This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
การด าเนินการบนจ านวนเชิงซ้อน สามารถให้นิยามได้ดังนี้ ความเท่ากัน a bi c di ก็ต่อเมื่อ a c และ b d การบวก a bi c di a c b d i การคูณ a bi c di ac bd bc ad i ตัวอย่ำงท่ี 7.1
1. 3 6 2 3 5 3i i i
ใช้ WolframAlpha เพ่ือหาการบวกของจ านวนเชิงซ้อน 3 6 2 3 i i ดังภาพที่ 7.1
ภาพที่ 7.1 การบวกของจ านวนเชิงซ้อน 3 6 2 3 5 3i i i
2. 7 5 1 2 6 3i i i
ใช้ WolframAlpha เพ่ือหาการลบของจ านวนเชิงซ้อน 7 5 1 2 i i ดังภาพที่ 7.2
บทนิยำมที่ 7.2 a bi เป็นจ านวนเชิงซ้อน คอนจุเกต (conjugate) ของ คือจ านวนเชิงซ้อน a bi ในการท าเศษส่วนของจ านวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูป a bi อาจท าได้ดังนี้
a c a c a c ac การแปลง ชนิดนี้เรียกว่า สมสัณฐาน (Isomorphism) และเซตของจ านวนเชิงซ้อน เป็นIsomorphism กับเซตของจ านวนจริงทั้งบวกและการคูณ จึงสรุปว่าจ านวนจริงเป็นสับเซต (subset) ของจ านวนเชิงซ้อน
7.2 กำรบวกและกำรคูณจ ำนวนจินตภำพแท้ การบวกและการคูณจ านวนจินตภาพแท้ 0,b ก็คือ 0, 0,c 0,b b c 0, 0,c 0b bc นั่นคือผลคูณของ จ านวนจินตภาพแท้สองจ านวนจะเป็นจ านวนจริงเสมอ เช่น
0,1 0,2 2,0 จะเห็นว่านิยามโดยใช้สัญลักษณ์ a bi แทนด้วย a,b นั้นเหมือนกันทุกประการ โดยที่สัญลักษณ์ทั้งสองมีความสัมพันธ์กัน คือ
จ านวนจริง ,0a a จ านวนจินตภาพแท้ 0,b bi จ านวนเชิงซ้อน ,a b a bi สมบัติปิด สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มและสมบัติการสลับที่ ทั้งการบวกและการคูณยังคงเป็นจริงอยู่ในเซตของจ านวนเชิงซ้อน เพ่ือจะแสดงว่า สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม ของผลบวกเป็นจริงนั่นคือต้องแสดงว่า
, , , , , ,a b c d e f a b c d e f พิสูจน์ , , , , ,a b c d e f a c b d e f บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 2 ,a c e b d f บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 2 ,ba c e d f สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม , ,a b c e d f บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 2 , , ,a b c d e f บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 2 เพ่ือจะแสดงว่า สมบัติการสลับที่ ของผลคูณเป็นจริงนั่นคือต้องแสดงว่า , , , ,a b c d c d a b
พิสูจน์ , , ,a b c d ac bd ad bc บทนิยามที่ 7.4 ข้อ 3 ,ca db da cb สมบัติการสลับที่ ,ca db cb da สมบัติการสลับที่ , ,c d a b ในท านองเดียวกันกฎอ่ืน ๆ อาจพิสูจน์ได้เช่นกัน ส าหรับจ านวนเชิงซ้อน ,a b
จากแนวคิดนี้ อาจเขียนจ านวนเชิงซ้อนให้อยู่ในรูปอื่นได้คือ ให้ a bi เป็นจ านวนเชิงซ้อน และ P เป็นจุดแทนจ านวนนี้ ดังนั้น P จึงมี ระบบพิกัดฉากเป็น ,a b และมีระบบพิกัดเชิงขั้ว ,r จาก 1 จะได้ cos , sina r b r ดังนั้น cos sin ______ 3a bi r i
จ านวนทางขวามือของ 3 เรียกว่าระบบพิกัดตรีโกณมิติ (trigonometric form) หรือ รูปแบบเชิงขั้วของจ านวนเชิงซ้อน a bi
จ านวน 2 2r a b เรียกว่า ค่าสัมบูรณ์ (absolute value) หรือ มอดุลัส (Modulus) ของจ านวนเชิงซ้อน และเขียนแทนด้วย a bi จ านวนทางขวามือของ 3 เรียกว่ารูปแบบพิกัดฉาก (rectangular form) ดังนั้นจ านวนเชิงซ้อนจึงเป็นเวกเตอร์ที่มีทั้งส่วนสูง (absolute value) และทิศทาง (argument) เรียกมุม ว่า อาร์กิวเมนต์ (argument) หรือ แอมพลิจูด (amplitude) เขียนแทนด้วย
arg a bi ถ้า อยู่ในช่วง , เรียกว่า ว่า อาร์กิวเมนต์หลัก (principal argument) และเขียนแทนด้วย rgA a bi ตัวอย่ำงท่ี 7.7 จงเขียน 1 i ให้อยู่ในรูปแบบพิกัดตรีโกณมิติ และรูปแบบพิกัดเชิงขั้ว วิธีท ำ เมื่อเปลี่ยน 1 i กับ a bi จะได้ 1a และ 1b
2 2 1 1 2r a b
1tan 1
1
b
a
จะได้ 454
ดังนั้น arg 14
i
และ 14
Arg i
นั่นคือ 1 2 cos45 sin 45i i อยู่ในรูปแบบพิกัดตรีโกณมิติ
ตัวอย่ำงท่ี 7.9 จงเปลี่ยน 6 cos240 sin 240i ให้อยู่ในรูปแบบพิกัดฉาก วิธีท ำ ให้ cos sina bi r i
จะได้ 1
cos 6 cos 240 6 32
a r
3
sin 6 sin 240 6 3 32
b r
ดังนั้น 6 cos240 sin 240i อยู่ในรูปแบบพิกัดฉาก คือ 3 3 3
ตัวอย่ำงท่ี 7.10 จงหามอดุลัสและอาร์กิวเมนต์ของ 3 cos sin6 6
i
วิธีท ำ จากโจทย์ มอดุลัส คือ 3
จะหาอาร์กิวเมนต์ ของ3 cos sin6 6
i
จะได้ 3 cos sin 3 cos sin6 6 6 6
i i
5 53 cos sin
6 6i
ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ คือ 5
6
7.5 กำรคูณและกำรหำรจ ำนวนเชิงซ้อน 7.5.1 กำรคูณจ ำนวนเชิงซ้อน การคูณจ านวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชิงขั้วหรือรูปแบบตรีโกณมิติ อาจจะสลับกันเล็กน้อย เพื่อความสะดวกจะเขียนย่อ cos sinr i ว่า c sr i ให้ 1 1c sr i และ 2 2c sr i เป็นจ านวนเชิงซ้อน