This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
315
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
Extreme Values Statistics
Piyapatr Busababodhin and Arun KeawmunLecturer Department of Mathematics Faculty of Science Mahasarakham University Maha Sarakham Thailand
Corresponding Author Tel 08-9542-6396 E-mail piyapatrbmsuacthReceived 15 July 2014 Accepted 15 January 2015 Published online 15 May 2015DOI 1014416jkmutnb201501003 copy 2015 King Mongkutrsquos University of Technology North Bangkok All Rights Reserved
AbstractOne of the greatest achievements of modeling is to find an optimal model for the data If the extreme value
is included an analyst usually cuts them out from the data because of its complexity In practice if an analyst wants to know the extreme eventrsquos probability which there is extreme values in the tailed The statistical tool which is very popular which is called ldquoExtreme Value Theoryrdquo This article aims to give a sample self-contained introduction to the motivations and basic ideas behind the development of extreme value theory Also briefly covered are the inference statistics of extreme value and its distribution such as generalized extreme value distribution and generalized Pareto distribution theory how to check and find optimal extreme value modeling and return period and return level
Keywords Extreme Value Theory Generalized Extreme Value Distribution Generalized Pareto Distribution Return Level Return Period
Please cite this article as P Busababodhin and A Keawmun ldquoExtreme Values Statisticsrdquo J KMUTNB Vol 25 No 2 pp 315 - 324 May - Aug 2015 (in Thai) httpdxdoiorg1014416jkmutnb201501003
317
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
วางนยทวไป (Generalized Extreme Value Distribution GEV) และการแจกแจงพาเรโตวางนยทวไป (Generalized Pareto Distribution GPD) ซงการสรางแบบจาลองดวย GEV เหมาะสาหรบวเคราะหคาสดขดในชวงคาบเวลาท
การทดสอบอตราสวนควรจะเปน (Likelihood Ratio Test) โดยสถตทดสอบดงกลาวมการแจกแจงไคกาลงสอง (Chi-square Distribution) ดวยองศาอสระ v (Degree of Freedom v) เมอ v เทากบผลตางของจานวนพารามเตอร
F(X) = P(X le x) = 1 - P(X ge x) = 1 - เมอ T คอคาบเวลาหรอรอบปการเกดซา
ตวอยาง การหาระดบการเกดซาสาหรบการออกแบบ
โครงการทางวศวกรรมแหลงนาตางๆ นยมเรยกกนวา ระดบการเกดซา xT คอตาแหนงของขอมล (Quantiles) เมอ p คอความนาจะเปนของเหตการณท x gt xT โดยเฉลย 1 ครงในทกๆ T ป ซง T คอรอบปหรอคาบเวลาการเกดซา
ทมความสมพนธกบ p โดยท T = และเขยนฟงกชน
สะสมของระดบการเกดซาไดวา F(xT) = 1 - จะเหนไดวา
รอบปการเกดซา T แทจรงแลวคอจานวนรอบปทเกด
เหตการณภยพบต x gt xT เกดขนโดยเฉลย 1 ครงนนเอง
61 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงคาสดขด
วางนยทวไป สามารถคานวณระดบการเกดซา ณ คาบเวลา T ทสนใจของ GEV ดงน
62 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงพาเรโต
วางนยทวไป
สาหรบ GPD ซงมพารามเตอร σ และ ξ เมอมขอมล
ทมคาสงกวาคา u นนแสดงวา X gt u ซงสามารถเขยน
สมการทวไปสาหรบโอกาสทจะเกดเหตการณดงกลาว
ไดดงน
โดยกาหนดให ζu = Pr(X gt u) ดงนน ระดบการเกดซา หมายถง คาเฉลยของคาทสงเกนกวาคา u ทกๆ คาสงเกต ณ คาบเวลา T ทสนใจ นนคอ
และสามารถจดรปสมการระดบการเกดซาสาหรบ
การแจกแจงพาเรโตวางนยทวไป ไดดงน
ถา
สาหรบ T = N times ny เมอ ny คอจานวนคาสงเกตตอป และ N เปนจานวนป
[1] S Kotz and S Nadaraja Extreme Value Distributions Theory and Applications Singapore Imperial College Press 2000
[2] P Embrecht C Kluppelberg and T Mikosch Modeling extremal events for insurance and finance Berlin Springer Verlag 1997
[3] B Erik and H Rootzen ldquoUnivariate and bivariate GPD methods for predicting extreme wind storm lossesrdquo Insurance Mathematics and Economics vol 44 pp 345-356 2009
[4] B Finkenstadt and H Rootzen Extreme values in finance telecommunications and the environment London Chapman and HallCRC Press 2004
[5] J Beirlant et al Statistics of Extremes Theory and Applications New York John Wiley amp Sons 2004
[6] T An and MD Pandey ldquoA comparison of methods of extreme wind speed estimationrdquo Technical note Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics vol 93 pp 535-545 2005
[7] RW Katz MB Parlange and P Naveau ldquoStatistics of extremes in hydrologyrdquo Advanced Water Resources vol 25 pp 1287-1304 2002
[8] S Nadarajah and D Choi ldquoMaximum daily rainfall in South Koreardquo Journal of Earth System Science vol 116 no 4 pp 311-320 2007
[9] L Rajaram Statistical Models in Environmental and Life Sciences Florida University of South Florida 2006
[10] V Storch and FW Awiers Statistical analysis in climate research Cambridge Cambridge University Press 2001
[11] MR Leadbetter G Lindgren and H Rootzen Extremes and related properties of randorn sequences and processes New York Springer Verlag 1983
