Absolute Value

For those of you who missed it...

Absolute Value!!!

1.  2.  3. 

4. 5. 

6. 

Domain: (­∞,∞) Range:  [2,∞) 

Domain: (­∞,∞) Range:  (­∞, -2]

Domain: (­∞,∞) Range:  [­1,∞) 

Domain: (­∞,∞) Range:  [­2,∞) 

Domain: (­∞,∞) Range:  (­∞, 3]

Domain: (­∞,∞) Range:  (­∞, 1]

Answers to Absolute Value Worksheet

f(x) = 2|x ­ 3| + 3 f(x) = 1/3|x + 5| + 3 

Answers to Absolute Value Worksheet

f(x) = ­3/2|x ­ 5| ­ 4  f(x) = ­3/2|x + 6| ­ 2 

Answers to Absolute Value Worksheet

f(x) = 3|x ­ 4| ­ 10 

f(x) = ­2|x ­ 4| + 9 

Answers to Absolute Value Worksheet

f(x) = 4|x + 5| + 9  f(x) = 3/5|x + 4| ­ 8 

Answers to Absolute Value Worksheet

2x + 3 = 6  2x + 3 = ­6 2x = 3  2x = ­9 x = 3/2  x = ­9/2

Solving Absolute Value Equations... Absolute Value: For any real number x, 

|x| = { ­x, if x < 0 0, if x = 0 x, if x > 0 

Recall:  When solving equations, isolate the absolute value.  Here are a few examples... 

1.  5|2x + 3| =  30 |2x + 3| = 6

Don't forget to check!!! 5|6| = 30  5|­6| = 30 

solution set:  {3/2, ­9/2}

example 2: ­2|x + 2| + 12 = 0 

­2|x + 2| = ­12 |x + 2| = 6 

isolate the absolute value! 

x + 2 = ­6 x = ­8 

x + 2 = 6 x = 4 

­2|­6| + 12 = 0  ­2|6| + 12 = 0 

{4, ­8}

5|3×+ 7|=­65 |3x + 7|=­13 

absolute value cannot be negative!!

example 3:

{}

{3}

example 4: |2x + 12| = 7x ­ 3 

2x + 12 = 7x ­ 3 2x + 15 = 7x 

15  = 5x 3 = x 

2x + 12 = ­(7x ­ 3) 2x + 12 = ­7x + 3 9x + 12 = 3 

9x = ­9 x = ­1 

|18| = 18 |10| = ­10

reject!

Absolute Value Inequalities Recall:   |ax+b|=c, where c>0 

ax+b=c  ax+b=­ c |ax+b|<c  think:  between  "and" 

­c < ax+b < c 

ax+b < c and ax+b > ­c 

ax+b>c    or  ax+b<­c

why?

we will express < or ≤ as an equivalent conjunction using the word AND

|ax+b|>c  think:  beyond   "or" we will express > or ≥ as an equivalent disjunction using the word OR

I.  Less than... a)  |x| < 5 

x < 5 and x >­5 written as

1 0  2  3  4  5  6  7  8  9  10 ­1 ­ 2 

­3 ­4 ­5 ­6 ­7 ­8 ­9 ­10 

solution set:  {x: ­5< x < 5} 

Graph on a number line!

use open circles!

shade between!!!

b) |2x ­ 1| < 11 

2x­1<11    and     2x­1>­11 2x < 12  and  2x > ­10 x < 6  and  x > ­5 

1 0  2  3  4  5  6  7  8  9  10 ­1 ­ 2 

­3 ­4 ­5 ­6 ­7 ­8 ­9 ­10 

{x: ­5 < x < 6}

c) 4|2x + 3| ­ 11 ≤ 5 4|2x + 3| ≤ 16 |2x + 3| ≤ 4

2x + 3 ≤ 4      AND      2x + 3 ≥ ­4 2x ≤ 1      AND            2x ≥ ­7

x ≤ 1/2   AND            x ≥ ­7/2 

­1  0 ­ 2 

­3 ­4 ­5  1  2  3  4  5

notice closed ends!

d)  |7x + 10| < 0

think.... can an absolute value be negative???

NO!! {}

II.  Greater than... a)  |x| > 5 

x > 5 or x < ­5 written as

1 0  2  3  4  5  6  7  8  9  10 ­1 ­ 2 

­3 ­4 ­5 ­6 ­7 ­8 ­9 ­10 

solution set:  {x: x > 5 or x < ­5} 

Interval notation (we will not use this, just set, but as an FYI):  (­∞, ­5) ∪ (5, ∞) 

Graph on a number line! use open circles!

shade beyond!!!

b) |2x ­ 1| > 11 

2x­1>11    or     2x­1<­11 2x > 12  or  2x < ­10 x > 6  or  x < ­5 

1 0  2  3  4  5  6  7  8  9  10 ­1 ­ 2 

­3 ­4 ­5 ­6 ­7 ­8 ­9 ­10 

{x: x > 6 or x < ­5}

c) 4|2x + 3| ­ 11 ≥ 5 4|2x + 3| ≥ 16 |2x + 3| ≥ 4

2x + 3 ≥ 4      OR      2x + 3 ≤ ­4 2x  ≥ 1      OR            2x ≤ ­7 x ≥ 1/2   OR             x ≤ ­7/2 

­1  0 ­ 2 

­3 ­4 ­5  1  2  3  4  5

notice closed ends!

d)  |7x + 10| > 0 think.... when is an absolute value greater than 0???

always!!

{x: x ∈ R  } x is a real number! 

­1  0 ­ 2 

­3 ­4 ­5  1  2  3  4  5

LAST ONE! 

5 < |x + 3| ≤ 7 |x + 3| >5 |x + 3| ≤ 7 

x + 3 > 5    or    x + 3 < ­5  x+ 3 ≤ 7  and   x + 3 ≥ ­7 x > 2    or          x < ­8  x ≤ 4  and       x ≥ ­10 

now graph it! graph above the number line and look for the overlap.  This is where your solution will appear. 

1 0  2  3  4  5  6  7  8  9  10 ­1 ­2 ­3 ­4 ­5 ­6 ­7 ­8 ­9 ­10 

{x: ­10 ≤ x < 8 or 2 < x ≤ 4}

Remember to see me, email me or ask on the wiki if you have questions!!

-Ms. P