ABS fren sistemine yönelik çoklu model geçişli kontrolcüler tasarlanması ve test edilmesi

1

ABS fren sistemine yönelik çoklu model geçişli kontrolcüler tasarlanması ve test

edilmesi

Morteza Dousti, S.Çağlar Başlamışlı

Makina Mühendisliği Bölümü

Hacettepe Üniversitesi, 06800 Beytepe, Ankara [email protected]

[email protected]

Özetçe

Çalışmamızda ABS fren sistemine yönelik çoklu model geçişli

kontrolcüler tasarlanmış ve bu kontrolcülerin etkinliği Inteco

firması tarafından temin edilen deney düzeneği üzerinde test

edilmiştir. Deney sisteminin doğrusal olmayan yapısından

dolayı doğrusallaştırma işlemi yapılmış ve farklı hızlarda

etkinleştirilen çoklu model geçişli kontrolcüler tasarlanmıştır.

Deney sisteminin yapısından dolayı tek bir sürtünme

katsayısında ( ) deneyler gerçekleştirilebilmektedir. Bu

yüzden fren kuvvetini ( ), deney cihazında

uygulanan tekerlek dik kuvvetini ( ) değiştirerek, farklı yol

şartlarınının yansıtılmasını sağlayan deneyler de ayrıca

gerçekleştirilmiştir. Elde edilen sonuçlar tasarlanan kontrolcü

yapısının elektromekanik fren sistemine sahip araçlarda

uygulanmasının mümkün olduğunu göstermektedir.

1. Giriş

ABS fren sisteminin işlevi panik frenleme esnasında tekerlek

kilitlenmesi önlemek ve böylelikle araç direksiyon

hâkimiyetini muhafaza etmektir. Günümüzde ABS fren

sistemi Hidrolik veya Elektromekanik fren teknolojiler ile

uygulanmaktadır. Elektromekanik fren sisteminin bant

genişliği hidrolik sisteme göre çok daha yüksek olduğundan

hidrolik sistemde uygulunan fren hidrolik basıncını arttır-azalt

stratejisi yerine sürekli değişken bir basınç kontrolü yapmak

mümkündür[1,2]. Elimizdeki Inteco deney düzeneğinde bu

işlem DC motor ile kontrol edilebilmektedir. Inteco deney

cihazı ayrıca bir çok araştırmacı tarafından deneysel fren

testlerinin gerçekleştirilmesi için seçilmiştir. Mitic ve çalışma

arkadaşları [3] ABS kontrolü için dijital kayma-kipli kontrolcü

algoritmasını uygulamışlardır. Kayacan ve çalışma arkadaşları

ise [4] aracın hızına göre tekerlek kayma takibi için gri

kayma-kipli kontrolcü (grey sliding-mode controller) tipini

tasarlamışlardır.

Bu çalışmada ABS fren sistemine yönelik çoklu model geçişli

kontrolcüler tasarlanmış ve bu kontrolcülerin bahsi geçen

deney düzeneği üzerinde test edilmiştir.

2. Deney Düzeneğinin Özellikleri

Inteco ABS test platformunun özellikleri aşağıda sıralanmıştır:

Cihaz taşıt eylemsizlik özelliklerinin benzetiminde

kullanılan bir volan ve bu volan üzerinde frenleme

işleminde kullanılan bir tekerlek; volanı belli bir hıza

kadar hızlandıran elektrikli bir motor ve tekerleğin

frenlenmesi sağlayan elektromekanik fren sistemi, volan

ve tekerleğin hızlarının ölçülmesini sağlayan

enkoderlerden oluşmaktadır.

Sistemdeki eyleyiciler ve algılayıcılar Matlab ortamıyla

etkileşim halindedir. Matlab Simulink ortamındaki Real

Time Workshop ile eyleyiciler kontrol edilebilmekte ve

veri transfer işlemleri gerçekleştirilmektedir. Bu özelliği

sayesinde Inteco test platformu farklı ABS kontrol algoritmalarının test edilmesine olanak sağlamaktadır.

