This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Sample space เขยนแทนดวย S Sample space จากการทดลองเมอมการตรวจสอบอยางละเอยดจากการเลนเทนนสพบวาสามารถไดดงน S = { ด , บกพรอง } แตละสมาชกของ Sample space เรยกวา Sample point ตารางท 4 แสดงตวอยางของการทดลอง ผลลพธ และ เซตสากล ( Sample space )
หรอ tree diagram คอรปภาพ ( สวนประกอบของรปเรขาคณต เชน สเหลยมมมฉาก หรอวงกลม ) บรรยายถงความเปนไปไดของผลลพธจากการทดลอง ใน tree diagram ผลลพธโดยสาขาของตนไม Vann diagram และ tree diagram ท าใหคณเขาใจความหมายของความนาจะเปน ทแสดงเสมอน ตวอยาง 4.1 จนถงตวอยาง 4. 3 ทบรรยายโดยใชรปภาพส าหรบการทดลองทางสถต ตวอยาง 4.1 วาดภาพ Vann diagram และ tree diagram จากการทดลองโยนเหรยญหนงครง วธแกปญหา
การทดลองมสองผลลพธทแสดงความเปนไปได : หว และ กอย ผลทตามมา Sample space เขยนไดดงน S = { H ,T } H = Head และ T = Tail วาดภาพ Vann diagram ส าหรบตวอยาง โดยการวาดรป สเหลยมมมฉากท าจดสองจดในรปสเหลยมมมฉากเพอแสดงสองผลลพธ คอ หวและกอย เขยนอกษร S นอกรปสเหลยมมมฉากเพราะเปนการแสดงถง Sample space ( ในรป 4.1a ) วาดภาพ tree diagram โดยการเรมวาดรป
สองกงทแสดงถง Sample point กงทหนงแสดงถงหว กงทสองแสดงถงกอย ผลลพธสดทายทไดแสดงถงรายละเอยดของสาขา รปภาพ 4.1 a. Vann diagram b. tree diagram จากการโยนเหรยญหนงครง ผลลพธ S H head Tail T
( a ) ( b ) ตวอยาง 4.2 วาดภาพ Vann diagram และ tree diagram จากการทดลองโยนเหรยญสองครง วธแกปญหา
เหตการณรวมเขยนแทนดวย A ,B , C , D ……………หรอ แทนดวย A1 , A2 , A3, ……., B1 , B2 , B3 ตวอยาง 4.5 และ 4.6 บรรยายเรองของเหตการณรวม ตวอยาง 4.5 พจารณาจากตวอยาง 4.3 เลอกสองคนจากสมาชกในชมรมและสงเกตเหนวาสมาชกของชมรมมสองประเภทคอ ผชายและผหญง A เปนเหตการณทผชายถกเลอกหนงคน เหตการณ A จะเกดขนทไมใชผชายหรอผหญงทถกเลอก ดงนน เหตการณ A เขยนไดดงน
A = { MW , WM, WW }
เพราะเหตการณ A มากกวาหนงผลลพธ นคอ เหตการณรวม ในรป 4.4 เปนภาพแสดง เหตการณรวม A S
A MW
MW WM WW
ตวอยางท 4.6 ในกลมบคคล ทมจ านวนหนงทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร และมบางกลมทตอตาน ตองการสมเลอกสองคนจากกลมจากทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร และมบางกลมทตอตาน จ านวนผลลพธทแสดงความเปนไปไดมเทาไร วาดรป Vann diagram tree diagram จากการทดลอง อธบายรายละเอยดทกลาวถงเหตการณเดยวและเหตการณรวม a. ทงคทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร b. อยางมากทสดทตอตานวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร c. โดยแนนอนบคคลทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร วธแกปญหา ให F = บคคลทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร A = บคคลทตอตานวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร
ผลลพธทไดจากการทดลองม 4 ดงน FF = ทงคทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร FA = หนงคนทสนบสนนและสองคนทตอตาน AF = หนงคนทตอตานและสองคนทสนบสนน AA = ทงคทตอตานวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร Vann diagram tree diagram เลอกครงแรก เลอกครงทสอง ผลลพธสดทาย S F EF F A FA A F FA A (a ) ( b ) AA
