This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ฟังก์ชันลอการิทึม : Logarithmic Function
- 1 -
ฟังก์ชันลอการิทึม
1. อินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล จากเรื่องฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล ถ้าให้ f แทนฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล f จะมีลักษณะดังนี้
1. f: +→ 2. f = {( , ) , , }xx y y a a a= > ≠0 1
เนื่องจากว่าฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลเป็นฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (ค่า x หนึ่งค่า ให้ค่า y หนึ่งค่า) ดังนั้น อินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลจึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วย ดังนี้
1. f-1: + → 2. f-1 ={( , ) , , }yx y x a a a= > ≠0 1
จาก x = ay สามารถเขียนได้ในรูปของ y = f-1(x) โดยเราจะกําหนดสัญลักษณ์ได้เป็น y = logax (อ่านว่า ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ หรือ ล็อกเอกซ์ฐานเอ) ดังนั้น ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล จึงเขียนได้เป็น
f-1 ={( , ) log , , }ax y y x a a= > ≠0 1 เรียกฟังก์ชันดังกล่าวว่า “ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithmic Function)” นิยาม ฟังก์ชันลอการิทึม คือ {( , ) log , , }ax y y x a a+∈ × = > ≠0 1 เป็นอินเวอร์สของฟั งก์ชัน
เอกซ์โปเนนเชียล {( , ) , , }xx y y a a a+∈ × = > ≠0 1
1. y = log x2 2. y = - log x 3. y = log |x| 4. y = |log x|
2. (คณิต กข.) ข้อความต่อไปนี้ ข้อความใดเป็นจริง 1. ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลเป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันลอการิทึม 2. กราฟของฟังก์ชัน y = 10x และฟังก์ชัน y = log x มีลักษณะสมมาตรเทียบกับ y = x 3. ส่วนตัดของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลบนแกน y เท่ากับส่วนตัดของฟังก์ชันลอการิทึมบนแกน x 4. ถูกทุกข้อ
3. (คณิต ก.) จงพิจารณาว่าข้อใดผิด 1. ถ้า a > 0 และ a ≠ 1 แล้ว y = ax เป็นฟังก์ชันเพิ่ม 2. กราฟของ y = 5x ตัดกับกราฟของ y = 7x 3. อินเวอร์สฟังก์ชันของ y = ex คือ y = ln x 4. ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จากเซตของจํานวนจริงบวกไปทั่วถึงเซตของจํานวนจริง
4. (คณิต ก.) จงพิจารณาว่าข้อความใดถูก 1. ถ้า a < 1 แล้ว y = ax เป็นฟังก์ชันลด 2. โดเมนของฟังก์ชันลอการิทึม เป็นเซตของจํานวนจริง 3. ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จากเซตของจํานวนจริงบวกไปบนเซตของจํานวนจริง 4. กราฟของ y = log2 x เหมือนกับกราฟของ x = 2
y 5. (คณิต ก.) จงพิจารณาว่าข้อความใดถูก
1. กราฟของ y = ax เม่ือ a ≠ 0 ผ่านจุด (0, 1) เสมอ 2. กราฟของ y = ax เม่ือ 0 < a < 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม 3. กราฟของ y = a-x เม่ือ a > 1 เป็นฟังก์ชันลด 4. กราฟของ log(x2 – x) สําหรับทุกค่าของ x ที่เป็นจํานวนจริงบวก จะผ่าน (1, 0) เสมอ
(1,0)
ฟังก์ชันลอการิทึม : Logarithmic Function
- 6 -
3. คุณสมบตัิของลอการิทึม
กําหนดให้ M, N เป็นจํานวนเต็มบวก ซ่ึง a > 0 และ a ≠ 1 จะได้สมบัติเบื้องต้น 6 ข้อดังต่อไปนี ้1. log log loga a aMN M N= +
2. log log loga a aM
M NN= −
3. log logpa aM p M= ⋅
4. loga a 1= 5. loga 1 0=
6. loga Ma M= ซ่ึงเราสามารถพิสูจน์ได้โดยสมบัติของเลขยกกําลัง ดังนี้
1. log log loga a aMN M N= + พิสูจน์ ให้ loga M x= และ loga N y= จะได้ว่า M = ax และ N = ay ดังนั้น MN = ax ⋅ ay MN = ax + y จะได้ loga MN x y= + ∴ log log loga a aMN M N= +
2. log log loga a aM
M NN= −
พิสูจน์ ให้ loga M x= และ loga N y= จะได้ว่า M = ax และ N = ay
ดังนั้น MN
= x
y
aa
MN
= ax - y
จะได้ logaM
x yN= −
∴ log log loga a aM
M NN= −
3. log logp
a aM p M= ⋅ พิสูจน์ ให้ loga M x= จะได้ M = ax ดังนั้น Mp = (ax)p Mp = axp
จะได้ log pa M xp=
log pa M px=
∴ log logpa aM p M= ⋅
ฟังก์ชันลอการิทึม : Logarithmic Function
- 7 -
4. loga a 1= พิสูจน์ ให้ loga a x= จะได้ ax = a ดังนั้น x = 1 ∴ loga a = 1