Şekil 1’de gösterilen deney düzeneğinde iki adet tekerlek

bulunmaktadır. Alt taraftaki tekerlek göreceli olarak taşıt

eylemsizliğini ve üst taraftaki tekerlek frenlenen taşıt

tekerleğini temsil etmektedir. Tekerleklere dik kuvvet sonucu

oluşan temas sürtünme kuvveti sebebiyle birbirleri arasında

tork transferi yapılarak kontrollü hızlandırma/frenleme

yapılması mümkün olmaktadır. Denge koluna takılı olan

tekerlek teflon malzeme ile kaplanmıştır. Aşağıdaki tekerlek ise pürüzsüz metal bir yüzeye sahiptir.

Tekerleklerin açısal hızları enkoderlerden gelen veriler

doğrultusunda ölçülmektedir. Üst tekerlek disk fren sistem ile

donatılmıştır ve fren koluna hidrolik kavrama ile bağlıdır. Fren

sistemi bir DC motor kullanılarak frenleme esnasında telli bir

bağlantı ile sıkıştırılmaktadır. Alt taraftaki tekerlek ise büyük

bir DC motora bağlıdır ve tekerleğin hızlanmasını

sağlamaktadır. Bu motor tekerleğin hızlanmasını

sağlamaktadır ve frenleme esnasında devre dışı

bırakılmaktadır. Her iki DC motor da PWM (Pulse Width Modulation) sinyalleriyle kontrol edilmektedir.

Şekil 1: Inteco ABS deney cihazı.

2. Deney Düzeneğinin Matematiksel modeli

Araç Tekerleği

Araç Zemin

benzetim tekerleği

Enkoder

Fren

Sürücü Motor

Frenleme Motor

Sönümleyici

416

2

Test düzeneğinin serbest cisim diyagramı Şekil 2’de verilmiştir:

Şekil 2: ABS deney cihazının serbest cisim diyagramı.

Üst tekerleğe uygulanan üç adet tork bulunmaktadır: fren

torku , Üst yatağın viskoz sürtünme torku ve

tekerlekler arasında sürtünme torku . Alt tekerleğe iki adet

tork uygulanmaktadır: alt yatağın sürtünme torku ve

tekerlekler arasında sürtünme torku . Bunların dışında alt

tekerleğe uygulanan iki adet kuvvet var: üst tekerleğin

yerçekimi kuvveti ve tekerlekler arası dik kuvvet. Sürtünme

kuvvetinin normal kuvvet ile doğru orantılı olduğu

varsayılmaktadır. Burada, üst tekerleğin açısal hızı ve

tekerleğin yarıçapı, alt tekerleğin açısal hızı ve

tekerleğin yarıçapıdır. Üst tekerleğin hareket denklemi aşağıda

verilmiştir:

( ) (1)

Alt tekerleğin hareket denklemi ise aşağıda verilmiştir:

( ) (2)

Burada ve sırasıyla üst ve alt tekerleklerin

eylemsizlik momentleri, ve , üst ve alt tekerleklerin

yataklarındaki viskoz sürtünme katsayısılarıdır.Normal

kuvveti( ) hesaplamak için A noktasına göre tüm torkların

toplamı aşağıdaki gibi yazılabilmektedir

( ( ) )

(3)

Burada denge koluna uygulanan yerçekimine bağlı

moment, tekerleklerin temas noktası ve denge kolunun

dönme ekseni arasındaki mesafe, dik doğrultu ve L

arasındaki temas noktasındaki açısıdır. Denklem

sadeleştirdirildikten sonra aşağıdaki ifade elde edilmektedir:

( ( ) ) (4)

için elde edilen ifade sistem denklemlerine

yerleştirildikten sonra, hareket denklemleri aşağıdaki gibi ifade edilebilmektedir:

( ( ) ) ( )

( ( ) ) ( )

(5)

Her iki denklemde ortak faktör olarak:

( ) ( )

( ( ) ) (6)

tanımlanabilmtektedir. Dinamik sürtünme katsayısı ( ) ’yı

için cihaz kullanım kılavuzunda yer alan aşağıdaki ifade

kullanılabilmektedir:

( )

(7)

Üstte verilmiş olan sistem denklemlerini sadeleştirmek için aşağıdaki katsayılar tanımlanmıştır.