FF٠ ٠FA
AF ٠ ٠ AA
(a ) เหตการณทบคคลทงคทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร จะเกดผลลพธคอ FF ทงคทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร = { FF } เพราะเหตการณทสรปไดมเพยงหนงจาก 4 ผลลพธ คอ เหตการณเดยว ( b ) เหตการณ อยางมากทสดทตอตานวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร จะเกดขน ถาไมมอนใดอนหนง หรอสงหนงของบคคลทเลอกคอตอตาน ดงนน อยางมากทสดทตอตานวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร = { FF , FA , AF } เพราะเหตการณทสรปไดมมากกวาหนงผลลพธ คอ เหตการณรวม ( c ) เหตการณโดยแนนอนบคคลทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร จะเกดขนจากการสมเลอกสองคนในกลมคนทตอตานและคนทสนบสนน วศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร ดงนน สรปไดม 2 ผลลพธ โดยแนนอนบคคลทสนบสนนวศวกรรมเกยวกบพนธศาสตร = { FA } เพราะเหตการณทสรปไดมมากกวาหนงผลลพธ คอ เหตการณรวม
4.2 การค านวณความนาจะเปน ความนาจะเปนมความเหมอนของการปรากฏของเหตการณ คอแทนดวย P ความนาจะเปนเปนเหตการณเดยว Ei จะเกดขนคอการแทนดวย P ( Ei ) และความนาจะเปนของเหตการณรวมทจะเกดขนแทนดวย P ( A ) ค านยาม ความนาจะเปน คอเครองมอวดเกยวกบตวเลขของความเหมอนสงนนกบเหตการณทมความจ าเพาะเจาะจงเกดขน คณสมบตของความนาจะเปน 1. ความนาจะเปนของเหตการณจะมคาอยระหวาง 0 ถง 1 ไมวาจะเปนเหตการณเดยวหรอเหตการณรวม ความนาจะเปนเปนเหตการณทไมนอยกวา 0 แตไมมากกวา 1 ใชสญลกษณทางคณตศาสตร สามารถเขยนไดดงน 10 iEP 10 AP เหตการณทไมเกดขนเลยความนาจะเปนมคาเทากบ 0 เรยกเหตการณนวา เหตการณทไมมโอกาสเกดขน เหตการณทเกดขนแนนอนความนาจะเปนมคาเทากบ 1 เรยกเหตการณนวา เหตการณทเกดขนแนนอน ดงน เหตการณทไมมโอกาสเกดขน P ( M ) = 0
เหตการณทเกดขนแนนอน P ( C ) = 1 2. ผลรวมของความนาจะเปนทงหมดของเหตการณเดยวทมาจากการทดลองเขยนแทนดวย iEP มคาเทากบ 1 1.........321 EPEPEPEP i จากคณสมบตน ในการทดลองโยนเหรยญหนงครง
P ( H ) + P ( T ) = 1 จากคณสมบตน ในการทดลองโยนเหรยญสองครง
P ( HH ) + P ( HT ) + P (T H) + P ( TT ) = 1 ในการเลนเกมฟตบอล
การใชความถสมพทธในการหาความนาจะเปน ถาการทดลองแทนดวย n และเหตการณ A ทไดจากการสงเกตแทนดวย f ตามทความสมพนธของความถในการหาความนาจะเปนจะได
n
fAP
ตวอยางท 4.10 ถง 4.11 แสดงความนาจะเปนของเหตการณทมการประมาณโดยใชความสมพนธของความถ ตวอยางท 4.10 สมเลอกรถ 10 คนจาก 500 คน ทมการผลตในบรษท สมมตมการสม เลอกรถ lemon ความนาจะเปนถดไปทจะเปนรถทผลตในบรษทเปนรถ lemon วธแกปญหา ให n แทนจ านวนทงหมดของรถในกลมตวอยาง และ f แทนจ านวน lemon ทงหมด ดงนน N = 500 และ f = 10 ใชความสมพนธของความถในการหาความนาจะเปน
P( next car is a lemon ) = 02.500
10
n
f
ความนาจะเปนทงหมดทแสดงความสมพนธของความถของรถ lemon ใน 500 คน ตาราง 4.2 แสดงการแจกแจงความสมพนธของความถจากกลมตวอยางของรถ รถ f ความสมพนธของความถ Good 490 490 / 500 = 0. 98 Lemon 10 10 / 500 = 0. 02 n = 500 Sum = 1.00 จากความสมพนธของความถในตาราง 4.2 ใชความนาจะเปนในการประมาณคา ดงนนจากความสมพนธของความถในตาราง P( next car is lemon) = 0.02 P( next car is good car ) = 0.08
