Page 1
ใบความรท 1.1.1 (ก)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.1(ก) ใหเขาใจถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและเตมตวเลขลงในชองวางใหสมบรณ 1.1 ค�กล�งของขอมล
การวเคาระหขอมลเบองตนนอกจากจะทำาโดยการสรางตารางแจกแจงความถหรอกราฟดงไดกลาวมาแลว การหาคากลางซงเปนตวแทนของขอมลทงหมดไวใช เพอสะดวกในการจดจำาหรอสรปเรองราวทเกยวกบขอมลนนๆจะชวยใหการวเคาระหขอมลเบองตนดขน เชนผอำานวยการโรงเรยนตองการทราบผลการเรยนวชาคณตศาสตรของนกเรยนชนตางๆของปทผานมา วาเปนอยางไร แทนทผอำานวยการจะตองทราบระดบคะแนนของวชาคณตศาสตรของนกเรยนแตละคนในแตละชน อาจทราบเพยงคากลางของระดบคะแนนของวชาคณตศาสตรของนกเรยนในแตละชนกเพยงพอทจะตดสนใจไดโดยกวางๆวาผลการเรยนวชาคณตศาสตรของแตละชนเปนอยางไร คากลางมทงหมด 6 ชนดแตทนยมใชมอย 3 ชนดแรกคอ
1.1.1 คาเฉลยเลขคณต หรอคาเฉลย (arithmetic mean ) 1.1.2.มธยฐาน (median ) 1.1.3 ฐานนยม (mode ) 1.1.4 คาเฉลยเรขาคณต (geometric mean ) 1.1.5 คาเฉลยฮารโมนค (harmonic mean ) 1.1.6 คากงกลางพสย (mid-range ) กอนทจะศกษาคากลางชนดตางๆเรามาศกษาสญลกษณของ ซกมา “ ” (sigma )
…………. (summation of x )
Page 2
สมบตบางประการของ ถา c เปนคาคงตวใดๆ
1. เชน
2. เชน
3.
4.
ตวอยางท 1 ถา
จงหา ก. ข. ค.
วธทำา (ใหนกเรยนเตมตวเลขในชองวางใหสมบรณ)ก.
=……………………………………………….. =……………………………………………….. =………………………………………………..
ข. =……………………………………………….. =………………………………………………..
=………………………………………………..
ค. = =……………………………………………….
Page 3
=………………………………………………. =………………………………………………. =……………………………………………….
ตวอยางท 2 (ใหนกเรยนเตมตวเลขในชองวางใหสมบรณ) ถา และ จงหา
ก. = ข. =
= …………………….. = ……………………………… =…………………….. =………………………………
=……………………. =……………………………….
= ……………………………...
ใบความรท 1.1.1 (ข)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.1 (ข) ใหเขาใจถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน และเตมตวเลขลงในชองวางใหสมบรณ1.1.1 ค�เฉลยเลขคณต (arithmetic mean ) หรอค�เฉลย ใชสญลกษณ “ ” (เอกซบาร)หรอ A.M.
-ขอมลทไมไดแจกแจงคว�มถ ( ungrouped data ) จะใชกรณทมขอมลไมมากนกและเปนขอมลทมาจากตวอยาง
Page 4
ผลรวมของขอมลทงหมดสตร
จำานวนขอมลแตถาขอมลมาจากประชากรจะใช
ผลรวมของขอมลทงหมดสตร
จำานวนขอมล
ตวอยางท 1 ตอไปนเปนความสงของนกเรยนเจดคน(หนวยเปนเซนตเมตร)คอ 157,156,160,156,175,160 และ 156 จงหาความสงโดยเฉลยของคนทงเจดคนนวธทำา
จากสตร =………………………………………………………..
=………………………………………………………..
=………………………………………………………..