Tablo 1: Sistem sadeleştirme katsayıları

( ) ( ) ( )

( )

( )

Sonuç olarak, sistem denklemleri aşağıdaki gibi elde edilmektedir

( )( ) ( ( ) )

( )( )

( )

(8)

Fren eyleyici dinamiği ise aşağıdaki denklem ile ifade edilebilmektedir:

( ( ) ) (9)

Burada fren kontrolü değişkenidir. ( )fonksiyonu ise

aşağıdaki denklem ile elde edilmektedir

( ) {

(10)

Yukarıda verilen katsayıların ve bazı parametrelerin değerleri Tablo 2’de verilmiştir [7].

417

3

Tablo 2: Sistem katsayıları ve parametreleri

3. Sistemin doğrusallaştırması

ABS kontrol probleminde referans değer takibinde kullanılan

tekerlek boylamasına kayma oranı aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır:

(11)

Bu denklemin türevi alındığında

( )

( )

( )

(12)

elde edilmektedir. Sistem denklemleri uygulanınca

[

( ( )( )

( ) )

( ( )( )

( ( ) ) )]

(13)

ifadesi elde edilmektedir. Denklemi sadeleştirmek için aşağıdaki tanım yapılmıştır

( ) (14)

Sonuç olarak boylamasına kayma dinamiği aşağıdaki gibi ifade edilebilmektedir:

( ) ( ) (15)

( ) [( ( ) )( )

( ( ) )]

[( ( )

( ) )

( ) ]

(16)

( )

( ( ) ( )( ))

(17)

Doğrusallaştırma işlemi sonucunda ve alt tekerleğin açısal

hızının ( ) üst tekerleğin açısal hızına göre daha yavaş

dinamikleri olduğu göz önünde bulundurarak, sistem matrisleri aşağıdaki elde edilebilmektedir:

[ ]

[

]

[ ]

[

]

[ ] [ ]

(18)

Doğrusallaştırma işlemi farklı tekerlek hızlarında yapılarak

doğrusal olmayan sistem için k adet doğrusal sistem elde

etmek mümkündür. Bu sistemlerin geçişli kararlılığı için bir

sonraki kısımda çoklu geçişli kontrolcü yapısı tasarımı tairf

edilmiştir.

4. Kontrolcü Tasarımı

4.1. PID Kontrolcü Tasarımı

Bu kısımda referans kayma değerinin takibini sağlayacak PID

kontrolcüsü doğrusallaşmış sistem için Matlab/Simulink

ortamındaki pidtune komutunu kullanılarak tasarlanmıştır.

PID kontrolcüsü çoklu model geçişli kontrolcünün etkinliğinin değerlendirilmesinde kullanılacaktır.

4.2. Çoklu Model Geçişli kontrolcü tasarımı

Bu kısımda çoklu model geçişli kontrolcü tasarımının

temelleri sunulmuştur:

4.2.1. Temel Tasarım:

Tasarım hedeflerine ulaşabilmek için; sonlu modlar kümesinin

elemanı olan, her sistem modu için farklı bir kontolcü

bağdaştırılmıştır. Şekil-3’te gösterildiği gibi her bir moda

karşılık gelen ve kontrolcüleri doğrusal ve zamandan bağımsız

bir sistem olarak tasarlanan belirli bir kontrolcü yapısı

seçilmiştir. Her bir kontrolcünün dinamiği aşağıdaki gibi

tanımlanabilmektedir:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (19)

( ) , modu ile bağdaştırılan kontrolcünün

durum vektörüdür. Bir boyutlu giriş sinyali ( ) bütün

kontrolcülerce paylaşılmaktadır ve her kontrolcü farklı bir

kontrol sinyalini ( ( ) ) üretmektedir. Kontrolcüleri

tasarlamak için yukarıda belirtilen ve sistem matrisi

418

4

, giriş ve ölçüm matrisleri sırasıyla ve

doğrudan iletim terimi olan standart kontrol formu

tercih edilmiştir. İlgili transfer fonksiyonları aşağıdaki gibi verilmiştir:

( ) ( )

(20)

4.2.2. Yumuşak Geçici Rejim Geçişi

Her bir alt kapalı çevrim kontrol sistemini kararlı hale

getirecek özdeğerlerin, { } ortak

kümesinde yer almasını sağlayan kontrolcüler, kutup

yerleştirme yöntemi ile sentezlenmektedir. Böylece tüm alt

kapalı çevrim kontrol sistemleri ortak özdeğerlere

( kümesinde yer alan) sahip olacaklardır.

