modell ist in der pädagogischen Ausbildung sehr verbreitet. Wie
der Name schon beschreibt, unterscheidet es zwischen drei verschiedenen
Regulationssystemen, die mit den Stichworten „Selbst“, „Regulation“ und „Lernen“
benannt werden (vgl. Otto et al., 2011; Wirth & Leutner, 2004). Die Darstellung als in
Form von Rechtecken ist am verständlichsten (siehe Abbildung 2).
Abbildung 2: Drei- Schicht- Modell von Boekaerts (1999) (vgl. Otto et al., 2011)
Der innerste Bereich wird als Lernen bezeichnet und definiert „auf der Ebene der Lernstile
die Regulation des Informationsverarbeitungsprozesses, wobei kognitive Lernstrategien
ausgewählt, kombiniert und koordiniert werden müssen“ (Otto et al., 2011, S. 36). Die
mittlere Schicht, die Regulation, thematisiert metakognitives Wissen und metakognitive
Strategien, die bei der Steuerung des Lernens helfen sollen. Der Lernende soll dabei die
Fähigkeit erlangen, die kognitiven Strategien richtig zu planen, zu überwachen, zu
bewerten, gegebenenfalls zu verändern und der Situation anzupassen. Der gesamte
Lernprozess wird betrachtet und die Regulation kann sowohl durch den Lernenden selbs,t
als auch durch eine andere Person erfolgen (vgl. Otto et al., 2011). Erfolgt die Steuerung
durch eine andere Person und wird somit von außen ausgeführt, wird von einer externalen 16
Author, 03.01.-1,
Überprüfen Sie noch einmal in den Formatvorgaben Ihrer Hochschule, wie Sie Quellenangaben bei Abbildungen machen. Üblich ist:Quelle: Autor, Jahr, SeiteSie sollten zudem immer auf die Originalquelle zurückgreifen. Sonst wird nicht deutlich, wer die Abbildung erstellt hat. Dies sollten Sie dann bei allen Abbildungen anpassen.
Author, 03.01.-1,
Hier sollten Sie noch begründen, warum dies die verständlichste Darstellungsform ist. Kreise würden sich ja beispielsweise auch eignen.
Regulation gesprochen. Dieses Wort bedeutet dem lateinischen Wortursprung zufolge
nämlich „von außen“ (vgl. Langescheidt, 2005). Wenn der Lernende diese
Kontrolltätigkeit selbst übernimmt, also der Wortbedeutung nach „von innen“, wird dies
als internale Regulation definiert (vgl. Langescheidt, 2005).
Abschließend wird in dem äußeren Rechteck die Regulation des Selbst betrachtet. Hier
geht es zum einen um die Festlegung von Zielen und der zur Zielerreichung notwendigen
Ressourcen und zum anderen um die Kontrolle motivational-volitionaler Prozesse. Der
Lernende legt sich dabei verschiedene Ziele fest, die auch unabhängig voneinander sein
können. Boekaerts Definition von Regulation und der nötigen Volition beeinflusst
allerdings die Qualität der prozess- und lernbezogenen Regulationsprozesse.
Dementsprechend werden hier die für den gesamten Lernprozess wesentlichen
motivationalen Komponenten berücksichtigt. Mit jeder Schicht wird somit eine weitere
höhere Ebene der Regulation erschlossen (vgl. Otto et al., 2011).
Einem anderen Ansatz folgen die Prozessmodelle, in denen der Versuch unternommen
wird, eine klare Beschreibung des idealen Lernprozesses des selbstregulierten Lernens
darzustellen (vgl. Otto et al., 2011; Wirth & Leutner, 2008). Es gilt die Annahme, diesen
Lernprozess in verschiedene Phasen unterteilen zu können (vgl. Reinders et al., 2011). Das
Prozessmodell von Schmitz (2001) definiert drei Phasen im Selbstregulationsprozess
(siehe Abbildung 3).
17
Abbildung 3: Prozessmodell nach Schmitz (2001) (Otto et al., 2011, S. 37)
Bevor eine Problemstellung bearbeitet werden kann, muss zunächst die Handlung geplant
und das Lernen vorbereitet werden. Dabei geht es nicht nur um die Lernaktivität an sich,
sondern auch um die Lernziele und die Lernumgebung. Dazu dient die präaktionale Phase.
Die Aufgabe sowie die situativen Gegebenheiten lösen bei dem Lernenden bestimmte
emotionale und motivationale Zustände aus. Wird eine positive Emotion erzeugt, so
besteht eine hohe intrinsische Motivation, an das Problem heranzugehen. Das Gegenteil
kann allerdings geschehen und zu einer Ängstlichkeit oder einer sogenannten „Null-Bock-
Einstellung“ führen. Darüber hinaus wird der Lernende sich nicht unbedingt mehr
zutrauen, die Aufgabe erfolgreich bewältigen zu können (vgl. Otto et al., 2011).
Motivation, Interesse und Emotionen bestimmen das vom Lernenden festgelegte Lernziel,
aber hängen auch stark von den Zielen ab (vgl. Otto et al., 2011). Diese Ziele sollen ein
gewisses Anspruchsniveau erfüllen, den Lernenden zu Höchstleistungen herausfordern und
eine möglichst genaue fächerbezogene Formulierung besitzen (vgl. Locke & Latham,
1990), denn sie bestimmen die spätere Lernstrategie (vgl. Otto et al., 2011).
18
Die anschließende aktionale Phase beschreibt den Bearbeitungsprozess des Lernenden.
Dabei wird bestenfalls die vorherige Planung in die Tat umgesetzt. Für eine erfolgreiche
Lösung der Aufgabe besteht ein großes Interesse an der aufgewendeten Lernzeit und der
Anwendung von Lern- und volitionalen Strategien. Es ist zudem wichtig, dass der
Lernende während des zweiten Schrittes nach Schmitz (2001) Self-Monitoring betreibt.
Das ist eine besondere Art der Selbstbeobachtung, die von Snyder (1982) erstmals als diese
festgelegt wurde. Hierbei überwacht und reflektiert der Lernende seine eigenen
Arbeitsschritte und adaptiert diese, wenn es nötig ist. Auf diesem Weg können auftretende
Probleme schnellstens behoben werden, indem zum Beispiel volitionale Strategien zur
Aufrechterhaltung der Konzentration, der Motivation oder Ausschaltung störender
Gedanken genutzt werden. Die aktionale Phase endet, sobald ein Lernergebnis erreicht
wird (vgl. Otto et al., 2011).
Abschließend besteht in der postaktionalen Phase die Möglichkeit, zu vergleichen, alles zu
reflektieren und den eigenen Lernprozess zu bewerten. Dort nimmt der Lernende einen
sogenannten Ist-Soll-Vergleich vor, indem erzwischen seinem sein Ergebnis mit und den
am Anfang von ihm selbst gesetzten Zielen evaluiertvor. Auf diesem Weg kann man
unabhängig vom Lernergebnis Schlussfolgerungen bezüglich der Strategie, der
selbstgesteckten Ziele und der Arbeitsweise ziehen. Infolgedessen können diese adaptiert
oder anders gewählt werden. Hierfür sollen die Lernenden bereits wissen, wie die
Ergebnisse richtig zu deuten und zu attribuieren sind. So beeinflussen die Auswirkungen
der letzten Phase die präaktionale Phase der nächsten Lerneinheit. Dieser geschlossene
Kreis bewirkt einen konsekutiven Lernprozess und optimiert zusätzlich das Lernverhalten
(vgl. Otto et al., 2011).
Das Prinzip des selbstregulierten Lernens findet sowohl in der schulischen, als auch der
universitären Ausbildung Anwendung. Obwohl Nachteile, wie zum Beispiel die Sicherung
des richtigen Verständnisses, Zeitmangel oder , falsche Selbsteinschätzung des Lernenden,
existieren, überwiegen die Vorteile, wie beispielsweise die: Einbeziehung in die Gestaltung
und Durchführung des Lernprozesses, mehr Autonomie für die Lernenden, die Übernahme
von Verantwortung und mehr Selbstbestimmtheit des der Lernenden. Da man die
intrinsische Motivation schlecht von außen beeinflussen kann, kann diese eine negative
Einstellung eine eher schlechte Selbstregulation bewirken. Solange der Lernende die
entsprechenden metakognitiven Fähigkeiten und Kenntnisse besitzt und so dabei external
19
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
angeleitet werden kann, bietet dieses Konzept die Möglichkeit, selbstständig,
selbstorganisiert und autonom zu lernen. Diese Selbstbestimmung leitet die lernende
Person zum lebenslangen Lernen an und erleichtert die spätere Bearbeitung unbekannter
Aufgaben.
In der vorliegenden Masterarbeitsstudie ist eine Mischung des Modells von Schmitz und
des Modells von Boekarts angewendet worden, da die Probanden einen einzelne Arbeits-
und Denkphasen durchlaufen haben, aber ihre eigenen Ressourcen einschätzen mussten.
Zum einen besteht die Bearbeitung aus mehreren Phasen, die den drei Phasen des Modells
von Schmitz entsprechen. , Zzum anderen kann die Wahl der Hilfe mithilfe mittels des
Modells von Boekarts besser beschrieben werden, da der Proband in dieser Phase sich
selbst evaluieren soll.
[3.2.2] Kooperatives Lernen
Ein ähnliches Konzept wird beim kooperativen Lernen verfolgt und man betont die soziale
Komponente noch etwas mehr. Das bekannte „Think-Pair-Share Prinzip“ von Brüning und
Saum (2009, S. 83) ist eines der Kernprinzipien dieser Lernstruktur. Traub und Konrad
(2010) definieren kooperatives Lernen als „eine Interaktionsform, bei der die beteiligten
Personen gemeinsam und in wechselseitigem Austausch Kenntnisse und Fertigkeiten
erwerben. Im Idealfall sind alle Gruppenmitglieder gleichberechtigt am Lerngeschehen
beteiligt und tragen gemeinsam Verantwortung“ (Konrad & Traub, 2010, S. 5). Dabei soll
beachtet werden, dass in der einschlägigen Fachliteratur verschiedene Definitionen
existieren, aber übereinstimmend nicht jede Gruppenarbeit als kooperatives Lernen
definiert wird (vgl. Scholz, 2013). „Eine Gruppenarbeit bezeichnet lediglich die Tatsache,
dass Schüler zu einer bestimmten Zeit etwas zusammen erledigen, sie können dabei
kooperieren, müssen es aber nicht“ (Woolfolk, 2008, S. 508). Dieses Lernkonzept
unterstützt sowohl individuelle als auch gruppenspezifische Ziele. Einzel-, Partner- und
Gruppenarbeitsphasen können so gezielter bzw. lernstrategisch verknüpft und die
Lernenden besser gefördert werden (vgl. Scholz, 2013).
Diese besondere Art des Lernens legt den Fokus auf die Strukturierung des Lernprozesses
und die Übernahme von Verantwortung für den Erfolg des Projektes. Gruppenmitglieder
20
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Dieser Teilsatz ist leider unverständlich.
entwickeln durch diese Lernstrategie ein Pflichtgefühl dafür, dass der individuelle
Lernprozess jedes Einzelnen und der Erfolg des gemeinsamen Lernens von ihm/ihr
persönlich abhängen. Auf diesem Weg vermittelt man ihnen die wichtige Bedeutung, dass
Lernen als ein aktiver und konstruktiver Prozess verstanden werden muss, in dem Inhalte
mit dem eigenen Vorwissen verknüpft werden (vgl. Scholz, 2013).