- ค�เฉลยเลขคณตแบบถวงนำ�หนก (weighted arithmetic mean ) “ ”
คอคากลางเลขคณตทไดจากขอมลทมคาความสำาคญไมเหมอนกนหาไดจากสตร
Page 5
คอคาความสำาคญหรอนำาหนกทใชถวงเมอ I= 1,2,3,…………n
คอคาจากการสงเกต เมอ I = 1,2,3,……………n
ตวอยางท 2 นางสาวอรอนงค ทรงงาม มผลการเรยนรายวชาประจำาภาคเรยนท1 ชน ม.ศ.5 ดงตารางตอไปน จงคำานวณหาระดบคะแนนเฉลยของนางสาวอรอนงค ทรงงาม ในภาคเรยนน
วธทำา จากสตร
- หนวยกต ( นำาหนก )- ระดบคะแนน ( )
เพราะฉะนนคะแนนเฉลย(เกรดเฉลย) ของนางสาวอรอนงค ทรงงาม มคาเทากบ 2.70
- ขอมลทแจกแจงคว�มถแลว ( grouped data ) ใชในกรณทมจำานวนขอมลมากแลวนำามา
แจกแจงความถของขอมลหาได 2 วธคอ1.แบบธรรมด�
คอคาของความถของแตละอนตรภาคชนเมอ i=1,2,3,……..,kสตร
รายวชา หนวยกต ระดบคะแนนภาษาไทย 3
3ภมศาสตร 1
2ประวตศาสตร 1
3ศลธรรม 1
3พลานามย 1
2English 4
Page 6
คอคาจดกงกลางชนของแตละอนตรภาคชน เมอ I=1,2,3,………,k
ตวอยางท 3 จากตารางแจกแจงความถแสดงความสงของคนกลมหนงจงหาคาเฉลยของความสงของคนกลมนวธทำา ใหนกเรยนเตมตวเลขในชองวางใหครบเพอแทนคาในสตร
=
=
2.แบบลด (วธทอนค�ขอมล) เมอขอมลหรอจดกงกลางชนทงหมดมคามาก การหาคา
เฉลยเลขคณตโดยการบวกตวเลขมากๆอาจมขอผดพลาดไดและเสยเวลาในการบวกเลข ฉะนนจงใชวธลดคาตวเลขของขอมลใหนอยลงลดหลนลงไปทกๆอนตรภาคชนเทาๆกนทงนตองอาศยความเบยงเบนของขอมล(deviation of data ) เขยนยอ “ ” แตละคาหางจากตวกลางสมมตเขยนยอ “a” หารดวยขนาดของอนตรภาคชน กลาวคอ
เมอ i=1,2,…..,kซง a ในทนจะเลอกสมมตจากจดกงกลางชนใดกได
ความสง(ซม.)
จำานวนคน
148-152
5
153-157
7
158-162
12
163-167
6
168-172
3
173- 4
Page 7
แตโดยทวไปนยมเลอกชนทมความถสงสด และ I เปนขนาดของอนตรภาคชนซงเทากนทกชน จะได
จากตวอยางท 3 จงหาคาเฉลยเลขคณตโดยวธลด
วธทำา I = , a = จากสตร
= = ซม.
ความ
สง(ซม.)
จำานวนคน
148-152
5 150
153-157
7 155
158-162
12 160
163-167
6 165
168-172
3 170
173- 4 17
Page 8
- ค�เฉลยเลขคณตรวม (combined arithmetic mean ) “ ”
ในกรณทมขอมลหลายๆชด แตละชดมคาเฉลยเลขคณตและกำาหนดจำานวนขอมลใหจะได
คอคาเฉลยเลขคณตของขอมลแตละชด เมอ i = 1,2,….,n
คอจำานวนขอมลแตละชด เมอ i = 1,2,……..,n
ตวอยางท 4 นกเรยนชน ม.ศ. 5 ของโรงเรยนแหงหนงมหาหองแตละหองมจำานวนนกเรยน28,30,32,33 และ 27 คนตามลำาดบ ในการสอบกลางภาคไดคะแนนเฉลยวชาสถตแตละหองคอ48,45,36,42 และ 40 คะแนนตามลำาดบ อยากทราบวาคะแนนเฉลยทง 5 หองเปนเทาใดวธทำา จากโจทยกำาหนดใหจะได และ
จากสตร
Page 9
กลาวคอ คะแนนเฉลยวชาสถตทงหาหองเทากบ 42.08 คะแนน
สมบตทสำ�คญของค�เฉลยเลขคณต1. คาเฉลยเลขคณตเมอคณกบจำานวนขอมลทงหมด จะไดผลรวม
ของขอมลทกๆคา กลาวคอ
ซงมาจากสตร (ครและนกเรยนชวยกนยก
ตวอยาง)2. ผลรวมของความแตกตางระหวางแตละคาของขอมลจากคาเฉลย
เลขคณตของขอมลชดหนงจะ
เทากบ 0 เสมอ กลาวคอ (ครและนกเรยนชวยกนยก
ตวอยาง)3. ผลรวมของความแตกตางกำาลงสองของแตละคาของขอมล จากจำานวน M ใดๆจะมคานอยทสดเมอ M เทากบคาเฉลยเลขคณต
