2.3 2.3 Anuitas Anuitas (A i (A i A ) (Annuity, (Annuity, Angsuran Angsuran) Sebuah anuitas adalah sederetan pembayaran berkala dalam jumlah tertentu yang dilakukan setiap periode tertentu dan selama jumlah tertentu, yang dilakukan setiap periode tertentu dan selama waktu tertentu. Lamanya waktu antara dua pembayaran berurutan disebut periode pembayaran atau jangka waktu pembayaran. Lamanya waktu antara permulaan periode pembayaran pertama dan periode akhir pembayaran disebut waktu anuitas. Suatu anuitas yang pasti dilakukan selama jangka pembayaran disebut anuitas pasti (certain annuity), sedangkan jika anuitas tidak pasti dilakukan selama jangka pembayaran atau tergantung dari hidup matinya seseorang disebut anuitas hidup (life annuity). S t it b dil k k d l id Suatu anuitas yang pembayarannya dilakukan pada awal periode disebut anuitas awal atau anuitas sekarang (annuity- due), sedangkan jika anuitas yang pembayarannya dilakukan pada akhir periode disebut anuitas akhir atau anuitas segera (annuity- immediate).
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
2.3 2.3 AnuitasAnuitas(A i(A i AA ))(Annuity, (Annuity, AngsuranAngsuran))
Sebuah anuitas adalah sederetan pembayaran berkala dalamjumlah tertentu yang dilakukan setiap periode tertentu dan selamajumlah tertentu, yang dilakukan setiap periode tertentu dan selamawaktu tertentu. Lamanya waktu antara dua pembayaran berurutan disebut periodepembayaran atau jangka waktu pembayaran.Lamanya waktu antara permulaan periode pembayaran pertamadan periode akhir pembayaran disebut waktu anuitas. Suatu anuitas yang pasti dilakukan selama jangka pembayarandisebut anuitas pasti (certain annuity), sedangkan jika anuitastidak pasti dilakukan selama jangka pembayaran atau tergantungdari hidup matinya seseorang disebut anuitas hidup (life annuity). S t it b dil k k d l i dSuatu anuitas yang pembayarannya dilakukan pada awal periodedisebut anuitas awal atau anuitas sekarang (annuity-due), sedangkan jika anuitas yang pembayarannya dilakukan padaakhir periode disebut anuitas akhir atau anuitas segera (annuity-p g ( yimmediate).
2.4 2.4 AnuitasAnuitas PastiPasti PembayaranPembayaranS iS i 11 T hT h S k liS k liSetiapSetiap 1 1 TahunTahun SekaliSekali
Misalkan anuitas awal (anuitas yang pembayarannya dilakukan setiap awal periode) sebesar A dibayarkan selamadilakukan setiap awal periode) sebesar A dibayarkan selama n tahun dengan bunga tahunan i, maka nilai total (nilai akhir) anuitas awal tersebut pada n tahun kemudian adalah:
( ) ( ) ( )11 1 1n nA i A i A i−( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1
1 1 .. . 1
1 1 .. . 1
n
n n
s A i A i A i
A i i i−
= + + + + + +
⎡ ⎤= + + + + + +⎣ ⎦
( ) ( )( )
11 11 1
ni iA
i
++ − +=
+ −
⎡ ⎤( ) ( )
( )
1 1 1n
n
i iA
i
⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦=
( )1 1niA
d+ −
=
Sedangkan nilai sekarang atau nilai tunai (nilai awal) dari anuitas awal tersebut pada n tahun kemudian adalah:anuitas awal tersebut pada n tahun kemudian adalah:
1
1
. . . nna A A v A v −= + + +
⎡ ⎤11 . . .
1
n
n
A v v
vA
−⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦−
11 n
Av
vA
=−
−Ad
=
Untuk kasus anuitas akhir (anuitas yang pembayarannya dilakukan setiap akhir periode) sebesar A dibayarkan selama dilakukan setiap akhir periode) sebesar A dibayarkan selama n tahun dengan bunga tahunan i maka nilai total (nilai akhir) anuitas akhir tersebut pada n tahun kemudian adalah:
( ) ( )1 21 1n nA i A i A− −+ + + + +( ) ( )( ) ( )1 2
1 1 ...