Kooperatives Lernen besteht grundsätzlich aus fünf Basiselementen (Scholz, 2013, S. 1;
Konrad & Traub, 2010; Green & Green, 2005; Johnson, Johnson & Holubec, 2005):
Die positive Interdependenz besagt, dass das Erreichen des Gruppenzieles vom Erfolg
der einzelnen Gruppenmitglieder abhängt. „Die Lernziele der Lernenden sind in
positiver Abhängigkeit miteinander verbunden, welche durch eine gemeinsame
Gruppenidentität (z.B. Gruppenname, Logo), die Zuweisung von Rollen (z.B. Vorleser,
Materialbeschaffer, [Kritiker]) oder die Berücksichtigung bereitgestellter Ressourcen
(z.B. Teilen von Arbeitsmaterial, Aufgabenspezialisierung) unterstützt werden kann“
(Scholz, 2013, S. 1).
Jedes Gruppenmitglied trägt zudem eine individuelle Verantwortung an der
persönlichen und der gemeinsamen Arbeit. Dies kann durch die Kennzeichnung der
individuellen Beiträge zur Gruppenleistung, durch das Einbringen von
Spezialkenntnissen oder die zufällige Auswahl des Präsentierenden begünstigt werden
(vgl. Scholz, 2013).
Kooperatives Lernen stellt eine kommunikative Sozialform dar und beinhaltet eine
direkte und förderliche Kommunikation. „Neben Formen der individuellen
Auseinandersetzung mit den Inhalten liegt der Fokus auf den Austauschphasen in der
Gruppe. Diese sollten so organisiert werden, dass sowohl räumlich (z.B. Anordnung der
Tische, Raumgestaltung), als auch innerhalb der sozialen Beziehungen der Gruppe ein
förderlicher Kommunikationsrahmen geschaffen wird (z.B. einander unterstützen,
gegenseitig ermutigen, Fähigkeiten produktiv nutzen, Materialien und Information
austauschen)“ (Scholz, 2013, S. 2).
Ein positives Ergebnis der Lehr-Lern-Prozesse hängt vor allem in heterogenen Gruppen
von den interpersonalen Fähigkeiten ab. Die sozialen Kompetenzen der
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Author, 03.01.-1,
Warum machen Sie hier eine Aufzählung? Es wäre besser, dies als Fließtext zu formulieren.
Author, 03.01.-1,
Soll das ein direktes oder ein indirektes Zitat sein?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Gruppenmitglieder bilden die Voraussetzung für eine effektive Zusammenarbeit der
Gruppe. Das stetige Training der zwischenmenschlichen Fähigkeiten und Kenntnisse
sollte man immer einer Reflexion unterziehen und weiterentwickeln. Solche
Sozialfähigkeiten sind aktives Zuhören, andere ausreden lassen, Kritik akzeptieren, um
Hilfe bitten und Kompromisse schließen (vgl. Scholz, 2013; Weidner, 2003).
Ein wichtiger Bestandteil Faktor für eine erfolgreiche Bearbeitung ist die Reflexion der
Gruppenprozesse. „Dies kann sowohl durch Selbstreflexion als auch durch
Fremdeinschätzung erfolgen. Die Gruppe bewertet und reflektiert die Ergebnisse ihres
individuellen und gemeinsamen Arbeitsprozesses. Sie entscheidet, welche Handlungen
beibehalten oder verändert werden sollen“ (Scholz, 2013, S. 2).
Das Konzept des kooperativen Lernens findet kurz-, mittel- und langfristige
Einsatzmöglichkeiten in Schule und Wissenschaft. Je nach Dauer, Intensität und
Komplexität der Förderung unterschieden Johnson und Johnson (2008, S. 18f) zwischen
den verschiedenen Lernhilfen und ließen Adaptierungen zu.
Die Grundidee des kooperativen Lernens findet in vielen Lernhilfen und Studien
Anwendung und wird nun genauer erläutert. Das „Think-Pair-Share“ Prinzip ist ein
bekanntes Dreischrittverfahren, das auch in der Schule gelehrt wird. Green und Green
(2005, S. 130) sprechen diesem Prinzip vielfältige Anwendungsmöglichkeiten mit
unterschiedlichen methodischen Grundlagen r Methodikgrundlage zu. In der Fachliteratur
bietet die Definition von Brüning und Saum (2009) eine mögliche Definition für die
Lernmethode „Think-Pair-Share“. Die beiden Wissenschaftler prägten die Methode
„Denken–Austauschen-Vorstellen“, wie die Übersetzung aus der englischen Sprache
besagt.
Hier wird ein Dreischrittverfahren aus Einzel-, Partner- und Gruppenarbeit verwendet, um
durch eine spezielle Strukturierung und Rhythmisierung das Lernen zu unterstützen (vgl.
Scholz, 2013):
Denken: Die erste Phase der Bearbeitung einer Problemstellung besteht aus einer
Einzelarbeit. Während dieser Zeit beschäftigt sich der Lernende eigenständig mit dem
Sachverhalt. Für einen erfolgreichen Lösungsansatz muss jedes Gruppenmitglied einen
22
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Zugang zum Thema und eine Möglichkeit finden, das eigene Vorwissen zu aktivieren
(vgl. Scholz, 2013).
Austauschen: Der zweite Teil der Bearbeitung erfolgt in einer Partner- oder
Gruppenarbeit. In dieser Phase wird sich über individuelle Ergebnisse ausgetauscht. So
können offene Fragen geklärt, das eigene Verständnis kontrolliert oder gegenseitige
Ergänzungen und Hilfestellungen vorgenommen werden (vgl. Scholz, 2013).
Vorstellen: Abschließend stellen die Lernenden die Ergebnisse der kooperativen Arbeit
im Plenum oder vor Lehrpersonen vor (vgl. Scholz, 2013).
Dieser dreis Schrittige Lösungsweg kann für die jeweilige Lerngruppe und den Lerninhalt
in jeglicher Weise adaptiert und arrangiert werden (vgl. Scholz, 2013; Brüning & Saum,
2009). Mit Hilfe dieser Methode fördert man nicht nur das kognitive, sondern auch das
soziale Lernen (vgl. Konrad 2005). Er hat in seiner Studie die Probanden in drei
Versuchsgruppen eingeteilt und sie in drei verschiedenen kooperativen Lernumgebungen
Aufgaben lösen lassen. Die Umgebungen sind beispielweise wechselseitiges Lehren und
Lernen , freie Kooperationen oder geleitete Befragungen gewesen. Insgesamt hat er die
Förderung der Komponenten festgestellt und dass sich bei den Lernenden ein neues
Verständnis für Lernstrategien eingestellt hat und ihnen Sicherheit vermittelt worden ist
(vgl. Konrad, 2005).
Diese Methode zur Unterstützung des kooperativen Lernens wird im Laufe der schulischen
Ausbildung erlernt und eingeübt, sodass sie in Studien ohne Probleme eingesetzt werden
könnenkann. Die Masterarbeitsstudie hat ebenfalls diesen Lösungsweg verwendet, um die
Probanden durch die Bearbeitung zu führen und den Lösungsprozess zu strukturieren.
[3.2.3] Die Bedeutung der Selbstregulation im Lernprozess
Das letzte Unterkapitel der Theorie befasst sich besonders mit der Bedeutung der
Selbstregulation im kooperativen Lernprozess. Dabei werden zusätzlich Arbeitstechniken
23
Author, 03.01.-1,
Dieser Satz ist ein bisschen umständlich formuliert. Schreiben Sie doch besser: Die Studie kommt zu dem Ergebnis, dass eine Förderung der Komponenten vorliegt. Die Lernenden konnten ein neues Verständnis...entwickeln und ihnen wurde Sicherheit vermittelt.
Author, 03.01.-1,
Meinen Sie Konrad? Besser schreiben Sie: In dieser Studie von Konrad wurden die Probanden ... und sie mussten in ......lösen.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
und deren Erfolge in der Anwendung aufgezeigt, aber es wird auch auf Probleme und
Nachteile hingewiesen.
Das selbstregulierte Lernen und das kooperative Lernen sind nur zwei von vielen
Konzepten, die den Lernenden in den Lernprozess einbeziehen und diesem auch
Verantwortung für seinen Erfolg übertragen. Es wird von der lernenden Person ein
gewisses Maß an Selbstregulation und Selbstreflexion erwartet. Dabei werden
verschiedenste Fähigkeiten und Kenntnisse aus den Bereichen Planung, Handlung und
Reflexion gefordert. Die Personen sollen selbst die Initiative ergreifen, die eigenen
Lernbedürfnisse diagnostizieren, eigene Lernziele formulieren, die eigenen Ressourcen
organisieren, passende Lernstrategien auswählen und den Lernprozess selbst reflektieren
(vgl. Schoppek, 2011). Selbstregulation besteht aber nicht nur aus „der Beobachtung und
Bewertung eigener Handlungen auf Andere“, sondern auch aus der „Wahl einer adäquaten
Reaktion“ (Grune & de Witt, 2011, S. 1)
Auf diesem Weg lernt man, die eigene Arbeitsweise differenziert zu betrachtent und
mögliche eigenen Fehler zu erkennen. Wenn der Lernende sich seinen Schwächen bewusst
ist, kann er in einem kooperativen Lernprozess daran arbeiten oder seine wirklichen
Stärken einbringen. Vor allem bei „Think-Pair-Share“- Gruppenarbeiten sind diese
Prozesse erfolgreich, wie Studien von Hänze und Berger im Jahr 2016 und Krause im Jahr
2007 belegen. Hänze und Berger beispielweise haben Schüler aus der 12. Jahrgangsstufe
Aufgaben mit einem Gruppenpuzzle oder einem Lernzirkel lösen lassen. Beim
Gruppenpuzzle Sie haben sie festgestellt, dass die „Expertengruppen“ ihr Wissen gut in die
weitere Bearbeitung eingebracht haben (vgl. Hänze & Berger, 2016).
Die Grundlage für eine gute Selbstregulation besteht in einer fundierten
Selbsteinschätzung. Nach der einer Studie von Thomas (2011) haben sich die wenigsten
Menschen von Beginn an richtig eingeschätzt. Dabei haben Probanden vor oder nach der
Aufgabenbearbeitung ihre Intelligenz eingeschätztbeurteilt. Ihre Aufgabe hat darin
bestanden, eine Intelligenz-Test-Batterie zu lösen (vgl. Thomas, 2007).
24
Author, 03.01.-1,
Wwr ist man?
Allgemein muss ein Mensch sich selbst in vielen Gesichtspunkten analysieren und
reflektieren (vgl. Lernpsychologielexikon, 2017, S.1). Positive Lernerfolge fördern nicht
nur die Selbstreflexion, sondern auch die Sozialkompetenz (vgl. Slavin 1995, 2009). Im
kooperativen Lernprozess kann auf die Theorie des Konstruktivismus zurückgeführt
zurückgegriffen werden, da das Gruppenmitglied aktiv am Lernen mitwirkt (vgl. Grune &
De Witt, 2011). Der Lernerfolg hängt der Theorie nach vom Vorwissen und der konkreten
Lernsituation ab (vgl. Lernpsychologie-Lexikon, 2017, S. 1). Im vorherigen Kapitel zum
kooperativen Lernen sind die drei Hauptaktivitäten Denken, Austauschen und Vorstellen
dargestellt. Diese können beliebig kombiniert und nicht nur als „Think-Pair-Share“-Prinzip
verwendet werden.