ของขอมลชดนนกลาวคอ นอยทสดเมอ
(ครและนกเรยนชวยกนยกตวอยาง)
Page 10
4. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใดๆจะตองอยระหวางคาจากการสงเกตทนอยทสดและคาจากการสงเกตทมากทสดในขอมลชดนน กลาวคอ เมอ และ เปนคาจากการสงเกตทนอยทสดและมากทสดในขอมลตามลำาดบ (ครและนกเรยนชวยกนยกตวอยาง)5. ถาตวแปร Y สมพนธกบตวแปร X ในรปของฟงกชนเสนตรงนนคอ ถา เมอ i = 1,2,3,…….,N เมอ a,b เปนคาคงตวใดๆแลว จะสมพนธกบ ดงน ตวอยางท 5 ถาอณหภมเมอเวลา 12.00 น. ของแตละวนในสปดาหแรกของเดอนเมษายน พ.ศ.2516เปน 33,35,32,37,34,36 และ 31 องศาเซลเซยล ตามลำาดบ จงหาคาเฉลยเลขคณตของอณหภมทมหนวยเปนองศาฟาเรนไฮตวธทำา ให C เปนตวแปรแทนอณหภมมหนวยเปนองศาเซลเซยล F เปนตวแปรแทนอณหภมหนวยเปนองศาฟาเรนไฮตความสมพนธระหวาง C กบ F คอ จะได
ในทน เมอ i = 1,2,3,………,7 ดงนน
แต
ดงนน นนคอ คาเฉลยเลขคณตของอณหภมคอ 93.2 องศาฟาเรนไฮต6. ถานำาคาคงตวตวหนงไปบวกกบทกคาในขอมลชดหนง แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหมเทากบ ผลบวกของคาคงตวนนกบคาเฉลยของขอมลชดเดม
Page 11
ถา คอคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดเดม , คอคาเฉลยเลคณตของขอมลชดใหมจะได เมอ C คอคาคงตวตวอยางท 6 ในปจจบนเดกหาคนมอายดงน 8,10,11,15,16 ป ตามลำาดบ จงหา
ก. คาเฉลยเลขคณตของอายของเดกทงหาคนในอก 6 ปขางหนา
ข. คาเฉลยเลขคณตของอายของเดกทงหาคน เมอ 4 ปทแลว
วธทำา ให แทนอายเฉลยของเดกในปจจบน แทนอายเฉลยของเดกในอก 6 ปขางหนา แทนอายเฉลยของเดกเมอ 4 ปทแลว ป
ก. ข. ป ป
7. ถานำาคาคงตวตวหนงไปคณกบทกคาในขอมลชดหนงแลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหม
เทากบผลคณของคาคงตวนนกบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดเดม ถา แทนอายเฉลยของขอมลชดเดม แทนอายเฉลยของขอมลชดใหม จะได เมอ C คอคาคงตว (ครและนกเรยนชวยกนยกตวอยาง)8. ถานำาคาคงตวตวหนงซงไมเทากบ 0 ไปหารทกคาในขอมลชดหนง
แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใหมจะเทากบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดเดมหารดวยคาคงตวนน
Page 12
ถา ถา แทนอายเฉลยของขอมลชดเดม แทนอายเฉลยของขอมลชดใหม จะได เมอ C คอคาคงตว (ครและนกเรยนชวยกนยกตวอยาง)
9. จากคาสงเกต 72,68,80,70,85,80,75,78,82,86,79,69 หาคาเฉลยเลขคณตได = 77ถานำามาสรางตารางแจกแจงความถแลวหาคาเฉลยเลขคณตจะได
อนตรภาคชน
68 - 72 4 70 28073 - 77 1 75 7578 - 82 5 80 40083 - 87 2 85 170
N = 12
คาเฉลยเลขคณตทหาไดจากคาสงเกต (77) จะเปนคาเฉลยเลขคณตทแทจรง
Page 13
สวนคาเฉลยเลขคณตทหาไดจากตารางแจกแจงความถ (77.08) จะเปนคาเฉลยเลขคณตโดยประมาณเทานน
สรป ค�เฉลยเลขคณตทห�ไดจ�กค�สงเกตจะมคว�มเทยงตรงกว�ค�เฉลยเลขคณตทห�ไดจ�กต�ร�งแจกแจงคว�มถ
ใบความรท 1.1.1 (ค)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.1(ค) ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนจากขอมลตอไปน 157,156,160,156,175,160 และ 156 จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลโดยใช Microsoft Excel
