Page 1
97
บทท่ี 6 แรงปฏิกิริยาและฐานรองรับ
6.1 ความน า การวิเคราะห์เพื่อการออกแบบ หาขนาดและความแข็งแรงของโครงสร้างอาคาร จะต้องอาศัยการก าหนดสัญลักษณ์แทนชิ้นส่วนโครงสร้าง จากชิ้นส่วนจริงโครงสร้างทุกประเภทจะต้องมีที่รองรับที่เหมาะสม เพื่อให้โครงสร้างนั้นเกิดการสมดุล 6.2 สัญลักษณ์ของแรงปฏิกิริยา ในโครงสร้างจริงจุดต่อและจุดที่รองรับมีด้วยกันหลายรูปแบบ เมื่อเขียนออกมาเ พื่อการค านวณจะต้องมีรูปแบบ สัญลักษณ์และเคร่ืองหมายเฉพาะโครงสร้างโดยทั่วไปมีที่รองรับอยู่ 3 แบบคือ 6.2.1 แบบยึดหมุน (Hinge) ที่รองรับแบบนี้ จะไม่มีการเคลื่อนที่การท างานคล้ายบานพับ คือหมุนได้รอบแกน ค่าของโมเมนต์ที่จุดนี้มีค่าเป็นศูนย์ สามารถจะรับแรงได้ทั้งแนวดิ่งและแนวนอน มีแรงปฏิกิริยาเกิดขึ้น2ทางดูตามรูปที่ 6.1 ก และ ข
รูปท่ี 6.1 ก และ ข
6.2.2 แบบหมุนและเคลี่อนที่ได้ทางเดียว (Roller Support) เป็นที่รองรับไม่สามารถรับโมเมนต์ดัดได้ที่หมุนได้ ที่รองรับชนิดนี้สามารถหาแรงได้ตามแนวด่ิงอย่างเดียว มีแรงปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นในแนวว่ิงดูตามรูปที่ 6.2 ก และ ข
(ก) (ข)
Page 2
98
รูปท่ี 6.2 ก และ ข
6.2.3 แบบยึดแน่น (Fixed support) ที่รองรับแบบนี้จะยึดแน่นอยู่กับที่ไม่สามารถหมุนได้ไม่สามารถเคลื่อนที่ จึงเกิดมีปฏิกิริยาทุกทางและโมเมนต์ของจุดนี้ไม่เท่ากับศูนย์ ดูตามรูปที่ 6.3 ก และ ข
รูปท่ี 6.3 ก และ ข
6.3 ชนิดของคาน
M
M
A
A
Page 3
99
ชนิดของคานแบ่งตามที่รองรับได้ดังน้ี 6.3.1 คานอย่างง่าย (Simple beam) เป็นคานช่วงเดียวมีที่รองรับ (Support) เป็นแบบ Hinge และแบบ Roller เมื่อมีน้ าหนักภายนอกมากระท าจะเกิดการแอ่นโค้งตลอดคาน ตามรูปที่ 6.4 ก เป็นรูปอาคารอย่างง่าย A – B เป็นที่รองรับเป็นคานไม้ และขันน๊อตติดกับเสาอีกข้างหนึ่งสอดเข้ารูกลางเสาจะได้รูปการวิเคราะห์โครงสร้าง ตามรูปที่ 6.4 ข และเส้นปะ คือ เส้นการแอ่น (Elastic curve)
รูปท่ี 6.4 ก และ ข
6.3.2 คานยึดปลาย (Fixed-end beam) หมายถึงคานที่มีที่รองรับทั้งสองข้างเป็นแบบยึดแน่น การแอ่นของคานชนิดนี้ เมื่อมีน้ าหนักบรรทุกมากระท าตรงปลายยึดเกือบจะไม่เกิดการแอ่น แต่ตรงกลางคายเกิดการแอ่น ตามรูปที่ 6.5 ก เป็นอาคารจริงส่วนรูปที่ 6.5 ข เป็นโครงสร้างวิเคราะห์ปลายคาน A – B เชื่อมกับเสา ซึ่งคานนี้รับน้ าหนักพื้น น้ าหนักบรรทุก และผนังอิฐ
P
เส้นการแอ่น
Page 4
100
รูปท่ี 6.5 ก และ ข