Welchen Nutzen die unterschiedlichen kooperativen Lernformen besitzen, hat Hänze
(2008) analysiert. Dabei haben Probanden Aufgaben mithilfe verschiedener Lernformen
lösen müssen. Das Studiendesign hat aus einer Kontrollgruppe und mehreren
Versuchsgruppen bestanden, denen nur eine kooperative Lernform zur Verfügung
gestanden isthat, bestanden. Seine Befunde belegen, dass „durch den Einsatz kooperativer
Lernformen sowohl bei den kognitiven und affektiven Lernzielen Vorteile“ erkennbar
gewesen sind (Hänze, 2008, S. 24f). Im Vergleich mit anderen Lernansätzen arbeiten die
Lernenden in kooperativen Lernumgebungen mit einer erhöhten Leistungsbereitschaft,
einer höheren Transferleistung des Gelernten, einer hohen intrinsischen Motivation und
einer positiveren Einstellung zum Lernen (vgl. Scholz, 2013). Borsch (2010) hat mit
einereine Metaanalyse durchgeführt, in der die er internationale Studien und inländischen
nationale Studien einbezogen hat, die welche die verschiedenen Lernansätze des
kooperativen Lernens untersuchte haben, durchgeführt. Er hat festgestellt, dass sich das
kooperative Lernen zusätzlich auch positiv auf die sozialen und motivationalen Lernziele
auswirkt (vgl. Borsch, 2010). Zusätzlich sind die Ergebnisse von Hänze verifiziert worden.
Beim computergestützten kooperativen Lernen liegt der Fokus etwas stärker auf dem
Lernenden, da dieser zusätzlich computergestützt agiert und die Regulation, Feedback und
Bearbeitung asynchron ablaufen können. Somit liegt mehr Verantwortung beim
Lernenden. Die „Selbstregulation [der Lernenden] kann als förderliche Voraussetzung für
computergestütztes kooperatives Lernen angesehen werden“ (Grune & De Witt, 2011, S.
1).
25
Author, 03.01.-1,
Die Befunde der Studie...
Author, 03.01.-1,
Wenn Sie das so zitieren dürfen, sollten Sie sich für eine Schreibweise entscheiden, die im Idealfall den Titel des Lexikons richtig widergibt.
Author, 03.01.-1,
Prüfen Sie bitte in Ihren Formatvorgaben, ob Sie Lexika so zitieren dürfen. Mitunter haben auch die darin befindlichen Artikel Einzelautoren, die Sie dann angeben müssten.
Die in dieser Masterarbeit vorgestellte Studie arbeitet sowohl computergestützt als auch
mit einer face-to-face Situation, da die Probanden direkt miteinander sprechen können. Auf
diese Weise werden synchrone Kooperationsprozesse initialisiert und die Bearbeitung wird
gefördert.
[3.3] Förderung der Lernprozesse durch Lernhilfen
Das Unterkapitel erläutert, was unter Lernförderung und Lernmanagement zu verstehen ist
und wie diese angewendet werden. Zusätzlich wird darauf eingegangen, wie das
selbstregulierte Lernen und das kooperative Lernen durch das adaptierbare
Kooperationsskript und das heuristische Lösungsbeispiel unterstützt werden können.
Der Fokus der Lernförderung liegt auf der Entwicklung der Fähigkeiten der Lernenden, um
diese durch geeignete Maßnahmen zu unterstützen (vgl. Meyer, 2012). Da es sich um einen
mathematischen Kontext handelt, kommt den Argumentationsfähigkeiten der Probanden
eine besondere Bedeutung zu. Dabei werden die Argumentationsfertigkeiten in zwei
Kategorien unterteilt:
„Individuell-mathematisch“ (Heintz,2000; Reicherdorfer et al, 2012):
In dieser Kategorie liegt das Hauptaugenmerk auf den eigenen fachlichen Fertigkeiten
und der Auswahl der passenden Bearbeitungsstrategie.
Hierbei geht es um die Kommunikation der Probanden und das gemeinsame Lösen
einer Problemstellung. Der Umgang miteinander und das Vorgehen muss müssen nicht
zwingend gleichberechtigt erfolgen, d.h. die Sprechanteile und Bearbeitungsanteile der
Einzelnen müssen nicht übereinstimmen.
Eine Lernförderung umfasst dabei „günstige Rahmenbedingungen wie Ort und Zeit sowie
angemessene Lernangebote in Bezug auf Faktoren wie Lerntyp, Vorerfahrungen, kognitive
Fähigkeiten, Motivation und Lerntempo“ (Bölte, 2006, S. 9). Wie aus der Forschung
bekannt ist, ist nicht jeder Lernende gleich und erfordert so eine Individualisierung des
Lernprozesses. Di Vesta, Cronbach und Snow (1975) haben schon mit Hilfe ihrer Studien
bewiesen, dass angepasste Lernhilfen einen starken Einfluss auf den Lernerfolg besitzen
26
Author, 03.01.-1,
Welche Forschung meinen Sie? Dafür sollten Sie dann auch eine Quelle angeben.
Author, 03.01.-1,
Meinen Sie hier die von Ihnen durchgeführte Studie? Dann sollten Sie das auch schreiben: Die für diese Masterarbeit durchgeführte Studie...
(vgl. Bölte, 2006). Dabei sollten Probanden Aufgaben lösen und erhielten auf sich sie
abgestimmte Lernhilfen zur Unterstützung. Bis dato sind ist kein positiver Effekt von
medialenr Hilfestellungen auf den Lernerfolg festgestellt worden. Es sind zur Kontrolle
auch Probandengruppen zusammengestellt worden, die keine oder eine allgemeine
Lernunterstützung erhalten haben.
Je nach Fachwissen und sozialen Kompetenzen muss zwischen Selbst- und
Fremdsteuerung variiert werden. Ersteres ist definiert als „die Fähigkeit eines Menschen,
das eigene Verhalten zu beobachten, zu bewerten, gezielt zu verstärken und an eigenen
Zielen flexibel auszurichten“ (Stangl Lexikon, 2017, S.1). Fremdsteuerung bezeichnet das
Gegenteil, d.h. die regulierende Tätigkeit wird von einer außenstehenden Person
übernommen (vgl. Stangl-Lexikon, 2017).
Die Bildungsstandards (KMK, 2012) fordern, dass die Förderung nicht nur in Bezug auf
die fachliche und soziale Komponente erfolgen muss, sondern auch metakognitiv. Dies
kann mit Hilfe grundlegender Lernkonzepte oder durch den Einsatz von
computergestütztem Lernen erreicht werden.
Selbstreguliertes und kooperatives Lernen sind nur zwei Konzepte, die an den
Universitäten und Schulen verwendet werden. Es ist bekannt, dass auf diesem Wege der
Lernprozess unterstützt und verbessert werden soll. Deswegen beschäftigt sich das
nachfolgendedieses Unterkapitel mit entsprechenden Fördermaßnahmen und, im
Speziellen mit dem heuristischen Lösungsbeispiel und dem Kooperationsskript.
Eine dieser FördermMaßnahmen sind Lernhilfen, die sich als eine zusätzliche, spezifische
Interaktionsform definieren lässt, die das Individuum nicht nur bei Schwierigkeiten,
sondern allgemein beim Lernen unterstütztt. Es soll nicht nur auf Handlungen reagierent,
sondern auch prädiktiv gehandelt werden handeln (vgl. Werner, 2016) und kommund wird
dabeit entweder intrinsisch oder extrinsisch zum Einsatzangeleitet. Bei intrinsischer
Verwendung werden diese Hilfen vom Lernenden selbstständig bearbeitet und auf die
Problemstellung übertragen, um diese zu lösen. Als extrinsische Lernhilfe wird eine Person
oder ein Programm bezeichnet, die den Lernprozess von außen unterstützent und bei
Problemen oder Schwierigkeiten für Fragen zur Verfügung stehtstehen. Ein solcher
menschlicher Lernhelfer begleitet die Lernenden während ihres autonomen Lernvorganges
und besitzt eine Moderatorfunktion. Mögliche Unterstützer sind zum Beispiel Lehrer,
27
Tutoren oder Professoren. So bietet sich die Möglichkeit, Lernende während des
Lernprozesses gezielter individueller und optimal zu unterstützen. Beispielhalft stehen
dafür etwa z.B. gestufte Lernhilfen, Visualisierungen, Jigsawpuzzle, Lerntempoduett,
Lösungsbeispiele oder komplexere Kooperationsskripte.
Unter Visualisierungen versteht man, dass man sich Aufgabenteile zum Beispiel durch
Tabellen oder Mindmaps anschaulich darstellt. So können wichtige Kernaussagen eines
Problems hervorgehoben, genauer betrachtet und hinterfragt werden.
Ein Jigsawpuzzle, das im Deutschen auch als Gruppenpuzzle genanntbezeichnet wird, ist
„eine Form des kooperativen Lernens in zeitlich begrenzten Phasen, bei der die Mitglieder
abwechselnd zu Stamm- oder Expertengruppen zusammengesetzt werden, in denen sie
Expertenwissen erarbeiten und präsentieren“ (Konrad & Traub, 2010, S.110ff). Es stellt
die bekannteste Form eines Kooperationsskriptes dar.
Eine besondere Art der Unterstützung stellt ist das Lerntempoduett dar. Dieses
bezeichnetDabei handelt es sich um eine kooperative Arbeitsform, die sich an den
unterschiedlichen Lerngeschwindigkeiten der Lernenden orientiert (vgl. Wahl, 2004 S.
58ff; Brüning & Saum, 2006, S. 68ff).
Nicht nur in der Mathematik, sondern auch in anderen Wissenschaften, werden die
obengenannten Lernhilfen verwendet. Allerdings ist es beim Einsatz einer dieser
Unterstützungsmethoden in der Schule, Hochschule oder Forschung wichtig, auf den
Abstraktionsgrad, die Formulierung der Hilfe und den Anwendungsbereich zu achten,
damit die Hilfestellung auch richtig genutzt werden kann und einen positiven Effekt zeigt.
Es ist wichtig zu bedenken, dass jeder Eingriff in den Lernprozess nicht nur positive,
sondern auch negative Auswirkungen auslösen kann, wie zum Beispiel „cognitive load“
oder „overscripting“ (Dillenbourg, 2002). Die „cognitive load“- Theorie (Sweller, van
Merrienboer & Pass, 1998) besagt, dass sich Lernende aufgrund des begrenzten
menschlichen Arbeitsgedächtnisses durch die schematischen Beweisausführungen besser
auf die Lösungsidee und den Wissenserwerb konzentrieren. Zu beachten ist aber, dass es
bei komplexeren Problemstellungen beispielsweise zu Frustrationen des Lernenden oder
falschen Lösungsschritten kommt. Die Bearbeitung mit einem Schema ist in einem solchen
Fall angepasst worden. Overscripting (Dillenbourg, 2002) ist definiert als eine zu starke
28
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt offensichtlich eine Quellenangabe.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Vorgabe von Rahmen- und Interaktionsbedingungen, die den Lernprozess einschränken
oder behindern kann (vgl. Dillenbourg, 2002).
