•Aplicarteoremadelascuerdas,delassecantesydelasecantey ......Dado que AC = 20 cm, y que , entonces se tiene que AE = EC = 10 cm. Completando los datos en la figura: AC BD 10 Sea

Aprendizajes esperados

• Aplicar teorema de las cuerdas, de las secantes y de la secante yla tangente en la resolución de ejercicios.

Circunferencia y círculo - proporción

Teorema de las cuerdas

Contenidos

Teorema de la secante y la

tangente

Teorema de las secantes

tangente

En la circunferencia se cumplen algunos teoremas relativos a lostrazos, en los cuales se aplican conceptos de proporcionalidad.

Estos teorema son:

- Teorema de las cuerdas

Teoremas de proporcionalidad

- Teorema de las secantes

- Teorema de la tangente y la secante

AB y cuerdas.CD

E es un punto interior de la circunferencia.

B

DA

C

E

Teorema De las cuerdas

Si en una circunferencia se trazan dos cuerdas que se cruzan,entonces se tiene la siguiente relación:

Teorema de las cuerdas

AE = EB CE ED

En la circunferencia, si EP = 4 cm, TE = 6 cm, ES = 10 cm, ¿cuánto mide el trazo RE?

Ejemplo

Completando los datos en la figura:

Aplicando el teorema de las cuerdas:

De las cuerdas

E

T

R

S

P10

4

6

RE = EP TE ES (Reemplazando)

RE 4 = 6 10 (Multiplicando)

RE 4 = 60 (Dividiendo por 4)

RE = 460

RE = 15 cm

Caso especial

OA: radio de la circunferencia

BC: cuerda

“Si una cuerda es perpendicular con unOB

C

A

D

De las cuerdas

“Si una cuerda es perpendicular con unradio, entonces la cuerda se dimidia”.

Recuerda

B

Si , entoncesOA BC

CD BD

O

Ejemplo En la figura, O es centro de la circunferencia. Si el radio de la circunferencia mide 10 cm, y TR mide 4 cm, ¿cuánto mide la cuerda PQ?

S

16

Primero, completamos los datos delenunciado en la figura, y extendemos elradio hasta el diámetro RS.O

S

16

Aplicando el teorema de las cuerdas:

PT = TQ ST TR (Reemplazando)

De las cuerdas

O Q

PR

TYa que el radio mide 10 cm, el diámetro RSmide 20 cm.

4x

x

Luego, si TR = 4 cm, entonces ST = 16 cm.

Ya que PQ RS, entonces, PT = TQ. Llamamos x = PT.

radio hasta el diámetro RS.O Q

PR

T4x

x

PT = TQ ST TR (Reemplazando)

x x = 4 16 (Multiplicando)

x2 = 64 (Extrayendo raíz cuadrada)

x = 8 cm

x = 64 (Calculando)

Finalmente, la cuerda PQ = 2x = 16 cm.

AC y secantes.EC

C es un punto exterior a la circunferencia.

C

D

E

A B

De las secantes

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dossecantes, se tiene la siguiente relación:

Teorema de las secantes

AC = BC EC DC

Ejemplo

D

En la figura, AB = 2 cm, BP = 4 cm y DP = 12 cm. ¿Cuál es lamedida de CP?


Por el teorema de las secantes se tiene

D (Reemplazando los datos en la fórmula)

DP = CP AP BP

De las secantes

B

P

A

C

2

4

12

x

Por el teorema de las secantes se tienela siguiente relación:

DP = CP AP BP

Sea x la medida de CP.

Observar que AP = AB + BP

AP = 2 + 4

AP = 6 cm.

6

B

P

A

C

4

12

x6

12 ∙ x = 6 ∙ 4 (Multiplicando)

12 ∙ x = 24 (Dividiendo por 12)

x = 1224

x = 2 cm.

Luego, el segmento CP mide 2 cm.

B

D

A

C

AB: tangente

DB: secante.

De la secante y la tangente

Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza unasecante y una tangente se tiene la siguiente relación:

Teorema de la tangente y la secante

AB = DB CB2

DC

Ejemplo

En la figura, C es punto de tangencia, AB = 6 cm y AD = 9 cm.¿Cuánto mide CD?

xDado que C es punto de tangencia,entonces es una tangente.CD


DC x

Utilizando la fórmula del teorema:

CD = AD BD2

(Reemplazando)

De la secante y de la tangente

D

B

A

6 9

3

entonces es una tangente.

Por el teorema de la tangente y lasecante se tiene la siguiente relación:

CD = AD BD2

Sea x la medida de CD.

BD = 9 – 6

BD = 3 cm.

CD

Observar que BD = AD – AB__ __ __

D

B

A

C x

3

9

x2 = 9 ∙ 3 (Extrayendo raízcuadrada)

CD = AD BD

x = 3 3

x = 9 ∙ 3

(Reemplazando)

(Descomponiendo)

Por lo tanto, la tangente CD = cm.3 3

1. En la figura, QR : RN = 1 : 2. Si PR = 18 cm y RM = 16 cm, ¿cuántomide la cuerda ?

A) 12 cmB) 16 cmC) 24 cmD) 36 cmE) 48 cm

R

N

Q

P

QN

Apliquemos nuestros conocimientos

¿Cuál es la alternativacorrecta?