6.3.3 คานยื่น (Cantilever beam) หมายถึงคานมีที่รองรับข้างหนึ่งยึดแน่น อีกข้างหนึ่งไม่มีที่รองรับ ตามรูปที่ 6.6 (ข)
รูปท่ี 6.6 ก และ ข
6.3.4 คานปลายยื่น (Over – hanging beam) หมายถึงคานที่ยื่นปลายออกจากที่รองรับจะยื่นข้างเดียว หรือ ทั้งสองข้างก็ได้ ตามรูปที่ 6.7 ก และ ข
W kg/m
C
Page 5
101
รูปท่ี 6.7 ก และ ข
6.3.5 คานต่อเนื่อง (Continuous beam) หมายถึงคานที่มีที่รองรับมากกว่า 2 แห่ง ดูตามรูที่ 6.8 (ก)(ข)
รูปท่ี 6.8 ก และ ข
6.4 การหาแรงปฏิกิริยาในโครงสร้าง ดังกล่าวตามข้อ 10.2 สามารถแบ่งตามลักษณะของแรงปฏิกิริยาได้ 2 แบบ คือ
P1 P2 W /m
m /m
P1 P2 w/m
w/m
Page 6
102
6.4.1 โครงสร้างแบบง่าย (Statically deteminate structure) คือ โครงสร้างที่ มีจ านวนแรงปฏิกิริยาเท่ากับสามสมการสมดุลย์ สามารถจะหาแรงปฏิกิริยาได้โดยสมการสมดุลย์ เมื่อโครงสร้างนั้นอยู่ในภาวะสมดุลย์ คือ 1. 0H 2. 0V 3. 0M ตามรูปที่ 6.9 (ก)(ข)(ค) เป็นโครงสร้างแบบง่าย
รูปท่ี 6.9 (ก) มีปฏิกิริยา 3 ตัว คือ
รูปท่ี 6.9 (ข) มีปฏิกิริยา 3 ตัว คือ
รูปท่ี 6.9 (ข) มีปฏิกิริยา 3 ตัว คือ
รูปที่ 6.9 (ค) เป็นคานต่อเน่ืองก็จริงแต่มีตัวเชื่อม คือ จุด E โครงสร้างต่อกันด้วยจุดหมุน (hinge) จุดนี้ไม่มีการถ่ายโมเมนต์ฉะนั้นสมการแยกออกมาได้ 2 คานและเป็นโครงสร้างอย่างง่ายดังรูปที่ 6.10
Page 7
103
รูปท่ี 6.10 แสดงคานที่มีจุดต่อเป็นจุดหมุน(hinge)
6.4.2 โครงสร้างแบบยาก (Statically Indeterminate structure) คือโครงสร้างที่มีตัวปฏิกิริยาเกินสมควรสมดุลย์ ดูตามรูปที่ 6.11 ก. คานมีปฏิกิริยา 6 ตัว เกินสมการสมดุลย์อยู่ 3 ตัวหรือตามรูปที่ 6.11 ข. มีปฏิกิริยาอยู่ 4 ตัว
รูปท่ี 6.11 แสดงโครงสร้างแบบยาก
การหาแรงปฏิกิริยาในที่นี้จะกล่าวเฉพาะการหาปฏิกิริยาของโครงสร้างแบบง่ายทั้งวิธีเขียนรูป
และวิธีค านวณ 6.4.2.1 วิธีเขียนรูป (Graphical method) ข้อสมมติเบื้องต้น (1) เขียนแทนด้วยเวคเตอร์ คือ ขนาดแทนด้วยเส้นตรง ทิศทางแทนได้ด้วยหัวลูกศร (2) ภาวะสมดุลย์จะเกิดขึ้นได้ เมื่อมีแรงตั้งแต่ 2 แรงขึ้นไป
(ก)
(ข)
E
Page 8
104
(3) ถ้ามีแรงสองแรงไม่ขนานกัน สามารถจะหาแรงลัพธ์ได้โดยการเขียนรูป (4) สร้างรูปหลายเหลี่ยมแทนแรง ดูตามรูปที่ 6.12 จะเห็นว่ามีแรง ก ข ค ง และ จ กระท าต่อคานสามารถจะหาแรงลัพธ์รวมและแรงปฏิกิริยาได้ดังนี้ คือ ใช้มาตราส่วนก าหนดขนาดของแรง เช่น 10 กก.