ความน่าจะเป็น และ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ ่ม
ความนาจะเปน และ
การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม
ความนาจะเปน การนบ การเรยงสบเปลยน และการจดหม การหาความนาจะเปน ตวแปรสม การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม
การแจกแจงความนาจะเปนแบบทวนาม การแจกแจงความนาจะเปนแบบปวสซอง การแจกแจงแบบปกต
ความนาจะเปน ( Probability )
การทดลอง ( Experiment ) คอ กระบวนการซงจะน าไปสผลลพธใดผลลพธหนงจากจ านวนผลลพธทงหมดทเกดขนได
ผลลพธ ( Outcome ) คอ ผลทเกดขนจากการทดลอง
ปรภมตวอยาง ( Sample Space ) คอ เซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลอง และจะใชตวอกษร S แทนสเปซตวอยาง
จดตวอยาง ( Sample ) คอ สมาชกแตละตวในปรภมตวอยาง
เหตการณ ( Event ) คอ เซตยอยของปรภมตวอยาง นยมใชภาษาองกฤษตวใหญแทนเหตการณ เชน A ถาเซตยอยดงกลาวมสมาชก 1 ตว เรยกวาเหตการณอยางงาย ถาเซตยอยมสมาชกมากกวา 1 ตว เรยกวาเหตการณประกอบ
ตวอยาง
บรษทแหงหนงจ าหนายปลกเครองใชไฟฟา
ตองการทดสอบวาเครองซกผารนลาสดทสงมาจาก
บรษทผผลตนนวามสภาพเปนอยางไร จงเลอกเครอง
ซกผา 3 เครองมาทดสอบซงผลการทดสอบจะถก
ระบดวย “ด” (ด) หรอ “เสย”(ส)
ผลลพธจากการทดลอง คอ
ดดด ดดส ดสส สสส สสด สดด ดสด สดส
ปรภมตวอยาง คอ
S = { ดดด, ดดส,ดสส, สสส, สสด, สดด, ดสด, สดส }
จดตวอยาง คอ
ดดด, ดดส,ดสส, สสส, สสด, สดด, ดสด, สดส
เหตการณทมเครองซกผาดอยางนอย 1 เครอง
A = { ดดด, ดดส,ดสส, สสด, สดด, ดสด, สดส }
การนบ ( Counting )
ถาเหตการณเหตการณหนงประกอบดวย k ขน
ตอน โดยขนตอนท i สามารถท าได nI วธ โดยท
i = 1, 2 ,3 ,…, k เหตการณดงกลาวสามารถเกดขน
ไดเทากบ วธ kn...nnn
321
ตวอยาง
จากตวอยางการตรวจสอบสภาพเครองซกผา 3
เครอง ผลลพธทจะเกดขนมทงหมดเทาไร
จ านวนผลลพธของการตรวจสอบสภาพเครองซก
ผาเทากบ
8222
การเรยงสบเปลยน ( Permutation )
กรณท 1 มของ n สงทแตกตางกน แลวน าของ r สงจาก n สงนน มาวางเรยงกน เหตการณดงกลาวนประกอบดวย r ขนตอน ดงน
ขนตอนท 1 เลอกของมาวางเรยงได n วธ ขนตอนท 2 เลอกของมาวางเรยงได n-1 วธ ขนตอนท 3 เลอกของมาวางเรยงได n-2 วธ : ขนตอนท r เลอกของมาวางเรยงได n-(r-1) วธ
ดงนนจากหลกการนบจะไดวาการจดเรยงสงของจะท าไดทงหมด
= วธ
=
= nPr
หมายเหต n! =
)r(n...)n(n 11
121 ...nn
)!rn(
!n
ตวอยาง มหนงสอ 5 เลม แตกตางกนทงหมด ถาน ามาจดบนชนท ละ 3 เลม จะสามารถจดหนงสอไดทงหมดกวธ n = 5, r = 3
nPr = 5P3 = 5!/2! = 60
ดงนน สามารถจดหนงสอวางบนชน ไดทงหมดเทากบ 60 วธ
กรณท 2 มของ n สง และมสงทเหมอนกนอยเปนกลม
สามารถแบงออกไดเปน k กลม โดยกลมท I มสงของท
เหมอนกนอย nI สง ; I = 1, 2, 3,…,k จ านวนวธในการจด ล าดบสงของทงหมด คอ
โดย n = n1+n2+…+nk
!n!...n!n
!n
k21
ตวอยาง มคนงานอย 12 คน และตองการแบงคนงานออกเปน 3 กลม เพอท างาน 3 ชน โดยใหคนงานท างานชนทหนง 3 คน ชนทสอง 4 คน และชนทสาม 5 คน จะสามารถจดคนท างานไดกวธ
นนคอ n = 12, k = 3,
n1 = 3, n2 = 4, n3 = 5
ดงนน จะจดคนท างานได = 27,720 วธ
2772054312
!!!