[12] S Coles An introduction to statistical modeling of extreme values London Springer Verlag 2001
[13] BB Brabson and JP Palutikof ldquoTests of the generalized Pareto distribution for predicting extreme wind speedsrdquo Journal of Applied Meteorology vol 39 pp 1627-1640 1999
[14] RD Reiss and M Thomas Statistical analysis of extreme values with applications to insurance finance hydrology and other fields Basel Birkhauser 2001
[15] AF Jenkinson ldquoThe frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of
324
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
meteorological elementsrdquo Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society vol 81 pp 158-171 1955
[16] J Galambos The asymptotic theory of extreme order statistics New York Wiley 1978
[17] S Coles and S Nadaraja An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values Great Britain Springer-Varlag London Limited 2001
[18] EJ Gumbel Statistics of Extremes New York Columbia University Press 1958
316
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
Extreme Values Statistics
Piyapatr Busababodhin and Arun KeawmunLecturer Department of Mathematics Faculty of Science Mahasarakham University Maha Sarakham Thailand
Corresponding Author Tel 08-9542-6396 E-mail piyapatrbmsuacthReceived 15 July 2014 Accepted 15 January 2015 Published online 15 May 2015DOI 1014416jkmutnb201501003 copy 2015 King Mongkutrsquos University of Technology North Bangkok All Rights Reserved
AbstractOne of the greatest achievements of modeling is to find an optimal model for the data If the extreme value
is included an analyst usually cuts them out from the data because of its complexity In practice if an analyst wants to know the extreme eventrsquos probability which there is extreme values in the tailed The statistical tool which is very popular which is called ldquoExtreme Value Theoryrdquo This article aims to give a sample self-contained introduction to the motivations and basic ideas behind the development of extreme value theory Also briefly covered are the inference statistics of extreme value and its distribution such as generalized extreme value distribution and generalized Pareto distribution theory how to check and find optimal extreme value modeling and return period and return level
Keywords Extreme Value Theory Generalized Extreme Value Distribution Generalized Pareto Distribution Return Level Return Period
Please cite this article as P Busababodhin and A Keawmun ldquoExtreme Values Statisticsrdquo J KMUTNB Vol 25 No 2 pp 315 - 324 May - Aug 2015 (in Thai) httpdxdoiorg1014416jkmutnb201501003
317
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
วางนยทวไป (Generalized Extreme Value Distribution GEV) และการแจกแจงพาเรโตวางนยทวไป (Generalized Pareto Distribution GPD) ซงการสรางแบบจาลองดวย GEV เหมาะสาหรบวเคราะหคาสดขดในชวงคาบเวลาท
การทดสอบอตราสวนควรจะเปน (Likelihood Ratio Test) โดยสถตทดสอบดงกลาวมการแจกแจงไคกาลงสอง (Chi-square Distribution) ดวยองศาอสระ v (Degree of Freedom v) เมอ v เทากบผลตางของจานวนพารามเตอร
F(X) = P(X le x) = 1 - P(X ge x) = 1 - เมอ T คอคาบเวลาหรอรอบปการเกดซา
ตวอยาง การหาระดบการเกดซาสาหรบการออกแบบ
โครงการทางวศวกรรมแหลงนาตางๆ นยมเรยกกนวา ระดบการเกดซา xT คอตาแหนงของขอมล (Quantiles) เมอ p คอความนาจะเปนของเหตการณท x gt xT โดยเฉลย 1 ครงในทกๆ T ป ซง T คอรอบปหรอคาบเวลาการเกดซา
ทมความสมพนธกบ p โดยท T = และเขยนฟงกชน
สะสมของระดบการเกดซาไดวา F(xT) = 1 - จะเหนไดวา
รอบปการเกดซา T แทจรงแลวคอจานวนรอบปทเกด
เหตการณภยพบต x gt xT เกดขนโดยเฉลย 1 ครงนนเอง
61 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงคาสดขด
วางนยทวไป สามารถคานวณระดบการเกดซา ณ คาบเวลา T ทสนใจของ GEV ดงน
62 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงพาเรโต
วางนยทวไป
สาหรบ GPD ซงมพารามเตอร σ และ ξ เมอมขอมล
ทมคาสงกวาคา u นนแสดงวา X gt u ซงสามารถเขยน
สมการทวไปสาหรบโอกาสทจะเกดเหตการณดงกลาว
ไดดงน
โดยกาหนดให ζu = Pr(X gt u) ดงนน ระดบการเกดซา หมายถง คาเฉลยของคาทสงเกนกวาคา u ทกๆ คาสงเกต ณ คาบเวลา T ทสนใจ นนคอ
และสามารถจดรปสมการระดบการเกดซาสาหรบ
การแจกแจงพาเรโตวางนยทวไป ไดดงน
ถา
สาหรบ T = N times ny เมอ ny คอจานวนคาสงเกตตอป และ N เปนจานวนป
[1] S Kotz and S Nadaraja Extreme Value Distributions Theory and Applications Singapore Imperial College Press 2000
[2] P Embrecht C Kluppelberg and T Mikosch Modeling extremal events for insurance and finance Berlin Springer Verlag 1997
[3] B Erik and H Rootzen ldquoUnivariate and bivariate GPD methods for predicting extreme wind storm lossesrdquo Insurance Mathematics and Economics vol 44 pp 345-356 2009
[4] B Finkenstadt and H Rootzen Extreme values in finance telecommunications and the environment London Chapman and HallCRC Press 2004
[5] J Beirlant et al Statistics of Extremes Theory and Applications New York John Wiley amp Sons 2004
