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ARTCULO
Direccin General de Cmputo y de Tecnologas de Informacin y
Comunicacin - UNAM Departamento de Acervos Digitales
NEPOHUALTZITZIN:UN MODELO MATEMTICO NHUATL
Everardo Lara Gonzlez, Jos Francisco Lara Torres
1 de febrero de 2014 | Vol. 15 | Nm. 2 | ISSN 1607 - 6079
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Nepohualtzitzin: Un modelo matemtico nhuatl, Everardo Lara
Gonzlez, Jos Francisco Lara Torres
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NEPOHUALTZITZIN: UN MODELO MATEMTICO NHUATL
Resumen
El presente artculo expone el modelo matemtico nhuatl e
identifica su estructura numrica en el instrumento de clculo
Nepohualtzitzin y su relacin a travs de los sm-bolos y el lenguaje
matemtico en el idioma nhuatl. Asimismo, presenta las acciones y
los resultados preliminares de la incorporacin del Nepohualtzitzin
como recurso didc-tico en el desarrollo de las competencias
matemticas de los alumnos de educacin pri-maria, con un enfoque
intercultural.
Palabras clave: Etnomatemticas, Nepohualtzit-zin, competencia
matemtica, cosmovisin, cultura azteca.
NEPOHUALTZITZIN: A MATHEMATI-CAL NAHUATL MODEL
Abstract
This paper presents the Nahuatl mathematical mod-el, identifying
its numerical structure, a calculation instrument
(Nepohualtzitzin), and their relationship through the symbols and
mathematical expression in the Nahuatl language. It also presents
the actions and preliminary results of incorporating the Nepo-
hualtzitzin as a teaching resource with an intercultural
approach in the development of mathematical skills of students in
basic education.
Keywords: Ethnomathematics, mathematical skills, cosmovision,
Aztec culture, basic ed-ucation.
El idioma nhuatl es
dual. Est compuesto de significados opuestos que se asocian y
cuya realidad
oculta es la metfora.
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NEPOHUALTZITZIN:UN MODELO MATEMTICO NHUATL
Introduccin
A travs de las matemticas se puede entender la visin del mundo,
las leyes de la naturaleza desde el origen del universo. Adems, nos
permiten disfrutar el mensa-je armnico de los nmeros. La habilidad
para manejarlas facilita la comprensin y comunicacin en diferentes
disciplinas de la vida diaria, y al aplicarlas con imaginacin se
alcanzan horizontes sorprendentes. En el transcurso de la historia
varios pueblos se han destacado por su preocu-pacin por el estudio
y la enseanza de las matemticas, disciplina que surge cuando los
seres humanos iniciaron la cuantificacin de objetos y fenmenos
naturales. Crearon y desarrollaron diferentes smbolos para
representar ideas, formas o mensajes. Fue as como surgi la
escritura y, en consecuencia, la aparicin de numerales que
representan una forma de pensar. Los pueblos mesoamericanos crearon
sus propios sistemas numricos partiendo de un fundamento filosfico
que coincide con la visin de otras grandes culturas del mundo que
creyeron que los principios de las matemticas eran el principio de
orden de todos los seres. La aplicacin del modelo matemtico nhuatl
permite ampliar la visin del razo-namiento matemtico para que las
nuevas generaciones tengan acceso a la estructura del sistema de
pensamiento antiguo nhuatl, gua de una relevante organizacin socio
cultural. As pueden conocer su significado y enriquecer la solucin
e interpretacin lgi-ca de un sistema de smbolos y situaciones,
tales como:
Los antiguos sistemas de representacin nhuatl. La teora del
origen del universo. El simbolismo de pirmides en los centros
ceremoniales. De rituales y de eventos: de aparentes fiestas o
tradiciones en las que actual- mente participamos y que pertenecen
a la cuenta ceremonial del maz. Las prcticas sociales del sistema
matemtico nhuatl. La teora del cero nhuatl. La cuenta lunar de
Mexhico Tenochtitlan.