!
กรณท 3 ถามของ n สงทแตกตางกน น ามาจดล าดบ
เปนแนววงกลม เมอจดต าแหนงใดต าแหนงหนงเปนหลก
แลว น าทเหลอ คอ n-1 สง มาจดล าดบได (n–1)! วธ แตถาถอวาการจดล าดบตามเขมนาฬกาไมมความแตก
ตางจากการจดเรยงแบบทวนเขมนาฬกา จะจดล าดบได
21)!n(
ตวอยาง ในการประชมคณะกรรมการครงหนงซงประกอบดวย ผชาย 5 คน และผหญง 5 คน โดยจะจดโตะประชมเปนรป วงกลม จะสามารถจดผเขารวมประชมนงไดกวธ นนคอ n = 10
(n-1)! = (10-1)! = 362,880
ดงนน สามารถจดคนนงได 362,880 วธ
การจดกลม ( Combination )
ถามของทงหมด n สงทแตกตางกน แลวตองการจดกลมของ r สงจากทงหมด n สง จะสามารถท าได ดงน
)!rn(!r
!nCr
n
ตวอยาง
ในการเลอกกรรมการสมาคม 5 คน จากผสมครทงหมด
9 คน จะท าไดกวธ
n = 9, r = 5
ดงนน สามารถเลอกคณะกรรมการได 126 วธ
126595
95
9
)!(!
!CC
r
n
ความนาจะเปนทจะเกดเหตการณ A คอ
จ านวนของการเกดเหตการณ A จ านวนเหตการณทเปนไปไดทงหมด
การหาคาความนาจะเปน
ตวอยาง
ในการโยนเหรยญเทยงตรง 1 อน 1 ครง
แซมเปลสเปซของการทดลอง คอ S = { H , T }
ดงนน ความนาจะเปนทจะเกดหนาหว คอ 1/2
ตวอยาง
กลองใบหนงบรรจลกบอลสแดง 8 ลก สขาว 3 ลก ส
น าเงน 9 ลกหยบลกบอลอยางสมมา 3 ลก ความนาจะ
เปนทหยบไดลกบอลสแดงทงหมด คอ
0490
114056
3
203
8
.C
C
ถาให S เปนแซมเปลสเปซ และ A เปนเหตการณ ใดๆจากการทดลองสม แลว
102
11
)A(P.
)S(P.
กฎเบองตนของความนาจะเปน
ตวแปรสม ( Random Variable )
ตวแปรสม คอ ตวแปร ซงคาของตวแปรดงกลาวนจะถก ก าหนดโดยผลลพธจากการทดลองเชงสม ตวแปรสมแบงออกเปน 2 ประเภท ดงน ตวแปรสมแบบไมตอเนอง ( Discrete random variable )
ตวแปรสมแบบตอเนอง ( Continuous random variable )
การแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสมแบบไมตอเนอง ( Discrete Probability Distribution )
ฟงกชนความนาจะเปนของตวแปรสมแบบไมตอเนอง
ถา X เปนตวแปรสมไมตอเนอง โดยท X มคาเปนท
เปนไปได คอ x1, x2, x3,…,xn ฟงกชนความนาจะเปนท
X จะมคาใดๆ แทนดวย P(X) = P(X=x) = f(X)
โดยฟงกชนความนาจะเปนของ X มคณสมบตดงตอไปน
1. ความนาจะเปนของตวแปรสม X ตองมคาอยในชวง ศนยถงหนง
2. ผลรวมของการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม X มคาเทากบ 1
การแจกแจงความนาจะเปนแบบทวนาม ( Binomial Distribution )
การทดลองทประกอบไปดวยการทดลองยอยทเปนอสระกน n
ครง โดยทผลลพธของการทดลองยอยแตละครงม 2 อยาง คอ
ส าเรจ และไมส าเรจ ซงถาก าหนดใหความนาจะเปนทจะได
ผลลพธ คอ ความส าเรจ มคาเทากบ p เพราะฉะนน ความนาจะ
เปนทจะไดผลลพธ คอ ความไมส าเรจ จะมคาเทากบ 1-p = q
ถาก าหนดให X เปนตวแปรสม แทนจ านวนครงทเกดความ
ส าเรจ ดงนนคาทเปนไดของ X คอ X = 0, 1, 2, 3,…,n
ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนของ X คอ โดยท X จะมคาเฉลย และความแปรปรวน
n,...,,X:)p(px
n)x(f
xnx 101
)!xn(!x
!n
x
n
np)X(EX
npq)X(VX
2
ตวอยาง
รานขายหลอดไฟแหงหนงทราบวาในกลองใบหนงม
หลอดไฟจ านวน 8 หลอด ถาความนาจะเปนทจะพบหลอด
ไฟเสยเทากบ 0.35 จงหาความนาจะเปน
1. หลอดไฟเสย 3 หลอด
27906503503
83 383
.).().()X(P
2. หลอดไฟเสยไมเกน 1 หลอด
169013700320
6503501
8650350
0
8
101
181080
...