Şekil 3: Kontrol edilen çoklu model geçişli sistem.

Teorem 4.2.1 (Kutup yerleştirme, Pole-placement) [6]: Her

sistem modu için; ( ) kontrolcüsü kapalı çevrim

transfer fonksiyonun polleri açık sol yarı düzlemde ve bütün

için aynı olacak şekilde tasarlanmıştır.

( ) ( )

( ) ( ) (21)

Çokluluk göz önüne alınarak bu hedef kutuplar kümesi şu

şekilde gösterilebilir: { } Böylece elde

edilen bütün kontrolcüler açık sol yarı düzlem içinde aynı

kapal çevrim kutuplarına sahip olacaklardır.

Teorem 4.2.1’de açıklanan kutup yerleştirme stratejisi

kontrolcüler arasında yumuşak geçici rejim geçişi için gerekli

bir koşuldur.

4.2.3. Geçişli Sistemlerinin Kararlılığı

Geçişli kapalı çevrim sistemin durum vektörü ; sistem ve

kontrolcü vektörlerinden oluşmaktadır

(

) (22)

Buradaki ve geçişli kapalı çevrim sistemi için

olarak tanımlanırsa, otonom doğrusal sistem

aşağıdaki gibi elde edilmektedir:

( ) ( ) ( ) (23)

( ) parçalı bir sabit fonksiyondur. { }

. olduğu her durumda bileşen

sistem matrisleri aşağıdaki hesaplanmaktadır:

(

)

(24)

Kronecker delta sembolüdür. Kutup yerleştirme işlemi

bütün alt sistemleri kararlı hale getirmekte, fakat buna rağmen

tüm alt sistemlerin bileşimi kararlı olmayabilmektedir [8,9].

Bileşik sistemin kararlılığı { }

için yukarıda elde edilen matrisler için genel Lyapunov matrisi

nin aranması yöntemi aşağıdaki teoremde ifade edildiği

şekilde uygulanmaktadır.

Teorem 4.2.2 [9]. Eğer matrisi aşağıdaki şartı

sağlarsa:

; (25)

geçişli sistem asimptotik olarak kararlıdır.

4.2.4. Çoklu Model Geçişli Sistem için Lead Lag

Kontrolcülerin Tasarımı

Üçüncü bölümde yapılan doğrusallaştırma işlemi sonucu elde

edilen k adet sistemin derecesi dir, ve tasarımda her

bir alt-sisteme ikinci dereceden birer lead-lag kontrolcünün

eklenmesi ile her bir alt kontrol sisteminin derecesi 4

olmuştur. Buna göre ortak özdeğerlerin kümesinin dört

adet elemanı olacaktır. Dolayısıyla sistem dinamiklerini etkin

bir şekilde değiştirebilmesi –karakteristik denklemin her bir

parametresini değiştirebilmesi için– tasarlanan lead-lag

kontrolcünün beş adet tasarım parametresiyle tasarlanması

uygun bulunmuştur. Bu tasarım parametreleri kontrolcü

kazancı k, iki adet kontrolcü sıfırı ve ve iki adet

kontrolcü kutbu olan ve den ibarettir.

Her bir alt sistemin Lead-Lag kontrolcü yapısı aşağıda verilmiştir:

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

(26)

aşağıdaki yeni değişkenler optimizasyon parametresi olarak tanımlanmıştır:

{

{

(27)

Sonuç olarak kontrolcülerin transfer fonksiyonu aşağıdaki

gibidir:

( )

(28)

ve durum uzay matrisleri de aşağıdaki gibi ifade edilebilmektedir

𝑭𝒌

𝑪𝟏(𝒔)

𝑪𝟐(𝒔)

𝑪𝑵(𝒔)

𝒈𝒆ç𝒊ş

Plant

𝒓 𝒆

𝒖𝟏

𝒖𝟐

𝒖𝑵

𝒖 𝒚

419

5

{ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (29)

(

) ( )

( )

(30)

Kontrolcü parametreleri Matlab yazılımında ‘fmincon.m’

fonksiyonu kullanılarak optimize edilmiştir. Tasarım detayları aşağıda verilmiştir.