[6] T An and MD Pandey ldquoA comparison of methods of extreme wind speed estimationrdquo Technical note Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics vol 93 pp 535-545 2005
[7] RW Katz MB Parlange and P Naveau ldquoStatistics of extremes in hydrologyrdquo Advanced Water Resources vol 25 pp 1287-1304 2002
[8] S Nadarajah and D Choi ldquoMaximum daily rainfall in South Koreardquo Journal of Earth System Science vol 116 no 4 pp 311-320 2007
[9] L Rajaram Statistical Models in Environmental and Life Sciences Florida University of South Florida 2006
[10] V Storch and FW Awiers Statistical analysis in climate research Cambridge Cambridge University Press 2001
[11] MR Leadbetter G Lindgren and H Rootzen Extremes and related properties of randorn sequences and processes New York Springer Verlag 1983
[12] S Coles An introduction to statistical modeling of extreme values London Springer Verlag 2001
[13] BB Brabson and JP Palutikof ldquoTests of the generalized Pareto distribution for predicting extreme wind speedsrdquo Journal of Applied Meteorology vol 39 pp 1627-1640 1999
[14] RD Reiss and M Thomas Statistical analysis of extreme values with applications to insurance finance hydrology and other fields Basel Birkhauser 2001
[15] AF Jenkinson ldquoThe frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of
324
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
meteorological elementsrdquo Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society vol 81 pp 158-171 1955
[16] J Galambos The asymptotic theory of extreme order statistics New York Wiley 1978
[17] S Coles and S Nadaraja An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values Great Britain Springer-Varlag London Limited 2001
[18] EJ Gumbel Statistics of Extremes New York Columbia University Press 1958
317
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
วางนยทวไป (Generalized Extreme Value Distribution GEV) และการแจกแจงพาเรโตวางนยทวไป (Generalized Pareto Distribution GPD) ซงการสรางแบบจาลองดวย GEV เหมาะสาหรบวเคราะหคาสดขดในชวงคาบเวลาท
การทดสอบอตราสวนควรจะเปน (Likelihood Ratio Test) โดยสถตทดสอบดงกลาวมการแจกแจงไคกาลงสอง (Chi-square Distribution) ดวยองศาอสระ v (Degree of Freedom v) เมอ v เทากบผลตางของจานวนพารามเตอร
F(X) = P(X le x) = 1 - P(X ge x) = 1 - เมอ T คอคาบเวลาหรอรอบปการเกดซา
ตวอยาง การหาระดบการเกดซาสาหรบการออกแบบ
โครงการทางวศวกรรมแหลงนาตางๆ นยมเรยกกนวา ระดบการเกดซา xT คอตาแหนงของขอมล (Quantiles) เมอ p คอความนาจะเปนของเหตการณท x gt xT โดยเฉลย 1 ครงในทกๆ T ป ซง T คอรอบปหรอคาบเวลาการเกดซา
ทมความสมพนธกบ p โดยท T = และเขยนฟงกชน
สะสมของระดบการเกดซาไดวา F(xT) = 1 - จะเหนไดวา
รอบปการเกดซา T แทจรงแลวคอจานวนรอบปทเกด
เหตการณภยพบต x gt xT เกดขนโดยเฉลย 1 ครงนนเอง
61 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงคาสดขด
วางนยทวไป สามารถคานวณระดบการเกดซา ณ คาบเวลา T ทสนใจของ GEV ดงน
62 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงพาเรโต
วางนยทวไป
สาหรบ GPD ซงมพารามเตอร σ และ ξ เมอมขอมล
ทมคาสงกวาคา u นนแสดงวา X gt u ซงสามารถเขยน
สมการทวไปสาหรบโอกาสทจะเกดเหตการณดงกลาว
ไดดงน
โดยกาหนดให ζu = Pr(X gt u) ดงนน ระดบการเกดซา หมายถง คาเฉลยของคาทสงเกนกวาคา u ทกๆ คาสงเกต ณ คาบเวลา T ทสนใจ นนคอ
และสามารถจดรปสมการระดบการเกดซาสาหรบ
การแจกแจงพาเรโตวางนยทวไป ไดดงน
ถา
สาหรบ T = N times ny เมอ ny คอจานวนคาสงเกตตอป และ N เปนจานวนป
[1] S Kotz and S Nadaraja Extreme Value Distributions Theory and Applications Singapore Imperial College Press 2000
[2] P Embrecht C Kluppelberg and T Mikosch Modeling extremal events for insurance and finance Berlin Springer Verlag 1997
[3] B Erik and H Rootzen ldquoUnivariate and bivariate GPD methods for predicting extreme wind storm lossesrdquo Insurance Mathematics and Economics vol 44 pp 345-356 2009
[4] B Finkenstadt and H Rootzen Extreme values in finance telecommunications and the environment London Chapman and HallCRC Press 2004
[5] J Beirlant et al Statistics of Extremes Theory and Applications New York John Wiley amp Sons 2004
[6] T An and MD Pandey ldquoA comparison of methods of extreme wind speed estimationrdquo Technical note Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics vol 93 pp 535-545 2005
[7] RW Katz MB Parlange and P Naveau ldquoStatistics of extremes in hydrologyrdquo Advanced Water Resources vol 25 pp 1287-1304 2002
[8] S Nadarajah and D Choi ldquoMaximum daily rainfall in South Koreardquo Journal of Earth System Science vol 116 no 4 pp 311-320 2007
[9] L Rajaram Statistical Models in Environmental and Life Sciences Florida University of South Florida 2006
[10] V Storch and FW Awiers Statistical analysis in climate research Cambridge Cambridge University Press 2001