....
)X(P)X(P)x(P
3. จงหาคาเฉลย และความแปรปรวน ของจ านวนหลอดไฟเสย
8216503508
823508
2...npq
..np
X
X
การแจกแจงความนาจะเปนแบบปวสซอง ( Poisson Distribution )
การแจกแจงความนาจะเปนแบบปวสซองเปนการศกษาความ
นาจะเปนของตวแปรสมทถกก าหนดจากเหตการณทเกดขนในชวง
เวลาหนงหรอขอบเขตหนงทสนใจ ซง l เปนจ านวนครงของ
ความส าเรจทเกดขนโดยเฉลย ( l > 0 ) ถาก าหนดให X เปนตวแปรสมแทนจ านวนครงทใหผลส าเรจใน
ชวงเวลาหนงหรอขอบเขตหนง คาทเปนไปไดของ X มคาดงตอไป
น X = 0, 1, 2, 3,…,n
ฟงกชนการแจกแจงความนาจะเปนของ X คอ
X จะมคาเฉลย
และความแปรปรวน
,...,,x:!x
e)x(f
x
210l
l
l )X(EX
l )X(VX
2
ตวอยาง
ในหนาหนงสอพมพหนงหนา โดยเฉลยมค าทพมพผด 5
ค า ถา นาย ก. อานหนงสอพมพฉบบน
จงหาความนาจะเปน
1. มค าทพมพผด 3 ค า
1404.0
!3
5e)3X(P
35
2. มค าทพมพผดไมเกน 1 ค า
3. จงหาคาเฉลยและความแปรปรวนของค าทพมพผด
0404.00337.00067.0!1
5e
!0
5e
)1X(P)0X(P)1X(P1505
5
52X
X
l
l
การแจกแจงความนาจะเปนตอเนอง ( Continuous Probability Distribution )
ฟงกชนความหนาแนนของตวแปรสมแบบตอเนอง
ถา X เปนตวแปรสมตอเนอง โดยทฟงกชน
ความหนาแนนของ X จะมคาใดๆ แทนดวย f(X)
และ ความนาจะเปนของเหตการณ A คอ
A
dx)x(f)A(P
โดยฟงกชนความหนาแนนของ X มคณสมบตดงตอไปน
1. ความนาจะเปนของตวแปรสม X ตองมคาอยในชวง ศนยถงหนง
2. พนทใตเสนโคงการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรสม X มคาเทากบ 1
การแจกแจงปกต ( Normal Distribution )
ถาตวแปรสม X มการแจกแจงปกต
ฟงกชนความหนาแนนของความนาจะเปนของ X คอ
โดยท
x:e)x(f)x(2
22
1
2
1
....e
....
718282
141593
การแปลงจากตวแปรสม X ทมการแจกแจงแบบปกตท
มคาเฉลย และความแปรปรวน 2 ไปเปนตวแปรสม
Z ทมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานทมคาเฉลยเปน 0 และความแปรปรวนเทากบ 1 โดยท
X
Z
ตวอยาง ตาราง Z
Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
0.0 0.5000 0.5010 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736
การค านวณหาคาความนาจะเปนของตวแปรสมทมการ แจกแจงแบบปกต 1. แปลงตวแปรสม X ใหเปนตวแปรสม Z โดยท 2. เปดตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน 3. 4.
X
Z
)a(P)aZ(P 1
)a(P)b(P)bZa(P
ตวอยาง
90660321 .).Z(P
093409066013211321 ..).Z(P).Z(P
813200934090660
321321321321
...
).Z(P).Z(P).Z.(P
ตวอยาง
ถาหลอดไฟยหอหนงมอายเฉลยการใชงาน 1000 ชวโมง
มคาเบยงเบนมาตรฐานของอายการใชงาน 100 ชวโมง
จงหาความนาจะเปนท
1. หลอดไฟจะมอายการใชงานมากกวา 1250 ชวโมง
00620993801
52152
10010001250
1250
..
).Z(P).Z(P
xP)x(P
2. หลอดไฟฟามอายการใชงานนอยกวา 1200 ชวโมง
9772002
10010001200
1200
.).Z(P
xP)x(P
3.หลอดไฟฟาจะมอายการใชงานระหวาง 900 ชวโมง ถง 1100 ชวโมง
662601587081130
0101
0101
10010001100
1001000900
1100900
...
).Z(P).Z(P
).Z.(P
x)x(P
THE END