ต่อ 1 ชม. ลากเส้นตรงให้ขนานกับแรง ก ข ค ง และ จ ต่อกันไป จะได้เส้น a b c d e f ขั้นตอนที่ 2 ก าหนดจุดรวม (pole) คือจุด P ลากเส้นตรงจาก a, b, c, d, e, f, & P ขั้นตอนที่ 3 ลากเส้นตรงเส้นหนึ่งให้ขนานกับเส้น a – P ตัดเส้นตรงที่ต่อจากแนวแรง ก ที่จุด 1 ลากเส้นตรงจาก 1 ให้ขนานกับ b – p ตัดเส้นต่อจากแนวแรง ข ที่จุด 2 ตามล าดับ จนถึงเส้น f – p เรียกรูปนี้ว่า Equilibrium polygon ขั้นตอนที่ 4 ลากเส้นตรงทับเส้น ก – 1 และเส้น จ – 5 จะตัดกันที่จุด g เป็นจุดที่แรงลัพธ์ลากเส้นตรงจาก P ให้ขนานกับ 1 – 5 จะได้ตัดกับเส้น a - f ที่จุด 0 เส้น a – 0 จะแทนปฏิกิริยาที่จุด ก และระยะทาง 0 – f จะแทนปฏิกิริยาที่จุด จ
รูปท่ี 6.12
Page 9
105
ตัวอย่างที่ 6.1 จงหาขนาดของแรงปฏิกิริยาที่ A และ B ตามรูปที่ 6.13
รูปท่ี 6.13 วิธีท า 1. ก าหนดอักษร a, b ลงบนเส้นตรง A – B 2. ก าหนดมาตราส่วนความยาว คือ 2 ซม. แทน 1 ม. และ 500 กก. แทน 1 ซม. 3.ก าหนดเส้นตรง AB ในแนวด่ิงขนานกับแนวราบ 2000 kg ก าหนดจุด p ลากเส้น a-p และ b-p จากจุดในแนวดิ่งที่จุด A ลากเส้นขนานกับ a-p ตัดเส้นแนวดิ่งที่ลากตามแนว 2000 kg และลากเส้น 2-3 ขนานกับเส้น b-p จากนั้นลากเส้น 1-3 และop ขนานกับ 1-3 จุด 0 จะเป็นจุดแบ่งขนาดของแรงปฏิกิริยา วัดขนาดของแรง ตามรูปที่ 10.13
.กก1200obR
.กก800aoR
B
A
6.4.2.2 โดยวิธีค านวณ (Analytical Method) ถ้ามีแรงมากระท าต่อโครงสร้างแบบง่าย (Determinate Structure) และโครงสร้างนั้นอยู่ในภาวะสมดุลย์สามสมการต่อไปนี้ เป็นจริงเสมอ ( 1) H = 0 (ผลบวกทางพีชคณิตของแรงตามแนวนอน = 0) ( 2) V = 0 (ผลรวมทางพีชคณิตของแรงตามแนวด่ิง = 0) (3) M = 0 (ผลรวมทางพีชคณิตของโมเมนต์ของแรงรอบจุดใด ๆ = 0)
2000 kg
Page 10
106
ตัวอย่างที่ 6.2 คาน A – B เป็นคานอย่างง่าย (Simple Beam) จงหาแรงปฏิกิริยา RA และ RB
รูปท่ี 6.14
วิธีท า เมื่อคาน A – B อยู่ในภาวะสมดุลย์ จะได้ H = 0 ................(1) V = 0 ................(2) M = 0 ................(3) ที่รองรับ A มี แรงปฏิกิริยา 2 แรง คือ HA และ VA ที่รองรับ B มีแรงปฏิกิริยา 1 แรง คือ VB ให้โมเมนต์ของแรงหมุนรอบจุด A ให้พิจารณาตามล าดับทีละแรง MA = 0 (ผลรวมทางพีชคณิตของแรงรอบจุด A เท่ากับศูนย์) +400 x 2 - VB x 4 = 0 - VB x 4 = - 800
VB = 4
800
VB = 200 กก. V = 0 (ผลรวมของแรงตามแนวด่ิง = 0) VA+ VB- 400 = 0 แต่ VB = 200 กก. VA = 200 – 400 = 0 VA = 200 กก. ตอบ
Page 11
107
ตัวอย่างที่ 6.3 คาน AB เป็นคานอย่างง่ายมีน้ าหนักเฉลี่ยสม่ าเสมอจงหาแรงปฏิกิริยาที่ A และB ตามรูปที่ 6.15
รูปท่ี 6.15