[11] MR Leadbetter G Lindgren and H Rootzen Extremes and related properties of randorn sequences and processes New York Springer Verlag 1983
[12] S Coles An introduction to statistical modeling of extreme values London Springer Verlag 2001
[13] BB Brabson and JP Palutikof ldquoTests of the generalized Pareto distribution for predicting extreme wind speedsrdquo Journal of Applied Meteorology vol 39 pp 1627-1640 1999
[14] RD Reiss and M Thomas Statistical analysis of extreme values with applications to insurance finance hydrology and other fields Basel Birkhauser 2001
[15] AF Jenkinson ldquoThe frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of
324
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
meteorological elementsrdquo Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society vol 81 pp 158-171 1955
[16] J Galambos The asymptotic theory of extreme order statistics New York Wiley 1978
[17] S Coles and S Nadaraja An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values Great Britain Springer-Varlag London Limited 2001
[18] EJ Gumbel Statistics of Extremes New York Columbia University Press 1958
318
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
Pr(X(n) le x) = Pr((X(n) - bn)an le x) = Pr(X(n) le an x + bn) = F n(an x + bn) rarr F(x) เมอ n rarr infin
วางนยทวไป (Generalized Extreme Value Distribution GEV) และการแจกแจงพาเรโตวางนยทวไป (Generalized Pareto Distribution GPD) ซงการสรางแบบจาลองดวย GEV เหมาะสาหรบวเคราะหคาสดขดในชวงคาบเวลาท
การทดสอบอตราสวนควรจะเปน (Likelihood Ratio Test) โดยสถตทดสอบดงกลาวมการแจกแจงไคกาลงสอง (Chi-square Distribution) ดวยองศาอสระ v (Degree of Freedom v) เมอ v เทากบผลตางของจานวนพารามเตอร
F(X) = P(X le x) = 1 - P(X ge x) = 1 - เมอ T คอคาบเวลาหรอรอบปการเกดซา
ตวอยาง การหาระดบการเกดซาสาหรบการออกแบบ
โครงการทางวศวกรรมแหลงนาตางๆ นยมเรยกกนวา ระดบการเกดซา xT คอตาแหนงของขอมล (Quantiles) เมอ p คอความนาจะเปนของเหตการณท x gt xT โดยเฉลย 1 ครงในทกๆ T ป ซง T คอรอบปหรอคาบเวลาการเกดซา
ทมความสมพนธกบ p โดยท T = และเขยนฟงกชน
สะสมของระดบการเกดซาไดวา F(xT) = 1 - จะเหนไดวา
รอบปการเกดซา T แทจรงแลวคอจานวนรอบปทเกด
เหตการณภยพบต x gt xT เกดขนโดยเฉลย 1 ครงนนเอง
61 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงคาสดขด
วางนยทวไป สามารถคานวณระดบการเกดซา ณ คาบเวลา T ทสนใจของ GEV ดงน
62 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงพาเรโต
วางนยทวไป
สาหรบ GPD ซงมพารามเตอร σ และ ξ เมอมขอมล
ทมคาสงกวาคา u นนแสดงวา X gt u ซงสามารถเขยน
สมการทวไปสาหรบโอกาสทจะเกดเหตการณดงกลาว
ไดดงน
โดยกาหนดให ζu = Pr(X gt u) ดงนน ระดบการเกดซา หมายถง คาเฉลยของคาทสงเกนกวาคา u ทกๆ คาสงเกต ณ คาบเวลา T ทสนใจ นนคอ
และสามารถจดรปสมการระดบการเกดซาสาหรบ
การแจกแจงพาเรโตวางนยทวไป ไดดงน
ถา
สาหรบ T = N times ny เมอ ny คอจานวนคาสงเกตตอป และ N เปนจานวนป
[1] S Kotz and S Nadaraja Extreme Value Distributions Theory and Applications Singapore Imperial College Press 2000
[2] P Embrecht C Kluppelberg and T Mikosch Modeling extremal events for insurance and finance Berlin Springer Verlag 1997
[3] B Erik and H Rootzen ldquoUnivariate and bivariate GPD methods for predicting extreme wind storm lossesrdquo Insurance Mathematics and Economics vol 44 pp 345-356 2009
[4] B Finkenstadt and H Rootzen Extreme values in finance telecommunications and the environment London Chapman and HallCRC Press 2004
[5] J Beirlant et al Statistics of Extremes Theory and Applications New York John Wiley amp Sons 2004
[6] T An and MD Pandey ldquoA comparison of methods of extreme wind speed estimationrdquo Technical note Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics vol 93 pp 535-545 2005
[7] RW Katz MB Parlange and P Naveau ldquoStatistics of extremes in hydrologyrdquo Advanced Water Resources vol 25 pp 1287-1304 2002
[8] S Nadarajah and D Choi ldquoMaximum daily rainfall in South Koreardquo Journal of Earth System Science vol 116 no 4 pp 311-320 2007
[9] L Rajaram Statistical Models in Environmental and Life Sciences Florida University of South Florida 2006
[10] V Storch and FW Awiers Statistical analysis in climate research Cambridge Cambridge University Press 2001
[11] MR Leadbetter G Lindgren and H Rootzen Extremes and related properties of randorn sequences and processes New York Springer Verlag 1983
[12] S Coles An introduction to statistical modeling of extreme values London Springer Verlag 2001
[13] BB Brabson and JP Palutikof ldquoTests of the generalized Pareto distribution for predicting extreme wind speedsrdquo Journal of Applied Meteorology vol 39 pp 1627-1640 1999
[14] RD Reiss and M Thomas Statistical analysis of extreme values with applications to insurance finance hydrology and other fields Basel Birkhauser 2001
[15] AF Jenkinson ldquoThe frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of