Kontrolcü parametreleri olan ve

Lyapunov matrisi nin bağımsız elemanları

optimizasyonparametreleri olarak seçilmiştir Her bir alt kapalı

çevrim sistemi kararlı kılmak ve geçişleri akıcı yapabilmek

adına optimizasyon süreci esnasında her bir alt sistemin kapalı

çevrim kutuplarına doğal frekans ve sönümleme değerleri için

kısıtlamalar eklenmiştir.

Optimizasyonda kullanılan maliyet fonksiyonu, sistem karakteristik denklemi üzerine kurulmuştur:

(31)

Üstteki denklemde katsayıları kontrolcü

parametrelerinin ( ) fonksiyonudur.

Optimizasyon süreci esnasında her bir alt kapalı çevrim

sistemin karakteristik denklemi aşağıdaki ortak karakteristik denkleme yakınsaması sağlanmaktadır:

∏ ( )

(32)

Burada her bir ortak özdeğerler kümesinin elemanıdır. Sonuç olarak optimizasyon problemi aşağıdaki

gibi kurulmuştur:

Min. ( ) ∑ ( )

{ } ( )

( )

(33)

Üstteki ifadelerde rastgele seçilmiş ağırlık

fonksiyonları, ( ) her bir sistemin karakteristik

denklem parametreleri, ( ) her bir kutba ait doğal frekans

değeri, ve ( )her bir kutba ait sönümlenme değeri, ayrıca

ve bu parametreler için seçilen alt sınırlardır. Üstte

bahsi geçen maliyet fonksiyonu tüm altsistemleri kararlı

kılmakta, ortak özdeğerler kümesinin elde edilmesini

sağlamakta, ayrıca genel Lyapunov fonksiyonunu geçiş

karalığını sağlamak için tespit edilmesini sağlamaktadır.

Tablo 3’de verilen üç ayrı işletim bölgesinde (alt tekerleğin

açısal hızına göre ) üç ayrı kontrolcüden

oluşan bir dizi kontrolcü tasarlanmıştır. Kontrolcüler

arasındaki geçişler test düzeneğinin alt tekerlek hızına göre

yapılmaktadır.

Tablo 3: Çoklu geçişli modelde tasarlanan kontrolcüler ve

çalışma aralıkları

Açısal Hız ( ) Kontrolcü

( )

( )

( )

Tasarlanan kontrolcülerin durum-uzay matrisleri aşağıda verilmiştir:

(

) ( ) ( )

(

) ( ) ( )

(

) ( ) ( )

5. Deneysel Sonuçlar

Çoklu model geçişli (MMS) kontrolcünün etkinliğini

göstermek için, bir dizi benzetim ve gerçek zamanlı deneyler

yapılmıştır. Cihazın koluna eklenen bir düzenek vasıtasıyla

tekerlekler arası dik kuvveti arttırılmış ve azaltılmış,

kontrolcünün dayanaklılığını test etmek için değişken sürtünme kuvveti testleri yapılmıştır (Şekil 4).

Şekil 4: Değişken dik kuvvet uygulamak için hazırlanan düzenek.

2

Lit/s

3.5

Lit.

Wa

T

𝐹𝑧

Upper

Wheel

Lower

Wheel

T

T

𝐹𝑧

Upper

Wheel

Lower

Wheel

T

m.g

2

Lit/s

3,5

Lit.

Water

420

6

Şekil 5: Değişken dik kuvvet uygulanarak elde edilen sonuçlar

Bu düzenek iki tane makara ve makaralar boyunca

hareket edebilen bir kablodan oluşmaktadır. Kablonun bir ucu

deney cihazına dik kuvvet uygulayan koluna bağlıdır. Diğer

ucuna değişken kuvveti uygulamak için kullanılan bir su

bidonu bağlıdır. Su miktarını test esnasında değiştirerek

sürekli artan veya azalan sürtünme kuvveti ve bunun sonucu

olarak değişken sürtünme katsayısı uygulanabilmektedir.