1 1 ... 1
n
n n
s A i A i A
A i i− −
= + + + + +
⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦
( )( )1 11 1
niA
i+ −
=+ −
( )
( )
1 1n
n
iA
i+ −
=
( )( )
1 11
niA
d is
+ −=
+
1ns
Ai
=+
Sedangkan nilai sekarang (nilai awal) dari anuitas akhir tersebut pada n tahun kemudian adalah:
Anuitas ke- PV Awal Tahun PV Awal Bulan PV Akhir Tahun PV Akhir BulanAnuitas Awal Anuitas Akhir
Nilai Sekarang
1 Rp1,000,000.00 Rp1,016,336.86 Rp884,955.75 Rp933,003.532 Rp884,955.75 Rp819,839.10 Rp783,146.68 Rp819,839.103 Rp783,146.68 Rp720,400.44 Rp693,050.16 Rp720,400.444 Rp693,050.16 Rp633,022.74 Rp613,318.73 Rp633,022.745 R 613 318 73 R 512 586 97 R 542 759 94 R 556 243 125 Rp613,318.73 Rp512,586.97 Rp542,759.94 Rp556,243.12
Total Rp3,974,471.33 Rp3,702,186.12 Rp3,517,231.26 Rp3,662,508.94
An itas ke NT Awal Tahun NT Awal Bulan NT Akhir Tahun NT Akhir BulanAnuitas Awal Anuitas Akhir
Nilai Total
Anuitas ke-1234
NT Awal Tahun NT Awal Bulan NT Akhir Tahun NT Akhir BulanRp1,842,435.18 Rp1,940,041.26 Rp1,630,473.61 Rp1,780,969.88Rp1,630,473.61 Rp1,564,955.23 Rp1,442,897.00 Rp1,564,955.23Rp1,442,897.00 Rp1,375,141.09 Rp1,276,900.00 Rp1,375,141.09Rp1,276,900.00 Rp1,208,349.60 Rp1,130,000.00 Rp1,208,349.60
5Total
p , , p , , p , , p , ,Rp1,130,000.00 Rp978,454.99 Rp1,000,000.00 Rp1,061,788.32Rp7,322,705.79 Rp7,066,942.16 Rp6,480,270.61 Rp6,991,204.12
2.5 2.5 AnuitasAnuitas PastiPasti PembayaranPembayaranS iS i 11 T hT h kk k lik liSetiapSetiap 1 1 TahunTahun kk kalikali
Anuitas di atas adalah anuitas dengan perhitungan bunga efektif dimana pembayaran dilakukan setiap tahun sekaliefektif dimana pembayaran dilakukan setiap tahun sekali. Pada kasus lain jika pembayaran dilakukan k kali dalam setahun dengan tetap menggunakan bunga efektif, maka:nilai akhir untuk anuitas awal adalahnilai akhir untuk anuitas awal adalah
( ) ( ) ( )1/ 1/( )
1/ 1/
1 1 1 ... 1n n k kkn
k k
s A i A i A ik
−⎡ ⎤= + + + + + +⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤( ) ( )( )
( ) ( )( )
1/ 1/
1/
1 1 1 1 1 1
1 11 1k
k n k n
k ik
i i i iA Ak ki
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =+ −+ −
( ) ( ) ( ) ( )( )
1/ 1/
( )
1 1 1 1 1 1k
k n k n
kik
i i i iA Ak i
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =
( )( )
1 1n
k
iA
d+ −
=
nilai awal untuk anuitas awal adalah
( ) ( )( ) 1/ 1/ 1/ 1/1 ... 1 ...
1 1 1 1
k k n k k n kn
n n n n
Aa A Av Av v vk kA A A A
− −= + + + = + + +
( )( )( )
1/
1/ 1/
1/ 1/ 1 1 11 1
1 1 1 11 1 1 k
k k
n n n n
k k ii i
A v A v A v A vk v k v k k + −
+ +
− − − −= = = =− − −
( ) ( )( )
( ) ( )1/ 1/
1/ ( )
1 1 1 1/1 1
k kn n
k k
i v i vA Ak k i ki
+ − + −= =
+( )( ) ( )1/
/1 1
1 1 1k n n
k k i ki
i v vA A
+ −
+ − −= =( ) ( )k kA Ai d
nilai akhir untuk anuitas akhir adalah
( ) ( )1/ 2 /( ) 1 n k n kk − −⎡ ⎤( ) ( )
( ) ( )
1/ 2 /( )
1/ 2 /
1 1 1 ...
1 1 ... 1
n k n kkn
n k n k
s A i A i AkA i ik
− −
⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦
( )( )
( ) ( )( )1/ 1/( ) ( )
1 1 1 1 1 1/1 1 1
n n nn
k kk k
ksi i iA A A A
k k i k ii i+ − + − + −
= = = =+ − +
dan nilai awal anuitas akhir adalah
( ) 1/ 2/ 1/ 2/1k k k n k k nAa Av Av Av v v v⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )1/ 1/
1/1/1/ 1/ 1
... ...
1 1 11 1 11
n
k n k n nk
kk k
a Av Av Av v v vk kA v v A v A vvk v k v k i
+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + = + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− − −= = =+( ) ( )
( ) ( ) ( )
1/
1/
11
1/ 1/ ( ) ( )1 1
1 1 11
1 1 1 1 1/1 1 1
k
k
i
n n n n
k k k k ni
k v k v k i
A v A v A v vA Aa vk k k i k ii i
+
+ −
− − −+
− − − −= = = = =( ) ( )
( )( )1/
( ) ( )1 1
1/1 1 1k
ni
ik k k i k ii i+ −
++ + −
2.6 Perpetuity 2.6 Perpetuity (( ii ll ))((anuitasanuitas selamanyaselamanya))
Perpetuity adalah pembayaran investasi untuk selamanyaPerpetuity adalah pembayaran investasi untuk selamanya(tak hingga) dengan perhitungan bunga setiap tahunsekali, sehingga nilai tunai awal untuk setiap $1 adalah