Beide Prozesse hemmen den Lernenden in der Bearbeitung der Problemstellung und das
volle Potential des Lernenden kann nicht genutzt werden. „Cognitive load“-Theorie
(Sweller, van Merrienboer & Pass, 1998) und „overscripting“ (Dillenbourg, 2002) werden
ausführlich in Kapitel 2.2.2.1 und 2.3 erläutert.
Wird aber das richtige Maß der Förderung gewählt, kann dem Lernenden optimal geholfen
werden. Deshalb werden zwei Lernhilfen, das Lösungsbeispiel und das
Kooperationsskript , in den beiden nachfolgenden Unterkapiteln genauer definiert und
deren Wirkung aufgezeigt, da sie sich in der Vergangenheit als hilfreich zur Förderung von
Argumentationsfähigkeiten erwiesen haben. Dem Kooperationsskript wird besondere
Aufmerksamkeit gewidmet, weil diese Skriptendieses viel von der Selbststeuerung beim
kooperativen Lernen minimierenminimiert. Dabei stellt sich die Frage, wie man durch eine
adaptierbare Gestaltung das Kooperationsskript verbessern kann und wie gut Lernende in
der Lage sind, sich die den Kooperationsskripten angemessen anzupassen.
[3.3.1] Heuristisches Lösungsbeispiel
Eine dieser Lernhilfen, die sehr gut auf das Konzept des kooperativen Lernens angepasst
werden kann, stellt das Lösungsbeispiel dar. Dabei wird traditionell zu einer
Problemstellung eine zugehörige Expertenlösung in einzelnen Teilschritten präsentiert
(vgl. Lorenz et al., 2011). Diese basieren auf den sechs Phasen von Boero (1999) für den
Prozess des Beweisens. Reiss und Ufer (2009) fügten einen weiteren, abschließenden
Schritt hinzu. So können die folgenden sieben Phasen definiert werden (siehe Abbildung
4).
29
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Abbildung 4: Phasen Boeros mit der Erweiterung von Reiss und Ufer
(vgl. Brunner, 2014)
Die sieben Schritte von Boero, Reiss und Ufer werden in Bezug auf den Lernenden
genauer erläutert.
Die Lernenden sollen sich im ersten Schritt die Problemstellung genau durchlesen und
anhand der Fragestellung herausfinden, welche Fakten für diese wichtig sind. Mit deren
Hilfe soll eine Vermutung gefunden werden, die welche die gestellte Problematik löst.
Ist eine entsprechende Beweisidee nach Boero (1999) entdeckt worden, versucht die
lernende Person eine Vermutung mit Hilfe des Vorwissens und den üblich geltenden
Standards korrekt zu formulieren. Wichtig ist für die nachfolgenden Schritte, dass hier alle
Voraussetzungen notiert werden und auf die Axiomatik geachtet wird.
Nach der Formulierung der Behauptung widmet sich der Lernende der grundlegenden
Tätigkeit des Beweisens und damit, dem Belegen der erstellten Vermutung.
Zunächst muss der Lernende seine Vermutung unter Einbeziehung der Grenzen ihrer
Wahrheit explorieren. Es müssen Überlegungen angestellt werden, ob die gefundene
Vermutung das Problem löst und in ihrer Gesamtheit bewiesen werden kann. Dafür
müssen Bezüge zur mathematischen Rahmentheorie hergestellt werden und
möglicherweise weitere mathematische Fakten in die Argumentation miteinbezogen
werden. Zu bedenken ist dabei, dass nicht jedes Argument die gefundene Vermutung als
auchund die eigenen Aussagen stützt. Die guten Argumente zu identifizieren, ist die
abschließende Aufgabe in diesem Arbeitsschritt.
Sind die passenden Belege gefunden, müssen die ausgewählten Argumente in die richtige
Reihenfolge gebracht werden, sodass sie sich in einer deduktiven Kette zu einem Beweis
organisieren lassen. Alle Folgerungen müssen dabei belegt werden und sich logisch aus
anderen Aussagen beziehungsweise Argumenten folgern lassen.
Nach der erfolgten Zuordnung muss der Lernende im fünften Schritt seine
Argumentationskette nach den aktuellen mathematischen Standards fixieren, das heißt die
gebräuchlichen Schreibweisen, Abkürzungen, Satzkonstruktionen und Darstellungsformen
verwenden.
30
Author, 03.01.-1,
Sonst haben Sie hier die Abkürzung d. h. gewählt. Das sollten Sie in der gesamten Arbeit so beibehalten.
Der sechste Schritt wird durch die Niederschrift des formalen mathematischen Beweises
dargestellt. Der Lernende kann beim Notieren zusätzlich kontrollieren, ob dieser alle
Formalien erfüllt und die Argumentation schlüssig ist.
Abschließend muss der Beweis aber noch durch die mathematische Gesellschaft akzeptiert
werden, d. h. er wird unter anderem auf Richtigkeit und Vollständigkeit geprüft.
Dabei repräsentieren Schritt eins bis sechs den individuellen Denk- und Arbeitsprozess und
der siebte Schritt den sozialen Bezugsrahmen des Diskurses, in dem ein gefundener
Beweis validiert wird (vgl. Brunner, 2014). Diese idealisierte kleinschrittige Hilfestellung
besitzt Vor- und Nachteile. Mit Hilfe der „cognitive load“- Theorie (Sweller, van
Merrienboer & Pass, 1998) versucht man diese zu erklären. Lernende sollten sich aufgrund
des begrenzten menschlichen Arbeitsgedächtnisses durch die schematischen
Beweisausführungen des Lösungsbeispiels besser auf die Lösungsidee und den
Wissenserwerb konzentrieren können. Da die Herangehensweise an eine Problemstellung
oftmals nicht sofort ersichtlich ist, kann zusätzlich durch ein Lösungsbeispiel der Fokus
auf die Bearbeitungsstrategie gelegt und später auf andere Aufgaben übertragen werden
kann.
Das Vorgehen nach einem Schema ist allerdings nicht immer sinnvoll oder zielführend.
Bei komplexeren Problemstellungen kann dies zur Frustration des Lernenden führen, weil
das Schema adaptiert werden muss. Lösungsschritte im Schema können den
Aufgabenbearbeiter in der Entwicklung eigener Lösungsstrategien hemmen und den
Beweis durch eingeübte Algorithmen auf der inhaltlich-anschaulichen Ebene halten, da
eine genauere Auseinandersetzung mit der Aufgabe für nicht notwendig erachtet wird.
Wissenschaftler haben sich mit dieser Problematik auseinandergesetzt und unterschiedliche
Lösungsansätze gefunden. In den nächsten Textabschnitten werden zwei Modifikationen
detaillierter dargestellt.
Die erste Modifikation arbeitet mit einem animierten Aufbau, d. h. verschiedene
Lösungsschritte werden durch Animationen ersetzt oder erweitert. Dies führt zu
dynamischeren Prozessen und erleichtert die Verarbeitung der Inhalte (vgl. Saale, 2013).
Man muss darauf achten, dass trotz der Animation die Richtigkeit der Beweisschritte nicht
verloren geht. Auf diese Weise können visuelle Eindrücke mit der inhaltlichen
31
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Welche Wissenschaftler? Das ist zu unspezifisch. Sie sollten mindestens due Disziplin nennen.
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt offensichtlich eine Quellenangabe.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Komponente verknüpft werden und besser im Langzeitgedächtnis gespeichert werden.
Dies liegt daran, dass die Information in beiden Gehirnhälften verarbeitet wird. Rasch und
Schnotz (2006) haben die Funktion von Multimedia im Unterricht analysiert und haben
Multimedia im Lernprozess als eine ermöglichende, erleichternde und hinderliche
Funktion angesehen. Ausgewählte Ergebnisse sind im Rahmen der „cognitive load“-
Theorie (Sweller, van Merrienboer & Pass, 1998) betrachtetvorgestellt worden. Dabei
haben sie eine positive Wirkung auf den Lernprozess festgestellt, aber nicht per se das
Lernen verbessert. Bei der Anwendung von Multimedia muss mit einem differenzierten
Verständnis gearbeitet werden (vgl. Rasch und Schnotz, 2006).
Einen anderen Ansatz verfolgen Reiss und Renkl (2002). Um die Verwendung von
heuristischen Strategien gezielter zu fördern, wurde das traditionelle Lösungsbeispiel in
seinem Aufbau modifiziert. Das heuristische Lösungsbeispiel vertritt grundsätzlich den
gleichen Lösungsansatz, aber verzichtet aber auf die Expertenlösung und ersetzt diese
durch einen realistischen Bearbeitungsprozess. Dort werden Arbeitsschritte eines
Lernenden aufgeführt, die nicht zwingend in der Musterlösung aufgeführt sein müssen.
Auch Formulierungen, die noch nicht der formalen mathematischen Schreibweise
entsprechen, werden verwendet. Aufgrund von Erfahrungen mit dem heuristischen
Lösungsbeispiel haben Reiss und Renkl (2002) so das Lösungsbeispiels an die
realistischen Denkprozesse der Lernenden angepasst und in den einzelnen Schritten der
Lösung berücksichtigt. Dadurch sorgen sie für ein besseres Verständnis. Zudem können ,
die Lösungswege können besser nachvollzogen und auf andere Problemstellungen
übertragen werden (vgl. Vogel, Kollar et al., 2016).
In den heuristischen Lösungsbeispielen werden sowohl tentative, als auch explorative
Lösungsschritte dargestellt. Das bedeutet, man nutzt vorläufige Wege und Aussagen, die
sich im Laufe der Beweisformulierung ergeben (vgl. Reiss und Hammer, 2013). Es werden
sowohl Sackgassen, als auch Teilergebnisse dargestellt, die im späteren Verlauf verifiziert
werden. Das Wort explorativ geht auf das lateinische Wort „explorare“ zurück und heißt
ins Deutsche übersetzt „erkunden“ bzw. „erforschen“. In der Pädagogik bezieht sich das
auf Beiträge, die für die Erarbeitung der Beweisformulierungen angefertigt oder skizziert
werden, wie z.B. Tabellen oder Beispiele. Diese müssen nicht in einer fachlich exakten
Schreibweise notiert werden.
32
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt offensichtlich eine Quellenangabe.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Dieser letzte Satz wirkt etwas verloren. Sie sollten deutlich machen, ob dies eine Folgerung ist oder ob das als weiteres Ergebnis festgehalten werden kann.
Author, 03.01.-1,
Meinen Sie: Dabei konnte....festgestellt werden, aber nicht, dass sie das Lernen per se verbessern. ? Sie sollten auch noch einmal spezifizieren, wen Sie mit sie meinen.
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt offensichtlich eine Quelle.
Die in dieser Arbeit betrachtete Studie, die sogenannte ELK-Math-Studie, nutzt ein
heuristisches Lösungsbeispiel als Lernhilfe und verbindet dieses mit
Selbsterklärungsprompts. Darunter versteht man eine Frage oder Erklärungsaufforderung,
die sich auf den inhaltlichen Kern des Lösungsbeispiels fokussiert. Die Wirkung von
solchen Prompts auf die Leistung der Lernenden und auf das Auftreten von
Selbsterklärungen wurde in vielen Studien thematisiert. Deswegen wird diese Art von
Instruktionshilfe auch häufig eingesetzt (vgl. Roy & Chi, 2005; Saale, 2013). Diese Art
von Vorgaben ist sind bisher eher mit Bezug zum individuellen Lernen untersucht worden.