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DesarrolloEl idioma dual nhuatl
Para entender y comprender la cosmovisin nhuatl es menester
internarnos en el mun-do de su lengua, ya que el idioma es la llave
para adentrarnos en la inmensidad de su filosofa. Se trata de una
lengua que fue perfeccionada para alcanzar un refinamiento
espiritual en el que el pensamiento de orden matemtico es de unin
colectiva que no admite el individualismo. Ha sobrevivido a pesar
del colonialismo impuesto, la muerte y humillacin a nuestros
pueblos originarios. La lengua es hablada diariamente por mi-llones
de personas en el mundo mediante palabras que subsisten
cotidianamente, por ejemplo: noche y da; fro y caliente; hombre y
mujer. El idioma nhuatl es dual. Est compuesto de significados
opuestos que se aso-cian y cuya realidad oculta es la metfora. La
unin del todo que es el universo se dimen-siona en un cuadrangular,
por lo cual, la numeracin nhuatl elige los cuatro primeros nmeros
para simbolizar el principio del orden.
Interpretacin de las formas figurativas matemticas de la cultura
nhuatl
El sistema de numeracin nhuatl corresponde a la observacin,
contemplacin, visuali-zacin y comunicacin de un cdigo simblico
figurativo de la actividad humana. Cuatro ideogramas de la dimensin
cuadrangular muestran un ordenamiento ascendente de expresin y
contenido de un pensamiento superior, que actualmente es visible en
las actividades socioculturales de los pueblos del continente y en
otras regiones del mundo.
(Aportaciones de nahua-blantes: Lucio Carpanta, del
estado de Morelos y Artemio Solis, Milpa Alta).
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Nepohualtzitzin, la cuenta lunar
Algunos cronistas1 mencionan la existencia de instrumentos con
cuentas de oro y piedras preciosas que se utilizaban para llevar
registro de memoria estadstica y realizar operaciones de avanzados
clculos matemticos. David Esparza Hidal-go, Investigador del IPN,
elabor esta ilustracin del Nepohualtzitzin con base en las
referencias de las observaciones de los cronistas mencionados.
Carlos Casas y Crespo elabor en 1998 el siguiente diseo de este
instrumento utilizando cuentas en forma de maz para facilitar su
uso y fijar en el usuario la imagen del ele-mento principal de la
cosmovisin nhuatl, que es el maz.
El concepto de Nepohualtzitzin es el principio filosfico de la
estructura del pen-samiento de la ciencia matemtica nhuatl, que se
interpreta como: Ne, La persona; Po-hualli, cuenta; Tzitzin,
trascender. La idea sustancial que incluye es: La persona que tiene
el conocimiento de la cuenta de la simplicidad de la armona para
trascender al origen de la creacin. Se trata de un constructo
matemtico dual (construccin terica que se desarro-lla para resolver
ciertos problemas cientficos) en el que se encuentran: el clculo
cuanti-tativo de un modelo formal, la cuenta del modelo figurativo
y la estructura del lenguaje nhuatl de una medida dimensional
ascendente. Esto corresponde a una armona preci-sa, clara y bella
de un pensamiento matemtico avanzado, de una creatividad cientfica
que busca la evolucin del ser, conectando sutilmente nuestro
espritu con la esencia en equilibrio del universo, donde surge la
luna como centro csmico de la cuenta magntica que brinda a la
humanidad la satisfaccin de existir. El modelo matemtico
corresponde a la memoria de un proceso de construccin social de los
conocimientos matemticos, con base en la observacin, contemplacin,
visualizacin, comunicacin, y aplicacin de las actividades
socioculturales que fueron sistematizadas en los centros educativos
de la cultura nhuatl. Se asocia, lgicamente, con el sistema numrico
en lengua nhuatl y con el modelo figurativo. La comunicacin
cuadrangular se observa en las prcticas sociales: de manera verbal
en narraciones, mi-tos, cantos; y no verbal en rituales, danzas,
arquitectura de pirmides, msica, juegos tradicionales, medicina,
etctera.
[1] Francisco Javier Clavi-jero, 1780; y Lorenzo Boturini, 1748,
citados en ROMEROVARGAS, 1964.
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Proceso de construccin de las cuentas de registro de memoria en
el Nepohualtzitzin. Su relacin con la luna
En la base se encuentra el n-mero 7; cuatro piezas del lado
iz-quierdo y tres del lado derecho (4+3) que corresponden a una
fase lunar. El permetro del lado derecho corresponde al ciclo de la
luna: 7 x 4 = 28. El diseo del Nepohualtzitzin contiene un total de
91 elementos que corresponden a la suma num-rica de sus 13 niveles
ascendentes.
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91
Estas cifras corresponden a cuentas relacionadas con el ciclo
lunar.