จากความสมพนธของความถไมใชความนาจะเปนแตใชการประมาณคาความนาจะเปน อยางไรกตาม ถาการท ดลองมการแทนทหลายๆครง การประมาณคาความนาจะเปนของเหตการณจากผลลพธจากความถสมพทธ จะมความเหมาะสมในการแสดงผลลพธ เรยกวา กฎของจ านวน ค านยาม กฎของจ านวน ถาการทดลองมการแทนทหลายๆครง ความนาจะเปนของเหตการณจากความถสมพทธมความเหมาะตามความเปนจรง หรอเกยวกบทฤษฎ ตวอยาง 4.11 Allison ตองการตดสนใจเลอกความนาเปนในการสมเลอกครอบครวจากสถานะการรบบานใน New York จะใชวธการอยางไรในการเลอกความนาจะเปน วธแกปญหา มสองผลลพธจากการสมเลอกจากรฐใน New York คอครอบครวทยอมรบบาน และครอบครวทไมยอมรบบาน มสองเหตการณทเปนไปไดเหมอนกน ดงนน ทฤษฎความนาจะเปนไมสามารถทจะประยกตใชได อยางไรกตามเรากสามารถทจะแทนทดวยการทดลองอกครง ในทางตรงกนขาม เราสามารถทจะเลอกกลมตวอยางของครอบครวจากรฐใน New York และสงเกตจากการเลอกบาน ดงนน เราจะตองใชความถสมพทธในการเลอกความนาจะเปนนาจะเปนการเหมาะสมกวา สมมตวา Allison เลอกกลมตวอยาง 1,000 ครอบครวจากรฐใน New York และการสงเกตจากคนทมบานเปนของตวเองจ านวน 670 ครอบครว และจาก 330 ครอบครวเปนครอบครวทไมมบานเปนของตนเอง n = จ านวนกลมตวอยาง = 1,000 f = จ านวนครอบครวทมบานเปนของตนเอง 670 ครอบครว ดงนน
TT นคอผลลพธจาก เหตการณทไมเกดรวมกน เพราะวา มเพยงหนงหรอนอยกวาหนงผลลพธเทานนทจะเกดขน เมอมการโยนเหรยญสองครง ตวอยาง 4.17 พจารณาจากเหตการณทมการโยนลกเตาหนงครง A = เปนเหตการณทโยนได = { 2 , 4 , 6 } B = เปนเหตการณทโยนได = { 1, 3 , 5 } C = เปนเหตการณทโยนไดนอยกวา 5 = { 1 , 2 , 3 , 4 , } คดวาเหตการณ A และ B เปนเหตการณทไมเกดรวมหรอไม ?และคดวาเหตการณ A และ C เปน เหตการณทไมเกดรวมกนหรอไม? วธแกปญหา รปภาพ 4.8 และ 4.6 ทมการวาดภาพ Venn diagram จากเหตการณ A และ B และ เหตการณ A และ C ตามล าดบ S S รปท 4.8 เหตการณ A และ B รปท 4.9 เหตการณ A และ C เปน เหตการณทไมเกดรวมกน เปนเหตการณทไมใชเปน เหตการณทไมเกด รวมกน เราสามารถสงเกตจากค านยามจากเหตการณ A และ B จากรป 4.8 เหตการณ A และ B ไมมสมาชกตวใดทรวมกน จากการโยนลกเตาหนงหนงครง หากมหนงหรอสองเหตการณทเกดขนในเหตการณ ดงนนทงสองนเปนเหตการณทไมเกดรวมกน ถาสงเกตจากค านยามจากเหตการณ A และ C จากรป 4.9 เหตการณ A และ C มสมาชก 2 ตวทรวมกน คอ 2 และ 4 ดงนน ดงนน ถาเราโยนลกเตาแลวรบได 2 และ 4 ดงนน A และ C เกดขนในเวลาเดยวกน ดงนน เหตการณ A และ C เปนเหตการณทไมเกดรวมกน ตวอยาง 4.18 พจารณาการเลอกสองเหตการณจากการสมเลอกผใหญ
A
1 5
3
B
2 6
4
A
C
Y = ผใหญทซอของในอนเตอรเนตอยางนอยทสด N = ผใหญทไมเคยซอของในอนเตอรเนต เหตการณ Y และ เหตการณ N เปนเหตการณทไมเกดรวมกนหรอไม วธแกปญหา เหตการณ y ประกอบดวย ผใหญทซอของใน อนเตอรเนตอยางนอยทสดอยางนอยทสดและ เหตการณ N เปนผใหญทไมเคยซอของในอนเตอรเนตทงสองเหตการณแสดงรปภาพ Venn diagram
S
เราสามารถสงเกตค านยามจาก เหตการณ Y และ เหตการณ N จากรป 4.10 จาก เหตการณ Y และ เหตการณ N ไมมผลลพธใดทเกยวของกนเลย เราสามารถทจะแสดงความแตกตางของทงสองเซตคอ ผใหญทซอของในอนเตอรเนต อยางนอยทสด และผใหญทไมเคยซอของในอนเตอรเนต ดงนน เหตการณทงสองเปนเหตการณทไมเกดรวมกน