In der ELK-Math Studie sind wurden auch Lösungsbeispiele mit Selbsterklärungsprompts
beim kooperativen Lernen eingesetzt worden.
[3.3.2] Kooperationsskript
Forschungen zum kooperativen Lernen haben ergeben, dass mit einer unstrukturierten
Interaktionsform häufig nicht lernförderlich zusammengearbeitet wird (vgl. Cohen, 1994).
Deshalb legt eine weitere Lernhilfe mehr Wert auf die soziale Komponente und wird als
Kooperationsskript bezeichnet. Das Kooperationsskript zielt darauf ab, mit Hilfe von
Interaktionsvorgaben durch den Lernprozess zu führen, d.h. unter den Personen werden in
Kleingruppen verschiedene Rollen und Aktivitäten verteilt, die in einer bestimmten
Abbildung 15: Übersicht über die Einschätzung der Probanden
Dabei hat man herausgefunden, dass die guten Probanden sowohl ihre eigene, als auch die
Gruppenleistung ungefähr gleich gut eingeschätzt haben. Bei der Probandengruppe
„sSchlecht-gGut“ hingegen ist die eigene Einschätzung deutlich besser als die
Gruppeneinschätzung. Bei der Gruppe „schlecht-schlecht“ ist gewesenverhielt es sich so,
dass sie die Gruppe sie besser bewertet haben hat als sie sich selbst (siehe Abbildung 15)
69
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt offensichtlich eine Quelle.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Ergebnisse zur dritten Forschungsfrage
Damit Auswahlmuster bei der Wahl der Unterstützung identifiziert gewesen werden
sindkonnten, sind nur die Sequenzen von Probanden ausgewählt worden, die an zwei oder
in allen Bearbeitungsphasen teilgenommen haben. Diese Auswahl hat man damit
begründet, dass sich eine Änderung der Argumentationsfähigkeit erst ab der erneuten
Anwendung des Kooperationsskriptes einstellen kann. Die erste Arbeit mit dieser Lernhilfe
kann demnach als ein Kennenlernen des Systems und ein Probieren in der
AnwendungAnwendungsversuch angesehen werden. Man hat dieser Teilstichprobe 41
Probanden zugeordnet.
Für einen späteren Vergleich ist es nicht notwendig gewesen, die entsprechende
Bearbeitungsphase zu benennen, sondern die Anzahl der Nutzung des
Kooperationsskriptes zu zählen, d. h. hat ein Proband an der zweiten und dritten Phase
teilgenommen, ist dies als erste und zweite Bearbeitungsphase notiert worden. Für andere
Kombination der Bearbeitungsphase hat dies analog gegolten.
Zur Bestimmung der Auswahlmuster hat man für jede Bearbeitungsphase der Anteil der
Sequenzen mit „wenig Unterstützung“ in Bezug auf alle Sequenzen berechnet. Hat sich der
Prozentsatz wesentlich verändert, hat dies für eine Änderung der mathematischen
Argumentationsfähigkeit gesprochen. Als wesentlich hat man angenommen, dass sich
mindestens zwei Mal für die andere Hilfe entschieden worden ist bzw. der Prozentsatz
zwischen -10% und +10% gelegen hat (siehe Tabelle 10).
Tabelle 10: Übersicht über die Lernenden mit mindestens zwei Bearbeitungsphasen
Art der Änderung (A) Anzahl der Änderungen
keine wesentliche Änderung 24
A bis zu 30% 47
A bis zu 50% 63
Abis zu 75% 74
komplette Änderung über alle Bearbeitungsphase 170
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt offensichtlich eine Quellenangabe.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Tabelle 10 zeigt, dass sich größtenteils die Wahl der Hilfe nicht durch die Anwendung des
Kooperationsskriptes verändert hat. Ein Proband ist besonders aufgefallen. Dieser hat sein
Wahlverhalten von der ersten zur zweiten Bearbeitungsphase komplett geändert, indem er
von nur wenig zu nur viel Unterstützung gewechselt hat. In der dritten Bearbeitungsphase
hat der Lernende beide Hilfen ausgeglichen gewählt (siehe Tabelle im Anhang A4).
In Abbildung 13 hat man den prozentualen Anteil der „Wahl von viel Hilfe“ berechnet und
geringe Unterschiede zwischen der ersten und den anderen beiden Bearbeitungsphasen
festgestellt. Anhand der Häufigkeit der Auswahl von von der Anzahl an viel Hilfe sind
nachfolgend die Auswahlmuster bestimmt worden.
Um Muster bei der Wahl der Hilfe herausfinden zu können, sind die einzelnen
Bearbeitungsphasen in Bezug zu den anderen Phasen gesetzt worden. Hiermit hat man
versucht, verschiedene Analogien bei der Wahl der Hilfe aufdecken zu können. XXX
Tabelle 11 gibt einen Überblick über Wahlen der Probanden während der drei
Bearbeitungsphasen. Auffällig ist der hohe Anteil von sechs- oder siebenfachern Wahl von
wenig Unterstützung gewesen. Dieser hat in allen Phasen mindestens 53% betragen. Der
Prozentsatzzahl einer ausgewogenen Auswahl hat von der ersten zur dritten Phase auf 20%
zugenommen (Tabelle 11).
Tabelle 11: Verteilung der Wahlen der Probanden anhand der Anzahl von wenig Hilfe
in einer Bearbeitungsphase
Anzahl von
wenig Hilfe
1. Bearbeitungsphase
Anteil (in %)
2. Bearbeitungsphase
Anteil (in %)
3. Bearbeitungsphase
Anteil (in %)
6 und 7 53.66% 58.53% 60.00%
3, 4 und 5 34.15% 29.27% 25.00%
1 und 2 9.76% 4.88% 10.00%
0 2,44% 7,32% 5,00%
So haben sich insgesamt sechs Muster für die Wahl der Hilfe herauskristallisiert, die als
Auswahlmuster angesehen werden konnten.
71
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt die Quellenangabe und auch die Position der Beschriftung müssten Sie wieder anpassen.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Welche Tabelle? Hier fehlt offensichtlich die Nummer.
Für die nachfolgende Tabelle 12 folgt eine kurze Erklärungsskala:
Konstant hat der gleichen Wahl der Hilfe in der nächsten Bearbeitungsphase ent-
sprochen.
Ähnlich hat einer Wahl der Hilfe in der nächsten Bearbeitungsphase entsprochen, die
sich nur um einmal mehr Unterstützung unterscheidet.
Benötigt weniger Hilfe hat einer Wahl der Hilfe in der nächsten Bearbeitungsphase
entsprochen, bei der mindestens zweimal weniger viel Hilfe gewählt wird.
Benötigt mehr Hilfe hat einer Wahl der Hilfe in der nächsten Bearbeitungsphase
entsprochen, bei der mindestens zweimal mehr viel Hilfe gewählt wird.
Wechsler hat einer Wahl der Hilfe in der nächsten Bearbeitungsphase entsprochen, bei
der kein klares Wahlmuster erkennbar ist.
Erprober hat einer Wahl der Hilfe in der nächsten Bearbeitungsphase entsprochen, bei
der in zwei Bearbeitungsphasen konstant und der dritten untypisch für den Probanden
gewählt wurde
Tabelle 12 hat zusätzlich aufgezeigtzeigt zudem, dass die Probanden größtenteils ihr
Auswahlmuster beibehalten oder dieses ganz wechselt haben.
Tabelle 12: Muster für die Auswahl der Hilfe über alle Bearbeitungsphasen
Muster bei der Auswahl der Hilfe Anzahl der Probanden
Konstant 9
Ähnlich 11
Benötigt weniger Hilfe 3
Benötigt mehr Hilfe 1
Wechsler 13
Erprober 2
(SD=2.16)
Explorativ ist untersucht worden, ob sich die Probanden durch ihr Auswahlmuster
verbessert oder verschlechtert haben. Dafür hat man die Auswahlmuster Konstant und
Ähnlich zu „Konstant/Ähnlich“ und die anderen Auswahlmuster zu „Benötigt
mehr/weniger Hilfe/Wechsler/Erprober“ zusammengefasst. Für jeden Probanden der
beiden Gruppen ist der Wissensstand zwischen der ersten Bearbeitungsphase und der
72
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Das ist leider unverständlich. Was meinen Sie damit?
Author, 03.01.-1,
Es wäre aus Gründen der Textlogik besser, diese Erklärung nach der Tabelle zu geben.
letzten Bearbeitungsphase verglichen worden. Ist der Wert für den Wissensstand gestiegen,
so ist dies als Verschlechterung notiert worden. Ein Absinken des Wertes hat die
Verbesserung definiert.
Dabei hat man festgestellt, dass die Anzahl der Verbesserungen und Verschlechterungen
für beide Obergruppen gleich gewesen sind. Insgesamt haben sich mehr Probanden durch
ihr Auswahlmuster verschlechtert als verbessert (siehe Abbildung 16).
7 147 130
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Verbessern Verschlechtern
Anza
hl d
er
Verb
esse
rung
en/V
ersc
hlec
hter
unge
n
Auswirkung des Auswahlmusters
Konstant/Ähnlich
Benötigt mehr/wenigerHilfe/Wechsler/Erprober
Abbildung 16: Auswirkungen des Auswahlmusters auf die Entwicklung der
Probanden
[6.] Diskussion und Fazit
Diese Masterarbeit hat darauf abgezielt, die oben ausgeführten aufgeführten Fragen zum
kooperativen Lösen von Beweisaufgaben mit dem adaptierbaren Kooperationsskript zu
beantworten. Allgemein sind die positiven Effekte des Kooperationsskriptes bei
kooperativen Lernprozessen belegt (siehe vgl. Vogel et al., 2016;, Fischer et al, 2013,
2014; Hron, 2008). Wie mit der Adaptierungsmöglichkeit gearbeitet worden ist, haben die
Ergebnisse der Masterarbeitsstudie gezeigt. Anhand derer hat man die drei
Forschungsfragen beantwortet.
Diskussion der einzelnen Forschungsfragen
Forschungsfrage 1:
73
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Nennen Sie unbedingt das Kapitel. Mit „oben“ kann der Leser wenig anfangen.
Author, 03.01.-1,
Hier fehlt die Quellenangabe.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Da es in der ELK-Math- Studie nicht nur um die eigene Einschätzungsfähigkeit gegangen
ist, sondern auch darum, wie mathematische Arbeitsweisen eingesetzt worden sind, hat
man sich die Frage gestellt: Inwiefern haben sich die mathematische
Argumentationsfertigkeit und der Wissenstand von Lernenden beim kooperativen Lösen
von Beweisaufgaben über die Zeit hinweg geändert?
Es ist vermutet worden, dass es sich positiv auf die Argumentationsfertigkeiten ausgewirkt
hat. Durch die regelmäßige Übung mathematischer Beweisaufgaben im kooperativen
Lernsetting hat sich die Argumentationsfertigkeit verbessern sollen.