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Cuentas relacionadas con el ser humano y la cuenta ceremonial
del maz
Cuando utilizamos el Nepohualtzitzin en forma perimetral se
obtiene el nmero 40, que representa:
La cuenta completa (20) del hombre y una cuenta completa (20) de
la mujer (20 +20). Periodo de purificacin de la mujer, despus del
parto (cuarentena). Las dos veintenas del calendario solar
relativas al ayuno de conexin espiritual
con la tierra y la semilla del maz, previas a susiembra en la
zona de Tenochtitlan.
Multiplicando el 20 con la escala dimensional del 13, obtenemos
260.260 = cuenta de los destinos del ser humano (horscopo) y la
cuenta ceremonial del maz.
Visin perimetral
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Cuentas del Nepohualzitzin relacionadas con la astronoma
Del lado izquierdo, el nmero de cuentas es 52 (13x4), que
corresponde al ciclo astro-nmico denominado Fuego Nuevo. Cada 52
aos se observa el paso de las plyades por el cenit de las pirmides
de Tenayuca y el Cerro de la Estrella, ubicadas al norte y oriente
de la Ciudad de Mxico, siendo las plyades una asociacin de
estrellas que forman una constelacin sobresaliente del hemisferio
boreal conocido como Tauro.
Del lado derecho tenemos 39 cuentas (13x3). Realizando la suma
numrica del 1 al 39, el resultado es 780:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 +21+22+23+24+25+26+27+28+
29+30+31+32+33+34+35+36+37+38+39 = 780, que repre-senta la rbita de
Marte alrededor del sol con una ptica desde la tierra.
Las matemticas en el Programa de Estudios Vigente en Mxico
En el Programa de Estudios Vigente a partir de 2011, uno de los
campos de formacin para la educacin bsica se refiere al Pensamiento
Matemtico,
El desarrollo del pensamiento matemtico inicia en preescolar y
su finalidad es que los nios usen los principios del conteo;
reconozcan la importancia y utilidad de los nmeros en la vida
cotidiana, y se inicien en la resolucin de problemas y en la
aplicacin de estrategias que impliquen agregar, reunir, quitar,
igualar y comparar colecciones. Estas acciones crean nociones del
algoritmo para sumar o restar (Acuerdo 592, VI.2.1).
Para avanzar en el desarrollo del pensamiento matemtico en la
primaria y secundaria, su estudio se orienta a aprender a resolver
y formular preguntas en que sea til la herramienta matemtica.
Adicionalmente, se enfatiza la necesidad de que los propios alumnos
justifiquen la validez de los proce-dimientos y resultados que
encuentren, mediante el uso de este lenguaje (Acuerdo Secretarial
SEP 592, VI.2.2).
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De acuerdo con esto, se busca principalmente que los nios
razonen y no slo que me-moricen reglas o resultados. A lo largo de
la Educacin Bsica se busca que los alumnos sean responsables de
construir nuevos conocimientos a partir de sus saberes previos, lo
que implica:
Formular y validar conjeturas. Plantearse nuevas preguntas.
Comunicar, analizar e interpretar procedimientos de resolucin.
Buscar argumentos para validar procedimientos y resultados.
Encontrar diferentes formas de resolver los problemas. Manejar
tcnicas de manera eficiente (Acuerdo 592, VI.2.2).
Desempeo en matemticas de los alumnos de educacin bsica de
Mxico
Desafortunadamente, el desempeo acadmico de la mayora de los
alumnos mexica-nos en el campo de las matemticas ha sido
deficiente. Los resultados de los exmenes nacionales e
internacionales arrojan resultados que dejan mucho que desear. Por
ejem-plo, Mxico se ubica entre los ltimos lugares de los pases de
la OCDE en desempeo matemtico, de acuerdo a los resultados del
examen PISA (Programa Internacional de Evaluacin de Estudiantes,
por sus siglas en ingls).
Resultados PISA 2009. Desempeo en Matemticas
Mxico en la perspectiva internacional:
En Mxico slo 5% de los estudiantes se agrupa en los niveles
altos, 44% en los niveles intermedios, y 51% en los niveles
inferiores.
Perspectiva nacional:
Las entidades que lograron un desempeo superior a la media
nacional son el Dis-trito Federal, Nuevo Len, Chihuahua,
Aguascalientes, Colima y Jalisco. Sin embar-go, ninguna alcanza el
promedio OCDE de 496 puntos. Los estados que se encuen-tran debajo
de la media nacional son Oaxaca, San Luis Potos, Tabasco, Guerrero
y Chiapas.