324
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
meteorological elementsrdquo Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society vol 81 pp 158-171 1955
[16] J Galambos The asymptotic theory of extreme order statistics New York Wiley 1978
[17] S Coles and S Nadaraja An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values Great Britain Springer-Varlag London Limited 2001
[18] EJ Gumbel Statistics of Extremes New York Columbia University Press 1958
319
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
การทดสอบอตราสวนควรจะเปน (Likelihood Ratio Test) โดยสถตทดสอบดงกลาวมการแจกแจงไคกาลงสอง (Chi-square Distribution) ดวยองศาอสระ v (Degree of Freedom v) เมอ v เทากบผลตางของจานวนพารามเตอร
F(X) = P(X le x) = 1 - P(X ge x) = 1 - เมอ T คอคาบเวลาหรอรอบปการเกดซา
ตวอยาง การหาระดบการเกดซาสาหรบการออกแบบ
โครงการทางวศวกรรมแหลงนาตางๆ นยมเรยกกนวา ระดบการเกดซา xT คอตาแหนงของขอมล (Quantiles) เมอ p คอความนาจะเปนของเหตการณท x gt xT โดยเฉลย 1 ครงในทกๆ T ป ซง T คอรอบปหรอคาบเวลาการเกดซา
ทมความสมพนธกบ p โดยท T = และเขยนฟงกชน
สะสมของระดบการเกดซาไดวา F(xT) = 1 - จะเหนไดวา
รอบปการเกดซา T แทจรงแลวคอจานวนรอบปทเกด
เหตการณภยพบต x gt xT เกดขนโดยเฉลย 1 ครงนนเอง
61 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงคาสดขด
วางนยทวไป สามารถคานวณระดบการเกดซา ณ คาบเวลา T ทสนใจของ GEV ดงน
62 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงพาเรโต
วางนยทวไป
สาหรบ GPD ซงมพารามเตอร σ และ ξ เมอมขอมล
ทมคาสงกวาคา u นนแสดงวา X gt u ซงสามารถเขยน
สมการทวไปสาหรบโอกาสทจะเกดเหตการณดงกลาว
ไดดงน
โดยกาหนดให ζu = Pr(X gt u) ดงนน ระดบการเกดซา หมายถง คาเฉลยของคาทสงเกนกวาคา u ทกๆ คาสงเกต ณ คาบเวลา T ทสนใจ นนคอ
และสามารถจดรปสมการระดบการเกดซาสาหรบ
การแจกแจงพาเรโตวางนยทวไป ไดดงน
ถา
สาหรบ T = N times ny เมอ ny คอจานวนคาสงเกตตอป และ N เปนจานวนป
[1] S Kotz and S Nadaraja Extreme Value Distributions Theory and Applications Singapore Imperial College Press 2000
[2] P Embrecht C Kluppelberg and T Mikosch Modeling extremal events for insurance and finance Berlin Springer Verlag 1997
[3] B Erik and H Rootzen ldquoUnivariate and bivariate GPD methods for predicting extreme wind storm lossesrdquo Insurance Mathematics and Economics vol 44 pp 345-356 2009
[4] B Finkenstadt and H Rootzen Extreme values in finance telecommunications and the environment London Chapman and HallCRC Press 2004
[5] J Beirlant et al Statistics of Extremes Theory and Applications New York John Wiley amp Sons 2004
[6] T An and MD Pandey ldquoA comparison of methods of extreme wind speed estimationrdquo Technical note Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics vol 93 pp 535-545 2005
[7] RW Katz MB Parlange and P Naveau ldquoStatistics of extremes in hydrologyrdquo Advanced Water Resources vol 25 pp 1287-1304 2002
[8] S Nadarajah and D Choi ldquoMaximum daily rainfall in South Koreardquo Journal of Earth System Science vol 116 no 4 pp 311-320 2007
[9] L Rajaram Statistical Models in Environmental and Life Sciences Florida University of South Florida 2006
[10] V Storch and FW Awiers Statistical analysis in climate research Cambridge Cambridge University Press 2001
[11] MR Leadbetter G Lindgren and H Rootzen Extremes and related properties of randorn sequences and processes New York Springer Verlag 1983
[12] S Coles An introduction to statistical modeling of extreme values London Springer Verlag 2001
[13] BB Brabson and JP Palutikof ldquoTests of the generalized Pareto distribution for predicting extreme wind speedsrdquo Journal of Applied Meteorology vol 39 pp 1627-1640 1999
[14] RD Reiss and M Thomas Statistical analysis of extreme values with applications to insurance finance hydrology and other fields Basel Birkhauser 2001
[15] AF Jenkinson ldquoThe frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of
324
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
meteorological elementsrdquo Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society vol 81 pp 158-171 1955
[16] J Galambos The asymptotic theory of extreme order statistics New York Wiley 1978
[17] S Coles and S Nadaraja An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values Great Britain Springer-Varlag London Limited 2001
[18] EJ Gumbel Statistics of Extremes New York Columbia University Press 1958
320
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
เมอ เรยกฟงกชนนว า ldquoการแจกแจง
พาเรโตวางนยทวไปrdquo โดยปกตจะเหนวาเหตการณทเกดคาสดขด คา Xi จะม
การทดสอบอตราสวนควรจะเปน (Likelihood Ratio Test) โดยสถตทดสอบดงกลาวมการแจกแจงไคกาลงสอง (Chi-square Distribution) ดวยองศาอสระ v (Degree of Freedom v) เมอ v เทากบผลตางของจานวนพารามเตอร
F(X) = P(X le x) = 1 - P(X ge x) = 1 - เมอ T คอคาบเวลาหรอรอบปการเกดซา