Die Auswertung der Studie hat die Hypothese nur zum Teil belegt. In Abbbildung 17 hat
wurde deutlichdarauf hingewiesen, dass sich die Argumentationsfertigkeit zwischen der
ersten und zweiten Phase in 53,.66% der Sequenzen verbessert habenhat, d.h. mehr als die
Hälfte der Probanden haben in der zweiten Bearbeitungsphase einen besseren Code für ihre
Argumentationen erhalten. Beim zweiten Übergang ist der Anteil der Verbesserungen mit
35% etwas geringer gewesen. Insgesamt hat man erkannt, dass sich die regelmäßigen
Übungseinheiten in kooperativen Lernsettings positiv auf die Entwicklung der
Argumentationsfertigkeit auswirken kannkönnen. Jedoch sind in der Masterarbeitsstudie
keine signifikanten Unterschiede festgestellt worden.
Dies hat stimmt mit den wissenschaftlichen Befunden über Lernhilfen und Übung in der
Mathematik übereingestimmt (siehe vgl. Bannert et al., 2007; Reiss et al., 2013; , Kollar et
al., 2014). Zusätzlich hat bei den Probanden kein positiver Trend nicht instantan eingesetzt
und nicht bei jeder Bearbeitung mit Kooperationsskript hat man eine
Fertigkeitsverbesserung erwarten dürfen. Insgesamt hat sich die Anwendung über die Zeit
hinweg als sinnvoll erwiesen.
Allerdings hat die Studie auch gezeigt, dass sich wenige Studierende durch die
Anwendung des adaptierbaren Kooperationsskriptes verschlechtert haben (siehe Tabelle
7). Es hat sich immer vor Augen führen müssenist deutlich geworden, dass nicht jeder
Lernende gleich ist und der Lernprozess durch jede Lernhilfe gehemmt werden kann (siehe
vgl. Dillenbourg, 2002).
Grundsätzlich sind aber die positiven Effekte hervorzuheben gewesen, da sie auf den
Großteil der Probanden zugetroffen haben. Zusätzlich hat man erkannt, dass sich neben der
74
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Am besten geben Sie hier auch noch die Seite an.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Welchen Trend meinen Sie hier?
Author, 03.01.-1,
Nennen Sie hier ruhig noch einmal in einem Satz, worin diese Übereinstimmung konkret besteht.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Am besten geben Sie hier auch noch in Klammern die Seite an.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Argumentationsfertigkeit als sozialer n Komponente , der Argumentationsfertigkeit, auch
die fachliche Komponente und damit, also das Fachwissen , verbessert haben (siehe
Tabelle 3 und 4). Dieses Ergebnis hat mit den Befunden aus der ersten Erprobungsphase
der ELK-Math- Studie korreliert, die eine positive Entwicklung der fachlichen
Komponente gefunden habennachweisen (siehe vgl. Vogel et al., 2013, 2014; Kollar et al.,
2013).
Der Wissensstand hat in dieser Masterarbeit einen Zusammenschluss der fachlichen und
argumentativen Komponente beschrieben. Die Studie hat eine positive Tendenz in der
Entwicklung des Wissensstandes belegt (siehe Abbildung 20 und Tabelle 6). Eine
Verbesserung hat in diesem Zusammenhang bedeutet, dass die Probanden ihre allgemeinen
Kenntnisse in Bezug auf das kooperative Lösen von Beweisaufgaben im kooperativen
Lernsetting verbessert haben. Wissenschaftliche Befunde zu aus Studien, die untersucht
haben, wie sich Übung auf die Entwicklung der eigenen Fertigkeiten auswirkt
habenauswirken, hat mit denbestätigen die Ergebnissen der Masterarbeit übereingestimmt
(siehe Koch 2008; Kollar et al., 2013; Vogel et al. 2012, 2014).
Forschungsfrage 2:
Hier geht es um die Frage, inwiefern die Studierenden in der Lage gewesen sind, die
Intensität der Strukturierung durch das Kooperationsskript entsprechend ihrer zuvor
gezeigten Fähigkeiten auszuwählen.
Es ist erwartet worden, dass die Probanden nur mäßig in der Lage gewesen sind, die
richtige Hilfe zu wählen. Gute Studierende sollten sich teilweise unterschätzen und
sSchlechte tendenziell überschätzen (vgl. Studie von Thomas, 2011).
Die Auswertung der Studie hat belegt, dass die Probanden ihren eigenen Wissensstand in
knapp zwei Drittel der Sequenzen richtig einschätzt haben, d.h. der Wissensstand hat mit
der Wahl der Hilfe übereingestimmt. Durch das dreimalige Arbeiten mit dem adaptierbaren
Kooperationsskript hat sich die Selbsteinschätzung der Probanden aber nicht signifikant
verbessert. Es sei wahrscheinlich, dass eine regelmäßige Anwendung zu einer positiven
Entwicklung der Selbsteinschätzungsfertigkeit führen kann. Dies stimmt mit den Befunden
von Laura Thomas (2012) überein. Andere Studienergebnisse haben zusätzlich gezeigt,
dass die Probanden durch die Verwendung des Kooperationsskriptes gelernt haben, die
75
Author, 03.01.-1,
Auch hier sollten Sie noch einmal konkret nennen, welche Befunde Sie meinen. Ein oder zwei Sätze sind dafür ausreichend.
Author, 03.01.-1,
Am besten geben Sie hier auch noch die Seite an.
Author, 03.01.-1,
Am besten geben Sie hier auch noch die Seite an.
eigenen fachlichen Kenntnisse präziser und in einer logischen mathematischen
Reihenfolge darzustellen (siehe vgl. Vogel et al., 2016, 2014; Kollar et al., 2013).
Im Vergleich zur Selbsteinschätzung der Probanden hat man außerdem analysiert, ob die
einzelnen Probanden den Wissensstand bzw. die notwendige Hilfe der Gruppe richtig
eingeschätzt haben. In dieser Konstellation haben die Studierenden die
Gesamtgruppensituation, den Gruppenpartner und die eigene Selbsteinschätzung besser in
Relation gesetzt und bewertet. Während sich vereinzelt in 6 von 58 Gruppen die
Gruppenmitglieder , insgesamt 6 von 58, während der Wahl der Hilfe beraten haben, haben
sich in 52 Gruppen die Gruppenmitglieder dazu entschieden, allein zu wählen (siehe
Tabelle im Anhang A4). Ab und zu hat ein Proband gefragt, was der Partner für eine
Intensität ausgesucht habe, aber dieser Prozess ist in der Auswertung nicht weiter
beleuchtet betrachtet worden, da es er nicht direkt zum Entscheidungsprozess hinzugezählt
worden ist. In der Masterarbeitsstudie hat sich gezeigt, dass in nur 44,.22% der Fälle die
Gruppenunterstützung passend zum Wissensstand gewählt worden ist. Hier hat sich
allerdings schon ab der zweiten Anwendung des adaptierbaren Kooperationsskriptes ein
positiver Trend für die Einschätzung der Gruppenleistung gezeigt. Der Anteil der
passenden Hilfestellung ist über die drei Bearbeitungsphasen stetig von 44,.22% auf
63,.58% in der letzten Phase gestiegen. Dies hat mit den Befunden aus der ersten
Erprobungsphase der ELK-Math- Studie übereinstimmt, die dem Kooperationsskript
positive Effekte bei kooperativen Lernprozessen zugesprochen haben (siehe vgl. Vogel et
al., 2014; Kollar, 2013).
Ein Unterschied zwischen der Einschätzungsfähigkeit von guten und schlechten
Studierenden, wie es die Ergebnisse der Studie von Thomas (2011) vermuten gelassen
habenließen, hat man nicht feststellen können. Es ist aAllein die Tatsache festgestellt
worden, dass die schlechteren Probanden unterschiedlich gut die Gruppe und sich selbst
bewerten haben., ist festgestellt worden.
Forschungsfrage 3:
Abschließend hat man sich noch gefragt, ob sich irgendwelche Muster bei der Wahl der
Hilfe einstellt haben. Deshalb ist analysiert worden, welche Auswahlmuster bei der Wahl
der Unterstützung identifizierbar gewesen sind.76
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Wie man in der Hypothese vermutet hat, sind sechs verschiedene Auswahlmuster gefunden
worden. Diese sind festgestellt worden, indem man die Auswahl der Probanden in jeder
Bearbeitungsphase aufgelistet und miteinander verglichen hat. Die resultierenden
Veränderungen hat man mit den folgenden Begriffen bezeichnet, die im Anschluss
definiert werden: Konstant, Ähnlich, benötigt weniger oder viel Hilfe, Wechsler und
Tester.
Bei den ersten beiden Lernprofilen, Konstant und Ähnlich hätte angenommen werden
können, hat man meinen können, dass es sich hierbei nur um Probanden gehandelt hat, die
ihre Wahl unabhängig von der Aufgabenstellung getroffen haben. Dies ist aber nur für
Probanden belegt worden, die beispielsweise nur wenig Unterstützung angeklickt haben,
um die Aufgabe schneller zu beenden. Das ist in zehn Videos offen von den Probanden
angesprochen worden. Im Rest der Fälle ist davon auszugehen, dass die Auswahl der
Hilfestellung im schlechtesten Fall unabhängig von der Aufgabe gewählt worden ist und ,
im besten Fall eine gute Selbsteinschätzung des Lernenden zugrunde Grunde gelegen
isthat.
Benötigt weniger oder viel Hilfe hat angezeigt, wie Lernende die Aufgaben bearbeitet bzw.
verstanden haben. Je nach Änderung der Wahl der Hilfe hat man so ablesenbgelesen
können, ob die Probanden sich während der Bearbeitung sicher gefühlt oder lieber Hilfe
gewünscht haben. An diesen Mustern ist zusätzlich zu erkennen gewesen, dass eine
beständige Selbsteinschätzung vorgelegen hat.
Wechsler und Tester hat man Probanden genannt, die kein gefestigtes Wahlmuster
besessen oder verschiedene ausprobiert haben. Ein kompletter Wechsel der Auswahl hat
verschiedene Ursachen besitzen haben können, die im Einzelnen in weiteren Analysen und
Studien analysiert werden sollten.
Hat man die einzelnen Wahlen der Probanden für die Hilfestellung auf den Wissensstand
bezogen, ist festgestellt worden, dass nicht jeder Lernende das zu ihnen sich passende
Auswahlmuster verwendet hat. Dies hat mit den Ergebnissen von Thomas (2011)
korreliert, da dort belegt worden ist, dass sich Lernende tendenziell unter- bzw.
überschätzen. Aber Abbildung 24 hat keine signifikante Änderung aufgewiesen.
Insgesamt hat man davon ausgehen könnenkann davon ausgegangen werden, dass 61,.5%
der Probanden ein gefestigtes Auswahlmuster der Hilfestellung besessen habenhatten. Dies
77
Author, 03.01.-1,
Geben Sie auch hier ruhig noch einmal die Seite an, auf der sich die Abbildung befindet.
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
hat einen guten Anteil dargestelltstellt einen guten Wert dar, wenn bedacht werden
musstedenn es ist zu bedenken, dass vor dieser Studie kein Proband mit dieser Art eines
adaptierbaren Kooperationsskriptes gearbeitet hat.