Şekil 5’te verilen sonuçlarda görüldüğü gibi çoklu model

geçişli kontrolcü kararlıdır ve kayma değerini kabul edilir

şekilde takip etmektedir. Ayrıca bu kontrolcünün durma

mesafesi de diğer karşılaştırma amaçlı test edilen PID ve

relay tipi kontrolcülere göre çok daha iyidir.

6. Tartışma ve Sonuç

Çalışmamızda ABS fren sistemine yönelik çoklu model geçişli

kontrolcüler tasarlanmış ve bu kontrolcülerin etkinliği Inteco

firması tarafından temin edilen deney düzeneği üzerinde test

edilmiştir. Deneyler esnasında tasarlanan üç farklı kontrolcü

arasındaki geçişler yumuşaktır ve ABS kontrol problemi

kararlı bir şekilde çözülebilmiştir. Elde edilen sonuçlar

tasarlanan kontrolcü yapısının elektromekanik fren sistemine

sahip araçlarda uygulanmasının mümkün olduğunu göstermektedir.

Teşekkür

111M601 nolu araştırma projesi kapsamında çalışmaların

gerçekleştirilmesini mümkün kılan Tübitak’a teşekkürlerimizi sunarız.

Kaynakça

[1] T.A. Johansen, I. Petersen, J. Kalkkuhl, J. Ludemann,

“Gain-scheduled wheel slip control in automotive brake

systems”, IEEE Transactions on Control System

Technology, Cilt:11, s:799–811, 2003.

[2] K. Park, S.J. Heo, “A study on the brake-by-wire system

using hardware-in the-loop simulation”, International Journal of Vehicle Design, Cilt:36, No:1, s:38–49, 2004.

[3] D.B. Mitic, S.L. Peric, D.S. Antic, “Digital Sliding Mode

Control of Anti-Lock Braking System”, Advances in

Electrical and Computer Engineering. Cilt:13 No:1, s:33-40, 2013.

[4] E. Kayacan, Y. Öniz, O. Kaynak, “A Grey System

Modeling Approach for Sliding-Mode Control of

Antilock Braking System”, IEEE Transactions on

Industrial Electronics, Cilt:56, No:8, s:3244-3252, 2009.

[5] Y. Öniz, E. Kayacan, O. Kaynak, “A Dynamic Method to

Forecast the Wheel Slip for Antilock Braking System and

Its Experimental Evaluation”, IEEE Transactions on

Systems, Man, and Cybernetics—PART B: Cybernetics,

Cilt:39, No:2, s:551-560, 2009.

[6] K. Wulff, “Quadratic and Non-Quadratic Stability

Criteria for Switched Linear Systems”, Doktora Tezi,

Hamilton Institute, National University of Ireland-Maynooth, Co. Kildare, Irlanda, 2004.

[7] Inteco. “The laboratory Anti-lock Braking System

controlled from PC”, User’s Manual available at

www.inteco.com.pl.

[8] Shorten, R.N., Cairbre, F., 2001, A proof of the global

attractivity for a class of switching systems using a non-

quadratic Lyapunov approach, Institute of Mathematics

and its Applications : Journal of Mathematical Control

and Information, Vol. 8, pp. 341–353.

[9] Shorten, R.N., Cairbre, F., 2002, A new methodology for

the stability analysis of pairwise triangular and related

switching systems, Institute of Mathematics and its

Applications: Journal of Applied Mathematics, Vol. 67,

pp. 441–457.

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.5

Fz Increasing

Slip

[ ]

Reference Multiple Model Switching Relay PID

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.5

Fz Decreasing

Slip

[ ]

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

Bra

ke

[u]

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

Bra

ke

[u]

0 1 2 3 4 5 6 70

1000

Speed obtained with Multiple Model Switching Controller

VCar

VWheel

0 1 2 3 4 5 6 70

1000

Speed obtained with Relay Controller

Sp

ee

d[R

PM

]

0 1 2 3 4 5 6 70

1000

Speed obtained with PID Controller

Time[s]

0 2 4 6 8 10 120

1000

Speed obtained with Multiple Model Switching Controller

VCar

VWheel

0 2 4 6 8 10 120

1000

Speed obtained with Relay Controller

Sp

ee

d[R

PM

]0 2 4 6 8 10 12

0

1000

Speed obtained with PID Controller

Time[s]

421