ตวอยาง การหาระดบการเกดซาสาหรบการออกแบบ
โครงการทางวศวกรรมแหลงนาตางๆ นยมเรยกกนวา ระดบการเกดซา xT คอตาแหนงของขอมล (Quantiles) เมอ p คอความนาจะเปนของเหตการณท x gt xT โดยเฉลย 1 ครงในทกๆ T ป ซง T คอรอบปหรอคาบเวลาการเกดซา
ทมความสมพนธกบ p โดยท T = และเขยนฟงกชน
สะสมของระดบการเกดซาไดวา F(xT) = 1 - จะเหนไดวา
รอบปการเกดซา T แทจรงแลวคอจานวนรอบปทเกด
เหตการณภยพบต x gt xT เกดขนโดยเฉลย 1 ครงนนเอง
61 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงคาสดขด
วางนยทวไป สามารถคานวณระดบการเกดซา ณ คาบเวลา T ทสนใจของ GEV ดงน
62 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงพาเรโต
วางนยทวไป
สาหรบ GPD ซงมพารามเตอร σ และ ξ เมอมขอมล
ทมคาสงกวาคา u นนแสดงวา X gt u ซงสามารถเขยน
สมการทวไปสาหรบโอกาสทจะเกดเหตการณดงกลาว
ไดดงน
โดยกาหนดให ζu = Pr(X gt u) ดงนน ระดบการเกดซา หมายถง คาเฉลยของคาทสงเกนกวาคา u ทกๆ คาสงเกต ณ คาบเวลา T ทสนใจ นนคอ
และสามารถจดรปสมการระดบการเกดซาสาหรบ
การแจกแจงพาเรโตวางนยทวไป ไดดงน
ถา
สาหรบ T = N times ny เมอ ny คอจานวนคาสงเกตตอป และ N เปนจานวนป
[1] S Kotz and S Nadaraja Extreme Value Distributions Theory and Applications Singapore Imperial College Press 2000
[2] P Embrecht C Kluppelberg and T Mikosch Modeling extremal events for insurance and finance Berlin Springer Verlag 1997
[3] B Erik and H Rootzen ldquoUnivariate and bivariate GPD methods for predicting extreme wind storm lossesrdquo Insurance Mathematics and Economics vol 44 pp 345-356 2009
[4] B Finkenstadt and H Rootzen Extreme values in finance telecommunications and the environment London Chapman and HallCRC Press 2004
[5] J Beirlant et al Statistics of Extremes Theory and Applications New York John Wiley amp Sons 2004
[6] T An and MD Pandey ldquoA comparison of methods of extreme wind speed estimationrdquo Technical note Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics vol 93 pp 535-545 2005
[7] RW Katz MB Parlange and P Naveau ldquoStatistics of extremes in hydrologyrdquo Advanced Water Resources vol 25 pp 1287-1304 2002
[8] S Nadarajah and D Choi ldquoMaximum daily rainfall in South Koreardquo Journal of Earth System Science vol 116 no 4 pp 311-320 2007
[9] L Rajaram Statistical Models in Environmental and Life Sciences Florida University of South Florida 2006
[10] V Storch and FW Awiers Statistical analysis in climate research Cambridge Cambridge University Press 2001
[11] MR Leadbetter G Lindgren and H Rootzen Extremes and related properties of randorn sequences and processes New York Springer Verlag 1983
[12] S Coles An introduction to statistical modeling of extreme values London Springer Verlag 2001
[13] BB Brabson and JP Palutikof ldquoTests of the generalized Pareto distribution for predicting extreme wind speedsrdquo Journal of Applied Meteorology vol 39 pp 1627-1640 1999
[14] RD Reiss and M Thomas Statistical analysis of extreme values with applications to insurance finance hydrology and other fields Basel Birkhauser 2001
[15] AF Jenkinson ldquoThe frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of
324
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
meteorological elementsrdquo Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society vol 81 pp 158-171 1955
[16] J Galambos The asymptotic theory of extreme order statistics New York Wiley 1978
[17] S Coles and S Nadaraja An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values Great Britain Springer-Varlag London Limited 2001
[18] EJ Gumbel Statistics of Extremes New York Columbia University Press 1958
321
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
การทดสอบอตราสวนควรจะเปน (Likelihood Ratio Test) โดยสถตทดสอบดงกลาวมการแจกแจงไคกาลงสอง (Chi-square Distribution) ดวยองศาอสระ v (Degree of Freedom v) เมอ v เทากบผลตางของจานวนพารามเตอร
F(X) = P(X le x) = 1 - P(X ge x) = 1 - เมอ T คอคาบเวลาหรอรอบปการเกดซา
ตวอยาง การหาระดบการเกดซาสาหรบการออกแบบ
โครงการทางวศวกรรมแหลงนาตางๆ นยมเรยกกนวา ระดบการเกดซา xT คอตาแหนงของขอมล (Quantiles) เมอ p คอความนาจะเปนของเหตการณท x gt xT โดยเฉลย 1 ครงในทกๆ T ป ซง T คอรอบปหรอคาบเวลาการเกดซา
ทมความสมพนธกบ p โดยท T = และเขยนฟงกชน
สะสมของระดบการเกดซาไดวา F(xT) = 1 - จะเหนไดวา
รอบปการเกดซา T แทจรงแลวคอจานวนรอบปทเกด
เหตการณภยพบต x gt xT เกดขนโดยเฉลย 1 ครงนนเอง
61 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงคาสดขด
วางนยทวไป สามารถคานวณระดบการเกดซา ณ คาบเวลา T ทสนใจของ GEV ดงน
62 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงพาเรโต
วางนยทวไป
สาหรบ GPD ซงมพารามเตอร σ และ ξ เมอมขอมล
ทมคาสงกวาคา u นนแสดงวา X gt u ซงสามารถเขยน
สมการทวไปสาหรบโอกาสทจะเกดเหตการณดงกลาว
ไดดงน
โดยกาหนดให ζu = Pr(X gt u) ดงนน ระดบการเกดซา หมายถง คาเฉลยของคาทสงเกนกวาคา u ทกๆ คาสงเกต ณ คาบเวลา T ทสนใจ นนคอ
และสามารถจดรปสมการระดบการเกดซาสาหรบ
การแจกแจงพาเรโตวางนยทวไป ไดดงน
ถา