Allgemein
Allgemein sind in der Studie aber noch ein paar weitere Befunde gesammelt worden. Diese
basieren auf Eindrücken und Aussagen der Probanden, die während des Codierens
bewertet worden sind.
Die deduktive Axiomatik in der Beweisführung ist bei den Lernenden nicht sehr verbreitet
gewesen. Meistens haben sie das „Concept Image“ und die anschauliche Axiomatik
verwendet, da die Lernenden über Repräsentanten die formalen Schreibweisen begründet
und nicht immer auf allgemeingültige Aussagen zurückgeführt haben. Man hat sich
deshalb auch über die Grenzen der Studie Überlegungen anstellen müssen.
Einschränkungen und Lösungsvorschläge
Ein Problem ist für manche Probanden das Verständnis der Hilfeinstruktion gewesen. In
der schulischen Ausbildung werden wenige oder keine Aufgaben mit
Selbsterklärungsprompts gelöst. Mithilfe eines Kooperationsskriptes Aufgaben zu
bearbeiten, ist war wenigen bekannt gewesen. Deswegen ist einigen Probanden die
Funktionsweise des adaptierbaren Kooperationsskriptes nicht klar gewesen. Haben sie es
gekannt oder mit dem bekannten „Think-Pair-Share“ in Verbindung gebracht, ist in den
meisten Fällen eine gute Bearbeitung des Beweises erfolgt. Eine mögliche
Schlussfolgerung wärebesteht darin, dass der Ablauf und die Lernhilfe vor Beginn der
Studie den Probanden kurz erklärt wirdwerden. In der Schule könnte man zusätzlich neben
den herkömmlichen Lernhilfen auch andere Ansätze von Lernhilfen verfolgen und den
Schülerinnen und Schülern so eine größere Vielfalt an Unterstützungsmethoden zu bieten.
Auf diese Weise lernen die Studierenden vor dem Studium mehr Wege kennen, ihre
Kenntnisse zu verbessern und die richtige Lernstrategie auszusuchen.
Bei mehreren Lernenden hat man feststellt, dass sie sich durch die einzelnen Arbeitsphasen
durchgeklickt oder in diesen nicht verstanden haben, wie eine passende Diskussion zu
78
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wenn ich das richtig verstehe, gehen Sie unter der nächsten Zwischenüberschrift auf diese Grenzen ein. Hier sollten Sie einen Überleitungssatz formulieren oder diesen Satz hier weglassen, weil es sonst missverständlich ist.
führen ist. Hier kann könnte eine Art Bearbeitungssperre, eine Nachfragefunktion oder
eine externe Eingriffsmöglichkeit Abhilfe schaffen. Die technische Umsetzung und die
Anwendung müssen natürlich dazu geprüft werden.
Fast alle Probanden haben in den Bearbeitungsphasen die Erklärungen nicht genau genug
gelesen und immer wieder Instruktionsschritte ausgelassen. Sie haben in den meisten
Fällen das fettgedruckte Wort „Allein“ überlesen, was zur Einleitung einer
Einzelarbeitsphase gedient hat. In der zweiten und dritten Bearbeitungsphase hat die
geringere Anzahl von Sequenzen in den Videos der Probanden bzw. die Häufung von
Sequenzen unter dreißig Sekunden belegt, dass weniger Instruktionsschritte sinnvoll
bearbeitet worden sind. Man sollte deshalb überlegen, ob eine nicht digitale Bearbeitung
die Auslassung von einzelnen Bearbeitungsschritten vermindert.
Es hat sich abschließend nur noch die Frage gestellt, ob die Darbietungsform mit einem
Computerprogramm besser als eine herkömmliche Arbeitsweise mit Papier und Stift sei.
Man kann dazu geneigt sein, etwas ohne nachzudenken Nachdenken anzuklicken oder sich
bei schlampiger Bearbeitung unbeobachtet zu zu fühlen. Die angehenden Studierenden
sind durch ihre schulische Ausbildung darauf trainiert, Texte in Papierform zu verarbeiten.
Deswegen kann man sich vorstellen, dass ein adaptierbares Kooperationsskript in
Papierform einen noch besseren Erfolg erzielt,e als die in dieser Masterarbeit untersuchte
digitale Variante. Dieser Frage wird in der Wissenschaft aktuell nachgegangen und unter
anderem mit in einer entsprechenden Studie von Dr. Freydis Vogel
analysiertnachgegangen. In diesen Untersuchungen hat sich die herkömmliche Variante als
gut erwiesen. Mit Hilfe aller Resultate kann entschieden werden, wie die Lernhilfe des
adaptierbarens Kooperationsskriptes am erfolgreichsten in der Lehre eingesetzt werden
soll.
Fazit
Das adaptierbare Kooperationsskript hat sich positiv auf die Entwicklung unterschiedlicher
Komponenten des mathematischen Argumentierens ausgewirkt. Die Probanden haben
durch regelmäßige Übungseinheiten mit dieser Art von Lernhilfe gelernt, sich der Lösung
eines Beweises genauer zu nähern und ihre Einfälle immer wieder zu überprüfen.
79
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Author, 03.01.-1,
Wer ist man?
Teilweise ist bei den Probanden die Frage aufgekommen, welchen Nutzen ein
adaptierbares Kooperationsskript besitze und ob Teillösungen nicht besser gewesen seien.
Die Studie hat belegt, dass mit dem Skript die Fähigkeit, einen Beweis korrekt zu
bearbeiten und die Arbeitsmechanismen unabhängig von der Aufgabenstellung, verbessert
worden sind. Lösungsbeispiele können etwas mehr bei fachlichen Problemen helfen, wie
zum Beispiel das Finden der Ansatzidee oder der die Kontrolle der Beweisschritte. Beide
Arbeitsweisen können auf jede andere Aufgabenstellung übertragen werden und auf dieser
Weise ihr eigenes Fachwissen besser im kooperativen Lernsetting einbringen. In Zukunft
könnte eine adaptierbare Mischung aus Kooperationsskript und heuristischemn
Lösungsbeispiel verwendet werden, bei der je nach Arbeitsphase zwischen den Lernhilfen
gewechselt werden kann. Um herauszufinden, welcher Schritte einer entsprechenden
Lernhilfe zugeordnet wird, sollte in der Studie zur Förderung der
Argumentationsfertigkeiten durch das heuristische Lösungsbeispiel und das
Kooperationsskript die Probandengruppe zum „adaptierbaren heuristischen
Lösungsbeispiel“ analysiert werden. Die Ergebnisse könnten dann im Anschluss mit den
Resultaten dieser Masterarbeit verglichen werden.
Allgemein hat die Auswertung ergeben, dass eine Anpassungsmöglichkeit des
Kooperationsskriptes beim kooperativen Lösen von Beweisaufgaben in der Mathematik
viele Vorteile besessen hatbesitzt und die grundsätzlichen Arbeitsschritte für eine formal
korrekte Beweisführung auf diesem Weg trainiert worden sindwerden können. Dadurch
haben die Probanden bei anderen Aufgabenstellungen zum Argumentieren autonomer
gearbeitet und haben ihre eigenen Lernprozesse besser regulieren können.
80
Author, 03.01.-1,
Auch hier wird nicht deutlich, was Sie sagen wollen.
Author, 03.01.-1,
Welchem Schritt eine entsprechende Lernhilfe oder welche Schritte einer entsprechenden Lernhilfe? Sie sollten hier noch einmal überprüfen, was Sie sagen möchten.
Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1: Lehr-Lern-Modell nach Josef Leisen (2014, S. 1) .........................................12
Abbildung 2: Drei- Schicht- Modell von Boekaerts (1999) (vgl. Otto et al., 2011) ............16
Abbildung 3: Prozessmodell nach Schmitz (2001) (Otto et al., 2011, S. 37) ......................17
Abbildung 4: Phasen Boeros mit der Erweiterung von Reiss und Ufer ...............................28
Tabelle 9: Übersicht über die Sequenzlängen ....................................................................65
Tabelle 10: Übersicht über die Lernenden mit mindestens zwei Bearbeitungsphasen ........68
Tabelle 11: Verteilung der Wahlen der Probanden anhand der Anzahl von wenig
Hilfe in einer Bearbeitungsphase ......................................................................69
Tabelle 12: Muster für die Auswahl der Hilfe über alle Bearbeitungsphasen .....................70
82
Author, 03.01.-1,
Sie sollten in Ihren Formatvorgaben überprüfen, ob Sie ein Abkürzungsverzeichnis und ein Symbolverzeichnis benötigen. Da Sie einige Abkürzungen und Symbole (in Ihren Formeln) verwendet haben, wäre das auf jeden Fall ein Pluspunkt, auch wenn Sie beide Verzeichnisse nicht zwingend erstellen müssen. Wenn Sie Ihren Formatvorgaben nicht entnehmen können, wo Sie die beiden Verzeichnisse einbauen, dann sollten Sie diese vor dem Abbildungsverzeichnis platzieren und zwar erst das Abkürzungs- und dann das Symbolverzeichnis.
Literaturverzeichnis
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Fischer, F., Kollar, I., Stegmann, K., & Wecker, C. (2013). Toward a script theory
of guidance in computer-supported collaborative learning. Educational Psycholo-
Das ausführliche Codierschema mit den Lösungen zu den Aufgaben der drei
Bearbeitungsphasen
Es werden nur Videos codiert, die der Untersuchungsgruppe „adaptierbares Kooperationsskript“ entsprechen.
Allgemeine Informationen zur Codierung
Die Codierung der Aktivitäten bezieht sich immer auf Teilabschnitte (zwischen Bearbeitung und Wahl der Hilfe). Dabei werden Aussagen oder Eingaben in den Computer gezählt, die einer der nachfolgenden Aktivitäten entsprichtentsprechen.
Code Ausprägung der Aktivität1 Sehr gut
2 Gut
3 Durchschnittlich
4 Schlecht
5 Sehr schlecht
Ein Auftreten ist in diesem Fall eine Aktivität, die einer Definition der folgenden Gesamtheiten entspricht. Diese werden gezählt und als Gesamtzahlenwert erfasst und zusätzlich angegeben (absolute Auftretenshäufigkeit).
Nachfolgend werden die Zahlenwerte den einzelnen Dimensionen zugeordnet.
Bei Schwankungen zwischen zwei Werten wird grundsätzlich der bessere Code, also der höhere Wert, codiert.
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Author, 03.01.-1,
Hier fehlt die Beschriftung der Tabelle. Prüfen Sie bitte bei allen Tabellen und Abbildungen im Anhang, ob Sie eine Beschriftung vorgenommen haben und ergänzen Sie diese bei Bedarf. Vergessen Sie auch bitte nicht, eine Quellenangabe zu machen.
Für Schwankungen beim Wissensstand wird der Fortschritt als Entscheidungskriterium verwendet. Genauere Ausführungen folgen in den späteren Abschnitten.
Für eine genauere Zuordnung wird es zu gibt es zu jeder Dimension Beispiele geben.
Wichtig: Für jede Dimension werden wird die Anzahlen der Beiträge eingetragen und das Programm gibt den Code an.
Zusätzlichen werden auch die Zeiten bis zur Wahl der Hilfe angegeben bzw. zwischen den Hilfestellungen.
Ein Beitrag wird bei Sprecherwechsel gewertet und bei längeren Monologen wird nach Satzstruktur gewertet.