1. ปอนขอมลลงในแผนทำางานของ Excel จาก A1 ถง A7
2. คลกท A8 แลวไปทเมนเครองมอ เลอก คาเฉลย
Page 14
3. กด Enter กจะไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 160 ท A8
ใบความรท 1.1.2 (ก)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท1.1.2 (ก) ใหเขาใจถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน และเตมตวเลขลงในชองวางใหสมบรณ1.1.2 มธยฐ�น (median) “Med” คอขอมลทมตำาแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมด เมอเรยงลำาดบขอมลทงหมดแลว
- เมอขอมลไมแจกแจงคว�มถ ( ungrouped data ) ถา N เปนจำานวนขอมลทเรยงลำาดบจากนอยไปหามากหรอจากมากไปหานอย
ถา N เปนจำานวนค มธยฐานคอ ขอมลตำาแหนงท เชน จากขอมลตอไปน 1,3,6,7,9 จงหามธยฐาน
Page 15
วธทำา N= 5 ตำาแหนงของมธยฐานคอ เพราะฉะนนมธยฐานคอ 6
ถา N เปนจำานวนค มธยฐานคอ คาเฉลยของขอมลตำาแหนงท เชน จากขอมลตอไปน 18.3,20.6,22.4,19.3,20.2,18.8,20.0,19.7 จงหามธยฐานวธทำา เรยงลำาดบขอมล 18.3,18.8,19.3,19.7,20.0,20.2,20.6,22.4N = 8 ตำาแหนง และตำาแหนง เพราะฉะนน มธยฐานคอ ขอสงเกต 1. ถา N เปนจำานวนคแลว มธยฐานจะเปนคาในขอมลนน
2. ถา N เปนจำานวนคแลว มธยฐานอาจจะเปนหรอไมเปนคาในขอมลนน
- ขอมลทแจกแจงคว�มถแลว(grouped data ) คอคาของขอมลในอนตรภาคชนซงมขอมลตำากวาและสงกวามจำานวนอยางละครงหนงของจำานวนขอมลทงหมด หามธยฐานไดจาก
ตำาแหนงของขอมลทเปนมธยฐานสตร ความถของอนตรภาคชนทมธยฐานตกอย
ความถสะสมทตำากวาอนตรภาคชนทมธยฐานตกอย
ขอบลางของอนตรภาคชนทมธยฐานตกอย
ขนาดของอนตรภาคชนทมธยฐานตกอย
Page 16
ตวอยางท 1 จากตารางแจกแจงความถ แสดงรายไดตอวนของกรรมกรเปนดงนก. จงหามธยฐานของรายไดตอวนของกรรมกรวธทำา
……..,I = …… ,L = ……., cuf=………fm = ………..แทนคา
= …………………… = ……………………
= ………………… บาท / วน
ข. จงหามธยฐานโดยใชกราฟของโคงความถสะสม
ความถสะสม
รายได 59.5 65.5 71.5 77.5 83.5 89.5
95.5 101.5
รายไดตอวน(บาท)
จำานวนกรรมกร
60-65 366-71 772-77 1578-83 684-89 1090-95 5
96-101 4 N =
50454035302520
โคงความถ
Page 17
วธทำา หาตำาแหนงมธยฐาน ซงอยบนแกนตง แลวลากเสนตรงจากจดนขานกบแกนนอนไปตดทกราฟโคงความถสะสม ทจดตดกราฟลากเสนตรงขนานกบแกนตงลงมาตดกบแกนนอนจดทตดกบแกนนอนคอคามธยฐานซงเทากบ 77.5
ตวอยางท 2 จากตารางแจกแจงความถ เปนนำาหนกของคน 100 คนดงน
ก. จงหาคาของมธยฐานวธทำา จากสตร
………,I = …. ,L = ……., cuf=……..fm = …….., แทนคาในสตรจะได
= ……………….. = ……………….กก.ข. จงหาคาเฉลยเลขคณต ( จากตารางแจกแจงความถ ไมสามารถหาคาเฉลยเลขคณตได เนองจากไมสามารถหาจดกงกลางชนของชนแรกและชนสดทายได )สมบตของมธยฐ�น ผลรวมของคาสมบรณของผลตางระหวางคาในขอมลแตละตวกบคาคงตว จะมคานอยทสดกตอเมอ คาคงตวนนเทากบมธยฐาน นน
คอ จะมคานอยทสดเมอ a = Medเชน กำาหนดขอมล 18,22,22,23,24,24,29
นำาหนก(กก
.)