4.6 การเปรยบเทยบเหตการณทเปนอสระกบเหตการณทไมเปนอสระ ส าหรบเหตการณใดๆสองเหตการณทเปนอสระ ทอสระ ถาเหตการณหนงทเกดขนไมมผลท าใหโอกาสทอกเหตการณหนงจะเกดขนเปลยนไป ค านยาม เหตการณทเปนอสระ ถามสองเหตการณกลาวไดวา เหตการณทเปนอสระ เมอเกดขนหนงแลวไมมผลกระทบตอความนาจะเปนของเหตการณทจะเกดขนอน ในทางเดยวกน A และ B เปนเหตการณดงกลาว เลอกอยางใดอยางหนง P(B|A) = P (A ) หรอ P(A|B) = P (B )
P(D|A) = 9 / 60 = .15 เพราะสองเหตการณของความนาจะเปน เปนเหตการณทเปนอสระตอกน เราสามารถท าใหการสงเกตทงสองเหตการณทมความส าคญเปนเหตการณทไมเกดรวมกน เปนเหตการณทเปนอสระและไมเปนอสระ 1. สองเหตการณเปนเหตการณทไมเกดรวมกนหรอเหตการณทเปนอสระ a. เหตการณทไมเกดรวมกนคอเหตการณทเปนอสระ b. เหตการณทเปนอสระเปนเหตการณทไมเกดรวมกน
4.7 คอมพลเมนทของเหตการณ ถามสอง เหตการณทไมเกดรวมกน ผลลพธทไดจากการทดลองคอคอมพลเมนทของเหตการณ แสดงดวยคอมพลเมนทของเหตการณเปนเหตการณทไมเกดรวมกนเสมอ ค านยาม คอมพลเมนตของเหตการณ เหตการณ A เขยนแสดงดวย A อานวา A บาร หรอ A คอมพลเมนท หมายถงเหตการณซงเปนผลลพธมาจากการทดลองแตไมใชเหตการณทอยในเหตการณ A เหตการณ A และ A เปนคอมพลเมนท ดงแสดงใน ภาพท 4.1 ทใช Vann diagram ทแสดงคอมพลเมนทของเหตการณ A และ A S
A
A
รปภาพท 4.1 Vann diagram แสดงสองเหตการณทคอมพลเมนท เพราะสองเหตการณทมสวนประกอบดวยกน สามารถสรปไดจากผลการทดลอง เพราะผลรวมของความนาจะเปนเทากบ 1 แสดงไดดงน
P ( A ) + P ( A ) = 1 จากสมการทเราสามารถอนมานไดดงน P ( A ) = 1 - P ( A ) และ P ( A ) = 1 - P ( A )
1,200 คนทตอตาน และ 300 คนทไมแสดงความคดเหน การสมเลอกผใหญจากกลม เหตการณ A เปนเหตการณทมการสนบสนนการมกฎหมายควบคม อะไรคอคอมพลเมนทของเหตการณ A และความนาจะเปนของเหตการณสองเหตการณ วธแกปญหา สองเหตการณซงเปนคอมพลเมนทส าหรบทดลองน A = เลอกจากผทสนบสนนใหมการกฎหมายควบคม
A = เลอกจากผทตอตานกฎหมายหรอคนทไมแสดงความคดเหน กลาวถงในเหตการณ A สรปวา ผใหญจ านวน 1500 คน ผซงตอตานการควบคม
กฎหมายหรอไมแสดงความคดเห น สงเกตไดจากเหตการณ A และ A ทคอมพลเมนทจากเหตการณอน เพราะ มผใหญ 3500 คน ในกลมผทสนบสนนใหมการกฎหมายควบคม และ 1500 คน ผทตอตานกฎหมายหรอคนทไมแสดงความคดเหน ความนาจะเปนของเหตการณ A และ A
P ( A ) = 3500 / 5000 = .70 และ P ( A ) = 1500 / 5000 = .30 เราสามารถสงเกตผลรวมของความนาจะเปนทงสองเทากบ 1
ยงพบวา P ( A ) หาความนาจะเปนของ P ( A ) ไดจาก P ( A ) = 1 - P ( A ) = 1 - .70 = .30
รปภาพ 4.13 แสดง Vann diagram จากตวอยาง รปภาพ 4.13 แสดง Vann diagram S
ค านยาม อนเตอรเซคชนของเหตการณ ให A และ B เปนสองเหตการณทอยใน Sample space
อนเตอรเซคชนของเหตการณ A และ B แทนดวยกลมของผลลพธทรวมกนของสองเหตการณ A และ B แสดงโดย A และ B อนเตอรเซคชนของเหตการณ ให A และ B แทนโดยอยางใดอยางหนง BA หรอ AB ให A = เหตการณทครอบครวยอมรบเครองเลน DVD B = เหตการณทครอบครวยอมรบกลองถายรปดจตอล รปภาพ 4.14 แสดงอนเตอรเซคชนของเหตการณ A และ B ทแสดงพนทของการอนเตอรเซคชนของเหตการณ A และ B แสดงวาครอบครวยอมรบเครองเลน DVDและครอบครวยอมรบกลองถายรปดจตอลมสวนทเกยวของกน รปภาพ 4.14 แสดงอนเตอรเซคชนของเหตการณ A และ B