สาหรบ T = N times ny เมอ ny คอจานวนคาสงเกตตอป และ N เปนจานวนป
[1] S Kotz and S Nadaraja Extreme Value Distributions Theory and Applications Singapore Imperial College Press 2000
[2] P Embrecht C Kluppelberg and T Mikosch Modeling extremal events for insurance and finance Berlin Springer Verlag 1997
[3] B Erik and H Rootzen ldquoUnivariate and bivariate GPD methods for predicting extreme wind storm lossesrdquo Insurance Mathematics and Economics vol 44 pp 345-356 2009
[4] B Finkenstadt and H Rootzen Extreme values in finance telecommunications and the environment London Chapman and HallCRC Press 2004
[5] J Beirlant et al Statistics of Extremes Theory and Applications New York John Wiley amp Sons 2004
[6] T An and MD Pandey ldquoA comparison of methods of extreme wind speed estimationrdquo Technical note Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics vol 93 pp 535-545 2005
[7] RW Katz MB Parlange and P Naveau ldquoStatistics of extremes in hydrologyrdquo Advanced Water Resources vol 25 pp 1287-1304 2002
[8] S Nadarajah and D Choi ldquoMaximum daily rainfall in South Koreardquo Journal of Earth System Science vol 116 no 4 pp 311-320 2007
[9] L Rajaram Statistical Models in Environmental and Life Sciences Florida University of South Florida 2006
[10] V Storch and FW Awiers Statistical analysis in climate research Cambridge Cambridge University Press 2001
[11] MR Leadbetter G Lindgren and H Rootzen Extremes and related properties of randorn sequences and processes New York Springer Verlag 1983
[12] S Coles An introduction to statistical modeling of extreme values London Springer Verlag 2001
[13] BB Brabson and JP Palutikof ldquoTests of the generalized Pareto distribution for predicting extreme wind speedsrdquo Journal of Applied Meteorology vol 39 pp 1627-1640 1999
[14] RD Reiss and M Thomas Statistical analysis of extreme values with applications to insurance finance hydrology and other fields Basel Birkhauser 2001
[15] AF Jenkinson ldquoThe frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of
324
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
meteorological elementsrdquo Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society vol 81 pp 158-171 1955
[16] J Galambos The asymptotic theory of extreme order statistics New York Wiley 1978
[17] S Coles and S Nadaraja An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values Great Britain Springer-Varlag London Limited 2001
[18] EJ Gumbel Statistics of Extremes New York Columbia University Press 1958
322
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
F(X) = P(X le x) = 1 - P(X ge x) = 1 - เมอ T คอคาบเวลาหรอรอบปการเกดซา
ตวอยาง การหาระดบการเกดซาสาหรบการออกแบบ
โครงการทางวศวกรรมแหลงนาตางๆ นยมเรยกกนวา ระดบการเกดซา xT คอตาแหนงของขอมล (Quantiles) เมอ p คอความนาจะเปนของเหตการณท x gt xT โดยเฉลย 1 ครงในทกๆ T ป ซง T คอรอบปหรอคาบเวลาการเกดซา
ทมความสมพนธกบ p โดยท T = และเขยนฟงกชน
สะสมของระดบการเกดซาไดวา F(xT) = 1 - จะเหนไดวา
รอบปการเกดซา T แทจรงแลวคอจานวนรอบปทเกด
เหตการณภยพบต x gt xT เกดขนโดยเฉลย 1 ครงนนเอง
61 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงคาสดขด
วางนยทวไป สามารถคานวณระดบการเกดซา ณ คาบเวลา T ทสนใจของ GEV ดงน
62 ระดบการเกดซาสาหรบการแจกแจงพาเรโต
วางนยทวไป
สาหรบ GPD ซงมพารามเตอร σ และ ξ เมอมขอมล
ทมคาสงกวาคา u นนแสดงวา X gt u ซงสามารถเขยน
สมการทวไปสาหรบโอกาสทจะเกดเหตการณดงกลาว
ไดดงน
โดยกาหนดให ζu = Pr(X gt u) ดงนน ระดบการเกดซา หมายถง คาเฉลยของคาทสงเกนกวาคา u ทกๆ คาสงเกต ณ คาบเวลา T ทสนใจ นนคอ
และสามารถจดรปสมการระดบการเกดซาสาหรบ
การแจกแจงพาเรโตวางนยทวไป ไดดงน
ถา
สาหรบ T = N times ny เมอ ny คอจานวนคาสงเกตตอป และ N เปนจานวนป
[1] S Kotz and S Nadaraja Extreme Value Distributions Theory and Applications Singapore Imperial College Press 2000
[2] P Embrecht C Kluppelberg and T Mikosch Modeling extremal events for insurance and finance Berlin Springer Verlag 1997
[3] B Erik and H Rootzen ldquoUnivariate and bivariate GPD methods for predicting extreme wind storm lossesrdquo Insurance Mathematics and Economics vol 44 pp 345-356 2009
[4] B Finkenstadt and H Rootzen Extreme values in finance telecommunications and the environment London Chapman and HallCRC Press 2004
[5] J Beirlant et al Statistics of Extremes Theory and Applications New York John Wiley amp Sons 2004
[6] T An and MD Pandey ldquoA comparison of methods of extreme wind speed estimationrdquo Technical note Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics vol 93 pp 535-545 2005
[7] RW Katz MB Parlange and P Naveau ldquoStatistics of extremes in hydrologyrdquo Advanced Water Resources vol 25 pp 1287-1304 2002
[8] S Nadarajah and D Choi ldquoMaximum daily rainfall in South Koreardquo Journal of Earth System Science vol 116 no 4 pp 311-320 2007