Resultados de la Prueba Enlace en Matemticas
La Evaluacin Nacional del Logro Acadmico en Centros Escolares
(Prueba ENLACE), re-presenta la ms extensa accin evaluativa en el
Sistema Educativo Nacional, tanto por la cantidad de pruebas
diferentes que incluye, como por la cobertura que tiene. En el
ciclo escolar 2011-2012 se aplicaron en primaria las pruebas
correspondientes a Espaol, Ma-temticas y Ciencias Naturales. La
evaluacin incluye a todas las alumnas y alumnos de 3 a 6 de
primaria, tanto en escuelas pblicas como privadas. En lo referente
a matemti-cas se presenta el siguiente cuadro que proporciona una
visin comparativa desde 2006 a 2012 de los resultados obtenidos por
los alumnos evaluados en este nivel educativo.
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Utilizacin del Nepohualtzitzin como recurso didctico para el
desarrollo de las competencias matemticas en el Sistema Edu-cativo
Nacional
David Esparza Hidalgo, ingeniero civil egresado del Instituto
Politcnico Nacional, realiz a partir de 1960 importantes
investigaciones entre personas pertenecientes a los pue-blos
originarios ubicados en el centro del pas, con el propsito de
recuperar informacin sobre la existencia de instrumentos de clculo
de los antiguos pobladores de Mxico. De su obra escrita destacan:
Cmputo Azteca (Editorial Diana); Nepohualtzitzin, computador
prehispnico en vigencia (Editorial Diana). Desde el ao 1996 el
Nepohualtzitzin comenz a utilizarse en planteles de edu-cacin
primaria por invitacin de los directores interesados en el
proyecto. La Secretara de Educacin Pblica, a travs de la
Coordinacin General de Edu-cacin Intercultural y Bilinge, dise y
public en el ao 2009 una Gua Didctica del Nepohualtzitzin para el
Desarrollo de las Competencias Matemticas, la cual ha sido
utili-zada por docentes de la Ciudad de Mxico y de varios estados
de la Repblica Mexicana, principalmente en el nivel de primaria de
educacin bsica.Se ha dado seguimiento ms especfico a varios
planteles de educacin primaria que han utilizado el Nepohualtzitzin
en la Ciudad de Mxico, entre los que destacan los siguientes:
09DPR2032U Escuela Primaria lvaro Obregn, Delegacin Milpa Alta,
D. F. Dirigi-da por la Profra. Ma. Elena Telsforo Cruz, en
colaboracin con los docentes del plantel y con el apoyo de la
Comunidad Nepohualtzitzin, en particular de Ayde Nayeli Hernndez
Ortiz. Tambin contribuyeron alumnos del Tecnolgico y del CE-TIS
ubicados en la Delegacin Milpa Alta, quienes desarrollaron su
servicio social
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a travs de la estrategia de socializar la educacin mediante el
Nepohualtzitzin. 09DPR0102L Escuela Efran Huerta, Delegacin
Iztapalapa, D. F. Dirigida por la Pro-
fra. Dolores Marmolejo Rodrguez, con el impulso del Consejo
Escolar de Participa-cin Social, presidido por la Sra. Claudia Soto
y en colaboracin con los docentes del plantel y madres de
familia.
09DPR2014E Escuela Ignacio Rodrguez Galvn, turno vespertino,
dirigida por el Profr. Adrin Flores Sandoval, en colaboracin con
los docentes del plantel.
Observaciones acerca de los resultados de la Prueba Enlace en
las escuelas que utilizan el Nepohualtzitzin
A reserva de corroborarlo con resultados posteriores, los
alumnos tienden a obtener menos puntajes en las categoras de
elemental e insuficiente; los grupos obtienen pro-gresivamente
mejores resultados en matemticas, equivalentes o superiores a las
califi-caciones promedio a niveles estatal y nacional.
Ejemplos especficos de resultados preliminares exitosos de la
Prueba Enlace obtenidos por grupos de las escuelas participantes en
el proyecto
Informacin Comparativa por nivel de Logro en Matemticas permite
observar el punta-je promedio obtenido por los alumnos de un grupo
con referencia al puntaje promedio de la escuela, entidad y pas, en
los mismos grados, asignatura y tipo de escuela.