Gesamtheit: Transformative Aktivitäten
Wichtig:
Hier werden alle Aktivitäten erfasst, die sich auf die Bearbeitung der Aufgabe beziehen.
Aktivitäten, die nicht hierzu zählen, sind alle „off-task“-Aktivitäten wie z.B. aufgabenfremde Tätigkeiten:
Gespräche mit dem Gruppenpartner oder anderen Gruppen über den Alltag („Bis wann hast denn heute dann noch Zeit“, „später machen wir noch das Übungsblatt“, „wann fährst du heim?“,…)
Gespräche über die Bedienung des Programms („wo muss ich klicken?“, “Du sollst fertig drücken“, „wir dürfen nicht reden“,…)
Kritzeleien bzw. Malen auf dem Notizblock oder im Dialogfeld (Kreise, Smilies, Herzen, Blumen,…)
Tic-Tac-Toe spielen Usw.
Dimension: Interaktive Aktivitäten
Definition:
Gemeinsames Bearbeiten einer Grundidee, die nicht in der Lernumgebung vorhanden war.
Koinferenzen Einbeziehen der Information(en) des Gegenübers
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Kreativer Prozess Reaktion darauf ist wieder ein kreativer Prozess
Bei beiden Lernpartnern ist eine konstruktive Phase vorangegangen und es muss ein Wechsel in der Kommunikation stattfinden
Beispiele:
Proband 1: Für die Lösung des Problems müssen wir die Summe über (2n+1) bilden. Proband 2: Die Summe muss aber von 0 bis n+1 laufen. Wir könnten doch mal schauen, ob das auch für mehrere gilt. Du sagst, wir müssen uns über die Voraussetzungen Gedanken machen. Ich glaube, dass
wir später zusätzlich auch noch verallgemeinern müssen. Wenn wir das für ungerade Zahlen wissen, dann können wir das Schema auch für
gerade anwenden.
Unterdimension: Art der Diskursbeiträge
Jeder zuvor als interaktive Aktivität codierter Beitrag wird zusätzlich einer der folgenden Dimensionen zugeordnet. Dabei schließen sich die einzelnen Dimensionen gegenseitig aus und es ist keine Mehrfachcodierung möglich.
Dimension: Dialogische Beiträge
Definition:
Es handelt sich hierbei um eine Kontroverse. Sie umfassen Aussagen, die zu einer weiteren Auseinandersetzung und Diskussion mit der Thematik führen bzw. die Aussage des Gruppenpartners weiterführen
Beispiele:
Proband 1: Die Formel gilt ungerade n. Proband 2: Nein, das Beispiel 36-16 ist gerade, also muss es für alle n gehen. Das muss dann von 0 bis 2n laufen, weil dann dein Beispiel passt. Wenn beide Bedingungen gelten müssen, dann könnten wir das so schreiben. Die Grenzen für das m in der Summe sind deiner Meinung 2n, aber nach dem
Vorlesungsskript läuft diese Art von Summe bis n+1.
Dimension: Dialektische Beiträge92
Author, 03.01.-1,
Es wird leider nicht deutlich, was Sie hier definiert haben. Wenn Sie die dialogischen Beiträge meinen, sollten Sie das noch einmal erwähnen, denn der gesamte Text muss unabhängig von Zwischenüberschriften verständlich sein.
Definition:
Es werden Fragen gestellt und Vermutungen geäußert, wodurch Lösungswege beschrieben und/oder belegt werden.
Dabei kann es sich um Erläuterungen, Widersprüche, Nachfragen, Begründungen oder Beweise handeln.
Aussagen können auch bezüglich eines oder mehrerer Themenpunkte genauer betrachtet und auf ihre Richtigkeit hinterfragt geprüft werden.
Beispiele:
Gilt die Aussage auch für alle n? Können wir das beweisen, indem wir das auf die Schulregeln zurückführen? Wenn es um die Konstruktion geht, müssen wir die Voraussetzungen prüfen und unser
Konstrukt danach kontrollieren. Die Bedingung durch 3 teilbar muss auch noch zusätzlich gelten, damit unser Beweis
funktioniert. Deine Erklärung scheint mir nicht schlüssig. Kannst du das noch einmal genauer
erklären?
Dimension: Synthesebeiträge
Definition:
Einzelne Ideen, Gedanken und Aussagen werden zu einer sinnvollen Gesamtaussage vereinigt, d.h. Ideen werden aufgegriffen, zusammengefasst und zu einer gemeinsamen Lösung zusammengefügt.
Beispiele:
Wenn die Sachen alle gelten müssen, dann könnten wir die Formel doch so schreiben. Wir haben beide Formeln für das Problem aufgestellt, die können wir doch so
zusammenfassen. Deine Idee ist gar nicht so schlecht. Dann würden wir die Vermutung um das erweitern.
Achtung: Im Zweifel gilt folgende Gewichtung: Synthese > Dialektisch > Dialogisch
Globalbeurteilung: Qualität des Diskurses
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Author, 03.01.-1,
Es wird leider nicht deutlich, was Sie hier definiert haben. Wenn Sie die Synthesebeiträge meinen, sollten Sie das noch einmal erwähnen, denn der gesamte Text muss unabhängig von Zwischenüberschriften verständlich sein.
Author, 03.01.-1,
Es wird leider nicht deutlich, was Sie hier definiert haben. Wenn Sie die dialektischen Beiträge meinen, sollten Sie das noch einmal erwähnen, denn der gesamte Text muss unabhängig von Zwischenüberschriften verständlich sein.
Code Qualität des Diskurses1 Sehr gut
2 Gut
3 Durchschnittlich
4 Schlecht
5 Sehr schlecht
Hier wird die Qualität des Diskurses unter Einbezug der vorangegangenen Einschätzungen kodiert.
Dimension: Konstruktive Aktitivitäten
Definition:
Aufschreiben von Beispielen, auch wenn erst nur die Formel hingeschrieben und erst später die Berechnung ausgeführt wird; Sagen oder Aufschreiben einer eigenen Idee, Schlussfolgern, paraphrasieren einer vorher formulierten Idee des Gegenübers (mit Einbringen neuer Ideen, neuen Wissens).
Inferenz Erzeugen einer neuen Information/Idee Kreativer Prozess
Beispiele:
Eintippen von Rechenbeispielen via Taschenrechner oder verbal Wir könnten die Summe aufstellen, damit es immer gilt. Für den Beweis könnten wir Induktion verwenden.
Dimension: Aktive Aktivität
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Author, 03.01.-1,
Es wird leider nicht deutlich, was Sie hier definiert haben. Wenn Sie die Aktivitäten meinen, sollten Sie das noch einmal erwähnen, denn der gesamte Text muss unabhängig von Zwischenüberschriften verständlich sein.
Definition:
Hierbei handelt es sich um lautes Lesen, Aufschreiben und/oder paraphrasieren einer vorher formulierten Idee des Gegenübers (ohne neue Ideen, neues Wissen einzubringen) oder Markieren.
Beispiele:
Wir können n12-n2
2 als n1∙n1-n2∙n2 schreiben. Vorher aufgeschriebene Formeln werden markiert. Aus dem Gespräch ergibt sich und wird so aufgeschrieben: Die Teilbarkeiten
müssen für 2,3,5 und 7 gelten.
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Author, 03.01.-1,
Es wird leider nicht deutlich, was Sie hier definiert haben. Wenn Sie die aktive Aktivität meinen, sollten Sie das noch einmal erwähnen, denn der gesamte Text muss unabhängig von Zwischenüberschriften verständlich sein.
Gesamtheit: Fortschritt
Dimension: Zielführende Beiträgeag
Definition:
Zielführende, vertiefende oder hinterfragende Beträge sind Beiträge, mit denen , sodass der Diskurs weitergeführt und in Richtung einer Lösung gelenkt wird. Dabei soll sich an den entsprechenden Formulierungen der Lösungsbeispiele orientiert werden (am Ende des Dokuments angehängt).
Beispiele:
In einer Tabelle können wir die Differenzen bilden und so auf eine Lösung kommen.
Das Skript besagt, dass die Formel diese Form haben muss. Wenn wir die Beispiele zusammenfügen, können wir eine Begründung mit
Induktion versuchen.
Dimension: Nichtzielführende Beiträgeag
Definition:
Alle Beiträge, die die Bearbeitung der Aufgabe nicht voranbringen bzw. zu keiner Lösung führen. Dabei soll sich an den entsprechenden Formulierungen der Lösungsbeispiele orientiert werden (am Ende des Dokuments angehängt). Diese Dimension kann nicht gleichzeitig mit „Zielführender Beitrag“ codiert werden.
Beispiele:
Das Beispiel reicht als Lösung aus. Die Aussage führt in keiner Weise auf die Lösung hin. Wenn wir die Beispiele zusammenfügen, beweisen für das gerade Zahlen (aber in
der Aufgabenstellung/Lösung ist was anderes verlangt).
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Author, 03.01.-1,
Es wird leider nicht deutlich, was Sie hier definiert haben. Wenn Sie die nichtzielführende Beiträge meinen, sollten Sie das noch einmal erwähnen, denn der gesamte Text muss unabhängig von Zwischenüberschriften verständlich sein.
Author, 03.01.-1,
So sollten auch die anderen Definitionen in etwa aussehen.
Globalbeurteilung: Fachwissen
Definition:
Wie gut ist die fachliche Komponente? Das sind fachlich korrekte, mathematisch begründete Aussagen, mathematische Herangehensweisen (z.B. durch Beispiele, Sätze) und/oder Verallgemeinerungen von bekannten Aussagen.
Beispiele:
Sehr gut: abstrakt und durch Sätze und Beweise belegt, z.B.
z.B. Nach der Vorlesung gilt diese Formel mit den Voraussetzungen. Der Beweis mittels Induktion über n+1 lässt sich so umformen.
Gut: mit Beweis oder fundierter Beweisidee
z.B. Wir zeigen, dass die Aussage für alle n gilt und formen dafür um.
Mittelmäßig: Beispiel → Formel → Überprüfung → Beleg oder Widerspruch
z.B. Wenn unsere Formel stimmt, müssen wir ihn direkt belegen oder einen Widerspruchsbeweis machen.
Schlecht: nicht über eine am Beispiel hergeleitete Formel hinausgehend, keine konkreten Belege
z.B. Die Beispiele zeigen, dass wir die Formel für alle ungeraden n nutzen können. Aber ob die Vermutung auch für alle gilt, weiß ich nicht.
Sehr schlecht: nur Beispiele, keine mathematischen Verallgemeinerungen
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Code Fachwissen1 Sehr gut
2 Gut
3 Durchschnittlich
4 Schlecht
5 Sehr schlecht
Author, 03.01.-1,
Es wird leider nicht deutlich, was Sie hier definiert haben. Wenn Sie Fachwissen meinen, sollten Sie das noch einmal erwähnen, denn der gesamte Text muss unabhängig von Zwischenüberschriften verständlich sein.
Lösung zu Bearbeitungsphase 1
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Lösung zu Bearbeitungsphase 2
99
Lösung zu Bearbeitungsphase 3
100
A2
Übersicht über die vergebenen Codes für die einzelnen Dimensionen in der
Zeitsequenz 30 Sekunden bis 20.5 Minuten
Übersicht über die vergebenen Codes (insgesamt)Code Anzahl der vergebenen Codes