[9] L Rajaram Statistical Models in Environmental and Life Sciences Florida University of South Florida 2006
[10] V Storch and FW Awiers Statistical analysis in climate research Cambridge Cambridge University Press 2001
[11] MR Leadbetter G Lindgren and H Rootzen Extremes and related properties of randorn sequences and processes New York Springer Verlag 1983
[12] S Coles An introduction to statistical modeling of extreme values London Springer Verlag 2001
[13] BB Brabson and JP Palutikof ldquoTests of the generalized Pareto distribution for predicting extreme wind speedsrdquo Journal of Applied Meteorology vol 39 pp 1627-1640 1999
[14] RD Reiss and M Thomas Statistical analysis of extreme values with applications to insurance finance hydrology and other fields Basel Birkhauser 2001
[15] AF Jenkinson ldquoThe frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of
324
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
meteorological elementsrdquo Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society vol 81 pp 158-171 1955
[16] J Galambos The asymptotic theory of extreme order statistics New York Wiley 1978
[17] S Coles and S Nadaraja An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values Great Britain Springer-Varlag London Limited 2001
[18] EJ Gumbel Statistics of Extremes New York Columbia University Press 1958
323
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
แบบจาลองตางๆ เพอหาแบบจาลองทเหมาะสมสาหรบ
ขอมลทนามาวเคราะหดวยเกณฑสารสนเทศของ Akaike (Akaikersquos Information Criterion AIC) และเกณฑ
สารสนเทศเบส (Bayesian Information Criterion BIC) เปนตน
[1] S Kotz and S Nadaraja Extreme Value Distributions Theory and Applications Singapore Imperial College Press 2000
[2] P Embrecht C Kluppelberg and T Mikosch Modeling extremal events for insurance and finance Berlin Springer Verlag 1997
[3] B Erik and H Rootzen ldquoUnivariate and bivariate GPD methods for predicting extreme wind storm lossesrdquo Insurance Mathematics and Economics vol 44 pp 345-356 2009
[4] B Finkenstadt and H Rootzen Extreme values in finance telecommunications and the environment London Chapman and HallCRC Press 2004
[5] J Beirlant et al Statistics of Extremes Theory and Applications New York John Wiley amp Sons 2004
[6] T An and MD Pandey ldquoA comparison of methods of extreme wind speed estimationrdquo Technical note Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics vol 93 pp 535-545 2005
[7] RW Katz MB Parlange and P Naveau ldquoStatistics of extremes in hydrologyrdquo Advanced Water Resources vol 25 pp 1287-1304 2002
[8] S Nadarajah and D Choi ldquoMaximum daily rainfall in South Koreardquo Journal of Earth System Science vol 116 no 4 pp 311-320 2007
[9] L Rajaram Statistical Models in Environmental and Life Sciences Florida University of South Florida 2006
[10] V Storch and FW Awiers Statistical analysis in climate research Cambridge Cambridge University Press 2001
[11] MR Leadbetter G Lindgren and H Rootzen Extremes and related properties of randorn sequences and processes New York Springer Verlag 1983
[12] S Coles An introduction to statistical modeling of extreme values London Springer Verlag 2001
[13] BB Brabson and JP Palutikof ldquoTests of the generalized Pareto distribution for predicting extreme wind speedsrdquo Journal of Applied Meteorology vol 39 pp 1627-1640 1999
[14] RD Reiss and M Thomas Statistical analysis of extreme values with applications to insurance finance hydrology and other fields Basel Birkhauser 2001
[15] AF Jenkinson ldquoThe frequency distribution of the annual maximum (or minimum) values of
324
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
meteorological elementsrdquo Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society vol 81 pp 158-171 1955
[16] J Galambos The asymptotic theory of extreme order statistics New York Wiley 1978
[17] S Coles and S Nadaraja An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values Great Britain Springer-Varlag London Limited 2001
[18] EJ Gumbel Statistics of Extremes New York Columbia University Press 1958
324
The Journal of KMUTNB Vol 25 No 2 May - Aug 2015วารสารวชาการพระจอมเกลาพระนครเหนอ ปท 25 ฉบบท 2 พค - สค 2558
meteorological elementsrdquo Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society vol 81 pp 158-171 1955
[16] J Galambos The asymptotic theory of extreme order statistics New York Wiley 1978
[17] S Coles and S Nadaraja An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values Great Britain Springer-Varlag London Limited 2001
[18] EJ Gumbel Statistics of Extremes New York Columbia University Press 1958