Resultados 2012 escuela lvaro Obregn, Delegacin Milpa Alta,
Mxico, Distrito
Federal, turno matutino, grado 6, grupo A
Resultados 2012 Escuela Ignacio Rodrguez Galvn,
turno vespertino, Delegacin Tlalpan, Mxico, D. F. Resul-
tados grado 4. Grupo B
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Conclusiones
Algunas observaciones y aprendizajes obtenidos sobre el uso del
Nepohualtzitzin en edu-cacin bsica son los siguientes:
Su utilizacin mejora la autoestima del nio, al reconocerse
heredero de la ciencia matemtica nhuatl y al permitirle tener una
mayor comprensin de las matemti-cas y obtener mejores resultados en
esta materia.
El Nepohualtzitzin tiene dos premisas: la de un modelo formal
matemtico de re-presentaciones numricas cuantitativas, y su
complemento, donde se encuentra la estructura del pensamiento
filosfico a travs de las representaciones figurativas. Gracias a
esto es ms comprensible para el alumno entender el mensaje del
orden total, es decir, el aspecto holstico de la cosmovisin
nhuatl.
Los alumnos que lo utilizan manifiestan que sufren menos las
matemticas y la mayora de ellos expresan satisfaccin al
emplearlo.
Mejora el clima escolar y el trabajo colaborativo. Incluso,
algunos docentes que lo han implementado expresan que las
manifestaciones de bulling han descendido en sus aulas, por parte
de alumnos que se comportaban de manera violenta.
Se logran cada vez mejores resultados en la medida en que los
maestros se atreven a utilizarlo de manera sistemtica con sus
alumnos. Algunos docentes manifiestan que es difcil para ellos
seguir el paso acelerado de los nios en el uso del
Nepohual-tzitzin.
Los alumnos encuentran de manera ms fcil diferentes caminos y
mtodos para solucionar los problemas matemticos que deben resolver.
Esto requiere que los docentes asuman una funcin menos directiva y
ms facilitadora del aprendizaje autnomo de sus alumnos.
Se logran excelentes resultados cuando todos los miembros de la
comunidad escolar estn convencidos de su utilidad y se involucran
decididamente en su uso (alumnos, padres de familia maestros y
autoridades educativas).
Actualmente est en proceso el anlisis de los resultados de un
estudio piloto realizado en cuatro escuelas del Distrito Federal en
el ciclo escolar 2011-2012, el cual arrojar resultados sobre el
impacto que tiene la aplicacin del Nepohualtzintzin (Nepo) junto
con otra serie de actividades dirigidas al conocimiento y
reconocimiento de la di-
Resultados escuela Efran Huerta, Delegacin Iztapa-
lapa, Mxico, D. F., turno matutino grado 3, grupo C
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versidad cultural y lingstica de Mxico, as como a la
contextualizacin del instrumento de clculo. Tres escuelas primarias
operaron el instrumento en tres grupos escolares (2, 5 y 6) y una
particip como grupo testigo trabajando sin el Nepo. La intervencin
de contextualizacin consisti en la realizacin de cursos sobre el
antecedente del instru-mento de clculo y la filosofa de la cultura
mesoamericana; adems se realizaron clases demostrativas dirigidas a
docentes, padres de familia y estudiantes para motivar su
apli-cacin y talleres para la elaboracin de Nepos y de otros
objetos representativos de las costumbres y tradiciones
ancestrales. Los resultados de este piloteo permitirn orientar y
fundamentar la propuesta integral de educacin intercultural que
incluye la aplicacin del Nepohualtzintzin, al contrastarlos con los
avances de los estudiantes en matemticas y con la organizacin y las
interacciones que genera en la comunidad escolar.
Bibliografa
[5] CANTORAL, R. 2002. Matemtica educativa: Una visin de su
evolucin, Revista del IPN, Octubre, No. 44, p. 26-34.
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[8] CHAPMAN, Anne. Los hijos del copal y la candela. 2 v, Mxico:
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[13] LPEZ AUSTIN, Alfredo. Cuerpo humano e ideologa. Las
concepciones de los antiguos nahuas, 2 v, Mxico: UNAM, 2008.
[14] ROMEROVARGAS YTURBIDE, Ignacio. Moctezuma el Magnfico,
Mxico: Romerovargas y Blasco, editores, S.A. 1964.