วิธีท า เขียนแรงปฏิกิริยาที่ A และ B ได้ HA, VA, และ VB ตามล าดับ ต้องการหา VB ให้โมเมนต์ของแรงต่าง ๆ หมุนรอบจุด A MA = 0
(400x4)x24 - VB x 4 = 0
- VB x 4 = - 3200 VB = 800 กก. V = 0 VA+ VB- 400 x 4 = 0 VA+ 800- 1600 = 0 VA = 800 กก. ตอบ ตัวอย่างที่ 6.4 จงหา Reaction ของ Support A, และ Support B ดังรูปที่ 6.16
รูปท่ี 6.16
Page 12
108
วิธีท า เมื่อมีน้ าหนักกดลงบนคานมากเท่าไรปฏิกิริยา ที่ A และ B ก็จะต้านไว้มากตามไปด้วย เพื่อรักษาสภาพของคาน AB ให้อยู่ในภาวะสมดุลย์ การรักษาสภาวะสมดุล ของคาน AB จะมีผลท าให้ ;0MA ;0MB
;0V ;0H จาก 0MA
+200 x 2 + 400 x 3 + 600 x 6 - RB x 7 = 0 RB = 742 กก. จาก 0V
RA+ RB-200-400-600 = 0 RA = 1200 – 742 = 458 กก. ตอบ ตัวอย่างที่ 6.5 จงหา Reaction ของคานดังรูป 6.17
รูปท่ี 6.17
วิธีท า Sketch free body diagram ของคานจะได้ดังรูป
Page 13
109
H = 0
HA- P53
= 0
HA = P53
MA = 0
- RB x L + P54
x L41
= 0
RB = P51
V = 0
P54
- RA- RB = 0
RA = P53
ตรวจสอบ
MB = 0
53
x Px L - P54
x L43
= 0
P53
- P53
= 0 ตอบ
หมายเหตุ ในกรณีที่มีน้ าหนักภายนอกมากระท าต่อคานหลาย ๆ อัน เพื่อการสับสนเคร่ืองหมายโมเมนต์ของแรงจึงขอก าหนดเคร่ืองหมายไว้ดังนี้ เมื่อหาโมเมนต์รอบจุดใด ๆ ถ้าโมเมนต์หมุนไปตามเข็มนาฬิกาก็ให้เคร่ืองหมายเป็น + และถ้าโมเมนต์หมุนทวนเข็มนาฬิกาก็ให้เคร่ืองหมายเป็น -,
Page 14
110
ตัวอย่างที่ 6.6 จงหา Reaction ของคานดังรูป 6.19
รูปที่ 6.19
วิธีท า
MA = 0
- P x 6 + RA x 5- P x 4- P x 2 x
22
+ P x 1 = 0
RA = 5P11
MA = 0
- P x 1+ P x 1+(P x 2)x
22
21 -RB x 5 + P x 6 = 0
RB = 5P14
ตรวจสอบ
V = 0 +RA+RB- P – P – P x 2 - P = 0
5P11
+5P14
- 5P = 0 ตอบ
kg/m
Page 15
111
แบบฝึกหัดบทที่ 6 จงหา Reaction ของ Support ต่อไปนี้
(1)
รูปท่ี 6.20 (2)
รูปท่ี 6.21 (3)
รูปท่ี 6.22
P1 P2
400 kg
A B
l
P
A B
A B
A
a b c
2.00 2.00
Page 16
112
(4)
รูปท่ี 6.23
(5)
รูปท่ี 6.24 (6)
รูปท่ี 6.25
(7)
รูปท่ี 6.26
w kg/m
400 kg/m
600 kg/m
800 kg
800 kg
A B
l
A B
l
A B
A B
2.00 1.00 2.00
1.00 1.00 4.00
Page 17
113
(8)
รูปท่ี 6.27
(9)
รูปท่ี 6.28
(9)
รูปท่ี 6.29
(10) รูปท่ี 6.30
2000 kg/m
200 kg/m
A B
1.00 6.00
A B
B
A
4.00 2.00 1.50
2.00 2.00 2.00
800 kg/m 400 kg
Hing
P
l
Page 18
114
(11) รูปท่ี 6.31
รูปท่ี 6.32
(12)
รูปท่ี 6.33 (13)
รูปท่ี 6.34
w kg/m
w kg/m
200 kg/m
200 kg
2.00
Page 19
115
(14)
รูปท่ี 6.35