E) 48 cmM


Como la proporción QR : RN = 1 : 2 implica que el segmento RN es el doble del segmento QR, entonces:

QR = k y RN = 2k.

18

P Por teorema de las cuerdas se tiene:

QR = RN PR RM (Reemplazando)


Resolución:

18

k R

N

M

Q

162k

QR = RN PR RM (Reemplazando)

k ∙ 2k = 16 ∙ 18 (Multiplicando)

2k2 = 16 ∙ 18 (Dividiendo por 2)

k2 = 2

16 ∙ 189

(Simplificando por 2)

k2 = 16 ∙ 9

k = 16 ∙ 9

k = 4 ∙ 3

k = 12

(Extrayendo raíz)

(Descomponiendo)

(Multiplicando)

18

k R

N

Q

P

162k

Conocido el valor de k, podemos calcular los segmentos desconocidos:

QR = k = 12 cm.

RN = 2k = 2 ∙ 12 = 24 cm.


Resolución:

M

QN = 12 + 24

QN = 36 cm.

QN = QR + RN

Finalmente, la cuerda QN es:

Habilidad: Análisis

D

2. En la figura, , diámetro. Si AC = 20 cm y BE = 2 cm,entonces ¿cuánto mide el radio de la circunferencia?


O

D

A

CE

BDAC BD



E) 100 cmBA

Dado que AC = 20 cm, y que , entonces se tiene que AE = EC = 10 cm.


AC BD

10

Sea x el radio de la circunferencia.O

D

C

2x – 2


Resolución:

10

10

2

El diámetro de la circunferencia equivale a dos radios, es decir, BD = 2x.

Por lo tanto, el segmento se puede expresar como:

DE

DE = 2x – 2

(Reemplazando)

O

BA

CE

DE = BD – BE

Por teorema de las cuerdas se tiene:

DE = EB AE EC

(2x – 2) ∙ 2 = 10 ∙ 10

(Reemplazando)

(Multiplicando)O

D

C10

2x – 2


Resolución:

(2x – 2) ∙ 2 = 10 ∙ 10

4x – 4 = 100

4x = 104

x = 4

104

x = 26

(Multiplicando)

(Sumando 4)

(Dividiendo por 4)

Luego, el radio mide 26 cm.

10

O

BA

CE

10

2

Habilidad: Aplicación

C

11

A) 10 cm

B) 6 cm

C) 30 cm

A

B C

D

3. En la figura BC es diámetro de la semicircunferencia, el triángulo ABCes rectángulo en C; BD = 25 cm y AD = 11 cm. La medida del segmento ACes


D) 10 cm

E) ninguna de las medidas anteriores.

11


Completando los datos en la figura:A

B C

D

25

11

Como el triángulo ABC es rectángulo en C, AC es

tangente a la circunferencia cuya mitad aparece en el dibujo, entonces se cumple que:


Resolución:

AC = AB AD2 (Reemplazando)

AC = (25 + 11) 112 (Sumando)

AC = 36 112 (Extrayendo raíz cuadrada)

AC = 11·36 (Descomponiendo)

11AC = 6

11Luego, la medida del segmento AC es 6 cm.

BHabilidad: Aplicación

4. En la figura, B es punto de tangencia. Si BC = 8 cm y AC = 16 cm,entonces ¿cuál es la medida de AD?


D

BC



A

16

8

Sea x = AD, la incógnita del problema.

D

BC

y

x

Sea y = DC.

Por teorema de la tangente y la secante se tiene:

BC = AC DC2

(Reemplazando)


Resolución:

A 82 = 16 ∙ y (Elevando)

BC = AC DC2

(Reemplazando)

(Dividiendo por 16)64 = 16 ∙ y

y = 1664

y = 4 cm.

Para calcular x se tiene:

(Reemplazando)

(Restando 4)

16

8

D

B

A

C

y = 4

x

16 = x + y

16 = x + 4

(Sustituyendo y = 4)

AC = AD + DC


Resolución:

Por lo tanto, AD = 12 cm.

(Restando 4)16 = x + 4

x = 16 – 4

x = 12

Habilidad: Aplicación

B

5. En la figura, O es centro de la circunferencia, EC es tangente en C. SiOC = 5 cm, OE = 13 cm y EB = 9 cm, entonces ¿cuál es la medida de AB?

A) 3 cmB) 7 cmC) 15 cmD) 16 cmE) Ninguna de las medidas anteriores.

OB

C E


A



Por trío pitagórico 5 – 12 – 13, se tiene que CE = 12 cm.

Sea x = AB.O

B

C E

Dado que C es punto de tangencia, OC EC , de modo que el triángulo ECO es rectángulo en C.

5 13

x

9

12

B

C E

x

9

12


Resolución:

Sea x = AB.

Por teorema de la tangente y la secante se tiene:

CE = AE BE2A (Reemplazando)

122 = (x + 9) ∙ 9 (Desarrollando)

x

A

x

144 = 9x + 81 (Restando 81)

63 = 9x (Dividiendo por 9)

7 = x

Por lo tanto, AB = 7 cm.

BHabilidad: Aplicación

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