จำานวนคน
ตำากวา 60
3
60-62 563-65 1566-68 4269-71 27
Page 18
จะเหนวา เมอ a = 23 ซงคอคามธยฐาน จะทำาให ม
คานอยทสดคอ 15
ใบความรท 1.1.2 (ข)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.2(ข) ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนจากขอมลตอไปน 157,156,160,156,175,160 และ 156 จงหาคามธยฐานของขอมลโดยใช Microsoft Excel1. ปอนขอมลลงในแผนทำางานของ Excel จาก A1 ถง A7
2. คลกท A8 แลวพมพ = MEDIAN (A1:A7)
Page 19
3. กด Enter กจะไดคามธยฐานเทากบ 157 ท A8
ใบความรท 1.1.3 (ก)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท1.1.3(ก)ใหเขาใจถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอน 1.1.3 ฐ�นนยม (Mode)” ” คอขอมลทมความถมากทสด(มตวซำากนมากทสด)หรอคอขอมลทมแนวโนมเกดมโนภาพมงไปสความคดแบบเดยวกนฐ�นนยม จะสอความหมายไดเมอใชขอสรปขอมลทเปนขอมลเชงคณภาพ เชน เพศ อาชพ ภมลำาเนา เบอรหรอขนาดของเสอ ความคดเหน ความชอบ เปนตน
- ขอมลทไมไดแจกแจงคว�มถ (ungrouped data ) ขอมลทมคาซำากนมากทสด ขอมลนนคอฐานนยมตวอยางท 1 จากขอมลตอไปนจงหาฐานนยม
ก. 29,31,30,31,26,31,24,29,22,25 วธทำา ขอมลทมความถมากทสดคอ 31 มความถเทากบ 3 ฐานนยมคอ 31
ข. 2,5,8,9,8,7,10,8,9,10,10
Page 20
วธทำา ขอมลทมความถมากทสดคอ 8 มความถ 3 และ 10 มความถ 3 ฐานนยมมสองคาคอ 8 และ 10
ค. 3,4,8,10,12,7,6,5,9วธทำา ขอมลชดนไมมฐานนยมเพราะขอมลทกตวมความถเทากนหมดคอ 1
ง. 2,5,5,4,2,3,3,2,4,5,3,4วธทำา ขอมลชดนมความถมากทสดมมากกวาสองคาเราถอวาไมมฐานนยม- ขอมลทแจกแจงคว�มถแลว (grouped data)สตร อนตรภาคชนทฐานนยมตกอยคอ
อนตรภาคทมความถมากทสด
L คอขอบลางของอนตรภาคชนทฐานนยมตกอยI คอขนาดของอนตรภาคชนทฐานนยมตกอย
คอผลตางระหวางความถของอนตรภาคชนทฐานนยมตกอยกบความถของอนตรภาคชนทอยตดกนซงเปนชวงคะแนนทตำากวา
คอผลตางระหวางความถของอนตรภาคชนทฐานนยมตกอยกบความถของอนตรภาคชนทอยตดกนซงปนชวงคะแนนทสงกวาKarl Peason ไดคนพบความสมพนธของ ดงน
ความสมพนธนจะใชกรณทโจทยกำาหนดสองคาใดๆมาให
T ตวอยางท 2 ตอไปนเปนตารางแสดงนำาหนกคดเปนกโลกรมของนกเรยนจำานวน 50 คนจงหาฐานนยมของนำาหนกทงหมด
Page 21
วธทำา จากสตร
ชนทฐานนยมตกอยคอชน 45-49 (มความถมากทสดคอ 14)L= 44.5 , I = 5 , แทนคาในสตร
ตวอยางท 3 จากตวอยางท 2 จงหาฐานนยมโดยใชฮสโทแกรม ความถ
R S pP
29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 นำาหนก วธทำา 1. สรางฮสโทแกรม 2. ชนทฐานนยมตกอยคอแทงรปสเหลยมมมฉากทสงสด3. ลาก RT ตดกบ SQ ทจด P 4. จากจด P ลาก PM ขนานกบแกนตงตดแกนนอนทจด Mคาทอานไดบนแกนนอนทจด M คอฐานนยม ซงมคาเทากบ 46.5 กโลกรม
นำาหนก(กก
.)
จำานวนคน
30-34 535-39 740-44 1045-49 1450-54 855-59 6
15
10
PT
Q
Page 22
ใบความรท 1.1.3 (ข)คำ�ชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.3(ข) ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนจากขอมลตอไปน 157,156,160,156,175,160 และ 156 จงหาคาฐานนยมของขอมลโดยใช Microsoft Excel1. ปอนขอมลลงในแผนทำางานของ Excel จาก A1 ถง A7
2. คลกท A8 แลวพมพ = MODE (A1:A7)
3. กด Enter กจะไดคาฐานนยมเทากบ 156 ท A8